二次函数压轴题——角的存在性
(完整版)二次函数与三角形的存在性问题的解法
二次函数与三角形的存在性问题一、预备知识1、坐标系中或抛物线上有两个点为P （x1，y ），Q （x2，y ）(1)线段对称轴是直线2x 21x x +=(2)AB 两点之间距离公式：221221)()(y y x x PQ -+-=中点公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为⎪⎭⎫ ⎝⎛++222121y y ,x x 。
2、两直线的解析式为11b x k y +=与 22b x k y +=如果这两天两直线互相垂直，则有121-=⋅k k3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2（1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2（2）当k1≠k2， ，L1与L2相交（3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直二、三角形的存在性问题探究：三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形（一）三角形的性质和判定：1、等腰三角形性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。
判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。
2、直角三角形性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。
判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。
3、等腰直角三角形性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。
判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形4、等边三角形性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。
判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
总结：（1）已知A 、B 两点，通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求的点（不与A 、B 点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上（2）已知A 、B 两点，通过“两线一圆”可以找到所有满足条件的直角三角形，要求的点（不与A 、B 点重合）即在圆上以及在两条与直径AB 垂直的直线上。
二次函数背景下的相似三角形存在性问题
二次函数背景下的相似三角形存在性问题
二次函数背景下的相似三角形存在性问题是中考数学常考的题型，在考试中一般出现在压轴题的位置，综合性强，难度略大。
这篇文章主要来讨论下二次函数背景下的相似三角形存在性问题的解题思路方法及应用举例。
【模型解读】
在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为“相似三角形存在性问题”．
【相似判定】
判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；
判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；
判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形．
以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法，解决问题．
【题型分析】
通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为“单动点”类、“双动点”两类问题．
【思路总结】
根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定2、3可以发现，都有角相等！
所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角．
然后再找：
思路1：两相等角的两边对应成比例；
思路2：还存在另一组角相等．
事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑思路1．
一、如何得到相等角？
二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？
搞定这两个问题就可以了．
【例题】
【分析】
综上所述，点P的坐标为（3，2）或（3，9）．
【总结】
【练习】
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中考数学复习---二次函数中三角形存在性问题压轴题练习(含答案解析)
中考数学复习---二次函数中三角形存在性问题压轴题练习（含答案解析）一．相似三角形的存在性1．（2022•陕西）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y 轴的交点为C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴l的右侧，过点P分别作l，x 轴的垂线，垂足分别为M，N，连接MN．若△PMN和△OBC相似，求点P的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得：，解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；（2）如图：∵y＝x2﹣x﹣4＝（x﹣1）2﹣，∴抛物线y＝x2﹣x﹣4的对称轴是直线x＝1，在y＝x2﹣x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∴OB＝OC＝4，∴△BOC是等腰直角三角形，∵△PMN和△OBC相似，∴△PMN是等腰直角三角形，∵PM⊥直线x＝1，PN⊥x轴，∴∠MPN＝90°，PM＝PN，设P（m，m2﹣m﹣4），∴|m﹣1|＝|m2﹣m﹣4|，∴m﹣1＝m2﹣m﹣4或m﹣1＝﹣m2+m+4，解得m＝+2或m＝﹣+2或m＝或m＝﹣，∵点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴直线x＝1的右侧，∴P的坐标为（+2，+1）或（，1﹣）．2．（2022•绵阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C（0，3），顶点D的横坐标为1．（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵顶点D的横坐标为1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A（﹣1，0），∴B（3，0），∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入抛物线的解析式，则﹣3a＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．（2）存在，P（0，﹣1），理由如下：∵∠APB+∠ACB＝180°，∴∠CAP+∠CBP＝180°，∴点A，C，B，P四点共圆，如图所示，由（1）知，OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠APC＝∠ABC＝45°，∴△AOP是等腰直角三角形，∴OP＝OA＝1，∴P（0，﹣1）．（3）存在，理由如下：由（1）知抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，∴D（1，4），由抛物线的对称性可知，E（2，3），∵A（﹣1，0），∴AD＝2，DE＝，AE＝3．∴AD2＝DE2+AE2，∴△ADE是直角三角形，且∠AED＝90°，DE：AE＝1：3．∵点M在直线l下方的抛物线上，∴设M（t，﹣t2+2t+3），则t＞2或t＜0．∴EF＝|t﹣2|，MF＝3﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t，若△MEF与△ADE相似，则EF：MF＝1：3或MF：EF＝1：3，∴|t﹣2|：（t2﹣2t）＝1：3或（t2﹣2t）：|t﹣2|＝1：3，解得t＝2（舍）或t＝3或﹣3或（舍）或﹣，∴M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．综上，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．3．（2022•恩施州）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+c与y 轴交于点P（0，4）．（1）直接写出抛物线的解析式．（2）如图，将抛物线y＝﹣x2+c向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．（3）直线BC与抛物线y＝﹣x2+c交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．（4）若将抛物线y＝﹣x2+c进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线y＝﹣x2+c平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+c与y轴交于点P（0，4），∴c＝4，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4；（2）△BCQ是直角三角形．理由如下：将抛物线y＝﹣x2+4向左平移1个单位长度，得新抛物线y＝﹣（x+1）2+4，∴平移后的抛物线顶点为Q（﹣1，4），令x＝0，得y＝﹣1+4＝3，∴C（0，3），令y＝0，得﹣（x+1）2+4＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，∴B（﹣3，0），A（1，0），如图1，连接BQ，CQ，PQ，∵P（0，4），Q（﹣1，4），∴PQ⊥y轴，PQ＝1，∵CP＝4﹣3＝1，∴PQ＝CP，∠CPQ＝90°，∴△CPQ是等腰直角三角形，∴∠PCQ＝45°，∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠BCO＝45°，∴∠BCQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴△BCQ是直角三角形．（3）在x轴上存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似．∵△ABC是锐角三角形，∠ABC＝45°，∴以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，必须∠NBT＝∠ABC＝45°，即点T在y轴的右侧，设T（x，0），且x＞0，则BT＝x+3，∵B（﹣3，0），A（1，0），C（0，3），∴∠ABC＝45°，AB＝4，BC＝3，设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x+3，由，解得：，，∴M（﹣，），N（，），∴BN＝×＝，①当△NBT∽△CBA时，则＝，∴＝，解得：x＝，∴T（，0）；②当△NBT∽△ABC时，则＝，∴＝，解得：x＝，∴T（，0）；综上所述，点T的坐标T（，0）或（，0）．（4）抛物线y＝﹣x2+4的顶点为P（0，4），∵直线BC的解析式为y＝x+3，∴直线BC与y轴的夹角为45°，当抛物线沿着垂直直线BC的方向平移到只有1个公共点时，平移距离最小，此时向右和向下平移距离相等，设平移后的抛物线的顶点为P′（t，4﹣t），则平移后的抛物线为y＝﹣（x﹣t）2+4﹣t，由﹣（x﹣t）2+4﹣t＝x+3，整理得：x2+（1﹣2t）x+t2+t﹣1＝0，∵平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点，∴Δ＝（1﹣2t）2﹣4（t2+t﹣1）＝0，解得：t＝，∴平移后的抛物线的顶点为P′（，），平移的最短距离为．二．直角三角形的存在性4．（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C 坐标为（2，0）．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△P AB为直角三角形，请求出点P 的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象经过点B（0，﹣4），点C（2，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；（2）存在．理由：如图1中，设D （t ，t 2+t ﹣4），连接OD ．令y ＝0，则x 2+x ﹣4＝0，解得x ＝﹣4或2，∴A （﹣4，0），C （2，0），∵B （0，﹣4），∴OA ＝OB ＝4，∵S △ABD ＝S △AOD +S △OBD ﹣S △AOB ＝×4×（﹣﹣t +4）+×4×（﹣t ）﹣×4×4＝﹣t 2﹣4t ＝﹣（t +2）2+4，∵﹣1＜0，∴t ＝﹣2时，△ABD 的面积最大，最大值为4，此时D （﹣2，﹣4）； （3）如图2中，设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，过点B 作BM ⊥抛物线的对称轴于点M ．则N （﹣1.0）．M （﹣1，﹣4）；∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，当∠P1AB＝90°时，△ANP1是等腰直角三角形，∴AN＝NP1＝3，∴P1（﹣1，3），当∠ABP2＝90°时，△BMP2是等腰直角三角形，可得P2（﹣1，﹣5），当∠APB＝90°时，设P（﹣1，n），设AB的中点为J，连接PJ，则J（﹣2，﹣2），∴PJ＝AB＝2，∴12+（n+2）2＝（2）2，解得n＝﹣2或﹣﹣2，∴P3（﹣1，﹣2），P4（﹣1，﹣﹣2），综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，﹣5）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣﹣2）．5．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC 于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，∴，解得，∴y＝﹣x2﹣3x+4；（2）过点D作DG⊥AB交于G，交AC于点H，设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x+4，设D（n，﹣n2﹣3n+4），H（n，n+4），∴DH＝﹣n2﹣4n，∵DH∥OC，∴＝＝，∵OC＝4，∴DH＝3，∴﹣n2﹣4n＝3，解得n＝﹣1或n＝﹣3，∴D（﹣1，6）或（﹣3，4）；（3）设F（t，t+4），当∠FDO＝90°时，过点D作MN⊥y轴交于点N，过点F作FM⊥MN交于点M，∵∠DOF＝45°，∴DF＝DO，∵∠MDF+∠NDO＝90°，∠MDF+∠MFD＝90°，∴∠NDO＝∠MFD，∴△MDF≌△NOD（AAS），∴DM＝ON，MF＝DN，∴DN+ON＝﹣t，DN＝ON+（﹣t﹣4），∴DN＝﹣t﹣2，ON＝2，∴D点纵坐标为2，∴﹣x2﹣3x+4＝2，解得x＝或x＝，∴D点坐标为（，2）或（，2）；当∠DFO＝90°时，过点F作KL⊥x轴交于L点，过点D作DK⊥KL交于点K，∵∠KFD+∠LFO＝90°，∠KFD+∠KDF＝90°，∴∠LFO＝∠KDF，∵DF＝FO，∴△KDF≌△LFO（AAS），∴KD＝FL，KF＝LO，∴KL＝t+4﹣t＝4，∴D点纵坐标为4，∴﹣x2﹣3x+4＝4，解得x＝0或x＝﹣3，∴D（0，4）或（﹣3，4）；综上所述：D点坐标为（，2）或（，2）或（0，4）或（﹣3，4）．三．等腰三角形的存在性6．