第二型曲线积分论文

目录

1 引言 (1)

2 文献综述 (1)

2.1国内外研究现状 (1)

2.2国内外研究现状评价 (1)

2.3提出问题 (2)

3预备知识 (2)

3.1第二型曲线积分的定义 (2)

3.2第二型曲线积分的性质 (3)

4第二型曲线积分的计算 (4)

4.1直接计算 (4)

4.2利用格林公式计算 (12)

4.3利用曲线与路径无关计算 (14)

4.4利用奇偶对称性计算 (16)

4.5利用数学软件Mathmatic进行计算 (16)

5结论 (19)

5.1主要观点 (19)

5.2启示 (19)

5.3局限性 (19)

5.4努力方向 (19)

参考文献 (20)

1 引言

第二型曲线积分与第一型曲线积分相比有明显不同的几何意义和物理意义，第一型曲线积分可以看成是定积分的计算，其意义较容易理解，计算也相对简单.而第二型曲线积分又称为对坐标的积分，具有第一型曲线积分不具有的方向性，计算较为复杂，物理意义十分明显，变力分别在x轴，y轴沿曲线做功，这在物理学上有着重要的应用. 对于不同类型的被积函数，对应的计算方法也不同.为了使计算更为简单，本文阐述了第二类曲线积分的计算方法，不仅可以通过参数方程转化为定积分来计算，而且对于平面曲线还可以通过格林公式转化为对二重积分的计算，第二类曲线积分还可以通过对称性分奇偶两种情况简化计算或利用了数学软件Mathmatic进行计算.

2 文献综述

2.1 国内外研究现状

查阅相关文献，众多数学教育者从不同角度和侧面探讨了第二型曲线积分的计算.刘玉琏在文献[1]中论述了第二形曲线积分的概念及其性质；富景龙在文献[2]中概括了第二型曲线积分被积函数的类型；薛嘉庆在文献[3]中讲了被积函数的类型不同有不同的计算方法，并给出了相应的例子；刘国均等在文献[4-5]中探究了第二型曲线积分可以化为定积分来计算，并给出公式及相应的证明；刘莲芬等在文献[6-7]介绍了在第二型曲线积分的计算中将路径的参数方程表示出来；王景克在文献[8-9]简述了做题常用的技巧；陈先开在文献[11-12]研究了曲线积分与路径无关问题与如何判断曲线积分与路径无关；陈文灯，黄先开在文献[13]中介绍了格林公式，并提供了一定的实例，并通过实例总结了计算第二型曲线积分的一般步骤；武艳等在文献[14]给出利用对称性计算第二型曲线积分，使得计算简单；阳明盛及林建华在文献[15]中提出了用数学软件Mathemactica解题的调用格式，使得复杂的计算简单化.

2.2国内外现状评价

从上面相关的研究中可以看出，许多对第二型曲线积分计算的研究者从不同的方面进行了相应的研究，但都只是从某一个方面进行讨论，大部分文献都没有结合数学软件Mathmatic进行空间画图及计算.

2.3提出问题

对于第二型曲线积分的计算方法有多种，那么它的计算方法具体有哪些呢？本文在参考相关文献的基础上对这一问题进行了综述，把数学软件Mathmatic 也应用在其中，并例举了一些具有针对性、典范性的例题.

3预备知识

为了更好的讲述第二型曲线积分的计算，我们下面来介绍第二型曲线积分的定义及其相关性质.

3.1第二型曲线积分的定义

设平面上有光滑有向曲线),(B A C 二元函数),(y x f 在曲线C 上有定义.用任意分法T ，将曲线C 依次分成n 个有向小弧：

⌒10A A ，⌒21A A ,…，⌒

n n A A 1-，其中B A A A n ==,0.

设第k 个小弧⌒

k k A A 1-的弦?→

?-k k A A 1在x 轴与y 轴上投影区间的长分别是k x ?与k y ?.

在第k 个小弧⌒k k A A 1-上任取一点),(k k k E ηε?→

?.作和

?∑=),(k k n k k F ηξ1

k x ? ， ?∑=),(k k n

k k F ηξ1

k y ? ， （1）

分别称为二元函数),(y x f 在曲线),(B A C 关于x 与y 的积分和.

