第二型曲线积分论文

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数学专业毕业论文-第二型曲线积分与曲面积分的计算方法

师范大学本科毕业论文题目：第二型曲线积分与曲面积分的计算方法专业：数学与应用数学系班：数学与信息科学系2006级数本2班毕业年份：姓名：学号：指导教师：职称：教授目录本科毕业论文任务书 (1)本科毕业论文开题报告 (3)本科毕业论文登记表 (5)毕业论文论文正文文稿 (7)本科毕业论文答辩记录 (15)西北师范大学本科毕业论文（设计）任务书注：1. 任务书由指导教师填写、经教研室主任及系主管教学副主任审批后，在第七学期末之前下达给学生..2. 文献查阅指引，应是对查阅内容和查阅方法的指引，即查阅什么和怎样查阅.渭南师范学院本科毕业论文（设计）开题报告注：开题报告是在导师的指导下，由学生填写。

李第二型曲线积分与曲面积分的计算方法李明松（渭南师范学院数学与信息科学系2006级数本2班）摘要：本文主要利用化为参数的定积分法，格林公式，积分与路径无关的方法解答第二型曲线积分的题目；以及利用曲面积分的联系，分面投影法，合一投影法，高斯公式解答第二型曲面积分的题目.关键词：曲面积分；曲线积分1 引言第二型曲线积分与曲面积分是数学分析中的重要知识章节，是整本教材的重点和难点.掌握其基本的计算方法具有很大的难度，给不少学习者带来了困难.本文通过针对近年来考研试题中常见的第二型曲线积分与曲面积分的计算题目进行了认真分析，并结合具体实例以及教材总结出其特点，得出具体的计算方法.对广大学生学习第二型曲线积分与第二型曲面积分具有重要的指导意义.2 第二型曲线积分例1 求()()()sin cos x x I e y b x y dx e y ax dy =-++-⎰，其中a ，b 为正的常数，L 为从点A （2a ，0）沿曲线o （0，0）的弧.方法一：利用格林公式法L D Q P Pdx Qdy dxdy x y ⎛⎫∂∂+=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰，P(x ，y)，Q （x ，y ）以及它们的一阶偏导数在D 上连续，L 是域D 的边界曲线，L 是按正向取定的.解：添加从点o （0，0）沿y=0到点A （2a,0）的有向直线段1L ,()()()()()()11sin cos sin cos xxLL xxL I e y b x y dx e y ax dye y b x y dx e y ax dy=-++---++-⎰⎰记为12I I I =- ，则由格林公式得：()1cos cos x xD DQ P I dxdy e y a e y b dxdy x y ⎛⎫∂∂⎡⎤=-=---- ⎪⎣⎦∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰()()22Db a dxdy a b a π=-=-⎰⎰其中D 为1L L 所围成的半圆域，直接计算2I ,因为在1L 时，0y =，所以dy =0因而：()222I bx dx a b =-=-⎰ ，从而()22231222222I I I a b a a b a b a πππ⎛⎫=-=-+=+- ⎪⎝⎭方法二：应用积分与路径无关化为参数的定积分法求解（1）若 P Q y x∂∂=∂∂（与路径无关的条件），则 ()()()()1111000,01,,,A x y x y B x y x y Pdx Qdy P x y dx Q x y dy +=+⎰⎰⎰（2） ()(),x t y t φϕ==()()()()()()()()'',,AB Pdx Qdy P t t t Q t t t dt βαφϕφφϕϕ⎡⎤+=+⎣⎦⎰⎰ α是起点 β是终点解： ()()()sin cos x x LI e y b x y dx e y ax dy =-++-⎰()sin cos x x LLe ydx e ydy b x y dx axdy =+-++⎰⎰记为12I I I =- ,对于1I ，积分与路径无关，所以()()0,02,0sin cos sin 0xx x a eydx e ydy e y+==⎰对于2I ，取L 的参数方程sin sin x a a ty a t=+⎧⎨=⎩，t 从0到π，得()()22223230223sin sin cos sincos cos 11222Lb x y dx axdy a b t a b t t a b t a t a t dt a b a a πππ++=---++=--+⎰⎰从而 23222I a b a ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭对于空间第二曲线一般的解题过程为：LPdx Qdy Rdz ++⎰若L 闭合，P,Q,R 对各元偏导数连续Ldydz dzdx dxdyPdx Qdy Rdz x y z P Q R∑∂∂∂++=∂∂∂⎰⎰⎰若L 非闭，其参数方程为()()()()()()()()()()()()()()(),,',,',,'P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t dtβα⎡⎤++⎣⎦⎰其中： ()()()x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩α，β分别为L 的起点，终点参数值.例2 计算空间曲线积分I=()()()y z dx z x dy x y dz -+-+-⎰，其中曲线L为圆柱面222x y a +=与平面1x za h+=的交线()0,0a h >>，从X 轴正向看，曲线是逆时针方向.方法一：化为参数的定积分计算，对于这种封闭的曲线要充分利用[]0,2π上三角函数的正交性.解：令 cos ,sin x a t y a t ==，则()cos 111cos x a t z h h h t a a ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是I=()()()(){}()sin 1cos sin 1cos cos cos cos sin sin 2a t h t a t h t a t a t a t a t h t dt a a h π--⋅-+--⋅+-⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-+⎰方法二：解：2dydzdzdx dxdyI dydz dzdx dxdy x y z y zz xx y∑∑∂∂∂==-++∂∂∂---⎰⎰⎰⎰ {}()21,1,1,0,1212xyD D h h dxdy dxdy a h a a a π⎧⎫⎛⎫=-⋅=-+=-+⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰3 第二型曲面积分例 3 计算曲面积分()2z x dydz zdxdy +-∑⎰⎰，其中∑为旋转抛物面()2212z x y =+ 介于平面z=0及z=1之间的部分的下侧.方法一：利用两类曲面积分的联系()cos cos cos Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R ds αβγ++=++⎰⎰⎰⎰ ()1其中cos ,cos ,cos αβγ是有向曲面∑上点（x ，y ，z ）处的法向量的方向余弦. 解： {},,1n x y =-，{}cos ,cos ,cos n αβγ=⎧⎫= ()()22z x dydz zdxdy z x z ds ∑∑⎡⎤+-=+-⎢⎢⎣⎰⎰⎰⎰222∑∑==()2221Dx x y ++=()22212D x x y dxdy ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰22220cos 82r d rdr πθθπ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰方法二：分面投影法如果∑由(),z z x y =给出，则()(),,,,,xyD R x y z dxdy R x y z x y dxdy =±⎡⎤⎣⎦∑⎰⎰⎰⎰ ()2如果∑由(),x x y z =给出，则()(),,,,,yzD P x y z dydz P x y z y z dydz =±⎡⎤⎣⎦∑⎰⎰⎰⎰ ()3 如果∑由(),y y z x =给出，则()(),.,,,zxD Q x y z dzdx Q x y z x z dzdx =±⎡⎤⎣⎦∑⎰⎰⎰⎰ ()4 等式右端的符号这样规定：如果积分曲面∑是由方程()()()(),,,,x x z y y y x z z z x y ===所给出的曲面上（前，右）侧，应取“+”，否则取“-”. 解：()()22z x dydz zdxdy z x dydz zdxdy ∑∑∑+-=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()222z x dydz z x dydz z x dydz∑∑∑=+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰后前((22yzyzD D z dydz z dydz =--⎰⎰⎰⎰20244yzD dy π===⎰()2212xyD zdxdy x y dxdy ∑=-+⎰⎰⎰⎰22300142d r dr πθπ=-=-⎰⎰所以()28z x dydz zdxdy π∑+-=⎰⎰方法三：合一投影法前面我们看到，按分面投影发计算曲面积分时，对不同类型的积分项必须将曲面用不同的方程表示，然后转化为不同坐标面上的二重积分，这种方式形式上虽然简单但计算比较繁琐.事实上，如果∑的方程(),z z x y =， (),xy x y D ∈，（xy D 是∑在xoy 面上的投影区域），函数,,P Q R 在∑上连续时，则单位法向量为 n e ={}cos ,cos ,cos αβγZ ⎧⎫-=± 由于投影元素 cos dydz ds α=， cos dzdx ds β=，cos dxdy ds γ=，于是得到cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos x y dydz ds ds dxdy Z dxdy dzdx ds ds dxdy Z dxdyαααγγγβββγγγ====-====-所以()()()()()()()(){}()(),,,,,,,,,,,,,,,,,xyxyx y D x y D P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdyP x y z x y Z x y Q x y z x y Z x y R x y z x y dxdy P Z Q Z R dxdy∑++⎡⎤=±⋅-+-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤=±⋅-+⋅-+⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 等式右端的符号这样确定：如果∑是由方程所给出的曲面上侧，取“+”，否则取“-”. 当∑可用显示方程(),y y z x =或(),x x y z =表示时，只需注意到此时∑的法向量为{},1,x x y y y ---或{}1,,y z x x --，可得相应公式. 上述方法将上式中的三种类型积分转化为同一坐标面上的二重积分，故名为合一投影法.解：()2212z x y =+，∑在xoy 面上的投影区域：xy D =(){}22,4x y x y +≤，又∑的下侧，x z x =，故由上式可得：()()()()()2222222222222200114212cos 82xy xy D D z x dydz zdxdy x y x x x y dxdyx x y dxdyr d r rdr πθθπ∑⎧⎫⎡⎤+-=-++--+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法四：高斯公式,,P Q R Pdydz Qdzdx Rdxdy dv x y z ∑Ω⎛⎫∂∂∂++= ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰解：曲面不是封闭曲面，不能直接利用高斯公式，应补面12z =∑的上侧，则用高斯公式()1200zx dydz zdxdy dv Ω++-==∑∑⎰⎰⎰⎰⎰所以 ()()122z x dydz zdxdy z x dydz zdxdy +-=-+-∑∑⎰⎰⎰⎰又()112028xyD zx dydz zdxdy zdxdy dxdy π+-=--=-∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以 ()28z x dydz zdxdy π∑+-=⎰⎰4 小结从以上对试题的分析，发现不同年份的命题，多次考到相同的知识点，并且吻合于通用教材教学中的难点重点，虽然考试题目千变万化，但教材的内容相对稳定，因此只有吃透教材，抓住重点难点，克服盲点复习，达到以静制动.过本文的分析，希望对大家有一定的指导作用. （指导教师：吕国亮）参考文献[1] 华东师大数学系. 数学分析(下)[M]，第三版. 高等教育出版社，2001，224-231. [2] 刘玉琏，傅沛仁等.数学分析讲义(下)[M]，第四版. 高等教育出版社，2003， 375-388. [3] 林源渠，方企勤. 数学分析解题指南[M]. 北京大学出版社，2001，338-362. [4] 陈文灯. 数学复习指南[M]. 世界图书出版社，2000，276-287.[5] 田勇.硕士研究生入学考试历年真题解析[M]. 机械工业出版社，2002，175-188. [6] 华中科技大学数学系.考研特别快车—数学[M].华中科技大学出版社，2001. 204-212. [7] 孙一生. 第二型曲线与曲面积分计算的基本方法与技巧[J].《哈尔滨师范大学自然科学学报》，1989，5（2）：106-112.[8] 陈少元. 第二型曲线积分计算方法与技巧[J]. 科技信息（学术版），2007(1):12-15.The Second Type Cruve Total And Song Computing Technology That Area Divide IntoLI Ming-song(Class 2 Grade 2006, Department of Mathematic and Information Science, Weinan Teachers University)Abstract ：This text is it turn to make total mark law parameter to utilize mainly,Green formula,total mark answer the second type cure exercise question of integration with method that route have nothing to do;Unilize song connection that area assign,divide into the surface projection law,unify the projection law,gausses of formmula answer the second type song topic that area divide.Key words：The area of the song is divided；The total mark of curve。

曲线积分和曲面积分论文 (2)

