二次函数压轴题——角的存在性
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一.解答题(共5小题)
例1.(2013•河南)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=x+2交于C、D两点,其中点C在y轴上,点D的坐标为(3,).点P是y轴右侧的抛物线上一动点,过点P作
PE⊥x轴于点E,交CD于点F.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P的横坐标为m,当m为何值时,以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形?请说明理由.
(3)若存在点P,使∠PCF=45°,请直接写出相应的点P的坐标.
例2.(2012•惠山区校级模拟)如图,抛物线y=ax2+bx﹣3a经过A(﹣1,0)、C(0,
﹣3)两点,与x轴交于另一点B.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)已知点D(m,﹣m﹣1)在第四象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点D'的坐标.
(3)在(2)的条件下,连接BD,问在x轴上是否存在点P,使∠PCB=∠CBD?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
例3.(2014•湖州)如图,已知在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,抛物线
y=﹣x2+bx+c(c>0)的顶点为D,与y轴的交点为C,过点C作CA∥x轴交抛物线于点
A,在AC延长线上取点B,使BC=AC,连接OA,OB,BD和AD.
(1)若点A的坐标是(﹣4,4).
①求b,c的值;
②试判断四边形AOBD的形状,并说明理由;
(2)是否存在这样的点A,使得四边形AOBD是矩形?若存在,请直接写出一个符合条件的点A的坐标;若不存在,请说明理由.
练习1.(2013•十堰)已知抛物线y=x2﹣2x+c与x轴交于A.B两点,与y轴交于
C点,抛物线的顶点为D点,点A的坐标为(﹣1,0).
(1)求D点的坐标;
(2)如图1,连接AC,BD并延长交于点E,求∠E的度数;
(3)如图2,已知点P(﹣4,0),点Q在x轴下方的抛物线上,直线PQ交线段AC于点M,当∠PMA=∠E时,求点Q的坐标.
2.(2012•合川区模拟)如图,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点B(﹣3,
0),与y轴交于点C(0,﹣3).
(1)求直线BC及二次函数的解析式;
(2)设抛物线的顶点为D,与x轴的另一个交点为A.点P在抛物线的对称轴上,且
∠APD=∠ACB,求点P的坐标;
(3)连接CD,求∠OCA与∠OCD两角和的度数.
2015年05月13日1873957725的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一.解答题(共5小题)
1.(2013•河南)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=x+2交于C、D两点,其中点C在y轴上,点D的坐标为(3,).点P是y轴右侧的抛物线上一动点,过点P作PE⊥x轴
于点E,交CD于点F.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P的横坐标为m,当m为何值时,以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形?请说明理由.
(3)若存在点P,使∠PCF=45°,请直接写出相应的点P的坐标.
x+2
x+2
)在抛物线
b=
+x+2
x+2
y=
,
y=
,
=,=
=
或
+m+2
m
CF=
FN=CF=m
PF==
+m+2m+2
m
﹣
,
,
,)
的坐标为()或(,
2.(2012•惠山区校级模拟)如图,抛物线y=ax2+bx﹣3a经过A(﹣1,0)、C(0,﹣3)两点,与x轴交于另一点B.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)已知点D(m,﹣m﹣1)在第四象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点D'的坐标.
(3)在(2)的条件下,连接BD,问在x轴上是否存在点P,使∠PCB=∠CBD?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
,
,
;
,﹣
x
3.(2014•湖州)如图,已知在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,抛物线y=﹣x2+bx+c (c>0)的顶点为D,与y轴的交点为C,过点C作CA∥x轴交抛物线于点A,在AC延
长线上取点B,使BC=AC,连接OA,OB,BD和AD.
(1)若点A的坐标是(﹣4,4).
①求b,c的值;
②试判断四边形AOBD的形状,并说明理由;
(2)是否存在这样的点A,使得四边形AOBD是矩形?若存在,请直接写出一个符合条件的点A的坐标;若不存在,请说明理由.
=,再根据勾股定理可
OC=AC=±
;
AC=2
,
=,
BC
BC AC=
点坐标为(﹣
∴顶点横坐标=b=
﹣(﹣+c
±
,,
4.(2013•十堰)已知抛物线y=x2﹣2x+c与x轴交于A.B两点,与y轴交于C点,抛物线的顶点为D点,点A的坐标为(﹣1,0).
(1)求D点的坐标;
(2)如图1,连接AC,BD并延长交于点E,求∠E的度数;
(3)如图2,已知点P(﹣4,0),点Q在x轴下方的抛物线上,直线PQ交线段AC于点M,当∠PMA=∠E时,求点Q的坐标.
m ,
=,=
﹣
﹣
m
)或(﹣,﹣
5.(2012•合川区模拟)如图,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点B(﹣3,0),与y轴交于点C(0,﹣3).
(1)求直线BC及二次函数的解析式;
(2)设抛物线的顶点为D,与x轴的另一个交点为A.点P在抛物线的对称轴上,且
∠APD=∠ACB,求点P的坐标;
(3)连接CD,求∠OCA与∠OCD两角和的度数.