全微分与偏导数
偏导数与全微分
若二元函数z=f(x,y)在D内每一点都有偏导数 则此偏 内每一点都有偏导数, 在 内每一点都有偏导数 则此偏 注 (1) 若二元函数 的函数--------偏导函数 偏导函数. 导数也是 x, y 的函数 偏导函数
f x , f y , z x , z y , ......
∂z ∂f ∂z ∂f , , , , ...... ∂x ∂x ∂y ∂y
∂ ∂z ∂2z ( )= = z yx = f yx ; ∂ y ∂x ∂x ∂ y
混合偏导数
∂ ∂z ∂2z ( )= = z yy = f yy . 2 ∂y ∂y ∂y
定理 若 z = f (x, y) 的二阶混合偏导数 f x y , f y x 在 (x,y) 连续 连续, 则 f xy = f yx . 适用于三阶以上 2 2 ∂ z ∂ z y , . z = arctan , 例5 求 ∂y∂x ∂x∂y x y −y ∂z 1 = ⋅ (− 2 ) = 2 , 2 y 2 x x +y ∂x 1 + ( ) x 1 1 ∂z x = y 2 ⋅ x = x2 + y2 , ∂y 1+(x)
∂2z = 6 xy 2 ∂x 2
∂2z = 2 x 3 − 18 xy ∂y 2
∂2z ∂2z 2 2 = 6 x y − 9 y − 1= ∂y∂x ∂x∂y
∂3z = 6 y2 ∂x 3
§2
偏导数与全微分
一、 偏导数 1.偏导数的定义 1.偏导数的定义 的某邻域内有定义, 设 z = f (x,y)在点 ( x0 , y0 )的某邻域内有定义, 当 y 固定在 y0 时, , ) 得一元函数 f ( x , y0 ), 称 f ( x 0 + ∆ x , y0 ) − f ( x 0 , y0 ) lim ∆ x→0 ∆x 的偏导数, 为z = f (x,y)在点 ( x0 , y0 )处对 x 的偏导数, 记为 fx ( x0 , y0 ), 或 ∂ f ( x 0 , y 0 ) , , ) ∂x 或 ∂ z ( x 0 , y0 ) , ∂x f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) ∂z 即 f x ( x 0 , y0 ) = x ( x 0 , y0 )= ∂ f ( x 0 , y 0 ) = lim ; ∂ ∂x ∆x→0 ∆x 类似的, 的偏导数为 类似的, z = f (x,y)在点 ( x0 , y0 ) 处对 y 的偏导数为 , ) f ( x0 , y0 + ∆ y) − f ( x0 , y0 ) ∂f ∂z f y ( x 0 , y0 ) = . = lim ( x0 , y0 ) = ( x 0 , y0 ) ∆ y→0 ∂y ∂y ∆y
第3节 偏导数与全微分
处对x的偏导数，记为
z ， 或 x x x0
zx
x x0 y y0
.
y y0
1
类似可定义函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 处对 y 的偏
导数，为
lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
y0
y
z
记为
，或
y x x0
y y0
lim
A,
x0
x
同理可得 B f y( x0 , y0 ) .
dz z dx z dy x y
可微 可偏导 13
注：可偏导不一定可微,见下面反例.
xy
f
(
x,
y)
x2 y2
0
x2 y2 0 .
x2 y2 0
在点 (0,0) 处有 f x (0,0) f y(0,0) 0 ,
同理, f y (0,0) 0 .
9
偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导 连续，
多元函数中在某点偏导数存在
连续，
例如,函数
f
(
x,
y)
x
2
xy
y
2
,
0,
x2 y2 0
,
x2 y2 0
已经求得， f x (0,0) f y(0,0) 0 .
即 dy f ( x)dx .
