一般位置直线和平面求交线
第3章 3.2直线与平面、平面与平面相交
6、两一般位置平面相交
6、两一般位置交
例：求一铅垂面ABCD与一般位置平面EFG的交线为KL。
4、两投影面垂直面相交
例：如图，求两铅垂面ABCD与EFG的交线。
5、一般位置直线与一般位置平面相交
因一般位置直线与一般平面的投影均无积聚性，所以交 点的投影无法从投影图中直接得出，而需采用辅助平面的 方法。
例：如图，求一般直线AB与三 角形CDE平面的交点。
5、一般位置直线与一般位置平面相交
6、两一般位置平面相交
思路1：两平面的交线为一条直线，因此只要求得交线 上的两点即可确定该交线，而这些点可以看作是一个平面 上的直线与另一平面的交点，这样便把求平面与平面交线 的问题转化为求直线与平面交点的问题。如图3-11。
例：求一般位置直线AB与铅垂面P的交点K。
在《画法几何》中我 们默认平面是不透明的 ，所以还要判断可见性 。同样，可见部分采用 实线表示，被遮挡的不 可见的部分采用虚线表 示。
2、一般位置平面与投影面垂直线相交
例：求铅垂线MN与一般 位置平面△ABC的交点。 注意：交点K为可见与不 可见的分界线。 练习：绘制直线上半部分 被平面遮挡的情况。
画法几何
主讲：郭国梁
齐齐哈尔大学建筑与土木工程学院
序：
关于直线与平面、平面与平面的相交关系，我们首先 来明确以下三点：
①直线与平面相交，相交 部分是一点； ②平面与平面相交，相交 部分是一直线。 ③对于一般位置直线和 一 般位置平面，确定它们的 交点是很困难的。
1、一般位置直线与投影面垂直面相交
思路：首先包括直线作一辅助平面(一般作铅垂面或正 垂面)，求的辅助平面与已知平面的交线，该交线就是辅 助平面内所有的直线与已知平面交点的集合，当然也包括 直线AB与已知平面的交点，也就是说直线AB与已知平面 的交点一定在该交线上，继而在交线上定出交点即可。
第4章 直线与平面、平面与平面的相对位置
4.2 相交问题
【例4-5】 (1)求交点，如图4-9(c)所示。
①在铅垂线的水平投影上标出交点的水平投影k。
②在平面内过K点的水平投影k作辅助线ad，并求出它的正面 a′d′。
③a′d′与m′n′的交点即交点的正面投影k′。
4.2 相交问题
【例4-5】
(2)直线的可见性可利用重影点法来判断。因为直线是铅垂线， 水平投影积聚为一点，故不需要判别其可见性，只需判别直线 正面投影的可见性即可。直线以交点K为分界点，在平面前面 的部分可见，在平面后面的部分不可见。如图4-9(c)所示，选 取m′n′与b′c′的重影点1′和2′来判别。1点在MN上，2点在BC上， 从水平投影看，1点在前可见，2点在后不可见。即k′1′在平面 的前面可见，画成粗实线；其余部分不可见，画成虚线。
4.2 相交问题
3.一般位置平面与特殊位置平面相交
【例4-7】
求一般位置平面ABC与铅垂面P的交线MN及判别平面正面投 影的可见性，如图4-11(a)所示。 【解】分析：如前面所述，把求两个平面交线的问题看成是求 两个共有点的问题。所以欲求图4-11(b)中两个平面的交线，从 对图4-11(a)的分析来看，只要求出交线上的任意两点(如M和N) 即可。因为铅垂面的水平投影有积聚性，所以交线的水平投影 必然位于铅垂面的积聚投影上；交线的正面投影可利用线上定 点的方法求出。 作图步骤如下：
4.1.2 平面与平面平行 条件
若一个平面内的两条相交直线对应 平行于另一个平面内的两条相交直
线，则这两个平面平行。
4.1平行问题
1.两个一般位置平面平行
【例4-3】 过点E作一个平面与平面ABC平行，如图4-6(a)所示。
E ABC 作图步骤如图4-6(b)所示。 (1)过点E作ED∥AB(ed∥ab、e′d′∥a′b′)。 (2)过点E作EF∥AC(ef∥ac、e′f′∥a′c′)，则平面DEF 所求。
工程制图课程案例-第5章-直线与平面及两平面相对位置
➢5. 1 平行问题
• 直线与平面平行 • 两平面平行
⒈ 直线与平面平行
A