曲线积分和曲面积分论文引言曲线积分和曲面积分是微积分中重要的概念，具有广泛的应用领域。

本论文旨在介绍曲线积分和曲面积分的概念和计算方法，并讨论在实际应用中的一些应用情况。

曲线积分在微积分中，曲线积分用于计算沿一条曲线的函数的积分。

曲线积分有两种类型：第一类是沿曲线的弧长对函数进行积分，称为第一类曲线积分，第二类是对曲线上的函数在曲线元素上积分，称为第二类曲线积分。

第一类曲线积分第一类曲线积分表示为：$$ \\int_C f(x, y) ds $$其中，f(f,f)是曲线上的函数，ff表示沿曲线元素的弧长。

计算第一类曲线积分的方法通常包括参数化曲线和坐标变换两种。

例如，计算函数f(f,f)=f2+f2在曲线 $C: x = \\cos(t), y = \\sin(t), 0 \\leq t \\leq 2\\pi$ 上的第一类曲线积分。

首先，通过参数化得到曲线的弧长元素：$$ ds = \\sqrt{\\left(\\frac{dx}{dt}\\right)^2 +\\left(\\frac{dy}{dt}\\right)^2} dt $$代入曲线方程得到：$$ ds = \\sqrt{\\left(-\\sin(t)\\right)^2 +\\left(\\cos(t)\\right)^2} dt = dt $$然后，将函数和弧长元素代入积分得到：$$ \\int_C f(x, y) ds = \\int_0^{2\\pi} (1) dt = 2\\pi $$第二类曲线积分第二类曲线积分表示为：$$ \\int_C \\mathbf{F} \\cdot d\\mathbf{r} $$其中，$\\mathbf{F}$ 是曲线上的向量函数，$d\\mathbf{r}$ 表示曲线元素。

计算第二类曲线积分的方法通常包括参数化曲线和曲线方程两种。

例如，计算向量函数 $\\mathbf{F}(x, y) = (x, y)$ 沿曲线 $C: x = \\cos(t), y = \\sin(t), 0 \\leq t \\leq 2\\pi$ 的第二类曲线积分。

曲线积分和曲面积分论文

曲线积分和曲面积分论文引言曲线积分和曲面积分是微积分中重要的概念，用于计算曲线上和曲面上的物理量。

在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

本文将介绍曲线积分和曲面积分的定义、性质和计算方法，并通过简单的例子加深理解。

曲线积分定义曲线积分是指沿曲线上的函数的积分。

设曲线C为向量函数r(t)在区间[a, b]上的路径，则曲线积分的定义为：∫C f·dr = ∫[a,b] f(r(t))·r'(t)dt其中，f为定义在C上的向量函数，r(t)为描述曲线C的向量函数，r’(t)为r(t)的导数。

性质•曲线积分的值与参数化无关，即参数化不同，但曲线积分的值相同。

•曲线积分满足线性性质，即∫(af + bg)·dr = a∫f·dr + b∫g·dr，其中a和b为常数。

•曲线积分可以通过路径分割来计算，即把曲线C分割成若干小段，然后对每一小段进行积分求和。

•曲线积分可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分。

计算方法计算曲线积分的方法有两种：参数化法和曲线长度法。

参数化法参数化法通过选择合适的参数化方程来计算曲线积分。

具体步骤如下： 1. 选择合适的参数化方程r(t)。

常见的参数化方程有极坐标参数化、直角坐标参数化等。

2. 计算r(t)的导数r’(t)。

3. 将函数f(r(t))·r’(t)dt代入曲线积分的定义中，计算定积分。

曲线长度法曲线长度法通过计算曲线的长度和曲线上函数的积分来计算曲线积分。

具体步骤如下： 1. 计算曲线C的长度L。

2. 将函数f(r)·T(s)ds代入曲线积分的定义中，其中s为曲线长度参数，T(s)为曲线的切向量。

3. 对s的范围进行积分，即∫[0,L] f(r)·T(s)ds。

例子计算曲线积分∫C (2x+3y)·dr，其中C为圆x^2 + y^2 = 1。

选择圆的参数化方程为：x = cos(t)y = sin(t)计算r’(t)得到：r'(t) = (-sin(t), cos(t))将函数f(r(t))·r’(t)dt代入曲线积分的定义，得到：∫C (2x+3y)·dr = ∫[0,2π] (2cos(t)+3sin(t))·(-si n(t), cos(t))dt= ∫[0,2π] (-2sin(t)cos(t)-3sin(t)sin (t))dt= ∫[0,2π] (-2sin(t)cos(t)-3/2sin(2t)) dt= -π因此，曲线积分∫C (2x+3y)·dr的值为-π。

