超静定结构的计算
超静定结构的计算
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单元10 超静定结构的计算【学习目标】1、掌握力法、位移法的基本原理,能用这些方法计算常用的简单超静定结构的内力;2、熟练应用力矩分配法计算连续梁和无侧位移刚架;了解超静定结构的特征。
【知识点】1、超静定结构的概念、超静定次数及确定;力法的基本原理、基本结构;典型方程;用力法计算简单的超静定梁和刚架;支座移动时单跨超静定梁的内力。
2、力矩分配法的基本原理;转动刚度、分配系数、传递系数、分配弯矩、传递弯矩;用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架。
【工作任务】任务1 用力法计算超静定结构任务2 用力矩分配法计算超静定结构【教学设计】通过对力法和力矩分配法的学习让学生理解这两种方法在解决超静定结构各有何特点,通过例题的讲解能使学生能更好地理解两种方法在解超静定结构的特点。
10.1 用力法计算超静定结构10.1.1 超静定次数的确定我们知道,超静定结构由于有多余约束存在,约束反力未知量的数目多于平衡方程数目,仅靠平衡方程不能确定结构的支座反力。
从几何组成方面来说,结构的超静定次数就是多余约束的个数;从静力平衡看,超静定次数就是运用平衡方程分析计算结构未知力时所缺少的方程个数,即多余未知力的个数。
所以,要确定超静定次数,可以把原结构中的多余约束去掉,使之变成几何不变的静定结构,而去掉的约束个数就是结构的超静定次数。
超静定结构去掉多余约束有以下几种方法:(1)去掉支座处的一根链杆或者切断一根链杆,相当于去掉一个约束。
图10-1(2)去掉一个铰支座或者去掉一个单铰,相当于去掉两个约束。
图10-2图10-1图10-2(3)去掉一个固定端支座或者切断一根梁式杆,相当于去掉三个约束。
图10-3(4)将一个固定端支座改为铰支座或者将一刚性连接改为单铰连接,相当于去掉一个约束。
图图10-4用去掉多余约束的方法可以确定任何超静定结构的次数,去掉多余约束后的静定结构,称为原超静定结构的基本结构。
对于同一个超静定结构来说,去掉多余约束可以有多种方法,所以基本结构也有多种形式。
《高等工程力学》1 超静定结构内力计算
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1 超静定结构内力计算
§1.1.4超静定结构的位移计算
按照虚功原理,计算超静定结构位移时,若忽略轴力及剪力的影响,其计算
公式为:
s
MM EI
ds
在平面结构中结构位移计算的一般公式为:
s
MM EI
ds
s
NN EA
同理可以求出一端固定一端铰支等截面直杆(图1-3a)的转角位移方程。设 B端为铰,则MBA=0
M AB
3i A
3i
l
M AB
(1-9)
当一端为固定另一端为滑动支承时(图1-3b),转角位移方程为。
M AB i A B M AB M BA iB A M BA
方程式代入,方程(1-11)中就只有各结点的转角作为未知数。如果结构中有n
个刚性结点,则可列出n个平衡方程。恰好解出方程中的n个基本来知数,即n个
刚性结点的转角。
解方程求出转角后再代回各杆端的转角位移方程中,就可以求出各杆端的内
力。
1 超静定结构内力计算
§1.2.3考虑结点及截面平衡法求解结构内力(续1)
§1.2.4利用典型方程求解结构的位移和内力
⑴ 位移法典型方程 设一刚架如图1-5所示。其位移法基本体系如图b所示。
图1-5
当基本体系产生的位移Zl、Z2与原结构的实际位移相等时,附加刚臂的反力 矩应与实际结构在该处的受力情况一致,即反力矩应为零。
R1 R11 R12 R1P 0
1 超静定结构内力计算
(1-5)
超静定结构的计算
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第二节力法
这样,原结构的内力计算问题就转变为基本结构在多余未知 力多的X余基1未本及知未荷力知载量Xq共1就,同是其作多余用余的下未计的知算内力就力。迎计刃算而问解题了了。。因只此要,设力法法求计出算
(二)力法方程 基本结构在月端不再受约束限制,因此在荷载y作用下月点