11
二元函数的可微性和全微分
定义 二元函数 z f (x, y) 在点( x0 , y0 ) 处的全增量
z f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ) 如果可以表示为
数学分析第十六章课件偏导数与全微分
解: 已知
则
V 2 rh r r 2h
r 20, h 100, r 0.05, h 1
V 2 20100 0.05 202 (1) 200 (cm3)
即受压后圆柱体体积减少了
作业
• P192:1:(单数题) • P193:7;9 • P208:1:(双数题) • P208:3 • P209:9 • P217:1:(1;3);2:(2;4);6 • P223:2;3;8
定理16.1 ３．全微分与偏导数的关系：
f (x, y) 设 (x0 , y0 ) 可微，在表达式中 分别令 f 0 x 0 和 x 0 y 0
得
定理１６.2
从而：f 在 p0 的全微分可写成
dz |p0 fx (x0 , y0 )dx f y (x0 , y0 )dy
z f (x) 在某区域 G 内（x，y） 点的全微分为
f11,
f12,
f21,
f22
书上记号易混
链式法则的应用
偏微分方程的变换
目的
求解
2）复合函数的全微
设
u
f (x, y),若x, y为自变量，则
du f dx f dy x y
进一步，若x (s,t) y (s,t) 则有
du u ds u dt dx x ds x dt dy y ds y dt
r x 2
2x x2 y2 z2
x r
r z z r
4、计算
的近似值.
解: 设
,则
f x (x, y) y x y1 , f y (x, y) x y ln x
取
则 1.042.02 f (1.04, 2.02 )
1 2 0.04 0 0.02 1.08
7-3全微分与偏导数
偏导数记号是一个 整体记号, 不能看作
分子与分母的商 !
p V V T
T p
RT pV
1
例3.7 求函数在点（0，0）处的偏导数
z
f (x, y)
xy
x2
y
2
,
x2 y2 0
0 , x2 y2 0
解
0
0
在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0) 不连续! 可导不一定连续.
z2
)
0
*四、全微分的应用
由全微分定义
z fx (x, y)x f y (x, y)y o()
可知当 及
dz
较小时, 有近似等式:
z d z fx (x, y)x f y (x, y)y
(可用于近似计算; 误差分析)
f (x x, y y) f (x, y) fx (x, y)x f y (x, y)y
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶
偏导数为
( y
)
nz x n1
y
例.设 Z x3 y2 2 xy3 x2 y 5
2Z 2Z 2Z 2Z 3Z
求:
x 2
,
,
,
xy yx
y 2
,
x 3
解: Z 3x2 y2 2 y3 2xy,
fx x(x,
y);
y
( z ) x
2z x y
fx
y ( x,
y)
x
z
多元函数微积分学 6.3偏导数与全微分
=1+ 2×0.04 + 0×0.02 =1.08.
24
2. 全微分的运算公式 设二元函数 u(x,y) , v(x,y) 均可微 , 则 ((v(x,y) ≠0)), 也可微 且 也可微,
d( ku)
(k为常数 为常数), 为常数
(k为常数), (k为常数), 为常数
= du ± dv, = vdu + udv,
26
f (x, y),
处连续. 即 z = f (x, y) 在点 (x, y) 处连续
17
定理4 (充分条件) 若函数
∂z ∂z 的偏导数 , ∂x ∂y 在 (x, y) 连 , 则函数在该点可微分 点 续 则函数在该点可微分. 证 ∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y)
∂u =− sin( x2 − y2 − ez ) ⋅ (−2 y) = 2 y sin( x2 − y2 − ez ) ∂y
∂z 2 2 z z z 2 2 z u = −sin( x − y − e ) ⋅ (−e ) = e sin( x − y − e ) ∂z
10
2. 二元函数偏导数的几何意义
∂f ; z′ x ∂ x (x0 , y0 )
( x0 , y0 )
;
f1′(x0, y0 ) .
