生物数学模型第一讲 数学模型与生物数学
生物数学第一章
第一章 概 论第一节 学 科 界 说生物数学(biomathematics)是一门介于生物学与数学之间的边缘学科。
这门学科以数学方法研究和解决生物学问题，并对与生物学有关的数学方法进行理论研究。
它的分支学科较多，从生物学的应用去划分，有数量分类学、数量遗传学、数量生态学、数量生理学和生物力学等。
这些分支是数学与生物学不同领域相结合的产物，在生物学中有明确的研究范围。
从研究使用的数学方法划分，生物数学又可分为生物统计学、生物信息论、生物系统论、生物控制论和生物方程等分支。
这些分支与前者不同，它们没有明确的生物研究对象，只研究那些涉及生物学应用有关的数学方法和理论。
生物数学按照生物学和数学这两个方面去理解，可以从下面的图示获得形象的表示：生物学数 学这里把生物学的分支领域看作一个集合，数学的不同分支领域视作另一个集合，生物数学就是这两个集合导出的乘积空间。
因而生物数学的分支内容十分丰富。
生物数学具有完善的数学理论基础，包括集合论、概率论、统计数学、随机过程、对策论、微积分，微分方程、线性代数、矩阵论和拓扑学，还包括一些近代数学分支，如信息论、图论、控制论、系统论和模糊数学等。
由于生命现象复杂，从生物学中提出的数学问题往往十分复杂，需要进行大量的计算工作。
因此，计算机是生物数学产生和发展的基础，是研究和解决生物学问题的重要工具。
90年代以来，计算机技术的进一步发展，生物学的应用又把数学模型的定量分析与电脑的信息处理技术紧密结合在一起， 计算机在生物数学中日益重要。
然而，不论数学内容多么丰富，计算机的地位多么重要， 就整个学科的内容而论，生物数学需要解决和研究的本质方面是生物学问题，数学和计算机×仅仅是解决问题的工具和手段。
因此生物数学与其他生物边缘学科一样，通常被归属于生物学而不属于数学。
1974年联合国教科文组织编制的学科分类目录，已明确地将生物数学归入生命科学类，与生物化学、生物物理学等生物分支学科并列在一起。
高中生物学中的数学模型
高中生物学中的数学模型山东省嘉祥县第一中学孙国防高中生物学中的数学模型是对高中生物知识的高度概括，也是培养学生分析推理能力的重要载体，本文通过归纳高中生物学中的数学模型以提高学生的分析推理能力。
1. 细胞的增殖【经典模型】间期表示有丝分裂中各时期DNA、染色体和染色单体变化减数分裂中各时期DNA、染色体和染色单体变化【考查考点】细胞增殖考点主要考察有丝分裂、减数分裂过程中DNA、染色体、染色单体的数量变化以及同源染色体的行为，并以此为载体解释遗传的分离定律和自由组合定律。
2. 生物膜系统【经典模型】【考查考点】3物质跨膜运输【经典模型】【考查考点】自由扩散、协助扩散和主动运输的影响因素和特点。
4. 影响酶活性的因素【经典模型】【考查考点】影响酶活性的因素，主要原因在于对酶空间结构的影响。
酶促反应是对酶催化的更高层次的分析。
5. 影响细胞呼吸及光合作用的因素【经典模型1】【考查考点】真正光合速率= 净光合速率+呼吸速率光合作用实际产O2量＝实测O2释放量＋呼吸作用耗O2光合作用实际CO2消耗量＝实测CO2消耗量＋呼吸作用CO2释放光合作用葡萄糖生产量＝光合作用葡萄糖积累量＋呼吸作用葡萄糖消耗量【经典模型2】【考查考点】氧气浓度对有氧呼吸和无氧呼吸的影响，以及在种子和蔬菜储存中的原因。
6 基因的分离和自由组合定律【典型例题】男性并指、女性正常的一对夫妇，生了一个先天性聋哑的儿子，这对夫妇以后所生子女，（并指是常染色体显性遗传病，两种病均与性别无关）正常的概率： _________同时患两种病的概率： _________患病的概率： _________只患聋哑的概率：_________只患并指的概率：_________只患一种病的概率：_________7. 中心法则【经典模型】DNA分子的多样性：４ＮDNA的结构：Ａ＝Ｔ，Ｇ＝Ｃ，Ａ＋Ｇ＝Ｔ＋Ｃ，（Ａ１％＋Ａ２％）／２＝Ａ％，Ａ１％＋Ｔ１％＝Ａ２％＋Ｔ２％＝Ａ％＋Ｔ％DNA的复制：某DNA分子复制Ｎ次所需要的游离的鸟嘌呤脱氧核苷酸：（２Ｎ－１）Ｇ１５Ｎ标记的DNA分子在１４Ｎ的原料中复制n次，含１５Ｎ的DNA分子占总数的比例：２／２n ＤＮＡ中的碱基数和其控制的蛋白质中的氨基酸数的比例关系：6:1【考查考点】DNA的结构，碱基组成，半保留复制和基因的表达。
高中生物有关数学模型问题分析
高中生物有关数学模型问题分析高中生物有关数学模型问题分析1 高中生物教学中的数学建模数学是一门工具学科，在高中的物理与化学学科中广泛的应用。
由于高中生物学科以描述性的语言为主，学生不善于运用数学工具来解决生物学上的一些问题。
这些需要教师在平时的课堂教学中给予提炼总结，并进行数学建模。
所谓数学建模(Mathematical Modelling)，就是把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题，我们把数学知识的这一应用过程称为数学建模。
在生物学科教学中，构建数学模型，对理科思维培养也起到一定的作用。
2 数学建模思想在生物学中的应用2.1 数形结合思想的应用生物图形与数学曲线相结合的试题是比较常见的一种题型。
它能考查学生的分析、推理与综合能力。
这类试题从数形结合的角度，考查学生用数学图形来表述生物学知识，体现理科思维的逻辑性。
例1：下图1表示某种生物细胞分裂的不同时期与每条染色体DNA含量变化的关系;图2表示处于细胞分裂不同时期的细胞图像。
