拉普拉斯变换
拉普拉斯变换法
拉普拉斯变换法
拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t) 与复变函数F(s) 联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。
由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。
拉普拉斯变换的定义
一个定义在[0,+∞) 区间的函数f(t) ，它的拉普拉斯变换式F(s) 定义为
式中s=σ+jω为复数，被称为复频率；F(s)为f(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数。
由F(s) 到f(t) 的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为
式中c 为正的有限常数。
留意：
1）定义中拉氏变换的积分从t=0-开头，即：
它计及t=0-至0+ ，f(t) 包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电路的计算带来便利。
2）象函数F(s) 一般用大写字母表示, 如I(s)，U(s) ，原函数f(t)
用小写字母表示，如i(t),u(t)。
3）象函数F(s) 存在的条件：。
拉普拉斯变换公式大全
拉普拉斯变换公式大全1.原始函数的拉普拉斯变换F(s)=L{f(t)}2.常数的拉普拉斯变换对于任意实常数A，其拉普拉斯变换为：L{A}=A/s3.单位冲激函数的拉普拉斯变换单位冲激函数δ(t)的拉普拉斯变换为：L{δ(t)}=14.时延定理时延定理指出，当原始函数向右延时T秒时，其拉普拉斯变换会乘以e^(-sT)。
具体公式如下：L{f(t-T)}=e^(-sT)F(s)5.缩放定理缩放定理指出，当原始函数的变量变为原来的α倍时，其拉普拉斯变换会变为原来的1/α倍。
具体公式如下：L{f(αt)}=1/αF(s/α)6.积分定理积分定理指出，对于原始函数的积分，其拉普拉斯变换可以通过将变换域上的变量s除以s平方。
具体公式如下：L{∫f(t)dt} = 1/sF(s)7.乘积定理乘积定理指出，对于原始函数的乘积，其拉普拉斯变换可以通过将变换域上的变量s替换为s减去相应函数的变换。
具体公式如下：L{f(t)g(t)}=F(s)*G(s)8.指数函数的拉普拉斯变换指数函数e^(at)的拉普拉斯变换为：L{e^(at)} = 1/(s-a)9.幂函数的拉普拉斯变换幂函数t^n的拉普拉斯变换为：L{t^n}=n!/(s^(n+1))10.正弦函数的拉普拉斯变换正弦函数sin(ωt)的拉普拉斯变换可通过欧拉公式和拉普拉斯变换公式进行变换。
具体公式如下：L{sin(ωt)} = ω/(s^2 + ω^2)以上是拉普拉斯变换的一些重要公式。
通过应用这些公式，我们可以将原始函数在时域上的操作转换为变换域上的操作，从而解决各种线性常微分方程、控制系统和信号处理问题。
拉普拉斯变换
解： Q lim f (t) lim sF(s)
t 0
s
f 0 lim sF (s) s lim s s s a lim 1 s 1 a s 1
f (0)
❖ 6、终值定理
若
f t F s
则
lim f (t) lim sF (s)
t
s0
2.3 拉氏反变换
一、定义：
将象函数 F(s) 变换到与其对应的原函数 f (t)
1 2
Rt
2
t0
0
t
上式中R为常数, 表示抛物线函数信号的幅值。
R(s)
Lr(t)
R S3
4、其他常见函数
L[sin t]
s2
2
L[cos t ]
s2
s
2
L[eat ] 1 sa
L[ (t)] 1
2.2 拉氏变换的运算定理
❖ 1、线形定理(叠加+比例)
若
f1 t F1 s f2 t F2 s
0 1
t 0 t 0
F (s) L[ (t)] 1
s
1 1 s
阶跃信号
0 t 0
r(t)
r(t) R t 0
R 0
t
上式中R为常数, 表示阶跃函数信号的幅值。
阶跃函数的拉氏变换为
R(s) L[r(t)] L[R] R s
2、单位斜坡函数
0 t 0 f (t) t t 0
F (s)
s2 3s 5 A1 (s 2)(s 3) 1.5
s 1
1.5 3 2.5 s 1 s 2 s 3
A2
s2 3s 5 (s 1)(s 3)
3
s 2
故原函数为
拉普拉斯变换
d f (t ) s n F (s) s n1 f (0 ) f ( n1) (0 ) L[ ] n dt
n
返 回
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下 页
若初始条件为零
3.积分定理 若
f (t ) F ( s)
则
若初始条件为零，则
1 为积分算子 s
4.延迟性质 若： L[ f (t )] F (s)