令},...,,m ax {)(n s s s T ???=21λ。（k s ?是第k 个小弧⌒k k A A 1-的长）

若当0→)(T λ时，二元函数),(y x f 在曲线),(B A C 关于x （或y ）的积分和（1）存在极限x J （或y J ），即

x k n

k k k

I J x f =?∑=→1

),(lim

)(ηε

λ（或y k n

k k k

I J x f =?∑=→1

),(lim

)(ηε

λ），

称x J （或y J ）是dx y x f ),(（或（dy y x f ),(）在曲线),(B A C 的第二型曲线积分，表为

dx y x f B A C ?),(),( （或dy y x f B A C ?)

,(),(）.

因此可得到，质点在平面力场)),(),,((y x Q y x P F =?→

?的作用下，沿光滑的有向曲线C

由点A 到点B ，力场F 所作的功W 是dx y x P ),(与dy y x Q ),(在曲线),(B A C 上的第二型曲线积分之和，即

k k k T k n

k k k

I y Q x P W ?+?=→=→∑),(lim ),(lim

)()(ηεηε

λλ0

1

=

dy y x Q dx y x P B A C B A C ??+)

,()

,(),(),(

通常上式简写为

dy y x Q dx y x P W B A C B A C ??+=

)

,()

,(),(),(. （2）

若L 为封闭有向曲线, 则记为?+L

Qdy Pdx 或?+AB

Qdy Pdx ．

由弧长微分知，dx 与dy 分别是弧长微分ds 在x 轴与y 轴上的投影。弧长微分ds 的方向就是曲线),(B A C 的方向，则弧长向量微元),(dy dx ds =.于是，功W 可写成向量形式的积分

ds y x F W B A C ?=

?)

,(),(. （3）

类似地，可以定义三元函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 沿空间曲线Γ对坐标的曲线积分，即

∑?=→Γ

=n

k k k

T k P dx z y x P 10

),,(lim ),,()(?ηε

λx V

k

,

∑?=→Γ

=n

k k k

T k Q dx z y x Q 10

),,(lim ),,()(?ηε

λy V k

,

z R dx z y x R V

k n

k k k

T k ∑?=→Γ

=1

),,(lim ),,()(?ηε

λ,

组合形式为：dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(++?Γ

，其中Γ是光滑空间有向曲线，

三元函数R Q P ,,在Γ上连续.

3.2第二型曲线积分的性质

1.（方向性）对同一曲线,当方向有A 到B 改为由B 到A 时,每一小曲线段的方向都改变.即

dx y x f dx y x f A B C B A C ),(),()

,()

,(??-=,

dy y x f dy y x f A B C B A C ),(),()

,()

,(??-=.

因为k x ?与k y ?分别是第k 个第k 个有向的小弧⌒k k A A 1-的弦表为?→

?=1k k A A 在x 轴与y

轴上的投影，当改变曲线C 的方向时，k x ?与k y ?要改变符号，所以第二型曲线积分也要改变符号.

2.（线性性）若(1,2,,)i

i L

Pdx Q dy i k +=?存在,则1

1

()()k k

i i i i L

i i c P dx c Q dy ==+∑∑?也存在,

且1

1

1

()()()k

k

k

i i i i i i

i L

L

i i i c P dx c Q dy c Pdx Q dy ===+=+∑∑∑??． 3.（积分弧长的可加性）若有向曲线L 是由有向曲线12,,,k L L L 首尾连接而成,且

?

+i

L Qdy Pdx 存在，则(1,2,

,)L

Pdx Qdy i k +=?也存在,且1

i

k

L

L i Pdx Qdy Pdx Qdy =+=+∑??．

4第二型曲线积分的计算

下面将介绍曲线积分的五种计算方法：直接计算，格林公式，利用曲线与路径无关计算，利用奇偶对称性及数学软件Mathmatic 进行计算.

4.1直接计算

第二型曲线积分可以化为定积分来计算．

定理1 设平面曲线L:()()[]b a t t y y t x x ,,∈?