以下说法正确的是( )A、图2中甲细胞处于图1中的BC段，图2中丙细胞处于图1中的DE段B、图1中CD段变化发生在减数Ⅱ后期或有丝分裂后期C、就图2中的甲分析可知，该细胞含有2个染色体组，秋水仙素能阻止其进一步分裂D、图2中的三个细胞不可能在同一种组织中出现解析：这是一道比较典型的数形结合题型：从图2上的染色体形态不难辨别甲为有丝分裂后期、乙为减Ⅱ后期和丙为减Ⅱ中期;而图1中的AB段表示的是间期中的(S期)正在进行DNA复制的过程，BC段表示的是存在姐妹染色单体(含2个DNA分子)的染色体，DE 段表示的是着丝点断裂后的只含1个DNA的染色体。
此题的答案是B。
2.2 排列与组合的应用排列与组合作为高中数学的重要知识。
在减数分裂过程中，减Ⅰ分裂(中期)的同源染色体在细胞中央的不同排列方式，在细胞两极出现不同的染色体组合，最终形成不同基因组成的配子，这是遗传的分离定律与自由组合定律细胞学证据。
生物系统的数学模型
生物系统的数学模型引言生物系统是由生物体组成的复杂系统，其中包括生物体的结构、功能和相互作用。
为了更好地理解和解释生物系统的行为，科学家们使用数学模型来描述和研究这些系统。
生物系统的数学模型是一种用数学语言描述生物系统的方式，通过建立数学方程和模拟方法，可以预测和探索生物系统的行为和特性。
1. 动力系统模型动力系统模型是生物系统中常用的一种数学模型。
它描述了生物体在时间上随着不同因素的变化而变化的过程。
例如，人体的代谢过程可以用动力系统模型来描述。
该模型将人体的代谢活动分解为一系列的化学反应，并使用微分方程来描述反应速率和物质浓度的变化。
通过求解这些微分方程，可以预测不同条件下人体代谢的动态变化。
2. 群体动力学模型群体动力学模型是用来描述群体中个体之间相互作用的数学模型。
生物系统中的许多行为和特性是由群体中个体之间的相互作用所决定的，例如群体中的迁徙、繁殖和竞争等。
群体动力学模型使用微分方程或差分方程来描述个体之间的相互作用和群体的动态变化。
通过改变模型的参数和初始条件，可以预测群体行为的变化和演化。
3. 网络模型网络模型是一种描述生物系统中各个组成部分之间相互连接关系的数学模型。
生物系统中的许多结构和功能是通过各个组成部分之间的网络连接实现的，例如脑部神经元之间的连接和代谢途径之间的关联。
网络模型使用图论和复杂网络理论来描述和分析这些连接关系。
通过分析网络的拓扑结构和动态特性，可以揭示生物系统中的关键组成部分和功能模块，并预测系统的稳定性和鲁棒性。
4. 遗传算法模型遗传算法模型是一种基于遗传和进化原理的数学模型，用于解决生物系统中的优化和适应性问题。
生物系统中的许多特性和行为是通过进化过程中的适应性选择所形成的，例如生物体的形态和行为特征。
遗传算法模型使用遗传算法的原理来模拟和优化生物系统的演化过程。
通过不断迭代和优化，可以找到生物系统中的最优解或接近最优解的解决方案。
结论生物系统的数学模型是一种用数学语言描述和解释生物系统行为的方法。
生物学中的数学模型分析与研究
生物学中的数学模型分析与研究生物学是研究生命现象的科学，而数学则是探究现象规律性的学科。
两者似乎没有什么联系，但是在生物学研究中，数学模型是非常重要的工具。
数学模型可以对生物学的很多现象进行定量分析和预测。
本文将从模型的构建、应用以及研究现状三方面来探讨生物学中的数学模型分析与研究。
一、模型的构建生物学中的数学模型，一般都是以微分方程为基础构建的。
为此，研究者需要对问题的背景及相关生物现象进行深入理解，摸索出可能的变量，考虑变量之间的关系，再通过将其转化为数学表达式，构建微分方程模型。
以疾病传播为例，我们可以定义“易感人群”、“感染人群”、“康复人群”三个变量。
则易感人群流向感染人群的量，取决于感染人群的数量和易感人群的数量；感染人群流向康复人群的量，则取决于感染人群的数量和康复速率。
将这些变量转化为微分方程模型，即：dS/dt = -aSIdI/dt = aSI - bIdR/dt = bI其中，S、I、R分别为易感人群、感染人群、康复人群的数量，a、b分别为感染率和康复率。
这样的模型可以预测疾病传播的规律。
二、模型的应用数学模型的应用非常广泛，以农业生产为例，数学模型可以帮助我们进行精准农业。
现在的精准农业，不只关注土壤肥力、植物品种的选择等自然因素，还要根据相关数据建立模型，预测光照、水分、温度等因素，提高生产效率。
数学模型甚至还可以帮助科学家预测气候变化和推测奇怪的动物行为模式。
利用数学模型，我们可以根据历史数据和模式建立预测算法，得出不同情况下的未来预测。
三、研究现状当前，生物学与数学的合作已经非常紧密。
生物学数据的爆炸式增长需要数学的技术进行有效的整理、分析和应用。
数学提供了应对这些数据的工具，比如回归分析、聚类算法、朴素贝叶斯等等。
这些算法是预测模型的基础，在疾病易感性、预测农作物产量、预测自然灾害等方面都得到了广泛应用。
另外，生物学中的数学模型还有一些不足，一方面，传统模型只考虑了局部的生物学现象，无法完美反映整体的现象。
生物学数学模型和物理模型
生物学数学模型和物理模型生物学数学模型和物理模型是在生物科学和物理科学方面提出的。
这些模型模拟和解释生物系统和物理系统的行为，为生物学和物理学提供了一种有用的方法，帮助解决各种问题。
接下来将分步骤阐述这些模型。
第一步：生物学数学模型生物学数学模型是指通过数学方程式对生物系统进行建模，以定量分析和预测生物系统的属性和行为。
这些模型可以涉及一系列主题，例如群体动力学、代谢过程、生态系统和流行病学，以及基因调控网络的分析等等。
例如，生态系统中，我们可以采用数学模型预测物种之间的相互关系，如掠食者和食草动物之间的关系。
我们可以使用 Lotka-Volterra 模型。
这个模型可以用来描述掠食者和食草者之间的相互作用。
该模型描述了两者的种群变化，包括掠食者和食草者之间的相互关系。
另外一个例子是使用 SIR 模型描述流行病学模型。
SIR 模型和其他数学模型可以帮助我们更好地理解流行病学的传播和控制策略。