返 回
pn t
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待定常数的确定： 方法1
K i F ( s)( s pi ) s pi i 1 2、 、 n 、 3
K2 Kn ( s p1 ) F (s) K1 ( s p1 ) s p s pn 2
f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) f n (t )
部分分式 展开法
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N ( s) a0 s a1s am F ( s) (n m) n n 1 D( s) b0 s b1s Fra bibliotek bn 3
d K 21 [( s 1) 2 F ( s)] s 1 d [ s 4 ] s 1 4 ds ds s
f (t ) 4 4e 3te
t
t
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小结 由F(s)求f(t) 的步骤： n =m 时将F(s)化成真分式和多项式之和 N 0 (s) F (s) A D(s)
0
t
6.衰减定理 若 f (t ) F ( s) 则
返 回 上 页 下 页
F1 ( s) F2 ( s)
7.初值定理
若
(完整版)拉普拉斯变换
t
Re(s) 0
4)卷积特性（convolution）
若 则有
f1 (t) L F1 (s) f 2 (t) L F2 (s)
Re( s) s 1 Re( s) s 2
f1 (t) f 2 (t) L F1 (s)F2 (s) Re( s) max( s 1,s 2 )
L[ f1(t) f2 (t)] 0
F
(
s)
1 s2
e - s 1
Re(s) -
例：单边周期信号的Laplace变换。 f(t)
单边周期信号的定义：
f(t)=f(t+nT); t0, n=0,1,2,...
0 T 2T 3T
t
定义：f1
(t)
f 0
(t
)
0t T 其它
单边周期信号
f (t)
k 0
f1(t - kT)u(t - kT)
L[ f (t)]
k 0
e-skT F1(s)
F1(s) 1- e-sT
Re(s) 0
例：求如图所示周期方波的Laplace变换。
f(t) 1
01
2345 周期方波信号
L[u(t) - u(t -1)] 1- e-s s
F(s) 1- e-s s
1 1- e-2s
1 s(1 e-s )
若
f (t) L F (s) Re( s) s 0
则有 f (at) L 1 F ( s ) aa
a 0, Re( s) as 0
L[ f (t)]
0-
f (at)e-st dt
1 a 0-
f
-st
(t)e a dt
1
F(
拉普拉斯变换
f (t ) = te
at 0
at
L[te ] = ∫ te e dt =
1 = 2 (s − a)
Modern Control Laplace
+∞
at − st
8．周期函数
1 L[ f (t )] = − sT 1− e
f1 ( t )
∫
T
0
f (t )e dt
− st
b
0
1b
2b
t
Modern
j ωt
f (t ) = F
Modern Control
−1
[F (ω )]
Laplace
一、拉普拉斯变换的定义
Laplace变换 Laplace变换
F ( s) = ∫
+∞
F ( s ) = L[ f (t )]
0
f (t )e dt
− st
Laplace反变换 Laplace反变换
1 σ + j∞ st f (t ) = F ( s ) e ds ∫ 2πj σ − j∞
ω
σ
控制衰减速度
Laplace
二、常用的拉普拉斯变换 1.阶跃函数 1.阶跃函数
f (t ) = u (t ) = 1(t )
L[u( t )] = ∫
∞ 0
(σ > −α )
1 ⋅ e d t = 1 e − st −s
− st
∞ 0
1 = s
Modern
Control
Laplace
二、常用的拉普拉斯变换 2.单位冲激信号 2.单位冲激信号
Control
Laplace
三、拉氏变换的性质 1.线性性质 1.线性性质
拉普拉斯变换
1
s s 1
1 s
s
1 1
所以 f t 1 et
例2
已知
F
s
1 es s2 1
求 f (t)
解
ℒ1
1 s2
1
sin
t
ℒ 1est0 F(s) f (t t0)u(t t0), t0 1
所以 f t sint 1ut 1
1 3
s
3
22
32
所以 f t 2e2 t cos 3t 1 e2 t sin 3t
3
2 利用留数定理求拉氏逆变换
定理：设F(s) 除在半平面 Re s c 内有限