2
同样可定义对 y 的偏导数
f (x0, y0 + ∆y ) − f (x0, y0 ) f y′(x0, y0 ) = lim ∆ y→0 ∆y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数 也简称为 则该偏导数称为偏导函数 偏导函数, 偏导数 , 记为
全微分与偏导数
u x1 ( x 0 ).
u x1
，或 f x1 ( x0 ) ，
x0
类似地，可以定义
u xi
, i 2,, n.
x0
如果多元函数 u f ( x1 ,, xn ) 在某区域 D 上每一点处均存在偏导数
u ,则 xi
证
P V T 1. V T P P T T T V k 1 由P k ,得 k 2 ；由 V k , 得 ; 由 T PV , 得 V V P T P k V T 1 V. P k
因此，
P V T kT k V kT 2 1. V T P PV V P k x 例 4 设 f ( x, y ) x 3 ( y 2 1) arctan ，求 f x( x,1) ， f y ( x,1) 。 y
z p T2 T1 y0 x0 y
即截线
z f ( x0 , y ), C2 : x x0 在点 P 处切线 PT2 的斜率（图 7.2.1） 。 我们把曲面 S 在点 P 处的切平面定 x 义为切线 PT1 和 PT2 所在的平面。 由于该 平面的法向量与 PT1 , PT2 垂直，故可取为
1 2 (0.04) 0 (0.02) 1.08.
六．空间曲面的切平面，偏导数的几何意义 二元函数的偏导数也可作出类似于一元函数导数的几何解释：函数 z f ( x, y) 的图象是 R 3 中一个曲面 S，该曲面被平面 y y0 所截，得一曲线：
z f ( x, y 0 ), C1 : y y0 . 这条曲线在点 P( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 处的切 线 PT1 的斜率， 即它与 x 轴正方向夹角的 正切就是 f x( x0 , y0 ) ， 同样地， f y ( x0 , y0 )
高等数学教学： 偏导数与全微分
f
x
(0,0,0)
3
x cos
x
x
0
1 4
利用轮换对称性 , 可得
f y (0,0,0)
f z (0,0,0)
1 4
d f (0,0,0) f y (0,0,0) d x f y (0,0,0) d y f z (0,0,0) d z
1 (d x d y d z) 4
例 7. 求所有的二阶偏导数： 两个混合偏导数：是否总相等
例8. 设
f(x,y)=
xy
x2 x2
y2 y2
,
0 ,
x2 y2 0 x2 y2 0
证明: fxy (0, 0) f yx (0, 0)
在什么条件下才能保证两者相等呢？
定理16.4 这个定理可以推广到 n阶偏导数的情形： 即若函数 f 具有直到 n 阶的连续偏导数，则求偏导数与变量的顺序
z
2
2ze
x2
y2
z
2
2
x
sin
y
u
2 x (1 2 x2 sin2 y) ex2 y2 x4 sin 2 y
xyz
u y
f y
f z
z y
2ye x2 y2 z2 2ze x2 y2 z2 x2 cos y
2 ( y x4 sin y cos y ) ex2 y2 x4 sin 2 y
x y
x f x
y
s f
同理 y
t
例4. 设 u f (xy, y ) 求 u 2u 2u
偏导数和全微分
偏导数和全微分偏导数和全微分是微积分中一些重要的概念，用于描述多变量函数的变化情况和进行近似计算。
我们来看偏导数。
在一元函数中，导数描述了函数在某一点上的变化速率，而在多元函数中，一个变量的变化并不仅仅受到其他变量的影响，而是受到多个变量的共同影响。
我们需要引入偏导数，用于表示多元函数中一个变量的变化情况。
对于一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，其中各个变量都是相互独立的，我们可以对其偏导数进行求解。
对于变量xi，其偏导数表示为∂f/∂xi，表示在其他变量保持不变的情况下，函数关于xi的变化速率。
偏导数与导数类似，可以用极限的定义来解释。
对于变量xi，其偏导数可以通过限制其他变量，并将函数看作一元函数进行求解，然后取极限得到。
例如，对于函数f(x, y)，其关于变量x的偏导数可以表示为∂f/∂x = lim(Δx→0)(f(x+Δx, y) - f(x, y))/Δx。
我们来看全微分。
全微分是对多元函数进行近似计算的一种方法。
对于一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，其全微分表示为df = ∂f/∂x1 dx1 + ∂f/∂x2 dx2 + ... + ∂f/∂xn dxn，其中dx1, dx2, ..., dxn为变量的微小增量。
全微分的含义是，当各个变量的微小增量dx1, dx2, ..., dxn趋于0时，函数f的微小增量df与各个偏导数的乘积之和趋于一致。
全微分可以看作是函数在某一点上的线性近似，用于描述函数在该点附近的变化情况。
全微分也可以通过偏导数的极限定义来求解，表示为df = ∂f/∂x1 dx1 + ∂f/∂x2 dx2 + ... + ∂f/∂xn dxn = lim(Δx1→0, Δx2→0, ..., Δxn→0) (f(x1+Δx1, x2+Δx2, ..., xn+Δxn) - f(x1, x2, ..., xn))。
总结起来，偏导数用于描述多元函数中一个变量的变化速率，而全微分用于对多元函数进行近似计算。
偏导数与全微分
则 z Ax By o()
( (x)2 (y)2 0)
lim z lim[Ax By o( )] 0
x0
x0
y0
y0
故 f (x, y) 连续.