二元函数的积分中值定理的探究

目录摘要 (I)关键词 (I)Abstract (II)Key words (II)前言 (1)1预备知识 (1)1.1相关定理 (1)2 多元函数积分中值定理的各种形式 (2)2.1 曲线积分中值定理的推广 (2)2.1.1第一型曲线积分中值定理 (2)2.1.2第二型曲线积分中值定理 (4)2.2二重积分中值定理的探究及推广 (5)2.3曲面积分中值定理的探究及推广 (7)2.3.1第一型曲面积分中值定理 (7)2.3.2第二型曲面积分中值定理 (7)结论 (9)参考文献 (10)致谢 (11)摘要：积分中值定理是数学分析的重要定理，我们主要讨论了二元函数的曲线、重积分、曲面的各种形式中值定理，而且还给出了这些定理的证明过程，最后总结出各类积分中值定理的形式.关键词：积分中值定理；第二中值定理；曲线积分中值定理；二重积分中值定理；曲面积分中值定理Study on mean-value theorems for Riemann-Stieltjes integrals offunctions of two variablesAbstract: Mean-value theorems for integrals are one of theorems in mathematical analysis. In this paper mean-value theorem for Riemann-Stieltjes integrals of functions of two variables are discussed. We obtain all kinds of mean-value theorems for integrals which include curvilinear, multiple and surface integrals. Finally, the proofs of mean-value theorems are given.Key word s: mean-value theorem integral; second mean-value theorems; curvilinear integral; multiple integrals; surface integrals二元函数的积分中值定理的探究前言积分中值定理是微积分中的一个重要定理，主要包含一元函数及多元函数的积分中值定理，它在数学分析中占有很重要的地位.但是许多文献，对于多元函数的曲线积分、曲面积分、重积分的中值定理的探究相对较少或相对浅略.基于这个理由，我们将借鉴一元函数的第一、第二积分中值定理的研究方法及思想，在文献[1-6]的基础上，主要讨论二元函数的积分中值定理在曲线、曲面、重积分情形上是否成立，通过研究该课题，进一步完善积分中值定理的相关理论.1预备知识1.1相关定理定理1[5]假设M 和m 分别为函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值和最小值，且()f x 在区间[,]a b 上可积，则有()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰ ()a b <成立. 定理2[5](一元函数的介值性定理 ) 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续.并且函数()f a 与()f b 函数不相等.如果μ是介于()f a 和()f b 之间的任何实数()()f a f b μ<<或()()f a f b μ>>，则至少存在一点0x ，使得0()f x μ=成立，其中0(,)x a b ∈. 定理3[5](二元函数的介值性定理)设函数f 在区域2D R ⊂上连续，若12,P P 为D 中任意两点，且12()()f P f P <，则对任何满足不等式12()()f P f P μ<<的实数μ，必存在点0p D ∈，使得0()f P μ=.定理4]3[（定积分中值定理）如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则在区间[,]a b 上至少存在一个点ξ，使下式()()()baf x dx f b a ξ=-⎰()a b ξ≤≤成立.定理5]3[（推广的第一积分中值定理）如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，()g x 在(,)a b 上不变号，并且()g x 在[,]a b 上是可积的，则在[,]a b 上至少存在一点ξ，使得()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰ ()a b ξ≤≤成立. 定理6]3[（积分第二中值定理）如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积，而()g x 在区间(,)a b 上单调，则在[,]a b 上至少存在一点ξ，使下式成立()()()()()()bbaaf xg x dx g a f x dx g b f x dx ξξ=+⎰⎰⎰定义1[6]设平面光滑曲线L :(),(),[,]x x t y y t t αβ==∈，两端点为((),())A x y αα和((),())B x y ββ.若()x t 在[,]αβ上不变号，称曲线L 关于坐标x 是无反向的. 若()y t 在[,]αβ上不变号，称曲线L 关于坐标y 是无反向的.2 多元函数积分中值定理的各种形式受文献[1],文献[2]的启发，本文主要对曲线积分的三种形式，二重积分及曲面积分的三种形式的中值定理进行探讨.2.1 曲线积分中值定理的推广首先对曲线积分中值定理进行探讨，在本文中只讨论曲线C :(),(),[,]x x t y y t t αβ==∈为参数方程的情形，而对于曲线C 为直角坐标形式及其它形式的积分中值定理类似地可得到. 2.1.1（第一型曲线积分中值定理）定理7 如果函数(,)f x y 在光滑有界曲线C :(),(),[,]x x t y y t t αβ==∈上连续，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη.使(,)(,)Cf x y ds f S ξη=⎰成立，其中Cds ⎰为曲线C 的弧长，并且Cds S =⎰.证明因为函数(,)f x y 在光滑有界闭曲线C 上连续，所以22(,)((),())()()Cf x y ds f x t y t x t y t dt βα''=+⎰⎰记 22()((),()),()()()F t f x t y t G t x t y t ''==+由已知条件知()F t 在[,]αβ上连续，()G t 在[,]αβ上连续且非负，则根据推广的第一积分中值定理，0[,]t αβ∃∈，00(,)((),())x t y t ξη=使2222(,)((),())()()(,)()()(,)Cf x y ds f x t y t x t y t dt f x t y t dt f S ββααξηξη''''=+=+=⎰⎰⎰成立.即(,)(,)Cf x y ds f S ξη=⎰从而命题得证.在数学分析等文献中仅仅阐述了定理7，而对两个函数乘积的曲线积分中值定理未提到，下面我们将对其探究证明,并进行推广.定理8]1[如果函数(,),(,)f x y g x y 在光滑有界曲线C (),(),[,]x x t y y t t αβ==∈上连续，(,)g x y 在C 上不变号，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使(,)(,)(,)(,)CCf x yg x y ds f g x y ds ξη=⎰⎰成立.证明由于22(,)(,)((),())((),())()()Cf x yg x y ds f x t y t g x t y t x t y t dt βα''=+⎰⎰，由条件知,(,)g x y 在C 上不变号，则22((),())()()g x t y t x t y t ''+在[,]αβ上不变号，(,),(,)f x y g x y 又在C 上连续，由此可知22((),())((),())()()f x t y t g x t y t x t y t ''+在[,]αβ上也连续. 由定理7可知0[,]t αβ∃∈，使得00(,)((),())x t y t ξη=,有以下式子222200((),())((),())()()((),())((),())()()f x t y t g x t y t x t y t dt f x t y t g x t y t x t y t dt ββαα''''+=+⎰⎰成立. 即(,)(,)(,)(,)CCf x yg x y ds f g x y ds ξη=⎰⎰从而命题得证.定理9如果函数(,),(,)f x y g x y 在光滑有界闭曲线(,)C A B :(),()x x t y y t ==,[,]t αβ∈上连续可积，(,)g x y 在C 上不变号,其中min (,)m f x y =,max (,)M f x y =，其中(,)x y C ∈.则在曲线(,)C A B 上至少存在一点O ,把曲线(,)C A B 分为曲线1(,)C A O 和曲线2(,)C O B ,使得12(,)(,)(,)(,)(,)(,)CC A O C O B f x y g x y ds m g x y ds M g x y ds =+⎰⎰⎰成立.证明由定理8知(,)(,)(,)(,)CCf x yg x y ds f g x y ds ξη=⎰⎰，记(,)f k ξη=，则有m k M <<.记12(,)(,)(,)(,)(,)C A O C O B CQ k g x y ds m g x y ds M g x y ds =--⎰⎰⎰Q 是关于点(,)O x y 的函数. (1)当(,)0Cg x y ds =⎰时，显然成立.（2）当(,)0Cg x y ds >⎰,当1C C =时，则有1(,)(,)(,)()(,)C A O CCQ k g x y ds m g x y ds k m g x y ds =-=-⎰⎰⎰；由于0k m ->，，于是有1(,)(,)(,)()(,)0C A O CCQ k g x y ds m g x y ds k m g x y ds =-=->⎰⎰⎰即12(,)(,)(,)(,)(,)0C A O C O B CQ k g x y ds m g x y ds M g x y ds =-->⎰⎰⎰.当2C C =时，则有1(,)(,)(,)()(,)C A O CCQ k g x y ds M g x y ds k M g x y ds =-=-⎰⎰⎰；由于0k M -<，(,)0Cg x y ds >⎰，于是有1(,)(,)(,)()(,)0C A O CCQ k g x y ds M g x y ds k M g x y ds =-=-<⎰⎰⎰,即12(,)(,)(,)(,)(,)0C A O C O B CQ k g x y ds m g x y ds M g x y ds =--<⎰⎰⎰.（3）当(,)0Cg x y ds <⎰,类似可讨论.综上由零点存在定理，则至少有一点O C ∈，使得0Q =,即12(,)(,)(,)(,)(,)0C A O C O B CQ k g x y ds m g x y ds M g x y ds =--=⎰⎰⎰即12(,)(,)(,)(,)(,)(,)CC A O C O B f x y g x y ds m g x y ds M g x y ds =+⎰⎰⎰从而命题得证.以上给出了二元函数的第一型曲线积分中值定理的三种形式及证明，而我们仅仅讨论了曲线C 形如(),(),[,]x x t y y t t αβ==∈的情形，对于直角坐标的情形，是否也能得到类似的三个定理，类似可讨论.2.1.2（第二型曲线积分中值定理）第二型曲线积分中值定理定理是否成立，接下来我们对其进行探讨. 如果成立，则有如下命题.函数(,)f x y 在光滑有向曲线C 上连续，其中I 为光滑有向曲线C 在x 轴正向上的投影，其中符号“±”是由曲线C 的方向确定的，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使得(,)(,)Cf x y dx f I ξη=±⎰(1)成立.但有如下例子，设(,)f x y y =,曲线C 为圆，方程为222x y y +=.如图1图1 由积分的对称性知0C I dx -==⎰,可得(,)0f I ξη±=，而0Cy d x π=-≠⎰,故不可能存在点(,)C ξη∈使（1）成立.于是第二型曲线积分中值定理在此不成立.由此可见第二型曲线积分中值定理一般不成立，下面我们探讨特殊形式的第二型曲线积分中值定理. 定理10]1[设(,)P x y ，(,)Q x y 在定向光滑曲线L 上连续，曲线L 上任意一点(,)x y 处与L 方向一致的切线方向与x 轴余弦为cos α，且(,)Q x y 在曲线L 上不变号，则在L 至少存在一点(,)ξη，O X Y 1使得(,)(,)(,)(,)LLP x y Q x y dx P Q x y dx ξη=⎰⎰证明因为(,)(,)(,)(,)cos LLP x y Q x y dx P x y Q x y ds α=⎰⎰且(,)P x y ，(,)Q x y 在L 上连续，(,)cos Q x y α在曲线L 上不变号，由于曲线L 光滑，从而cos α在线L 上连续，由定理8知，存在(,)L ξη∈,使得(,)(,)cos (,)(,)cos (,)(,)LLLP x y Q x y ds P Q x y ds P Q x y dx αξηαξη==⎰⎰⎰即(,)(,)(,)(,)LLP x y Q x y dx P Q x y dx ξη=⎰⎰从而命题得证. 定理11[6]设曲线L 关于坐标x 是无反向的，(,)f x y ，(,)g x y 为定义在L 上的二元函数，满足(,)f x y ，(,)g x y 沿曲线L 从A 到B 关于坐标x 第二型可积，(,)f x y 在L 上是可介值的，(,)g x y 在L 上不变号.则至少存在一点(,)P L ξη∈,,P A B ≠,使得(,)(,)(,)(,)LLf x yg x y dx f g x y dx ξη=⎰⎰成立.证明过程参考文献[6].推论1设曲线L 关于坐标x 是无反向的，(,)f x y 为定义在L 上的二元函数， (,)f x y 在L 上是可介值的.则至少存在一点(,)P L ξη∈,,P A B ≠,使得(,)(,)LLf x y dx f dx ξη=⎰⎰成立.即(,)(,)Cf x y dx f I ξη=±⎰I 为光滑有向曲线C 在x 轴正向上的投影.类似的，可以推广到对坐标y 的曲线积分以及空间曲线积分上的情形.2.2二重积分中值定理的探究及推广下面给出二重积分中值定理的三种形式.定理12假设函数(,)f x y 在有界是D 的面积，则在D 上至少存在一点(,)ξη使得(,)(,)DDf x y ds f ds ξη=⎰⎰⎰⎰成立.证明由于函数(,)f x y 在闭区域D 上连续，假设(,)f x y 在闭区域D 上的最大值和最小值分别为,M m ，即(,)m f x y M ≤≤.对不等式在区域D 上进行二重积分可得,(,)DDDmds f x y ds Mds ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰即(,)DDDm ds f x y ds M ds ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中Dds ⎰⎰为闭区域D 的面积，我们不妨记Dds σ=⎰⎰.有 (,)Dm f x y ds M σσ≤≤⎰⎰由于0σ≠，将不等式除以σ可得1(,)Dm f x y ds M σ≤≤⎰⎰ 由于函数(,)f x y 在闭区域D 上连续，由二元函数的介值性定理知，则在D 上至少存在一点(,)ξη使得1(,)(,)Df x y ds f ξησ=⎰⎰ 成立.将上式两边同乘以σ即可得到(,)(,)DDf x y ds f ds ξη=⎰⎰⎰⎰从而命题得证.定理13假设函数(,)f x y 在闭区域D 上连续，(,)g x y 在D 上可积且不变号，其中σ是D 的面积，则在D 上至少存在一点(,)ξη使得(,)(,)(,)(,)DDf x yg x y ds f g x y d ξησ=⎰⎰⎰⎰成立.证明不妨设(,)0((,))g x y x y D ≥∈由于函数(,)f x y 在闭区域D 上连续，(,)f x y 在闭区域D 上的最大值和最小值分别为,M m ，即(,)m f x y M ≤≤,从而(,)(,)(,)(,)DDDm g x y dxdy f x y g x y dxdy M g x y dxdy ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰若 (,)0Dg x y dxdy =⎰⎰则(,)(,)0Df x yg x y dxdy =⎰⎰成立.即对任意(,)D ξη∈,等式成立；若(,)0Dg x y dxdy >⎰⎰(,)(,)(,)DDf x yg x y dxdym M g x y dxdy≤≤⎰⎰⎰⎰由二元函数的介值性定理，存在(,)D ξη∈. 使得(,)(,)(,)(,)DDf x yg x y dxdyf g x y dxdyξη=⎰⎰⎰⎰即(,)(,)(,)(,)DDf x yg x y ds f g x y d ξησ=⎰⎰⎰⎰从而命题得证.定理14假设函数(,)f x y 在闭区域D 上连续，(,)g x y 在D 上可积且不变号，其中σ是D 的面积，存在两个区域满足12D D D ⋃=,12D D ⋂=∅，(,)f x y 在1D ，2D 上都可积，记min (,)m f x y =，max (,)M f x y =,其中(,x y D ∈）.则有12(,)(,)(,)(,)DD D f x y g x y ds m g x y d M g x y d σσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰成立.证明参照定理9的方法及思想即可以得到.2.3曲面积分中值定理的探究及推广下面分别给出第一型曲面积分与第二型曲面积分中值定理的几种形式. 2.3.1（第一型曲面积分中值定理）定理15设D 为xoy 平面上的有界闭区域，其中(,)z z x y =为光滑曲面S ，并且函数(,,)f x y z ,(,,)g x y z 在S 上连续，(,,)g x y z 在S 上不变号，则在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使(,,)(,,)(,,)(,,)SSf x y zg x y z dS f g x y z ds ξηδ=⎰⎰⎰⎰成立，其中A 是曲面S 的面积.证明因为22(,,)(,,)(,,(,))(,,(,))1x y SDf x y zg x y z dS f x y z x y g x y z x y z z d σ''=++⎰⎰⎰⎰因为(,,)f x y z ，(,,)g x y z 在曲面S 上连续,可得22(,,(,))(,,(,))1x y f x y z x y g x y z x y z z ''++在D 上也连续，由于(,,)g x y z 在S 上不变号，所以22(,,(,))1x y g x y z x y z z ''++在D 上不变号.由二重积分的中值定理(定理13)，可知存在(,)D ξη∈,使得(,)z δξη=，且2222(,,(,))(,,(,))1(,,(,))(,,(,))1x y x y DDf x y z x yg x y z x y z z d f z g x y z x y z z d σξηξησ''''++=++⎰⎰⎰⎰(,,(,)(,,)(,,)(,,)SSf zg x y z ds f g x y z ds ξηξηξηδ==⎰⎰⎰⎰从而命题得证.推论2 设D 为xoy 平面上的有界闭区域，其中(,)z z x y =为光滑曲面S ，并且函数(,,)f x y z ,在S 上连续，在S 上不变号，则在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使(,,)(,,)Sf x y z dS f A ξηδ=⎰⎰成立，其中A 是曲面S 的面积.定理16设D 为xoy 平面上的有界闭区域，其中(,)z z x y =为光滑曲面S ，并且函数(,,)f x y z ,(,,)g x y z 在S 上连续，(,,)g x y z 在S 上不变号，存在两个光滑曲面满足12S S S ⋃=,12S S ⋂=∅,(,,)f x y z 在1S ,2S 上都可积，记m i n (,,m f x y z =，max (,,)M f x y z =.其中(,,)x y z S ∈则有12(,,)(,,)(,,)(,,)SS S f x y z g x y z dS m g x y z ds M g x y z ds =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰成立.证明方法参照定理9.在这里我们证明了第一型曲面积分的积分中值定理的几种类型，并进行了推广探究，得到了相关的定理.2.3.2（第二型曲面积分中值定理）接下来我们对第二型曲面积分的积分中值定理是否成立?以及有几种类型进行探讨. 若成立，则有如下面命题.若有光滑曲面:(,),(,)yz S z x y x y D ∈，其中yz D 是有界闭区域，函数(,,)f x y z 在S 上连续，A 是S 的投影yz D 的面积，由此在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使(,,)(,,)S f x y z dydz f A ξηζ=±⎰（2）成立.但有如下例子，设S 是2221x y z ++=在0z ≥的部分，并取球面外侧为正，把曲面表示为参量方程sin cos x ϕθ=，sin sin y ϕθ=，cos z ϕ= ,02)2πϕθπ≤≤≤≤（0可得 2(,)sin cos (,)yy y z A zz ϕθϕθϕθϕθ∂∂∂∂∂===∂∂∂∂∂ 他们在yz 平面上的投影区域如图2，图2可知222200(,)sin cos sin cos 0(,)S D D y z A dydz d d d d d d ϕθϕθππϕθϕθϕθϕϕθθϕθ-∂=====∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰,从而(,,)0f A ξηζ±=,取3(,,)f x y z x =，则有254542002(,,)sin cos sin cos 05S D f x y z dydz d d d d ϕθππϕθϕθϕϕθθπ===≠⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 故曲面S 上不存在一点(,,)ξηζ，使（2）成立. 于是第二型曲面积分中值定理在此不成立.由此可见第二型曲面积分中值定理一般不成立，下面我们探讨特殊形式的第二型曲面积分中值定理.定理17[1]设(,,)F x y z ，(,,)Q x y z 在定侧光滑曲面S ：(,)z z x y =，(,)x y D ∈上连续，(,,)Q x y z 在S 上不变号，则在S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使得(,,)(,,)(,,)(,,)S SF x y z Q x y z dxdy F Q x y z dxdy ξης=⎰⎰⎰⎰ 证明不妨设曲面S ：(,)z z x y =，(,)x y D ∈取上侧，曲面S 上点(,,(,))x y z x y 处外法向量的方向角为α，β，γ，则221cos 1x y z z γ=''++，(,,)(,,)(,,)(,,)cos S SF x y z Q x y z dxdy F x y z Q x y z dS λ=⎰⎰⎰⎰ 由于(,,)F x y z ，(,,)Q x y z 在定侧光滑曲面S 上连续，(,,)Q x y z 在S 上不变号，曲面S 光滑，从而(,,)cos Q x y z γ在曲面S 上连续不变号，由定理15知，在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使得(,,)(,,)cos (,,)(,,)cos S SF x y z Q x y z dS F Q x y z dS γξηςγ=⎰⎰⎰⎰ 又由于 (,,)(,,)cos (,,)(,,)S S F Q x y z dS F Q x y z dxdy ξηςγξης=⎰⎰⎰⎰即(,,)(,,)(,,)(,,)S SF x y z Q x y z dxdy F Q x y z dxdy ξης=⎰⎰⎰⎰ 从而命题得证. 结论本论文主要介绍了二元函数的曲线、曲面以及重积分的各类积分中值定理.另外，曲线积分中值定理的坐标形式，三元及三元以上函数的积分中值定理在此论文中未进行探究，望大家继续研究这些问题，进一步完善积分中值定理.参考文献[1]杜红霞.曲线积分与曲面积分中值定理[J].赣南师范学院报，2006，6:1-2.[2]冯美强.关于积分中值定理的改进[J].北京机械工业学院学报，2007,22（4）:1-4.[3]皱成.二重积分中值定理的改进[J].石河子大学学报，2006,24（5）：1-4.[4]王旭光.二重积分中值定理的推广[J].徐州师范大学，2007,23（4）：1-6.[5]华东师范大学数学系.数学分析下册[M].高等教育出版社，2001:197-288.[6]唐国吉.第二型曲线积分中值定理[J].广西民族大学，2008,23:1-6.致谢本论文是在我的导师李云霞教授的亲切关怀和悉心指导下完成的，她严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我 .在论文即将完成之际，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意!最后我还要感谢培养我长大含辛茹苦的父母，谢谢你们!。

