2015年数学考研数学分析各名校考研真题及答案

2015年考研数学分析真题集目录南开大学北京大学清华大学浙江大学华中科技大学2014年浙江大学数学分析试题答案一、,,0N ∃>∀ε当N n >时，ε<->>∀m n a a N n N m ,,证明：该数列一定是有界数列，有界数列必有收敛子列}{k n a ，a a kn k =∞→lim ，所以，ε2<-+-≤-a a a a a a k k n n n n二 、,,0N ∃>∀ε当N x >时，ε<-)()(x g x f ，,0,01>∃>∀δε当1'''δ<-x x 时，ε<-)''()'(x f x f对上述,0>ε当N x x >'','时，且1'''δ<-x xε3)''()'()''()''()'()'()''()'(<-+-+-≤-x f x f x f x g x g x f x g x g当N x x <'','时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，所以,0,02>∃>∀δε2'''δ<-x x 时ε<-)''()'(x g x g ，当'''x N x <<时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，在],['','22δδ+-∈N N x x 时，ε<-)''()'(x g x g ，取},m in{21δδδ=即可。

三、由,0)('',0)('<>x f a f 得,0)('<x f 所以)(x f 递减， 又2))((''21))((')()(a x f a x a f a f x f -+-+=ξ，所以-∞=+∞→)(lim x f x ，且0)(>a f ，所以)(x f 必有零点，又)(x f 递减，所以有且仅有一个零点。

四、⎰⎰==10,)(1)()(xdt t f xdt xt f x ϕ2)()()('xdt t f x x f x x⎰-=ϕ，22)(lim)(lim)(lim)0('02Ax x f x dt t f xx x xx x ====→→→⎰ϕϕ， 2)(lim )(lim )()(lim )('lim 200200Ax dt t f xx f x dt t f xx f x xx x xx x =-=-=⎰⎰→→→→ϕ，)('x ϕ在0=x 连续。

五、当k m ≠时，不妨设k m <，⎰⎰--+--=1111)(2)(2])1[(])1[(!!21)()(dx x x k m dx x P x P k k m m k m k m=--⎰-dx x x k k m m 11)(2)(2])1[(])1[(dx x x x x m m k k k k m m ⎰-+--------11)1(2)1(211)1(2)(2])1[(])1[(])1[(])1[(=0])1][()1[()1(])1[(])1[(11)(2211)1(2)1(2=---==---⎰⎰-+-+-dx x x dx x x k m m k k m m k k当k m =时，⎰⎰----=1111)(2)(222])1[(])1[(!21)()(dx x x m dx x P x P m m m m m k m⎰⎰-+---------=--11)1(2121112211)(2)(2])1[(])1[(])1[(])1[(])1[(])1[(dxx x x x dx x x m m m m m m m m m m m m =⎰-+----11)1(212])1[(])1[(dx x x m m m m =⎰----=11)2(22])1][()1[()1(dx x x m m m m =⎰---112])1[()!2()1(dx x m m m =⎰--12])1[()!2()1(2dx x m m m六、J 是实数，,0,0>∃>∀δε当δ<T 时，当),(1i i i x x -∈ξ时，εξ<--∑=-ni i iiJ x xf 11))((⎰∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→10101lim dx x nn i s sn i n ，当1->s 时，该积分收敛。

七、∑=-nk k1)1(有界，21x n +在),(+∞-∞上单调一致趋于零，由狄利克雷判别法知，∑∞=+-12)1(n n x n 在),(+∞-∞上一致收敛，∑∞=+121n x n 与∑∞=11n n同敛散，所以发散； 当0=x 时，∑∞=+122)1(n n x x 绝对收敛，当0≠x 时，∑∞=+122)1(n nx x 绝对收敛； e nn x x x R nnn 1)11(11)1(1)(22→+=+=取，所以不一致收敛 八、1.⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰---=----=-+-=-=s ssssstdttdt dts t dt t s dt s t dt t s dt t s s I 0101110ln ln )ln()ln()ln()ln(ln )(111)(''),1ln(ln )('<---=-+-=ss s I s s s I ，当21=s 时，⎰⎰+=--=-=2102112ln )21ln 21(2ln 2)(dt tdt s I2. v x y xy xy y x v u x y v xy u 32,,),(),(,,222=-=∂∂==,⎰⎰==31313ln 3231dv v du J3.y x xy y x dxdyD y x y x J D+=++-----=⎰⎰22222:])1(1[3⎰⎰⎰⎰⎰---++-+-+=++=++=-+=4403232434344342cos sin 1cos sin 0))4(2sin 2())4(2sin 1(338)2sin 2()2sin 1(338)cos sin 1()cos (sin 33)cos sin sin cos (34πππππππθθθθππθθθθθθθθθθθθθdx x x d d drr r r r d J⎰--=π032)2cos 2()2cos 1(338dx x x =--⎰π32)2cos 2()2cos 1(dx x x ⎰⎰⎰+=+=+20322203224324)cot 3(sin 8)cos sin 3(sin 42)sin 21(sin 4πππx x dx x x xdx dx x x⎰⎰⎰⎰⎰=+==+=+=+-=∞∞202204003232203218)2cos 1(272cos 278)1(278)3(8)cot 3(cot 8ππππdx x xdx x dx x dx x x d J=π27342003南开大学年数学分析一、设),,(x y x y x f w-+=其中),,(z y x f 有二阶连续偏导数，求xy w解：令u=x+y,v=x-y,z=x 则z v u x f f f w ++=；)1()1()1(-++-++-+=zv zu vv vu uv uu xy f f f f f f w二、设数列}{n a 非负单增且a a nn =∞→lim ，证明a a a a n n n n n n =+++∞→121][lim解：因为an 非负单增，故有n n n nnn n n n na a a a a 1121)(][≤+++≤由a a n n =∞→lim ；据两边夹定理有极限成立。

