变异数分析(ANOVA)
方差分析原假设
方差分析原假设简介造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果形成影响的可控因素。
原理定义方差分析（anova）又称“变异数分析”或“f检验”，就是由罗纳德·费雪爵士发明者的，用作两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。
原理方差分析的基本原理就是指出相同处置组的均数间的差别基本来源存有两个：(1) 实验条件，即不同的处理造成的差异，称为组间差异。
用变量在各组的均值与总均值之偏差平方和的总和表示，记作ssb，组间自由度dfb。
(2) 随机误差，例如测量误差导致的差异或个体间的差异，称作组内差异，用变量在各组的均值与该组内变量值之偏差平方和的总和则表示，记作ssw，组内自由度dfw。
总偏差平方和 sst = ssb + ssw。
组内ssw、组间ssb除以各自的自由度(组内dfw =n-m，组间dfb=m-1，其中n为样本总数，m为组数)，获得其均方msw和msb，一种情况就是处置没促进作用，即为各组样本均源自同一总体，msb/msw≈1。
另一种情况就是处置的确存有促进作用，组间均方就是由于误差与相同处置共同引致的结果，即为各样本源自相同总体。
那么，msb\ue\uemsw(远远大于)。
msb/msw比值构成f分布。
用f值与其临界值比较，推断各样本是否来自相同的总体。
基本思想方差分析的基本思想是：通过分析研究不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。
举例分析：下面我们用一个简单的例子来说明方差分析的基本思想：如某克山病区测出11基准克山病患者和13名健康人的血磷值（mmol/l）如下：患者：0.84 1.05 1.20 1.20 1.39 1.53 1.67 1.80 1.87 2.07 2.11健康人：0.54 0.64 0.64 0.75 0.76 0.81 1.16 1.20 1.34 1.35 1.48 1.56 1.87问该地克山病患者与健康人的血磷值是否不同？从以上资料可以窥见，24个患者与健康人的血磷值各不相同，如果用离求逆平方和（ss）叙述其紧紧围绕总均值的变异情况，则总变异存有以下两个来源：组内变异，即由于随机误差的原因使得各组内部的血磷值各不相等；组间变异，即为由于克山病的影响使患者与健康人组的血磷值均值大小不等。
变异数分析ANOVA
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變異數分析介紹(實例)
在NCP公司的例子中，我們可得
σ2的處理間估計值(258)遠大於處理內估計值 (28.67)，事實上，這兩個估計值之比為 258/28.67＝9。
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變異數分析介紹
只有當虛無假設為真時，處理間估計值方為 σ2 的一個好的估計值；若虛無假設為偽，處理內 估計值將高估 σ2 。但處理內估計值則不論在何 種情況下，均為共同母體變異數 σ2的良好估計 值。因此，若虛無假設為真，此兩個估計值應 極為接近，它們的比也應接近1；如果虛無假 設為偽，處理間估計值應大於處理內估計值， 且它們的比應該較大。
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變異數分析介紹
每一組樣本之樣本內差異亦將影響變異數分析 之結論。當由每個母體中抽取一組隨機樣本時 ，每一組樣本的變異數均應為共同變異數σ2的 不偏估計值。因此，我們將結合共同變異數σ2 的每個個別估計值，成為一個總樣本估計值。 以此方式獲得的母體變異數σ2的估計值稱為σ2 之混合或 處理內估計值(pooled or withintreatments estimate)。 由於 σ2之處理內估計值乃每組樣本組內變異所 計算而得之樣本變異數，故不受母體平均數是 否相等之影響。當樣本大小相等時， σ2之處理 內估計值可由計算各個樣本變異數之平均數而 得。
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變異數分析介紹(實例)
