(整理)坐标变换的原理和实现方法

由第二讲的内容可知，在三相静止坐标系中，异步电动机数学模型是一个多输入、多输出、非线性、强耦合的控制对象，为了实现转矩和磁链之间的解耦控制，以提高调速系统的动静态性能，必须对异步电动机的数学模型进行坐标变换。

3.1 变换矩阵的确定原则

坐标变换的数学表达式可以用矩阵方程表示为

y=ax （3-1）

式（3-1）表示利用矩阵a将一组变量x变换为另一组变量y，其中系数矩阵a称为变换矩阵，例如，设x是交流电机三相轴系上的电流，经过矩阵a的变换得到y，可以认为y是另一轴系上的电流。这时，a称为电流变换矩阵，类似的还有电压变换矩阵、阻抗变换矩阵等，进行坐标变换的原则如下：

（1）确定电流变换矩时，应遵守变换前后所产生的旋转磁场等效的原则；

（2）为了矩阵运算的简单、方便，要求电流变换矩阵应为正交矩阵；

（3）确定电压变换矩阵和阻抗变换矩阵时，应遵守变换前后电机功率不变的原则，即变换前后功率不变。

假设电流坐标变换方程为：

i=ci′ （3-2）

式中,i′为新变量,i称为原变量,c为电流变换矩阵。

电压坐标变换方程为：

u′=bu （3-3）

式中,u′为新变量,u为原变量,b为电压变换矩阵。

根据功率不变原则，可以证明：

b=ct （3-4）

式中，ct为矩阵c的转置矩阵。

以上表明，当按照功率不变约束条件进行变换时，若已知电流变换矩阵就可以确定电压变换矩阵。

3.2 定子绕组轴系的变换（a-b-c＜＝＞α-β）

所谓相变换就是三相轴系到二相轴系或二相轴系到三相轴系的变换，简称3/2变换或2/3变换。

三相轴系和二相轴系之间的关系如图3-1所示，为了方便起见，令三相的a轴与两相的α

轴重合。假设磁势波形是按正弦分布，或只计其基波分量，当二者的旋转磁场完全等效时，合成磁势沿相同轴向的分量必定相等，即三相绕组和二相组绕的瞬时磁势沿α、β轴的投影应该相等，即：

（3-5）

式中，n3、n2分别为三相电机和两相电机每相定子绕组的有效匝数。

经计算并整理之后可得：

（3-6）

（3-7）

图3-1 三相定子绕组和二相定子绕组中磁势的空间矢量位置关系

用矩阵表示为：

（3-8）

如果规定三相电流为原电流i,两相电流为新电流i′,根据电流变换的定义式(3-2)，式(3-8)具有i′=c-1i的形式，为了通过求逆得到c就要引进另一个独立于isα和isβ的新变量，记这个新变量为io，称之为零序电流，并定义为：

（3-9）

式中，k为待定系数。

补充io后，式（3-8）变为：

（3-10）

则：

（3-11）

将c-1求逆，得到:

（3-12）

其转置矩阵为：

（3-13）

根据确定变换矩阵的第三条原则即要求c-1=ct，可得和，从而有

和，代入相应的变换矩阵式中，得到各变换矩阵如下：

二相—三相的变换矩阵：

（3-14）

三相—二相的变换矩阵：

（3-15）

对于三相y形不带零线的接线方式有，ia＋iｂ＋iｃ＝０则，iｃ=－ia－iｂ，由式（3-8）可

以得到：

（3-16）

而二相—三相的变换可以简化为：

（3-17）

图3-2表示按式（3-16）构成的三相—二相（3/2）变换器模型结构图。

图3-2 3/2变换模型结构图

3/2变换、2/3变换在系统中的符号表示如图3-3所示。

图3-3 3/2变换和2/3变换在系统中的符号表示

如前所述，根据变换前后功率不变的约束原则，电流变换矩阵也就是电压变换矩阵，还可以证明，它们也是磁链的变换矩阵。

3.3 转子绕组轴系变换（）

图3-4(a)是一个对称的异步电动机三相转子绕组。图中ωsl为转差角频率。在转子对称多相绕相中，通入对称多相交流正弦电流时，生成合成的转子磁势fr，由电机学可知，转子磁势与定子磁势具有相同的转速、转向。

图3-4 转子三相轴系到两相轴系的变换

根据旋转磁场等效原则及功率不变约束条件，同定子绕组一样，可把转子三相轴系变换到两相轴系。具体做法是，把等效的两相电机的两相转子绕组d、q相序和三相电机的三相转子绕组a、b、c相序取为一致，且使d轴与a轴重合，如图3-4(b)所示。然后，直接使用定子三相轴系到两相轴系的变换矩阵(参见式3-15）。

3.4 旋转变换

在两相静止坐标系上的两相交流绕组α和β和在同步旋转坐标系上的两个直流绕组m和t 之间的变换属于矢量旋转变换。它是一种静止的直角坐标系与旋转的直角坐标系之间的变换。这种变换同样遵守确定变换矩阵的三条原则。

转子d、q两相旋转轴系，根据确定变换矩阵的三条原则，也可以把它变换到静止的α-β轴系上，这种变换也属于矢量旋转坐标变换。

3.4.1 定子轴系的旋转变换

图3-5 旋转变换矢量关系图

在图3-5中，fs是异步电动机定子磁势，为空间矢量。通常以定子电流is代替它，这时定子电流被定义为空间矢量，记为is。图中m、t是任意同步旋转轴系，旋转角速度为同步角速度ωs。m轴与is之间的夹角用θs表示。由于两相绕组α和β在空间上的位置是固定的，因而m轴和α轴的夹角是随时间变化的，即，其中为任意的初始角。在矢量控制系统中，通常称为磁场定向角。

以m轴为基准，把is分解为与m轴重合和正交的两个分量ism和ist，分别称为定子电流的励磁分量和转矩分量。

由于磁场定向角是随时间变化的，因而is在α轴和β轴上的分量isα和isβ也是随时间变化的。由图3-5可以看出，isα、isβ和ism和ist之间存在着下列关系：

写成矩阵形式为：