本科毕业论文

本科毕业论文本科毕业论文范文毕业论文，泛指专科毕业论文、本科毕业论文(学士学位毕业论文)、硕士研究生毕业论文(硕士学位论文)、博士研究生毕业论文(博士学位论文)等，即需要在学业完成前写作并提交的论文，是教学或科研活动的重要组成部分之一。

本科毕业论文范文一：[摘要]曲线与曲面积分一直是数学分析教学中的难点。

本文从学习理论的视角，结合记忆规律，来分析造成学生学习曲线与曲面积分的困难原因，并由此提出一些教学建议，从而促进教学。

[关键词]记忆规律;曲面积分;曲线积分一、引言曲线与曲面积分是多元微积分学中的重要组成部分，也对后续课程，如常微分方程、偏微分方程、微分几何有着重要的应用。

历来是数学分析教学中的重点内容。

但是这部分内容也由于背景复杂，公式抽象、计算量大等原因，一直也是学生学习的难点。

造成这部分内容学习困难的原因有很多，本文主要结合学习理论中的记忆规律进行分析，并给出一些具体的教学建议。

二、记忆与数学记忆记忆是在头脑中积累、保存和提取个体经验的心理过程。

数学记忆是学生学习过的数学知识、技能、经验、思想观念在头脑中的反映，是学生通过数学学习积累知识、技能、经验、思想观念的功能表现。

〔1〕记忆在数学学习中起着重要的作用，如果没有记忆，知识就无法储存在学生的头脑之中，更无法用所学知识来解决问题。

依据记忆形式可以把数学记忆分为：机械记忆、理解记忆、概括记忆。

机械记忆是是指学生只能按照数学事实、数据、定理、概念、法则等所表现的形式进行记忆。

比如很多学生只是在形式上记住了牛顿-莱布尼兹公式，会用这个公式进行计算，但是并不一定理解这个公式所具有的来龙去脉以及几何背景。

理解记忆是指根据学生对数学学习材料的理解，运用有关的知识、经验进行记忆。

其特征之一是能够用自己的语言、事例说明对有关数学事实的含义或关系。

比如学生在学习完施密特正交化法之后，能够结合具体的三维向量，利用几何直观来解释这个定理。

概括记忆是指学生能够在理解的基础上，把所学习的材料进行概括，对其一般模式的概括进行记忆。

数学与应用数学毕业论文-第二类曲线积分的计算

数学与应用数学毕业论文-第二类曲线积分的计算第二类曲线积分的计算作者：指导老师：摘要：本文结合第二类曲线积分的背景和平面和空间图形第二类曲线积分的定义介绍第二类曲线积分的，重点是利用对称性，参数方程，格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。

关键词：第二类曲线积分第一类曲线积分二重积分参数方程对称性原理斯托克斯公式1 引言本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系，重点介绍若干种主要的计算方法。

1.1 第二类曲线积分的概念介绍了第二类曲线积分的物理学背景，平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。

1.2第二类曲线积分的计算方法介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法，利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。

2第二类曲线积分的定义2.1第二类曲线积分的物理学背景力场沿平面曲线从点A到点B所作的功一质点受变力的作用沿平面曲线运动,当质点从之一端点移动到另一端时,求力所做功。

大家知道,如果质点受常力的作用从沿直线运动到,那末这个常力所做功为 . 现在的问题是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢?为此,我们对有向曲线作分割，即在内插入个分点与一起把曲线分成个有向小曲线段 ,记小曲线段的弧长为.则分割的细度为.设力在轴和轴方向上的投影分别为与,那么由于则有向小曲线段在轴和轴方向上的投影分别为.记从而力在小曲线段上所作的功 +其中为小曲线段上任一点,于是力沿所作的功可近似等于当时,右端积分和式的极限就是所求的功.这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分。

2.2 第二型曲线积分的定义设,为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线上的函数,对任一分割,它把分成个小弧段；其中 .记各个小弧段弧长为,分割的细度为,又设的分点的坐标为,并记 , . 在每个小弧段上任取一点,若极限。

存在且与分割与点的取法无关,则称此极限为函数,在有向线段上的第二类曲线积分,记为或也可记作或注： 1 若记 ,则上述记号可写成向量形式。

无穷曲线上的第二类曲线积分

无穷曲线上的第二类曲线积分
黄华
=;!@<A）（重庆文理学院数学与计算机科学系，重庆永川
［摘
要］在有限长曲线段上的第二类曲线积分定义的基础上，对第二类曲线积分做了进一步推广，
给出了曲线长度为无穷长情形的第二类曲线积分定义与相关性质及其收敛性判定法，最后举例对无穷曲线上的第二类曲线积分进行了计算。［关键词］无穷曲线；曲线积分；性质；收敛［中图分类号］ B@CC & ! ［文献标识码］ > ［文章编号］ @;;A D @CAE （!;;<） ;! D ;;;CF;G
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要条件是对于任意给定的 " 4 ) ，总存在 - 4 ) ，对于 ! 上任何两点 * & ， * ! %!，当（，（ # $* & ） # $* ! ）4 - 时，
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第二型曲线积分论文

目录1 引言 (1)2 文献综述 (1)2.1国内外研究现状 (1)2.2国内外研究现状评价 (1)2.3提出问题 (2)3预备知识 (2)3.1第二型曲线积分的定义 (2)3.2第二型曲线积分的性质 (3)4第二型曲线积分的计算 (4)4.1直接计算 (4)4.2利用格林公式计算 (12)4.3利用曲线与路径无关计算 (14)4.4利用奇偶对称性计算 (16)4.5利用数学软件Mathmatic进行计算 (16)5结论 (19)5.1主要观点 (19)5.2启示 (19)5.3局限性 (19)5.4努力方向 (19)参考文献 (20)1 引言第二型曲线积分与第一型曲线积分相比有明显不同的几何意义和物理意义，第一型曲线积分可以看成是定积分的计算，其意义较容易理解，计算也相对简单.而第二型曲线积分又称为对坐标的积分，具有第一型曲线积分不具有的方向性，计算较为复杂，物理意义十分明显，变力分别在x轴，y轴沿曲线做功，这在物理学上有着重要的应用. 对于不同类型的被积函数，对应的计算方法也不同.为了使计算更为简单，本文阐述了第二类曲线积分的计算方法，不仅可以通过参数方程转化为定积分来计算，而且对于平面曲线还可以通过格林公式转化为对二重积分的计算，第二类曲线积分还可以通过对称性分奇偶两种情况简化计算或利用了数学软件Mathmatic进行计算.2 文献综述2.1 国内外研究现状查阅相关文献，众多数学教育者从不同角度和侧面探讨了第二型曲线积分的计算.刘玉琏在文献[1]中论述了第二形曲线积分的概念及其性质；富景龙在文献[2]中概括了第二型曲线积分被积函数的类型；薛嘉庆在文献[3]中讲了被积函数的类型不同有不同的计算方法，并给出了相应的例子；刘国均等在文献[4-5]中探究了第二型曲线积分可以化为定积分来计算，并给出公式及相应的证明；刘莲芬等在文献[6-7]介绍了在第二型曲线积分的计算中将路径的参数方程表示出来；王景克在文献[8-9]简述了做题常用的技巧；陈先开在文献[11-12]研究了曲线积分与路径无关问题与如何判断曲线积分与路径无关；陈文灯，黄先开在文献[13]中介绍了格林公式，并提供了一定的实例，并通过实例总结了计算第二型曲线积分的一般步骤；武艳等在文献[14]给出利用对称性计算第二型曲线积分，使得计算简单；阳明盛及林建华在文献[15]中提出了用数学软件Mathemactica解题的调用格式，使得复杂的计算简单化.2.2国内外现状评价从上面相关的研究中可以看出，许多对第二型曲线积分计算的研究者从不同的方面进行了相应的研究，但都只是从某一个方面进行讨论，大部分文献都没有结合数学软件Mathmatic进行空间画图及计算.2.3提出问题对于第二型曲线积分的计算方法有多种，那么它的计算方法具体有哪些呢？本文在参考相关文献的基础上对这一问题进行了综述，把数学软件Mathmatic 也应用在其中，并例举了一些具有针对性、典范性的例题.3预备知识为了更好的讲述第二型曲线积分的计算，我们下面来介绍第二型曲线积分的定义及其相关性质.3.1第二型曲线积分的定义设平面上有光滑有向曲线),(B A C 二元函数),(y x f 在曲线C 上有定义.用任意分法T ，将曲线C 依次分成n 个有向小弧：⌒10A A ，⌒21A A ,…，⌒n n A A 1-，其中B A A A n ==,0.设第k 个小弧⌒k k A A 1-的弦−→−-k k A A 1在x 轴与y 轴上投影区间的长分别是k x ∆与k y ∆.在第k 个小弧⌒k k A A 1-上任取一点),(k k k E ηε−→−.作和⋅∑=),(k k n k k F ηξ1k x ∆ ， ⋅∑=),(k k nk k F ηξ1k y ∆ ，（1）分别称为二元函数),(y x f 在曲线),(B A C 关于x 与y 的积分和.令},...,,m ax {)(n s s s T ∆∆∆=21λ。