??

???== ，且()()][()[()]ββααy x B y x A ,,,，则

()dx y x f ,与()dy y x f ,在()B A C ,的第二型曲线积分都存在，且

()()[()]()dt t x t y t x f dx y x f B A c '

=??β

α,,)

,(,

()()[()]()dt t y t y t x f dy y x f B A c '=??

βα

,,)

,(,

其中()x x t =,()y y t =在[],a b 上具有一阶连续导函数,且点A 与B 的坐标分别为

()()(),x a y a 与()()(),x b y b ．又设(,)P x y 与为(,)Q x y 为L 上的连续函数,则沿L 从A 到

B 的第二型曲线积分.

()dy y x Q dx y x P L

),(,+?

dt t y t y t x Q t x t y t x P b

a

?'+'=)]())(),(()())((),(([，

若点A 与B 的坐标分别为()()(),x b y b 与()()(),x a y a ，则满足上述条件的沿L 从A 到B 的第二型曲线积分

()dy y x Q dx y x P L

),(,+?

dt t y t y t x Q t x t y t x P b

a

?'+'=)]())(),(()())((),(([.

证明 设{}0cos ,cos ταβ=为曲线L 上在t 处的单位切线矢量 则有

cos α=

,

cos β'=,

由于 c o s ,c o s d x d s d y d s α

β==, (,)(,)cos L

L

P x y dx P x y ds α=?

?

,

((),(b a

P x t y t =?,

=

((),())()b

a

P x t y t x t dt '?

．

同理有

(,)((),(b

L

a Q x y dy Q x t y t '=?

?,

((),())()b

a

Q x t y t y t dt '=?．

特殊情形 当(),,:b x a x y L ≤≤=?且起点对应a x =，终点对应b x =，则

()()()()()[]dx x x x Q x x P Qdy Pdx L

b

a

??'+=+???,,,

当()y x L φ=:，d y c ≤≤，且起点对应c y =，终点对应d y =，则

()[]()()()[]dy y y Q y y y P Qdy Pdx L

d

c

?

?+'=+,,φφφ.

由此，对于第二型曲线积分的直接计算方法，可采用三个步骤： 代：将L 的参数方程代入被积函数; 换：()dt t x dx '=，()dt t y dy '=; 定限：下限—起点参数值, 上限—终点参数值.

下面我们通过几个例题来说明这种方法的应用.

例1计算dx xy L

?，其中L 为沿抛物线x y =2从点()11-,A 到()11,B 的一段.

解 若取x 为参数，则L ：⌒AO +⌒OB

， ⌒

AO :x y -=,01→:x ， ⌒

OB : x

y =,10→:x ，

∴

dx xy dx xy xydx L

???+=1

01

+

-=

?

x x x d )(0

1

x x x d ?

1

5

4

21

23=

=?x x d ，

若取y 为参数，则112→-=:,:y y x L 所以

y y y y x y x L

d )(d 21

1

2'=??

-，

5

421

1

4=

=?-y y d .

例2 计算?+L

dy x xydx 22，其中L 为

⑴ 抛物线2x y =上从()00,O 到),(11B 的一段弧； ⑵ 抛物线2y x =上从()00,O 到),(11B 的一段弧； ⑶有向折线OAB ，这里B A O ,,依次是点()()()110100,,,,,.

图1

)

0,1(A )

1,1(B 解 ⑴若取x 为参数

x x y L ,:2=从0变到1，

??+?=1

2222dx x x x x )(原式

dx x x 31

322+=?

?=1

3

4dx x =dx x ?

1

34

1=.

⑵若取y 为参数

,,:102

变到从y y x L =

??+??=+1

42

2

222dy y y y y

dy x xydx L

)(

?+=1

444dx y y

=?1

45y

1=.

⑶

??+++=AB

OA

dy x xydx dy x xydx 2222原式

,上在OA ,,100变到从x y =

??

?+?=+1

220022dx x x dy x xydx OA

)(

.0=

,上在AB ,,101变到从y x =

??

+?=+1

2

1022dy y dy x xydx AB

)(

x 2

y =)

,(01A )

,(11B )

,(01A ()

11,B 图2

图3

图4

1=.