定理8.1 如果函数 f (x, y) 在点P(x, y) 处可微, 则它在该点存在两个偏导,且
证 z f ( x x, y y) f ( x, y)
[ f ( x x, y y) f ( x, y y)] [ f ( x, y y) f ( x, y)]
f x(1, y y)x f y( x,2 )y
偏改 变量
y z f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
2.偏导数 设有函数 z f (x, y), 如果极限
lim x z lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
x x0
x0
x
存在,则称此极限值为f (x, y)在点
第三节 偏导数与全微分
一.二元函数的偏导数
1.改变量 x : x0 x0 x y : y0 y0 y
全改 变量
z f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
偏改 变量
x z f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
(3)关系 函数 f (x, y)在 ( x0 , y0 )处的偏导数等于
偏导函数在( x0 , y0 ) 处的函数值.
(4)偏导函数求法 对 x 求偏导把 y 看作常数,
对 y 求偏导把 x 看作常数,
原
按一元函数求导法则求.
始
法 则
8.3偏导数与全微分
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 ) lim x 0 x
同理可定义关于y的偏导数
f ( x 0 , y 0 y ) f ( x 0 , y 0 ) lim f y ( x0 , y0 ) y 0 y
记为： f y ( x0 , y0 )
Q1 ：Q1对 自 身 价 格1的 边 际 需 求 p ; p1 Q1 ：Q1对 相 关 价 格2的 边 际 需 求 p ; p2
Q2 ：Q2 对 相 关 价 格1的 边 际 需 求 p ; p1 Q2 ：Q2 对 自 身 价 格2的 边 际 需 求 p ; p2
Q1 的经济意义：相关价格不变时,自身价格达到p1时, p1 价格再增加一个单位所增加或减少的需求量; Q1 的经济意义：自身价格不变时,相关价格达到p2时, p2 价格再增加一个单位所增加或减少的需求量;
的改变量为
z f ( x x, y y ) f ( x, y )
全改变量
1.全微分的定义 设长方形边长为x, y, 则它的面积为S=x y,如果边长有
改变量x, y, 则面积的改变量为
S f ( x x, y y ) f ( x, y ) ( x x )( y y ) xy yx xy x y dS : S在点( x, y )处的全微分.
注： 1.z f ( x, y)在( x0 , y0 )处的偏导数，可理解为 该函数
在( x0 , y0 )处沿x轴和y轴方向的变化率，即
d f x ( x0 , y0 ) f ( x , y0 ) | x x 0 dx d ( x 0 , y0 ) fy f ( x 0 , y ) | y y0 dx
偏导数和全微分的概念
函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 则 称这函数在 D 内可微分.
21
几个基本问题
1. f ( x, y)满足什么条件才能保证 可微？
2. 若可微，全微分表达式 中的A, B是什么？
3. 二元函数连续、可微、 可偏导之间 存在什么关系？与一元 函数有何异同？
22
如果函数 z f ( x , y ) 在点( x , y ) 可微分, 则 函数在该点连续.
2 2
?