第二步：物理模型物理模型是指通过物理方程式描述物理现象，以定量地分析和预测物理现象的属性和行为。
这些模型涉及了一些主要的分支，在不同的分支中有各种模型。
物理模型可以涉及纳米技术、天文学、量子力学等等。
例如，太阳系是物理模型的一个典型例子。
太阳系是一个充满了行星、卫星、小天体和行星带的系统，使用物理模型可以更好地理解太阳系的行为。
例如，物理学家使用引力和运动方程式预测奇异的行星轨道和日食。
此外，量子力学是另一个重要的物理模型。
量子力学的基础理论和方程式包括狄拉克方程式和薛定谔方程式。
量子力学的应用包括计算机科学中的量子计算、化学中的原子和分子结构等等。
总结生物学数学模型和物理模型是很有用的科学工具。
在生物学和物理学中，使用这些模型可以帮助我们更好地理解和预测生物和物理系统的属性和行为。
虽然这些模型在其各自的领域中非常有用，但是它们在许多其他学科领域中也有很重要的应用。
高中生物典型数学模型举例
池塘生态系统模式图
(07江苏生物)37．正常情况下，人体内血液、组织液和细胞内液 中K+的含量能够维持相对稳定。 (1)尝试构建人体内K+离子的动态平衡模型(①在图形框中用箭头表 示②不考虑血细胞、血管壁细胞等特殊细胞)。
1 2
4 3
5 7
6
8
讨论：三种模型形式可以相互转化吗？
实践出真知——
9500
180
8
9600
170
(A)在该调查时间内物种x种群增长曲线大致呈“J”型 (B)若在第9年间，大量捕杀x种群个体，则第10年鼠种群数量增加 (c)鼠和X种群为竞争关系 (D)鼠和x种群为互利共生关系
小结：模型构建基础知识“地图”概念模型 数学模型必修一 Nhomakorabea14页：概念
必修三第65页：概念 必修三第66页：种群增长的模型
染 色分 体为
非 同 源 组成 染 色 体
同
源
染 色 体
联会 形成
染 色 据此 体 分为 组 四 分 包含 体 四条
多倍体 二倍体
单倍体 染 色 单 体
（二）数学模型
教材链接
必修三65页：数学模型是用来描述一个系统或它的性质的 数学形式。（用字母、数字及其它数学符号建立起来的等 式或不等式。也包括表格，曲线，柱状图，扇形图等数学 表达式。）
在一个草原生态 系统中，草是生产者， 鼠是初级消费者。现将 某动物新物种x引入该 生态系统，调查表明 鼠与x的种群数量变化 如右表。若不考虑瘟疫 等其他因素，下列说法 中最可能的是（ ）
时间（年) 鼠种群数量 (只)
1
18900
2
19500
3
14500
4
高中生物典型数学模型举例
（三）物理模型
教材链接
必修一54页：物理模型是以实物或图画形式直观地 表达认识对象的特征。
在教材中出现的也有很多，比如细胞模型， ＤＮＡ的双螺旋结构模型，细胞的亚显微结构图等。
血糖调节的模型
下丘脑
血
糖
胰岛B细胞
浓
度
过 高
胰岛素
血
胰岛A细胞
糖
浓
度
胰高血糖素
过 低
血糖浓度维持正常
三倍体无子西瓜的培育过程图解
体液调节
包括
激素调节
高 等 动 物 生 包括 命 活 动 的 调 节
神经调节
反射弧
基本方式
结构基础
反射
包括
免疫调节 包括
非特异性免疫 包括
特异性免疫
条件反射
非条件反射
体液免疫
参与
T细胞
B细胞
参与 细胞免疫
蛋白质
基因 有效
片段
D N
物质 组成
A
基本 单位
脱氧核苷酸
性染色体 常染色体
分类
染 解旋 色 质 螺旋化
100 120 200 250 180 170 180
8
9600
170
A、在该调查时间内物种x种群增长曲线大致呈“J”型 B、若在第9年间，大量捕杀x种群个体，则第10年鼠种群数量增加 C、鼠和X种群为竞争关系 D、鼠和x种群为互利共生关系
时间（年) 鼠种群数量 (只)
1
18900
2
19500
3
14500
池塘生态系统模式图
(07江苏生物)37．正常情况下，人体内血液、组织液和细胞内液 中K+的含量能够维持相对稳定。 (1)尝试构建人体内K+离子的动态平衡模型(①在图形框中用箭头表 示②不考虑血细胞、血管壁细胞等特殊细胞)。
数学模型在生物学中的应用
数学模型在生物学中的应用生物学是研究生命现象的科学，而数学是一门能够描述和解释现象的学科，因此数学模型在生物学中扮演着重要的角色。
数学模型可以帮助我们理解生物系统的运行机制、预测生物现象的发展趋势、设计和优化生物工艺过程等。
本文将介绍数学模型在生物学中的应用，并分析其在不同领域的实际案例。
一、基础生物学中的数学模型应用1. 基因表达调控基因表达调控是生物体内基因信息转录成蛋白质的过程。
数学模型可以帮助我们建立基因网络的动力学模型，预测基因表达的动态变化。
例如，利用微分方程模型可以预测基因调控网络的稳定性、噪声对基因表达的影响等。
2. 生物传感器生物传感器是利用生物介体对外界刺激做出反应的装置，常见于医学诊断、环境监测等领域。
数学模型可以帮助我们理解生物传感器的工作原理，并优化传感器的设计。
例如，使用方程模型可以模拟生物传感器对特定物质的检测过程，预测灵敏度和响应时间。
3. 细胞生长和分裂细胞生长和分裂是生物体细胞增殖和繁衍的过程。
数学模型可以揭示细胞生长和分裂的机制，并分析细胞数量随时间的变化规律。
例如，使用差分方程模型可以预测细胞群体中个体数量的增长趋势，从而帮助我们理解细胞生物学过程。
二、生物工程中的数学模型应用1. 生物反应器设计生物反应器是用于进行微生物、细胞培养等生物过程的装置。
数学模型可以帮助我们预测和优化反应器中物质传质和反应过程，提高生产效率。
例如，使用数值模拟模型可以预测培养物中溶氧浓度和物质浓度的分布，并优化反应器结构和工艺参数。
2. 遗传算法优化遗传算法是一种通过模拟生物进化过程来求解优化问题的方法。