工廠地點及品質認知測驗的成績為兩個變數。 由於我們的目的是要知道三間工廠的平均測驗 成績是否相同，我們稱測驗成績為應變數 (dependent variable)或 反應變數(response variable)，而工廠地點為自變數(independent variable)或因素(factor)。通常，因素的值亦稱 為因素的等級或是處理(treatments)。 亞特蘭大、達拉斯、西雅圖即為三個處理，我 們定義它們是研究中的三個母體。在每一個處 理或母體中，反應變數即為測驗的成績。
ANOVA
• 例2 某脑电图室观察家兔在注射不同剂量 的AT3后所造成的脑电图(EEG)波形变化有 无差别。同时考虑到不同种系的家兔EEG 波形变化可能也有所差异,故采用随机区组 设计安排实验以期同时分析AT3剂量和家兔 种系对EEG波形变化有无影响。
表3
注射不同剂量AT3的家兔脑电图δ波的变化(%)
处 理 组(AT3剂量) 小剂量 29 28 38 29 34 41 199 6 33.17 6747 中等剂 量 37 44 52 35 41 43 252 6 42.00 10764 较大剂 量 27 31 38 36 31 42 205 6 34.17 7155 大剂量 38 33 39 34 30 29 203 6 33.83 6951 131 136 167 134 136 155 859 24 35.79 31617 4 4 4 4 4 4 (∑X) (N) ( ∑Xj nj
SS区组间=∑ ν区组间=b-1
(7) (式⑧)(b为区组数) (式⑨) (式⑩) =311.46
SS误差=SS总-SS处理组间-SS区组间 ν误差=ν总-ν处理组间-ν区组间 本例: SS处理组间= ν处理组间=4-1=3
SS区组间=
ν区组间=6-1=5 SS误差=871.96-311.46-260.71=299.79 ν误差=23-3-5=15
(3) SS组内=SS总-SS组间
ν组间=K-1 ν组内=N-K
(4)
(5) (6)
SS组间
=0.001 647
SS组内=0.010 337-0.001 647=0.008 690 ν组间=3-1=2 ν组内=30-3=27
1.1.4 列方差分析表 求出检验统计量F值
表2 例1数据0.001647 0.008690 0.010337
多组样本之均数检定单因子变异数分析ANOVA
值』），其顯著性為 0.005 ＜ α=0.05 。故應棄卻每 組均數相等之虛無假設，也就是說三個地區之整體 滿意度存有顯著差異。南區的滿意度65.5要比其餘 兩區（58.11與47.7）來得高。 實際分析時，並不用每次去查表取得臨界值，只須 看變異數分析表上之『顯著性』，是否小於所指定 之 α 值即可。若『顯著性』＜ α ，即應棄卻每組均 數相等之虛無假設。
ANOVA 滿意度 組間 組內 總和 平方和 1445.678 2640.989 4086.667 自由度 2 24 26 平均平方和 722.839 110.041 F 檢定 6.569 顯著性 .005
依此結果：自由度為 (2,24) ， F 值 6.569 大於 α=0.05 時之臨界值 3.40 （可查『附錄四 F 分配的臨界
量表的檢定—多組
對於如，『 SPSS 範例 \Ch10\ 洗髮精購買考慮因素 .sav』，內有受訪者使用之洗髮精品牌及其購買考 慮因素的評價量表：
原問卷內容為：
之評價量表（極重要 =5 、 …… 、極不重要 =1 ）， 我們也經常得進行分組檢定。看對某一屬性之注重 程度，是否會因組別不同而有顯著差異？ 若僅分兩組，係以前章「分析 (A)/ 比較均數法(M)/ 獨立樣本T檢定(T)…」來進行檢定。若組數為兩組 以上，則以「分析(A)/比較均數法 (M)/單因子變異 數分析(O)…」來進行檢定。 若要以α=0.05之顯著水準，檢定各洗髮精購買考慮 因素的重要程度是否隨其使用品牌不同而存有顯著 差異？可以下示步驟進行：
多組樣本之均數檢定
單因子變異數分析（ ANOVA ）是用來檢定多組 （ >2 ）母群平均數是否相等？亦即， Z 與 t 檢定是 用於兩組資料比較平均數差異時；而比較二組以上 的平均數是否相
离差分析法
离差分析法离差分析法（ANOVA）又称变异数分析或F检验，其目的是推断两组或多组资料的总体均数是否相同，检验两个或多个样本均数的差异是否有统计学意义。
针对统计诊断中强影响点的挖掘这一重要方向，从数据分析的角度提出了一种新的度量方法———基于关联分析的离差度量法.理论分析和对比实验表明：该方法对数据服从的模式要求严格，不改变量纲，数值大小与原来指标是一致的；等于平均值的城市，离差值为零。
