整数规划的一种线性规划解法

的最优基本解一定为最小指派问题的最优解。
证明 我们知道最小指派问题的数学模型为
mm
∑∑ m in
aij x ij
i= 1 j = 1
m
∑x ij = 1, i = 1, …, m
j= 1
(2)
m
∑ s. t.
x ij = 1, j = 1, …, m
i= 1
x ij = 0 或 1, i, j = 1, …, m
x ij ≥ 0, 1 ≤ i, j ≤ 4
据定理2知, 此线性规划的最优基本解就是原指派问题的
最优解。我们用M athem atica 软件解线性规划, 如图所示。 因此, 原指派问题的最优解为 x 11= 0, x 12= 0, x 13= 0, x 14=
1, x 21= 0, x 22= 1, x 23= 0, x 24= 0, x 31= 1, x 32= 0, x 33= 0, x 34 = 0, x 41 = 0, x 42 = 0, x 43 = 1, x 44 = 0。即甲译俄文、乙译日 文、丙译德文、丁译英文, 所花费的总时数为28。
与割平面法及分支定界法相比, 倘若原整数规划问题 有解, 我们的方法往往只需解一个线性规划就可求得原整 数规划问题的最优解, 当然其不足之处在于如何求得整数 规划问题的可行集 (所有可行点组成的集合) 生成的凸包。 即使是这样该方法从理论和思想上探讨仍是很有意义的,
至少它在解整数规划问题时提出了一个全新的考虑问题 的视角, 例如文中将021规划中的指派问题化为线性规划 问题求解就是从这个视角出发所得到的。
1 引言
对于整数规划
V : m ax z = CX
( IL P )
s. t.
AX ∨b X ≥ 0 且为整数
因为有取整运算“[ ]”的实现, 使问题已不再是线性问
题, 这样对于整数规划问题的求解也不再像线性规划问题
那样容易。由于整数规划问题与线性规划问题有着密切的
联系, 因此还是希望能够借助于解线性规划的方法去求解
Α2, …, Αm ) 是包含集合{Α1, Α2, …, Αm }的所有凸集中最小的 凸集。
性 质2 设 Α∈C onv (Α1, Α2, …, Αm ) 且为极点, 则 Α∈ {Α1, Α2, …, Αm }。
证明 因为 Α∈ C onv (Α1, Α2, …, Αm ) , 则 ϖ 0 ≤ Κi ≤ 1
甲
乙
丙
丁
译成英文
2
10
9
7
译成日文
15
4
14
8
译成德文
13
14
16
11
译成俄文
4
15
13
9
试问, 如何安排可使四人花费的总时数最少?
这是一个匈牙利法不能直接得到解的问题, 下面用我
们的办法来解。首先对甲、乙、丙、丁四人分别编号为1、2、
3、4号, 译成英、日、德、俄四种文字编号为工作1、工作2、工
作3及工作4。令
参考文献:
[ 1 ] 管梅谷, 郑汉鼎. 线性规划 [M ] . 济南: 山东科技出 版社, 1983.
[ 2 ] 吴振奎, 刘舒强. 运筹学概论 (第3版) [M ]. 北京: 中 国经济出版社, 2002.