在生物工程中，遗传算法可以用于优化生物过程中的参数选择、反应条件、培养基配方等。
例如，通过建立包括目标函数和约束条件的数学模型，利用遗传算法搜索最优解，实现生物工程过程的高效设计。
三、生态学中的数学模型应用1. 种群动力学种群动力学研究不同物种在时间和空间上的数量变化趋势。
数学模型可以帮助我们理解不同因素对物种数量的影响，并预测种群的持续发展。
【生物数学】!生物数学-微分方程模型
28生物数学－微分方程数学模型微分方程模型是一类十分重要的生物数学模型，其中包括经典的Malthusian 模型、Logistic 模型和Lotka-Volterra 模型。
获诺贝尔奖的神经膜传导H-H 方程，以及获诺贝尔奖的侧抑制神经网络Hartline 方程，都是数学与生物学结合研究—即生物数学的结晶。
微分方程模型在神经生理学、流行病学、生态学、微生物学、酶动力学、药用动力学等领域都已产生了重要的理论与应用价值。
第一节 单种群增长的数学模型种群增长研究中人口增长是最古老的课题之一，我们就以此开始讨论。
美国的人口记录是世界上最完整的记录之一，表3-1给出了美国人口增长的部分记录。
从1790年的610929.3⨯人，到1800年的610038.5⨯人，10年中：66101379.01017901800929.3308.5⨯⨯--＝人口平均增长率＝人／年665.308 3.929100.0351103.929(18001790)-⨯⨯-人口平均相对增长率＝＝人／年表3.1美国人口调查数据28增长率以单位时间 (单位：一般指年)内人口增长的比例来描述，它与时间t 及当时的人口数量有关。
相对增长率则以增长率相对于当时人口的数量来衡量，在一定的时间范围和一定条件下，相对增长率是一个稳定的常数。
现论述这一思想。
设某种群在t 时刻的数量（亦称为种群密度）为)(t N ，其中t 代表时间，则从t 到t +△t 时间间隔中：平均种群增长速率tNt t N t t N ∆∆=∆-∆+=)()( 平均种群相对增长速率tN Nt t N t N t t N ∆∆=∆-∆+=)()()(令t ∆→0取极限，得到在时刻t 的种群增长速率和种群相对增长速率分别为：种群增长速率dtdNt N t =∆∆=→∆0lim28种群相对增长速率dtdNN t N N t 1lim0=∆∆=→∆ 今后也将dtdN记为 )(t N ' 或 N '，对三者不加区分。
第一讲 数学模型与数学建模 简介
国31个省和特区的 个省和特区的19000名大中学学生中，只有4.7% 名大中学学生中，只有 个省和特区的 名大中学学生中
数学建模是培养学生的观察能力,抽象能力 创造 数学建模是培养学生的观察能力 抽象能力,创造 、对 抽象能力 像力；只有14.9%的学生认为培养自己的探索能力 的学生认为培养自己的探索能力、 像力；只有 的学生认为培养自己的探索能力 思维能力,逻辑推理能力 动手能力,数学语言表达 逻辑推理能力,动手能力 思维能力 逻辑推理能力 动手能力 数学语言表达 新事物的想像力和收集信息的能力；只有33%的学生参 新事物的想像力和收集信息的能力；只有 的学生参 能力,计算机使用 数学软件使以及科学计算能力. 计算机使用,数学软件使以及科学计算能力 能力 计算机使用 数学软件使以及科学计算能力
黔南民族师范学院数学系2010数学建模素质培训 黔南民族师范学院数学系2010数学建模素质培训 2010
严忠权
数学建模与能力的培养 最近几年里， 最近几年里，我校学
生都在只参加了半年 左右的学习和实践后， 左右的学习和实践后， 锻炼， ①数学建模实践的 每一步中都 蕴含着能力上的 锻炼，在 在全国大学生数学建 调查研究阶段，需 要用到观察能力、分析能力和数据处理 调查研究阶段， 要用到观察能力、分析能力和 观察能力 模竞赛取得了优异成 能力等 能力等。在提出假设 时，又需要用到 想象力和归纳 简化 开设数学建模课的主要目的为了提高学 2002年开始获 绩，从2002年开始获 能力。 能力。 综合素质， 生的综合素质 生的综合素质，增强 应用数学知识 解决实际问 得国家一等奖1 得国家一等奖1项国家 题的本领。 题的本领。 在真正开始自己的研究之前， . ②在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下 二等奖十三奖. 二等奖十三奖 前人或别人的工作， 前人或别人的工作，使自己的工 作成为别人研究工作 的 继续而不是别人工作的重复， 继续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结 果用作你的假设，去探索新的奥秘。 果用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会 在尽可能短的时间 内查到并学会我想应用的知识的本领。 查到并学会我想应用的知识的本领。 我想应用的知识的本领 创新的能力。 ③还需要你多少要有点 创新的能力。这种能力不是生来就 有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。 有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。
高中生物教学中生物数学模型应用研究论文
高中生物教学中生物数学模型的应用研究一、生物数学模型在高中生物教学中的分类（一）随机性生物数学模型。
随机性生物数学模型是根据生物现象的随机性和偶然性特定进行建立的。
随机性生物数学模型主要是指通过概率论、过程论、数理统计等方法描述和研究出的一些随机现象。
但是，根据生物的规律，对于同一事件或者随机事件的多次出现也可以使生物有规律可循。