.,:但积分值相同虽然路径不同由此知

例3 计算曲线积分?-C

ydx xdy ，其中积分路径为如图5所示.

（1）在椭圆

12

22

2

=+

b y a x 上， 从

()0,a A 经第一﹑二﹑三象限到点()b B -,0；

（2） 在直线b x a

b y -=

上，从点

()0,a A 到点()b B -,0

解 （1）椭圆

12

22

2

=+

b y a x 的参数

方程为：

??

?==t

b y t

a x sin cos ，且起点0=→t A ，终点2

3π=→t B ，

所以

()[]dt t a t b t tb a ydx xdy L

??

--=-2

30πsin sin cos cos

?=3

20

πabdt

=

ab 3

2π

.

图5

图6

（2）线段AB 的方程为：b x a

b y -=

，起点,a A →终点0=→x B ，

dx a

b

dy =

,

????

? ?

+-

=

-AB

a dx

b x a

b a

x ydx xdy

dx b a

?=0

ab -=.

例4 计算?+L

xdy ydx （其中积分路径L 为x y x 222=+） ()0>y 由起点()000,到终

点()02,B 的积分值.

方法1分析 被积函数中的变量y x ,都与积分路径L 的方程有关，所以可以把x 或y 作为参数，L 的方程：(),0222>=+y x y x 选x 为参数，2

2x x y -=

L x ≤≤0，dx x

x x dy 2

21--=

解 dx x x x x x x xdy ydx I L ?????

?

?

?--?

+-=+=202

2

212 ()()

dx x x x ??

???

?

?

?

-----=2

02

2

2

11112, 利用定积分第二类换元法作变量替换

θsin =-1x ，则 θθd dx cos =,

θθθ

θθθθππππd d I cos cos sin cos cos ?+-?=?

?

--22

22

12

图7

0=-=ππ.

在方法1中，确定参数为x ，写出L 的参数方程()???==x f y x

x ，找出参数的起点和终点。

被积函数表示为()()()()()()()dx x f dy x f x Q y x Q x f x P y x P '===,,,,,,，即把第二型曲线积分计算转化为关于x 的定积分计算，同样也可以选y 为参数.

方法 2 分析 选t 为参数，把L 的方程x y x 222=+改写成参数方程：

??

?

????

? ??

≤

≤-=+=221ππx t y t x cos sin ，即?

?

?-==tdt dy tdt

dx sin cos , 解 ()()[]dt t t t t xdy ydx I L

??

-

-++?=+=2

2

1π

π

sin sin cos cos

()

dt t t ?

-

--=2

2

22

π

π

sin sin cos

0=.

在方法2中，确定参数t ，把路径L 的方程()x f y =改写为参数方程

()()?

?

?==y y x x φ?，确定参数t 的起点和终点，把被积函数表示为()()()[]t t P y x P φ?,,= ()()()[]t t Q y x Q φ?,,=，()()dt t dy dt t dx φ?'='=,，将第二型曲线积分计算转化为关于t

的定积分计算.

如果三维空间的有向光滑曲线()B A C ,是参数方程

()t x x =，()t y y =，()t z =，βα≤≤t ,

t 由α到β对应曲线C 上由点A 到B ，则三维欧式空间3R 的第二型曲线积分可化为定积分，有公式

()(

)

()()()[]()dt t x t z t y t x f dx z y x f B A C '=??β

α

,,,,,,

()()

()()()[]()dt t y t z t y t x f dy z y x f B A C '=??β

α

,,,,,,

()(

)

()()()[]()dt t z t z t y t x f dz z y x f B A C '=??β

α

,,,,,,

例5 求()()dz y x dy z x dx y z I )(-+-+-=?Γ

，其中???=+-=+Γ21

22z y x y x ，从Z 轴正向看为

顺时针方向.

分析 该题是三维空间的有向光滑曲线，并且已知Γ的方程.首先我们应先写出Γ的参数方程，再根据公式求解.