设各城市某一发展条件或潜力指标的具体统计数值为X i（i=1,2,3,···，n；n为城市个数），这一指标统计数值的平均值：X的平均值=X的总和除以n各城市该指标的离差值：d i=X i-X的平均值人均GDP的离差评价成渝经济区各城市（区、县）人均GDP水平：1999年，可以明显看出成渝经济区中的人均gdp水平较高，发展较好的是围绕成都市和重庆沙坪、北碚区为主的两个地方，其次在该区域西南部人均gdp水平较高，经济发展较早。
相比1999年，从2000年到2007年中，成渝经济区中部及西南部的多个县市人均gdp 出现持续增长，但是相反绵阳市出现了下降的情况，东北部的重庆万州区出现了gdp的迅速增长，在图中显示出明亮的黄色，到2006年位于成都与重庆之间的多个县市人均gdp也实现增长，同样，万州区经济发展良好。
到2011年出现，从成渝两城市之间的县市人均gdp显著提高，经济发展明显，重庆万州区的人均gdp持续升高，四川雅安市却出现了人均gdp的轻微下降。
从上面4幅图可以看出成渝经济区1999年，2003年，2007年和2011年四年的人均GDP 情况，通过对比和分析，人均GDP在逐年的增加。
四川省境内成都市处于领导地位，一直保持人均GDP水平最高，而其他地区人均GDP发展却很慢。
重庆境内渝中区一直处于领导地位，为成渝经济区的发展起到了带头作用，其它地区在它的影响下，发展速度也逐步加快。
下面来分析一下2011年的数据。
ANOVA单组样本要求
ANOVA单组样本要求
方差分析(Analysis of Variance，简称ANOVA)，又称“变异数分析”，是R.A.Fisher发明的，用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。
方差分析是建立在三项假定的基础上进行的：
1、样本数据符合正态分布；
2、样本数据满足方差齐性要求；
3、数据相互独立。
one way ANOVA就是有一个变量，two way就是有两个变量。
1、one-way ANOVA独立样本单因子变异数分析。
(one-way ANOVA, independent samples)
使用目的：比较三个(含)以上的平均数的差异。
使用时机：用在三个(含)互为独立的母群的差异比较。
2、two-way ANOVA独立样本二因子变异数分析。
(two-way ANOVA, independent samples)
使用目的：了解两个自变项(或属性变项、类别变项)对于某个依变项(观察变项)交互作用的影响。
使用时机：当有两个因子时，且这两个因子互为独立，若要了解其对某个观察变项有何交互作用的影响时，可使用此项统计方法。
例子：想要了解 A、B 两种药品在使用不同的剂量(轻、重)时对於治疗高血压是否有交互作用影响。
单变量变异数分析
Post Hoc Tests 事后比较
事后比较结果，采两两配对组别比较。从 Scheffe 方法作事后比较可以 看出以适用度而言，国外品牌显着高于国内品牌，国外品牌与组装电脑 没有显着差异，国内品牌与组装电脑没有显着差异。
范例结果整理如下：
1.叙述性统计量
2.变异数分析统计表
*P<.05 事后比较： 事后比较结果，以适用度而言，国外品牌显着高于国内品牌，国 外品牌与组装电脑没有显着差异，国内品牌与组装电脑没有显着 差异。
2.相依样本,有二种情形 (1)重复量数：同一组受测者, 重复接受多次(k)的测试以比较 之间的差异 (2)配对组法：选择一个与依变数有关控制配对条件完全相同, 以比较k组受测者在依变数的差异
10-3 变异数分析的基本假设条件
变异数分析的基本假设条件有常态、线性、变异数同质 性。我们介绍如下：
常态：直方图, 偏度(skewness)和峰度(kcat osis), 检定, 改正 (非常态可以透过资料转型来改正)
计算t值 t值 = u1 (平均数) - u2 (平均数) / 组的平均数标准差 u1 是第一组的平均数 u2 是第二组的平均数
查t crit标准值 在研究者指定可接受t分配型态 I (type I) 错误机率a (例如： 0.05或0.01) 样本1和样本2的degree of freedm = (N1+N2) – 2 我们可以透过查表, 得到 t crit标准值
➢F检定 除了t检定外，我们也常用F值来检定单变量多组平均数 是否颢着
10-5 单变量变异数分析范例
我们想了解不同年龄层 A组20 ~29岁，B组30 ~39岁，C组 40~49岁，对笔记型Bubble喜好程度是否有差异，随机抽取年 龄层各5个人，以1 – 10的分数请他们评分如下：
统计学中的变异性分析方法及其应用