[ 3 ] 陈景良等. 特殊矩阵 [M ]. 北京: 清华大学出版社,
2001. [ 4 ] 吴育华, 杜纲. 管理科学基础[M ]. 天津: 天津大学出
m
m
∑ ∑ 引理1[3 ] C onv ({X X = (x ij )m ×m , x ij = 1, x ij
j= 1
i= 1
= 1, x ij = 0 或 1 ( i, j = 1, 2, …, m ) }) = {X X = (x ij )m ×m ,
m
m
∑ ∑ x ij = 1, x ij = 1, x ij ≥ 0 ( i, j = 1, 2, …, m ) }。
此定理说明对于整数规划问题 ( IL P) 可以化为线性规 划问题去求解: 只要所化线性规划问题的可行域是由整数
规划问题的可行集 (所有可行解组成的集合) 生成的凸包,
那么线性规划问题的最优基本解一定是整数规划问题的
最优解。同时需要注意到, 并非这里线性规划问题所有的
最优解一定都是整数规划问题的最优解。
k
∑ 如果 k≥2, 由于0< Κi≤1 ( i= 1, …, k) , Κi = 1, 则 i= 1
m
∑ 有0< Κi< 1 ( i= 1, …, k)。此时 Α = ΚiΑi 为 Α1, Α2, …, Αk i= 1
的严格凸组合, 与 Α为极点矛盾, 因此假设 k ≥2不成立,
m
∑ 应有 k = 1。所以 Α=
ΚiΑi = Α1 ∈ {Α1, Α2, …, Αm }。
i= 1
定义2 若 x 3 是 (L P) 问题 m ax (m in) {cx A x ∨b, x ≥
0 }的最优解, 且为基本可行解, 则称 x 3 为 (L P ) 问题的最 优基本解, 简称为最优基本解。
定 理1 对于整数规划问题 ( IL P ) 与线性规划问题
证明 因 为 x 3 是 (L P ) 的 最 优 基 本 解, 则 有 x 3 ∈ C onv ({x A x ∨b, x ≥0且 为 整 数}) 且 为 极 点, 据 性 质 2 知
x 3 ∈{x A x ∨b, x ≥0且为整数}, 即 x 3 为 ( IL P) 的可行解。 根据 x 3 是 (L P) 的最优解且 x 3 为 ( IL P ) 的可行解, 显然可 推得 x 3 为 ( IL P) 的最优解。定理证毕。
m
∑ (i = 1, …, m ) , 使得 Α=
ΚiΑ.i
i= 1
由于0≤Κi≤1 (i= 1, …, m ) , 不妨设0< Κi≤1 ( i= 1, …,
k
m
∑ ∑ k) , Κi= 0 (i= k+ 1, …, m ) , 则 Κi = 1, Α= ΚiΑi, 其中 1
i= 1
i= 1
≤ k ≤m.
第7期 王全文, 吴育华等: 整数规划的一种线性规划解法
27
m ax (m in) cx
( IL P)
Ax ∨b
s. t. x ≥ 0 且为整数
(L P)
m ax (m in) cx s. t. x ∈ C onv ({x
Ax
∨ b, x
≥ 0 且为整数})
若 x 3 是 (L P) 的最优基本解, 则 x 3 也是 ( IL P ) 的最优 解。
版社, 2001. [ 5 ] 张建中, 许绍吉. 线性规划[M ]. 北京: 科学出版社,
1990. [ 6 ] 吴振奎, 王全文, 刘振航. 运筹学中的转化思想[J ].
运筹与管理, 2003, (1) : 6～ 8.
A L inear Programm ing Solution to In teger L inear Programm ing
+ 13x 34 + 7x 41 + 8x 42 + 11x 43 + 9x 44
4
∑x ij = 1, i = 1, 2, 3, 4
j= 1
4
∑ s. t.
x ij = 1, j = 1, 2, 3, 4
i= 1
x ij = 0 或 1, 1 ≤ i, j ≤ 4
将其化为线性规划问题为
m in z = 2x 11 + 15x 12 + 13x 13 + 4x 14 + 10x 21 + 4x 22
(L P) :
Ξ 收稿日期: 2005203220 基金项目: 院培育基金资助项目 (040118) 作者简介: 王全文 (19732) , 男, 山西应县人, 讲师, 博士研究生, 研究方向: 管理决策与运筹技术。 © 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
W AN G Q uan2w en1, 2,W U Yu2hua1,W U Zhen2ku i2
王全文1, 2, 吴育华1, 吴振奎2
(1. 天津大学 管理学院, 天津 300072; 2. 天津商学院 理学院, 天津 300134)
摘 要: 根据凸分析理论和单纯形法原理, 提出了整数规划的一个线性规划解法。该方法主旨是将整数规划问 题的离散的可行集填充成一个连续的单纯形, 这样原整数规划问题就化为该单纯形上的一个新的线性规划 问题。利用单纯形法求解该线性规划问题, 便可得到整数规划的最优解。且进一步提出并证明了指派问题的线 性规划解法。 关键词: 运筹学; 整数规划; 线性规划; 单纯形法; 最优基本解 中图分类号: O 22 文献标识码: A
j= 1
i= 1
定理2 对于效率矩阵为 A = (aij )m ×m 的最小指派问
题有: 线性规划问题
mm
∑∑ m in
aij x ij
i= 1 j = 1
m
∑x ij = 1, i = 1, …, m
j= 1
(1)
m
∑ s. t.
