常见分类讨论类型
相似三角形分类讨论
相似三角形专题一——分类讨论类型一：AX 分类讨论例1、如图，在中，ABC 8cm,16cm AB AC ==，点P 从A 出发，以2cm/s 的速度向B 运动，同时点Q 从C 出发，以3cm/s 的速度向A 运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t ．（1）用含t 的代数式表示：AQ =_______；（2）当以A ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC 相似时，运动时间t =________1、如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，动点P 从点B 出发，在BA 边上以每秒5cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发，在CB 边上以每秒4cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒（0＜t ＜2），连接PQ ．(1)用含t 的代数式表示BP 、BQ ；(2)是否存在某一时刻t 的值，使△BPQ 的面积是△BAC 面积的14；(3)若以B 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，求t 的值．2、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，CD ⊥AB 于点D ，点P 从点D 出发，沿线段DC 向点C 运动，点Q 从点C 出发，沿线段CA 向点A 运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P 运动到点C 时，两点都停止运动，设运动时间为t 秒．(1)求线段CD 的长；(2)设△CPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)当t 为何值时，△CPQ 与△CAD 相似？请直接写出t 的值．二、直角三角形分类例2、如图所示，已知AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，AB＝4，CD＝6，BC＝14，P为BC上一点，试问BP为何值时，△ABP与△PCD相似？1、如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米．点P从点O开始沿OA 边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么，当t为何值时，△POQ与△AOB相似？2、如图，在平面直角坐标系中，点，点、分别在轴、轴的正半轴上，且满足．求点、点的坐标；若点从点出发，以每秒个单位的速度沿线段由向运动，连接，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似若存在，请求出点的坐标若不存在，请说明理由．三、等腰三角形分类讨论例3、如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE＝45°，DE交AC于点E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．现在有动点P从点B出发，沿线段BA向终点A运动，动点Q从点A出发，沿折线AC—CB向终点运动．如果点P的速度是1cm/s，点Q的速度是1cm/s．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t秒．（1）如图1，Q在AC上，当t为多少秒时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？（2）如图2，Q在CB上，是否存着某时刻，使得以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．相似三角形专题二——三角形框四边形问题1、如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为BD上一点，过点E作EF⊥BC交AB于点F，过点F作FG⊥EF分别交AD，AC于点N，G，过点G作GH∥EF交BC于点H．（1）求证：△AFG∽△ABC；（2）若AD＝3，BC＝9，设EF的长度为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x之间的函数表达式，并求y的最大值．1、如图，正方形MNPQ内接于△ABC，点M、N在BC上，点P、Q分别在AC和AB边上，且BC边上的高AD＝6cm，BC＝12cm，求正方形MNPQ的边长．2、如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，在这个直角三角形内有一个内接正方形，正方形的一边FG 在BC 上，另两个顶点E 、H 分别在边AB 、AC 上．（1）求BC 边上的高；（2）求正方形EFGH 的边长．相似三角形专题三——面积比问题例1.如图，在▱ABCD 中，E 为CD 的中点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，则DEF S △：EFBC S 四边形为（）1、如图，在▱ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，点E 是OA 的中点，联结BE 并延长交AD 于点F ，如果△AEF 的面积是4，那么△BCE 的面积是____．2、如图，在平行四边形中，点在边上，，交于点，若：：，则：．。
导数中分类讨论地三种常见类型
导数中分类讨论的三种常见类型高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径，而所谓分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释.几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，而能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半，不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类，下面根据导数中3种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论. 1.导函数根的大小比较实例1：求函数()321132a f x x x ax a -=+--，x R ∈的单调区间.分析：对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法，所以对函数()321132a f x x x ax a -=+--进行求导可以得到导函数()()'21f x x a x a =+--，观察可知导函数可以因式分解为()()()()'211f x x a x a x a x =+--=-+，由此可知方程()'0f x =有两个实根1x a =，21x =-，由于a 的围未知，要讨论函数()321132a f x x x ax a -=+--的单调性，需要讨论两个根的大小，所以这里分1a <-，1a =-，1a >-三种情况进行讨论：当1a <-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：所以，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -. 当1a =-时， ()'0f x ≥在R 上恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间.当1a >-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：所以，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -. 综上所述，当1a <-时，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -；当1a =-时，函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间； 当1a >-时，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.点评：这道题之所以要分情况讨论，是因为导函数两个根的大小不确定，而两根的大小又会影响到原函数的单调区间，而由于a R ∈，所以要分1a <-，1a =-，1a >-三种情况，这里注意不能漏了1a =-的情况. 2.导函数的根的存在性讨论实例2：求函数()32f x x ax x =++的单调区间分析：这道题跟实例1一样，可以用求导法讨论单调区间，对函数()32f x x ax x =++进行求导可以得到导函数()'2321f x x ax =++，观察可以发现，该导函数无法因式分解，故无法确定方程23210x ax ++=是否有实根，因此首先得考虑一下方程是否有解，所以我们可以求出根判别式2412a ∆=-，若24120a ∆=-<即a <<23210x ax ++=没有实根，即()'0f x > 在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=-=即a =，方程23210x ax ++=有两个相等的实根123ax x ==-，即()'0f x ≥在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=->即a a <>，则方程23210x ax ++=有两个不同实根，由求根公式可解得1x =，2x =12x x <此时()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：综上所述，当a ≤≤()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当a a <>时，()f x 的单调递增区间为⎛-∞ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭，单调递减区间为⎝⎭点评：实例2和实例1都是求三次函数的单调区间，但是两道题分类讨论的情况不一样，实例2主要是因为导函数所对应的方程根的情况未知，所以需要讨论根的存在性问题，而实例1是因为导函数所对应的方程可以因式分解，所以可以确定方程的根肯定是存在的，因此不用再讨论，而需要讨论的是求出来两个根的大小关系，实例2则相反，实例2在方程有两个不同实根的情况下求出来的两根大小已知，所以不用再讨论。
需要分类讨论的九种常见情况
需要分类讨论的九种常见情况
1. 紧急情况：例如自然灾害、医疗急救、火灾等需要立即采取行动的情况。
2. 社会问题：例如贫困、失业、犯罪等社会现象引发的问题。
3. 健康问题：例如传染病、慢性病、心理健康等与人体健康相关的问题。
4. 教育问题：例如教育资源不均衡、学生压力过大、教育体制问题等与教育相关的问题。
5. 环境问题：例如空气污染、水资源短缺、垃圾处理等与环境保护相关的问题。
6. 经济问题：例如通货膨胀、就业机会减少、贫富差距扩大等与经济发展相关的问题。
7. 政治问题：例如政府腐败、民主权利受限、政治权力滥用等与政治体制相关的问题。
8. 科技问题：例如人工智能发展带来的伦理问题、信息安全问题等与科技进步相关的问题。
9. 文化问题：例如文化多元化、文化冲突、文化遗产保护等与文化发展相关的问题。
分类讨论数学思想
(3)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为()
A．1或3B．1或4C．2或3D．2或4
解析设6位同学分别用a，b，c，d，e，f表示．
(6)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________．(用数字作答)
解析分三类：①选1名骨科医生，则有C (C C ＋C C ＋C C )＝360(种)．
②选2名骨科医生，则有C (C C ＋C C )＝210(种)；
当a≤－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当－1<a<0时，f(x)在 上单调递增，
解∵A＝{0，－4}，B⊆A，于是可分为以下几种情况．
(1)当A＝B时，B＝{0，－4}，
∴由根与系数的关系，得 解得a＝1.