B 若：AB∥CD
C
则：AB∥P
D
几何条件：
P
若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行， 则该直线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作 图问题的依据。 有关线、面平行的作图问题有：
判别已知线面是否平行； 作直线与已知平面平行； 包含已知直线作平面与另一已知直线平行。
[例1] 试判断直线AB是否平行于定平面
g f
f g
结论：直线AB不平行于定平面
[例2] 过M点作直线MN平行于平面ABC。
b
d
n
c m
a
●
X
b
d
n
a
●
m
c
有无数解
[例3] 过M点作直线MN平行于V面和 平面 ABC。
b
正平线
d
c m
n
a
●
X
c
a
d
m●
n
b
唯一解
[例4] 试过点K作水平线AB平行于ΔCDE平面
的一切直线。
n
V C
A
k a
e
c b
d
E
X
O
B
D
a
kd
ec
b
H
n
定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属
于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直
于属于该平面的正平线的正面投影。
n
V
f
A
C
E
D
a
B Xd
a d H
c b
f c b
《机械制图》教案——第二章-3 直线、平面的相对位置关系
直线、平面的相对位置关系教学目的要求：研究直线与平面以及平面与平面的相对位置关系在投影图中的投影特性和基本作图方法。
包括：平行、相交和垂直。
教学重点难点：相交关系的作图方法与步骤，及可见性的判断，线、面相对位置综合作图。
学时：3§ 1平行关系1．1直线与平面平行几何条件：如果平面外的一直线和这个平面上的一直线平行，则此直线平行于该平面，反之亦然。
投影：如果直线的投影与平面内任意一直线的同面投影平行，在空间则直线与平面平行。
根据此定理，我们可以在投影图上判断直线与平面是否平行，并解决直线与平面平行的作图问题。
作图：如图5-1所示，已知b’d’∥e’f’,bd∥ef,且BD是ABC平面上的一直线，因此，直线BD∥ΔABC。
图5-1例1：过点K作一水平线，使之平行于ΔABC（图5-2）解：①在ΔABC上作一水平线AD。
（先作正面投影 aˊdˊ∥X）②过K点作直线KL∥AD。
（kl∥ad，kˊlˊ∥aˊdˊ）直线KL即为所求。
图5-2例2：过点K作一铅垂面（用迹线表示），使之平行于直线AB解：由于铅垂面的H投影为一直线，所以作铅垂面平行于直线AB，则P H必平行于ab。
1）过k作P H∥ab,与X轴交于P X点。
2）过P X点作P V⊥X轴，则P平面即为所求。
图5-31.2平面与平面平行几何条件：如果一平面上的两条相交直线分别平行于另一平面上的两条相交直线，则此两平面平行。
投影：一个平面内任意两条直线的投影分别与另一个平面内两条相交直线的同面投影对应平行，则这两个平面平行。
作图：由于AB∥A1B1,BC∥B1C1,所以平面ABC∥平面A1B1C1，如图5-4所示图5-4两平行平面的同面迹线一定平行，反之，如果两平面的两对同面迹线分别相互平行，则不能确定两平面是相互平行的。
在图5-5中两平面平行，在图5-6中两平面不平行。
图5-5图5-6§2相交关系求直线与平面的交点和两平面的交线是解决相交问题的基础。
土木工程制图讲义点线面投影篇7
c a
ad
b 根据直线与平面垂直的
投影规律，过点S作水
s
平 线 SC ， 使 其 水 平 投 影scab；再过点S作正
平 线 SD ， 使 其 正 面 投
s
影s d a b ，则相 交 两 直 线 SCSD 所 确
定的平面即为所求。
c
b
3.平面与平面垂直
几何条件：
若一直线垂直于某平面，则包含 这条直线的一切平面都垂直于该平面。
m
k 2a
直则平K面G，即则为该所直求线。 必定与另一平面垂
实长
直。