（2022•百色）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O 为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：∠BOF＝∠BDF；（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．【解答】（1）解：设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入得：，解得，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）证明：∵正方形OBDC，∴∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，∵BF＝BF，∴△BOF≌△BDF，∴∠BOF＝∠BDF；（3）解：∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，∴令y＝3，则3＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝0，x2＝2，∴E（2，3），①如图，当M在线段BD的延长线上时，∠BDF为锐角，∴∠FDM为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴DF＝DM，∴∠M＝∠DFM，∴∠BDF＝∠M+∠DFM＝2∠M，∵BM∥OC，∴∠M＝∠MOC，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BDF+∠MOC＝3∠M＝90°，∴∠M＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BM﹣BE＝3﹣2；②如图，当M在线段BD上时，∠DMF为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴MF＝DM，∴∠BDF＝∠MFD，∴∠BMO＝∠BDF+∠MFD＝2∠BDF，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BMO＝2∠BOM，∴∠BOM+∠BMO＝3∠BOM＝90°，∴∠BOM＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BE﹣BM＝2﹣，综上所述，ME的值为：3﹣2或2﹣．7．（2022•山西）综合与探究如图，二次函数y＝﹣x2+x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线BC交PD于点E．（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；（2）当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）连接AC，过点P作直线l∥AC，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P 运动的过程中，是否存在点P，使得CE＝FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝8或x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），设直线BC解析式为y＝kx+4，将B（8，0）代入得：8k+4＝0，解得k＝﹣，∴直线BC解析式为y＝﹣x+4；（2）过C作CG⊥PD于G，如图：设P（m，﹣m2+m+4），∴PD＝﹣m2+m+4，∵∠COD＝∠PDO＝∠CGD＝90°，∴四边形CODG是矩形，∴DG＝OC＝4，CG＝OD＝m，∴PG＝PD﹣DG＝﹣m2+m+4﹣4＝﹣m2+m，∵CP＝CE，CG⊥PD，∴GE＝PG＝﹣m2+m，∵∠GCE＝∠OBC，∠CGE＝90°＝∠BOC，∴△CGE∽△BOC，∴＝，即＝，解得m＝0（舍去）或m＝4，∴P（4，6）；（3）存在点P，使得CE＝FD，理由如下：过C作CH⊥PD于H，如图：设P（m，﹣m2+m+4），由A（﹣2，0），C（0，4）可得直线AC解析式为y＝2x+4，根据PF∥AC，设直线PF解析式为y＝2x+b，将P（m，﹣m2+m+4）代入得：﹣m2+m+4＝2m+b，∴b＝﹣m2﹣m+4，∴直线PF解析式为y＝2x﹣m2﹣m+4，令x＝0得y＝﹣m2﹣m+4，∴F（0，﹣m2﹣m+4），∴OF＝|﹣m2﹣m+4|，同（2）可得四边形CODH是矩形，∴CH＝OD，∵CE＝FD，∴Rt△CHE≌Rt△DOF（HL），∴∠HCE＝∠FDO，∵∠HCE＝∠CBO，∴∠FDO＝∠CBO，∴tan∠FDO＝tan∠CBO，∴＝，即＝，∴﹣m2﹣m+4＝m或﹣m2﹣m+4＝﹣m，解得m＝2﹣2或m＝﹣2﹣2或m＝4或m＝﹣4，∵P在第一象限，∴m＝2﹣2或m＝4．8．（2022•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接CB交对称轴于点Q，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A、B关于对称轴x＝1对称，∴AQ＝BQ，∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，∵C（0，﹣3），B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣3，∴Q（1，﹣2）；（3）当∠BPM＝90°时，PM＝PB，∴M点与A点重合，∴M（﹣1，0）；当∠PBM＝90°时，PB＝BM，如图1，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH 交于H，过点M作MG⊥HG交于G，∵∠PBM＝90°，∴∠PBH+∠MBG＝90°，∵∠PBH+∠BPH＝90°，∴∠MBG＝∠BPH，∵BP＝BM，∴△BPH≌△MBG（AAS），∴BH＝MG，PH＝BG＝2，设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，解得t＝2+或t＝2﹣，∴M（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2），∵M点在对称轴的左侧，∴M点坐标为（1﹣，﹣2）；如图2，当P点在M点下方时，同理可得M（3+t，2），∴2＝（3+t）2﹣2（3+t）﹣3，解得t＝﹣2+（舍）或t＝﹣2﹣，∴M（1﹣，2）；综上所述：M点的坐标为（1﹣，﹣2）或（1﹣，2）或（﹣1，0）．9．（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的关系式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE 内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（2）如图，过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），∴直线OE的解析式为：y＝x，∴G（m，m），∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，∴S△OPE ＝S△OPG+S△EPG＝PG•AE＝×3×（﹣m2+5m﹣3）＝﹣（m2﹣5m+3）＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴当m＝时，△OPE面积最大，此时，P点坐标为（，﹣）；（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1），抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则E（3，3），∵直线OE的解析式为：y＝x，∴M（2，2），∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），∴2≤﹣1+h≤3，解得3≤h≤4；（4）设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，∴∠OMP＝∠PNF＝90°，∵△OPF是等腰直角三角形，∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，∴∠OPM＝∠PFN，∴△OMP≌△PNF（AAS），∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m＝（舍）或，∴P的坐标为（，）；②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，解得：m1＝（舍）或m2＝，∴P的坐标为（，）；③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN＝FM，则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：m1＝或m2＝（舍）；P的坐标为（，）；④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图，同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，解得：m＝或（舍），P的坐标为：（，）；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．方法二：作直线DE：y＝x﹣2，E（1，﹣1）是D点（2，0）绕O点顺时针旋转45°并且OD缩小倍得到，易知直线DE即为对称轴上的点绕O点顺时针旋转45°，且到O点距离缩小倍的轨迹，联立直线DE和抛物线解析式得x2﹣4x+3＝x﹣2，解得x1＝，x2＝，同理可得x3＝或x4＝；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．10．（2023•澄城县一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B，与y轴交于点C（0，3），直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在对称轴l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）、点C（0，3）分别代入y＝﹣x2+bx+c，得．解得．故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）由（1）知，该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．则该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1．故设M（1，m）．∵A（﹣1，0）、点C（0，3），∴AC2＝10，AM2＝4+m2，CM2＝1+（m﹣3）2．①若AC＝AM时，10＝4+m2，解得m＝±．∴点M的坐标为（1，）或（1，﹣）；②若AC＝CM时，10＝1+（m﹣3）2，解得m＝0或m＝6，∴点M的坐标为（1，0）或（1，6）．当点M的坐标为（1，6）时，点A、C、M共线，∴点M的坐标为（1，0）；③当AM＝CM时，4+m2＝1+（m﹣3）2，解得m＝1，∴点M的坐标为（1，1）．综上所述，符合条件的点M的坐标为（1，）或（1，﹣）或（1，0）或（1，1）．11．（2023•碑林区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．【解答】解：（1）将点（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，∴a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x+2；（2）∵BM＝5﹣2t，∴M（2t﹣1，0），设P（2t﹣1，m），∵PC2＝（2t﹣1）2+（m﹣2）2，PB2＝（2t﹣5）2+m2，∵PB＝PC，∴（2t﹣1）2+（m﹣2）2＝（2t﹣5）2+m2，∴m＝4t﹣5，∴P（2t﹣1，4t﹣5），∵PC⊥PB，∴×＝﹣1，∴t＝1或t＝2，∴M（1，0）或M（3，0），∴D（1，3）或D（3，2）．12．（2023•东洲区模拟）抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴正半轴交于点C．（1）求此抛物线解析式；（2）如图①，连接BC，点P为抛物线第一象限上一点，设点P的横坐标为m，△PBC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求S最大时P点坐标；（3）如图②，连接AC，在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）点P作PF⊥x轴于点F，交BC于点E，设BC直线解析式为：y＝kx+b，∵B（3，0），C（0，3），∴，解得，∴y＝﹣x+3，由题意可知P（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），S＝S△PBE+S△PCE，S＝PE•OB＝（﹣m2+2m+3+m﹣3）×3，，∵，∴当时，S有最大值，此时P点坐标为；（3）存在，M1（1，0），，，M4（1，1），①当AC＝AM时，如图，设对称轴l与AB交于点E，则，∵AM2＝AE2+EM2，∴，解得：，∴M点的坐标为或，②当AC＝MC时，则OC为AM的垂直平分线．因此M与E重合，因此，M点的坐标为（1，0），③当AM＝CM时，如图，设M点的坐标为（1，n），则AM2＝22+n2＝4+n2，CM2＝12+（3﹣n）2，∴4+n2＝12+（3﹣n）2，解得：n＝1，∴M点的坐标为（1，1），综上可知，潢足条件的M点共四个，其坐标为M1（1，0），，，M4（1，1）．13．（2023•三亚一模）如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），顶点为D，连接AC，CD，DB，直线BC 与抛物线的对称轴l交于点E．（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（2）求四边形ABDC的面积；（3）P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC ＝S△ABC时，求点P的坐标；（4）在抛物线的对称轴l上是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）过点A（﹣2，0）和C（0，8），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+8．令y＝0，得．解得x1＝﹣2，x2＝8．∴点B的坐标为（8，0）．设直线BC的解析式为y＝kx+b．把点B（8，0），C（0，8）分别代入y＝kx+b，得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+8．（2）如图1，设抛物线的对称轴l与x轴交于点H．∵抛物线的解析式为，∴顶点D的坐标为．∴S四边形ABDC ＝S△AOC+S梯形OCDH+S△BDH＝＝＝70．（3）∵．∴．如图2，过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F．设点．∵点F在直线BC上，∴F（t，﹣t+8）．∴．∴．∴．解得t1＝2，t2＝6．∴点P的坐标为（2，12）或P（6，8）．（4）存在．∵△BEM为等腰三角形，∴BM＝EM或BE＝BM或BE＝EM，设M（3，m），∵B（8，0），E（3，5），∴BE＝＝5，EM＝|m﹣5|，BM＝＝，当BM＝EM时，＝|m﹣5|，∴m2+25＝（m﹣5）2，解得：m＝0，∴M（3，0）；当BE＝BM时，5＝，∴m2+25＝50，解得：m＝﹣5或m＝5（舍去），∴M（3，﹣5）；当BE＝EM时，5＝|m﹣5|，解得：m＝5+5或m＝5﹣5，∴M（3，5+5）或（3，5﹣5），综上所述，点M的坐标为（3，0）或（3，﹣5）或（3，5+5）或（3，5﹣5）．14．（2023•南海区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a ＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC 于点N．