(2)当B A时，又可分为两种情况．
①当B≠∅时，即B＝{0}或B＝{－4}，
当x＝0时，有a＝±1；
当x＝－4时，有a＝7或a＝1.
又由Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，
(8)排列、组合、概率中的分类计数问题．
(9)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等．
分类讨论的原则
(1)不重不漏．(2)标准要统一，层次要分明．
(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．
热点一 由数学概念、性质、运算引起的分类讨论
例1 (1)(2014·浙江)设函数f(x)＝ 若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是________．
分类讨论思想
分类讨论思想一、含义分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。
实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略。
二、常见类型有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：1.由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等。
2.由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等。
3.由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根被开方数为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等。
4.由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等。
5.由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法。
6.由实际意义引起的讨论：此类问题常常出现在应用题中。
三、高中数学中相关的知识点1.绝对值的定义；1.二次函数对称轴的变化；2.函数问题中区间的变化；3.函数图像形状的变化；4.直线由斜率引起的位置变化；5.圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；6.立体几何中点、线、面的位置变化等。
七、4步解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题第一步：确定需分类的目标与对象。
即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标。
第二步：根据公式、定理确定分类标准。
运用公式、定理对分类对象进行区分。
第三步：分类解决“分目标”问题。
对分类出来的“分目标”分别进行处理。
第四步：汇总“分目标”。
导数分类讨论解决含参问题(三种常见类型)
导数中分类讨论的三种常见类型高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径，而所谓分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释.几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，而能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半，不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类，下面根据导数中3种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论.类型一：导函数根的大小比较实例1：求函数()321132a f x x x ax a -=+--，x R ∈的单调区间.分析：对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法，所以对函数()321132a f x x x ax a -=+--进行求导可以得到导函数()()'21f x x a x a =+--，观察可知导函数可以因式分解为()()()()'211f x x a x a x a x =+--=-+，由此可知方程()'0f x =有两个实根1x a =，21x =-，由于a 的范围未知，要讨论函数()321132a f x x x ax a -=+--的单调性，需要讨论两个根的大小，所以这里分1a <-，1a =-，1a >-三种情况进行讨论：当1a <-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x (),a -∞a(),1a --1()1,-+∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -.当1a =-时，()'0f x ≥在R 上恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间.当1a >-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x (),1-∞--1()1,a -a(),a +∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.综上所述，当1a <-时，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -；当1a =-时，函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当1a >-时，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.点评：这道题之所以要分情况讨论，是因为导函数两个根的大小不确定，而两根的大小又会影响到原函数的单调区间，而由于a R ∈，所以要分1a <-，1a =-，1a >-三种情况，这里注意不能漏了1a =-的情况.类型二：导函数的根的存在性讨论实例2：求函数()32f x x ax x =++的单调区间分析：这道题跟实例1一样，可以用求导法讨论单调区间，对函数()32f x x ax x =++进行求导可以得到导函数()'2321f x x ax =++，观察可以发现，该导函数无法因式分解，故无法确定方程23210x ax ++=是否有实根，因此首先得考虑一下方程是否有解，所以我们可以求出根判别式2412a ∆=-，若24120a ∆=-<即a <<23210x ax ++=没有实根，即()'0f x >在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=-=即a =，方程23210x ax ++=有两个相等的实根123ax x ==-，即()'0f x ≥在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=->即a a <>，则方程23210x ax ++=有两个不同实根，由求根公式可解得13a x --=，23a x -+=，显然12x x <此时()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x ()1,x -∞1x ()12,x x 2x ()2,x +∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增综上所述，当a ≤≤时，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当a a <>时，()f x 的单调递增区间为,3a ⎛---∞ ⎪⎝⎭和,3a ⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为,33a a ⎛---+ ⎝⎭点评：实例2和实例1都是求三次函数的单调区间，但是两道题分类讨论的情况不一样，实例2主要是因为导函数所对应的方程根的情况未知，所以需要讨论根的存在性问题，而实例1是因为导函数所对应的方程可以因式分解，所以可以确定方程的根肯定是存在的，因此不用再讨论，而需要讨论的是求出来两个根的大小关系，实例2则相反，实例2在方程有两个不同实根的情况下求出来的两根大小已知，所以不用再讨论。