连续但偏导数不存在
多元函数连续和可偏导没有必然联 系，与一元函数具有显著差别
16
二元函数偏导数的几何意义:
设 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y ) 上一点, z f d M0 f ( x, y 0 ) x x0 x x0 x y y 0 dx Tx Ty z f ( x, y ) 在点 M0 处的切线 是曲线 y y0 y0 y O M 0Tx 对 x 轴的斜率. x0 ( x0 , y0 ) f d f ( x0 , y) x x0 x y y0 y y y0 d y
第一节 偏导数和全微分的概念
一、偏导数的定义及其计算法
定义 设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻 域内有定义，当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量 x 时，相应地函数有增量 f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )，
偏微分
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个 偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加 原理． 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
u u u du dx dy dz. x y z
偏导数与全导数偏微分与全微分的关系
偏导数与全导数偏微分与全微分的关系Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】1。
偏导数代数意义偏导数是对一个变量求导,另一个变量当做数对x求偏导的话y就看作一个数，描述的是x方向上的变化率对y求偏导的话x就看作一个数，描述的是y方向上的变化率几何意义对x求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线对y求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线这里在补充点。
就是因为偏导数只能描述x方向或y方向上的变化情况，但是我们要了解各个方向上的情况，所以后面有方向导数的概念。
2。
微分偏增量：x增加时f(x,y)增量或y增加时f(x,y) 偏微分：在d e t a x趋进于0时偏增量的线性主要部分d e t a z=f x（x,y）d e t a x+o(d e t a x) 右边等式第一项就是线性主要部分，就叫做在（x，y）点对x的偏微分这个等式也给出了求偏微分的方法，就是用求x的偏导数求偏微分全增量：x,y都增加时f(x,y)的增量全微分：根号(detax方+detay方）趋于0时，全增量的线性主要部分同样也有求全微分公式，也建立了全微分和偏导数的关系d z=A d x+B d y其中A就是对x求偏导，B就是对y求偏导希望楼主注意的是导数和微分是两个概念，他们之间的关系就是上面所说的公式。
概念上先有导数，再有微分，然后有了导数和微分的关系公式，公式同时也指明了求微分的方法。
3.全导数全导数是在复合函数中的概念，和上面的概念不是一个系统，要分开。
u=a(t),v=b(t) z=f[a(t),b(t)] dz/dt 就是全导数，这是复合函数求导中的一种情况，只有这时才有全导数的概念。
d z/d t=(偏z/偏u)(d u/d t)+(偏z/偏v)(d v/d t)建议楼主在复合函数求导这里好好看看书，这里分为3种情况。
1.中间变量一元就是上面的情况，才有全导数的概念。
多元函数微分学偏导数与全微分
fx 1
x x2 y2
fy 1
y x2 y2
f y (0,2)
fx (0,1) 1, f y (0,2) 0
例2. u zxy 求偏导数
u x
z xy (ln
z) y
u y
z xy (ln z)x
u xyz xy1
z
例3.
f
(x,
y)
求 2z , 2z
yx xy
z x
1
1 ( y )2
(
y x2
)
y , x2 y2
x
z y
1 1 ( y)2
1 x
x x2
y2
,
x
2z yx
y2 x2 (x2 y2)2
2z xy
例6. z x3 y2 3xy3 xy 1
x2
y2 z2
,
u z
3xy2 z 2
sin
x2 y2 z2
2xy2 (x2
y2 ) cos
x2
z2
y2
2.