x ij = 1, j = 1, …, m
i= 1
x ij ≥ 0, i, j = 1, …, m
x ij =
1, 0,
i i
号完成工作 号不做工作
j (i, j
j
ຫໍສະໝຸດ Baidu
=
1, 2, 3, 4)
则该问题的数学模型为
m in z = 2x 11 + 15x 12 + 13x 13 + 4x 14 + 10x 21 + 4x 22
+ 14x 23 + 15x 24 + 9x 31 + 14x 32 + 16x 33
它。R. E . Gom o ry 于1958年给出了解整数规划的第一个
方法—— 割平面法, 尔后又出现分支定界法。我们也希望
对解整数规划问题从新的角度做一些理论和方法上的探
讨。
2 线性规划解法
定义1 设 Α1, Α2, …, Αm 是实数域 R 上的 m 个向量,
我们称凸集合
m
m
∑ ∑ C = {Α Α= ΚiΑi, Κi = 1, 0 ≤ Κi ≤ 1 (i = 1, …, m ) }
第23卷第7期 (总第139期) 系 统 工 程 2005年7月 System s Engineering
文章编号: 100124098 (2005) 0720026203
整数规划的一种线性规划解法Ξ
V o l. 23, N o. 7 J u l. , 2005
比较 (1) 的可行域及 (2) 的可行集的特点, 据引理1知 (1) 的
可行域是由 (2) 的可行集所生成的凸包, 再据定理1得 (1)
的最优基本解为 (2) 的最优解, 结论得证。
3 算例分析
设有一份资料须译成英、日、德、俄四种文字, 今让甲、 乙、丙、丁四人去完成。他们虽然对四种语言皆通, 但因各 人专长不同, 他们各译四种文种所需时间有别, 具体数据 如下:
i= 1
i= 1
为 Α1, Α2, …, Αm 生成的凸包, 记作 C onv (Α1, Α2, …, Αm )。
向量 Α1, Α2, …, Αm 生成的凸包 C onv (Α1, Α2, …, Αm ) 具
有下面的性质:
性质1 设 Α1, Α2, …, Αm ∈C , 其中 C 为凸集, 则
C onv (Α1, Α2, …, Αm ) Α C. 性质1的结论是显然的。此性质说明, 凸包 C onv (Α1,
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系 统 工 程 2005年
4 缀言
割平面法与分支定界法都是先将整数规划问题的取 整约束去掉, 然后化为一系列线性规划问题来处理。其中: 割平面的思想是从外部切割 L P 问题的可行域, 但切割掉 的可行域中不包含整数规划的可行解, 当然也不包含其最 优解; 分支定界法的思想是从内部逐步挖空 L P 问题的可 行域, 但挖掉的可行域中不包含整数规划的可行解, 当然 也不包含其最优解。我们方法的主旨是将整数规划问题的 离散的可行解 (整数点) 填充成一个连续的单纯形, 这样原 整数规划问题就化为该单纯形上的线性规划问题求解。
+ 14x 23 + 15x 24 + 9x 31 + 14x 32 + 16x 33
+ 13x 34 + 7x 41 + 8x 42 + 11x 43 + 9x 44
4
∑x ij = 1, i = 1, 2, 3, 4
j= 1
4
∑ s. t.
x ij = 1, j = 1, 2, 3, 4
i= 1