分类讨论思想的常见类型
分类讨论思想的常见类型作者：惠国仓来源：《新课程·教师》2010年第08期分类讨论的思想是一种重要的数学思想方法。
其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题,通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略。
对问题实行分类与整合,分类标准等于增加一个已知条件,实现了有效增设,将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题),优化解题思路,降低问题难度。
一、由数学概念引起的分类讨论有的概念本身是分类的,如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等。
例如:设00且a≠1,比较loga(1-x)与loga(1+x)的大小。
解析:先利用0二、由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论有的数学定理、公式、性质是分类给出的,在不同的条件下结论不一致,如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等。
例如:设等比数列{an｝的公比为q,前n项和Sn>0(n=1,2,3,…)。
1.求q的取值范围;解析:1.根据条件列出关于q的不等式,注意分类讨论。
2.能否判断{bn｝为特殊数列进而求和作差、作商比较大小。
三、由数学运算要求引起的分类讨论如除法运算中除数不为零,偶次方根为非负,对数运算中底数的要求,指数运算中底数的要求,不等式两边同乘以一个正数、负数,三角函数的定义域等。
例如:若a>0且a≠1,p=loga(a2+a+1),q=loga(a2+a+1),则p、q的大小关系是(A)p=q;(B)pq;(D)当a>1时,p>q;当0四、由图形的不确定性引起的分类讨论有的图形类型、位置需要分类:如角的终边所在的象限;点、线、面的位置关系等。
例如:如图所示,矩形ABCD中,AB=1,BC=a(a>0),PA⊥平面AC,且PA=1,问BC边上是否存在点Q,使得PQ⊥QD并说明理由。
五、由参数的变化引起的分类讨论某些含有参数的问题,如含参数的方程、不等式,由于参数的取值不同会导致所得结果不同,或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法。
导数中分类讨论的三种常见类型
导数中分类讨论的三种常见类型在高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径。
分类讨论就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释。
虽然几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，但能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半。
主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类。
下面根据导数中三种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论。
第一种分类讨论类型是导函数根的大小比较。
例如，对于函数$f(x)=x^3+x-ax-a$，$x\in R$，我们需要求其单调区间。
对三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法。
因此，对函数$f(x)$进行求导可以得到导函数$f'(x)=x^2+(1-a)x-a$。
观察可知导函数可以因式分解为$f'(x)=(x-a)(x+1)$，由此可知方程$f'(x)=0$有两个实根$x_1=a$和$x_2=-1$。
因此，要讨论函数$f(x)$的单调性，需要讨论两个根的大小。
因此，这里分$a-1$三种情况进行讨论。
当$a<-1$时，$f(x)$，$f'(x)$随$x$的变化情况如下：$x\in(-\infty,a)$时，$f(x)$单调递增；$x\in(a,-1)$时，$f(x)$单调递减；$x=-1$时，$f(x)$有极小值；$x\in(-1,+\infty)$时，$f(x)$单调递增。
因此，函数$f(x)$的单调递增区间为$(-\infty,a)$和$(-1,+\infty)$，单调递减区间为$(a,-1)$。
当$a=-1$时，$f'(x)\geq 0$在$R$上恒成立，所以函数$f(x)$的单调递增区间为$(-\infty,+\infty)$，没有单调递减区间。
导数中分类讨论的三种常见 类型
若，符合题意 若，符合题意 若，符合题意 若，不符合题意 若，不符合题意 若，不符合题意 综上所述：p的取值范围为 下面笔者就海南2010年高考的压轴题来说明本人提出的解题步骤和讨论方法具有一定的
实用价值，当然解答的过程可能不够严谨，处于定性的范围，不足之处，望全体同仁多多指 教。 例6：（海南2010理）
-1
+
0
_
0
+
单调递 极大值 单调递 极小值 单调递
增
减
增
所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 当时， 在上恒成立，所以函数的单调递增区间为，没有单调递减区间. 当时，，随的变化情况如下：
-1
+
0
_
0
+
单调递 极大值 单调递 极小值 单调递
增
减
增
所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 综上所述， 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，没有单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 点评：这道题之所以要分情况讨论，是因为导函数两个根的大小不确 定，而两根的大小又会影响到原函数的单调区间，而由于，所以要 分，，三种情况，这里注意不能漏了的情况. 2.导函数的根的存在性讨论 实例2：求函数的单调区间 分析：这道题跟实例1一样，可以用求导法讨论单调区间，对函数进行 求导可以得到导函数，观察可以发现，该导函数无法因式分解，故无 法确定方程是否有实根，因此首先得考虑一下方程是否有解，所以我 们可以求出根判别式， 若即，方程没有实根，即 在上恒成立，所以在上单调递增； 若即，方程有两个相等的实根，即在上恒成立，所以在上单调递增； 若即，则方程有两个不同实根，由求根公式可解得，，显然 此时，随的变化情况如下：
专题04分类讨论型【讲】【通用版】