△kg
4— 已知三直线AB、CD、EF，求作一
直线MN与CD、EF相交且与AB平行。
e' b'
分析：所求的直线MN
2' m' p'
d'
分ABB析，平于：EM与行所NAA求一BB的平，定直行属M线N的于一M与平N定A面平B属P行 平， 行的M平N面与P交，叉M两MN直与线交C叉D两、
综合作图举例
3、 投影作图——根据解题思路及解题步 骤，找出相应的各种基本作图原理和 作图方法进行投影作图；
4 、题解讨论——必要时，还应对题解进 行讨论，证明答案确能满足题目要求 的几何条件或解答的存在性，是唯一 解还是多解等。
二 举例
1 — 已知矩形ABCD的一边两投影和
其邻边一投影，完成矩形投影图。
的 平M行作线直与线CADB的（平或行EF线） 相 交与于C点D （N ，或即EF为）所相求交的 直线于M点N。N ， 即 为 所 求 的
直线MN。
5—已知直角三角形ABC的直角边AB，其斜 边BC属于直线BM，求作此直角三角形。
2' d' m' c'
《园林制图》期末复习试题2套含答案.doc
《园林制图》试卷A一、选择题（单选15个，每题1分；多选5个，每题2分）1.投影法的分类，一般可以分为四类：中心投影法、平行投影发、斜角投影法、直角投影法其中斜角投影法和直角投影法又属于（）。
A.中心投影法B.正投影法C.平行投影法D.斜轴测画法2.中心投影法，投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有（）影响。
A.近小远大，度量性较差B.近大远小，度量性较差C.近大远小，大量性较好D.减小远大，度量性较好3.画底稿时，首先画图形的主要轮廓线，其次由大到小，由外到里，由整体到局部，画出图形的所有轮廓线。
还有很多的注意事项，其中包括（）oA,画底稿的铅笔用2H或3H,所有的线应轻而细，不可反复描绘，能看清就可以了。
B,加深粗实线的铅笔用HB或B、2B,加深细实线的铅笔用H或HB,加深圆弧时所用的铅芯，应比加深同类直线所用的铅芯软一号。
C,修正时，如果是铅笔加深图，可用擦图片配合橡皮进行，尽量缩小擦拭的面积，以免损坏图纸。
D.ABC4,正投影的基本性质是（）oA.不变性、积聚性、重影性、类似性B.可变性、积聚性、重影性、类似性C.可变性、积聚性、非重影性、类似性D.不变性、非积聚性、重影性、类似性5.三面投影图作图方法与步骤（）。
①画图时，必须尽可能使形体的表面平行于投影面，然后进行投影。
②画影图，光定位。
③根据投影关系作图。
A.①③②B.①②③C.③②①D.②①③6.下列说法正确的是（）。
A,若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对应平行，则此两平面平行。
这是两平面平行的作图依据。
B.两面平行的作图问题有：判别两己知平面是否相互平行；过一点作一平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的投影。
C,若相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直线，则此两平面平行D.BC7.一套施工图，一般分为建施、结施、（）。
A.图纸目录B.设计总说明C.设备施工图D.简单图纸8.下列建筑物中，属于民用建筑的是（）。
4-2直线与平面、平面与平面相交
侧垂面的迹线表示法
Z S SH W X
O
V
β
SH α
Y
H
Y
4-2 相交问题
一、直线与特殊位置平面相交 二、一般位置平面与特殊位置平面相交 三、直线与一般位置平面相交 四、两一般位置平面相交
一、直线与特殊位置平面相交
b′ V N B P A PH a b k M c K a C H m k b c n m′ c′ a′ k′ n′
三、一般位置线面相交——以正垂面为辅助平面求交点 f′ c′ Q
V
1′
b′ k′
步骤： 1、 过EF作正 垂平面Q。
2′
e′ f b k a′ a