因此，目前对生物学的主要研究方法是过程论、概率论、数学统计。
这样的研究放大也使得高中生物教学有了理论依据和研究方法，使得生物教学中的生物数学模型建立有科学的指导方法。
又例如在《稳态与环境》的教学中时，可依根据hiv浓度以及t 细胞的数量关系对生物数学模型进行分解、建立、使用，显示出增长的颈雉种群数量，以及大草履虫种群的增长曲线、东亚飞蝗种群的数量波动。
（二）确定性生物数学模型。
确定性的生物数学模型是指运用各种方程式、代数方程、关系式、微分方程、积分工程等对生物关系进行的表示。
确定性生物数学模型也是目前运用最为普遍的一种数学模型。
简单而言，生物数学模型即运用数学方法进行研究的对必然性现象的描述。
这类数学模型主要是应用于解决复杂的生物学问题，借助确定性的生物数学模型对生物关系进行转换。
在高中生物教学中的应用主要是利用数学模型的客观逻辑推理对生物关系进行求解运算，从而获得客观生物的规律和生命现象。
例如，在《分子与细胞中》的教学中，可以利用确定的数学求解方式对细胞的无氧呼吸方程式进行解剖，得出其中的有氧呼吸和光合作用的方程式和生物规律。
二、生物数学模型在高中生物教学中的应用过程分析（一）准备与假设阶段。
准备阶段中明确生物教学的关键，并不失重心，从核心问题出发，明晰突出问题，了解相对应的背景知识，收集有质有量的资料以便在生物课堂上开展充分的教学组。
一方面要弄清楚数学模型在生物教学的目的，另一方面努力地规划教学任务，从而确保教学尽可能地锻炼学生逻辑思维能力和快速解决相应问题的能力，从而整体提高课堂的整体教学水平和教学效率。
第1讲 生物数学建模简介
二、数学建模的一般方法和步骤
机理分析法：根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系 ，找出反映内部机理的规律，所建立的模型常有明确的 物理或现实意义。 测试分析法：将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理 无法直接寻求，通过测量系统的输入输出数据，并以此 为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一 类模型中选出一个数据拟合得最好的模型。 测试分析方 法也叫做系统辩识。 将这两种方法结合起来使用，即用机理分析方法建立模型的 结构，用系统测试方法来确定模型的参数，也是常用的 建模方法。
了解程度和建模目的来 决定。机理分析法建模 的具体步骤大致可见右 图。
用实际问题的实测数据等 来检验该数学模型
不符合实际 符合实际
交付使用，从而可产生 经济、社会效益
建模过程示意图
三、数学模型的分类
应用领域： 人口、生理、经济、生态 …
初等模型、几何模型、优化模型、微分方程 数学方法： 模型、图论模型、逻辑模型、统计模型等
r
t P0
t=r
f (t r )e 0
( s ) ds
r
Байду номын сангаас
f
r
其他:
人口指数
rm 0
– 人口总数
平均年龄
平均寿命
N (t ) p(r , t )dr
rm 1 R(t ) rp (r , t )dr 0 N (t ) ( s ) ds s (t ) e d t R(t ) (t ) S (t )
数学建模的一般过程
形成问题： 了解实际背景 明确建模目的 形成一个比较 清晰的‘问题’
搜集有关信息
假设与简化：
掌握对象特征
生物学中的数学模型及其应用
生物学中的数学模型及其应用生物学是对生命现象的研究，人们对其感兴趣已有数百年。
在现代生物学研究中，数学模型已经成为一种非常重要的工具。
数学模型能够帮助我们更好地理解和预测生物学现象。
以下是一些有关生物学中数学模型的例子和应用。
一、生物分类模型系统发生学是生物学中一种重要的研究方法，用于确定分类关系。
系统发生学家使用多种数学模型进行研究分类系统。
其中最有名的是“Maximum Likelihood (最大似然)”模型和“Bayesian (贝叶斯)”模型。
这些模型使用相似性数据，例如DNA序列，来比较物种间的关系。
运用此数学模型，我们可以预测新物种是否与已知物种产生关联，及其分类位置等。
二、群体过滤模型群体过滤模型是一种用于描述群体数量和成分变化的数学方法。
群体过滤模型最常用于研究生态系统，例如某类鱼在湖中的数量和大小。
例如，湖水污染对湖泊鱼类种群的影响，可以通过群体过滤模型来优化研究。
研究者可以使用模型来预测鱼类数量和种类如何随着污染程度的变化而变化。
这些预测可以帮助环境保护部门找出污染源，并制定预防和治疗污染的政策。
三、生态模型生态模型是用于数学上描述生态系统的模型。
生态模型解释生态系统中对环境的影响及与生态系统变量间的相互作用。
生态模型可分为物种群体模型和群落模型。
物种群体模型，是解释某一个物种在生态系统中的变化趋势，此模型主要关注物种数量变化及其原因。
群落模型则是用于描述不同生物物种之间的数学和生物关系。
例如，某些生物之间的食物链关系。
运用这种模型，可以帮助研究如某些环境构建对生态系统发展的影响，从而作出如何保护生态系统的决策。
四、分子动力学模型在生物学中，分子动力学模型是计算机模拟分子间相互作用以更新其位置和速度的方法，以得到感兴趣的物质的动态。
这个模型展示了分子间的行为，通常是描述蛋白质、核酸和有机分子的特性。
分子动力学模型对于研究生物大分子相互作用非常有用，这让科学家可以在分子级别探索如何以及为什么大分子相互作用。
生物进化的数学模型与计算方法
生物进化的数学模型与计算方法生物进化是生命发展的基本过程，也是生物多样性形成的原因之一。
为了更好地理解和研究生物进化，科学家们通过建立数学模型和应用计算方法来探索进化的规律和机制。