专题04 分类讨论型【讲】【通用版】专题04分类讨论型【讲】【通用版】分类讨论型问题，是指解决此类试题，必须确定好分类标准，并按此标准对问题进行正确分类，使复杂问题简单、清晰起来．先给出近几年高考分类讨论型试题，列举如下：【典例1】已知函数f(x)＝x2＋|x－a|＋1，a∈R．(1)试判断f(x)的奇偶性；(2)若a＝0时，求f(x)的最小值．【答案】（1）当a＝0时，f(x)为偶函数，当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数．（2）1【解析】（1）先确定定义域关于原点对称，再判断f(－x)与f(x)关系，最后根据奇偶性定义确定奇偶性；（2）先研究x≥0时，函数最小值，再根据偶函数性质求最值试题解析：解：(1)当a＝0时，f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝x2＋|x|＋1＝f(x)．当a≠0时，f(a)＝a2＋1，f(－a)＝a2＋2|a|＋1，此时f(a)≠f(－a)，f(a)≠－f(a)．∴当a＝0时，f(x)为偶函数，当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数．方法二（分类讨论）由题设知，求OMN 的面积S ，并观察S 最大值时l 的位置特点．类型三 与三角函数、解三角形相结合的分类讨论型【典例3-1】已知方程22sin cos 1x y αα+=，其中[0,α∈曲线？απ类型六 与立体几何相结合的分类讨论型【典例6-1】六盒磁带按“规则方式”打包．所谓“规则方式”，是指每相邻两盒必须是以全等的面积对接，最后得到的包装形状是一个长方体．若磁带盒长、宽、高的尺寸分别为,,a b c ，且a b c >>，请你给出一种使表面积最小的打包方式，予以证明，并画出其示意图．【解析】如果不考虑磁带盒之间的空隙，那么就要考虑长方体表面积可能的值．因为62316=⨯=⨯，所以“规则打包”只有两种类型．设磁带盒过同一顶点的三个面的面积为、、A B C ．（1）若“16⨯”类型，表面积21212S A B C =++．要使S 取值最小，由于磁带盒三边长为a b c >>，从而令A a b =⋅，,B a c C b c =⋅=⋅，则121212S ab ac bc =++；（2）若“23⨯”类型，表面积4612S A B C =++．要S 最小，应为24612S ab ac bc =++．比较两种方式，即()126223S S ac ab a c b -=-=-．当3c b >时，2S 小，故采用“23⨯”打包类型；当3c b <时，1S 小，故采用“16⨯”打包类型；当3c b =时，两种类型都可以．示意图如图所示．【举一反三】7．在长方体1111ABCD A B C D -中，()2,0AB BC a a ==>，12AA =．(1)在BC 边上是否存在点Q ，使得1A Q QD ⊥，为什么？(2)当存在点Q ，使1A Q QD ⊥时，求a 的最小值，并求出此时二面角1A A D Q --的正弦值．类型七 与解析几何相结合的分类讨论型证明：（1）当2AB p ≥时，如图，记综上所述，满足条件的正整数(1)求315C -的值．(2)组合数的两个性质：①C C m n m n n -=；②11C C C m m m n n n -++=是否都能推广到C mx （x ∈R ，m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；(3)已知组合数C m n 是正整数，证明：当x ∈Z ，m 是正整数时，C mx ∈Z ．参考答案：）BC 上存在点Q ，且1A Q QD ⊥，且11,A Q A A ⊂平面1A AQ ，∴））知a 的最小值是4；4时，2x =，即Q 是BC 的中点，作作1PF A D ⊥，连结QF ．∵QP对上面a 的各种取值范围，作出这两条曲线只有一个公共点的证明如下：上述探究中的方程()214ay a y +-若0a >，则210y a =-<，从而x。
导数中分类讨论的三种常见类型
导数中分类讨论的三种常见类型高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径，而所谓分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释•几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，而能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半，不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类，下面根据导数中3种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论1. 导函数根的大小比较实例1：求函数f x 3x3子“ ax a，x R的单调区间-分析：对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法，所以对函数 f x 1 3x 1 a 2xax a进行求导可以得到导函数3 21 f x x2 1 a x a ，观察可知导函数可以因式分解为1 f x x2 1 a x a x a x 1 ，由此可知方程f'x 0有两个实根x1 a，x21，由于a的范围未知，要讨论函数f x 1 x3 - - x2ax a的3 2单调性，需要讨论两个根的大小，所以这里分a 1，a 1，a 1三种情况进行讨论：当a 1时，f x，f' x随x的变化情况如下:所以，函数f x的单调递增区间为，a和1,，单调递减区间为a, 1 当a 1时，f' x 0在R上恒成立，所以函数f x的单调递增区间为,，没有单调递减区间•当a 1时，f x，f' x随x的变化情况如下:所以，函数f x 的单调递增区间为 ，1和a,,单调递减区间为1,a .综上所述，当a 1时，函数f x 的单调递增区间为a, 1 ；当a 1时，函数f x 的单调递增区间为 当a 1时，函数f x 的单调递增区间为1,a .点评：这道题之所以要分情况讨论，是因为导函数两个根的大小不确定，而两 根的大小又会影响到原函数的单调区间，而由于 a R ，所以要分a 1， a 1，a 1三种情况，这里注意不能漏了 a 1的情况. 2. 导函数的根的存在性讨论实例2:求函数f x x 3ax 2x 的单调区间分析：这道题跟实例1 一样，可以用求导法讨论单调区间，对函数 f x x 3ax 2x 进行求导可以得到导函数 f ' x 3x 22ax 1，观察可以发 现，该导函数无法因式分解，故无法确定方程3x 22ax 1 0是否有实根，因此首先得考虑一下方程是否有解，所以我们可以求出根判别式 4a 2 12，若4a 2 12 0即 3 a 3，方程3x 2 2ax 1 0没有实根，即f ' x 0在R 上恒成立，所以f x 在R 上单调递增； 若 4a 2 12 0即a . 3，方程3x 2 2ax 1 0有两个相等的实根x 1 x 2 -，即f ' x 0在R 上恒成立，所以f x 在R 上单调递增； 3 若4a 212 0即a■^或a -3，则方程3x 22ax 1 0有两个不同实根，,a 和1,，单调递减区间为，没有单调递减区间；1和a,，单调递减区间为由求根公式可解得X i 亠a 3, X 2—a 3，显然X i X 233此时f x ，f ' X 随X 的变化情况如下:综上所述，当.3 a ,3时，f X 的单调递增区间为 ，，没有单调递减区间；当a x 3或a ,3时，f x 的单调递增区间为，一a a 3和3点评：实例2和实例1都是求三次函数的单调区间，但是两道题分类讨论的情 况不一样，实例2主要是因为导函数所对应的方程根的情况未知，所以需要讨 论根的存在性问题，而实例1是因为导函数所对应的方程可以因式分解，所以 可以确定方程的根肯定是存在的，因此不用再讨论，而需要讨论的是求出来两 个根的大小关系，实例2则相反，实例2在方程有两个不同实根的情况下求出 来的两根大小已知，所以不用再讨论。
分类讨论的思想在生活中的应用
中考分类讨论思想常见的六种类型：
分类讨论思想是指当被研究的问题存在一些不确定的因素，无法用统一的方法或结论给出统一的表述时，按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论，分类讨论思想有利于学会完整地考虑问题，化整为零地解决问题。
1、方程:
若含有字母系数的方程有实数根时,要考虑二次项系数是否等于0,进行分类讨论。
2、等腰三角形:
如果等腰三角形给出两条边求第三条边或给出一角求另外两角时,要考虑所给的边是腰还是底边,所给出的角是顶角还是底角分类解决。
3、直角三角形:
在直角三角形中给出两边的长度,确定第三边时,若没有指明直角边和斜边,要注意分情况进行讨论(分类讨论),然后利用勾股定理即可求解。
4、相似三角形:
如果题目中出现两个三角形相似,需要讨论各边的对应关系;若出现位似,则考虑两个图形在位似中心的同旁或两旁两种情况讨论。
解题反思：
