全微分与偏导数
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关于 x, y 的线性函数; 另一部分是 x y, 当
( x, y) (0,0), 即 = ( x ) ( y) 0 时,
2 2
x y 是比 高阶的无穷小， 因此略去高阶无穷小，
而用 yx xy 近似表示 S , 则其差
S ( yx xy) = xy 是一个比 高阶的无穷 小，称 yx xy 为函数 S = xy 在 ( x , y) 处的
全微分。
定义 如果函数z = f ( x , y )在点( x , y ) 的全增量 z = f ( x x , y y ) f ( x , y )可以表示为 z = A x B y o( ) ,
其中 A, B不依赖于x , y 而仅与 x , y 有关， 在点( x , y ) 可微分，Ax By 称为函数 z = f ( x , y ) 在点( x , y ) 的全微分，记为 dz， 即
f , x = x0 x y= y
0
x = x0 y = y0
, zx
x = x0 y = y0
或 f x ( x0 , y0 ).
同理可定义:函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处对 y 的偏导数为
f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ) lim (2) y 0 y z f 记为 , , z y x = x0 或 f y ( x0 , y0 ). y = y0 y x = x0 y x = x0
全增量的概念
如果函数 z = f ( x , y ) 在点( x , y ) 的某邻域内 有定义，并设 P ( x x , y y )为这邻域内的 则称这两点的函数值之差 任意一点， f ( x x, y y ) f ( x, y ) 为函数在点 P 对应于自变量增量x , y 的全增 量，记为z ， 即 z = f ( x x, y y) f ( x, y).
0
x 0 y 0
lim f ( x x , y y ) = lim[ f ( x , y ) z ]
0
= f ( x, y)
故函数 z = f ( x , y ) 在点( x , y ) 处连续.
二、偏导数
在研究一元函数时，从研究函数的变化率 引入了导数的概念，对于多元函数同样需要讨论
y = y0 y = y0
如，设 z = f ( x, y ) = | xy |, 求 f x (0,0), f y (0,0).
（ 0＋ x ,0) f (0,0) f x (0,0) = lim x 0 x | x 0| 0 = lim =0 x 0 x f y (0,0) = 0. 如果函数 z = f ( x, y ) 在区域D 内任一点 ( x , y ) 处对 x 的偏导数都存在， 那么这个偏导数 就是 x 、 y 的函数， 它就称为函数 z = f ( x , y )对 自变量 x 的偏导数，
百度文库
引例：设矩形的长、宽分别用 x, y 表示，则矩形的 面积 S 为
S = xy
则该矩形面积
若测量 x, y 时产生的误差为 x , y, 产生的误差为
S = ( x x )( y y) xy = yx xy xy 上式右端包含两部分， 一部分是 yx x y,它是
= ( x )2 ( y )2 ， 则称函数 z = f ( x , y )
dz = Ax By .
若函数在某区域 D 内各点处处可微分， 则称这函数在 D 内可微分.
如果函数z = f ( x , y )在点( x , y ) 可微分, 则 函数在该点连续。
事实上 z = Ax By o( ), lim z = 0,
它的变化率。由于多元函数不止一个自变量，因此 首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率，
就是我们下面的偏导数概念。
1. 偏导数的定义
定义 设函数 z = f ( x, y )在点( x0 , y0 ) 的某一邻 域内有定义，当 y 固定在 y0 而 x在 x0处有增量 相应地函数有增量 x 时，
解
记作
z f , , zx , fx . x x 同理可以定义函数z = f ( x , y )对自变量 y 的偏导
数， 记作
z f , , zy , f y. y y
从偏导数的可以看出，计算多元函数的偏导数
并不需要新的方法，如计算 f ( x, y ) 对 x 的偏导
数时， 因为已将 y 视为常数， 故若令
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ),
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) lim (1) x 0 x 存在，则称此极限为函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处对 x 的 偏导数， 记为
若
z x
即
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 ) = lim . x 0 x
( x ) = f ( x, y )
则
f x ( x, y) = ( x )
所以，f ( x, y ) 对 x 的偏导就是 ( x ) 的导数。
于是，一元函数的求导公式和求导法则都可以 移植到多元函数的偏导数的计算上来。
有关偏导数的几点说明：
f （１） 偏导数 是一个整体记号，不能拆分; x
一、全微分的定义
由一元函数微分学中增量与微分的关系得
f ( x x , y ) f ( x , y ) f x ( x, y )x
f ( x , y y ) f ( x , y ) f y ( x , y ) y
二元函数 对 x 和对 y 的偏增量
二元函数 对 x 和对 y 的偏微分
( x, y) (0,0), 即 = ( x ) ( y) 0 时,
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x y 是比 高阶的无穷小， 因此略去高阶无穷小，
而用 yx xy 近似表示 S , 则其差
S ( yx xy) = xy 是一个比 高阶的无穷 小，称 yx xy 为函数 S = xy 在 ( x , y) 处的
全微分。
定义 如果函数z = f ( x , y )在点( x , y ) 的全增量 z = f ( x x , y y ) f ( x , y )可以表示为 z = A x B y o( ) ,
其中 A, B不依赖于x , y 而仅与 x , y 有关， 在点( x , y ) 可微分，Ax By 称为函数 z = f ( x , y ) 在点( x , y ) 的全微分，记为 dz， 即
f , x = x0 x y= y
0
x = x0 y = y0
, zx
x = x0 y = y0
或 f x ( x0 , y0 ).