三、设⎩⎨⎧≤>+=0,00),1ln()(2x x x x x f α试确定α的取值范围，使f(x)分别满足：（1） 极限)(lim 0x f x +→存在（2） f(x)在x=0连续 （3） f(x)在x=0可导 解：（1）因为)(lim 0x f x +→=)1ln(lim 20x x x +→α=)]()1(2[lim 221420n nn x x o nx x x x +-++--→+α极限存在则2+α0≥知α2-≥(2)因为)(lim 0x f x -→=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则2->α（3）0)0(='-f 所以要使f(x)在0可导则1->α四、设f(x)在R 连续，证明积分ydy xdx y x f l ++⎰)(22与积分路径无关解；令U=22y x+则ydy xdx y x f l ++⎰)(22=21du u f l )(⎰又f(x)在R 上连续故存在F （u ）使dF(u)=f(u)du=ydy xdx y x f ++)(22所以积分与路径无关。

（此题应感谢小毒物提供思路） 五、设f(x)在[a,b]上可导，0)2(=+ba f 且Mx f ≤')(,证明2)(4)(a b Mdx x f b a -≤⎰ 证：因f(x)在[a,b]可导，则由拉格朗日中值定理，存在)2)(()2()(),(ba x fb a f x f b a +-'=+-∈ξξ使即有dx ba x f dx x f bab a)2)(()(+-'=⎰⎰ξ222)(4])2()2([)2)((a b M dx b a x dx x b a M dx b a x f bb a ba a ba-=+-+-+≤+-'≤⎰⎰⎰++ξ六、设}{n a 单减而且收敛于0。

∑n a n sin 发散a) 证明∑收敛n an sinb) 证明1lim=∞→n nn v u 其中)sin sin (k ak k a u k n +=∑；)sin sin (k ak k ak v n -=∑证：（1）因为21sin 1sin ≤∑k 而}{n a 单减而且收敛于0据狄利克莱判别法知∑收敛n an sin（2）因为正项级数∑n a n sin 发散则∑∞→∞→)(sin n k ak 又由上题知∑有界k ak sin 故有1lim=∞→nnn v u七、设dx xxe t F txsin )(1⎰∞+-= 证明 （1）dx xxe tx sin 1⎰∞+-在),0[+∞一致收敛 （2）)(t F 在),0[+∞连续证：（1）因dx xx ⎰∞+1sin 收敛（可由狄利克莱判别法判出）故在t>=0上一致收敛；又txe -在x>=1,t>=0 单调且一致有界)0,1(10≥≥∀≤≤-t x e tx由阿贝尔判别法知一致收敛（2）],[0,),,0[00βαβα∈≥∃+∞∈∀t t 使由上题知，F （t ）在],[βα一致收敛，且由xxetxsin -在（x,t ）],[),1[βα⨯+∞∈上连续知F （t ）在],[βα连续所以在0t 连续，由0t 的任意性得证八、令)}({x f n 是[a,b]上定义的函数列，满足 （1）对任意0x ],[b a ∈)}({0x f n 是一个有界数列 （2）对任意>ε，存在一个εδδ<-<-∈>)()(,],[,,0y f x f n ，y x b a y x n n 有对一切自然数时且当求证存在一个子序列)}({x f kn在[a,b]上一致收敛证：对任意x ],[b a ∈，)}({x f n 是一个有界数列故由致密性定理存在一收敛子列，设为)}({x f kn ，又令U=]},[),({b a x x u x ∈δ则U 为[a,b]的一个开覆盖集，由有限覆盖定理，存在有限个开区间覆盖[a,b]，不妨设为),(),(11mx m x x u x u δδ于是对N能找到一,0>∀ε>0，),,2,1(,,21m i x N ，n n i k k =∀>∀有3)()(22ε<-i n i n x f x f k k 令},,min{1mx x δδδ=则由条件（2）知对上述0>∀ε 3)()(,],,[,0εδδ<-<-∃∈∀>∃l n n l l x f x f n ，x x x b a x 有对一切自然数使于是有有],[],,[,,,,0,0b a x b a x N n n K t k K l t k ∈∃∈∀>>∀>∃>∀ε)()()()()()()()(x f x f x f x f x f x f x f x f kkklttktn l n l n l n l n n n n -+-+-=-≤)()(l n n x f x f tt-+)()(l n l n x f x f kl-+)()(x f x f kkn l n -ε<由柯西准则得证。