两曲面交线上第二型曲线积分的计算

两曲面交线上第二型曲线积分的计算
摘要：本文讨论了两曲面交线上第二型曲线积分的计算方法，并举例加以应用.
关键词：曲面，交线，第二型曲线积分，参数方程.
前言
第二型曲线积分的计算是数学分析教材中的重要点，教材中主要讨论在已知曲线的参数方程的情况下如何转化为定积分来计算问题.对于积分
路径是两曲面交线的情况研究得不多.本文将对此进行比较深入的研究，
得到一些有一定参考价值的结果.
1.预备
1.1第二型曲线积分的定义及性质
1.2空间曲线上第二型曲线积分的主要性质[1]
2.1积分路径是曲面和平面的交线
由于曲面与平面的交线容易用参数方程表示，因此，只要写出曲线的参数方程就可用公式（3）计算.
2.2积分路径是曲面和曲面的交线
若积分路径是曲面和曲面的交线，则应设法将曲线的参数方程写出来.
3.小结
由于第二型曲线积分的计算灵活性很大，故在文章中积分路径是两曲面交线的第二型曲线积分的计算技巧没有一一的归纳出，文章只是针对几
个典型的例题进行了分析，所以文章还存在许多的不足的地方，我会在今后的学习和实践中不断的深入研究，并且结合具体的经验，以改善文章中存在的不足之处.
参考文献
[1]華东师范大学数学系.数学分析（下）[M].第四版.北京：高等教育出版社，2022：214-222.
[2]同济大学数学系.高等数学（下册）[M].第六版.北京：高等教育出版社，2022：37，326.。

曲线积分与曲面积分的计算技巧和物理应用文献综述

毕业论文文献综述数学与应用数学曲线积分与曲面积分的计算技巧和物理应用一、前言部分极限和微积分的概念可以追溯到古代.到了十七世纪后半叶,牛顿和莱布尼兹完成了许多数学家都参加过的准备工作,分别独立地建立了微积分学.他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量,理论基础是不牢固的.直到十九世纪,柯西和维斯特拉斯建立了极限理论,康尔托等建立了严格的实数理论,这门学科才得以严密化,微积分是与实际应用联系着发展起来的,它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各分支中,有越来越广泛的应用.特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展.客观世界的一切事物,小至粒子,大至宇宙,始终都在运动和变化着.因此在数学中引入了变量的概念后,就有可能把运动现象用数学来加以描述了.由于函数概念的产生和运用的加深,也由于科学技术发展的需要,一门新的数学分支就继解析几何之后产生了,这就是微积分学.微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的,可以说它是继欧式几何后,全部数学中的最大的一个创造.而曲线积分和曲面积分一直是微积分中的一个难题,是微积分中最难掌握的内容之一,在解决此类应用问题时,难以将其转化为标准的曲线积分或曲面积分算式,这种情况的根本原因是对曲线、曲面积分的物理模型含糊,概念不清.其实,任何一门知识,只有在对它的本质有了透彻的理解,实践中才能运用自如.二、主题部分在文献[1]中,引出了两类曲线积分和两类曲面积分的概念.第一类曲面积分引例:设一曲面S 物质分布密度为(,,)f x y z ,计算物质总质量.把S 分成n 个小块,12.......n S S S 的质量近似为(,,)i i i i f x y z S ∆.第二类曲面积分引例:考虑流体流速为F 穿过空间中曲面S 的流量,即单位时间穿过曲面的质量.为简单起见,设流体密度为单位1,只需计算单位时间内穿过曲面S 的体积.把S 分成n 个小块,12.......n S S S 穿过i S 的体积为i F n S ⋅∆,当小块面积最大趋于零时,总流量为1lim (,,)ni i i ix i S F ndS F x y z S →∞==∆∑⎰⎰.(考虑流体流出曲面的流量时,F 的法向量F n ⋅起作用,切分量对流量没有贡献.第一类曲线积分引例:设曲线形铁丝C 的线密度数量函数(,,)f x y z ,求其质量.把曲线C 分成n 段12,...n s s s ∆∆∆,第i 段的质量近似为(,,)i i i f x y z ,当所有小段的最大长度趋向于零时,总质量为1lim (,,)ni i i i C x i Fds f x y z S →∞==∆∑⎰.由引例给出第一类曲线积分的定义,并把条件补充完整,强调第一类曲线积分是特殊的和式极限.第二类曲线积分引例:设一单位质点在力场F 中沿曲线C 运动,计算F 对质点做的功.用0....n S S 把曲线C 分成n 段,F 在第i 段即从1i s -到i s 上所作的功近似为()i i F s S ∆,i S ∆为i S ∆的向量,当划分越来越细,小段的最大长度趋向于零时,总功为1lim ()ni i C x i Fds F s s →∞==∆∑⎰. 文献[2]中给出了曲线积分和曲面积分的一些性质,了解这些对于熟练掌握曲线积分和曲面积分的计算是有裨益的.1、第一型曲线积分的基本性质（1）若(,)i L f x y ds ⎰存在,i c 为常数,则1(,)k i i L i c f x y ds =∑⎰也存在,且 1(,)k i i L i c f x y ds =∑⎰=1k ii c =∑(,)i L f x y ds ⎰.（2）若曲线段L 由曲线段1.....k L L 首尾相接而成,且(,)i L f x y ds ⎰都存在,则(,)Lf x y ds ⎰ 也存在,且(,)L f x y ds ⎰=1k i i c =∑(,)i L f x y ds ⎰. （3）若(,)L f x y ds ⎰与(,)Lg x y ds ⎰都存在,且在L 上(,)(,)f x y g x y ≤,则 (,)L f x y ds ⎰≤(,)L g x y ds ⎰. （4）若(,)L f x y ds ⎰存在,则(,)L f x y ds ⎰也存在,且(,)(,)L Lf x y ds f x y ds ≤⎰⎰. （5）若(,)L f x y ds ⎰存在,L 的弧长为s ,则存在常数c ,使得(,)Lf x y ds ⎰cs =.这里inf (,)sup (,)L Lf x y c f x y ≤≤.特别地,如果L 是光滑曲线,(,)f x y 在L 上连续,则存在点00(,)x y L ∈,使得积分(,)L f x y ds ⎰00(,)f x y =. 2、第二型曲线积分的基本性质: （1）若AB Pdx Qdy +⎰存在,则BAPdx Qdy =-+⎰. （2）若i i L Pdx Q dy +⎰,i c 为常数,则11()()n ni i L i i P dx Q dy ==+∑∑⎰也存在,且 11()()n n i iL i i P dx Q dy ==+∑∑⎰=1n i =∑ii L Pdx Q dy +⎰. （3）若有向线段L 是由有向线段1.....k L L 首尾相接而成,,且i L Pdx Qdy +⎰存在,则L Pdx Qdy +⎰也存在,且L Pdx Qdy +⎰=1n i =∑i L Pdx Qdy +⎰.在理解了两类曲线积分和两类曲面积分的概念和性质后,接着将介绍两类曲线积分和两类曲面积分各种不同的计算方法.文献[3]中介绍了第一类曲线积分的各种不同的计算方法,对于第一类曲线积分,可以采用基于极坐标系或者球坐标系下的参数方程,对于其中一些特殊的空间曲线积分,还可以利用斯托克思公式、格林公式使得计算更为简便.文献[4]中介绍了第二类曲线积分的各种不同的计算方法.第二类曲线积分表示的是变力沿有向曲线移动所作的功.由于力是变的,曲线是有向的,所以其计算较为复杂.该文献归纳了第二类曲线积分的解题思路与技巧.第二类曲线积分的计算一般可分为直接计算和间接计算.其中间接计算涉及两个重要的定理——与路径无关定理和格林定理.文献[5]中提供了一种第一类曲面积分的计算方法,这种方法就是把第一类曲面积分转化为第一类曲线积分来计算,并且该文献还讨论了第一类曲线积分和定积分的换序情形.在通常情况下,第一类曲面积分的计算是化为二重积分进行的.由于空间曲面和空间曲线有着密切的关系,因此该文献讨论如何利用第一类曲线积分来计算第一类曲面积分的方法.文献[6]中介绍了第一类曲面积分的简单计算与推广.第一类曲面积分的积分表达式具有如下特点:(1)积分曲面是可求曲面面积的曲面；(2)被积函数是单变量函数或可化为单变量函数的函数,利用积分元素法,能将其直接化为定积分来计算.第二型曲面积分的计算是一个重点、也是一个难点,在面对这一问题时,常会令人感到束手无策、无从下手.这一方面是由于曲面积分计算本身的复杂性,它既要考虑到曲面的形状及其投影区域,又要注意到曲面的侧；文献[7]总结了有关第二型曲面积分的常规的三种计算方法,并对每种计算方法均配以典型例题加以诠释.第一种方法就是直接利用公式进行计算,第二种方法就是利用两类曲面积分之间的关系计算第二类曲面积分,只要能够求出曲面的法向量(而这对于一个已知曲面来说是很容易做到的),就可以求出法向量的方向余弦,从而,将第二类曲面积分化为第一类曲面积分来处理,第三种方法就是利用高斯公式来简化第二类曲面积分的计算.以上这三种便是计算第二类曲面积分的较为常用的三种方法.而文献[8]中则提供了除三种常用的方法以外其他更多的计算方法.如可利用斯托克思公式将第二类曲面积分转化为第二类曲线积分来进行计算,还可以利用参数方程的方法来计算第二类曲面积分,除此之外,还有分面投影法以及合一投影法.文献[9]探讨了对称性在第二类曲线积分和第二类曲面积分中的应用,给出了一些有用的结论,并举例说明.利用对称性,使许多用“正规”的方法处理起来十分麻烦的第二类曲线积分和第二类曲面积分都能得以简单解决, 从而起到事半功倍的效果.众所周知,利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性可简化定积分、重积分、以及第一类曲线积分和第一类曲面积分的计算,那么第二类曲线积分和第二类曲面积分究竟有没有对称性呢？若有,是不是与第一类曲线积分和第一类曲面积分一样呢？回答是:第二类曲线积分与第二类曲面积分也有对称性,但与第一类曲线积分和第一类曲面积分的有关对称性的结论恰好相反.使用时一般分两方面讨论:(1)利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化计算；(2)利用积分区域和函数关于变量的轮换对称性简化计算.有时候这两种对称性可结合起来,使积分计算更加简便.文献[10]中给出了两类曲线积分和两类曲面积分的一些简单的物理应用,比如应用第一型曲线积分求曲线形构件的质量,用第二型曲线积分计算变力对质点所作的功,用第一型曲面积分求曲面质量,用第二型曲面积分求流体通过有向曲面的流量等.文献[11]介绍了第一型曲线积分在几何上的一个应用,该文献介绍了怎样用第一型曲线积分计算柱体的侧面面积.高斯公式、格林公式和斯托克思公式是积分学中非常重要的公式,它们相互间的联系非常紧密.文献[12]分析归纳了它们之间的逻辑联系,着重结合场论的相关概念,提出了几个公式在向量场中的关系,有助于加深对公式本身以及场论相关概念的理解.文献[13]从微元和向量的角度,突出曲线积分和曲面积分的物理意义与几何直观.文献[14]则主要介绍了积分微元法的几点应用.三、总结部分根据上述文献可知,本文从两类曲线积分和两类曲面积分的定义和性质入手,在了解定积分和重积分的基础上,查阅各种相关文献进行归纳总结,提取各文件中的相关内容,对两类曲线积分和曲面积分做出了归纳和总结.接着给出两类曲线积分和曲面积分的一些计算以及物理应用.曲线积分和曲面积分的计算是高等数学中的重点,同时也是难点.可根据一种标准化计算程序来解决这类计算问题.第一类曲线、曲面积分按照“变量换参数,区域正微分”的程序,将第一类曲线积分或曲面积分转化为标准的定积分或二重积分来计算.具体说,采取两个步骤:第一步,将积分曲线L 化为单参数方程,并代入被积函数.第二步,在参数下计算曲线弧L 的正微分ds ,即0ds ≥,或计算曲面∑的正微分dS .第二类曲线、曲面积分在转化为若干个定积分或二重积分后,如果对每个定积分或二重积分能选择相同的参数,往往直接把第二类曲线、曲面积分化为第一类曲线、曲面积分,计算过程会更简单.格林公式、斯托克斯公式、高斯公式通常称为线、面积分三公式,是用于有关曲线、曲面积分证明和简化曲线、曲面积分计算的重要工具.刚接触这三个公式,会感到这三个公式很深奥,很难以掌握,不会应用,尤其是斯托克斯公式.但实际上,只要先把比较简单的格林公式的证明,如何沟通平面上第二类曲线积分与二重积分的关系,互相简化积分的计算,应用的条件讲清楚,然后把斯托克斯公式和高斯公式作为格林公式在两种不同条件下的推论介绍出来,这样就会感到比较顺理成章,且容易被人接受.接下来结合一些精心选择的例题重点讲解斯托克斯公式互相简化空间第二类曲线积分与第二类曲面积分,使得对三个公式的理解能够深入,应用起来可以得心应手.一般对于第二类曲线积分L Pdx Qdy Rdz ++⎰,如果空间封闭曲线L 的构造比较复杂,但存在一个以L 为边界的光滑曲面∑,被积函数(,,)F x y z {},,P Q R =≥在∑上的旋度为常向量,或与∑的法向量内积为容易求积分的函数,应该使用斯托克斯公式计算第二类曲线积分.本文给出了两类曲线积分和两类曲面积分的概念,接着介绍了各种计算方法,最后给出了两类曲线积分和两类曲面积分的一些简单物理应用.这样,对两类曲线积分和曲面积分有了初步的了解,而本文的完善有待于进一步研究以及参考更多的文献。