求线段PM的最大值和此时点P的坐标；（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）中，得，解得，∴解析式为y＝x2﹣2x﹣3，故抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）当x＝0时，y＝3，∴C（0，﹣3），∵B（3，0），∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PN∥y轴，∴∠MNP＝45°，∵PM⊥BC，∴PM＝PN，则当PN最大时，PM也最大，设BC的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴BC解析式为y＝x﹣3，设P（x，x2﹣2x﹣3），N（x，x﹣3），∴PN＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，PN最大，则PM＝PN＝×＝，∴P（，），故PM最大值为，P点坐标为（，﹣）；（3）存在，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）．∵CEQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，∴设Q（x，x2﹣2x﹣3），①如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，∵∠CEQ＝90°，∴∠QEM+∠CEN＝90°，∵∠QEM+∠MQE＝90°，∴∠EQM＝∠CEN，∵∠CNE＝∠QME＝90°，EC＝EQ，∴△EMQ≌△CNE（AAS），∴CN＝EM＝x2﹣2x﹣3，MQ＝EN＝3，∴|x Q|+MQ＝CN，﹣x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝﹣2，x＝3（舍去），∴OE＝CM＝2+3＝5，E（﹣5，0），②如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴﹣x+x2﹣2x﹣3＝3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），③如图，点E和点O重合，点Q和点B重合，此时E（0，0），④如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），综上所述，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）41。
二次函数压轴之直角三角形的存在性问题,方法集锦
②
AF BG
BF CG
得
3 m
3
3 (m2 3m)
解得m1 2 7(舍去), m 2 7
C2 (2 7,5 7)
方法一:一线三角构相似
① ②合并
第一种情况
E
设C(m, m2 3m)如图可得AOB : BEC
C
AO BO 得
3
3
BE EC |m2 3m 3| |m|
①
解得m1 2 7, m 2 7
C=900, AC2 CB2 AB2 (m 3)2 (m2 3m)2 m2 (m2 3m 3)2 18
m1
0,
m2
3 2
17
,
m3
3 2
17
C(0, 0),C(3 17 , 2)C(3 17 , 2)
2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
方法三:利用勾股定理
设C(m,m2 -3m)A(3,0)B(0,3) AB2 18, AC 2 (m 3)2 (m2 3m)2 BC 2 m2 (m2 3m 3)2
如图,抛物线y x2 3x,与x轴交于O、A，直线y=-x+3与y轴交于点B, 与抛物线交于A、D, 问:抛物线上是否存在点P使ABC为直角三角形,并求出P点的坐标
如图,抛物线y x2 3x,与x轴交于O、A，直线y=-x+3与y轴交于点B, 与抛物线交于A、D, 问:抛物线上是否存在点P使ABC为直角三角形,并求出P点的坐标
如图,抛物线y x2 3x,与x轴交于O、A，直线y=-x+3与y轴交于点B, 与抛物线交于A、D, 问:抛物线上是否存在点P使ABC为直角三角形,并求出P点的坐标
如图,抛物线y x2 3x,与x轴交于O、A，直线y=-x+3与y轴交于点B, 与抛物线交于A、D, 问:抛物线上是否存在点P使ABC为直角三角形,并求出P点的坐标
二次函数中和角有关的存在性问题
二次函数中与角有关的存在性问题与角有关的存在性问题包括相等角的存在性、二倍角或半角的存在性，其他倍数关系角的存在性等，解决这类问题我们通常利用以下知识点去构造相关角：①平行线的同位角、内错角相等；②等腰三角形的等边对等角；③相似三角形对应角相等；④全等三角形对应角相等；⑤三角形的外角定理等。
然后利用解直角三角形、相似三角形边的比例关系作为计算工具去计算求解，难度相对较大，需要同学们灵活运用，融会贯通。
【类型一 相等角的存在性问题】（一）.利用平行线、等腰三角形构造相等角例1 如图，直线33+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线c bx x y ++-=2与直线y =c 分别交y 轴的正半轴于点C 和第一象限的点P ，连接PB ，得BOA PCB ≌△△（O 为坐标原点）。
若抛物线与x 轴正半轴交点为点F ，设M 是点C ，F 间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m . （1）直接写出点P 的坐标和抛物线的解析式. （2）求满足POA MPO ∠=∠的点M 的坐标.解：(1)易得点P 坐标为（3，4），抛物线解析式为432++-=x x y .(2) ①当点M 在线段OP 上方时，∵CP ∥x 轴，∴当点C 、M 重合时，∠MPO=∠POA ，∴点M 的坐标为（0，4）；②当点M 在线段OP 下方时，在x 轴正半轴取点D ，连接DP ，使得DO=DP ，此时∠DPO=∠POA.设点D 坐标为（n ，0），则DO=n ，()16322+-=n DP ，∴()16322+-=n n ，解得：n=625，∴点D 坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0625，. 设直线PD 解析式为b kx y +=，代入得：7100724+-=x y .联立抛物线解析式得⎪⎭⎫⎝⎛49124,724M 综上所述：点M 的坐标为（0，4）或⎪⎭⎫⎝⎛49124,724（二）.利用相似三角形构造相等角例2 如图，抛物线c bx x y ++=221与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其对称轴交抛物线于点D ，交x 轴于点E ，已知OB=OC=6. （1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）连接BD ，F 为抛物线上一动点，当EDB FAB ∠=∠时，求点F 的坐标；解：（1）因为OB=OC=6，所以B （6，0），C ()6,0-， 将B、C点坐标代入解析式，得()8221622122--=--=x x x y ， 所以点D 的坐标为（2，—8）（2）如图1，过F 作FG ⊥x 轴于点G ，设⎪⎭⎫ ⎝⎛--6221,F 2x x x ，则FG=62212--x x ，AG=x +2，当EDB FAB ∠=∠时，且B ED GA ∠=∠F ，所以BDE FAG ∽△△，所以FGAGEB DE =，即262212482=--+=x x x ， 当点F 在x 轴上方时，则有12422--=+x x x ，解得x=—2（舍去）或x=7，此时F 点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛297，；当点F 在x 轴下方时，则有）（12422---=+x x x ，解得x=—2（舍去）或x=5，此时F 点的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-275，，,综上可知点F 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛297，或⎪⎭⎫ ⎝⎛-275，.【类型二二倍角或半角的存在性问题】（一）.二倍角的构造方法如图，已知α∠，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造α2，在BC 边上找一点D，使得BD=AD，则α2ADC=∠.这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数（一般用正切）计算就可以了。
二次函数综合--角度存在性问题
二次函数综合--角度存在性问题【题型解读】二次函数综合中的角度问题是大部分地区全卷的压轴题，具有较好的区分度和选拔功能，此类试题不仅可以考查二次函数与平面几何的基础知识，还可以考查数形结合、分类讨论等数学思想方法，以及阅读理解能力、收集处理信息能力、运用数学知识探究问题的能力等.解题关键是，充分挖掘题目中的隐含条件，构造角，利用解直角三角形或相似进行计算求解.【主要类型】1.相等角的存在性，主要形式为基于动点构造某个角使其与特定已知角相等2.二倍角的存在性，主要形式为基于动点构造某个角使其等于特定已知角的2倍3.半角的存在性，主要形式为基于动点构造某个角使其等于特定已知角的一半【方法总结】角度存在性问题主要解题突破口在于构造相关角，主要有以下几种构造方法：⑴构造相等角的方法①利用平行线的性质或者等腰三角形的性质构造相等角②利用相似三角形构造相等角⑵构造二倍角的方法⑶构造半角的方法【典型例题】1．如图，已知直线BC的解析式为y＝﹣x+3，与x轴，y轴交于点B，C．抛物线y＝ax2+bx+3过A（﹣1，0），B，C三点，D点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接BD，CD．（1）求二次函数及直线CD的解析式；（2）点P是线段CD上一点（不与点C，D重合），当△BCP的面积为时，求点P的坐标．（3）点F是抛物线上一点，过点F作FG⊥CD交直线CD于点G，当∠CFG＝∠EDB 时，请直接写出点F的坐标．2．如图，已知二次函数y＝ax2+x+b的图象经过点A（﹣3，0）和点B（0，4），∠BAO 的平分线分别交抛物线和y轴于点C，D．点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线交直线AC于点E，连接PC．（1）求二次函数的解析式；（2）当以点P，C，E为顶点的三角形与△ADO相似时，求点P的坐标；（3）设点F为直线AC上一点，若∠BFD＝∠ABO，请直接写出点F的坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）如图1所示，过点P作PM∥y轴，分别交直线AB、x轴于点C、D，若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，求点P的坐标；（3）如图2所示，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接PB，当△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，请直接写出点P的横坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过AB两点，与x轴的另一个交点为C．（1）直接写出点A和点B的坐标．（2）求抛物线的解析式．（3）D为直线AB上方抛物线上一动点．①连接DO交AB于点E，若DE：OE＝3：4，求点D的坐标；②是否存在点D，使得∠DBA的度数恰好是∠BAC的2倍？如果存在，直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点A（﹣8，0）、B（2，0），与y轴交于点C，点D是AB中点，连接CD．点P是抛物线上一点．（1）求a、b的值；（2）若S△CDP＝S△CDO，求点P的横坐标；（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为E，若∠CPE＝∠CDO，求点P的横坐标．。
2022年中考数学复习之二次函数压轴题40个问题
中考复习之二次函数压轴40个问题主要题型：1.二次函数之面积问题2.二次函数之特殊三角形的存在性问题3.二次函数之特殊四边形的存在性问题4.二次函数之线段最值问题5.二次函数之角度问题题目：如图,抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC＝３，OA＝１，顶点为D第1问.如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D.求二次函数的解析式；解:设:设二次函数解为y=a(x+1)(x-3)将(0,3)代入得a=-1,故二次函数解析式为y=-x2+2x +3第2问.如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OB=OC=3,OA=1.顶点为D1.判断∆BCD的形状；解:D(1,4),B(3,0),C(0,3),方法一:BC=32,CD=2,BD=25,BC2+CD2=BD2,故∆BCD是直角三角形；方法二:KCD =1,KBC=-1,KCD∙KBC=-1,故CD⊥CB,所以∆BCD是直角三角形；yxBCAODyxBCAODyxBCAODyxBCAOD第3问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1.顶点为D, 2. 四边形ABDC 的面积解:BC:y =-x +3,铅垂法:E(1,2)DE=2,S BCD ∆=21∙2∙3=3 S ABDC 四=21∙4∙3+3=9第4问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D, 1. P 为直线BC 上方抛物线上一点,求∆PBC 面积最大值及P 点坐标；解:方法一:设P(m,-m+2m+3)S PBC ∆=21∙3∙[-m 2+2m+3-(m+3)] =23(-m 2+3m),当m=23时,S 有最大值,此时P(23,415)S m ax =827 方法二:平移BC 至抛物线相切时,面积可取最大值设切线为y =-x +n,与抛物线y =-x 2+2x+3联立得x2-3x +n -3=0,∆=0,n=23,y =415,故P(23,415)S m ax =827y xBCAODy xBCAODEy xBCAOD第5问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D5点M 为BC 上方抛物线上一点,过点M 作y 轴的平行线交BC 于点N,求MN 的最大值；解:设点M(m,-m 2+2m+3),BC:y =-x +3,则点N(m,-m+3)MN=-m 2+2m+3-(-m+3)=-m 2+3m 当m=23时,MN m ax =49第6问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OC=3,OA=1,顶点为D, 6. 在对称轴上找一点P,使∆ACP 的周长最小,并求出最小值解:点A 、B 关于对称轴对称,连接BP,则BP=AP,PA+PC=PB+PC,当点B 、P 、C 三点共线时,可取最小值,此时P(1,2),∆ACP 周长的最小值为10+32第7问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1. 在y 轴上找一点E,使∆BDE 为直角三角形,求出E 点坐标, 方法一:y xBCAOPDy xBCAODy xNBCAODMy xBCAOD P1.DE ⊥BE 时,设E(0,m)易知∆DEF~∆EBO,OE DF =BO EF ,即m 1=34m-,m=3或1,故E 1(0,1)、E 2(0,3)2. DE ⊥DB 时,设E(0,m)易知∆DEN~∆BDM,BM DN =DM EN ,即m 1=34m -,m=27故E ；(0,27)3. DB ⊥BE 时,设E(0,m),易知∆DBF~∆BEG,BG DF =EG BF ,即m -2=34,m=-23,故E 4(0,-23)第8问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1. 