同理可定义:函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处对 y 的偏导数为
f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ) lim (2) y 0 y z f 记为 , , z y x = x0 或 f y ( x0 , y0 ). y = y0 y x = x0 y x = x0
全增量的概念
如果函数 z = f ( x , y ) 在点( x , y ) 的某邻域内 有定义，并设 P ( x x , y y )为这邻域内的 则称这两点的函数值之差 任意一点， f ( x x, y y ) f ( x, y ) 为函数在点 P 对应于自变量增量x , y 的全增 量，记为z ， 即 z = f ( x x, y y) f ( x, y).
0
x 0 y 0
lim f ( x x , y y ) = lim[ f ( x , y ) z ]
0
= f ( x, y)
故函数 z = f ( x , y ) 在点( x , y ) 处连续.
二、偏导数
在研究一元函数时，从研究函数的变化率 引入了导数的概念，对于多元函数同样需要讨论
y = y0 y = y0
如，设 z = f ( x, y ) = | xy |, 求 f x (0,0), f y (0,0).
（ 0＋ x ,0) f (0,0) f x (0,0) = lim x 0 x | x 0| 0 = lim =0 x 0 x f y (0,0) = 0. 如果函数 z = f ( x, y ) 在区域D 内任一点 ( x , y ) 处对 x 的偏导数都存在， 那么这个偏导数 就是 x 、 y 的函数， 它就称为函数 z = f ( x , y )对 自变量 x 的偏导数，
百度文库
引例：设矩形的长、宽分别用 x, y 表示，则矩形的 面积 S 为
S = xy
则该矩形面积
若测量 x, y 时产生的误差为 x , y, 产生的误差为
S = ( x x )( y y) xy = yx xy xy 上式右端包含两部分， 一部分是 yx x y,它是
= ( x )2 ( y )2 ， 则称函数 z = f ( x , y )
dz = Ax By .
若函数在某区域 D 内各点处处可微分， 则称这函数在 D 内可微分.
如果函数z = f ( x , y )在点( x , y ) 可微分, 则 函数在该点连续。
事实上 z = Ax By o( ), lim z = 0,
它的变化率。由于多元函数不止一个自变量，因此 首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率，
就是我们下面的偏导数概念。
1. 偏导数的定义
定义 设函数 z = f ( x, y )在点( x0 , y0 ) 的某一邻 域内有定义，当 y 固定在 y0 而 x在 x0处有增量 相应地函数有增量 x 时，
解
记作
z f , , zx , fx . x x 同理可以定义函数z = f ( x , y )对自变量 y 的偏导
数， 记作
z f , , zy , f y. y y
从偏导数的可以看出，计算多元函数的偏导数
并不需要新的方法，如计算 f ( x, y ) 对 x 的偏导
数时， 因为已将 y 视为常数， 故若令
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ),
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) lim (1) x 0 x 存在，则称此极限为函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处对 x 的 偏导数， 记为
若
z x
即
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 ) = lim . x 0 x
( x ) = f ( x, y )
则
f x ( x, y) = ( x )
所以，f ( x, y ) 对 x 的偏导就是 ( x ) 的导数。
于是，一元函数的求导公式和求导法则都可以 移植到多元函数的偏导数的计算上来。
有关偏导数的几点说明：
f （１） 偏导数 是一个整体记号，不能拆分; x
一、全微分的定义
由一元函数微分学中增量与微分的关系得
f ( x x , y ) f ( x , y ) f x ( x, y )x
f ( x , y y ) f ( x , y ) f y ( x , y ) y
二元函数 对 x 和对 y 的偏增量
二元函数 对 x 和对 y 的偏微分