2、求Q平面与 ∆ABC的交线 ⅠⅡ。 3、求交线 ⅠⅡ与EF的交 点K。
2
1
c e
直线EF与平面 ABC相交，判别可见性。 f′
( 2′ ) b′ c′ 1′ k′
三、一般位置线面相交——以正垂面为辅助平面求交点 f′ c′ Q
V
1′
b′ k′
步骤： 1、 过EF作正 垂平面Q。
2′
e′ f b k a′ a
2、求Q平面与 ∆ABC的交线 ⅠⅡ。 3、求交线 ⅠⅡ与EF的交 点K。
2
1
c e
以正垂面为辅助平面求线面交点示意图
A
M
K
C
B N 过MN作平面Q垂直于V投影面
K N
C
四、两一般位置平面相交
两一般 位置平面相 交，求交线 步骤： 1、用直线与 平面求交点 的方法求出 两平面的两 个共有点K、 E。 2、连接两个 共有点，画 出交线KE。
PV n′ b′
2′
c′
1′
05 第二章(1) 直线与平面、平面与平面相对位置(平行、相交)
关键是看点和直线的投影是否在平面的积聚投影上
4、属于平面的投影面平行线 V PV
平面上投影面平行线： 既在平面上又平行于投 影面的直线。
P
H
PH
在一个平面上对 V 、H 、 W 投影面分别有三组投影面平行线。 平面上的投影面平行线既具有投影面平行线的投影性质，又与 所属平面保持从属关系。
11
五、平面的最大斜度线
对于特殊位置平面来说，总有一个投影为积聚 投影，其交线就在这个积聚投影上。
37
投影面垂直面和一般位置平面相交 m
V M B K F m N C f b n H k a l L P
b
k
c
f n m
l
a
k b f
a l
c
n
38
c PH
可见性的判别 V
M B
c K F m C c N f n k a L
a.判别已知点、线是否属于已知平面；
b.完成已知平面上的点和直线的投影； c.完成多边形的投影。
9
2、属于垂直面（几何元素表示法）的点和直线
e k a
b f c 1 g
2 m n 3
b a k
e
f
EF属于ABC
c 1
2
3 n
g
m
K属于ABC
G不属于ⅠⅡⅢ
MN不属于ⅠⅡⅢ
10
31
平面与平面相交
M
B
K F
N
A
L
C 两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有。 交线特性：交线总是可见的，是可见与不可见的分界线。
32
2、直线与平面、平面与平面相交的特殊情况 ① 直线与平面相交的特殊情况： 指线或面之一为特殊位置，其交点的投影可利
工程制图-第三章-直线、平面的相对位置
直线、平面的相对位置本章讨论直线与平面、平面与平面的相对位置关系及其投影，包括以下内容：1)平行关系：直线与平面平行，两平面平行。
2)相交关系：直线与平面相交，两平面相交。
§1 平行关系1.1 直线与平面平行定理:若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。
以，直线EF平行于ABC平面。
[例1]过已知点k ，作一条水平线平行于△ABC 平面。
步骤：1）在ABC 平面内作一水平线AD ； 2）过点K 作 KL ∥AD ； 3）直线KL即为所求。
d′d l′lk′k a′a b′e′bc X[例2]试判断:已知直线AB是否平行于四棱锥的侧表面SCF。
作图步骤：1）作c'm'∥a'b'；2）根据CM在平面SCF内，作出cm；3）由于cm不平行于ab，即在该平面内作不出与AB平行的直线，所以，直线AB不平行于四棱锥侧表面SCF。
1.2 平面与平面平行两平面相平行的条件是：如果一平面上的两条相交直线分别平行于另一平面上的两条相交直线，则此两平面平行。
所以：平面ABC 和平面DEF 相平行。
［例3］过点K作一平面，是其与平面ABC平行。
解：只要过K点作两条相交直线分别平行于△ABC的两条边，则这两条相交直线所确定的平面就是所求平面。
作图步骤：2）作KD∥AC(k'd'∥a'c',kd∥ac);a'cac'bb'k'kl'ld'dX1）作KL∥BC(k'l'∥b'c', kl∥bc); 3）平面KDL即为所求。