统计学中的变异性分析方法及其应用统计学是一门研究数据收集、处理、分析和解释的学科，而变异性分析则是统计学中一项重要的研究方法。
变异性分析主要用于研究数据集中的差异和变化程度，帮助我们理解数据的分布规律和趋势，从而做出更准确的预测和决策。
本文将介绍几种常见的变异性分析方法及其应用。
一、方差分析（ANOVA）方差分析是一种比较不同组之间差异的统计方法。
它通过计算组内变异和组间变异的比值，来判断不同组之间是否存在显著差异。
方差分析广泛应用于实验设计和质量控制等领域。
例如，在医学研究中，我们可以使用方差分析来比较不同药物治疗组的疗效差异；在工程领域，方差分析可用于比较不同工艺参数对产品质量的影响。
二、回归分析回归分析是一种用于研究变量之间关系的方法。
它通过建立数学模型来描述自变量与因变量之间的关系，并通过分析模型中的残差来评估模型的拟合程度。
回归分析广泛应用于经济学、社会学、市场营销等领域。
例如，在经济学中，我们可以使用回归分析来研究GDP与就业率之间的关系；在市场营销中，回归分析可用于预测销售额与广告投入之间的关系。
三、方差分量分析方差分量分析是一种用于研究多个因素对总体变异的贡献程度的方法。
它将总体变异分解为不同因素的变异成分，并通过计算各个因素的方差比例来评估其对总体变异的影响程度。
方差分量分析常用于遗传学、生态学等领域。
例如，在遗传学研究中，我们可以使用方差分量分析来估计基因型、环境和遗传环境交互作用对某一性状的贡献程度。
四、时间序列分析时间序列分析是一种用于研究时间相关数据的方法。
它通过分析数据的趋势、季节性和周期性等特征，来预测未来的发展趋势。
时间序列分析广泛应用于经济学、气象学、股市预测等领域。
例如，在经济学中，我们可以使用时间序列分析来预测未来几个季度的经济增长率；在气象学中，时间序列分析可用于预测未来几天的气温变化。
综上所述，统计学中的变异性分析方法在各个领域都有着广泛的应用。
通过方差分析、回归分析、方差分量分析和时间序列分析等方法，我们可以更好地理解数据的差异和变化程度，从而做出更准确的预测和决策。
方差分析(ANOVA)
方差分析(ANOVA)一、方差分析的基本思想1. 方差分析的概念方差分析（ANOVA）又称变异数分析或F检验，其目的是推断两组或多组资料的总体均数是否相同，检验两个或多个样本均数的差异是否有统计学意义。
我们要学习的主要内容包括单因素方差分析即完全随机设计或成组设计的方差分析和两因素方差分析即配伍组设计的方差分析。
2. 方差分析的基本思想下面我们用一个简单的例子来说明方差分析的基本思想：如某克山病区测得11例克山病患者和13名健康人的血磷值（mmol/L）如下，患者：0.84 1.05 1.20 1.20 1.39 1.53 1.67 1.80 1.87 2.07 2.11健康人：0.54 0.64 0.64 0.75 0.76 0.81 1.16 1.20 1.34 1.35 1.48 1.56 1.87问该地克山病患者与健康人的血磷值是否不同？从以上资料可以看出，24个患者与健康人的血磷值各不相同，如果用离均差平方和（SS）描述其围绕总均数的变异情况，则总变异有以下两个来源：（1）组内变异，即由于随机误差的原因使得各组内部的血磷值各不相等；（2）组间变异，即由于克山病的影响使得患者与健康人组的血磷值均数大小不等。
而且：SS总=SS组间+SS组内v总=v组间+v组内如果用均方（即自由度v去除离均差平方和的商）代替离均差平方和以消除各组样本数不同的影响，则方差分析就是用组内均方去除组间均方的商（即F值）与1相比较，若F值接近1，则说明各组均数间的差异没有统计学意义，若F值远大于1，则说明各组均数间的差异有统计学意义。
实际应用中检验假设成立条件下F值大于特定值的概率可通过查阅F界值表（方差分析用）获得。
3. 方差分析的应用条件应用方差分析对资料进行统计推断之前应注意其使用条件，包括：（1）可比性，若资料中各组均数本身不具可比性则不适用方差分析。
（2）正态性，即偏态分布资料不适用方差分析。
对偏态分布的资料应考虑用对数变换、平方根变换、倒数变换、平方根反正弦变换等变量变换方法变为正态或接近正态后再进行方差分析。
统计学 变异数分析
双因子变异数分析
双因子变异数分析：考虑两个因子对试验单位可能产生的 影响。 在双因子变异数分析中，不仅要区分不同因子的个别效果， 还要考虑因子之间交互作用所产生的效果，又称之为交叉 效果(cross effect)。 假设第一类因子有N 种不同的处方，第二类因子有M 种处 方，而且每一试验单位都同时接受两类因子的处方，且每 一种处方的组合都有K 个反应变数。
