拉普拉斯变换

拉普拉斯变换

定义式：设有一时间函数f(t) [0,∞] 或 0≤t≤∞单边函数 ,其中，S=σ+jω是复参变量，称为复频率。左端的定积分称为拉普拉斯积分，又称为f(t)的拉普拉斯变换；

右端的F(S)是拉普拉斯积分的结果，此积分把时域中的单边函数f(t)变换为以复频率S为自变量的复频域函数F(S)，称为f(t)的拉普拉斯象函数。

以上的拉普拉斯变换是对单边函数的拉普拉斯变换，称为单边拉普拉斯变换。

如f(t)是定义在整个时间轴上的函数，可将其乘以单位阶跃函数，即变为f(t)ε（t），则拉普拉斯变换为F(s),=mathcal left =int_ ^infty f(t),e^ ,dt 其中积分下标取0-而不是0或0+ ，是为了将冲激函数δ(t)及其导函数纳入拉普拉斯变换的范围。

z变换可将分散的信号（现在主要用于数字信号）从时域转换到频域。作用和拉普拉斯变换（将连续的信号从时域转换到频域）是一样的。

拉普拉斯变换是将时域信号变换到“复频域”，与傅里叶变换的“频域”有所区别。

FT[f(t)]=从负无穷到正无穷对[f(t)exp(-jwt)]积分 ,LT[f(t)]=从零到正无穷对[f(t)exp(-st)]积分 ,(由于实际应用，通常只做单边拉普拉斯变换，即积分从零开始) .具体地，在傅里叶积分变换中，所乘因子为exp(-jwt)，此处，-jwt显然是为一纯虚数；而在拉普拉斯变换中，所乘因子为exp(-st)，其中s为一复数：s=D+jw,jw是为虚部，相当于Fourier变换中的jwt，而D则是实部，作为衰减因子，这样就能将许多无法作Fourier变换的函数（比如exp(at),a>0）做域变换。拉普拉斯变换主要用于电路分析，作为解微分方程的强有力工具（将微积分运算转化为乘除运算）。但随着CAD的兴起，这一作用已不怎么受重视了，但关于其收敛域的分析（零极点图）依然常用。 Fourier 变换则随着FFT算法（快速傅立叶变换）的发展已经成为最重要的数学工具应用于数字信号处理领域。

Z变换

简单地说，就是离散信号(也可以叫做序列)的拉普拉斯变换，可由抽样信号的拉普拉斯变换导出（如果你想要更多，我可以导给你看），表示式如下：

ZT[f(n)]=从n为负无穷到正无穷对[f(n)Z^(-n)]求和 ,其所变换的域称之为“Z 域”。

傅立叶变换是拉普拉斯变换的一种特例，在拉普拉斯变换中，只要令Re[s]=1,就得到傅立叶变换。当然，两者可以转换的前提是信号的拉普拉斯变换的收敛域要包含单位圆（即包含圆周上的点）。

很多信号都不一定有傅立叶变换，因为狄力克雷条件比较苛刻，而绝大多数信号都有拉普拉斯变换。故对于连续信号，拉普拉斯变换比傅立叶变换用得更广泛。

两者的共同点：都把时域函数转换为频域函数（对于拉普拉斯变换来说，是转到复频域上）。另外，两者都能很方便地解出低阶微分方程。

fourier 变换是 laplace变换的特例 s=d+jw 实分量 d=0

laplace 变换是 z 变换的特例 z 的模等于1 在单位圆上的z 变换 L(s)=积分 l(x)*e-st s=d+jw w 是角频率

传递函数transfer function

零初始条件下线性系统响应（即输出）量的拉普拉斯变换与激励（即输入）量的拉普拉斯变换之比。记作G （s ）＝Y （s ）／U （s ），其中Y （s ）、U （s)分别为输出量和输入量的拉普拉斯变换。传递函数是描述线性系统动态特性的基本数学工具之一，经典控制理论的主要研究方法——频率响应法和根轨迹法——都是建立在传递函数的基础之上。系统的传递函数与描述其运动规律的微分方程是对应的。可根据组成系统各单元的传递函数和它们之间的联结关系导出整体系统的传递函数，并用它分析系统的动态特性、稳定性，或根据给定要求综合控制系统，设计满意的控制器。以传递函数为工具分析和综合控制系统的方法称为频域法。它不但是经典控制理论的基础，而且在以时域方法为基础的现代控制理论发展过程中，也不断发展形成了多变量频域控制理论，成为研究多变量控制系统的有力工具。传递函数中的复变量s 在实部为零、虚部为角频率时就是频率响应。