个孤立奇点 s1, s2 , sn 外是解析的，且
当s 时，F(s) 0 ，则有
1
2) f (t ) k(1 eat )
上述函数的定义域为[0， ∞]，求其象函数。
解 ： 1)L[sin(t )] L[ 1 (e jt e jt )]
2j 1[ 1 1 ]
2 j S j S j
S2 2
2)L[k(1 eat )] L[k] L[keat ] k k ka s s a s(s a)
s
解
F s s3 s2 s 5 s2 s 1 5
s
s
所以 f t t t t 5
例3 已知
F
s
s
2s 5
22
9
求 f (t)
解
F
s
s
拉普拉斯变换
定义
定义
一个定义在区间的函数,它的拉普拉斯变换式定义为称为的象函数，称为的原函数。 通常用表示对方括号里的时域函数作拉氏变换，记作
定义式
ห้องสมุดไป่ตู้
定义式
式中，是复变量的函数，是把一个时间域的函数变换到复频域内的复变函数。 为收敛因子。 为一个复数形式的频率，简称复频率，其中实部恒为正，虚部可为正、负、零。
拉普拉斯变换
工程数学中常用的一种积分变换
01 定义
03 存在条件 05 实例
目录
02 定义式 04 公式概念 06 基本性质
07 发展历史
09 应用定理
目录
08 联系
基本信息
拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换。 拉氏变换是一个线性变换，可将一个有参 数实数t（t≥ 0）的函数转换为一个参数为复数s的函数。拉普拉斯变换在许多工程技术和科学研究领域中有着 广泛的应用，特别是在力学系统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统以及随机服务系统等系统科学中都起着 重要作用。
应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上， 拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；在线性系统，控制自动化 上都有广泛的应用。
谢谢观看
存在条件
存在条件
表达式中，右边的积分为有限值。
公式概念
公式概念
拉普拉斯变换应用过程中，需要从实际出发，首先以研究对象为基础，将其规划为一个时域数学模型，然后 再借助于拉普拉斯变换数学工具转变为复域数学模型，最后如果想要结果表现的更直观，可以使用图形来表示， 而图形的表示方法是以传递函数(复域数学模型)为基础，所以拉氏变换是古典控制理论中的数学基础。利用拉氏 变换变换求解数学模型时，可以当作求解一个线性方程，换而言之拉氏变换不仅可用来将简单的时域信号转换为 复数域信号，还可以用来求解控制系统微分方程。拉氏变换是将时域信号变为复数域信号，反之，拉氏反变换是 将复数域信号变为时域信号。
完整版拉普拉斯变换表
完整版拉普拉斯变换表拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，它能将时间域上的函数转换为频率域上的函数，为信号处理、电路分析等领域的数学建模和分析提供了极大的便利。
下面是完整版的拉普拉斯变换表，列出了常用的函数及其对应的拉普拉斯变换公式。
1. 常数函数：f(t) = 1，其拉普拉斯变换为：F(s) = 1/s2. 单位阶跃函数：f(t) = u(t)，其拉普拉斯变换为：F(s) = 1/s3. 指数函数：f(t) = e^-at，其拉普拉斯变换为：F(s) = 1/(s + a)4. 正弦函数：f(t) = sin(ωt)，其拉普拉斯变换为：F(s) = ω/(s^2 + ω^2)5. 余弦函数：f(t) = cos(ωt)，其拉普拉斯变换为：F(s) = s/(s^2 + ω^2)6. 指数衰减正弦函数：f(t) = e^-at sin(ωt)，其拉普拉斯变换为：F(s) = ω/( (s+a)^2 + ω^2 )7. 指数衰减余弦函数：f(t) = e^-at cos(ωt)，其拉普拉斯变换为：F(s) = (s+a)/( (s+a)^2 + ω^2 )8. 阻尼正弦函数：f(t) = e^-αt sin(ωt)，其拉普拉斯变换为：F(s) = ω/( (s+α)^2 + ω^2 )9. 阻尼余弦函数：f(t) = e^-αt cos(ωt)，其拉普拉斯变换为：F(s) = (s+α)/( (s+α)^2 + ω^2 )10. 给定函数f(t)的导数Laplace变换：f'(t) 的Laplace 变换 F(s) 为：F(s)= s*F(s) - f(0)11. 