但因φc 不拒绝虚无假设，因此推论两个因子并无因共同作 用而产生交叉效果。
双因子变异数分析
我们可以将「集区」视作与现有因子之间相互独立的另一 种因子，故随机集区设计下的单因子变异数分析亦可视作 一种特别的双因子变异数分析变异数分析方式。 由于此时两种因子只同时用于一个试验单位，这种变异数 分析可称作「无重复试验的双因子变异数分析」 。 在Excel中则称为「双因子变异数分析：无重复试验」。
完全随机设计--自由度与平均数
自由度就是试验单位的个数减去限制式的数目，因此其等 式为：
N – 1(TSS) =M – 1(FSS) + N – M(ESS)。
平均数如下：
MSF
FSS M 1
1 M 1
M J 1
N
j
Yj
Y
2
MSE ESS N M
1 N M
M Nj j1 i1
Yij Yj
例如:若想知道饲料品牌(因子)是否会影响乳牛(试验单位)，可 以观察在各种饲料品牌(处方)喂养下，牛乳产量(反应变數)的变 动情形。
完全随机设计
完全随机设计(completely randomized design)：一个试验 中，研究者将不同的处方以随机的方式分派给各个试验单 位的试验设计。 在完全随机设计下，对每一种处方，就会有一组反应变量， 而各组变量的个数可能各自不同。
变异数分析
完全隨機設計-- 例9.3
下表包含了不同教育程度下，人員的月平均薪資資料 (單
位:萬元)。
±Ð ¨| µ{ «×
°ê ¤
°ª ¤
¤j ¾Ç
3.3
3.6
4.3
2.8
3.2
3.9
3.1
3.5
4.1
變異數分析表為
變異來源 因子 誤差 總和
平方和 1.6467 0.2933 1.9400
自由度 2.0000 6.0000 8.0000
變異數分析--名詞定義
變異數分析最初是用來分析經過適當設計或控制的試驗所 產生的資料。 試驗單位(experiment unit)：接受試驗的人或物。 因子 (factor)：研究者所能控制或調整的因素。 處方 (treatment)：因子的各種水準或類別。 反應變數 (response variable)：試驗單位對不同處方的 反應。
F
MSF MSE
~
F(M
1, ( N
1)(M
1)).
檢定集區效果的檢定統計量為：
B
MSB MSE
~
F(N
1, ( N
1)(M
1)).
上述結果仍和三個反應變數的重要假設有關：獨立性、常 態性、變異數齊一性。
隨機集區設計—例9.5
下表是來自不同地區的員工薪資，我們將該表與地區名綜 合於下表。(單位: 萬元)
完全隨機設計
假設有 M 種處方。虛無假設為 M 種處方的均數一樣。 H0：μ1=μ2= …=μM。
令Y. j 代表第 j 組反應變數的平均數。
令 Y 代表全部樣本的樣本平均數。
完全隨機設計的重要公式：
總平方和 (TSS) = 因子平方和 (FSS) + 誤差平方和 (ESS)。
变异数分析
變異數分析1 基本概念一、研究之問題(ANOVA 之用途)變異數分析（Analysis Of Variation , ANOVA ）：檢定三個或三個以上的母體平均數是否相等的方法，或檢定因子（Factor ）對依變數是否有影響。
變異數分析是一種統計分析的方法，係將一組資料的變異，依可能發生的變異來源，分割為數個部份，亦即每一部份均可歸因於某原因（變異來源）；測度這些不同的變異來源，可瞭解各種變異是否有顯著差異；若有差異，則表示某依變異來源對資料具有顯著的影響作用。
若有K 個母體資料時，欲比較此K 個母體的母體平均數(i μ, I=1,2,…,K )是否相等(I.E.:0H k μμ== 1)。
二、 ANOVA 之前題假設1. 常態性假設(Normality)：假設K 個母體分布均為常態分布2. 同質性假設(Homogeneity)：假設K 個常態母體分布之變異數均相等 3. 獨立性假設(Independence)：假設K 個常態母體分布互相均獨立這些假設理論上都可利用原始數據一一加以檢定。
如果三個母體的平均數相等，則我們將預測三個樣本平均數會非常接近。
事實上，此三樣本平均數愈靠近，愈能支持母體平均數為相等的結論。
換句話說，樣本平均數間的差異愈大，則愈能支持母體平均數為不相等的結論。
所以，如果樣本平均數間的變異性「低」，則支持0H ；如果樣本平均數間的變異性「高」，則支持1H 。
若虛無假設0H ：321μμμ==為真，我們可利用樣本平均數間的變異性建立2σ的估計值。
而且果滿足變異數分析的前提假定的話，各樣本將來自平均數為μ且變異數為2σ的同一常態分配。