2.1 直线与平面相交2.1.1 利用积聚性求交点当平面或直线的投影有积聚性时，交点的两个投影中有一个可直接确定，另一个投影可用在直线上或平面上取点的方法求出。
⑴平面为特殊位置[例]求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。
空间及投影分析平面ABC 是一正垂面，其V 投影积聚成一条直线，该直线与m'n'的交点即为K点的V 投影。
一般位置直线和平面求交线
作图步骤
c
b
b c
PV
f1 m
2
a
n
a f
n2
m1
1、过点K作平 k 面KMN//
ABC平面。
2、过直线EF作
h
正垂平面P。
e 3、求平面P与
平面KMN的交
h
e 线ⅠⅡ。 4、求交线
ⅠⅡ 与EF的
交点H。
5、连接KH， k KH即为所求。
三、垂直问题
1.直线与平面垂直
V
C A
E B
D
H 几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该 平面的一切直线。
45° NM
k
mn
|zM-zN|
h
2.两平面垂直
A
P
B
几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线 的所有平面都垂直于该平面。
A
Ⅰ Ⅱ
B
两平面垂直
A
Ⅰ
B
Ⅱ
两平面不垂直
反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点 向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。
两特殊位置平面互相垂直 若相互垂直的两个平面均垂直于同一
n
V C
A
k a
e
c b
d
E
X
O
B
D
a
kd
ec
b
H
n
定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂 直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直 于属于该平面的正平线的正面投影。
n
V
f
A
C
E
D
a
B
d
X
a d
H
06线面面面位置
● ● ●
空间及投影分析
n′ 1′ ′ ′ ● 2′ ′ h′ ′ c′ ′ 平面EFH是一水平面，它的 是一水平面， 平面 是一水平面 正面投影有积聚性。 ′ ′ ′ ′ 正面投影有积聚性。a′b′与e′f′ 的交点m′ 的交点 ′ 、 b′ c′与f ′h′的交点 ′ ′ ′ n′即为两个共有点的正面投影， ′即为两个共有点的正面投影， 的正面投影。 故m′n′即MN的正面投影。 ′ ′ 的正面投影
点作平面垂直于平面ABC。 例4：过M点作平面垂直于平面 ： 点作平面垂直于平面 。
b′ ′ c′ ′ a′ ′ b
●
n′ ′ P
●
作图步骤： 作图步骤： （1）过M点作直线MN 点作直线MN 垂直平面ABC 垂直平面ABC
•面内作一任意正平线 面内作一任意正平线 •直线的正面投影(m′n′) 直线的正面投影(m′ 直线的正面投影(m 垂直正平线的正面投影 •面内作一任意水平线 面内作一任意水平线 •直线的水平投影(mn) 直线的水平投影(mn 直线的水平投影(mn) 垂直水平线的水平投影
m′ ′
m a c n
（2）包含直线MN作一 包含直线MN作一 MN 任意平面， 任意平面，则该平面必 垂直于已知平面
点作一平面垂直于AB. 例5：过K点作一平面垂直于 ： 点作一平面垂直于 k´ 分析： 分析：过K作 d´ 两条相交直线 使其分别垂至 AB， 于AB，则这两 c´ 条相交直线所 确定的平面必 a´ AB垂直 垂直。 和AB垂直。
b′ ′ c′ ′ a′ ′ b
●
n′ ′ m′ ′
●
作图步骤： 作图步骤： •面内作一任意正平线 面内作一任意正平线 •直线的正面投影(m′n′) 直线的正面投影(m′ 直线的正面投影(m 垂直正平线的正面投影 •面内作一任意水平线 面内作一任意水平线