本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质、列函数解析式、求二次函数的最值，综合性强，能根据已知条件把所需线段用含t的代数式表示来，灵活用用三角形的性质和判定是解决问题的关键，要注意分类思想、方程思想的应用．
5、一次函数:
已知一次函数与坐标轴围成的三角形的面积,求k的值,常分直线交于坐标轴正半轴和负半轴讨论;确定反比例函数与一次函数交点个数,常分一、三象限或二、四象限两种情况讨论。
6、圆:
圆的一条弦(直径除外)对两条弧,常分优弧和劣弧两种情况讨论;求圆中两条平行弦的距离,常分两弦在圆心的同旁和两旁两种情况讨论;圆与圆的相切,此时要考虑分外切和内切两种情况讨论。
全体员工讨论形式
全体员工讨论形式可以根据讨论的目的、内容和规模等因素进行选择。
以下是一些常见的全体员工讨论形式：
1. 大会式讨论：适用于人数较多的情况，如公司年会或重大决策议事会等。
主持人通过讲话、报告、现场投票等方式引导讨论，让所有与会者有机会提出意见和建议。
2. 小组讨论：适用于讨论特定课题或任务的情况，如项目组会或问题解决会议等。
将员工分成小组进行讨论，每个小组提出自己的意见和建议，最后进行汇报和总结。
3. 循环讨论：适用于讨论较复杂、争议较大的情况，如制定新政策或解决内部矛盾等。
在全员范围内循环讨论，每位员工都有机会提出自己的看法和建议，最终达成共识。
4. 电子讨论：适用于时间和地点分散、难以聚集的情况，如异地办公或跨时区会议等。
通过电子邮件、即时通讯或在线会议等方式进行讨论，让所有员工都能参与其中。
无论采用哪种形式，全体员工讨论都应该遵循公平、公正、充分听取意见并尊重多样性的原则，最终达成共识，为公司的发展和员工的福利做出积极贡献。
分类讨论思想的题型总结
分类讨论思想的题型总结分类讨论思想是一种通过对一系列相关事物进行分类、比较和讨论的方法，旨在将复杂的问题分解为更加具体和可操作的部分。
在分类讨论思想中，我们将相关的事物按照共同属性或特征进行分组，然后对每个组别进行比较和讨论，从而深入探究问题的本质和内在联系。
分类讨论思想不仅能够帮助我们更好地理解和掌握知识，还能够培养我们的思维能力、分析能力和判断能力。
下面将从不同的角度总结分类讨论思想的分类和应用。
从问题类型的角度来看，分类讨论思想可以分为以下几类：1.对比分析：将事物按照一定标准进行对比分析，找出其异同之处，以及优劣之分。
比如，我们可以对不同政治制度进行对比分析，找出其优劣和可行性。
2.分析原因：通过分类讨论来分析问题的原因和成因。
比如，我们可以通过对失业问题的分类讨论，找出造成失业的多种原因，并针对这些不同原因提出相应的解决方案。
3.归纳总结：将大量的材料进行分析和归纳，找出其中的共同点和规律。
比如，我们可以通过对历史事件的分类讨论，总结出历史的发展规律和重要教训。
4.因果关系：通过分类讨论来分析事物之间的因果关系。
比如，我们可以通过对环境污染问题的分类讨论，找出不同因素对环境污染的影响和作用。
5.解决问题：通过分类讨论来解决复杂的问题。
比如，我们可以通过对道德问题的分类讨论，找出不同的伦理观点和解决方案。
从学科领域的角度来看，分类讨论思想可以应用于不同的学科，包括但不限于以下几个方面：1.社会科学：在政治学、经济学、社会学等社会科学领域，分类讨论思想可以帮助我们更好地理解社会现象和问题，以及找出解决问题的方法和措施。
2.自然科学：在物理学、化学、生物学等自然科学领域，分类讨论思想可以帮助我们更好地理解自然规律和现象，以及推测未知事物的性质和特征。
3.人文科学：在历史学、文学学、哲学等人文科学领域，分类讨论思想可以帮助我们更好地理解人类文化和思想，以及分析历史事件和文学作品的内在联系。
4.工程技术：在工程学、计算机科学等工程技术领域，分类讨论思想可以帮助我们更好地理解问题的结构和关系，以及找出解决问题的方法和技术。
专题二、分类讨论的几大类型(公开课)
分类讨论的集中类型
【类型一、与数与式有关的分类讨论】
热点1：实数分类、绝对值、算术平方根 热点2：与函数及图象有关的分类讨论 ：变量取值范围、增 减性 热点3：含参不等式 热点4：涉及问题中待定参数的变化范围的分类讨论。 热点5：含参方程
【类型二、三角形中的分类讨论】
热点1. 与等腰三角形有关的分类讨论：在等腰三角形中，无论边还 是顶角、底角不确定的情况下，要分情况求解，有时要分钝角三角形、 直角三角形、锐角三角形分别讨论解决． （1） 与角有关的分类讨论 （2） 与边有关的分类讨论 （3） 与高有关的分类讨论 热点2：与直角三角形有关的分类讨论：在直角三角形中，如果没有 指明哪条边是直角边、斜边，这需要根据实际情况讨论；当然，在不 知哪个角是直角时，有关角的问题也需要先讨论后求解． 热点3：与相似三角形有关的分类讨论 （1） 对应边不确定
中考中常见的分类讨论中考专题二中考专题二每个数学结论都有其成立的条件每一种数学方法的使用也往往有其适用范围在我们所遇到的数学问题中有些问题的结论不是唯一确定的有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的这样字母的取值不同也会影响问题的解决由上述几类问题可知就其解题方法及转化手段而言都是一致的即把所有研究的问题根据题目的特点和要求分成若干类转化成若干个小问题来解决这种按不同情况分类然后再逐一研究解决的数学思想称之为分类讨论思想
8或12 数据的中位数和平均数相等，则 x = _______.
•分析：涉及到中位数，与参数x的排列位置有关. 这样，存在几种，分 别加以讨论. •若x≤8，则中位情况数为9，平均数为9，则x=8 •若8≤x≤10，则中位数为(10+x)/2，平均数为(10+10+x+8)/4, 得(10+x)/2=
分类讨论类型
分类讨论类型一、专题精讲在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．二、几种常见的分类讨论类型题型1 概念型的分类讨论例题1：已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（）。
A、40°B、100°C、40°或100°D、70°或50°变式训练1：（1）已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（）A、12或9B、12C、9D、7（2）一次函数分别交轴、轴于A、B两点，在轴上取一点，使为等腰三角形，则这样的的点C最多有个。
（3）已知⊙O1和⊙O2的半径分别为抛物线y=x2-7x+10与x轴两个交点的横坐标，且这两圆相切，则两圆的圆心距O1O2为（）A. 3B. 5C. 7D. 3或7例题2.已知是完全平方式，则的值是。
变式训练2：（1）若函数，则当函数值时，自变量的值是（）A. B. 4 C. 或4 D. 或4（2）给出下列四个函数：1；2；3；4.时，随的增大而减少的函数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个题型3含参数型的分类讨论例题3：在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形、例如，图中的一次函数的图象与x，y轴分别交于点A，B，则△OAB为此函数的坐标三角形．（1）求函数y= -34x+3的坐标三角形的三条边长；（2）若函数y= -34x+b（b为常数）的坐标三角形周长为16，求此三角形面积．变式训练3：已知抛物线y=x2-2（m+1）x+m2与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且m＜5，则整数m的值为。
分类讨论法——精选推荐
分类讨论法九、分类讨论思想⽅法在解答某些数学问题时，有时会有多种情况，对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合求解，这就是分类讨论法。
分类讨论是⼀种逻辑⽅法，也是⼀种数学思想。
有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练⼈的思维条理性和概括性，所以在⾼考试题中占有重要的位置。
