热力学统计物理课后11
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第一章 热力学的基本规律
1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数
κT 。
解：已知理想气体的物态方程为
,pV nRT = （1）
由此易得
11
,p V nR V T pV T
α∂⎛⎫=
== ⎪
∂⎝⎭ （2） 11
,V p nR p T pV T
β∂⎛⎫=
== ⎪
∂⎝⎭ （3） 2111
.T T V nRT V p V p p
κ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （4）
1.2 证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT ，根据下述积分求得：
()ln T V =αdT κdp -⎰
如果11
,T T p
ακ==
，试求物态方程。 解：以,T p 为自变量，物质的物态方程为
(),,V V T p =
其全微分为
.p T
V V dV dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫
=+ ⎪ ⎪
∂∂⎝⎭⎝⎭ （1） 全式除以V ，有
11.p T
dV V V dT dp V V T V p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭
根据体胀系数α和等温压缩系数T κ的定义，可将上式改写为
.T dV
dT dp V
α
κ=- （2） 上式是以,T p 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有
()ln .T V dT dp ακ=-⎰ （3）
若1
1,T T p
ακ==，式（3）可表为
11ln .V dT dp T
p ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭⎰ （4）
选择图示的积分路线，从00(,)T p 积分到()0,T p ，再积分到（,T p ），相应地体
积由0V 最终变到V ，有
000
ln
=ln ln ,V T p
V T p - 即
000
p V pV C T T ==（常量）， 或
.pV CT = （5）
式（5）就是由所给11
,T T p
ακ==求得的物态方程。 确定常量C 需要进一步的实验数据。
1.8 满足n pV C =的过程称为多方过程，其中常数n 名为多方指数。试证明：理想气体在多方过程中的热容量n C 为
1
n V n C C n γ
-=
- 解：根据式（1.6.1），多方过程中的热容量
0lim .n T n n
n
Q U V C p T T T ∆→∆∂∂⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
==+ ⎪ ⎪ ⎪∆∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （1） 对于理想气体，内能U 只是温度T 的函数，
,V n
U C T ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ 所以
.n V n
V C C p T ∂⎛⎫
=+ ⎪∂⎝⎭ （2） 将多方过程的过程方程式n pV C =与理想气体的物态方程联立，消去压强p 可得
11n TV C -=（常量）。
（3）
将上式微分，有
12(1)0,n n V dT n V TdV --+-=
所以
.(1)n
V V T n T ∂⎛⎫
=- ⎪∂-⎝⎭ （4） 代入式（2），即得
,(1)1
n V V pV n C C C T n n γ
-=-
=-- （5） 其中用了式（1.7.8）和（1.7.9）。
1.9 试证明：理想气体在某一过程中的热容量n C 如果是常数，该过程一定是多方过程，多方指数n p n V
C C n C C -=-。假设气体的定压热容
量和定容热容量是常量。
解：根据热力学第一定律，有
đđ.dU Q W =+ （1）
对于准静态过程有
đ,W pdV =-
对理想气体有
,V dU C dT =
气体在过程中吸收的热量为
đ,n Q C dT =
因此式（1）可表为
().n V C C dT pdV -= （2）
用理想气体的物态方程pV vRT =除上式，并注意,p V C C vR -=可得
()
().n V p V dT dV
C C C C T V
-=- （3） 将理想气体的物态方程全式求微分，有
.dp dV dT p V T
+= （4） 式（3）与式（4）联立，消去
dT
T
，有 ()
()0.n V n p dp dV C C C C p V
-+-= （5） 令n p n V
C C n C C -=
-，可将式（5）表为
0.dp dV n p V
+= （6） 如果,p V C C 和n C 都是常量，将上式积分即得
n pV C =（常量）。 （7）
式（7）表明，过程是多方过程。
1.12 假设理想气体的p V C C γ和之比是温度的函数，试求在准静态绝热过程中T V 和的关系，该关系式中要用到一个函数()F T ，其表达式为
()ln ()1dT
F T T
γ=⎰
-
解：根据式（1.8.1），理想气体在准静态绝热过程中满足