解 取Γ的参数方程

):(sin cos ,sin ,cos 022→+-===πt t t z t y t x ，

根据公式有

()[]()()[]()()()dt

t t t t t t t t t t t t I '+--+

'+--+'-+--=?

sin cos sin cos sin sin cos cos cos sin sin cos 22220

π

=()()()()()dt t t t t t t t t t cos sin sin cos cos sin cos sin cos +-+--+---?

22220

π

()d t t ?

-=π20

2

cos 41

π2-=.

从例2可知，虽然两个曲线积分的被积函数相同，起点和终点也相同，但沿不同路径所得的值并不相等.例1到例4是针对二维的曲线，而例5是针对三维空间的光滑有向曲线.例1，例2可直接根据公式进行计算.而例3，例4，例5

都可以写成适当的参数

图8

方程进行计算.

通过例3，例5分析，我们得出计算第二型曲线积分引入参数方程的一般步骤： （1）选择适当的参数，写出积分曲线的参数方程；

（2）将曲线L 的参数方程代入被积函数的y x ,；分别求出dy dx ,；把

()()dy y x Q dx y x P L

,,+?化为关于参数定积分，确定积分限时必须注意，下限对应于L 的

起点，上限对应于L 的终点；

（3）计算该定积分.

4.2利用格林公式计算

格林公式 若二元函数()y x P ,与()y x Q ,以及y

P ??与

x

Q ??在光滑或逐段光滑闭

曲线C 围成的闭区域G 连续，则

???+=???

? ?

???-

??C G Qdy Pdx dxdy y

P x Q 其中C 取正向. 由于格林定理建立起平面区域G 上的二重积分与G 的边界曲线C 上的第二型曲线积分之间的联系，所以可以应用格林定理来简化某些第二型曲线积分的计算.

例6 求()()

,cos sin dy m y e dx my y e I x C

x -+-=?其中C 如图9所示，为由()0,a A 至

()00,O 的上半圆周()0022>≥=+a y ax y x ,.

解 设

my y e P -=sin 2， m y e Q -=cos 2，

则

y e x Q x cos =??， m y e y

P x

-=??cos ,

补线段

:OA 0=y x (由0至a )，

线段OA 与C 所围区域记为D ，于是

()()

()()

dy m y e dx my y e

dy m y e dx my y e

I x OA

x

x OA

C x

-+---+-=?

?

+cos sin cos sin

()

d x m

e md D

a

x ????--=0

00sin σ

??=D

d m σ

8

2

ma π=

.

应用格林公式计算第二型曲线积分时，应当检验是否满足格林公式的两个条件：D 是由分段光滑曲线L 围成，L 的方向为正方向；()y x P ,和()y x Q ,在D 上具有一阶连续偏导数.虽然格林公式能将第二型曲线积分的计算转化为平面区域上的二重积分的计算，但是如果这个二重积分的被积函数比较复杂或被积区域D 是不规则的区域，那么转化得到的二重积分的计算未必比原第二型曲线积分简单.因此，只有当y

P

x Q ??=??比较简单且适于二重积分计算时，使用格林公式才能简化计算.

例 7 简化二重积分

计算dxdy e D

y ??-2

，其中D 是以()00,O ，()11,A ，()10,B 为顶点的三角形闭区域.

解 令 0=P ，2

y xe Q -=， 则

2

y e y

P x

Q -=??-

??，

应用格林公式，有dy xe

dxdy e

BO

AB OA y D

y ???++--=

2

2

dx xe dy xe x OA

y ??--==1

2

2

()1

12

1--=

e .

另外，在使用格林公式时，如果所给曲线不是封闭的曲线，采取“补线”的方法,

即：??????-???

? ?

???-

??±=-=+l D L l L l

dxdy y

P x Q

，这里要求右端的二重积分及曲线积分易于计算.l 选用直线段﹑折线﹑圆﹑半圆﹑椭圆﹑抛物线等，封闭后再使用格林公式，

图10

这时需注意两点：

（1） 如果L 是反向的，则在使用格林公式是要补上一个负号；

（2） 如果()y x P ,和()y x Q ,有偏导数不连续点，则在将曲线封闭时应该绕过它，或者用小圆将它剔除.