在y 轴上找一点F,使∆BDF 为等腰三角形,求出F 点坐标；2. BD=DF,设F(0,m),22)4()01(m -+-=25,m=4+9 或4-19,F 1(0,4+19);F 2(0,4-19)yxFBCAODExyN MBCAODExy GFEBCAODxy BCAODF2.BD=BF,设F(0,m),22)0()03(m -+-=25,m=±11,F 1(0,11),F 2(0,-11)3.DF=BF,设F(0,m),22)0()03(m -+-=22)4()01(m -+-,m=1,F 4(0,1)第9问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1. 求抛物线上一点N,使S ABN ∆=S ABC ∆；解:设N 点的坐标(m,n),则∆ABC 与∆ABN 底相同,故n=±3,-m 2+2m+3=3或者-m 2+2m+3=3得m 1=0,m 2=2,m 3=1-7,m 4=1+7,N(0,3),(2,3),(1-7,-3),(1+7,-3)第10问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D, 1. 在抛物线上找一点Q,使S BDQ ∆=S AOC ∆解:设Q(m,-m 2+2m+3),S AOC ∆=23,BD ：y =-2x +6,铅垂高QS=|-m 2+2m+3-(-2m+6)| S BDQ ∆=|-m 2+2m+3-(-2m+6)|∙21∙1=23得m=0或4Q(0,3),(4,-5),xBCAODFBCAOD FBCAODFBCAODN第11问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.在抛物线上找一点E,使BE 平分∆ABC 的面积； 解:BE 平分∆ABC 的面积,故BE 经过AC 的中点,AC 中点(-21,23),BE:y =-73x +79; 与抛物线联立得-x 2+2x +3=-73+79x =-74或722,E(-74;4919)或(722；491849)第12问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA =1,顶点为D 1.在对称轴上找一点M,使|MB -MC|取最大值,并求出最大值；解:点B 关于对称轴对称的点A,连接MA,则MB=MA,MA -MC<AC, 当点A 、C 、M 共线时,|MB -MA|m ax =AC=10, AC:y =3x x +3,M(1,6)第13问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.M 、N 为对称轴上的两点(M 在N 点上方),且MN=1,求四边形ACNM 周长的最小值； 解:A 关于对称轴对称的点B,连接BN,则BN=AN,将点向下平移1个单位得C’、N,则C’N=CM, 故CM+BN=C’N+BN,当C’、N 、B 共线时,取最小值(CM+BN)m in =13,故ACNM 周长得最小值为1+10+13BCAODQABCODEABCODM第14问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.E 在抛物线对称轴上,在抛物线上找一点F,使得点四边形ACFE 为平行四边形； 解:设E(1,m)F(n,-n 2+2n+3),A(-1,0),C(0,3),A 平行至点C 与E 平移至点F, n=1+1=2,m+3=-n 2+2n+3,m=0,故E(1,0)F(2,3)第15问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.M 为y 轴上一点,在坐标平面内找一点N,使A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为菱形； 解:当 ACM 为等腰三角形时,问题转化为等腰三角形问题 1.ACNM 为菱形时,M(0,3),N(1,0),2.AMCN 为菱形时,M(0,34),N(-1,35),3.ACMN 为菱形时,M(0,3+10),N(-1,10)ABCODMNABCODM NC'ABCODEFABCODMN ABCONDM4.ACMN 为菱形时,M(0,3-10),N(-1,-10)第16问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.E 为x 轴上一点,以BE 为边的正方形BEFG ； 另一点G 在抛物线上,求点F 坐标；设E(m,0)则EF=|-m 2+2m+3|由EF=EB 得3-m=|-m 2+2m+3|,m=0或m=-2故F(0,3)或F(-2,-5)第17问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.P 是抛物线上任意一点,过点P 作PE ⊥y 轴于点E,交直线BC 于点G ；过点G 作GF ⊥x 轴,连接EF,求EF 的最小值；连接OG,则OG=EF,当OG ⊥BC 时,OG 最小,即EF 最小,故EF m in =233x C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.M 在抛物线上CB 上方一点过点M 作y 轴的平行线,交BC 于点E,则ME 的最大值是多少? 解:设M(m,-m 2+2m+3),BC :y =-x +3,E(m,3-m),ME=-m 2+2m+3-(3-m)=-m 2+3m,当m=23ABCONDMABCNODMGCABO EFF CABOE GFEGCABOPFEGCABOP时,ME m ax =49第19问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.求一点P,使∠POC=∠PCO ； 解:点P 在OC 得垂直平分线上,-x2+2x +3=23,x =1±210P 1(1-210,23)P 2(1+210,23)第20问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.E(2,-2),M 为x 轴上一点,且∠EMO=∠CMO ； 1.M 在右侧时,易知∆CMO~∆EMG,设M(m,0)则有2-m m =23,m=6 2.M 在左侧时,同理易知∆CMO~∆EMG ,m m --2=23,m=6(舍) 第21问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.P 是直线y =x 上的动点,当直接y =x 平分∠APB 时,求点P 的坐标； 如图,∆PAO ≅∆PEO,此时OE=OA=1,故E(0,-1),EB ：y =31x -1,与y =x 得x =-23,P(-23,-23) ECABOMPPCABOCABOEMG第22问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.点P 在抛物线上,且∠ABP=∠CBD,求P 坐标；解:C(0,3)D(1,4)B(3,0)tan ∠CBD=31,故tan ∠PBO=31,OE=1或者OF=1,PB ：y =-31x +1或y 且=31x -1,联立可得P 1(-32,911)P 2(-23,-23)第23问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.在抛物线上找一点P,使∠ACP=450；方法1:∠OCB=∠ACP=450,得∠ACO=∠ECB,故tan ∠ECB=31,作EH ⊥BC,设BH=m,则EH=m;CH=3m,故4m=32,m=423,E(23,0)故CE:y =-2x +3,联立得P(4,-5) 方法2:由12345模型得tan ∠ECO=21得E(23,0)第24问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.P 在抛物线上,∠DBP=450； 由tan ∠CBD=31,∠CBD+∠CBP=450,而∠PBO+∠CBP=450,故tan ∠PBO=31,BP:y =-31x +1,P(-32,911) ECABOPPEFCABODPPHECABOPDP第25问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.点P 在抛物线上,∠PCB=150,求点P 的坐标；解:由∠BCO=450得∠PCO=30或∠PCO=600,故PC:y =-3x +3或y =-33x +3联立得P(2+3,-23)P(2+33,3328-)第26问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.直线y =31x -1与y 轴交于点E,求∠EBC -∠CBD ； 由tan ∠DBC=tan ∠EBO=31,故∠EBC -∠CBD=450第27问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.过点P(3,0)作直线与抛物线交于F 、G 、FM 、GN 分别垂直于x 轴,求PM,PN ；设F(1x ,1y )G(2x ,2y ),直线y =k (x +3)与抛物线y =-2x +2x +3联立得2x +(k -2)x +3k -3=0;1x +2x =2-k ,1x •2x =3k -3,PM •PN=(1x +3)(2x +3)=1x •2x +3(1x +2x )+9=12CABOPDPPF CABODPEECABODENMGFCABOPD第28问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为DP 是第一象限抛物线上,PE ⊥AB,求BEAE的值,若PE 2=AE •BE,求P 点坐标 设P(m,-m 2+2m+3),AE=m+1,BE=3-m,BE AE =mm -+31,(m+1)(3-m)=(-m 2+2m+3)2得m=1+3,P(1+3,1)第29问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D M 为直线y =33x 3上的点,N(0,-1),求23BM+MN 的最小值, 过点B 作I ⊥x 轴,MH ⊥I,∠MBH=600,MH=23BM,23BM+MN=MH+MN,当N 、M 、H 共线且垂直于I 时取最值(23BM+MN)min=3第30问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D M 为直线y =33x 3上的点,求21BM+OM 的最小值 过点B 作I:y =3x -33,MH ⊥I,∠MBH=300,MH=21BH,21BH+OM=MH+OM,当Q 、M 、H共线且垂直于I 时取最值(21BM+MN )min=233xy EBCAOPxy BCA O MN H第31问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D M 为直线y =33x 3上的点,求22BM+OM 的最小值 过点B 作I,I 与直线MN 夹角450,MH ⊥I,∠MBH=450,MH=22BM,22BM+OM=MH+OM,当Q 、M 、H 共线且垂直于I 时取最值两着色三角形相似,得cos150=426,(21BM +MN)min=423-63第32问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D在AB 上是否存在点M,使CM+21BM 取最小值. 过点B 作I,I 与x 轴夹角为300,MH=21BM,21BM+CM=MH+CM,当C 、M 、H 共线且垂直于I 时取最值(21BM+CM)min=2333+第33问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为Dxy BCAMO Hxy BCAMOHxy BCAO M EHM 是抛物线上一点,作MH ⊥x 轴,交BC 于点E,当ME:EH=3:2时,求M 点的横坐标, 设M(m,-m 2+2m+3),则E(m,3-m),ME=-m 2+2m+3-(3-m),EH=3-m,ME:EH=3：2 即有-m 2+2m+3-(3-m)=23(3-m) m=23第34问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于顶点为D P 是抛物线上一点,且∠PAB=2CBD,求P 点坐标. tan ∠CBD=31,tan ∠PAB=tan2∠CBD=43(12345模型) 设P(m,-m 2+2m+3)(1)tan ∠PAB=1322+++-m m m =43,m=49,P(49,1639)(2)tan ∠PAB=1322+--m m m =43,m=415,P(415,1657)第35问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为DF(1,415)直线y =417,(1)证明:M 上任意一点到直线y =417距离等于到F 点的距离, M(m,-m 2+2m+3),MH=417-(-m 2+2m+3)=m 2-2m+45MF=222)41532()1(-++-+-m m m =m 2-2m+45,故MH=MF xyEBCAOMHxy BCAODPP第36问:如图,抛物线与x 轴交于、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为DF(1,415)直线y =417,(2)证明:N(2,-1)M 为抛物线上一点,求NM+MF 的最小值 由(1)可知MF=MH,故NM+MF=MN+MH,(NM+MF)min=421第37问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D ∠BAC 的角平分线交y 轴于点M,绕点M 作直线I,与x 轴交于点E,与A 交于点F,求证:AE 1+AF 1为定值 过点M 、F 、C 作x 轴的平行线,交AC 于点G,交AM 于点H 、I ，易知:∆AEM~∆HFM,∆AFH~∆ACI,AO GM =AC CG ,CI GM =AC AG ,相加得AO GM +CI GM =AC CG +ACAG=1 即有AO 1+AC 1=GM 1,同理可得AE 1+AF 1=GM1=1+1010第38问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D P 为第四象限抛物线上一点,且tan ∠APC=21,求出点P 的坐标； 过点C 作CE ⊥AC,取一点E 使CE=2AC,过点C 作MN||x 轴,作A M ⊥MN 、EN ⊥MN,易知∆ACM~∆CEN,CN=6,EN=2,E(6,1),P 为以AE 为直径的圆与抛物线的交点AE 的中点F,F(25,21) xy BCOFMHxy BCNOFMHA过点易知AE HF AFACGM AO =CG AC ，GM CI =AGAC，GM AO +GM CI =CG AC +AGAC =1即有1AO +1AC =1GM，同1AE +1AF =1GM =11010xy H G FEMBCOIPF=225,设P(m,-m 2+2m+3),PF 2=(m -25)2+(-m 2+2m+325)2=225m=255,y =2531--,P(255,2531--)第39问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 直线y =x -3与抛物线交于点P,在x 轴正半轴上找一点E,使tan(∠PBO+∠PEO)=25 在x 轴上找一点F,使tan ∠HPF=25,∠HPF=450+∠BPH=∠PBO+∠PEO=450+∠PEO, 故∠BPF=∠PEO,故∆BEP~∆BPF,BP BE =BF BP ,即253-m =21525,m -3=320,m=329故E(329,0)第40问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 对称轴与BC 交于点E,在直线BC 上找一点P,使∆ABP 与∆DEB 相似,∠BED=1350=∠ABP,故P 在CB 的延长线上,DE=2,BE=22,AB=3,1.当∆EDB~∆BAP,AB DE =BP EB ,即42=BP22,BP=42,P(7,-4) 2.∆EDB~∆BPA 时,BP=22,P(5,-2)AxyN MPFEBCOAH PE FAxyIHEBCODP 1P 2。
二次函数中角度的存在性问题