本文将介绍生物进化的数学模型和计算方法，以及它们在研究中的应用。
1. 遗传算法遗传算法是模拟生物进化过程的一种计算方法。
它通过模拟自然选择、交叉和变异等生物进化的机制，来搜索优化问题的最佳解。
遗传算法将问题的解表示为一组基因组合，然后通过交叉和变异操作产生新的基因组合，并通过适应度函数评估每个基因组合的适应性。
适应性高的基因组合将有更大的概率被选择下一代继续进化，从而逐步优化解的质量。
2. 马尔可夫链马尔可夫链是一种用数学模型来描述状态转移概率的系统。
在生物进化中，马尔可夫链被用来描述基因型和表现型之间的关系，以及基因型之间的转变。
通过建立基因型之间的状态转移矩阵，可以预测不同基因型的频率随时间的变化，从而揭示基因型在进化过程中的演化规律。
3. 神经网络神经网络是一种模仿生物神经系统的计算模型。
在生物进化研究中，神经网络被用来模拟物种进化、祖先关系以及群体动态等。
通过构建神经网络的拓扑结构和设置适当的参数，可以模拟不同物种之间的竞争、合作和适应性演化等生态学现象，从而揭示生物进化的机制。
4. 分子进化模型分子进化模型是通过对DNA或蛋白质序列的计算分析来推测物种间的进化关系和进化速率。
其中最常用的模型是序列比对和相似性分析。
通过比对不同物种中的同源基因序列，可以推测它们的共同祖先以及在进化过程中发生的变化。
通过计算同源序列的相似性，还可以估计物种间的进化距离，从而揭示物种之间的亲缘关系。
5. 群体遗传学模型群体遗传学模型是研究群体中基因频率变化和进化过程的数学模型。
这些模型通常基于遗传漂变、迁移、选择和突变等因素，并利用微分方程或离散模型来描述基因频率的变化。
通过建立群体遗传学模型，可以研究不同因素对基因频率、遗传多样性和群体动态的影响，从而深入理解生物进化的模式和机制。
高中生物学中的数学模型
高中生物学中的数学模型山东省嘉祥县第一中学孙国防高中生物学中的数学模型是对高中生物知识的高度概括，也是培养学生分析推理能力的重要载体，本文通过归纳高中生物学中的数学模型以提高学生的分析推理能力。
1. 细胞的增殖【经典模型】1.1间期表示1.2 有丝分裂中各时期DNA、染色体和染色单体变化1.3 减数分裂中各时期DNA、染色体和染色单体变化【考查考点】细胞增殖考点主要考察有丝分裂、减数分裂过程中DNA、染色体、染色单体的数量变化以及同源染色体的行为，并以此为载体解释遗传的分离定律和自由组合定律。
2. 生物膜系统【经典模型】【考查考点】3物质跨膜运输【经典模型】【考查考点】自由扩散、协助扩散和主动运输的影响因素和特点。
4. 影响酶活性的因素【经典模型】【考查考点】影响酶活性的因素，主要原因在于对酶空间结构的影响。
酶促反应是对酶催化的更高层次的分析。
5. 影响细胞呼吸及光合作用的因素【经典模型1】【考查考点】真正光合速率= 净光合速率+呼吸速率光合作用实际产O2量＝实测O2释放量＋呼吸作用耗O2光合作用实际CO2消耗量＝实测CO2消耗量＋呼吸作用CO2释放光合作用葡萄糖生产量＝光合作用葡萄糖积累量＋呼吸作用葡萄糖消耗量【经典模型2】【考查考点】氧气浓度对有氧呼吸和无氧呼吸的影响，以及在种子和蔬菜储存中的原因。
6 基因的分离和自由组合定律【典型例题】男性并指、女性正常的一对夫妇，生了一个先天性聋哑的儿子，这对夫妇以后所生子女，（并指是常染色体显性遗传病，两种病均与性别无关）正常的概率：_________同时患两种病的概率：_________患病的概率：_________只患聋哑的概率：_________只患并指的概率：_________只患一种病的概率：_________序号类型计算公式1 患甲病的概率m 则非甲病概率为1-m2 患乙病的概率n 则非乙病概率为1-n3 只患甲病的概率m-mn4 只患乙病的概率n-mn5 同患两种病的概率mn6 只患一种病的概率m+n-2mn或m(1-n)+n(1-m)7 患病概率m+n-mn或1-不患病概率8 不患病概率(1-m)(1-n)7. 中心法则【经典模型】DNA分子的多样性：４ＮDNA的结构：Ａ＝Ｔ，Ｇ＝Ｃ，Ａ＋Ｇ＝Ｔ＋Ｃ，（Ａ１％＋Ａ２％）／２＝Ａ％，Ａ１％＋Ｔ１％＝Ａ２％＋Ｔ２％＝Ａ％＋Ｔ％DNA的复制：某DNA分子复制Ｎ次所需要的游离的鸟嘌呤脱氧核苷酸：（２Ｎ－１）Ｇ１５Ｎ标记的DNA分子在１４Ｎ的原料中复制n次，含１５Ｎ的DNA分子占总数的比例：２／２nＤＮＡ中的碱基数和其控制的蛋白质中的氨基酸数的比例关系：6:1【考查考点】DNA的结构，碱基组成，半保留复制和基因的表达。
高中生物 含物理模型、数学模型、概念模型模型
生物学模型：含物理模型、数学模型、概念模型；1、物理模型：以实物或图画形式直观地表达认识对象的特征。
有以下两类：（1）天然模型在生物研究中会利用动物来替代人体进行实验，在生物课堂上也就可以从自然环境中选择动物或植物体来对照说明研究对象结构或特征。
例如：细胞的结构包括细胞膜、细胞质和细胞核。
可以选用桃形象说明其结构分布，果皮是最外层的细胞膜，果肉代表细胞质，果核与细胞核比较类似，包括了核膜和核仁。
初中这一块很多，可以挖掘。
（2）人工模型由专业人士、教师或学生以实物为参照的仿制品。
放大或缩小实物，但真实反映研究对象的特征或模拟表达生命过程。
例如：沃森和克里克制作的DNA双螺旋结构模型。
除立体的三维物理模型之外，在平面上用简化的图形表示研究对象也是一种物理模型，这种图象直观的体现各类具体对象的总体特征以及运动历程。
例如：动植物细胞模式图、细菌结构模式图、分泌蛋白合成和运输示意图等。
2、概念模型：通过分析大量的具体形象，分类并揭示其共同本质，将其本质凝结在概念中，把各类对象的关系用概念与概念之间的关系来表述，用文字和符号突出表达对象的主要特征和联系。
例如：用光合作用图解描述光合作用的主要反应过程，甲状腺激素的分级调节等。