综上可知，在应用格林公式时分三种情况： （1）直接应用格林公式计算曲线积分； （2）用格林公式求非闭曲线的曲线积分；

（3）用格林公式把难求的曲线积分转化为易求的曲线积分.

4.3利用曲线与路径无关计算

由于第二型曲线积分的计算简便与否除了与被积函数有关，还与积分路径有关，这就决定了应用格林公式计算第二型曲线积分时，如果积分路径不规则，即使

y

P x

Q ??-

??比较简单，也难计算.设想如果积分与路径无关，就可以选取恰当的路

径进行积分.

那在什么条件下，曲线积分?+)

,(B A C Qdy Pdx 与路径C 无关（只与始点A 与终点B ）

有关？

首先给出曲线积分与路径无关的定义：设C 是xoy 平面上的一个区域，()y x P ,以及

()y x Q ,在C 内具有一接阶阶连续偏导数。如果对C 内任意两点A 与B ，以及C 内从点A

到点B 的任意两条曲线1L ﹑2L ，恒有??+=+2

1

L L Qdy Pdx Qdy Pdx ，则称曲线积分

?+L

Qdy Pdx 在C 内与路径无关.

定理2 若二元函数()y x P ,，()y x Q ,以及x

Q ??，

y P ??在单连通区域G 连续，下

列四个表达式是等价的：

（1）曲线积分()

?

+B A C Qdy Pdx ,与路径C 无关，即只与始点A 与终点B 有关；

（2）在G 内存在一个函数()y x u ,，使Qdy Pdx du +=；

（3）()G y x ∈?,，有

Q

P ??；

（4）对G 内的任意光滑或逐段光滑闭曲线Γ，有?Γ

=+0Qdy Pdx .

如何判断曲线积分?+L

Qdy Pdx 与路径无关？假设()y x P ,，()y x Q ,在区域D 连续或

有连续的一阶偏导数.下面给出判断曲线积分?+L

Qdy Pdx 是否与路径无关的方法：

1）有以下方法之一均可判定?+L

Qdy Pdx 在区域D 不是与路径无关：

方法1 存在分段光滑闭曲线D C ?，?=+C

Qdy Pdx 0；

方法2 ()D y x ∈?,，

()()y

y x P x

y x Q ??≠

??,,. 2）以下方法之一均可判定?+L

Qdy Pdx 在区域D 内与路径无关: 方法1 求得()y x u ,使得()()()dy y x Q dx y x P y x du ,,,+=()()D y x ∈?,； 方法2 若D 是单连通区域，又

y

P x

Q ??=

??()()D y x ∈,.

例8 计算()()

dy y e x dx xe y L

y 22221-++?，其中L 从点()00,o 经圆周()4222

=+-y x 上

到点()04,A 的弧段.

解 直接计算曲线积分比较难，先判断是否与积分路径无关. 这里()y xe y x P 21+=,，()222y e x y x Q y -=,，有y

P xe x

Q

y ??=

=??22，且()

y x P ,与()y x Q ,在全平面上有一节连续偏导数.

因此这个曲线积分与路径无关.为便于计算，取直线段OA 作为积分路径.于是

()()()()

dy y e

x dx xe dy e x dx xe y

OA

y

y

L

y

222222211-++=++??

()12140

=+=?dx x .

总结 计算()()dy y x Q dx y x P L

,,+?型时，看是否可以直接计算，如果不可以直接计

算，则计算

y

P x

Q ??-

??，分两种情况：

（1）若

y

P x

Q ??-

??等于零，则判断L 是否是封闭曲线，如果是，则?=L

0，否

则改变路径后直接计算；

（2）若

y

P x

Q ??-

??不等于零，且当

y

P x

Q ??-

??易积，则同样判断L 是否是

封闭曲线，如果是，则使用格林公式进行计算，否则补充线段使其变为封闭曲线后使用格林公式进行计算.

4.4利用奇偶对称性计算

定理3 设L 关于y 轴对称（1L 表示在y 轴右侧的部分），则有

()()????

?=??.