分类原则：分类的对象是确定的，标准是统⼀的，不遗漏、不重复、分层次，不越级讨论。
分类⽅法：明确讨论对象，确定对象的全体→确定分类标准，正确进⾏分类→逐步进⾏讨论，获取阶段性结果→归纳⼩结，综合得出结论。
Ⅰ、再现性题组：1. 集合A ＝{x||x|≤4,x ∈R}，B ＝{x||x －3|≤a ，x ∈R}，若A ?B ，那么a 的范围是_____。
A. 0≤a ≤1 B. a ≤1 C. a<1 D. 02. 若a>0且a ≠1，p ＝log a (a 3＋a ＋1)，q ＝log a (a 2＋a ＋1)，则p 、q 的⼤⼩关系是_____。
A. p ＝q B. p"q D.当a>1时，p>q ；当0"的值域是_________。
4. 若θ∈(0, π2)，则lim n →∞cos sin cos sin n nn n θθθ＋θ-的值为_____。
A. 1或－1B. 0或－1C. 0或1D. 0或1或－15. 函数y ＝x ＋1x的值域是_____。
A. [2,+∞) B. (-∞,-2]∪[2,+∞) C. (-∞,+∞) D. [-2,2] 6. 正三棱柱的侧⾯展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为_____。
A. 893B. 493C. 293D. 493或893 7. 过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线⽅程是_____。
A. 3x －2y ＝0B. x ＋y －5＝0C. 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0D.不能确定Ⅱ、⽰范性题组：例1. 设00且a ≠1，⽐较|log a (1－x)|与|log a (1＋x)|的⼤⼩。
常见的分类讨论
常见的分类讨论一、知识点睛分类讨论是解决复杂综合问题时的一种常用策略．当研究目标多变或问题情形复杂时，我们常根据某一标准来进行分类，进而将问题拆解成几个较为简单的问题来考虑，逐一解决后再将结果汇总得到整个问题的答案．影响目标多变或导致情形复杂的变化因素往往是几个因素共同作用所致；所以在分类时，通常要根据这些变化因素来逐层进行分类．导致分类讨论的常见因素：（1）图形变化导致的分类讨论①图形形状不确定．特征：图形残缺（无图）．如：题干中常伴随“直线（射线）、高（中垂线）、弦”等词语；动点问题中动点组成的三角形．②图形位置不确定．特征：点动、图形动导致图形形状不确定，常伴随图形形状不确定．注：图形类分类讨论问题往往需要综合考虑图形形状的确定要素和位置运动范围，才能顺利解决问题．（2）数学关系不明确导致的分类讨论①概念、性质本身分类．比如：圆与圆相切，a的绝对值．②指代不明确．比如：面积比为9:10，点G或点F落在y轴上，矩形长宽不确定，等腰三角形腰与一边，直角三角形一边．②对应关系不明确．常和形状不确定，位置不确定共同决定．比如：相似（全等）三角形的存在性问题．（3）含参类参数的取值不同，会使得问题情形变得复杂，一般需要对参数的取值范围进行分类．二、精讲精练1.在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6．若P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP=30°，则CP的长为______________．2. 点A ，B ，C 都在半径为r 的圆上，直线AD ⊥直线BC ，垂足为D ，直线BE⊥直线AC ，垂足为E ，直线AD 与BE 相交于点H ．若BH =，则∠ABC 所对的弧长等于________．3. 在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的直角梯形，则原直角三角形纸片的斜边长是___________．5325324. 在面积为15的平行四边形ABCD 中，过点A 作AE 垂直于直线BC 于点E ，作AF 垂直于直线CD 于点F ．若AB =5，BC =6，则CE +CF 的值为（ ） A．11+ B．11 C．11+或11D．11+1+5.劳技课上小敏拿出了一个腰长为8厘米，底边长为6厘米的等腰三角形，她想用这个等腰三角形加工成一个邻边之比为1:2的平行四边形，且该平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三角形的底角，其他顶点均在三角形的边上，则这个平行四边形较短边的长为__________．6.如图，射线QN与等边三角形ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=BM=2cm，QM=4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以1cm/s的速度向右移动，经过t s，以点P为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），则t的值为_______________．7.如图，∠AOB=45°，点O1在OA上，OO1=7，⊙O1的半径为2，点O2在射线OB上运动，且⊙O2始终与OA相切，当⊙O2和⊙O1相切时，⊙O2的半径为__________．8.当-2≤x≤1时，二次函数y=-(x-m)2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．74-BC ．2或D ．2或74-9. 已知y 关于x 的函数22(21)1y k x k x =-++的图象与坐标轴只有两个不同的交点A ，B ，且点P 的坐标为(4，2)，则△P AB 的面积为__________．10. 如图，在矩形ABCD 中，AD =5，AB =7，点E 为DC 上一个动点，把△ADE沿AE 折叠，当点D 的对应点D ′落在∠ABC 的平分线上时，DE 的长为__________．一点A ，过点A 作AH ⊥x 轴于点H ．在抛物线y =x 2（x >0）上取一点P ，在y 轴上取一点Q ，使得以P ，O ，Q 为顶点的三角形与△AOH 全等，则符合条件的点A的坐标是____________________________________．12. 如图，直线l 1⊥x 轴于点A (2，0)，B 是直线l 1上的动点，直线l 2：y =x +1交l 1于点C ，过点B 作直线l 3⊥l 2于点D ，过点O ，B 的直线l 4交l 2于点E ．当直线l1，l2，l3能围成三角形时，设该三角形的面积为S1，当直线l2，l3，l4能围成三角形时，设该三角形的面积为S2．（1）若点B在线段AC上，且S1=S2，则点B的坐标为________；（2）若点B在直线l1上，且S2S1，则∠BOA的度数为_______________．。
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常见分类讨论类型一、分类讨论思想在立体几何中的应用1 ．有四根长都为2的直铁条,若再选两根长都为a 的直铁条,使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架,则a 的取值范围是 （ ）A ．B ．(1,)C ．D ．(0,)【答案】【答案】A【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力.【解析】根据条件,四根长为2的直铁条与两根长为a 的直铁条要组成三棱镜形的铁架,有以下两种情况:(1)地面是边长为2的正三角形,三条侧棱长为2,a,a,如图,此时a 可以取最大值,可知AD=,SD=,则有<2+,即,即有(2)构成三棱锥的两条对角线长为a,其他各边长为2,如图所示,此时a>0; 综上分析可知a∈【编号】45690 【难度】较难2 ．共点的三条直线可以确定几个平面_______________【答案】1个或3个【编号】41766 【难度】简单二、分类讨论思想在集合中的应用3 ．已知集合22{|40},{|0}A x x x B x x ax a =+==++=，若B A ⊆，求实数a 的取值范围。