z
x sin
y x
cos
y x
,求
2z y 2
,
2z xy
z cos y 1 sin y ,
y
xx x
2z y 2
1 x
sin
y x
求 2z , 2z , 2z , 2z , 3z
x2 yx xy y 2 x3
z 3x2 y2 3y3 y, z 2x3 y 9xy2 x
偏导数与全微分解析
偏导数与全微分解析偏导数和全微分是微积分中的重要概念，用来描述多变量函数的变化率和微小变化。
在本文中，我们将深入探讨偏导数和全微分的定义、计算方法和应用。
一、偏导数偏导数是用来描述多变量函数在某一点上沿着某个特定方向的变化率。
对于一个二元函数f(x, y)，其偏导数可以分别表示为∂f/∂x和∂f/∂y，表示函数在x轴和y轴上的变化率。
计算偏导数的方法为将函数中的其他变量视为常数，只对所求的变量求导。
例如，对于函数f(x, y) = x^2 + cos(xy)，要计算∂f/∂x，我们将y视为常数，对x求导得到2x - ysin(xy)。
偏导数的存在性与连续性紧密相关。
如果一个函数在某一点处的偏导数存在且连续，那么该函数在该点可微。
二、全微分全微分是用来描述多变量函数在某一点上的微小变化量。
对于一个二元函数f(x, y)，其全微分df可以表示为df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy。
全微分可以看做是偏导数的线性组合，表示函数在该点的微小变化量。
在数学中，全微分在解析几何和微分几何中有广泛的应用。
由于全微分是偏导数的线性组合，其计算方法与偏导数类似。
通过对变量的求导，我们可以计算出全微分的数值。
对于函数f(x, y) = x^2+ cos(xy)，可以计算出其全微分df = 2x * dx - ysin(xy) * dx + (-xsin(xy)) * dy。
三、偏导数与全微分的应用偏导数和全微分在物理学、经济学、工程学等领域都有广泛的应用。
在物理学中，偏导数和全微分可以描述物体在多个方向上的运动变化率和微小变化量。
在经济学中，偏导数和全微分可以描述不同变量对经济模型的影响程度和微小变化的效应。
在工程学中，偏导数和全微分被广泛应用于优化问题和控制系统设计。
通过求取偏导数，可以找到函数的驻点和最值点，从而优化系统的性能。
通过求取全微分，可以找到系统在某一点上的微小变化量，从而进行控制系统的设计和分析。
偏导数与全微分
偏导数与全微分偏导数和全微分是微积分中非常重要的概念和工具。
它们在求解多元函数的极值、优化问题以及微分方程的应用中起到了关键作用。
本文将介绍偏导数和全微分的定义、性质以及在实际应用中的意义和应用。
一、偏导数偏导数是对多元函数在某一变量上求导的一种推广。
对于函数f(x₁, x₂, ..., xn)，其关于变量 xi 的偏导数表示为∂f/∂xi，即对变量 xi 进行微小变化时，函数 f 的变化量与 xi 的变化量之间的比率。
如果 f 在某一点处的偏导数存在，那么它就是该点的切线斜率。
偏导数可以用几何上的切线来理解，它告诉我们函数在每个变量方向上的变化率。
偏导数的计算方法和一元函数的导数类似，只需将其他变量视为常数进行求导。
例如，对于函数 f(x, y) = x² + 2xy + y²，在求∂f/∂x 时，将y 视为常数，得到∂f/∂x = 2x + 2y。
同理，求∂f/∂y 时，将 x 视为常数，得到∂f/∂y = 2x + 2y。
偏导数不仅可以求一阶偏导数，还可以求高阶偏导数。
二阶偏导数表示对函数的一阶偏导数再次求导，例如∂²f/∂x² 表示对 x 的偏导数再对 x 求导。
高阶偏导数也有类似的定义。
二、全微分全微分是在偏导数的基础上推广出来的概念。
对于函数 f(x₁, x₂, ..., xn)，它的全微分表示为df = ∂f/∂x₁dx₁ + ∂f/∂x₂dx₂ + ... + ∂f/∂xndxn。
全微分可以看作是多元函数的线性逼近。
在某一点处，函数值的增量可以近似表示为各个自变量的增量与其对应的偏导数之积的总和。
全微分的重要性在于它可以帮助我们理解函数的微小变化对应的函数值的变化。
在实际应用中，我们常常使用全微分来近似计算函数值的变化。
三、偏导数与全微分的应用1. 极值和最优化问题：偏导数和全微分可以帮助我们找到多元函数的极值点和最优化问题的解。