我們曾提到對抽自常態母體且樣本大小為N 之簡單隨機樣本而言，其樣本平均數X 的抽樣分配為平均數為μ且變異數為2σ的常態分配。
2σ的樣本間估計值係根據虛無假設為真的假設。
在這種情況下，各樣本來自同一母體，而且僅有一個X 的抽樣分配。
為說明0H 為偽的情況，假設母體平均都不相等。
变异数分析
• 雙因子變異數分析(Two-way ANOVA) --考慮兩個因子對依變項可能產生的影響
Ex: 不同教育程度對男女薪資的影響：
第一類因子為教育程度，第二類是性別，因此不 僅僅看教育程度對薪資的影響，更探討教育程度 對男生，對女生的薪資影響
Ш ± | { µ « × ª ¤ ° 3.6 3.2 3.5 2.5 2.3 2.7
• 如果你要檢定11歲學 童身高與10歲學童身 高兩個變異數是不是 一樣, 你就要用F • 只能說越接近零，如
資料來源
• .tw/sportscience/download/stat2005 1222.ppt#7 • 中正運休所應用統計學 • 基礎統計學, 五南圖書出版社, 吳冬 友、楊玉坤著 • 統計學，張振華，彭玉峰，徐偉鈞編著，文京出版社印行， 2003。 • 實用統計學，Andrew F. Siegel著，萬淑美，徐享田，徐享良， 蕭敦勝，王若愚共譯，文京出版社印行，2003。 • 統計學四版，陳順宇著，華泰書局印製，2004。 • 基礎統計學，陳順宇，鄭碧娥著，華泰書局印製，2004
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¤ ¾ j Ç 4.3 3.9 4.1 2.6 3.1 2.7
• 三因子變異數分析…等等 凡是雙因子以上的變異數分析皆通稱為 多因子變異數分析
•
以下，就以此例子來讓大家更了解 ANOVA： 某位老師想了解，講述法，啟發式教學 法，電腦輔助教學法對五年級學生的英 語成績是否有幫助？
Hale Waihona Puke 1. 此為單因子變異數分析:只探討不同教 學法對於單一群體的英語成績影響 自變項為教學法，依變項為英語成績
• 某位老師想了解，講述法，啟發式教 學法，電腦輔助教學法對五年級男女學 生的英語成績是否有幫助？ • 1. 此為雙因子變異數分析： 不僅僅可以比較不同教學法對學生英語 成績的影響，亦加入了對男女生英語成 績的比較。 在此，自變項有兩個因子 (教學法與性別)，而依變項為學生英語 成績。
ANOVA分析简介
ANOVA分析简介定义：1）方差分析（ANOVA）又称变异数分析或F检验，运用方差同时比较几个均值的一种统计检验方法，它不是比较成对的已明确的均值，而是对群体内的方差与群体间的方差进行比较。
2）2）方差检验是用来检验两个方差的比值（F值）是否明显大于1。
在P<0.05条件下，如果组间变异方差与组内变异方差的比值（F值）超过1，具有统计学意义，我们就可以判断：两组均数的差异具有显着性（95%置信水平）。
ANOVA的假设条件：1）样本对于母体或流程来说具有代表性；2）流程是稳定的；3）没有与时间相关的特殊原因；4）每组的方差是相同的；5）同时假定每组的分布是正态的；以上，若违反这些假定，可能导致在ANOVA分析中得出不正确的结论；实例：两家承运商均承担了Z城市的公路运输业务，现在从两家9月份的Z城市的运输时效（单位：小时）中各抽取10个样本，比较方差是否一致？1.检验是否正态。
路径：Stat>Baic stat>Normal.。
2.分析路径：Stat》ANOVA>one -way。
见下图，采用F-test的P-Value,0.083>0.05,判定两家承运商之间方差一致，即两家运作质量基本无差异。
One-way ANOVA: Data versus FactorAnalysis of Variance for DataSource DF SS MS F PFactor 1 17.62 17.62 3.36 0.083Error 18 94.41 5.25Total 19 112.03Individual 95% CIs For MeanBased on Pooled StDevLevel N Mean StDev ------+---------+---------+---------+A 10 20.227 2.259 (---------*---------)B 10 22.104 2.321 (---------*----------)------+---------+---------+---------+ Pooled StDev = 2.290 19.5 21.0 22.5 24.0备注：ANONA在业务层面应用不多，且具有上面一些限制条件（即数据必须是正态等），大家只需了解下一元分散分析即可。