传递函数 transfer function

把具有线性特性的对象的输入与输出间的关系，用一个函数（输出波形的拉普拉斯变换与输入波形的拉普拉斯变换之比）来表示的，称为传递函数。原是控制工程学的用语，在生理学上往往用来表述心脏、呼吸器官、瞳孔等的特性。

第八章 拉普拉斯变换

基本要求：

1. 掌握拉普拉斯变换的基本概念以及常见函数的拉普拉斯正变换；

2. 利用拉普拉斯变换的基本定理，拉普拉斯变换表以及部分分式展开法对常见函数进行拉普拉斯反变换；

3. 利用拉普拉斯正反变换求解线性动态电路的常微分方程。

引言：所谓复频域分析，是指线性动态电路的一种分析方法，这种方法不是在时间域里直接进行分析和求解，而是变换到复频域的范围内求解。所使用的教学工具就是拉普拉斯变换.拉普拉斯变换是一种积分变换，是解线性常微分方程，研究线性系统的一个重要工具。下面回顾“变换”的概念。

1、对数与指数的变换 为求乘积ab

可先取对数 ln(ab)= lna+lnb 再取指数运算

ab e e b a ab ==+)ln (ln )ln(

2、相量与正弦量的变换

为了计算正弦稳态响应，可将激励源变为相量，然后在频率域里求相量（即相量法），然后再变回时域得到正弦时间函数响应。

[

]t

j m

m m e U I t n i s U t u ωϕω =+=)()(

其中 ϕϕ∠==m j m m U e

U U 此复数的模m U 就是正弦量u(t)的振幅值，幅角就是u(t)的初相角。这种对应关系就是一种变换。

§8-1 拉普拉斯变换

讲述要点：1. 拉普拉斯变换的定义

2.常见函数的拉普拉斯变换

一．拉普拉斯变换

定义式：设有一时间函数f(t) [0,∞] 或 0≤t≤∞单边函数

)s (F t d e )t (f t s =⎰

∞

-

-0

其中，S=σ+jω 是复参变量，称为复频率。

左端的定积分称为拉普拉斯积分，又称为f(t)的拉普拉斯变换；

右端的F(S)是拉普拉斯积分的结果，此积分把时域中的单边函数f(t)变换为以复频率S 为自变量的复频域函数F(S)，称为f(t)的拉普拉斯象函数。

以上的拉普拉斯变换是对单边函数的拉普拉斯变换，称为单边拉普拉斯变换。

如f(t)是定义在整个时间轴上的函数，可将其乘以单位阶跃函数，即变为f(t)ε（t ），则拉普拉斯变换为

t d e t t f S F t s ⎰

∞

-

-=

0))()(（ε

其中积分下标取0-而不是0或0+ ，是为了将冲激函数δ(t)及其导函数纳入拉普拉斯变换的范围。

二．拉普拉斯反变换

S d e S F t j

t f j j t S ⎰∞

+∞

-=σσεπ)()

(21

)(

这是复变函数的积分

拉氏变换和拉氏反变换可简记如下

F(S)=L[f(t)] ； f(t)=L -1

[F(s)]

三．拉氏变换的收敛域： 例

8-1-1 单边指数函数

)(t e t a ε（其中a 为复常数）

∞---∞

-

---∞

-

--==

=

=

⎰

⎰

0)(0)(0)

(1

)()()(t

a s t a S t

S t a e a s t d t e t d e

t e S F εε

当 ]a s [R e -＞0时，结果为有限值即

a

s t e L s F t a -=

=1

])([)(ε