通过求解偏导数为零的方程组，我们可以找到函数的驻点，并通过二阶偏导数的正负判断是否为极值点。
偏导数与全微分
偏导数与全微分偏导数和全微分是微积分中的重要概念和工具，用于描述函数在某一点的变化率以及函数在这一点附近的近似变化情况。
在实际应用中，它们在物理、经济学、工程等领域中具有广泛的应用。
本文将从基本概念、性质以及应用角度出发，深入探讨偏导数和全微分的相关知识。
一、偏导数的定义与性质偏导数是多元函数的导数概念的延拓，用来研究多元函数的各个自变量对函数值的影响。
设函数 f(x1, x2, ..., xn) 在某点 P0 处可导，则在此点的偏导数定义为函数沿着坐标轴方向的导数值，即：∂f/∂xi = lim(h→0) [f(x1, x2, ..., xi+hi, ..., xn) - f(x1, x2, ..., xi, ..., xn)]/hi 偏导数有以下几个重要性质：1. 可导即可偏导：函数可导则其各个分量函数都偏导存在；2. 各个变量的偏导数交换次序得到相同的结果，即偏导数具有交换性；3. 偏导数具有线性性质：对于函数 u(x1, x2, ..., xn) 和 v(x1, x2, ..., xn)，以及常数 k1 和 k2，有 d(u + kv)/dxi = du/dxi + k*dv/dxi；4. 二阶偏导数与次序无关：当函数具有二阶连续偏导函数时，其偏导函数的二阶偏导数与次序无关。
二、全微分的定义与性质全微分是描述函数的微分变化情况的工具，它是偏导数的线性组合。
设函数 f(x1, x2, ..., xn) 在某点 P0 处可导，则在此点的全微分定义为：df = ∂f/∂x1 * dx1 + ∂f/∂x2 * dx2 + ... + ∂f/∂xn * dxn全微分有以下几个重要性质：1. 雅可比矩阵：全微分可以表示为雅克比矩阵和自变量的增量之间的乘积形式；2. 全微分的近似表示：在某一点的全微分可以近似表示为函数值在该点的偏导数乘以自变量的增量之和；3. 链式法则：当函数经过复合运算时，全微分的求解可以通过链式法则简化计算；4. 全微分为导数的线性组合：全微分具有线性性质。
偏导数与全微分的关系
偏导数与全微分的关系
偏导数和全微分是微积分学中两个重要的概念，它们在数学和物理学中都有广泛的应用。
在本文中，我们将探讨偏导数和全微分之间的关系。
偏导数是指在多元函数中，对其中的一个自变量求导数时，将其他自变量视为常数，所得到的导数称为该函数的偏导数。
偏导数可用于描述函数在某一方向上的变化率，也可用于求解极值、曲面的切平面等问题。
全微分是指一个函数在某一点的微小变化量与该点的各个自变
量的微小变化量的线性关系。
全微分可以看作是偏导数的加和，因此，如果一个函数在某一点可导，那么它在该点一定是全微分的。
具体来说，偏导数和全微分之间的关系可以表示为：
$$df = frac{partial f}{partial x}dx + frac{partial
f}{partial y}dy + frac{partial f}{partial z}dz$$
其中，$df$ 表示函数在某一点的微小变化量，$frac{partial f}{partial x}dx$、$frac{partial f}{partial y}dy$ 和
$frac{partial f}{partial z}dz$ 分别表示函数在该点对 $x$、$y$、$z$ 三个自变量的微小变化量所造成的贡献。
可以看出，全微分是偏导数的和，因此，如果一个函数在某一点可导，那么它在该点一定是全微分的。
反过来，如果一个函数在某一点是全微分的，那么它在该点是偏导数存在的。
总之，偏导数和全微分是微积分学中两个重要的概念，它们之间
有密切的关系。
在实际应用中，可以根据具体问题的需要灵活运用它们，求解各种数学和物理学问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
全增量的概念
如果函数 z = f ( x , y ) 在点( x , y ) 的某邻域内 有定义，并设 P ( x x , y y )为这邻域内的 则称这两点的函数值之差 任意一点， f ( x x, y y ) f ( x, y ) 为函数在点 P 对应于自变量增量x , y 的全增 量，记为z ， 即 z = f ( x x, y y) f ( x, y).