直线与平面相交
a′
bb′′
n′
●●
e′
mm′′
●●
●1′(2 ′)
c′
f′
aa
bb
n ●●
2 ●
h(f)
m 1 ●● ●
d(e)
c
D
A
H
●
B
N
●
E
M
●
●1′(2′)
C
F
a
b n
●
d(e) H
h(f) m●
c
3. 直线与一般位置平面相交(略)
方法：辅助平面法
方法： 4. 两个一般位置平面相交（略）
1.求一平面与另一 平面的两直线 的交点（辅助 平面法）。
直线MN为铅垂线，其水
c 平投影积聚成一个点，故交点K
a
●1(2)
的水平投影也积聚在该点上。
n
b
作图
mk(n●2)
① 求交点
c
用面上取点法
●
a
1
② 判别可见性
点Ⅰ位于平面上，在 前；点Ⅱ位于MN上，在后。
故k 2为不可见。
⒉ 两平面相交
两平面相交 其交线为直线；
交线是两平 面的共有线；
交线上的点 都是两平面的 共有点。
2.两交点的连线为
交线。
D
H
●A
M
●
B
N
●
E
●
C
F
作业：
P7： 4、5、6、8、9题
小结
重点掌握：
★ 点、直线、平面的投影特性，尤其是特殊位置直 线与平面的投影特性（积聚性）。
★ 点、直线、平面的相对位置的判断方法及投影特性。 一、直线上的点
工程制图之直线与平面 平面与平面相对位置
A
Ⅰ
A
Ⅰ
D
Ⅱ
两平面垂直
D
Ⅱ
两平面不垂直
反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个 平面作的垂线必属于第一个平面。
例1：平面由 BDF给定，试过定点K作平面的垂面。
h’ f’
c’
g’
k’
a’
b’
d’
a d
f c b
k g
h
返回
例2 、试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否垂直。
a’ e’
f
2
a
b k
1
c
e
返回
例2 求直线EF与一般位置平面ΔABC的交点K。
f’
c’
b’ PH f
2’ k’
1’
a’ e’
步骤：
1、 过EF作铅垂面P。 2、求P平面与ΔABC 的交线ⅠⅡ。
3、求交线ⅠⅡ 与EF 的交点K。
a
1
b
k 2
c
e
返回
六、两一般位置平面相交求交线的方法
B M
K A
L F
点Ⅰ在FH上，点Ⅱ在BC上，点Ⅰ 在上，点Ⅱ在下，故fh可见，n2 不可见。
返回
五、直线与一般位置平面相交
M
A
例题1
C
例题2
B
N
判别可见性
返回
例1 求直线EF与一般位置平面ΔABC的交点K。
QV
c’
f’ 1’
k’ b’
2’
步骤：
1、 过EF作正垂面Q。 2、求Q平面与ΔABC 的交线ⅠⅡ。 3、求交线ⅠⅡ与EF 的交点K。
返回
例：求两平面的交线MN并判别可见性。
直线与平面的交点计算
直线与平面的交点计算直线与平面的交点计算是几何学中重要的计算问题之一。
在解决此问题之前，我们首先需要了解直线和平面的几何特性。
一、直线的几何特性直线是由无数个点按照一定方向延伸而成的。
直线上的任意两点可以唯一确定一条直线。
直线没有宽度和厚度，在平面上表示为一条无限长的箭头。
二、平面的几何特性平面是由无数个点组成的，其中任意三点都不共线。
平面有长、宽、面积等特性。
在图形表示中，平面通常为一个平面区域，可以用二维坐标系表示。
当直线与平面相交时，它们有以下几种可能的关系：1. 直线与平面相交于一点：直线穿过平面，并且交点是唯一的。
2. 直线与平面平行：直线与平面没有交点，二者永不相交。
3. 直线位于平面内：直线完全包含在平面内部，并与平面有无数个交点。
现在我们来探讨直线与平面相交于一点的计算方法。
设直线的方程为L: Ax + By + Cz + D = 0，平面的方程为P: Ex + Fy + Gz + H = 0。
求解直线与平面的交点，可以将直线方程带入平面方程，得到交点的坐标。