给定函数f(t)的不定积分Laplace变换：∫f(t)dt 的 Laplace 变换 F(s) 为：F(s)= 1/s*F(s)12. Laplace变换与乘法定理：L{f(t) g(t)} = F(s)G(s)13. Laplace变换与移位定理：L{f(t-a) u(t-a)} = e^-as F(s)14. Laplace变换与初值定理：f(0+) = lims→∞ sF(s)f'(0+) = lims→∞ s^2F(s) - sf(0+)f''(0+) = lims→∞ s^3F(s) - s^2f(0+) - sf'(0+)15. Laplace变换与终值定理：limt→∞ f(t) = lims→0 sF(s)limt→∞ f'(t) = lims→0 s^2F(s) - sf(0+)limt→∞ f''(t) = lims→0 s^3F(s) - s^2f(0+) -sf'(0+)这是完整版的拉普拉斯变换表，其中列出了常用的函数及其对应的拉普拉斯变换公式，以及常见的拉普拉斯变换定理和公式。
拉普拉斯变换
2、单位阶跃函数
0 r (t ) 1
t 0 t0
拉普拉斯变换为
R( s) Lr (t ) r (t )e dt
st 0
0
1 1 e dt S
st
3、单位斜坡函数
0 r (t ) t
拉普拉斯变换为
t 0 t0
R( s) Lr (t ) r (t )e dt
0
n! t e dt n 1 s
n st
其余函数的拉氏变换查附录B
三、拉普拉斯变换的基本定律 1、 线性定律
设 F1 (s) L f1 (t ) F2 (s) L f 2 (t ) ，a、b为 常(t ) aF1 (s) bF2 (s)
st 0
0
1 t e dt 2 s
st
4、正弦函数
0 r (t ) sin t
拉普拉斯变换为
0
，式中为常数 t0
st st
t 0
R(s) Lr (t ) r (t )e dt sin t e dt
0
由欧拉公式：
1 jt jt sin t (e e ) 2j
待定系数Ki F (s)( s pi )s pi
Kn K1 K2 F ( s) s p1 s p2 s pn
…… ④
…… ⑤
2、 有重极点的情况 设F(s)只有r 个重极点而无其它单极点 Kr K r 1 K1 F ( s) …… ⑥ r r 1 ( s p0 ) ( s p0 ) s p0
此时r=n，Ki为待定系数，由下式确定：
拉普拉斯变换
了拉普拉斯变换 。
2、拉普拉氏变换 式中 S= δ+jω
G
(t
)
(t
)e
t
e
jt
dt
f (t)e( j)t dt 0
f (t)est dt 0
——称为复频率——算子；
f(t)= ψ(t)·ε(t) ——实际上还是ψ(t)。
§14-1拉普拉斯变换的定义
§14-2拉普拉斯变换的性质
§14-3拉普拉斯反变换的部分分式展开法
§14-4运算电路
§14-5应用拉普拉斯变换法分析线性电路
§14-1拉普拉斯变换的定义 一、 拉普拉斯变换的由来
（一） 傅立叶级数
1、付氏三角级数
如右图fT(t)是一个周期函数， 非正弦，若加在激励端分析其 响应是很困难的，可以用第十 三章将非正弦信号分解为傅立 叶三角级数。将其分解为f1(t) + f2(t) 。f1(t) 和f2(t) 均为正弦信号 可以分别求其响应，而后叠加 得到 fT(t) 的响应。
s2
s
2
三、微分性质： 若某函数的象函数为： L[f(t)] = F(s)，则：
L[ df (t)] dt
s F(s)
f (0 )
例4、求 (t) d (t) 的象函数。
dt
解： L[ (t)] 1
s
例5、已知 ：L[sint]
L[
s2 2
(t
)
]
s
1 s
(0
)
，求 L[cosωt]
第十四章 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是一个数学工具，它可以将时域里的高阶微分 方程变换为复频域里的代数方程，从而大大简化求解过程。由于 这个变换是唯一的，因而复频域里的解也唯一地对应着原时域里 微分方程的解，通过反变换即可得到微分方程的解。这样就为分 析解决高阶电路提供了一个简便和实用的方法——运算法。因此， 拉普拉斯变换涉及到正变换和反变换两方面。
拉普拉斯变换
0
f1( )
e p d ]
f1( p) f2 ( p)
例1：求 L[sint] ， L[cost]
解： L[est ] 1 ps
L[sin t]
sin t 1 (ei t ei t )
2i
cos t 1 (ei t ei t )
2
1[ 1
2i p i
1]
p i
p2 2
(Re p 0)
有限个第一类间断点外，函数f(t)及其导数是连续的，(2)
存在常数M>0和σ≥0,使对任何t，有
f (t) Met
σ的下界称为收敛横标，用σ0表示， 则：f (t) Me0t
f (t)e t dt Me0 te t dt M e( 0 ) tdt
0
0
0
M
0
(
0)
即要求： Re p 0
L[cos t]
11
1
p
[
2 p i
]
p i
p2 2
(Re p 0)
例2：求函数f(t)=tsint、 f(t)=tn的拉氏变换