二次函数中角度的存在性问题类型一：等角构造法（作垂直，找相似）例1：如图，抛物线y＝x2-4x＋3与x轴交于点A，B两点，与y轴交C，连接AC.抛物线上是否存在点M，使∠OBM ＝∠OCA.若存求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.分析：1.假设∠OBM=∠OCA，过M作ME垂直x轴，构造∆MEB~∆AOC，利用对应边成比例，可求出M点坐标。
2.利用对称性，求出点M的对称点H,可得∠HBO=∠OBM，延长BH交抛物线于点M’，则点M’就为所求的。
类型二：2倍角构造法（作垂直平分线，构造等腰三角形，则外角就为已知角的两倍）例2.如图，直线y＝-3x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝-x2＋bx＋c经过点A，B．抛物线上是否存在点M，使直线AM与y轴所夹锐角是∠ABO的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.分析：1.作AB的垂直平分线CD,交y轴于点D,则构造等腰三角形BDA，所以∠ODA=2∠OBA，延长AD交抛物线于点M，则联立解析式可求点M坐标。
2.利用对称性可求点M的对称点H（或者求D点的对称点），则延长AH交抛物线于M’。
类型三：半角构造法（作角平分线或向外延长作等腰三角形）例3：如图，抛物线交x 轴于A ，C 两交y 轴于点B ，连接AB .抛物线上是否存在点M ，使∠ACM ＝？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.分析：方法1：作∠OAB 的J 角平分线AE ，求出E 点坐标及AE 解析式。
过点C 作CM ∥AE ，则∠MCA=∠OAE=∠OAB ，则点M 就为所求作的。
然后利用对称性，可求点M ’.4x 31x 31y 2+--=BAO ∠2121方法2：延长OA 至D ，使AD 等于AB ，构造等腰三角形BAD,则∠ADB=∠OAB ，过C 点作CM ∥BD,则点M 就为所求作的。
然后一样利用对称性求出点M ’。
21。
中考数学压轴题专题通关训练《角的存在性问题处理策略》(“ppt+视频解析”一体化,解题套路,模型全覆盖)
A（1,0）
B（-3,0）
y=-x2-2x+3
顶点（-1,4）
y=ax2+bx+3
遇到矩正和直三 横平竖直可通关 先倒角来后列点 交规大法亮光环
●已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1,0）和点B（-3,0），与y轴交于C点，点P 为第二象限内抛物线上的动点。
⑵链接OP交交BC于D，当S△CPD :S△BPD =1：2时，请求出D点的坐标。
∠OBP=30°
OP=√3
CP=3- √3 y
②P在BC下方
A
∠OBC=45°
O
∠OBP=60°
CP=3√3-3
∠PBC=15°
P1
C
注意：要有把15°，75°等列入特殊角的胸怀和意识！ p2
B
x
二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且关于 直线x=1对称，点A的坐标为（-1,0） ⑶当a≤x≤a+1时，二次函数y=x2+bx+c的最小值为2a,求a 的值。
套路：涉及二次函数最值，按照取值范围在对称轴左、中、右考量
①a+1＜1 y=x2 -2x -3 =（x-1）2- 4
②a≤1≤a+1
x=a+1时，y最小 y随x的增大而减小
（a+1-1）2- 4=2a
a=1±√5(舍谁？)
x=1时，y最小=-4 2a=-4 a=-2(舍) y
③a＞1
y=x2 -2x -3 =（x-1）2- 4
∠PEG=30° ∠GEO=75°
∠EFO=45°
GBF A x
O
E
OF=OE=1
中考数学复习典型压轴题专题讲解20---二次函数与特殊三角形存在型问题
同理可得直线 AC 的表达式为： y = 4 x + 4 ，
3
设直线 AC 的中点为 K (− 3 ， 2) ，过点 M 与 CA 垂直直线的表达式中的 k 值为 − 3 ，
2
4
同理可得过点 K 与直线 AC 垂直直线的表达式为： y = − 3 x + 7 … ②，
48
①当 AC = AQ 时，如图 1，
33
QOB = OC ，∴∠ABC = ∠OCB = 45° = ∠PQN ，
3 / 60
PN = PQ sin ∠PQN =
2 (− 1 m2 + 1 m + 4 + m − 4) = −
2 (m − 2)2 + 2
2
，
23 3
6
3
Q − 2 < 0 ，∴ PN 有最大值，
6
当 m = 2 时， PN 的最大值为： 2
NQ 2
求 t 的值； （3）如图②，连接 AM 交 BC 于点 D ，当 ∆PDM 是等腰三角形时，直接写出 t 的值．
【分析】（1）求直线 y = −x + 4 与 x 轴交点 B ，与 y 轴交点 C ，用待定系数法即求得抛物 线解析式． （2）根据点 B 、C 坐标求得 ∠OBC = 45° ，又 PE ⊥ x 轴于点 E ，得到 ∆PEB 是等腰直角三 角形，由 PB = 2t 求得 BE = PE = t ，即可用 t 表示各线段，得到点 M 的横坐标，进而用 m
4 / 60
∽ 表示点 M 纵坐标，求得 MP 的长．根据 MP / /CN 可证 ∆MPQ ∆NCQ ，故有 MP = MQ = 1 ， NC NQ 2
【分析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解； （2）分 AC = AQ 、 AC = CQ 、 CQ = AQ 三种情况，分别求解即可； （3）由 PN = PQ sin ∠PQN = 2 (− 1 m2 + 1 m + 4 + m − 4) 即可求解．
二次函数中的存在性问题
二次函数中特殊四边形的存在性问题（三）——与正方形的结合一、教材分析：结合最近几年的中考真题，不难发现，第28题压轴题一定是二次函数的综合性题目，在这道题的第3问中，大致可以分为以下几类：1、存在性问题：（1）二次函数中的特殊三角形存在性问题（这里的三角形可以是等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形）；（2）二次函数中与已知三角形相似的三角形存在性问题；话（3）二次函数中与已知三角形面积产生联系的三角形存在性问题；（4）二次函数中特殊四边形存在性问题（这里的特殊四边形可以是平行四边形、矩形、菱形、正方形）。
2、最值问题。
3、动点问题（路径）。
由此可见，将存在性问题分为多个小专题来授课是非常必要的。
二、学情分析：在八年级学过一次函数后，我们已经在该背景下研究过特殊三角形的存在性问题，其中不乏等腰三角形等，也研究过在已知三角形的前提下，是否有点存在，构成全等三角形。
对处理存在性问题有了一定的感悟，往往是：假设存在——尝试画图，在该过程中分析是否具有多种可能性——选择合适的分类标准，进行讨论——结合题意推理计算。
在此背景下，经历了九年级的反比例函数、二次函数和相似三角形、特殊平行四边形的学习后，便可以将存在性问题放到反比例函数和二次函数中来研究，学生也有了一定的方向和研究策略，可以进一步体会存在性问题的本质。
三、教学目标：1、能根据题中给出的条件，选择恰当的表达式（一般式、顶点式、交点式），用待定系数法求出抛物线解析式2、在二次函数的综合性题目中，能结合图象，在题意中抽取出有用的信息，并能用数学语言表达（若没有图形则可自己尝试画图），找出符合题意的点，尝试解答3、在学习的过程中，经历独自思考、小组讨论的过程，增强自信心，树立健全人格四、教学重、难点：教学重点：在二次函数的综合性题目中，能结合图象，在题意中抽取出有用的信息，并能用数学语言表达（若没有图形则可自己尝试画图），尝试解答教学难点：归纳总结怎么处理二次函数中的存在性问题，存在性问题的本质是什么。
一题贯穿二次函数综合(二)——角的存在性问题.doc
一题贯穿二次函数综合（二）——角的存在性问题二次函数中角的存在性问题，大致可分为两大类：（1）角的顶点坐标已知；（2）角的顶点坐标未知.本专题我们就沿着这两种情况展开探究.如图，抛物线y=-x +2x+3与x轴交于A，B两点(点A 在点B的左侧)，与y轴交于点C.（6）已知点Q（0,1），P是抛物线上一个动点，过点P 作x轴的垂线，交BQ于点E，是否存在点P使得∠PBE=45°.若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.解法一分析：由∠PBE=45°，所以过点P作PM⊥BQ，则△PBM是等腰直角三角形。
依托直角∠PMB构造K形图（关于K形图可参阅K形图在河南中考压轴题中的运用），先设出点M的坐标，进而表示出点P的坐标，再把点P的坐标代入抛物线解析式，解方程即可。
解法二分析：读题可知，点E始终在BQ上运动，所以∠PBE=∠PBQ=45°，见到45°，我们会联想到等腰直角三角形，将点B绕着点Q旋转90°得到点G，则∠GBE=45°，延长BG和抛物线相交，交点即为所求的点P.关于点P的坐标的求法，可先构造K形图（如下图），求出点G的坐标。
由于点B、点G的坐标已知，可求出直线BG的解析式，将直线BG解析式和抛物线的解析式联立方程组即可求得点P的坐标.用同样的方法可求出另一满足要求的点P。
将点B绕点Q 逆时针旋转90°，得到图中的点H，直线BH与抛物线的交点即为所求的点P，本题中点H刚好就是点P。
解法三分析：解法二中是通过将点B绕着点Q旋转90°，构造等腰直角三角形。
当然我们也可以将点B绕点E旋转90°，构造等腰直角三角形.（7）已知点Q（0,1），P是抛物线上一个动点，过点P 作x轴的垂线，交BQ于点E，是否存在点P使得tan∠PBE=1/2.若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.。
中考数学复习考点知识讲解与练习27 二次函数-存在性问题
中考数学复习考点知识讲解与练习 专题27 二次函数-存在性问题存在性问题是判断事物是否存在的问题，其知识点较广，综合性强，解题方法较灵活，对学生解决问题能力要求高，中考题中往往出现在压轴题中，其解题的一般思路是：假设存在--推理论证--得出结论---合理就存在在，反之不存在。
存在性的问题有点、面、线段、图形的存在等等。
解题方法多以设参数--表示点坐标--表示线段长--表示面积---建立方程等方法解决问题。
1．如图，二次函数的图象交x 轴于点()()1,0,4,0A B -，交y 轴于点()0,4,C P -是直线BC 下方抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式;（2）连接,PB PC ，是否存在点P ，使PBC ∆面积最大，若存在，求出点P 的坐标;若不存在，请说明理由．2．如图,二次函数 2 2y ax bx =++经过点()1,0A -和点()4,0B ,与y 轴交于点C ．()1求抛物线的解析式;()2D 为y 轴右侧抛物线上一点,是否存在点D ,使若存在23ABC ABD S S ∆∆=,请直接写出点D 的坐标;若不存在,请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，己知二次函数283y ax x c =++的图像与y 轴交于点B (0，4)，与x 轴交于点A (－1，0)和点D ． (1)求二次函数的解析式； (2)求抛物线的顶点和点D 的坐标；(3)在抛物线上是否存在点P ，使得△BOP 的面积等于52？如果存在，请求出点P 的坐标？如果不存在，请说明理由．4．如图，已知二次函数2(1)y x a x a =-++-与x 轴交于A 、B 两点（点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C ，已知BAC ∆的面积是6．（1）求a 的值；（2）在抛物线上是否存在一点P ，使ABP ABC S S ∆∆=．存在请求出P 坐标，若不存在请说明理由．5．如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB OC <）是方程210160x x -+=的两个根，且A 点坐标为(60)-，． （1）求此二次函数的表达式；（2）若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE . 设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）在（2）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．6．关于x 的一元二次方程()222110k x k x --+=有两个实数根.()1求k 的取值范围；()2是否存在实数k ，使方程的实数根互为相反数？若存在，求k ；若不存在，请说明理由.6．如图，在平面直角坐标系xOy 中,二次函数22y x bx c =++的图象与x 轴交于A （-1,0）、B （3,0）两点, 顶点为C . (1) 求此二次函数解析式；(2) 点D 为点C 关于x 轴的对称点，过点A 作直线l ：33y x =+交BD 于点E ，过点B 作直线BK ∥AD 交直线l 于K 点.问：在四边形ABKD 的内部是否存在点P ，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3) 在（2）的条件下，若M 、N 分别为直线AD 和直线l 上的两个动点，连结DN 、NM 、MK ，求DN NM MK ++和的最小值.8．如图是二次函数()2y x m k =++的图象，其顶点坐标为()1,4M -．（1）直接写出m 、k 的值；（2）求二次函数的图象与x 轴的交点A ，B 的坐标；（3）在二次函数的图象上是否存在点P ，使54PAB MAB S S =△△？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，二次函数212y x bx c =++的图象交x 轴于,A D 两点，并经过B 点，已知A 点坐标是()2,0，B 点坐标是()8,6． （1）求二次函数的解析式；（2）求函数图象的顶点坐标及D 点的坐标；（3）二次函数的对称轴上是否存在一点C ，使得CBD ∆的周长最小？若C 点存在，求出C 点的坐标，若C 点不存在，请说明理由．10．如图是二次函数c bx x y ++=2的图象，其顶点坐标为M （1，－4）． （1）求出图象与x 轴的交点A ，B 的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MAB PAB S S ∆∆=45，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；11．如图，二次函数y＝﹣14x2+bx+c的图象经过点A（4，0），B（﹣4，﹣4），且与y轴交于点C．（1）求此二次函数的解析式；（2）证明：AO平分∠BAC；（3）在二次函数对称轴上是否存在一点P使得AP＝BP？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．11．（本题满分10分）如图是二次函数的图象，其顶点坐标为M（1，-4）．（1）求出图象与轴的交点A，B的坐标；（2）（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；13．如图，二次函数212y x bx c =-++的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点． （1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA ，BC ，求△ABC 的面积． （3）在x 轴上是否存在一点P ，使△ABP 为等腰三角形，若存在，求出P 的坐标，若不存在，说明理由.14．如图，二次函数2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于c 顶点，已知(1,0)A ，(0,3)C -.（1）求此二次函数的解析式及B 点坐标.（2）在抛物线上存在一点P 使ABP ∆的面积为10，不存在说明理由，如果存在，请求出P 的坐标.（3）根据图象直接写出33x -<<时，y 的取值范围.15．如图，已知二次函数223y x x =+-的图象与x 轴相交于C D 、两点（点C 在点D 的左边），与y 轴交于点B ，点A 在二次函数的图像上，且AB ∥x 轴．