具体步骤如下：1. 将直线方程代入平面方程：Ex + Fy + Gz + H = 0=> A(px) + B(py) + C(pz) + D = 0其中(px, py, pz)为直线上的点坐标。
2. 整理方程，解出交点坐标：px = (-BF - CG - DH) / (AE + BF + CG)py = (-AE - CG - DH) / (AE + BF + CG)pz = (-AE - BF - DH) / (AE + BF + CG)这样就得到了直线与平面的交点坐标(px, py, pz)。
需要注意的是，以上计算方法适用于一般情形下的直线与平面相交问题，但也存在一些特殊情况，例如直线与平面平行或直线位于平面内部。
在实际计算中，还需要根据具体情况来分析判断。
总结：本文介绍了直线与平面的交点计算方法，通过将直线方程代入平面方程，可以求解出交点的坐标。
两平面相交求交线方程
两平面相交求交线方程嘿，宝子们！今天咱们来唠唠两平面相交求交线方程这个事儿，就像是在探寻两个超级英雄的交集一样刺激。
咱先假设这两个平面的方程是一般式哈，就像两个武林高手亮出自家的秘籍。
一个平面方程是A₁x + B₁y + C₁z+D₁ = 0，另一个是A₂x + B₂y + C₂z+D₂ = 0。
这两个平面相交的时候啊，就像是两个巨人在空间里撞了个满怀。
那交线方程怎么求呢？咱得先找个方向向量，这个方向向量就像是两个巨人碰撞之后产生的一个合力方向。
这个方向向量可以通过两个平面法向量叉乘得到，就像把两个武林高手的内力融合出一种新的力量。
设平面一的法向量是n₁=(A₁,B₁,C₁)，平面二的法向量是n₂=(A₂,B₂,C₂)，那交线的方向向量v=n₁×n₂，这个计算就像是一场奇妙的魔法运算，根据叉乘公式可得v=(B₁C₂ - B₂C₁,C₁A₂ - C₂A₁,A₁B₂ - A₂B₁)。
然后呢，咱们还得找交线上的一个点，这就好比在两个巨人碰撞的现场找到一个标志性的小物件。
我们可以通过设z = 0（当然这只是一种简单的假设方法，就像在迷宫里先找一条最显眼的路），然后解由A₁x + B₁y+D₁= 0和A₂x + B₂y+D₂ = 0组成的方程组，得到x和y的值，这样就找到了交线上的一个点P(x₀,y₀,0)。
现在我们就可以写出交线的参数方程啦。
就像写一个超级英雄的行动轨迹一样酷炫。
交线的参数方程是x = x₀+lt，y = y₀+mt，z = nt，这里的(l,m,n)就是我们前面求出的方向向量v的坐标。
这交线方程就像是连接两个不同世界的桥梁，一个平面是一个世界，两个平面相交，交线就把这两个世界连接起来了。
如果把平面比作两块巨大的饼干，那交线就是两块饼干相交处的那一条美妙的巧克力夹心。
再想象一下，这两个平面是两片漂浮在空间中的魔法大陆，交线就是那连接两块大陆的神秘绳索，沿着这条绳索，你可以从一个大陆穿梭到另一个大陆。
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A
E
K 1
2
D
C B
过AB作平面P垂直于H投影面
以铅垂面为辅助平面求线面交点。
a d
2
c
1
k
X
PH
b a
1
c
k 2
作题步骤： 1、过AB作铅 垂平面P。 e 2、求P平面 O 与ΔCDE的 交线ⅠⅡ。 e 3、求交线 ⅠⅡ与AB 的交点K。
a X d f a d c b h k b
g
k
O g
例6 试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定 的平面是否垂直。
h c d b a f k
g
X
g
c
O
f k b
d
结论：两平面不平行。
n X n O
分析 平面的法线与平面的最大斜度线对同一投影 面的夹角互为补角
A
C
D
E
B
作图过程
m k |zM-zN| X mn n n h O mn |yM-yN|
30° 45° NM
直径任取
k
|yM-yN| mn |zM-zN|
m
h
2.两平面垂直
A
B
P
几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线 的所有平面都垂直于该平面。
