常见分类讨论类型

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一、分类讨论思想在立体几何中的应用

1 ．有四根长都为2的直铁条,若再选两根长都为a 的直铁条,使这六根铁条端点处相连能够

焊接成一个三棱锥形的铁架,则a 的取值范围是 （ ）

A ．

B ．(1,)

C ．

D ．(0,)

【答案】【答案】

A

【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力.

【解析】根据条件,四根长为

2的直铁条与两根长为a 的直铁条要组成三棱镜形的铁架,有以下两种情况

:(1)地面是边长为2的正三角形,三条侧棱长为2,a,a,如图,

此时a 可以取最大值,

可知

AD=

,SD=

,则

有<2+

,即

,

即有

(2)构成三棱锥的两条对角线长为

a,其他各边长为2,如图所示,

此时a>0; 综上分析可知a

∈【编号】45690 【难度】较难

2 ．共点的三条直线可以确定几个平面_______________

【答案】1个或3个

【编号】41766 【难度】简单

二、分类讨论思想在集合中的应用

3 ．已知集合2

2

{|40},{|0}A x x x B x x ax a =+==++=，若B A ⊆

，求实数a 的取值

范围。

【答案】解：{0,4}A =-

①B =Φ时，2

40a a ∆=-<，即04a <<4分 ②B ≠Φ时，即{0}B =或{4}B =-或{4,0}B =- 当{0}B =时，0a =满足题意；

当{4}B =-，{4,0}B =-时，不满足题意10分 综上所述：a 的取值范围是04

a ≤<12分

【编号】36832 【难度】较难

+

228a <+=

4 ．已知集合2

{|230,}A x mx x m R =-+=∈，若A 中元素至多只有一个，求m 的取值范

围。

【答案】解:①当0m =时，3

2

x =，满足题意。4分 ②当m ≠0时，方程2230mx x -+=至多只有一个解，

则0∆≤，即4120m -≤，1

3

m ∴≥10分

综上所述，m 的取值范围是0m =或1

3

m ≥12分

【编号】36828 【难度】一般

5 ．已知集合2

{|(2)10,}A x x a x x R =+++=∈，若{|0}A

x R x ∈>=∅，求实数a

的取值范围。

【答案】解：当A ≠∅时，由{|0}A

x R x ∈>=∅知A 的元素为非正数，

即方程2

(2)10x a x +++=没有正数根。则由2(2)40

(2)0

a a ⎧∆=+-≥⎨-+<⎩，解得0a ≥

当A =∅时仍满足{|0}A x R x ∈>=∅，此时2

(2)40a ∆=+-<，解得

40a -<<

综上，的(4,)a ∈-+∞

【编号】32168 【难度】较难

三、分类讨论思想在函数中的应用

6 ．求函数2

||1y x x a =+-+的值域。

【答案】解：2

2

1()1x x a y f x x x a ⎧+-+⎪==⎨-++⎪⎩2213()()2413()()24

x a x a x a x a ⎧++-≥⎪⎪=⎨⎪-++<⎪⎩ （1）当1

2a ≤-

时，如图1知13

()24

y f a ≥-=-

（2）当11

22

a -

<<时，如图知2

()1y f a a ≥=+

（3）当1

2a >时，如图3 知，13

()24

y f a ≥=+

综上所述：当1

2

a ≤-时，值域为3[,)4

a -+∞

（2）当11

22a -

<<时，值域为2[1,)a ++∞ 当12a >时，值域为3

[,)4

a ++∞

【编号】11218 【难度】较难

7 ．已知二次函数.92)1(42)(2

2

++---=a a x a x x f

(1)若在[-1,1]上至少存在一个实数m,使得,0)(>m f 求实数a 的取值范围; (2)若对任意]1,1[-∈m ,都有0)(>m f ,求实数a 的取值范围

【答案】解:

函数)(x f 的图象是口向上的抛物线,其对称轴为x=a-1. 问题(1等价于“对于0)(],1,1[max >-∈x f x 有即可)讨论如下:

①当0152)1()(,1012

max >+--==≤≤-a a f x f a a 时即

解得1535≤<-∴<<-a a

②当076)1()(,1012

max >++-=-=>>-a a f x f a a 时即

解设7171<<∴<<-a a

综上所述)7,5(,75-<<-的范围是即实数a a

问题(2)等于“对于0)(],1,1[min >-∈x f x 有”讨论如下: ①当076)1()(,0112

min >++-=-=<-<-a a f x f a a 时即 得01071<<-∴<∴<<-a a a

②当时即201

11≤≤≤-≤-a a