问线段BC 上是否存在点P ，使△POC 为等腰三角形；如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．16．已知二次函数：2(21)2(0)y ax a x a =+++<． （1）求证：二次函数的图象与x 轴有两个交点；（2）当二次函数的图象与x 轴的两个交点的横坐标均为整数，且a 为负整数时，求a 的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象（不用列表，只要求用其与x 轴的两个交点A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴的交点C 及其顶点D 这四点画出二次函数的大致图象，同时标出A ，B ，C ，D 的位置）；（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点P 使75PCA ︒∠=？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．17．如图，二次函数2y x bx c =-++的图象经过坐标原点，与x 轴的另一个交点为A (－2，0)．（1）求二次函数的解析式（2）在抛物线上是否存在一点P ，使△AOP 的面积为3，若存在请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．18．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象经过点A （3，0），B （2，﹣3），并且以x=1为对称轴．（1）求此函数的解析式； （2）作出二次函数的大致图象；（3）在对称轴x=1上是否存在一点P ，使△PAB 中PA=PB ？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由．19．如图，已知二次函数21:43L y x x =-+与x 轴交于AB 、两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ．（1）写出AB 、两点的坐标；（2）二次函数()22:430L y kx kx k k =-+≠，顶点为P ．①直接写出二次函数2L 与二次函数1L 有关图象的两条相同的性质；②是否存在实数k ，使ABP ∆为等边三角形？如存在，请求出k 的值；如不存在，请说明理由；③若直线8y k =与抛物线2L 交于E F 、两点，问线段EF 的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由．20．如图，已知二次函数y ＝x 2﹣2x +m 的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，直线AC 交二次函数图象的对称轴于点D ，若点C 为AD 的中点． （1）求m 的值；（2）若二次函数图象上有一点Q ，使得tan ∠ABQ ＝3，求点Q 的坐标；（3）对于（2）中的Q 点，在二次函数图象上是否存在点P ，使得△QBP ∽△COA ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，二次函数y ＝12x 2+bx+c 的图象交x 轴于A 、D 两点，并经过B 点，已知A 点坐标是（2，0），B 点坐标是（8，6）．（1）求二次函数的解析式；（2）求函数图象的顶点坐标及D 点的坐标；（3）二次函数的对称轴上是否存在一点C ，使得△CBD 的周长最小？若C 点存在，求出C 点的坐标；若C 点不存在，请说明理由．22．已知：如图，二次函数y=x 2+bx+c 的图象过点A （1，0）和C （0，﹣3）（1）求这个二次函数的解析式；（2）如果这个二次函数的图象与x 轴的另一个交点为B ，求线段AB 的长．（3）在这条抛物线上是否存在一点P ，使△ABP 的面积为8？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．23．已知二次函数22y x 2mx m 1=-+-.（1）当二次函数的图象经过坐标原点O （0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m=2时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C 、D 两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点P ，使得PC+PD 最短？若P 点存在，求出P点的坐标；若P 点不存在，请说明理由．24．如图，二次函数214y x bx c =-++的图象经过点()4,0A ，()4,4B --，且与y 轴交于点C ．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O （0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m=2时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C 、D 两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点P ，使得PC+PD 最短？若P 点存在，求出P 点的坐标；若P 点不存在，请说明理由．25．如图，二次函数24y ax x c =-+的图象经过坐标原点，与x 轴交于点()4,0A -．（1）求二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在点P ，满足6AOP S =，试求出点P 的坐标．26．已知二次函数2y ax bx c =++的图象过点()2,0且与直线334y x =-+相交于B 、C 两点，点B 在x 轴上，点C 在y 轴上．()1求二次函数的解析式．()2如果(),P x y 是线段BC 上的动点，O 为坐标原点，试求POA 的面积S 与x 之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围． ()3是否存在这样的点P ，使PO AO =？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．27．已知二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象过点E （2，3），对称轴为1x =，它的图象与x 轴交于两点（1x ，0），B （2x ，0），且12x x <，221210x x +=．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在（1）中抛物线上是否存在点P ，使△POA 的面积等于△EOB 的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．28．已知二次函数y ＝﹣x 2+x +m ．（1）如图，二次函数的图象过点A （3，0），与y 轴交于点B ，求直线AB 和二次函数图象的解析式；（2）在线段AB 上有一动点P （不与A ，B 两点重合），过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点D ，是否存在一点P 使线段PD 的长有最大值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．29．下图是二次函数2()y x m k =++的图象，其顶点坐标为()1,4M -．()1求出图象与x 轴的交点A ，B 的坐标；()2在二次函数的图象上是否存在点P ，使54PAB MAB S S =？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由； ()3将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线(1)y x b b =+<与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．30．如图，二次函数y ＝(x －2)2＋m 的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B ．(1)求m 的值与一次函数的解析式；(2)抛物线上是否存在一点P ，使S △ABP ＝S △ABC ？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．31．二次函数2y ax bx c =++过()1,0A -、()3,0B 两点，与y 轴正半轴交于C ，OC OB =（1）求二次函数解析式；（2）抛物线对称轴上是否存在点D ，使得三角形ACD 为等腰三角形，若存在，直接写出D 坐标，若不存在，请说明理由．（3）在直线BC 上方的抛物线上有点P ，作PQ BC ⊥于点Q ，求PQ 最大值．32．如图，二次函数与一次函数交于顶点(4,1)A --和点(2,3)B -两点，一次函数与y 轴交于点C .（1）求二次函数1y 和一次函数2y 的解析式；（2）y 轴上存在点P 使PAB ∆的面积为9，求点P 的坐标.33．如图，已知二次函数2y x bx c =-++的图象经过点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P ，使PAB ABC ∠=∠，若存在请直接写出点P 的坐标．若不存在，请说明理由．34．如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象分别经过点A(1，0)，B(0，3)，(1)求该函数的解析式；(2)在抛物线上是否存在一点P，使△APO的面积等于4?若存在，求出点P的坐标若不存在，说明理由．。
专题 二次函数与角度有关的问题(知识解读)-中考数学(全国通用)
专题04 二次函数与角度有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数背景下与角有关的存在性问题，是各地中考和模拟考试压轴题的热点问题，这种类型的题目综合性较强，更重要的是涉及方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论等重要的思想方法，对学生分析、解决问题的能力具有较高的要求。
为此，我将与角有关的压轴题常见的题型及解法做一整理【知识点梳理】类型一：将等角问题转化成等腰三角形或平行线问题。
如例1：抛物线y=-x+3x+4,与坐标轴交于点A、B、C，CP⊥y轴交抛物线与点P，点M为A、C间抛物线上一点（包括端点），求满足∠MPO=∠POA的点M的坐标。
分析：显然符合条件的点M有两个，OP上方一个，OP下方一个、当M在OP 上方时，由∠MPO=∠POA可知PM//OA,则M与C点重合。
当M在OP下方时，∠MPO=∠POA，这两角组成的三角形是等腰三角形。
设PM与x轴交于点D，坐标为D(n,0)，由两点间距离公式可表示出OD、PD长，根据OD=PD列方程即可求出D点坐标，再求出PD直线表达式与抛物线表达式联立，进而求出M点坐标。
类型二：将等角问题转化成等角所在三角形相似或等角对应的三角函数（通常是正切值）相等问题。
这类问题有两种情况：一种是所求角的一边与坐标轴平行（重合）；例2如图，抛物线y=x221+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其对称轴交抛物线于点D ，交x 轴于点E ，已知OB=OC=6. （1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）连接BD ，F 为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB 时，求点F 的坐标；解析：通过已知条件易得抛物线表达式为6221y 2+-=x x及各定点坐标，第二问中的F 有两种情况：x 轴上方一个，x 轴下方一个。
在Rt ⊿BDE 中，可知tan∠EDB=21，则tan ∠FAB=21，过F 作x 轴垂线，构造∠FAB 所在直角三角形，接着通过设F 点坐标，表示FH 和AH 长，根据tan ∠FAB=21=AH FH 列方程，或利用相似三角形对应边成比例列式，从而求出点F 坐标，由于表示FH 时加了绝对值，已经考虑到了上下两种情况，这样两个F 就都求出来了。
《二次函数专题提优》：特殊三角形存在性问题
《二次函数专题提优》：特殊三角形存在性问题（一）、直角三角形存在性问题：1、在平面直角坐标系x O y 中，抛物线y =ax 2+bx +2过点A （-2，0），B （2，2），与y 轴交于点C ． （1）、求抛物线y =ax 2+bx +2的函数表达式；（2）、若点D 在抛物线y =ax 2+bx +2的对称轴上，求△ACD 的周长的最小值；（3）、在抛物线y =ax 2+bx +2的对称轴上是否存在点P ，使△ACP 是直角三角形？若存在直接写出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．2、如图，在矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为（0，8），点C 的坐标为（6，0）．抛物线y ＝﹣94x 2+bx +c 经过点A 、C ，与AB 交于点D ． （1）、求抛物线的函数解析式；（2）、点P 为线段BC 上一个动点（不与点C 重合），点Q 为线段AC 上一个动点，AQ ＝CP ，连接PQ ，设CP ＝m ，△CPQ 的面积为S ．①、求S 关于m 的函数表达式； ②、当S 最大时，在抛物线y ＝﹣94x 2+bx +c 的对称轴l 上，若存在点F ，使△DFQ 为直角三角形， 请直接写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．3、如图所示，直线y=x+2与抛物线y=ax 2+bx+6（a ≠0）相交于A （21，25）和B （4，m ），点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C ． （1）、求抛物线的解析式；（2）、是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）、求△PAC 为直角三角形时点P 的坐标．4、如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线2x 41y 交于A ，B 两点，其中点A 的横坐标是﹣2． （1）、求这条直线的函数关系式及点B 的坐标；（2）、在x 轴上是否存在点C ，使得△ABC 是直角三角形？若存在，求出点C 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）、过线段AB 上一点P ，作PM ∥x 轴，交抛物线于点M ，点M 在第一象限，点N （0，1），当点M 的横坐标为何值时，MN +3MP 的长度最大？最大值是多少？（二）、等腰三角形存在性问题：5、如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．（1）、求抛物线的解析式；（2）、已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；（3）、将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．6、如图所示，在平面直角坐标系中，已知点C（0，4），点A、B在x轴上，并且OA＝OC＝4OB，动点P在过A、B、C三点的抛物线上．（1）、求抛物线的函数表达式；（2）、在直线AC上方的抛物线上，是否存在点P，使得△PAC的面积最大？若存在，求出P点坐标及△PAC面积的最大值；若不存在，请说明理由．（3）、在x轴上是否存在点Q，使得△ACQ是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7、如图，在平面直角坐标系中，已知点C（0，4），点A、B在x轴上，并且OA＝OC＝4OB，动点P在过A、B、C三点的抛物线上．（1）、求抛物线的函数表达式；（2）、在直线AC上方的抛物线上，是否存在点P，使得△PAC的面积最大？若存在，求出P点坐标及△PAC面积的最大值；若不存在，请说明理由．（3）、在x轴上是否存在点Q，使得△ACQ是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．