统计学中的ANOVA分析
统计学中的ANOVA分析在统计学中的ANOVA（Analysis of Variance）分析是一种用来比较两个或更多个样本均值是否显著不同的方法。
它是一种常用的多组数据比较分析方法，在实际应用中具有广泛的应用领域和重要意义。
本文将从ANOVA的基本原理、假设条件、计算方法以及实际应用等方面进行阐述，以帮助读者更好地理解和运用ANOVA分析。
一、ANOVA分析的基本原理ANOVA分析基于总体均值的比较，它通过对组间变异和组内变异进行分析，判断组间是否存在显著差异。
其基本原理可归纳为以下几点：1. 整体均值与组内均值的比较：ANOVA分析首先计算数据的整体均值和各组的均值，通过比较整体均值和组内均值的差异，来判断是否存在组间差异。
2. 组间变异与组内变异的比较：ANOVA分析将样本数据分为不同的组别，通过计算组间的变异和组内的变异，比较两者的大小来确定组间差异的显著性。
3. 判断显著性：利用统计检验方法，计算ANOVA分析的F值，与给定的显著性水平进行比较，进而得出结论，判断各组间均值差异是否显著。
二、假设条件在进行ANOVA分析时，有一些基本的假设条件需要满足：1. 独立性：各观测值之间是相互独立的，即一个样本的观测值不会受到其他样本的影响。
2. 方差齐性：不同组别的样本方差是相等的，即各个总体方差相等。
3. 正态性：各组别的样本数据服从正态分布。
如果以上假设条件不满足，可能导致ANOVA分析结果不准确，需要采取相应的修正方法或选择其他适合的统计方法。
三、计算方法ANOVA分析主要包括两个方面的计算：组间平方和和组内平方和的计算。
1. 组间平方和（SSB）：用于衡量不同组别之间的变异程度，计算公式为：SSB = ∑(n₁·(x₁ - x)² + n₂·(x₂ - x)² + ... + nk·(x k - x)²)其中，n₁、n₂...nk为各组别的样本容量，x₁、x₂...x k为各组别的均值，x为总体的均值。
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A
B
C
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74
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78
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55
變異數分析的基本假設
• 1.每個反應變數的母體均為常態分配。 • 2.每個母體的變異數均相等。 • 3.抽自各母體的各組隨機樣本互為獨立。
tob t
X1X2
X1X2
nS1 1S n2S2 S 2n11n12
sW 2n11n12
事後比較（Posteriori comparison）
• 基於統計決策所所進行平均數考驗之後續考驗 （follow-up test）
• 在獲得顯著的F值之後所進行的多重比較，稱 為事後比較（posteriori comparisons）
變異數分析
ANOVA Analysis of Variance
變異數分析
• ANOVA
– Analysis of variance. – 一組資料發生總變異，依可能發生變異的來源
分割成幾個部份，測量這些變異來源，可了解 各變異間是否有差異。
ANOVA
• 平均數考驗方法
– 變異數分析=平均數差異的統計方法 – 探討類別變項對於連續變項的影響，平均數的差異成
k n j
k
k n j
(X ij X )2n j(X j X )2 (X ij X j)2
ji
j
ji
一般情形之完全隨機化設計的ANOVA表
F
F=MSB / MSE
完全隨機化設計的F檢定
H 0:12 K
FM MS SF E B (k1,nk)
reject H0
Example
•假設將12塊田地予以隨機分成A、B、C三組，其中兩塊施以甲肥料 ﹙A﹚與乙肥料﹙B﹚，第三塊田則不施肥﹙C﹚，其產量結果如下， 試求：
– 不同的組合，有不同的臨界值（基於不同的誤差）。
Scheff’s methed
• 事後比較，適用於n不相等的多重比較 • 此一方法對分配常態性與變異一致性兩項假定之
違反頗不敏感，且所犯第一類型錯誤（type I error）的機率較小。可以說是各種方法中最嚴格、 檢定力最低的一種多重比較。