竖1小因5向-不此10位同基(d移而本)]向异结。下 , 构显由 的[然图于 变在15形X二-11位是者0(c移取共)]状代,同态了在作应被X用1与拆下作原去B用点结约下竖构束月向完对点位全原竖移一结向将致构位随,的移X即作向1的B用上点大,[图 的余方竖未向向知产位力生移X的1位△共移1同必应作须与用为原下零结,,构在也在拆就X除是1方约说向束基的处本位沿结移多构相余在等未已。知知即力荷X:载1作与用多 △1=0 这就是基本结构应满足的变形谐调条件,又称位移条件。
用结所构示11、上。产则12生△、的11、1沿3 △表X11示2方、单向△位的13可力相以X应1表=位1示移, X为,2=如1,X图3=151-分12别(c作),(用d)于, (基c),本(d) 11 11X1、12 12 X 2、13 13 X 3,上面儿何条件(15-2)
中的第一式可以写为:
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第一节超静定结构基本知识
(1)去掉支座处的一根链杆或者切断一根链杆,相当于去掉一 个约束,如图15-3 (a),(b)所示的两个结构都多出来一个约束, 都是一次超静定结构。
(2)去掉一个铰支座或内部的一个单铰,相当于去掉两个约束。 图15-4 (a), (b)所示的两个刚架都多出来两个约束,都是二次 超静定结构。
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第二节力法
用力法计算超静定结构在支座移动所引起的内力时,其基本 原理和解题步骤与荷载作用的情况相同,只是力法方程中自 由项的计算有所不同,它表示基本结构由于支座移动在多余 约第束五处节沿“多支余 座未 移知 动力 时方 静向 定所 结引 构起 的的 位位 移移 计算△”iC,所可述用方第法十求四得帝。 此外,还应注意力法方程等号右侧为基本结构在拆除约束处 沿多余未知力方向的位移条件,也就是原结构在多余未知力 方正向值的,已否知则实 取际 负位 值移 。值△i,当△i与多余未知力方向一致时取
第8章超静定结构的计算方法
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三次超静定拱
X1
X2
X3
e)
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3)撤除一 个固定铰支 座或撤除一 个内部单铰, 相当于解除 两个多余约 束。
二次超静定刚架
X1 X2X2来自X1X1X2二次超静定刚架
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4)撤除一 个固定端支 座或切断一 个刚性连接, 相当于解除 三个多余约 束。
三次超静定刚架
F
超静定梁,画出内力图。已知梁的抗弯
刚度EI为常数。 解2 (1) 属于一次超静定梁,得 到基本结构如图所示。 (2)建立力法典型方程。 A
A
l/2
C l/2 F
B
C
X1 M1图
B
11 X1+1F=0
(3)求系数和自由项
1 l l 2 l3 11 l EI 2 3 3EI
l Fl/2 M F图
处沿Xi方向的位移。
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c)
C
X1
f) B
C
X1=1
21
11
A d) B
11
X1倍
d) B
A
C
C
22
12
A
X2
X2=1 X2倍
12
A
ij=ij Xj
22
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21
B
1=11+12+1F= 0 2=21+22+2F= 0
ij 为多余约束力Xj=1时,基本结构在Xj 单独作用
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返回
1)撤除 一根支 承链杆 二次超静定梁
一次超静定桁架
X1
X1
a)
或切断
一根结 构内部
13超静定结构的计算6
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图2
பைடு நூலகம்
图3
三、位移法基本结构的确定 基本未知量确定后,在结点位移处增设约束(刚结点处增加刚臂 ,线位移处增加链杆),所得的结构称为位移法基本结构。
