环境数学模型

冬季冰雪覆盖对高山湖泊中污染物浓度和通量的影响模型

摘要：最近的一些监测研究和根据环境变化模拟生态系统的远程动态响应模型，诸多涉及到高山湖泊。高山湖泊与类似纬度的低地湖泊相比，一个重要的区别是，在冬季被厚厚的冰雪所覆盖，导致可与大气隔离6个月或更长时间。冬季沉积在冰雪里的污染物，随着春季解冻进入水体中，这一过程具有很强的季节性。在水体中的污染物浓度，可通过水柱通量的沉积来测量。本文介绍了这些过程的数学模型。该模型中使用210铅作为示踪剂，结果表明冰雪融化后，污染物的浓度立即增强高达70％。虽然理论值往往比较保守，但是水柱通量模式显示了类似的实证结果。通过测量水柱通量与大气通量，估计每年沉降到集水区的210铅有

4-6％被输送到湖泊，且平均停留时间是500-750年。

关键词：大气污染物；高山湖泊；210铅；沉积物记录；放射性核素示踪剂

1引言

许多研究表明，湖泊沉淀物可以准确表征一系列物理、化学和生物的参数，这些参数可用来研究当地的生态环境历史。由于高山湖泊属敏感生态系统，且受环境变化影响大，因此在研究欧洲大气污染物和气候变化时，比较关注它。

尽管存在大量可靠的沉淀数据记录，但是这些沉淀数据记录和生态系统之间的关系还有待于研究。例如，湖的表面和集水区都有大气污染物的的沉积。假如用水柱中沉淀物数据记录来表征集水区-湖泊系统的话，那么集水运输过程将被忽略，但是这一过程却影响着放射性核素的沉降，例如210铅。

集水区-湖泊系统已经逐步建立了大气沉降和沉降通量之间的关系。该系统主要用于估计水柱和大气沉降中污染物的浓度。高山湖泊生态系统很复杂，但是基础物理参数却很有限，并且考虑其它简单模型也不现实。有学者利用这个模型，并根据一些经验值，测定210铅的大气沉降是个常数，从而估计水柱中210铅的年平均浓度和通量。然而，冬季水和大气被冰雪隔离，直到春季才接触，所以经验值可能受季节性的影响。本文介绍的模型既涉及集水运输过程，又考虑了季节性的影响。

2模型

集水-湖泊系统的基本要素如图1。系统可简化为湖泊和集水区两个主要要素。

长时间的径流、侵蚀过程，使土壤表面的沉积物随着集水运输到湖泊中。假定Φ(t)表示大气通量（单位面积的沉降率），集水区的总沉降率表示为A

Φ(t),其

C

中A C是集水区的面积。ΨC(t)表示输送率，Q C表示集水区的存有量，由质量守恒得方程：

集水区存有量（近似）=面积ⅹ单位面积沉降率-输送率-衰减

上式中：λ为衰减率,ΨC(t)可用时间函数h（s）的单位变化量来表示,即

取s=t-τ,对于任意的大气通量有：

式中A

L

为湖泊的面积，α=AC/AL,η定义为:

对于210铅来说，假定大气通量恒定为р，等式（2）可简化为：

集水区-湖泊系统的输送参数η

Pb

定义为：

图1.大气-集水区-湖泊系统污染物输送简图

2.1湖泊无冰期

在无冰期，由质量守恒得：

式中Ψ0为湖泊的向外输送率，定义为：

式中T W为湖水停留时间。污染物的沉降散失包括沉淀物-水之间的界面扩散和粒子沉淀，研究表明粒子沉降起主导作用，甚至137C S也是如此。沉降通量可表示为：

式中f

D 为湖水中污染物悬浮粒子比例，T

S

为沉降时间。在此，我们假定：

式中：d为平均水深，v为平均沉降速度。湖泊中污染物存量可表示为：Q

L =V

L

C，

其中V

L

为湖水体积，C为湖水中污染物的平均浓度。将这个式子代入（6）式得：

上式中，对于平均浓度C，我们假定：

参数C表示污染物的自然衰减率，包括两部分：放射衰减λ和推移衰减T

L

。其中：

T

L

也许被认为是湖泊水中污染物的停留时间。对于210Pb来说，由（4）和（10）

式可知，停留时间T

L

远小于210Pb的半衰期。湖泊水中210Pb的平均浓度为：

式中η

Pb

由等式（5）可得。通过等式（8）和（13）得，210Pb在沉淀物-湖泊水界面的通量：

2.2冰雪覆盖期

欧洲大部分湖泊在冬季都会结冰，一般为6个月，甚至更长。在结冰期，湖泊水与大气隔离。大气沉降的污染物将蓄积在冰雪中，直到第二年的春天冰雪融化时进入湖泊水中。一年中，尽管大气污染物的沉降量在变化，但是相对较小。通过对降水的监测，可近似的估算出大气中210Pb的累积沉降量。假定Ф为大气污染物的年平均通量，湖泊水中污染物的通量可表述为：

式中I为冰雪融化后进入湖泊水中的污染物累积量。在冰雪覆盖期，I可近似得到。如下式：

式中：

定义t=0为无冰期，τ为结冰期时间。其中t以年为单位，单位阶跃函数H（t）

定义为：

在此将H（t）近似为狄克拉函数δ（t）。通过一个合理的假定，我们认为从集水区到湖泊的过程与以上过程遵循类似的模式。对于湖泊水，夏季污染物浓度相对稳定，但是由于春季冰雪融化，污染物浓度将会突增。变换等式（6）中的输入项，在任何时间污染物浓度满足微分方程：

式中常数

定义为湖泊水中污染物的年平均通量（包括直接沉降和输入），η是经验常数。虽然每年污染物平均通量不同，但是遵循类似的模式。在无冰期和有冰期，参数к也不同。对于颗粒物，к值由f D/T S决定。由等式（6），我们可以假定一年中к为常数。

等式（16）可变形为：

式中C（t）满足：

由拉普拉斯变换和逆变换得：

图2为深水湖泊中可溶和不可溶污染物浓度-时间（年）的函数图。在特定的一年，湖泊水中不可溶污染物的停留时间最多2年，而可溶污染物则持续很多年。

在估算湖泊水中污染物的总浓度时，我们必须考虑多年的累积量。假定为前第n年的输入量，为当年的输入量。则当年的浓度为：