第二类平面曲线积分的对称性质及其应用

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第二型曲线积分的计算

第二型曲线积分的计算
第二类曲线积分也称为曲线积分 II，是曲线上的积分，其定义
与第一类曲线积分相似，但需要考虑曲线的方向性。

具体而言，设曲线 C 为定义在 R2 上的有向曲线，函数 f(x,y) 是 C 上的连续函数，则曲线 C 的第二类曲线积分可以定义为：
∫Cf(x,y)dxdy
其中，积分范围 C 是曲线 C 的一个选定的闭式包围圈。

需要注意的是，与第一类曲线积分不同，第二类曲线积分需要考虑曲线的方向性，即积分值取决于曲线 C 的方向。

计算第二类曲线积分的方法有多种，其中常用的方法是利用参数方程计算、三角函数变换计算、代入公式计算等。

在实际应用中，第二类曲线积分经常用于求解力场、流体力学、量子力学等领域，它也是曲线积分中较为重要的一种形式。

第二型曲线积分

第二型曲线积分
曲线积分是数学中一个关键的概念，它在很多领域都有重要的应用，特别是在数学物理中有着广泛的使用。

综上所述，了解曲线积分的基础理论和实际应用十分重要。

本文就继承了朱达和白尔兹发展的第二型曲线积分的理论和实际应用进行介绍。

第一，本文着重介绍第二型曲线积分的基础理论，它是由朱达和白尔兹提出的，与传统的曲线积分有着很大的不同，它可以用来描述复杂曲线积分问题。

第二型曲线积分包括：对多个曲线的曲线积分，即在曲线之间联系起来积分问题，比如曲线积分和变分法；多个不同方向的曲线之间积分，即存在复杂关系的曲线之间的积分问题；以及曲线积分复杂曲线的分析等。

其次，第二型曲线积分的实际应用也是非常丰富的。

首先，它可以用来分析复杂的压力场，可以用来精确计算复杂的压力场的分布，这在航空航天工程、汽车制造中具有重要的意义。

其次，它可以用来精准计算弹性问题，如复杂结构的弹性分析、形状变形分析。

此外，它还可用于量子力学，可以用来计算量子问题，如原子结构结构及其能力。

最后，它还可以用来描述复杂的流体动力学，可以用来计算复杂流体的分布、流动及其通量和压力等。

综上所述，朱达和白尔兹提出的第二型曲线积分是继承传统曲线积分的发展，它不仅拓展了是传统曲线积分的范围，而且具有多种实际应用，为解决各类复杂积分问题提供了有效工具。

因此，第二型曲线积分是一种非常有价值的数学工具，在各类工程领域都有重要的应
用。

第二类曲线积分的计算方法与技巧

第二类曲线积分的计算方法与技巧摘要：第二类曲线积分是高等数学教学的重点和难点，是大学数学竞赛、研究生入学考试中的必考点，同时也是学生最难理解的内容之一。

本文通过对典型试题的分析，总结归纳了计算第二类曲线积分的各种计算方法和重要技巧，为第二类曲线积分计算提供了广阔的思路和计算便捷。

关键词：第二类曲线积分；计算方法；重要技巧0引言第二类曲线积分是高等数学微积分教学中的一个非常重要的知识点和难点，引例、概念抽象难懂，计算方法和技巧多种多样，给大多数学生造成非常大的学习困扰。

此外，每所高校高等数学教学要求不同，例如一些学校利用很少的学时只学习了计算第二类曲线积分的一些最基本的计算方法[1-4]，导致学生无法应对全国性的考试，例如考研数学、全国数学竞赛等。

本文首先总结归纳了计算第二类曲线积分的一些常用方法，并对每种方法的特点和适用范围作了注释。

其次，给出计算第二类曲线积分的一些重要技巧，这些技巧的使用，有利于简化计算，减少计算量。

最后，以两道考研和数学竞赛试题为例，结合上述方法和技巧，给出一题多解，并对各种解法做了比较。

1第二类曲线积分的计算方法1.1.直接积分法直接积分法是指将第二类曲线积分化为定积分进行计算，这是计算第二类曲线积分的最基本方法.基本原则就是“一求”，“二代”，“三定限”. 以平面第二类曲线积分为例，假设曲线的参数方程为，当参数单调地由变到时，点从的起点沿曲线移动到点。

“一求”是指根据曲线参数方程求出。

“二代”是指将曲线方程代入被积函数，即，。

“三定限”是指确定积分的积分限，遵循的原则是起点做下限，终点做上限，且不论与谁大谁小。

进而得到。

类似，可推广到空间曲线。

1.1.Green公式定理：设闭区域由分段光滑的曲线围成，函数及在上具有一阶连续偏导数，则有，其中是的取正向的边界曲线。

关于使用Green公式的说明：① 方向性问题。

闭区域的外边界逆时针为正，内边界顺时针为正。

② 是否封闭问题.若不封闭，则需要补线，使之封闭。

关于大学高数论文范文免费（2）

关于大学高数论文范文免费(2)大学高数论文范文篇二：《第二型曲面积分化为二重积分计算》摘要：第二型曲面积分属于向量函数的积分，在流体力学和电磁学等领域有极为广泛的运用。

所以，正确选择计算第二型曲面积分的方法对解决问题有着很大的帮助。

一般的书本都介绍的主要通过将其转化为二重积分或利用高斯公式计算。

第二型曲面积分和二重积分有着密切的关系，这里介绍将第二型曲面积分化为二重积分来计算的方法。

并且希望大学生能够培养对高等数学的爱好，努力钻研高等数学。

关键词：第二型曲面积分、二重积分、转换、计算、钻研高等数学正文：1.第二型曲面积分定义：设∑为光滑的有向曲面，函数R(x,y,z)在∑上有界，把∑任意分割成n块小曲面∆Si(i=1,2,,n)(∆Si同时表示第i小块曲面的面积), ∆Si在xoy 坐标面上的投影为(∆Si)xy,∀(ξi,ηi,ζi)∈∆Si ,若当各小块曲面的直径的最大值λ→0时，lim,∑Rξi(ηiζλ→0i=1niR(x,y,z)在有向曲面∑上对坐标x,y 的,∆S)(i存在。

则称此极限值为xy)曲面积分(或第二型曲面积分).记作⎰⎰R(x,y,z)dxdy。

∑2.将第二型曲面积分化为二重积分来计算的方法：①第二型曲面积分⎰⎰P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy可化为三个第二型∑曲面积分来计算：I1=⎰⎰P(x,y,z)dydz,I∑2=⎰⎰Q(x,y,z)dzdx,I3=⎰⎰R(x,y,z)dxdy。

∑∑这就必须把曲面分别投影到yOz、zOx、xOy面上，再分别按照前侧为正后侧为负、右侧为正左侧为负、上侧为正下侧为负的规则再次分解。

这样一来就需要六个式子来计算一个第二型曲面积分，运算量相当大且容易出错。

例：.计算下列闭曲面上的曲面积分(积分沿区域Ω之边界曲面∂Ω的外侧)：∂Ωxzdydz+(x3+y3)dzdx+(x3-y3)dxdy，其中Ω=(x,y,z)|x2+y2≤1,{x≥0,y≥0,0≤z≤1; }解：在曲面∂Ω上x=0,y=0,z=0及z=1部分的S上⎰⎰xzdydzS=0，所以xzdydz=Dyz⎰⎰z-ydydz=zdz2⎰⎰311-y2dy=π8.在曲面∂Ω上x=0,z=0及z=1部分的S上⎰⎰(xS+z3dzdx=0，所以)(∂Ω⎡3x+ydzdx=-xdzdx+⎢x+1-x2⎢DxzDxz⎣33)⎰⎰3⎰⎰(3⎤2⎥dzdx=⎥⎦3π. 16在曲面∂Ω上x=0,y=0及x2+y2=1部分的S上⎰⎰(xS3-y3dxdy=0，所以)(x∂Ω3-y3dxdy=5π. 16)Dxy⎰⎰(x3-y3dxdy-)Dxy⎰⎰(x3-y3dxdy=0，)∴原式=②先将第二型曲面积分转化为第一型曲面积分：ρρA⎰⎰⋅dS=∑⎰⎰(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS∑cosα=μzx22+zx+zy,cosβ=μzy22+zx+zy,cosγ=±122+zx+zy再将第一型曲面积分转化为二重积分：若在xOy面：⎰⎰∑f(x,y,z)dS=Dxy⎰⎰22x,y+zyx,ydxdy f(x,y,z(x,y)+zxyOz，xOz面上以此类推。

毕业论文—第二型曲面积分论文

毕业论文—第二型曲面积分论文目录1 引言 ..................................................................... .. (1)2 文献综述 ..................................................................... .......................................................1 3预备知识 ..................................................................... .. (1)3.1 第二型曲面积分的定义 ..................................................................... ............................1 3.2第二型曲面积分的性质 ..................................................................... .............................2 4常用计算公式 ..................................................................... ................................................2 5 MATHEMATICA相关知识...................................................................... ................................4 6第二型曲面积分的计算...................................................................... ................................5 6.1 用MATHEMATICA计算...................................................................... ....................................5 6.2分项投影法 ..................................................................... ................................................6 6.3 参数法 ..................................................................... .......................................................8 6.4利用高斯公式 ..................................................................... ............................................8 6.5定义法 ..................................................................... (12)6.6 解题技巧(轮换对称性) .................................................................... ....................... 14 7结论 ..................................................................... . (15)7.1 主要观点 ..................................................................... ................................................. 15 7.2 启示 ..................................................................... (15)7.3 局限性 ..................................................................... ..................................................... 15 7.4 努力方向 ..................................................................... ................................................. 16 参考文献 ..................................................................... .. (17)1 引言曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，因而显得更加复杂，繁琐。