【答案】解：{0,4}A =-①B =Φ时，240a a ∆=-<，即04a <<4分 ②B ≠Φ时，即{0}B =或{4}B =-或{4,0}B =- 当{0}B =时，0a =满足题意；当{4}B =-，{4,0}B =-时，不满足题意10分 综上所述：a 的取值范围是04a ≤<12分【编号】36832 【难度】较难+228a <+=4 ．已知集合2{|230,}A x mx x m R =-+=∈，若A 中元素至多只有一个，求m 的取值范围。
【答案】解:①当0m =时，32x =，满足题意。
4分 ②当m ≠0时，方程2230mx x -+=至多只有一个解，则0∆≤，即4120m -≤，13m ∴≥10分综上所述，m 的取值范围是0m =或13m ≥12分【编号】36828 【难度】一般5 ．已知集合2{|(2)10,}A x x a x x R =+++=∈，若{|0}Ax R x ∈>=∅，求实数a的取值范围。
【答案】解：当A ≠∅时，由{|0}Ax R x ∈>=∅知A 的元素为非正数，即方程2(2)10x a x +++=没有正数根。
则由2(2)40(2)0a a ⎧∆=+-≥⎨-+<⎩，解得0a ≥当A =∅时仍满足{|0}A x R x ∈>=∅，此时2(2)40a ∆=+-<，解得40a -<<综上，的(4,)a ∈-+∞【编号】32168 【难度】较难三、分类讨论思想在函数中的应用6 ．求函数2||1y x x a =+-+的值域。
【答案】解：221()1x x a y f x x x a ⎧+-+⎪==⎨-++⎪⎩2213()()2413()()24x a x a x a x a ⎧++-≥⎪⎪=⎨⎪-++<⎪⎩ （1）当12a ≤-时，如图1知13()24y f a ≥-=-（2）当1122a -<<时，如图知2()1y f a a ≥=+（3）当12a >时，如图3 知，13()24y f a ≥=+综上所述：当12a ≤-时，值域为3[,)4a -+∞（2）当1122a -<<时，值域为2[1,)a ++∞ 当12a >时，值域为3[,)4a ++∞【编号】11218 【难度】较难7 ．已知二次函数.92)1(42)(22++---=a a x a x x f(1)若在[-1,1]上至少存在一个实数m,使得,0)(>m f 求实数a 的取值范围; (2)若对任意]1,1[-∈m ,都有0)(>m f ,求实数a 的取值范围【答案】解:函数)(x f 的图象是口向上的抛物线,其对称轴为x=a-1. 问题(1等价于“对于0)(],1,1[max >-∈x f x 有即可)讨论如下:①当0152)1()(,1012max >+--==≤≤-a a f x f a a 时即解得1535≤<-∴<<-a a②当076)1()(,1012max >++-=-=>>-a a f x f a a 时即解设7171<<∴<<-a a综上所述)7,5(,75-<<-的范围是即实数a a问题(2)等于“对于0)(],1,1[min >-∈x f x 有”讨论如下: ①当076)1()(,0112min >++-=-=<-<-a a f x f a a 时即 得01071<<-∴<∴<<-a a a②当时即20111≤≤≤-≤-a a恒成立时而当0763,20,763)1()(22min >++-≤≤++-=-=a a a a a a f x f20≤≤∴a③当0152)1()(,2112min >+--==>>-a a f x f a a 时即 得32235<<∴><<-a a a 又 综上所述,a 的范围是(-1,3)【编号】43953 【难度】较难 8 ．已知a 是实数,函数()2223f x ax x a =+--.如果函数()y f x =在区间[]1, 1-上有零点,求a 的取值范围.【答案】参考答案:略解:若0a=, ()23f x x =- ,显然在[]1, 1-上没有零点, 所以0a ≠.令 ()248382440a a a a ∆=++=++=, 解得32a -±=. ① 当a =时, ()y f x =在[]1, 1-上恰有一个零点; ② 当()()()()11150f f a a -⋅=--≤,即15a ≤≤时,()y f x =在[]1, 1-上也恰有一个零点.③当()y f x =在[]1, 1-上有两个零点时, 则()()20, 82440,111, 210, 10, a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪⎪⎪-⎩≥≥ 或()()20, 82440,111, 210, 10.a a a a f f <⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪⎪⎪-⎩≤≤ 解得5a ≥或a <. 综上所求实数a 的取值范围是1a ≥或a ≤. 考查内容:函数的零点与方程根的关系,一元二次方程根的存在性及根的个数 认知层次:b 难易程度:难【编号】42688 【难度】较难四、分类讨论思想在不等式中的应用9 ．解关于x 的不等式：11,(||1)ax a x a+>≠+． 【答案】解：原不等式可化为:10ax x a x a +-->+, (1)(1)0,a x a x a--->+即即(1)(1)()0a x x a --+>(1) 若1,a >则(1)()0x x a -+>,可得原不等式的解集为{|1}x x x a ><-或; (2) 若1,a <则(1)()0x x a -+<.①当11a -<<时,1,a -<得原不等式的解集为{|1}x a x -<<； ②当1a <-时,1a ->,得原不等式的解集为{|1}x x a <<-. 综上, ①当1a <-时, 原不等式的解集为{|1}x x a <<-; ②当11a -<<时,得原不等式的解集为{|1}x a x -<<； ③当1a >时,原不等式的解集为{|1}x x x a ><-或【编号】33684 【难度】较难10．已知集合A ＝{x||x ―a|＜ax ，a ＞0}，若函数()sin cos f x x x ππ=- （x A ∈）是单调函数，求a 的取值范围。
【答案】解：|x ―a|＜ax ⇔01(1)*x a x a ax x a x a ax a x a >⎧⎪⎪->-⇒>⎨+⎪-<⇒-<⎪⎩（）对于（*）当1a ≥时1a x a >-；当01a <<时1ax a-< ∴当1a ≥时原不等式解集为1a a +∞+（，）；当01a <<时解集为11a aa a+-（，）。
()sin cos )4f x x x x ππππ=-=-，当1a ≥时显然不单调。
()f x 的单调区间为132,2)44k k -+（和372,2)44k k ++（ ()k Z ∈而1012a a <<+，故11a a a a +-（，）13,)44⊆-（即：01114314a a a a a <<⎧⎪⎪≥-⎨+⎪⎪≤-⎩ ∴3(0,]7a ∈【编号】30901 【难度】较难 11．解关于x 的不等式：).(02R a ax ax ∈<-- 【答案】解：○1当a=0或1时,解集为；○2当a<0或a>1时解集为;○3当0<a<1时解集为.【编号】30775 【难度】较难五、分类讨论思想在排列组合中的应用12．有6个球，其中3个黑球，红、白、蓝球各1个，现取4个排成一排．问有多少种不同排法？【答案】解：把问题分为三类：第一类：取3个黑球，在三个彩球中取一个的取法有13C 种，在三个黑球所产的四个空中，选一个空给彩球有14A 种，因此取三个黑球的方法为1413A C ⋅＝12种．第二类：取2个黑球，在三个彩球中选两个有23C 种，然后在四个位置中给彩球两个位置有14A ，剩下两个位置给两个黑球，只有一种排法．故有2423A C ⋅＝36种．第三类：取一个黑球，把3个彩球全部取出有33C 种取法，四球的全排列为44P ，共有4433A C ⋅＝24种．所以满足条件的排法有1413A C ⋅＋2423A C ⋅＋4433A C ⋅＝72种．【编号】3768 【难度】很难六、分类讨论思想在数列中的应用13．已知二次函数2()()R f x x ax a x =-+∈同时满足:①不等式()0f x ≤的解集有且只有一个元素;②在定义域内存在120x x <<,使得不等式12()()f x f x >成立.