3、数学模型：数学模型是用来描述一个系统或它的性质的数学形式。
对研究对象的生命本质和运动规律进行具体的分析、综合，用适当的数学形式如，数学方程式、关系式、曲线图和表格等来表达，从而依据现象作出判断和预测。
例如高中部分：孟德尔的杂交实验“高茎：矮茎=3：1”，酶活性受温度影响示意图等。
初中部分有：1、细胞不能无限长大的数学建模解释（七上；第二单元第二章第三节细胞分裂）；2、“晚育”与“少生”下人口数量变化模型建构（七下；第四单元第一章第四节计划生育）；3、细菌分裂生殖数量变化模型建构（八上；第五单元第四章第二节细菌）；4、保护色的形成实验中的数学建模建构（八下；第七单元第三章第三节生物进化的原因）。
生物学规律和机制的数学模型和计算模拟
生物学规律和机制的数学模型和计算模拟生物学是自然科学的一个重要分支。
它研究生命的起源和发展，研究生命的本质和特性。
近年来，生物学的发展越来越依赖于数学和计算机科学的技术。
因为很多复杂的生物现象和生物系统都可以用数学模型和计算模拟来描述和解释。
生物学规律和机制都有它们自己的特性和规律。
例如，生物进化的规律是基因变异和自然选择，生物生长的规律是供需平衡和能量转化，生物交流的机制是化学信号和神经信号。
这些规律和机制都可以通过数学模型进行描述。
数学模型是一种把生物现象和生物系统转化为数学形式的方法。
在数学模型中，生物系统被看作是一个数学对象，它的状态和行为可以用数学公式来描述。
数学模型可以清晰地表述生物学规律和机制，揭示生物学的本质和内在机制。
很多重要的生物学发现都是通过数学模型得到的，例如人口遗传学、生态学稳态、神经元网络等。
计算模拟是对数学模型进行数值求解和仿真的一种方法。
在计算模拟中，通过计算机程序对数学模型进行求解和模拟。
计算模拟能够帮助生物学家更好地理解生物学规律和机制，预测生物系统的行为和反应，设计和优化生物学实验，甚至发现新的生物学规律和机制。
计算模拟已经成为生物学研究不可或缺的工具之一。
数学模型和计算模拟是一对密不可分的伙伴。
数学模型提供了生物学规律和机制的数学描述，计算模拟则能够对数学模型进行求解和模拟。
两者相互促进，共同推动了生物学的发展。
数学模型和计算模拟在生物学中的应用非常广泛。
下面，我就来介绍几个生物学领域内的典型应用。
一、人口遗传学人口遗传学是研究人类遗传变异和人类群体遗传结构的一门学科。
在人口遗传学中，数学模型可以描述基因频率和基因漂变的规律，计算模拟可以模拟人类群体演化的过程和结果。
例如，通过基因序列数据的分析，可以得到不同人类族群之间的遗传距离，说明人类的遗传分化是受到人类移民历史和地理环境等多个因素综合作用的结果。
利用计算模拟，可以推测人类遗传变异的演化轨迹，预测人类群体的遗传特征和疾病易感性等。
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( x y ) 30 750 ( x y ) 50 750
求解
x=20 y =5
答：船速为20km/h.
航行问题建立数学模型的基本步骤
• 作出简化假设（船速、水速为常数）
• 用符号表示有关量（x, y分别表示船速和水速） • 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）
模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物. 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征.
你碰到过的数学模型——“航行问题”
甲乙两地相距750km，船从甲到乙顺水航行需30h， 从乙到甲逆水航行需50h，问船的速度是多少? 用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
白箱 灰箱 黑箱
内涵
1.6 生物数学模型的内涵与分 支
生物数学是生物与数学之间的边缘学科。它是用数学方法研 究和解决生物学问题，并对与生物有关的数学方法进行理论研究 的学科。如果把生物学的分支领域看作一个集合 ， 数学的分支 领域看作另一个集合 ，生物数学就是这两个集合导出的乘积空间。 从研究使用的数学方法划分，生物数学可分为生物统计学、 生物信息论、生物系统论、生物控制论和生物方程等分支。生命 现象极为复杂，从生物学中提出的数学问题往往也十分复杂，需 要进行大量计算工作，建立模型是成了必需。数学模型能定量地 描述生物现象，一个复杂的生物学问题借助数学模型能转变成一 个数学问题，通过对数学模型的逻辑推理、求解和运算，通过获 得的理论知识对生命或非生命现象进行研究。
dy x y, dt
y (0) 0
模型求解
dx x, dtx(0) 1100来自x(t ) 1100et
药物吸收的半衰期为5 h
1100e5 1100 / 2
x(5) x(0) / 2
(ln 2) / 5 0.1386(1/ h)
1100 t y (t ) (e e t )
1
数学模型与生物数学
1.1 从现实对象到数学模型 1.2 数学建模的重要意义
1.3 数学建模示例：药物中毒施救
1.4 数学建模的基本方法和步骤 1.5 数学模型的特点和分类 1.6 生物数学模型的内涵与分支
1.1
从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… ~ 物理模型 地图、电路图、分子结构图… ~ 符号模型
数学建模的重要意义
“数学是一种关键的、普遍的、可以应用的技术”. 数学“由研究到工业领域的技术转化，对加强 经济竞争力具有重要意义”.
“计算和建模重新成为中心课题，它们是数学 科学技术转化的主要途径” .