D
基本结构
图2
可见,在位移法中基本未知量的数目就等于基本结构上所应 具有的附加约束的数目。 四、单跨超静定梁的杆端弯矩和剪力 单跨超静定梁有三种类型: 杆端弯距和杆端位移正负号作如下规定:
2)基本体系
2)
2)基本体系
3)基本体系
3)
3)基本体系
链杆,相当去掉 1个约束 2)去掉一个铰支座或一个单 铰,相当去掉 2个约束 3)去掉一个固定端支座或切 断一根梁式杆,相当去掉 3个 约束 4)将—个固定端支座改为铰 支座或者将一刚性连接改为 单铰连接,相当去掉 1个约束 把去掉多余未知力和荷载的 静定结构称为力法的基本结构
第十三章
◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 课节13-1 课节13–2 课节13–3 课节13–4 课节13–5 课节13–6
超静定结构的计算
力法原理和典型方程 用力法求解超静定结构 位移法概念、基本未知量和转角位移方程 用位移法求解连续梁和超静定刚架 力矩分配法基本原理 用力矩分配法求解连续梁和无侧移刚架
课节13-1
4)求解多余未知力 5)绘制弯矩图
1 1 2 1 1 80 1680 1760 ( 2 20 2) (20 6 5 60 6 6) 3 EI 3 EI 3 EI EI 2 3 3 EI 2
352 1760 X1 0 3 EI 3 EI
X 1 5 kN
B
d) MP图
代入上式力法基本方程 :
l3 ql 4 X 1 ( )0 3 EI 8 EI
结构力学 力法计算超静定结构
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子项目一 力法计算超静定结构
情景一 超静定结构的基本特征
学习能力目标
1. 能够解释力法的基本概念。 2. 能够确定超静定的次数,得到静定的基本结构。 3. 了解超静定结构的特点。
项目表述
试分析如图 3 – 1 所示超静定结构,确定它的超静定次数。
情景一 超静定结构的基本特征 学习进程
情景一 超静定结构的基本特征 知识链接
② 去掉一个固定铰支座(图 3 – 6a)或拆去一个单铰相当于去掉两个约束(图 3 – 6b),可用两个多余未知力代替。
情景一 超静定结构的基本特征 知识链接
③ 去掉一个固定支座(图 3 – 7b)或切断一刚性杆(图 3 – 7c),相当于去掉 三链接
③ 超静定结构的内力和各杆的刚度比有关,而静定结构则不然。在计算超静定 结构时,除了用静力平衡条件外,还要用到结构的变形条件建立补充方程。而 结构的变形条件与各杆的刚度有关,在各杆的刚度比值发生变化时,结构各部 分的变形也相应变化,从而影响各杆的内力重新分布。利用在超静定结构中, 刚度大的部分将产生较大的内力,刚度较小的部分内力也较小的特点,可以通 过改变杆件刚度的方法来达到调整内力数值的目的。 ④ 在局部荷载作用下,超静定结构与静定结构相比,具有内力分布范围大,内 力分布较均匀,峰值小,且变形小、刚度大的特点。如图 3 – 9a 所示是三跨连 续梁在荷载 F 作用下的弯矩图和变形曲线,由于梁的连续性,两边跨也产生内 力和变形,最大弯矩在跨中为 0.175Fl。图 3 – 9b 所示是多跨静定梁在荷载 F 作用下的弯矩图和变形曲线,由于铰的作用,两边跨不产生内力和变形,最大 弯矩在跨中为 0.25Fl,约为前者的 1.4 倍。
情景一 超静定结构的基本特征 知识链接
1、静定结构与超静定结构静力计算公式(总结)
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静定结构与超静定结构静力常用计算公式一、短柱、长柱压应力极限荷载计算公式1、短柱压应力计算公式荷载作用点轴方向荷载AF =σ bhF =σ 偏心荷载)1(21xY i ye A F W M A F -=-=σ )1(22xY i ye A F W M A F +=+=σ )61(2,1hebh F ±=σ 偏心荷载)1(22xy y x xx y Y i ye i xe A FI xM I x M A F ±±=⨯±⨯±=σ )661(beh ebh F yx ±±=σ长短柱分界点如何界定?2、长柱方程式及极限荷载计算公式 支座形式图 示方 程 式极限荷载 一般式 n=1两端铰支 β=1y a dxy d ∙=222 ax B ax A y sin cos +=y F M EIFa ∙==,2 EI ln 222π EI l 22π一端自由他端固定β=2y a dxyd ∙=222 ax B ax A y sin cos +=EI l n 2224)12(π-EI l 224πy F M EIFa ∙==,2 两端固定 β=0.50)(22=-+F M y a dxyd A FM ax B ax A y A++=sin cos A M y F M EIFa +∙-==,2 EI l 224π EI l 224π 一端铰支他端固定 β=0.75)(222x l EI Q y a dx y d -=∙+)(sin cos x l FQax B ax A y -++=水平荷载-=Q EIFa ,2 ——EI l227778.1π注:压杆稳定临界承载能力计算公式:EI l P cr 22)(βπ=二、单跨梁的反力、剪力、弯矩、挠度计算公式 1、简支梁的反力、剪力、弯矩、挠度计算公式荷载形式M 图V 图反力 2F R R B A == L Fb R A =L Fa R B =2qL R R B A == 4qL R R B A == 剪力V A =R A V B =-R B V A =R A V B =-R B V A =R A V B =-R BV A =R A V B =-R B弯矩4max FL M =LFabM =max 82maxqL M = 122maxqL M = 挠度EIFL 483max=ω 若a >b 时,3)2(932maxab a EIL Fb +=ω(在)2(3b a ax +=处) EIqL 84max=ω EIqL 1204max=ω 注:1、弯矩符号以梁截面下翼缘手拉为正(+),反之为负(—)。
计算结构超静定次数的公式
![计算结构超静定次数的公式](https://img.taocdn.com/s3/m/add4ae67ff4733687e21af45b307e87101f6f8a2.png)
计算结构超静定次数的公式
结构超静定次数(SDOF,即单自由度系统)是一种描述动力学特性的重要工程
物理指标,它是对结构特性的重要衡量指标,也是在设计结构时明确可能受到的外力的一种有用的参考。
由于结构超静定次数的重要性,因此非常重要的就是计算每个结构的SDOF,即计算结构超静定次数的公式。
一般情况下,结构超静定次数的公式可分为定位法和统计法。
定位法的公式是:SDOF= 1/k+1/c+1/m,这里K为模态弹性系数,C为模态阻尼系数,M为模态质量系数。
统计法的公式涉及谱强度概率计算等方法,是一种自动计算方式,该方法可以精确地表达自动除去局部谐振的自激阻尼的系统的超静定次数,从而得出结构超静定次数。
尽管定位法和统计法都具有计算精确、效率高的优势,但由于计算结构超静定
次数时涉及模态参数摸索和较为复杂的反向计算,所以在实施计算过程中往往需要考虑多个利益相关方的功能要求,以便在整个过程中取得最优折中结果。
因此,在实际应用中,一般更合理采用可靠的统计法,以得出满足实际要求的最优超静定次数。
总的来说,结构超静定次数的公式不仅对合理设计结构十分重要,也为了保证
在极端情况下结构的可靠性而设计有重要意义。
因此,在实施结构设计时应首先确定结构超静定次数,以保证结构稳定,安全可靠。
05结构力学 第五章 超静定结构的内力和位移计算-1(唐雪松)
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δ11
1 EI
(1 2
l
l)( 2 3
l)
l3 3EI
D1P
1 EI
(1 l 3
ql 2 ) 2
3l 4
ql 4 8EI
X1
Δ1P δ11
3 ql 2 8
4
三、力法典型方程
力法典型方程就是多余约束处的位移方程。下面以图所示刚架为例,讨论力法方程 的一般形式。
D1=0, D2=0, D3=0
第五章 超静定结构的内力与位移计算
研究对象:超静定结构 主要内容:内力与位移计算 超静定结构特性:
(1) 几何构造特性:几何不变有多余约束体系 (2) 静力解答的不唯一性:满足静力平衡条件的解答有无穷多组 (3) 产生内力的原因:除荷载外,还有温度变化、支座移动、材料收缩、制造误差等,
均可产生内力。
原结构
力法基本结构