第二型曲线积分在第一型曲面积分中的应用

行动导向教学法在高职ＶＦＰ教学中的实践
孙焕志
行动导向教学法是以培养职业行动能力为终极目标，由一系列教学技术所组成，由师生共同确定的行动产品（目标）来引导教学组织过程的教学方法．学生通过主动和全面的学习，达到脑力劳动和体力劳动的统一，这种方法对于培养学生的全面素质和综合能力起着十分有效的作用ｕ“．１行动导向教学中对教师和学生提出新要求教师设置课程内容要明确几点：分析和描述所选企业各个行动领域中的具体行动情境、工作或流程；限定各个行动领域中许多行业认为重要的核心工作和情境；制定各种典型的流程或工作步骤的参考模型，以作为设置课程内容的基础；利用学生在学习情境中特有的数据来设置考题，以此将考试内容转化落实到考生的工作实践中去．在行动导向教学中，教师主要角色是辅导，根据学生个人的学习进度，选择真实的工作任务，鼓励他们独立思考和解决问题；学生积累一定的实践经验后再给与解释；让学生寻找所需的信息；允许学生犯错误，将之视为一种学习机会；当学生有问题时给与帮助；对所有内容都进行深入的剖析．在行动导向教学中，学生接受学习任务、规划学习、实施学习行动、进行评估（评价或概括）．在学习过程中要求学生对学习内容进行讨论，通过“提升记忆的行为”促使更好的学习效果．２行动导向教学在ＶＦＰ教学中的实施本次教学实践尝试的对象是现代教育技术专业的专科学生，教学前把３０名学生分成５组，选出各组组长，组长负责主持小组讨论活动，负责分配组内各个成员需要完成的具体任务．教师给定情境、定位角色，工作任务是设计制作永安小学学籍管理系统，使用ＶＦＰ软件．明确系统需求并归纳出“齐市永安学籍管理系统”项目实现主要功能，通过角色分配，让学生融人数据库设计情景．数据库教学安排基本围绕数据库系统的设计、开发、运行、维护展开．课程任务设置：根据制作数据需求，介绍数据库设计相关知识；通过任务分解依次学习ＥＲ图设计的各知识点；要求各组学生完成相关数据库设计，包括数据库和数据表；结合数据库知识内容，从实际应用出发分解各项目，各小组成员自行分配任务，分别创建相关数据表，在完成任务的过程中循序渐进地学习各知识点，同时培养学生对数据库概念设计方面的能力；利用任务驱动教学法将各知识点引入功能模块任务中．通过各组之间展开互评、自评和教师点评的方式，评出最优设计方案．在评价过程中可发现各自存在的问题，了解每位学生对数据库设计相关知识的掌握程度，通过相互比较提高学生对数据库设计的规范化．３行动导向教学效果与反思教学实践证明，这种教学方法提高了学生的综合能力，学生在活动中自主学习、查找资料、研究学习内容、互相协作解决问题，通过自由讨论使学生的潜能有广阔的发挥空间，提高了教学质量．但在教学过程中，存在如何调动学生在小组学习的积极性，保证每个学生都有收获；如何帮助学生由传统教学中被动接受转变为主动探索．这就需要教师有更宽广的知识面．实践证明，行动导向教学是高职教育中一种行之有效的教学方法，提高了学生解决问题的能力，培养了学生钻研探索的精神．推行行动导向教学法首先是转变教师的教学观念，要接受行动导向的教学方法，要以职业岗位为目标调整知识结构和能力．教师在行动导向课程设计中，要把自己放到组织、关注的角色，要对结果进行评价和引导．但是受到观念、学校教学设施、教师能力、学生人数等因素的限制，我国高职教育中全面实行行动导向教学法还要针对自己的实际，只有不断地探索和实践，才能拓展高职教育改革的新局面．

平面第二类曲线积分的对称性

学法教法研究平面第二类曲线积分的对称性张辉李应岐敬斌(火箭军工程大学理学院陕西西安710025)【摘要】探讨平面第二类曲线积分的对称性,给出在积分曲线关于原点O 或直线y=x 或y=-x 对称时的相应结论,并借助实例加以说明。

【关键词】第二类曲线积分积分曲线对称【基金项目】陕西省高等教育教学改革研究项目重点课题(编号:15BZ74)、第二炮兵工程大学科学基金青年项目(编号:2015QN⁃JJ002)、第二炮兵工程大学教育教学理论研究青年项目(编号:EPGC2015010)资助。

【中图分类号】O172.2【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2016)03-0254-02在文[1]中,笔者研究了当积分曲线L 关于x=a 或y=b 对称时简化平面第二类曲线积分计算的重要结论。

本文将研究当积分曲线关于原点O 或直线y=x 或y=-x 对称时,简化平面第二类曲线积分计算的相应结论。

并举例说明在计算中巧妙利用对称性可以减少繁琐的计算,提高解题效率。

为方便起见,不妨设积分曲线L 是xOy 平面上一条无重点且分段光滑的有向曲线,且被积函数P (x ,y )和Q (x ,y )在积分曲线L 上均是连续的。

1.积分曲线L 关于原点O 对称情形1L 过原点O 且非封闭定理1设积分曲线L 关于原点O 对称,则L∫P (x ,y )dx+Q (x ,y )dy=L1∫[P (x ,y )+P (-x ,-y )]dx+[Q (x ,y )+Q (-x ,-y )]dy其中L 1是L 位于y=0上方(或x=0右方)的部分有向曲线段。

证明:记L 位于y=0下方的部分有向曲线段为L 2。

在L 2上沿L 的方向任意插入一点列M 1(x 1,y 1),M 2(x 2,y 2),…,M n-1(x n-1,y n-1)把L 2分成n 个有向小弧段M i-1M i ⌢(i=1,2,…,n),其中M 0和M n 分别为L 2的起点和终点。