8、已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）、求抛物线的函数关系式；（2）、设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）、在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．9、如图1，抛物线与4x 31x 31-y 2++=与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ， 连接AC 、BC ，点D 是线段AB 上一点，且AD ＝CA ，连接CD ．（1）、如图2，点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，在线段BC 上有一动点Q ，连接PC 、PD 、PQ ，当△PCD 面积最大时，求PQ +1010CQ 的最小值； （2）、将过点D 的直线绕点D 旋转，设旋转中的直线l 分别与直线AC 、直线CO 交于点M 、N ，当△CMN 为等腰三角形时，直接写出CM 的长．10、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =√33x 2-2√33x -√3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点D ，点E （4，n ）在抛物线上． （1）求直线AE 的解析式；（2）点P 为直线CE 下方抛物线上的一点，连接PC ，PE ．当△PCE 的面积最大时，连接CD ，CB ，点K 是线段CB 的中点，点M 是CP 上的一点，点N 是CD 上的一点，求KM+MN+NK 的最小值； （3）点G 是线段CE 的中点，将抛物线y =√33x 2-2√33x -√3沿x 轴正方向平移得到新抛物线y ′，y ′经过点D ，y ′的顶点为点F ．在新抛物线y ′的对称轴上，是否存在一点Q ，使得△FGQ 为等腰三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．10、如图，已知二次函数y＝ax2﹣6ax﹣16a（a＜0）的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．（1）、①线段BC的长为；②点A的坐标为（用a的代数式表示）．（2）、设M是抛物线的对称轴上的一点，以点A、C、M为顶点的三角形能否成为以AC为斜边且有一个锐角是30°的直角三角形？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．（3）、若a＝﹣，点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个？（三）、等腰直角三角形的存在性问题：11、如图,抛物线bxaxy+=2经过A(4,0),B(1,3)两点，点B. C关于抛物线的对称轴l对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H.(1)、求抛物线的解析式；(2)、若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，是否存在这样的点M、N，使得以点M为直角顶点的△CNM是等腰直角三角形?若存在，请求出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由。
专题二次函数中的存在性问题-重难点题型(沪科版)
专题21.10 二次函数中的存在性问题-重难点题型【沪科版】【题型1 二次函数中直角三角形存在性问题】【例1】（2021•罗湖区校级模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC．（1）点A的坐标为，点B的坐标为；（2）如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD上x轴于点D，交直线BC于点E．若PE＝2ED，求△PBC的面积；（3）抛物线上存在一点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．【变式1-1】（2021春•望城区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x 轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，点P为第二象限抛物线上的动点．（1）求a、b、c的值；（2）连接P A、PC、AC，求△P AC面积的最大值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△QAC为直角三角形，若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-2】（2021•长沙模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0）．C（0，3），点M是抛物线的顶点．点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，若OD＝m．（1）求二次函数解析式；（2）设△PCD的面积为S，试判断S有最大值或最小值？若有，求出其最值，若没有，请说明理由；（3）在MB上是否存在点P，使△PCD为直角三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-3】（2021•长沙模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，是否存在以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出此时点M的坐标，若不存在，请说明理由．【题型2 二次函数中等腰三角形存在性问题】【例2】（2020秋•曾都区期末）如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）两点，点P 是y轴左侧且位于x轴下方抛物线上一动点，设其横坐标为m．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）将线段AB绕点B顺时针旋转90°得线段BD（点D是点A的对应点），求点D的坐标，并判断点D是否在抛物线上；（3）过点P作PM⊥x轴交直线BD于点M，试探究是否存在点P，使△PBM是等腰三角形？若存在，求出点m的值；若不存在，说明理由．【变式2-1】（2020秋•云南期末）如图，直线y=−12x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点A（﹣1，0）．（1）求B，C两点的坐标．（2）求该二次函数的解析式．（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【变式2-2】（2021•南充）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x=5 2．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．【变式2-3】（2021•建华区二模）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．（1）求抛物线的解析式及点B坐标；（2）设该抛物线的顶点为点H，则S△BCH＝；（3）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线ED平行y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求ME 长的最大值及点M的坐标；（4）在（3）的条件下：当ME取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点M、点B、点P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【题型3 二次函数中平行四边形存在性问题】【例3】（2020秋•元阳县期末）如图，直线y=−12x+c与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C，抛物线y=12x2+bx+c经过点A，C，与x轴的另一个交点为B（1，0），连接BC．（1）求抛物线的函数解析式．（2）M为x轴的下方的抛物线上一动点，求△ABM的面积的最大值．（3）P为抛物线上一动点，Q为x轴上一动点，当以B，C，Q，P为顶点的四边形为平行四边形时，求点P的坐标．【变式3-1】（2020秋•泰山区期末）如图，抛物线y=12x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图．（1）求直线AB和抛物线的表达式；（2）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小，在备用图中画出图形并求出点Q的坐标；（3）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点且AC为一边的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【变式3-2】（2021春•雨花区期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P从点B出发，沿着射线BC运动，速度每秒√2个单位长度，过点P作直线PM∥y轴，交抛物线于点M．设运动时间为t秒．①在运动过程中，当t为何值时，使（MA+MC）（MA﹣MC）的值最大？并求出此时点P的坐标．②若点N同时从点B出发，向x轴正方向运动，速度每秒v个单位长度，问：是否存在t使点B，C，M，N构成平行四边形？若存在，求出t，v的值；若不存在，说明理由．【变式3-3】（2021•北碚区校级模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴交于A，C（﹣6，0）两点（点A在点C右侧），交y轴于点B，连接BC，且AC＝4．（1）求抛物线的解析式．（2）若P是BC上方抛物线上不同于点A的一动点，连接P A，PB，PC，求当S△PBC−12S△P AC有最大值时点P的坐标，并求出此时的最大值．（3）如图2，将原抛物线向右平移，使得点A刚好落在原点O，M是平移后的抛物线上一动点，Q是直线BC上一动点．当A，M，B，Q组成的四边形是平行四边形时，请直接写出此时点Q的坐标．【题型4 二次函数中菱形存在性问题】【例4】（2020秋•巴南区期末）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．（1）求b，c的值；（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标m．当m为何值时，△PBC的面积最大？并求出这个面积的最大值．（3）如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点M为直线BC上的一点，点N是平面坐标系内一点，是否存在点M，N，使以点B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【变式4-1】（2021•湘潭）如图，一次函数y=√33x−√3图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y=√33x2+bx+c图象过A、B两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点．（1）求二次函数解析式；（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP'C．是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．交于点A（4，0）和B（﹣1，0），交y轴于点C．（1）求二次函数y＝x2+bx+c的表达式；（2）将点C向右平移n个单位得到点D，点D在该二次函数图象上．点P是直线BD下方该二次函数图象上一点，求△PBD面积的最大值以及此时点P的坐标；（3）在（2）中，当△PBD面积取得最大值时，点E是过点P且垂直于x轴直线上的一点．在该直角坐标平面内，是否存在点Q，使得以点P，D，E，Q四点为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【题型5 二次函数中矩形存在性问题】【例5】（2021春•九龙坡区校级期末）如图1，若二次函数y＝﹣x2+3x+4的图象与x轴交于点A、B，与y 轴交于点C，连接AC、BC．（1）求三角形ABC的面积；（2）若点P是抛物线在一象限内BC上方一动点，连接PB、PC，是否存在点P，使四边形ABPC的面积为18，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2，若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，BC为边的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．【变式5-1】（2021•齐齐哈尔）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C、D两点之间的距离是2√2；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．【变式5-2】（2021春•杏花岭区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求直线BC的解析式；（2）若点P为直线BC下方抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△BCP的面积最大，求△BCP 的最大面积及此时点P的坐标；（3）点M为抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，若以点B，C，M，N为顶点的四边形是矩形，直接写出点M的坐标．【变式5-3】（2021•北碚区校级模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣2，0），直线BC的解析式为y=12x﹣4．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，过点A作AD∥BC交抛物线于点D（异于点A），P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PQ∥y轴，交AD于点Q，过点Q作QR⊥BC于点R，连接PR．求△PQR面积的最大值及此时点P 的坐标．（3）如图2，点C关于x轴的对称点为点C′，将抛物线沿射线C′A的方向平移2√5个单位长度得到新的抛物线y′，新抛物线y′与原抛物线交于点M，原抛物线的对称轴上有一动点N，平面直角坐标系内是否存在一点K，使得以D，M，N，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．【题型6 二次函数中正方形存在性问题】【例6】（2021•渝中区校级二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3与y轴交于点C，与x 轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其中A（﹣2，0），并且抛物线过点D（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P为直线CD上方抛物线上一点，过P作PE∥y轴交BC于点E，连接CP，PD，DE，求四边形CPDE面积的最值及点P的坐标；（3）如图2，将抛物线沿射线CB方向平移得新抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），是否在新抛物线上存在点M，在平面内存在点N，使得以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形？若在，直接写出此时新抛物线的顶点坐标，若不存在，请说明理由．【变式6-1】（2020秋•高明区期末）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y 轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点Q在该抛物线的对称轴上，若△ACQ是以AC为腰的等腰三角形，求点Q的坐标；（3）若P为BD的中点，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，GM⊥x轴于点M，N为直线PF上一动点，当以F、M、G、N为顶点的四边形是正方形时，直接写出点M的坐标．【变式6-2】（2021•合川区校级模拟）如图，在平面直角坐标系．xOy中，直线y＝x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C（﹣2，0）．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，点F是直线AB下方抛物线上一动点，连接F A，FB，求出四边形F AOB面积最大值及此时点F的坐标．（3）如图2，在（2）问的条件下，点Q为平面内y轴右侧的一点，是否存在点Q及平面内任意一点M 使得以A，F，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【变式6-3】（2021•海南模拟）如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B （4，0），交y轴于点C（0，4）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）直线y=34x+94与抛物线交于A、D两点，与直线BC交于点E．若点M（m，0）是线段AB上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线BC于点H．①当S EOG=12S△AOE时，求m的值；②在平面内是否存在点P，使四边形EFHP为正方形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．。
