第二型曲线积分论文

目录

1 引言 (1)

2 文献综述 (1)

2.1国内外研究现状 (1)

2.2国内外研究现状评价 (1)

2.3提出问题 (2)

3预备知识 (2)

3.1第二型曲线积分的定义 (2)

3.2第二型曲线积分的性质 (3)

4第二型曲线积分的计算 (4)

4.1直接计算 (4)

4.2利用格林公式计算 (12)

4.3利用曲线与路径无关计算 (14)

4.4利用奇偶对称性计算 (16)

4.5利用数学软件Mathmatic进行计算 (16)

5结论 (19)

5.1主要观点 (19)

5.2启示 (19)

5.3局限性 (19)

5.4努力方向 (19)

参考文献 (20)

1 引言

第二型曲线积分与第一型曲线积分相比有明显不同的几何意义和物理意义，第一型曲线积分可以看成是定积分的计算，其意义较容易理解，计算也相对简单.而第二型曲线积分又称为对坐标的积分，具有第一型曲线积分不具有的方向性，计算较为复杂，物理意义十分明显，变力分别在x轴，y轴沿曲线做功，这在物理学上有着重要的应用. 对于不同类型的被积函数，对应的计算方法也不同.为了使计算更为简单，本文阐述了第二类曲线积分的计算方法，不仅可以通过参数方程转化为定积分来计算，而且对于平面曲线还可以通过格林公式转化为对二重积分的计算，第二类曲线积分还可以通过对称性分奇偶两种情况简化计算或利用了数学软件Mathmatic进行计算.

2 文献综述

2.1 国内外研究现状

查阅相关文献，众多数学教育者从不同角度和侧面探讨了第二型曲线积分的计算.刘玉琏在文献[1]中论述了第二形曲线积分的概念及其性质；富景龙在文献[2]中概括了第二型曲线积分被积函数的类型；薛嘉庆在文献[3]中讲了被积函数的类型不同有不同的计算方法，并给出了相应的例子；刘国均等在文献[4-5]中探究了第二型曲线积分可以化为定积分来计算，并给出公式及相应的证明；刘莲芬等在文献[6-7]介绍了在第二型曲线积分的计算中将路径的参数方程表示出来；王景克在文献[8-9]简述了做题常用的技巧；陈先开在文献[11-12]研究了曲线积分与路径无关问题与如何判断曲线积分与路径无关；陈文灯，黄先开在文献[13]中介绍了格林公式，并提供了一定的实例，并通过实例总结了计算第二型曲线积分的一般步骤；武艳等在文献[14]给出利用对称性计算第二型曲线积分，使得计算简单；阳明盛及林建华在文献[15]中提出了用数学软件Mathemactica解题的调用格式，使得复杂的计算简单化.

2.2国内外现状评价

从上面相关的研究中可以看出，许多对第二型曲线积分计算的研究者从不同的方面进行了相应的研究，但都只是从某一个方面进行讨论，大部分文献都没有结合数学软件Mathmatic进行空间画图及计算.

2.3提出问题

对于第二型曲线积分的计算方法有多种，那么它的计算方法具体有哪些呢？本文在参考相关文献的基础上对这一问题进行了综述，把数学软件Mathmatic 也应用在其中，并例举了一些具有针对性、典范性的例题.

3预备知识

为了更好的讲述第二型曲线积分的计算，我们下面来介绍第二型曲线积分的定义及其相关性质.

3.1第二型曲线积分的定义

设平面上有光滑有向曲线),(B A C 二元函数),(y x f 在曲线C 上有定义.用任意分法T ，将曲线C 依次分成n 个有向小弧：

⌒10A A ，⌒21A A ,…，⌒

n n A A 1-，其中B A A A n ==,0.

设第k 个小弧⌒

k k A A 1-的弦−→

−-k k A A 1在x 轴与y 轴上投影区间的长分别是k x ∆与k y ∆.

在第k 个小弧⌒k k A A 1-上任取一点),(k k k E ηε−→

−.作和

⋅∑=),(k k n k k F ηξ1

k x ∆ ， ⋅∑=),(k k n

k k F ηξ1

k y ∆ ， （1）

分别称为二元函数),(y x f 在曲线),(B A C 关于x 与y 的积分和.

令},...,,m ax {)(n s s s T ∆∆∆=21λ。（k s ∆是第k 个小弧⌒k k A A 1-的长）

若当0→)(T λ时，二元函数),(y x f 在曲线),(B A C 关于x （或y ）的积分和（1）存在极限x J （或y J ），即

x k n

k k k

I J x f =∆∑=→1

),(lim

)(ηε

λ（或y k n

k k k

I J x f =∆∑=→1

),(lim

)(ηε

λ），

称x J （或y J ）是dx y x f ),(（或（dy y x f ),(）在曲线),(B A C 的第二型曲线积分，表为

dx y x f B A C ⎰),(),( （或dy y x f B A C ⎰)

,(),(）.

因此可得到，质点在平面力场)),(),,((y x Q y x P F =−→

−的作用下，沿光滑的有向曲线C

由点A 到点B ，力场F 所作的功W 是dx y x P ),(与dy y x Q ),(在曲线),(B A C 上的第二型曲线积分之和，即

k k k T k n

k k k

I y Q x P W ∆+∆=→=→∑),(lim ),(lim

)()(ηεηε

λλ0

1

=

dy y x Q dx y x P B A C B A C ⎰⎰+)

,()

,(),(),(

通常上式简写为

dy y x Q dx y x P W B A C B A C ⎰⎰+=

)

,()

,(),(),(. （2）

若L 为封闭有向曲线, 则记为⎰+L

Qdy Pdx 或⎰+AB

Qdy Pdx ．

由弧长微分知，dx 与dy 分别是弧长微分ds 在x 轴与y 轴上的投影。弧长微分ds 的方向就是曲线),(B A C 的方向，则弧长向量微元),(dy dx ds =.于是，功W 可写成向量形式的积分

ds y x F W B A C ⋅=

⎰)

,(),(. （3）

类似地，可以定义三元函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 沿空间曲线Γ对坐标的曲线积分，即

∑⎰=→Γ

=n

k k k

T k P dx z y x P 10

),,(lim ),,()(ςηε

λx V

k

,

∑⎰=→Γ

=n

k k k

T k Q dx z y x Q 10

),,(lim ),,()(ςηε

λy V k

,

z R dx z y x R V

k n

k k k

T k ∑⎰=→Γ

=1

),,(lim ),,()(ςηε

λ,

组合形式为：dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(++⎰Γ

，其中Γ是光滑空间有向曲线，

三元函数R Q P ,,在Γ上连续.

3.2第二型曲线积分的性质

1.（方向性）对同一曲线,当方向有A 到B 改为由B 到A 时,每一小曲线段的方向都改变.即