设数列}{n a 的前n 项和()n S f n =.(1)求函数()f x 的表达式; (2)求数列{}n a 的通项公式;(3)设各项均不为零的数列{}n c 中,所有满足10i i c c +⋅<的整数i 的个数称为这个数列}{n c 的变号数.令1n nac a =-(n 为正整数),求数列{}n c 的变号数.【答案】(1)0)(≤x f 的解集有且只有一个元素,24004,a a a a ∴∆=-=⇒==或当a =4时,函数2()44(0,2)f x x x =-+在上递减 故存在210x x <<,使得不等式12()()f x f x >成立.当a =0时,函数2()(0,)f x x =+∞在上递增故不存在120x x <<,使得不等式12()()f x f x >成立. 综上,得a =4,2()44f x x x =-+. (2)由(1)可知244n S n n =-+, 当n =1时,111a s ==,当2n ≥时,1--=n n n s s a 22(44)[(1)4(1)4]n n n n =-+----+25n =-,11,1252n n n n a s s n n -=⎧∴=-=⎨-≥⎩(3)由题设3,141,225n n c n n -=⎧⎪=⎨-≥⎪-⎩, 3n ≥时,144,2523n n c c n n +-=---80,(25)(23)n n =>-- 3n ∴≥时数{}n c 列递增,410,3c =-< 410525n n ->⇒≥-,可知450c c ⋅<. 即3n ≥时,有且只有1个变号数;又12312233,5,3,0,0c c c c c c c =-==-⋅<⋅<即, 综上得数列}{n c 的变号数为3.【编号】48693 【难度】很难14．等比数列{}n a 中,123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 满足:(1)ln nn n n b a a =+-,求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】 解:(1)当13a =或110a =时,均不合题意当12a =时,当且仅当236,18a a ==时,因此12a =,236,18a a ==,所以公比3q =,故123.n n a -=⋅ (2)11(1)ln 23(1)ln(23)n n n n n n n b a a --=+-=⋅+-⋅123(1)[ln 2(1)ln 3]n n n -=⋅+-+-123(1)(ln 2ln 3)(1)ln 3n n n n -=⋅+--+-所以12(133)[11(1)](ln 2ln 3)[123(1)]ln 3n n n n S n -=++++-+++--+-+-++-所以,当n 为偶数时,132ln 33ln 311322n n n n nS -=⨯+=+-- 所以,当n 为奇数时,1312(ln 2ln 3)()ln 3132n n n S n --=⨯--+-- 13ln3ln 212n n -=---【编号】48001 【难度】一般七、分类讨论思想在圆锥曲线中的应用15．已知动直线l 与椭圆C :22132x y +=交于1122(,),(,)P x y Q x y 两不同点,且OPQ ∆的面积2OPQ S ∆=,其中O 为坐标原点.(1)证明:2212x x +和2212y y +均为定值;(2)设线段PQ 的中点为M ,求||||OM PQ ⋅的最大值;(3)椭圆C 上是否存在三点,,D E G ,使得ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===若存在,判断DEG ∆的形状;若不存在,请说明理由.【答案】(1)证明:①当直线l 的斜率不存在时,,P Q 两点关于x 轴对称所以1212,x x y y ==-,因为11(,)P x y 在椭圆上,因此2211132x y +=,又因为2OPQ S ∆=,所以11||||2x y =解得:11||||12x y ==,此时22123x x +=,22122y y += ②当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y kx m =+由题意知0m ≠,将其代入22132x y +=得:222(23)63(2)0k x kmx m +++-=其中 22223612(23)(2)0k m k m ∆=-+->,即2232k m +>(★)又212122263(2),2323km m x x x x k k -+=-=++所以||PQ ==因为点O 到直线l 的距离为d =所以21|||||223OPQm S PQ d PQ k ∆=⋅==+,又OPQS ∆=所以2232m k =+,整理得:22322k m +=,且符合(★)式 此时222221212122263(2)()2()232323km m x x x x x x k k-+=+-=--⨯=++ 222222*********(3)(3)4()2333y y x x x x +=-+-=-+=综上所述,22123x x +=,22122y y +=,结论成立.(2)解:因为222222121221214||||()()()()OM PQ x x y y x x y y +=++++-+-222212122[()()]10x x y y =+++=所以224||||102||||522OM PQ OM PQ +⋅≤==,即5||||2OM PQ ⋅≤当且仅当2||||OM PQ == 因此||||OM PQ ⋅的最大值为5.2(3)解:椭圆C 上是不存在三点,,D E G ,使得ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===证明:假设存在1122(,),(,),(,)D u v E x y G x y 满足2ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===由(1)得22222212123,3,3u x u x x x +=+=+=;22222212122,2,2v y v y y y +=+=+=解得:2221232u x x ===;222121v y y ===因此12,,u x x 只能从±中选取,12,,v y y 只能从1±中选取因此,,D E G 只能在(1)±这四点中选取三个不同点而这三点的两两连线中必有一条过原点,与2ODE ODG OEG S S S ∆∆∆=== 所以椭圆C 上不存在满足条件的三点,,.D E G【编号】48003 【难度】一般16．已知点(0,2)A ,过点A 作直线与抛物线22y x =-有且仅有一个公共点,求出直线方程.【答案】解⑴当过点A 的直线没有斜率时,方程为0x =与抛物线22y x =-切于点(0,0)｡⑵当过点A 的直线有斜率时设斜率为k ,方程为2y kx =+,代入22y x =-得:22(21)40kx k x +++=｡①当0k =时,直线为2y =,与抛物线22y x =-只交于一点(-2,2) ②当0k ≠时,△=0⇒14k =-,⇒ 直线:480x y +-= 综上所述:所求直线方程为0x =和2y =及480x y +-=｡【编号】42907 【难度】一般八、分类讨论思想在实际问题中的应用17. 有一批货物，如在本月初出售，可获利10万元，然后将本利都存入银行，每月利率为%4.2，如在下月出售，可获利12万元，但要付5.0万元货物保管费，试问这批货物在本月初出售合算还是下月初出售合算?解 设这批货物的成本a 万元．⑴ 若这批货物在本月初出售，将本利存入银行，到下月初货主有金额()()%4.2110++=a m ；⑵ 若这批货物在下月初出售，货主有金额为5.012-+=a n ；⑶ ()5.52024.026.1024.0-=-=-a a n m ，第11页，共11页 ∴当成本5.52>a 时，应该本月初出售合算；当成本5.52=a 时，在本月初出售或下月初出售都一样； 当成本5.52<a 时，在下月初出售合算．。