第一类第二类曲线积分的对比研究

第一类第二类曲线积分的对比研究【摘要】本文通过对第一类与第二类曲线积分的定义、性质及区别对比研究，探讨它们在实际应用中的差异和影响。

通过应用案例分析和实验数据对比分析，验证了两种曲线积分在计算方法和结果上的异同。

综合总结了第一类与第二类曲线积分的优缺点，为未来相关研究提出了展望和建议。

本研究对于深入理解曲线积分的概念与应用具有重要意义，可为相关领域的学术研究和工程实践提供重要参考。

【关键词】第一类曲线积分、第二类曲线积分、定义、性质、区别、对比、应用案例、实验数据、分析、总结、展望、研究方向、结论、建议。

1. 引言1.1 研究背景曲线积分是微积分中一个重要的概念，它在物理、工程、经济等领域都有着广泛的应用。

在曲线积分的研究中，第一类曲线积分和第二类曲线积分是两种不同的概念，它们分别对应于不同类型的曲线和函数。

研究这两种曲线积分的对比，可以帮助我们更全面地理解它们的性质和应用。

第一类曲线积分是沿着曲线对一个向量场进行积分，它涉及到对参数方程的导数进行运算。

而第二类曲线积分则是对一个标量函数沿着曲线进行积分，它通常使用路径的参数化表示。

这两种曲线积分在定义、计算和性质上都存在一定的区别，通过比较它们的异同可以发现它们各自的特点和适用范围。

在本文中，我们将对第一类曲线积分和第二类曲线积分进行系统的对比研究，探讨它们的定义、性质以及在实际问题中的应用。

我们将通过案例分析和实验数据对比来验证我们的研究结果，从而得出关于这两种曲线积分的结论和建议。

希望通过本研究能够深入理解第一类和第二类曲线积分之间的联系和差异，为相关领域的进一步研究提供参考。

1.2 研究目的研究目的是深入探讨第一类曲线积分和第二类曲线积分的定义、性质和区别，通过对它们的对比研究来揭示它们之间的联系和差异。

通过对这两种曲线积分的比较分析，可以更全面地了解它们各自的特点和应用范围，进一步拓展曲线积分在实际问题中的应用。

通过应用案例分析和实验数据对比分析，可以验证理论分析的有效性，为相关领域的研究和应用提供支持和参考。

两类曲线积分的探1

两类曲线积分的探讨学生姓名：学号：20095031305 数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导老师：郑丽丽职称：教授摘要：本文给出了第一型曲线积分和第二型曲线积分的定义,并分别讨论了第一型曲线积分和第二型曲线积分的有关性质.通过列举一些求解两类曲线积分的例子,重点讨论了两类曲线积分的有关计算.最后,又给出了两类曲线积分的联系.关键词：第一型曲线积分;第二型曲线积分;性质,计算,联系.Talk about the two types ofThe Line IntegralsAbstract : This article introduces the definition of the line integrals of the first type and the second type, the nature of the two line integrals are discussed .It focus on the calculation of the two line integrals by some examples .Finally, it gives the connection of the two types of the line integrals.Key words : the line integrals of the first type; the line integrals of the second type; property; calculation; connection.前言积分贯穿于整个大学数学的课程中,而这两类曲线积分是将以前定义在直线段上函数的积分延伸到了定义在平面或空间曲线段上的函数积分.给出两类曲线积分的不同定义,不同性质和求解方法则成为我们能准确掌握两类曲线积分的基础.因此,通过学习,现将两类曲线积分的相关知识总结如下,并希望通过此次总结,能够对两类曲线积分有一个更深入的了解,对相关知识掌握的更加牢固.1 第一型曲线积分1.1 第一型曲线积分的定义设L 为平面上可求长度的曲线段, (,)f x y 为定义在L 上的函数.对曲线L 做分割T ,它把L 分成n 个可求长度的小线段(1,2,,),i L i n =⋅⋅⋅i L 的弧长记为i s ∆,分割T 的细度为1||||max i i nT s ≤≤=∆,在i L 上任取一点(,)(1,2,,).i i i n εη=⋅⋅⋅若有极限||||01lim(,)niiiT i f sJ εη→=∆=∑且J 的值与分割T 与点(,)i i εη的取法无关,则称此极限为(,)f x y 在L 上的第一型曲线积分,记做(,)Lf x y ds ⎰.1.2 第一型曲线积分的性质(1)若(,)(1,2,,)i Lf x y ds i k =⋅⋅⋅⎰存在, (1,2,,)i c i k =⋅⋅⋅为常数.则1(,)ki i Li c f x y ds =∑⎰也存在,且1(,)k i i Li c f x y ds =∑⎰=1(,)ki i Li c f x y ds =∑⎰.(2)若曲线段L 由曲线1,2,,k L L L ⋅⋅⋅首尾相接而成,且(,)(1,2,,)i Lf x y ds i k =⋅⋅⋅⎰都存在,则(,)Lf x y ds ⎰也存在,且(,)Lf x y ds ⎰=1(,)ikL i f x y ds =∑⎰.(3)(,)Lf x y ds ⎰与(,)Lg x y ds ⎰都存在,且在L 上(,)(,)f x y g x y ≤,则(,)Lf x y ds ⎰≤(,)Lg x y ds ⎰.(4)若(,)Lf x y ds ⎰存在,则|(,)|Lf x y ds ⎰也存在,且|(,)Lf x y ds ⎰|≤|(,)|Lf x y ds ⎰.(5)若(,)Lf x y ds ⎰存在, L 的弧长为n ,则存在常数c ,使得(,)Lf x y ds ⎰=cs ,这里inf (,)sup (,)LLf x y c f x y ≤≤.1.3 第一型曲线积分的计算 1.3.1转化为定积分法定理1设有光滑曲线()()[],:,,,x t L t y t ϕαβψ=⎧⎪∈⎨=⎪⎩ 函数(,)f x y 为定义在L 上的连续函数,则()()((,),.Lf x y d s f t t d t βαϕψ=⎰⎰(1)证由弧长公式知道,L 上由1i t t -=到i t t =的弧长ii t i t s -∆=⎰.的连续性与积分中值定理,有()'1i i i i i s t t t τ-∆=<<.所以()1,ni i i i f s εη=∆∑=()()()""1,ni i i f ϕτψτ=∑i t ,这里'1i i t τ-≤,"i i t τ≤.设σ=()()()""1,ni i i f ϕτψτ=∑i t ∆, 则有()1,n iiii f s εη=∆∑=()()()""1,niii f ϕτψτ=∑+σ. (2)令{}12max ,,,n t t t t ∆=∆∆⋅⋅⋅∆,则当||||0T →时,必有0t ∆→.现在证明0lim 0t σ∆→=. 因为复合函数()()(),f t t ϕψ关于t 连续,所以在闭区间[],αβ上有界,即存在常数M ,使得对一切[],t αβ∈都有()()()|,|f t t M ϕψ≤.再由在[],αβ上连续,所以它在[],αβ上一致连续,即对任给的0ε>,必存在0δ>,使当t δ∆<时有ε<,从而()1,ni i M t M b a σεε=≤∆=-∑所以 0l i m0t σ∆→=. 再由积分定义,()()(""01lim ,ni i i t i f t ϕτψτ∆→=∑()()(,f t t βαϕψ=⎰.因此当在⑵式两边取极限后,即得所要证的⑴式.例1 设L 是半圆周cos ,:0,sin ,x a t L t y a t π=⎧≤≤⎨=⎩试计算第一型曲线积分()22Lx y ds +⎰.解()22Lx yds +⎰=0a π⎰=3a π.1.3.2利用对称性求解定理2 设曲线L 关于点P (或直线L 或平面Y )对称的曲线1L 和2L 组成,且设1M ()11M L ∈的对称点为()222M M L ∈,则()()()()()()112122,0,-L Lf M ds f M f M f M ds f M f M ⎧=⎪=⎨ =⎪⎩⎰⎰若若例2 设L 是椭圆22143x y +=,其周长记为a ,计算ds y x xy L )432(22++⎰. 解椭圆的方程可化为223412x y +=,代入积分中ds y x xy L)432(22++⎰=()⎰⎰⎰+=+LLLds xyds xy 122122.因为xy 是x 的奇函数,曲线L 关于y 轴对称,故由定理2可知0=⎰Lxyds 且⎰=La ds 1.故ds y xxy L)432(22++⎰=12a .1.4 延伸若L 为空间可求长曲线段, (),,f x y z 为定义在L 上的函数,则可类似地定义(),,f x y z 在空间曲线L 上的第一型曲线积分,并记做(),,Lf x y z ds ⎰.仿照定理1,对于空间曲线积分(),,Lf x y z ds ⎰,当曲线L 由参量方程(),x t ϕ=y =(),t ψ()[],,z t t χαβ=∈表示时,其计算公式为:()()()()(,,,,Lf x y z ds f t t t βαϕψχ=⎰⎰.例3 计算2Lx ds ⎰,其中L 为球面2222x y z a ++=被平面0x y z ++=所截得的圆周. 解由对称性知222LLLx ds y ds z ds ==⎰⎰⎰,所以22222312()333L L L a x ds x y z ds ds a π=++==⎰⎰⎰.2 第二型曲线积分2.1 第二型曲线积分的定义设函数(),P x y 与(),Q x y 定义在平面由向可求长度曲线:L 弧AB 上.对L 的任一分割T ,它把L 分成n 个小曲线段弧1i i M M - ()1,2,,i n =⋅⋅⋅,其中0,n M A M B ==.记各小曲线段弧1i i M M -的弧长为i s ∆,分割T 的细度1||||max i i nT s ≤≤=∆.又设T 的分点i M 的坐标为(),i i x y ,并记1i i i x x x -∆=-,1i i i y y y -∆=-()1,2,,i n =⋅⋅⋅.在每个小曲线段弧1i i M M -上任取一点(,)i i εη,若极限||||0||||011lim(,)lim (,)n niiiiiiT T i i P x Q y εηεη→→==∆+∆∑∑存在且与分割T 与点(,)i i εη的取法无关,则称次极限为函数(),P x y ,(),Q x y 沿有向曲线L 上的第二型曲线积分,记为()(),,LP x y dx Q x y dy +⎰或()(),,ABP x y dx Q x y dy +⎰(3)上述积分⑶也可写作()(),,LLP x y dx Q x y dy +⎰⎰或()(),,ABABP x y dx Q x y dy +⎰⎰为书写简洁起见, ⑶式常写成LPdx Qdy +⎰或.ABPdx Qdy +⎰若L 为封闭的有向线段,则记为⎰+LQdy Pdx (4)若记()()()()(),,,,,,F x y P x y Q x y ds dx dy ==,则式可写成向量形式LF d s ⋅⎰或ABF ds ⋅⎰. (5)于是,力()()()(),,,,F x y P x y Q x y =沿有向曲线:L 弧AB 对质点所作的功为()(),,LW P x y dx Q x y dy =+⎰.注第二型曲线积分与曲线L 的方向有关.对同一曲线,当方向由A 到B 改为由B 到A 时,每一小曲线段的方向都改变,从而所得的,i i x y ∆∆也随之改变符号,故有A BB AP d x Q d y P d x Q d y +=-+⎰⎰(6)而第一型曲线积分的被积表达式只是函数(),f x y 与弧长的乘积,它与曲线L 的方向无关,这是两种类型曲线积分的一个重要区别. 2.2 第二型曲线积分的性质(1) 若()1,2,,ii LPdx Q dy i k +=⋅⋅⋅⎰存在,则11()()k ki i i i Li i c P dx c Q dy ==+∑∑⎰也存在,且 ()111()(),k kki iiiiii LLi i i c P dx c Q dy c Pdx Q dy ===+=+∑∑∑⎰⎰其中()1,2,,i c i k =⋅⋅⋅为常数.(2) 若有向曲线L 是由有向曲线12,,,k L L L ⋅⋅⋅首尾相接而成,且()1,2,,iL Pdx Qdy i k +=⋅⋅⋅⎰存在,则LPdx Qdy +⎰也存在,且1ikLL i Pdx Qdy Pdx Qdy =+=+∑⎰⎰.2.3 第二型曲线积分的计算 2.3.1 化为定积分的方法定理3 设平面曲线()()[],:,,,x t L t y t ϕαβψ=⎧⎪∈⎨=⎪⎩ 其中()(),t t ϕψ在[],αβ上具有一阶连续导函数,且点A 与B 的坐标分别为()()(,)ϕαψα与()()(,)ϕβψβ.又设(),P x y 与(),Q x y 为L 上的连续函数,则沿L 从A 到B 的第二型曲线积分()(),,LP x y dx Q x y dy +⎰()()()()()()()()'',,P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ⎡⎤=+⎣⎦⎰. (7) 例4 计算()Lxydx y x dy +-⎰,其中L 分别为如下中的路线(1) 直线AB ;(2)ACB (抛物线: ()2211y x =-+); (3) ADBA (三角形周界).解 (1)直线的参数方程为[]1,0,112,x t t y t =+⎧∈⎨=+⎩. 故由公式(7)可得()ABxydx y x dy +-⎰()()101122t t t dt =+++⎡⎤⎣⎦⎰ ()120251t t dt =++⎰256=. (2)曲线ACB 为抛物线 ()2211y x =-+, 12x ≤≤,所以()ACBxydx y x dy +-⎰=()()(){}222121121141x x x x x dx ⎡⎤⎡⎤-++-+--⎣⎦⎣⎦⎰=()232110323512xx x dx -+-⎰103=(3) 这里L 是一条封闭曲线,故可从A 开始,应用第二型曲线积分的性质(2),分别求沿AD,DB 和BA 上的线积分然后相加即可得到所求之曲线积分.由于沿直线:,1(12)AD x x y x ==≤≤的线积分为()ADxydx y x dy +-⎰21ADxydx xdx ==⎰⎰32=. 沿直线:2,(13)DB x y y y ==≤≤的线积分为()()()3120DBDBxydx y x dy y x dy y dy +-=-=-=⎰⎰⎰.沿直线的线积分可由公式⑹得到()()256BAABxydx y x dy xydx y x dy +-=-+-=-⎰⎰. 所以()38625023-=⎪⎭⎫⎝⎛-++=-+⎰Ldy x y xydx . 2.3.2 利用格林（Green ）公式求解定理4（Green 公式）若函数(),P x y ,(),Q x y 在闭区域D 上连续,且具有一阶的连续偏导数,则有D Q P d x y σ⎛⎫∂∂-= ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰+LQdy Pdx .这里L 为区域D 的边界线,并取正方向.例5 计算⎰+-=L y x ydxxdy I 22,其中L 为任一不包含原点的闭区域的边界线.解因为22x x x y ⎛⎫∂ ⎪∂+⎝⎭()22222y x x y -=+, 22y y x y ⎛⎫∂- ⎪∂+⎝⎭()22222y x x y -=+. 在上述区域D 上连续且相等,于是,22220,D x y d x x y y x y σ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂--=⎢⎥ ⎪ ⎪∂+∂+⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰ 所以由格林公式立即可得0.I =2.4 延伸若L 为空间有向可求长度曲线, ()()(),,,,,,,,P x y z Q x y z R x y z 为定义在L 上的函数,则可按上述办法类似地定义沿空间有向曲线L 上的第二型曲线积分,并记为()()(),,,,,,,LP x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++⎰或简写成.LPdx Qdy Rdz ++⎰对于沿空间有向曲线的第二型曲线积分的就是公式也与⑺式相仿.设空间有向光滑曲线L 的参量方程为()()(),,,,x x t y y t t z z t αβ=⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩ 起点为()()()(),,,x y z ααα终点为()()()(),,,x y z βββ则LPdx Qdy Rdz ++⎰=()()()()()()()()()()''[,,,,P x t y t z t x t Q x t y t z t y t βα++⎰()()()()()',,]R x t y t z t z t dt . (8) 这里要注意曲线方向与积分上下限的确定应该一致.例6 计算第二型曲线积分()2,LI xydx y x dy x dz =+-+⎰L 是螺旋线: cos ,sin ,x a t y a t z bt ===从0t =到t π=上的一段.解由公式(8),()2LI xydx y x dy x dz =+-+⎰=()32222220cos sin cos sin cos cos a t t a t a t t a b t dt π-+-+⎰=()3322201111sin sin 1sin 23222a t a t a b t t π⎡⎤⎛⎫--+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=()2112a b π+. 3 两类曲线积分的联系虽然第一性曲线积分与第二型曲线积分来自不同的物理原型,且有着不同的特性,但在一定条件下,如在规定了曲线的方向之后,可以建立它们之间的联系.设L 为从A 到B 的有向光滑曲线,它以弧长s 为参数,于是()(),:0,,x x s L s l y y s =⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩ 其中l 为曲线L 的全长,且点A 与B 的坐标分别为()()()0,0x y 与()()(),x l y l .曲线L 上每一点的切线方向指向弧长增加的一方.现以,t x →⎛⎫⎪⎝⎭,,t y →⎛⎫⎪⎝⎭分别表示切线方向t 与x 轴与y 轴正向的夹角,则在曲线上的每一点的切线方向的余弦是c o s ,,c o s ,d x d y tx t y d s d s→→⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (9) 若()(),,,P x y Q x y 为曲线L 上的连续函数,则由⑺式得LPdx Qdy +⎰=()()()()()()0,cos ,,cos ,lP x s y s t x Q x s y s t y ds →→⎡⎤⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰ =()(),cos ,,cos ,LP x y t x Q x y t y ds →→⎡⎤⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰, (10) 最后一个等式是根据第一型曲线积分化为定积分的公式.这里必须指出,当⑽式左边第二型曲线积分中L 改变方向时,积分值改变符号,相应11 在(10)式右边第一型曲线积分中,曲线上各点的切线方向指向相反的方向(即指向弧长减少的方向).这时夹角,t x →⎛⎫ ⎪⎝⎭和,t y →⎛⎫ ⎪⎝⎭分别于原来的夹角相差一个弧度π,从而cos ,t x →⎛⎫ ⎪⎝⎭和cos ,t y →⎛⎫ ⎪⎝⎭都要变号.因此,一旦方向确定了,公式⑽总是成立的. 这样,根据条件⑼和公式⑽便建立了两种不同类型曲线积分之间的联系.结束语第一型曲线积分和第二型的知识虽然不是很多,但却是我们不可小视的,正确掌握第一型曲线积分和第二型曲线积分的相关知识对我们以后的学习也是很有帮助的.本文汇总了曲线积分的性质和计算,但是还不完善,请读者批评指正.参考文献:[1]华东师范大学数学系.数学分析[M]. 北京:高等教育出版社,2001.[2]王占林,杨俊民.两型曲线积分之间的关系[J]. 天中学刊:1997年05期.[3]郑兴媛.谈谈“两类曲线积分之间的联系”的几种证法[J]. 高等数学研究:1994年01期.[4]张晓华,曹玉升.对称性在第一型曲线积分中的应用[J]. 商丘职业技术学院学报:2009年05期.[5]邓凤茹,毕雅军.关于曲线积分教学的几点思考[J]. 北华航天工业学院学报:2010年02期.。