解：
L[sin t]
p2
2
(Re p 0)
由像函数的导数定理
L[t
sin
t
]
d dp
[
p
2
2
]
2p ( p2 2)2
同理可得
L[t cos t]
p2 2 ( p2 2)2
0
fd
(
)ep d
L[ fd (t)]
所以:
L[
fb
(t)]
1
1 e
pT
T 0
fb( )ep d
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种在信号与系统领域中广泛应用的数学工具。
它将一个时间域函数转换为一个复频域函数，从而可以方便地进行信号的分析和处理。
拉普拉斯变换不仅在电子工程、通信工程领域得到广泛应用，还在物理学、控制论、图像处理等领域有重要应用。
一、拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义如下：对于给定函数f(t)，它的拉普拉斯变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫{0,∞} f(t)e^(-st)dt其中，s是复变量，表示变换域的频率。
f(t)是定义在非负实数轴上的函数。
拉普拉斯变换有一个重要的性质是可逆的，即给定F(s)，可以通过逆变换求得原函数f(t)。
二、拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换有一系列的性质，这些性质可以帮助我们简化计算或者分析信号的特性。
下面介绍几个常用的性质：1. 线性性质：对于任意常数a和b，以及两个函数f(t)和g(t)，有线性性质成立：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)其中，F(s)和G(s)分别是函数f(t)和g(t)的拉普拉斯变换。
2. 积分性质：对于函数f(t)的积分，有以下性质成立：L{∫{0,t} f(τ)dτ} = 1/(s)F(s)其中，F(s)是函数f(t)的拉普拉斯变换。
3. 正比例性质：如果一个函数f(t)等于另一个函数g(t)乘以常数a，那么它们的拉普拉斯变换也有类似的关系：L{ag(t)} = aG(s)其中，G(s)是函数g(t)的拉普拉斯变换。
三、拉普拉斯变换的应用1. 信号系统分析：拉普拉斯变换广泛应用于信号与系统的分析。
通过将差分方程或微分方程转换成拉普拉斯域，可以简化对系统的分析和建模。
根据拉普拉斯变换的性质，可以求解系统的频域响应、稳定性、传输函数等重要特性。
2. 控制系统设计：在控制论中，拉普拉斯变换是设计和分析控制系统的重要工具。
通过将系统的传递函数转换成拉普拉斯域，可以方便地调整系统的稳定性、响应速度、抗干扰能力等参数，并进行频域设计和系统优化。
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、控制系统、电路分析等领域。
它可以将时间域中的函数转换为复频域中的函数，为我们分析和处理信号提供了很大的便利。
本文将介绍拉普拉斯变换的定义、性质以及在实际应用中的一些例子。
一、定义拉普拉斯变换可以将一个实函数 f(t) 转换为复函数 F(s)，其中 t 表示时间，s 表示复频率。
拉普拉斯变换定义如下：F(s) = L[f(t)] = ∫[0, ∞] e^(-st) f(t) dt其中，e 是自然常数，s 是复变量。
拉普拉斯变换的积分区间是从 0 到正无穷，表示了信号在整个时间轴上的变化。
二、性质拉普拉斯变换具有一些重要的性质，可以简化我们对信号的分析。
下面介绍几个常用的性质：1. 线性性质：对于任意的常数 a 和 b，有 L[a·f(t) + b·g(t)] = a·F(s) + b·G(s)。
拉普拉斯变换可以线性叠加。
2. 积分性质：如果一个函数的拉普拉斯变换是 F(s)，那么这个函数的积分的拉普拉斯变换是1/s·F(s)。
该性质对于求解微分方程非常有用。
3. 导数性质：如果一个函数的拉普拉斯变换是 F(s)，那么这个函数的导数的拉普拉斯变换是 s·F(s) - f(0+)。
这个性质也对求解微分方程十分重要。
除了上述性质，拉普拉斯变换还具有平移性质、卷积性质和初值定理等，这些性质使得我们可以快速、方便地进行信号分析和处理。
三、应用举例拉普拉斯变换在实际应用中有着广泛的应用。
下面举例几个常见的应用场景：1. 信号处理：对于一个时域的信号，通过拉普拉斯变换可以将其转换为频域信号，从而方便我们对信号的频域特性进行分析。
例如，在音频处理中，拉普拉斯变换能够帮助我们对音频信号的频谱进行分析，实现去噪、音频增强等功能。
2. 控制系统：拉普拉斯变换可以帮助我们分析和设计控制系统的稳定性和性能。
18讲 拉普拉斯变换
令t t0
t 0
e
p t0
f ( )e
p
d 0 + e
p t0
0
f ( )e p d e pt0 f ( p).
