一般位置直线和平面求交线

n X n O
分析 平面的法线与平面的最大斜度线对同一投影 面的夹角互为补角
A
C
D

E
B
作图过程
m k |zM-zN| X mn n n h O mn |yM-yN|
30° 45° NM
直径任取
k
|yM-yN| mn |zM-zN|
m
h
2.两平面垂直
A
B
P
几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线 的所有平面都垂直于该平面。
用辅助平面法求一般位置直线和平面 间的交点及一般位置平面间的交线
A
E
K 1
2
D
C B
过AB作平面P垂直于H投影面
以铅垂面为辅助平面求线面交点。
a d
2
c
1
k
X
PH
b a
1
c
k 2
作题步骤： 1、过AB作铅 垂平面P。 e 2、求P平面 O 与ΔCDE的 交线ⅠⅡ。 e 3、求交线 ⅠⅡ与AB 的交点K。
a X d f a d c b h k b
g
k
O g
例6 试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定 的平面是否垂直。
h c d b a f k
g
X
g
c
O
f k b
d
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结论：两平面不平行。
k
b
c
分析
K F H
C
A
E
B
过已知点K作平面P平行于 ABC；直线EF与 平面P交于H；连接KH，KH即为所求。
作图步骤
c
PV m a
f1 2 n
b a b c
1、过点K作平 k 面KMN// ABC平面。 2、过直线EF作 正垂平面P。 h e 3、求平面P与 平面KMN的交
a d
e
两平面相交，判别可见性
3 c 4 X m m 3 c b 2 e k
n b 1 (2 ) l
e
a O
(4 ) k
a
l
利 用 重 影 点 判 别 可 见 性
1 n
例1 试过K点作一直线平行于已知平面Δ ABC， 并与直线EF相交 。
c a b
X
k f
a
e e O f
b
d
直线AB与平面ΔCDE相交，判别可见性。
a
c d
( 2 )
1
k
4
3
X
b
e e
O
a
c
2
k 1
（ 3） 4
d
b
以正垂面为辅助平面求线面交点
f
QV
c 1
b
k
2 a a
e
f b 1 c e
2
k
作题步骤： 1、 过EF作 正垂平面Q。 2、求Q平面 与ΔABC的 交线ⅠⅡ。
h
e
f
n
2 k
线ⅠⅡ。 4、求交线 ⅠⅡ 与EF的 交点H。 5、连接KH， KH即为所求。
m 1
三、垂直问题
1.直线与平面垂直
V
A C E B D
几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该 平面的一切直线。
n
V
A C E a
k d
e
c
b
X
B
a k n d e
O
D
c
b
定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂 直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直 于属于该平面的正平线的正面投影。
3、求交线 ⅠⅡ与EF 的交点K。
两一般位置平面相交求交线的方法
B
F
K
A
L
E C
D
利用求一般 位置线面交点的 方法找出交线上 的两个点，将其 连线即为两平面 的交线。
PV e b 2 c d
1
X f
k
QV
l
a
b
f l k c 1
O
2
作题步骤 1、用 直线与平面 求交点的方 法求出两平 面的两个共 有点K、L。 2、连 接两个共有 点，画出交 线KL。
A A
Ⅰ Ⅱ
B
Ⅰ
B
Ⅱ
两平面垂直 两平面不垂直
反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一 点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。
两特殊位置平面互相垂直 若相互垂直的两个平面均垂直于同一 个投影面，则它们的积聚性投影相互垂直
例5 平面由 BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面
h f
c
V
f A
C E B D d X d a c a b
n
k O
f
c b
k
n
定理2（逆）：若一直线垂直于属于平面的水平线的水平 投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、 则直线必垂直于该平面。
投影面平行线与投影面垂直面相互垂直
b
与铅垂面相互垂直的是水平线
与正垂面相互垂直的是正平线 c 与侧垂面相互垂直的是侧平线
m O
a X a
n
m b
n
c
例2 平面由 BDF给定，试过定点M作平面的垂线。 n f
c a
d f a d m b m
c
b n
例3 平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN 是否垂直于定平面。
a
e b X m d f c m
n O
b
e d
a
c f
n
例4 试过点N作一平面，使该平面与V面的夹角 为60 °，与H面的夹角为45 °。