a d
e
两平面相交，判别可见性
3 c 4 X m m 3 c b 2 e k
n b 1 (2 ) l
e
a O
(4 ) k
a
l
利 用 重 影 点 判 别 可 见 性
1 n
例1 试过K点作一直线平行于已知平面Δ ABC， 并与直线EF相交 。
c a b
X
k f
a
e e O f
A A
Ⅰ Ⅱ
B
Ⅰ
B
Ⅱ
两平面垂直 两平面不垂直
反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一 点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。
两特殊位置平面互相垂直 若相互垂直的两个平面均垂直于同一 个投影面，则它们的积聚性投影相互垂直
例5 平面由 BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面
h f
c
h
e
f
n
2 k
线ⅠⅡ。 4、求交线 ⅠⅡ 与EF的 交点H。 5、连接KH， KH即为所求。
m 1
三、垂直问题
1.直线与平面垂直
V
A C E B D
几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该 平面的一切直线。
n
V
A C E a
k d
e
c
b
X
B
a k n d e
O
D
c
b
定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂 直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直 于属于该平面的正平线的正面投影。
3、求交线 ⅠⅡ与EF 的交点K。
两一般位置平面相交求交线的方法
B
F
K
A
L
E C
D
利用求一般 位置线面交点的 方法找出交线上 的两个点，将其 连线即为两平面 的交线。
PV e b 2 c d
1
X f
k
QV
l
a
b
f l k c 1
O
2
作题步骤 1、用 直线与平面 求交点的方 法求出两平 面的两个共 有点K、L。 2、连 接两个共有 点，画出交 线KL。
m O
a X a
n
m b
n
c
例2 平面由 BDF给定，试过定点M作平面的垂线。 n f
c a
d f a d m b m
c
b n
例3 平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN 是否垂直于定平面。
a
e b X m d f c m
n O
b
e d
a
c f
n
例4 试过点N作一平面，使该平面与V面的夹角 为60 °，与H面的夹角为45 °。
k
b
c
分析
K F H
C
A
E
B
过已知点K作平面P平行于 ABC；直线EF与 平面P交于H；连接KH，KH即为所求。
作图步骤
c
PV m a
f1 2 n
b a b c
1、过点K作平 k 面KMN// ABC平面。 2、过直线EF作 正垂平面P。 h e 3、求平面P与 平面KMN的交
b
d
直线AB与平面ΔCDE相交，判别可见性。
a
c d
( 2 )
1
k
4
3
X
b
e e
O
a
c
2
k 1
（ 3） 4
d
b
以正垂面为辅助平面求线面交点
f
QV
c 1
b
k
2 a a
e
f b 1 c e
2
k
作题步骤： 1、 过EF作 正垂平面Q。 2、求Q平面 与ΔABC的 交线ⅠⅡ。
V
f A
C E B D d X d a c a b
n
k O
f
c b
k
n
定理2（逆）：若一直线垂直于属于平面的水平线的水平 投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、 则直线必垂直于该平面。
投影面平行线与投影面垂直面相互垂直
b
与铅垂面相互垂直的是水平线
与正垂面相互垂直的是正平线 c 与侧垂面相互垂直的是侧平线