6、位移定理：L [e t f (t )] f ( p + ). 证明： [e t f (t )] e t f (t )e pt dt L
数连续；(2)存在常数M>0和s≥0，使对任何宗量t，都有|f(t)|<Mest。
其中s的下界称为收敛横标，记作s0。
2、 变换 由满足拉普拉斯变换条件的函数f(t)构造一新函数g(t)= e-st f(t)， 其中 e-st称为收敛因子。总能找到合适的s0，使得g(t)在(-∞, ∞)
区间上绝对可积，这样g(t)便满足傅里叶变换条件，故：
0
pt
dt + c2 f 2 (t )e p t dt c1 f1 ( p) + c2 f 2 ( p). 0
2、导数定理： L [ f (t )] pf ( p) f (0). 证明： L [ f (t )] f (t )e pt dt
0
分部积分
f (t )e
证明： 拉普拉斯函数要求宗量不小于0，故卷积
d
0
L [ f1 (t ) * f 2 (t )] f1 ( ) f 2 (t )d e pt dt. 0 0 如右图：上式的积分区域为第一象限的
f (t , a ), L[ f (t , a )] L [ f (t , a )] a a a a a a L [ f (t , a )da ] L [ f (t , a )]da f (t , a )da . 0 0 0 五、举例 f (t ) t m (m为非负整数). 例1、求幂函数的像： 分部积分 解：L [t m ] t me pt dt 1 t m e pt + m t m1e pt dt 0 0 p p 0 取 Re p 0 再分部积 m 1次 m！ m！ pt 0 + e dt m +1 . m 0 p p
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拉普拉斯变换定义式：设有一时间函数f(t) [0,∞] 或 0≤t≤∞单边函数 ,其中，S=σ+jω是复参变量，称为复频率。
左端的定积分称为拉普拉斯积分，又称为f(t)的拉普拉斯变换；右端的F(S)是拉普拉斯积分的结果，此积分把时域中的单边函数f(t)变换为以复频率S为自变量的复频域函数F(S)，称为f(t)的拉普拉斯象函数。
以上的拉普拉斯变换是对单边函数的拉普拉斯变换，称为单边拉普拉斯变换。
如f(t)是定义在整个时间轴上的函数，可将其乘以单位阶跃函数，即变为f(t)ε（t），则拉普拉斯变换为F(s),=mathcal left =int_ ^infty f(t),e^ ,dt 其中积分下标取0-而不是0或0+ ，是为了将冲激函数δ(t)及其导函数纳入拉普拉斯变换的范围。
z变换可将分散的信号（现在主要用于数字信号）从时域转换到频域。
作用和拉普拉斯变换（将连续的信号从时域转换到频域）是一样的。
拉普拉斯变换是将时域信号变换到“复频域”，与傅里叶变换的“频域”有所区别。
FT[f(t)]=从负无穷到正无穷对[f(t)exp(-jwt)]积分 ,LT[f(t)]=从零到正无穷对[f(t)exp(-st)]积分 ,(由于实际应用，通常只做单边拉普拉斯变换，即积分从零开始) .具体地，在傅里叶积分变换中，所乘因子为exp(-jwt)，此处，-jwt显然是为一纯虚数；而在拉普拉斯变换中，所乘因子为exp(-st)，其中s为一复数：s=D+jw,jw是为虚部，相当于Fourier变换中的jwt，而D则是实部，作为衰减因子，这样就能将许多无法作Fourier变换的函数（比如exp(at),a>0）做域变换。
拉普拉斯变换主要用于电路分析，作为解微分方程的强有力工具（将微积分运算转化为乘除运算）。
但随着CAD的兴起，这一作用已不怎么受重视了，但关于其收敛域的分析（零极点图）依然常用。
Fourier 变换则随着FFT算法（快速傅立叶变换）的发展已经成为最重要的数学工具应用于数字信号处理领域。
Z变换简单地说，就是离散信号(也可以叫做序列)的拉普拉斯变换，可由抽样信号的拉普拉斯变换导出（如果你想要更多，我可以导给你看），表示式如下：ZT[f(n)]=从n为负无穷到正无穷对[f(n)Z^(-n)]求和 ,其所变换的域称之为“Z 域”。
傅立叶变换是拉普拉斯变换的一种特例，在拉普拉斯变换中，只要令Re[s]=1,就得到傅立叶变换。