Scheff’s methed
•Cohen（1996）甚至認為Scheffe執行前不一定要 執行F整體考驗
•因為如果F考驗不顯著，Scheffe考驗亦不會顯著
•但是如果F整體考驗顯著，那麼Scheffe檢定則可以 協助研究者尋找出整體考驗下的各種組合效果
(Y j Yk ) 2
F
p 1
MS within
1 n j
1 nk
隨機集區設計 (randomized block design)
13
11
10
事前比較（Priori comparison）
• 基於理論或研究者的特定需求所進行的平均數考驗， 又稱計畫性比較。
• 事前比較有其特定目的，因此不針對多次比較所累積 的第一類型錯誤的膨脹機率進行校正。
• 事前比較運用t-test即可： t分數的計算改用是對誤差 較佳的估計值。此時的自由度為N-K，查表D。
為主要分析重點 – 超過兩個以上的平均數的考驗。 – 運用F考驗來檢驗平均數間的變異量是否顯著的高於隨
機變異量，又稱為變異數分析。 – 平均數間的變異數（組間變異）除以隨機變異得到的
比值（F值），來取代平均數差異與隨機差異的比值（t 或Z值）
基本名詞
• 實驗單位(experimental unit)=實驗設計中所衡量 的基本對象。
• 實驗性錯誤（experiment-wise error）：
– 使整個研究的第一類型錯誤維持衡定，此種第一類型 錯誤稱為實驗性錯誤。（如HSD法）。
– 多組比較，用同一個臨界值（基於同一個誤差源）。
• 比較性錯誤（comparison-wise error）：
– 關心每一對配對比較的第一類型錯誤的一致性。（如 N-K法）。
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18
• Example
– 我們想了解甘藷的品種之蛋白質含量，今找出常見的三種甘藷品 種，從每品種中任取四塊，並測定其蛋白質含量，得下表。請比 較三種甘藷的蛋白質含量有無差異。 ﹙α=0.05﹚
品種
A
7
8
5
4
B
9
8
6
5
C
10
• 因子(factor)=衡量實驗單位的不同條件。 • 水準(level)=各因子所表現出的不同程度。 • 處理(treatment)=各因子的水準之特定組合。
• Example
• 假設將12塊田地予以隨機分成A、B、C三組，其中兩塊 施以甲肥料﹙A﹚與乙肥料﹙B﹚，第三塊田則不施肥 ﹙C﹚，其產量結果如下，試求：
•1.請說明ANOVA的基本假設？ •2.建立ANOVA表？ •3.檢定施肥與否對產量是否有影響﹙α=0.05﹚？ •4.本題為one factor ANOVA，or two factor ANOVA？
A
B
C
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60
70
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72
65
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• Example
– 某工廠欲了解4部機器的性能觀察其每小時產量，得到以下資料：
• 將某影響因子分割成很多集區，成為實驗單位再 隨機分派到不同處置(treatment)，每個處置都有 相同集區，進而去除此影響因子對測量值之影響。
• ﹙a﹚請問本題之因子﹙factor﹚、水準﹙level﹚為何？ • ﹙b﹚本題為one factor ANOVA，or two factor ANOVA？ • ﹙c﹚建立ANOVA表？ • ﹙d﹚檢定4部機器的產量是否有差異α=0.05﹚[F0.05(3,18)=3.16]？
機器
A
B
C
D
產量 10
SStotal=SSb+SSw
• SST：依變項觀察值的變異。全體樣本在依變項得分的變 異情形，即總離均差平方和。。
• SSB：導因於自變項影響的變異。組間離均差平方和。 • SSW：導因於自變項以外的變異，（隨機變異）。組內
離均差平方和。=SSE
• 各離均差平方和平均化後，得到均方和（MS），即為變 異數的概念。
• 一因子變異數分析(one factor ANOVA)：
– 只關心一個因子。
• 二因子變異數分析(two factor ANOVA)：
– 同時探討兩個因子。
k種處理方式完全隨機化設計的資料結構
• 總變異=組間變異+組內變異(殘差) • 總平方和=組間平方和+組內平方和(殘差平方和) • SST=SSB+SSW(SSE)