Q 0,

,,2,1为偶函数关于，为奇函数关于x x Q dy y x Q dy y x Q L L 定理4 设L 关于x 轴对称（2L 表示L 在x 轴上方的部分），则有

()()????

?=??.

P 0,,2,1为偶函数关于，为奇函数，

关于x x P dy y x Q dy y x P L L 例 9 计算

()

(

)

dy

y x y e dx y e y e I x C

x x 34242

cos sin sin ++-=?，其中C 为双纽线

()

222

2

2

y x y x

-=+. 解 如图所示

直接利用命题1和命题2得：

0=I .

4.5利用数学软件Mathmatic 进行计算

在Mathematica 系统中对定积分进行近似数值计算的函数是NIntegrate,它的调用格式如下：

NIntegrate (){}[]b a x x f ,,,,

上式中的()x f 为被积分函数，x 为积分变量，a 为积分下限，b 为积分上限，有时a 可取到∞-，b 可取到∞+.

图11

下面我们用Mathematica 计算上述中的例1，例2，例4，及例5. 例1

解 若选取x 为参数

输入 I1= NIntegrate {}[

]

01,,,*x x x -,

I1= NIntegrate {}[]

10,,,*

x x x ,

I=I1+I2.

得到结果 80?.

若选取y 为参数

输入 Integrate[y^2*y*2y, {y, -1, 1}] 得到结果

5

4.

如果我们输入 NIntegrate[y^2*y*2y, {y, -1, 1}]. 得到结果 80?. 例2 输入如下

若选取x 为参数

[];:__,y x y x P *=2 []2^:__,x y x Q =；

2^:_][x x L =； 10==b a ,；

}],,{]],[,[][]][,[[b a x x L x Q x L x L x P Integrate Jifen *'+=.

则输出结果为：1.

若选取y 为参数

输入如下：

[];:__,y x y x P *=2

图12

[]2^:__,x y x Q =；

2^:_][y y L =;

}],,{]],[,[][]][,[[b a x y L x Q y L y L x P Integrate Jifen *'+=.

则输出结果为：1 例4 输入如下

y y x P -=:_]_,[； x y x Q =:_]_,[； a a =:，b b =:；

][:_][t Cos a t x *=； ][:_][t Sin b t y *=； 01=t ，2

32π

*=t ；

[][][][][][][][][]},{,,,,21t t t t y t x Q t y t y t x P t x Integrate '+',

2

35πab Out =

][.

例5 输入如下

[]y z z y x P -:__,_,；[]z x z y x Q -:__,_,；[]y x z y x R -:__,_,；

[][]t Cos t x =:_；[][]t Sin t y =:_；[][][]t Sin t Cos t z +-=2:_；

02=t ；π21=t ；

[][][][][][][][][][][][][][][][]},{,,,,,,,,21t t t t z t y t x R t z t z t y t x Q t y t z t y t x P t x Integrate '+'+'.

由此可以看出利用数学软件Mathmatic 可以避免复杂的计算，使得计算结果准确无误.

5结论

5.1 主要观点

第二型曲线积分的被积函数类型有多种，学生在做题的时候学生容易受思维的局限，对于不同类型不知用何种方法，此外，对于有些类型的题目可以一题多解，虽然用其中一种能解决，但有时显得繁琐，这时可以思考它其它的解法，这样使解题变得简单.我们还可以借助数学软件Mathematica进行求解使得计算简单.

5.2 启示

文章针对不同类型的被积函数，对第二型曲线积分的计算方法做了一个系统的归纳，这对在做题时容易辨析用何种方法计算及灵活使用计算技巧有较大的帮助，从而能进一步提高学生的解题能力，对公式定理的记忆也有好处.

5.3 局限性

由于第二型曲线积分计算灵活性较大，在文章中解题技巧不能一一归纳出.另外，Mathematica在例题中的应用没能一一写出，本文仅针对几个典型例题进行了分析. 5.4 努力方向

除了文中所述的理论知识外，由于第二型曲线积分的解题方法﹑技巧是复杂多变的，而且要有一定的实践经验为基础.在今后的学习和实践中将不断的深入研究，结合具体的实践经验，以弥补文章中的许多不足之处.