数学建模的具体应用
• 分析与设计
• 预报与决策
•
控制与优化
• 规划与管理
数学建模
如虎添翼
计算机技术
dy x y y 1100et dt
y (0) 0
药物排除的半衰期为6 h
dy y dt
只考虑血液对药物的排除
y(t ) ae
(t )
y( ) a, y( 6) a / 2
(ln 2) / 6 0.1155(1/ h)
• 求解得到数学解答（x=20, y=5）
• 回答原问题（船速为20km/h）
数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling)
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学表述.
数学模型的特点
模型的逼真性和可行性 模型的渐进性
模型的非预制性 模型的条理性 模型的技艺性 模型的局限性
模型的强健性
模型的可转移性
数学模型的分类
应用领域 数学方法 人口、交通、经济、生态、… 初等数学、微分方程、规划、统计、…
表现特性
确定和随机
离散和连续
静态和动态
线性和非线性
建模目的
了解程度
描述、优化、预报、决策、…
知识经济
1.3
场景
数学建模示例
如何施救药物中毒
两位家长带着孩子急匆匆来到医院急诊室. 诉说两小时前孩子一次误吞下11片治疗哮喘病、剂量 100mg/片的氨茶碱片，已出现呕吐、头晕等不良症状.
按照药品使用说明书，氨茶碱的每次用量成人是 100~200mg ，儿童是3~5 mg/kg.
过量服用可使血药浓度(单位血液容积中的药量)过高， 100μg/ml浓度会出现严重中毒, 200μg/ml浓度可致命. 医生需要判断：孩子的血药浓度会不会达到100~200 μg/ml；如果会达到，应采取怎样的紧急施救方案.
模型假设
胃肠道中药量x(t), 血液系统中药量y(t)，时间t以 孩子误服药的时刻为起点（t=0）. 1. 胃肠道中药物向血液的转移率与x(t) 成正比，比例系 数λ(>0)，总剂量1100 mg药物在t=0瞬间进入胃肠道.
2. 血液系统中药物的排除率与y(t) 成正比，比例系数 μ(>0)，t=0时血液中无药物.
数学建模的一般步骤
模型准备 模型检验 模型应用 模型假设 模型分析 模型构成 模型求解
模 型 准 备
了解实际背景
搜集有关信息
明确建模目的
掌握对象特征
形成一个 比较清晰 的“问题”
数学建模的一般步骤
模 型 假 设 针对问题特点和建模目的 作出合理的、简化的假设 在合理与简化之间作出折中 用数学的语言、符号描述问题 发挥想像力 使用类比法
y=442
严重中毒
血药浓度200μg/ml
25
0
5
10 t(h)
15
20
t=1.62
t=7.89 t=4.87
y(t) =400mg
y(2)=236.5
致命
孩子到达医院前已严重中毒，如不及时施救， 约3h后将致命！
施救方案
• 口服活性炭使药物排除率μ增至原来的2倍. 孩子到达医院(t=2)就开始施救，血液中药量记作z(t)
调查与分析
口服药物 胃肠道 药量x(t) 转移率 正比于x 血液系统 药量y(t) 体外 排除率 正比于y
认为血液系统内药物的分布，即血药浓度是均匀的， 可以将血液系统看作一个房室，建立“一室模型” . 血液系统对药物的吸收率 (胃肠道到血液系统的转移 率) 和排除率可以由半衰期确定. 半衰期可以从药品说明书上查到.
1.4
•机理分析
数学建模的基本方法和步骤
根据对客观事物特性的认识， 找出反映内部机理的数量规律.
将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的 统计分析，找出与数据拟合最好的模型. 用机理分析建立模型结构, 用测试分析确定模型参数.
数学建模的基本方法
•测试分析
•二者结合
机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习.以下建模主要指机理分析.
数学 建模
建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等）
1.2
数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展. • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透. 数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视. • 在一般工程技术领域, 数学建模仍然大有用武之地. • 在高新技术领域, 数学建模几乎是必不可少的工具. • 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地.
模 型 构 成
尽量采用简单的数学工具
数学建模的一般步骤
模型 求解 模型 分析 模型 检验 各种数学方法、软件和计算机技术. 如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析. 与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性.
模型应用
数学建模的全过程
现 实 世 界 现实对象的信息 验证 现实对象的解答 表述
分支
伴随着生物数学的快速发展，生物数学研究的内容已 经形成一个巨大的体系，总共包含了14个分支学科 .这些学 科是按下列两种分类方法来划分的.第一种是按所涉及的数 学方法来分类，分为生物统计、生物动力系统和生物控制 论、统计医药学、人口统计学等；生物动力系统又分为种 群动力学，细胞动力学、人口动力学等.第二种是按研究生 命科学中的分支学科的不同分类，有数学生态、数量生理、 数量分类、数量遗传、传染病动力学、数量生物经济学、 数理医药学、神经科学的数学模型、分子动力学、细胞动 力学、人口动力学等分支学科.其中数学生态学又可分为种 群生态学、统计生态学、系统生态学等分支学科.
结果及分析
1200 1000 x(t) 800
胃肠道药量 x(t ) 1100e0.1386t
0.1155t e0.1386t ) 血液系统药量 y(t ) 6600(e 血液总量2000ml 血药浓度100μg/ml y(t) =200mg
x,y(mg)
600 400 y(t) 200 0
(归纳)
数学模型 求解 (演绎)
数 学 世 界
解释
数学模型的解答
表述 根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问 . 求解 题 选择适当的数学方法求得数学模型的解答 . 解释 将数学语言表述的解答“翻译”回实际对 象 . 验证 用现实对象的信息检验得到的解答.
实践
理论
实践
1.5
数学模型的特点和分类
3. 氨茶碱被吸收的半衰期为5 h，排除的半衰期为6 h. 4. 孩子的血液总量为2000 ml.
模型建立
口服药物 胃肠道 药量x(t)
转移率 正比于x
排除率 正比于y 血液系统 体外 药量y(t)
x(t)下降速度与x(t)成正比(比例系数λ), 总剂量1100mg药 物在t=0瞬间进入胃肠道. dx x, x(0) 1100 dt y(t)由吸收而增长的速度是λx，由排除而减少的速度 与y(t) 成正比(比例系数μ) , t=0时血液中无药物.