当然，两者可以转换的前提是信号的拉普拉斯变换的收敛域要包含单位圆（即包含圆周上的点）。
很多信号都不一定有傅立叶变换，因为狄力克雷条件比较苛刻，而绝大多数信号都有拉普拉斯变换。
故对于连续信号，拉普拉斯变换比傅立叶变换用得更广泛。
两者的共同点：都把时域函数转换为频域函数（对于拉普拉斯变换来说，是转到复频域上）。
另外，两者都能很方便地解出低阶微分方程。
fourier 变换是 laplace变换的特例 s=d+jw 实分量 d=0laplace 变换是 z 变换的特例 z 的模等于1 在单位圆上的z 变换 L(s)=积分 l(x)*e-st s=d+jw w 是角频率传递函数transfer function零初始条件下线性系统响应（即输出）量的拉普拉斯变换与激励（即输入）量的拉普拉斯变换之比。
记作G （s ）＝Y （s ）／U （s ），其中Y （s ）、U （s)分别为输出量和输入量的拉普拉斯变换。
传递函数是描述线性系统动态特性的基本数学工具之一，经典控制理论的主要研究方法——频率响应法和根轨迹法——都是建立在传递函数的基础之上。
系统的传递函数与描述其运动规律的微分方程是对应的。
可根据组成系统各单元的传递函数和它们之间的联结关系导出整体系统的传递函数，并用它分析系统的动态特性、稳定性，或根据给定要求综合控制系统，设计满意的控制器。
以传递函数为工具分析和综合控制系统的方法称为频域法。
它不但是经典控制理论的基础，而且在以时域方法为基础的现代控制理论发展过程中，也不断发展形成了多变量频域控制理论，成为研究多变量控制系统的有力工具。
传递函数中的复变量s 在实部为零、虚部为角频率时就是频率响应。
传递函数 transfer function把具有线性特性的对象的输入与输出间的关系，用一个函数（输出波形的拉普拉斯变换与输入波形的拉普拉斯变换之比）来表示的，称为传递函数。
原是控制工程学的用语，在生理学上往往用来表述心脏、呼吸器官、瞳孔等的特性。
第八章 拉普拉斯变换基本要求：1. 掌握拉普拉斯变换的基本概念以及常见函数的拉普拉斯正变换；2. 利用拉普拉斯变换的基本定理，拉普拉斯变换表以及部分分式展开法对常见函数进行拉普拉斯反变换；3. 利用拉普拉斯正反变换求解线性动态电路的常微分方程。
引言：所谓复频域分析，是指线性动态电路的一种分析方法，这种方法不是在时间域里直接进行分析和求解，而是变换到复频域的范围内求解。
所使用的教学工具就是拉普拉斯变换.拉普拉斯变换是一种积分变换，是解线性常微分方程，研究线性系统的一个重要工具。
下面回顾“变换”的概念。
1、对数与指数的变换 为求乘积ab可先取对数 ln(ab)= lna+lnb 再取指数运算ab e e b a ab ==+)ln (ln )ln(2、相量与正弦量的变换为了计算正弦稳态响应，可将激励源变为相量，然后在频率域里求相量（即相量法），然后再变回时域得到正弦时间函数响应。
[]tj mm m e U I t n i s U t u ωϕω =+=)()(其中 ϕϕ∠==m j m m U eU U 此复数的模m U 就是正弦量u(t)的振幅值，幅角就是u(t)的初相角。
这种对应关系就是一种变换。
§8-1 拉普拉斯变换讲述要点：1. 拉普拉斯变换的定义2.常见函数的拉普拉斯变换一．拉普拉斯变换定义式：设有一时间函数f(t) [0,∞] 或 0≤t≤∞单边函数)s (F t d e )t (f t s =⎰∞--0其中，S=σ+jω 是复参变量，称为复频率。
左端的定积分称为拉普拉斯积分，又称为f(t)的拉普拉斯变换；右端的F(S)是拉普拉斯积分的结果，此积分把时域中的单边函数f(t)变换为以复频率S 为自变量的复频域函数F(S)，称为f(t)的拉普拉斯象函数。
以上的拉普拉斯变换是对单边函数的拉普拉斯变换，称为单边拉普拉斯变换。
如f(t)是定义在整个时间轴上的函数，可将其乘以单位阶跃函数，即变为f(t)ε（t ），则拉普拉斯变换为t d e t t f S F t s ⎰∞--=0))()(（ε其中积分下标取0-而不是0或0+ ，是为了将冲激函数δ(t)及其导函数纳入拉普拉斯变换的范围。
