向量的线性运算知识点

向量的线性运算知识点

一、选择题

1．已知a，b为非零向量，如果b＝﹣5a，那么向量a与b的方向关系是（）A．a∥b，并且a和b方向一致B．a∥b，并且a和b方向相反

C．a和b方向互相垂直D．a和b之间夹角的正切值为5

【答案】B

【解析】

【分析】

根据平行向量的性质解决问题即可．

【详解】

∵已知a，b为非零向量，如果b＝﹣5a，

∴a∥b，a与b的方向相反，

故选：B．

【点睛】

本题考查了平面向量，熟记向量的长度和方向是解题关键．

2．□ABCD中， -+等于( )

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】

【分析】

在平行四边形中，两对对边平行且相等，以一对对边所在的线段构成向量，得到的向量要么相等，要么是相反向量，根据本题所给的两个向量来看，它们是一对相反向量，和为零向量，得到结果．

【详解】

∵在平行四边形ABCD中，与是一对相反向量，

∴ = -

∴ -+=- + =，

故选A．

【点睛】

此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于得出与是一对相反向量.

3．已知向量，若与共线，则( ) A．B．C．D．或

【答案】D

【解析】

【分析】

要使与，则有=，即可得知要么为0，要么，即可完成解答.

【详解】 解：非零向量与共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使=

,即；与任一向量共线.故答案为D.

【点睛】 本题考查了向量的共线，即=是解答本题的关键.

4．在矩形ABCD 中，如果AB 模长为3, BC 模长为1，则向量（AB +BC +AC ） 的长度为（ ） A ．2

B ．4

C ．31-

D ．31+ 【答案】B

【解析】

【分析】

先求出AC AB BC =+，然后2AB BC AC AC ++=，利用勾股定理即可计算出向量（AB +BC +AC ）的长度为

【详解】 22||3,||1

||(3)12

2|||2|224

AB BC AC AC AB BC

AB BC AC AC

AB BC AC AC ==∴=+==+∴++=++==⨯=∴

故选：B.

【点睛】

考查了平面向量的运算，解题关键是利用矩形的性质和三角形法则.

5．如图，在△ABC 中，中线AD 、CE 交于点O ，设AB a,BC k ，那么向量AO 用向量a b ⋅表示为（ ）

A ．12

a b B ．2133a b C ．2233a b D ．1124

a b 【答案】B

【解析】

【分析】

利用三角形的重心性质得到： 23AO

AD ；结合平面向量的三角形法则解答即可． 【详解】

∵在△ABC 中，AD 是中线， BC b ， ∴11BD BC b 22． ∴1b 2

AD AB BD a

又∵点O 是△ABC 的重心， ∴23AO AD ， ∴221AO AD a b 3

33． 故选：B ．

【点睛】

此题主要考查了平面向量与重心有关知识，根据重心知识得出23

AO

AD 是解题的关键．

6．下列式子中错误的是（ ）．

A ．2a a a +=

B ．()0a a +-=

C ．()a b a b -+=--

D ．a b b a -=- 【答案】D 【解析】

【分析】

根据向量的定义是既有大小又有方向的量，及向量的运算法则即可分析求解．

【详解】

A. a 与a 大小、方向都相同，∴2a a a +=，故本选项正确；

B. a 与a -大小相同，方向相反，∴()

0a a +-=，故本选项正确；

C.根据实数对于向量的分配律，可知()a b a b -+=--，故本选项正确；

D.根据向量的交换律，可知a b b a -=-+，故本选项错误.

故选D.

【点睛】

本题考查向量的运算，掌握运算法则及运算律是解题的关键.

7．如图，在平行四边形ABCD 中，如果AB a =，AD b =，那么a b +等于（ ）

A ．BD

B ．A

C C ．DB

D ．CA

【答案】B

【解析】

【分析】

由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD=BC ，AD ∥BC ，则可得BC b =，然后由三角形法则，即可求得答案．

【详解】

解：∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴AD=BC ，AD ∥BC ，

∵AD b =，

∴BC b =，

∵AB a =，

∴a b +=AB +BC =AC ．

故选B ．

8．化简()()AB CD BE DE -+-的结果是（ ）．

A ．CA

B ．A

C C ．0

D ．AE

【答案】B

【解析】

【分析】

根据三角形法则计算即可解决问题．

【详解】

解：原式()()AB BE CD DE =+-+

AE CE =-

AE EC =+ AC =，

故选：B ．

【点睛】

本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用三角形法则解决问题，属