中考数学 二次函数存在性问题 及参考答案
中考数学二次函数存在性问题及参考答案中考数学二次函数存在性问题及参考答案一、二次函数中相似三角形的存在性问题1.如图，把抛物线 $y=x^2$ 向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线 $y=(x-h)^2+k$。
所得抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D。
1）写出h、k的值；2）判断△ACD的形状，并说明理由；3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。
2.如图，已知抛物线经过A（$-2,0$），B（$-3,3$）及原点O，顶点为C。
1）求抛物线的解析式；2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x 轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
二、二次函数中面积的存在性问题3.如图，抛物线 $y=ax^2+bx$ （$a>0$）与双曲线$y=\frac{k}{x}$ 相交于点A，B。
已知点B的坐标为（$-2,-2$），点A在第一象限内，且 $\tan\angle AOX=4$。
过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C。
1）求双曲线和抛物线的解析式；2）计算△ABC的面积；3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积。
若存在，请写出点D的坐标；若不存在，请说明理由。
4.如图，抛物线 $y=ax^2+c$ （$a>0$）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（$-2,0$），B（$-1,-3$）。
1）求抛物线的解析式；2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使$\triangle PAD=4\triangle ABM$ 成立，求点P的坐标。
二次函数压轴题之角度的存在性(习题及答案)
例题示范先填写思路分析；再对比过程示范例1：如图，抛物线y =-x 2+2x +3与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴交于C ，顶点为D ，抛物线的对称轴DF 与BC 相交于点E ，与x 轴相交于点F ．（1）连接DA ，DO ，求∠DOF 的正切值；（2）设P 为x 轴上的一点，∠DAO +∠DPO =∠α，当tan ∠α=4时，求点P的坐标．第一问：研究背景图形【思路分析】①研究解析式、坐标：由抛物线解析式y =-x 2+2x +3可知，A (，)，B (，)，C (，)，D (，).②研究几何图形：连接OD ，在Rt △ODF 中，由tan ∠DOF =DF OF=________；在Rt △COB 中，发现CO =OB =_____，则△COB 为等腰直角三角形．【过程示范】解：（1）y =-x 2+2x +3=-(x -1)2+4∴抛物线顶点坐标D (1，4)，对称轴为直线x =1∴F (1，0)，∴OF =1，DF =4连接OD ，在Rt △OFD 中，tan ∠DOF 4DF OF==二次函数压轴题之角度的存在性（习题）第二问：角度的存在性【思路分析】分析不变特征：从顶点入手，定点：_________，动点：_____；∠DAO 可以放在Rt △ADF 中研究，其两直角边分别为2和4．分析形成因素：结合（1），可知tan ∠DOF =tan ∠α=4，则∠DAO +∠DPO =∠α=∠DOF ，由图可知，∠DAO +∠ADO =∠DOF ，则该问题可以转化为∠DPO=________．画图求解：先画其中一种情形，点P 在对称轴右侧，此时，∠OPD =∠ODA ，再结合∠DAO 为公共角，所以此时△ADO ∽△_________．借助对应边成比例，AD AO=_____，可求得AP 长为________，即OP 长为______，则P 1（，）考虑其他情形，则点P 还能在对称轴左侧，此时与上一情形中的点P 位置关于对称轴对称，则P 2（，）结果验证：回归点的运动范围进行验证；估算数值，结合图形进行验证．【过程示范】（2）∵tan ∠DOF =tan 4α∠=∴∠DOF =∠α∵∠DOF =∠DAO +∠ADO =∠α∠DAO +∠DPO=∠α∴∠DPO=∠ADO∴△ADP ∽△AOD∴AD 2=AP ·AO∵AF =2，DF =4∴AD 2=AF 2+DF 2=20∴OP =19同理，当点P 在对称轴左侧时，OP =17∴P 1(19，0)，P 2(-17，0)巩固练习1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx-7的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点C为抛物线的顶点，且A，C两点的横坐标分别为1和4．（1）求二次函数的表达式．（2）在（1）的抛物线上，是否存在点P，使得∠BAP=45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2-3向右平移1个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在该抛物线上，且横坐标为3．连接AB，AM，BM，点P是抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为α，当α=∠ABM时，求点P的坐标．3.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A，B，与直线AC：y=-x-6交y轴于点C，点D是抛物线的顶点，且横坐标为-2．（1）求出抛物线的解析式．（2）判断△ACD的形状，并说明理由．（3）直线AD交y轴于点F，在线段AD上是否存在一点P，使得∠ADC=∠PCF？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．4.如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为顶点，连接CD．若P 为抛物线上一个动点，过P作PQ⊥CD交直线CD于点Q，使∠CPQ=∠ACO，求点P的坐标．思考小结回顾角度存在性的处理流程分析不变特征：从顶点入手，分析定点、动点，确定所求角度的信息（正切值）．分析形成因素：找构成角的两条射线，判断是否有固定的射线；根据角是由两条具有公共端点的射线组成，只需找到另一条射线所在直线即可．画图，求解：结合角度常放到直角三角形中处理，考虑从固定射线上的已知点（定点）为直角顶点构造直角三角形，将所求角放到直角三角形中，借助斜直角的用法，构造三等角模型，表达线段长、坐标，求直线解析式．结果验证：回归点的运动范围进行验证；估算数值，结合图形进行验证．【参考答案】例题示范第一问【思路分析】①A (-1，0)，B (3，0)，C (0，3)，D (1，4)②4；3第二问【思路分析】分析不变特征：A ，D ，O ；P ；分析形成因素：∠ADO画图求解：AP 1D ；1AP AD；20；19；P 1(19，0)；P 2(-17，0) 巩固练习1.（1）y =-x 2+8x -7；（2）P 1(6，5)，P 2(8，-7)．2.P 1(3，1)，2597597()618P ++-，．3.（1）21262y x x =+-；（2）△ACD 的形状为直角三角形，理由略；（3）1848()77P --，．4.P 1(4，-5)，257()24P ，．。
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一．解答题（共5小题）
例1．（2013•河南）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作
PE⊥x轴于点E，交CD于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．
（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标．
例2．（2012•惠山区校级模拟）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3a经过A（﹣1，0）、C（0，
﹣3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点D（m，﹣m﹣1）在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D'的坐标．
（3）在（2）的条件下，连接BD，问在x轴上是否存在点P，使∠PCB=∠CBD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
例3．（2014•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线
y=﹣x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点
A，在AC延长线上取点B，使BC=AC，连接OA，OB，BD和AD．
（1）若点A的坐标是（﹣4，4）．
①求b，c的值；
②试判断四边形AOBD的形状，并说明理由；
（2）是否存在这样的点A，使得四边形AOBD是矩形？若存在，请直接写出一个符合条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由．
练习1．（2013•十堰）已知抛物线y=x2﹣2x+c与x轴交于A．B两点，与y轴交于
C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标为（﹣1，0）．
（1）求D点的坐标；
（2）如图1，连接AC，BD并延长交于点E，求∠E的度数；
（3）如图2，已知点P（﹣4，0），点Q在x轴下方的抛物线上，直线PQ交线段AC于点M，当∠PMA=∠E时，求点Q的坐标．
2．（2012•合川区模拟）如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点B（﹣3，
0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求直线BC及二次函数的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，与x轴的另一个交点为A．点P在抛物线的对称轴上，且
∠APD=∠ACB，求点P的坐标；
（3）连接CD，求∠OCA与∠OCD两角和的度数．
2015年05月13日1873957725的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．解答题（共5小题）
1．（2013•河南）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴
于点E，交CD于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．
（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标．
x+2
x+2
）在抛物线
b=
+x+2
x+2
y=
，
y=
，
=，=
=
或
+m+2
m
CF=
FN=CF=m
PF==
+m+2m+2
m
﹣
，
，
，）
的坐标为（）或（，
2．（2012•惠山区校级模拟）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3a经过A（﹣1，0）、C（0，﹣3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点D（m，﹣m﹣1）在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D'的坐标．
（3）在（2）的条件下，连接BD，问在x轴上是否存在点P，使∠PCB=∠CBD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
，
，
；
，﹣
x
3．（2014•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=﹣x2+bx+c （c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延
长线上取点B，使BC=AC，连接OA，OB，BD和AD．
（1）若点A的坐标是（﹣4，4）．
①求b，c的值；
②试判断四边形AOBD的形状，并说明理由；
（2）是否存在这样的点A，使得四边形AOBD是矩形？若存在，请直接写出一个符合条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由．
=，再根据勾股定理可
OC=AC=±
；
AC=2
，
=，
BC
BC AC=
点坐标为（﹣
∴顶点横坐标=b=
﹣（﹣+c
±
，，
4．（2013•十堰）已知抛物线y=x2﹣2x+c与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标为（﹣1，0）．
（1）求D点的坐标；
（2）如图1，连接AC，BD并延长交于点E，求∠E的度数；
（3）如图2，已知点P（﹣4，0），点Q在x轴下方的抛物线上，直线PQ交线段AC于点M，当∠PMA=∠E时，求点Q的坐标．
m ，
=，=
﹣
﹣
m
）或（﹣，﹣
5．（2012•合川区模拟）如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点B（﹣3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求直线BC及二次函数的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，与x轴的另一个交点为A．点P在抛物线的对称轴上，且
∠APD=∠ACB，求点P的坐标；
（3）连接CD，求∠OCA与∠OCD两角和的度数．
，
，
，
，
，
=，ADP==1
=，
=，
DBA==1
=
BCD===，
OCA==，。