二．拉普拉斯反变换S d e S F t jt f j j t S ⎰∞+∞-=σσεπ)()(21)(这是复变函数的积分拉氏变换和拉氏反变换可简记如下F(S)=L[f(t)] ； f(t)=L -1[F(s)]三．拉氏变换的收敛域： 例8-1-1 单边指数函数)(t e t a ε（其中a 为复常数）∞---∞----∞---====⎰⎰0)(0)(0)(1)()()(ta s t a S tS t a e a s t d t e t d et e S F εε当 ]a s [R e -＞0时，结果为有限值即as t e L s F t a -==1])([)(ε具体的说,即Re[s]- Re[a]=σ- Re[a] > 0 有σ> Re[a]这时e a tε(t)的拉氏变换存在。
我们称σ> Re[a]的s=σ+j ω的范围为该函数的拉氏变换的收敛域，一般而言，对一个具体的单边函数f(t)，并非所有的σ值都能使f(t)e σt 绝对可积，即把能使用f(t)e σt绝对可积的s 的范围称为单边函数f(t)的拉氏变换的收敛域。
收敛域可以在s 平面上表示出来，如下图。
如前例变换的收敛域为:σ> Re[a]=σO例8-1-2， 单位冲激函数δ(t)的象函数⎰⎰∞-=-∞--====0001t d )t (e t d e )t ()]t ([L )s (F t ts t s δδδ收敛域为整个s 平面例8-1-3 单位阶跃函数ε（t ）的象函数sest d et d e)t ()]t ([L )s (F ts ts ts 11000=-====∞-∞---∞--⎰⎰εε收敛域σ>0 , 右半s 平面§8-2 拉普拉斯变换的基本性质讲述要点：微分定理，积分定理， 时域卷积定理假定以下需进行拉氏变换的函数，其拉氏变换都存在 1、线性组合定理L[af 1(t)±bf 2(t)]=aL[f 1(t)]±b[f 2(t)]若干个原函数的线性组合的象函数，等于各个原函数的象函数的线性组合。
例8-2-1 求sinωtε(t)的象函数])t (e j )t (e j [L )t (n i s [L tj t j εεεωω--=∴2121}])t (e [L ])t (e [L {jt j t j εεωω--=21)j s j s (j ωω+--=1121 j e e t tj t j 2sin ωωω--=σ s2222221ωωωω+=+⋅=s s j j 同理可得L[cosω(t)]=22ω+s s )e e t (cos tj t j 2ωωω-+=此二函数的拉氏变换收敛域为00][>>±σω即j s R e2、微分定理 设 L[f(t)]=F(s)，则有)(f )s (F S )(f )]t (f [L S )t (f td d[L ---=-=00 证明：⎰⎰∞-∞---==00)()(])([t f d e dt t f td det f td d L t s ts ⎰∞--∞---=00t s ts e d )t (f )t (f e其中 0==-∞=-)t (f e m i )t (f e t s t t s 这是可以进行拉氏变换的条件，即f(t)乘上t s e 必衰减为零(t→∞)才能绝对可积。
于是有t d e )t (f )s ()(f ])t (f td d[L t s ⎰∞------=00=SL[f(t)-f(0-) 得证！f(t)的二阶导数的象函数，可重复利用微分定理)0()]([)([22-'-=f t f td dL S t f t d d L =S {sL[f(t)]-f(0-)}- f /(0-) =S 2L[f(t)]-Sf(0-)-f /(0-)f(t)的n 阶导数的象函数应为)(f S )(f S )(f S )(f S )]t (f [L S ])t (f t d d [L )n ()n (n n n nn -----------'--=000010221记入f(0-)到f (n -1)(0-)共n 个原始值例8-2-2 某动态电路的输入—输出方程为)()()()()(010122t e b t e t d db t r a t r t d d a t r td d +=++ 原始值为r(0-)及r /(0-) ，原始值为e(0-)=0，求r(t)的象函数。