0
x 0 y 0
lim f ( x x , y y ) = lim[ f ( x , y ) z ]
0
= f ( x, y)
故函数 z = f ( x , y ) 在点( x , y ) 处连续.
二、偏导数
在研究一元函数时，从研究函数的变化率 引入了导数的概念，对于多元函数同样需要讨论
解
记作
z f , , zx , fx . x x 同理可以定义函数z = f ( x , y )对自变量 y 的偏导
数， 记作
z f , , zy , f y. y y
从偏导数的可以看出，计算多元函数的偏导数
并不需要新的方法，如计算 f ( x, y ) 对 x 的偏导
数时， 因为已将 y 视为常数， 故若令
它的变化率。由于多元函数不止一个自变量，因此 首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率，
就是我们下面的偏导数概念。
1. 偏导数的定义
定义 设函数 z = f ( x, y )在点( x0 , y0 ) 的某一邻 域内有定义，当 y 固定在 y0 而 x在 x0处有增量 相应地函数有增量 x 时，
( x ) = f ( x, y )
则
f x ( x, y) = ( x )
所以，f ( x, y ) 对 x 的偏导就是 ( x ) 的导数。
于是，一元函数的求导公式和求导法则都可以 移植到多元函数的偏导数的计算上来。
有关偏导数的几点说明：
f （１） 偏导数 是一个整体记号，不能拆分; x
全微分。
定义 如果函数z = f ( x , y )在点( x , y ) 的全增量 z = f ( x x , y y ) f ( x , y )可以表示为 z = A x B y o( ) ,
其中 A, B不依赖于x , y 而仅与 x , y 有关， 在点( x , y ) 可微分，Ax By 称为函数 z = f ( x , y ) 在点( x , y ) 的全微分，记为 dz， 即
引例：设矩形的长、宽分别用 x, y 表示，则矩形的 面积 S 为
S = xy
则该矩形面积
若测量 x, y 时产生的误差为 x , y, 产生的误差为
S = ( x x )( y y) xy = yx xy xy 上式右端包含两部分， 一部分是 yx x y,它是
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ),
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) lim (1) x 0 x 存在，则称此极限为函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处对 x x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 ) = lim . x 0 x
关于 x, y 的线性函数; 另一部分是 x y, 当
( x, y) (0,0), 即 = ( x ) ( y) 0 时,
2 2
x y 是比 高阶的无穷小， 因此略去高阶无穷小，
而用 yx xy 近似表示 S , 则其差
S ( yx xy) = xy 是一个比 高阶的无穷 小，称 yx xy 为函数 S = xy 在 ( x , y) 处的
= ( x )2 ( y )2 ， 则称函数 z = f ( x , y )
dz = Ax By .
若函数在某区域 D 内各点处处可微分， 则称这函数在 D 内可微分.
如果函数z = f ( x , y )在点( x , y ) 可微分, 则 函数在该点连续。
事实上 z = Ax By o( ), lim z = 0,
f , x = x0 x y= y
0
x = x0 y = y0
, zx
x = x0 y = y0
或 f x ( x0 , y0 ).
同理可定义:函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处对 y 的偏导数为
f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ) lim (2) y 0 y z f 记为 , , z y x = x0 或 f y ( x0 , y0 ). y = y0 y x = x0 y x = x0
一、全微分的定义
由一元函数微分学中增量与微分的关系得
f ( x x , y ) f ( x , y ) f x ( x, y )x
f ( x , y y ) f ( x , y ) f y ( x , y ) y
二元函数 对 x 和对 y 的偏增量
二元函数 对 x 和对 y 的偏微分
y = y0 y = y0
如，设 z = f ( x, y ) = | xy |, 求 f x (0,0), f y (0,0).
（ 0＋ x ,0) f (0,0) f x (0,0) = lim x 0 x | x 0| 0 = lim =0 x 0 x f y (0,0) = 0. 如果函数 z = f ( x, y ) 在区域D 内任一点 ( x , y ) 处对 x 的偏导数都存在， 那么这个偏导数 就是 x 、 y 的函数， 它就称为函数 z = f ( x , y )对 自变量 x 的偏导数，