δ11 X1 δ12 X 2 Δ1P 0 δ21 X1 δ22 X 2 Δ2P 0
d11
1 2EI
(1 2
l
l)
2 3
l
l3 6EI
d12
d 21
1 2EI
(1 2
l l)l
l3 4EI
d 22
1 EI
(1 2
l l)
2l 3
1 2EI
(l l) l
5l 3 6EI
F 32
0.172 F 2
FN X 1FN1 FP
X1=1
FNP
d11 X 1
D1P
X1 2d EA
FN
若将上弦杆DE去掉,其基本结构如示。此时,在X1与荷载共同作用下,D、E两点沿轴方向的相对线位移不
为0,而应该等于杆DE的轴向缩短。
超静定结构内力计算
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六超静定结构內力计算1.什么是超静定结构?它和静定结构有何区别?答:单靠静力平衡条件不能确定全部反力和內力的结构为超静定结构。
从几何组成的角度看,静定结构是没有多余约束的几何不变体系。
若去掉其中任何一个约束,静定结构即成为几何可变体系。
也就是说,静定结构的任何一个约束,对维持其几何不变性都是必要的,称为必要约束。
对于超静定结构,若去掉其中一个甚至多个约束后,结构仍可能是几何不变的。
2.什么是超静定结构的超静定次数?答:超静定结构多余约束的数目,或者多余约束力的数目,称为结构的超静定次数。
3.超静定结构的基本结构是否必须是静定结构?答:超静定结构的基本结构必须是静定结构。
4.如何确定超静定结构的超静定次数?答:确定结构超静定次数的方法是:去掉超静定结构的多余约束,使之变为静定结构,则去掉多余约束的个数,即为结构的超静定次数。
5.撤除多余约束的方法有哪几种?答:撤除多余约束常用方法如下:(1)去掉一根支座链杆或切断一根链杆,等于去掉一个约束。
(2)去掉一个固定铰支座或拆去一个单铰,等于去掉两个约束。
(3)去掉一个固定端支座或把刚性连接切开,等于去掉三个约束。
6.用力法计算超静定结构的基本思路是什么?答:用力法计算超静定结构的基本思路是:去掉超静定结构的多于约束,代之以多余未知力,形成静定的基本结构;取多余未知力作为基本未知量,通过基本结构的位移谐调条件建立力法方程,利用这一变形条件求解多余约束力;将已知外荷载和多余约束力所引起的基本结构的内力叠加,即为原超静定结构在荷载作用下产生的内力。
7.什么是力法的基本结构和基本未知量?答:力法的基本结构是:超静定结构去掉多余约束后得到的静定结构。
力法的基本未知量是对应于多余约束的约束反力。
8.简述n次超静定结构的力法方程,及求原结构的全部反力和內力的方法。
答:(1)n次超静定结构的力法方程对于n次超静定结构,撤去n个多余约束后可得到静定的基本结构,在去掉的n个多余约束处代以相应的多余未知力。
05-3结构力学 第五章 超静定结构的内力和位移计算(5.2节 位移法)ok
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如: 1 2
3
1 2
1
3
这样即可使12、13杆 成为单跨超静定梁
2、附加链杆支座约束:为使杆件两端相对线位移被约束而在结点上附加的约 束阻止结点移动的装置。
如:1
3
用“
” 表示
2 1 3
结构变形时,显然13杆可沿水平方向移动, 同时刚结点1也可能发生转角,要使各杆独立成为 单跨超静定梁。 需在1结点上附加刚臂约束 同时还需加附加链杆支座以阻止13杆的水平线 位移。
r11Z 1+ r12Z 2+ · · · · + r1nZ n+R1P=0
位移法 – 刚度法
ri j=rj i
反力互等定理
位移法典型方程,简称为位移法方程 – 结构的刚度方程
主系数,rii>0 r12 ...... r1n Z1 R1P r11 r Z R r ...... r 2P 22 2n 2 21 ri j=rj i 反力互等定理 0 ...... ...... ...... ...... rn 2 ...... rnn Z n RnP rij=rji,Rip,>0,=0,<0 rn1
F M AB ql 2 / 12 F M BA ql 2 / 12
F A l/2 l/2 B
Fl/8 A
Fl/8
F M AB Fl / 8
B
F M BA Fl / 8
q
ql2/8 B A B
F M AB ql 2 / 8
A
F A l/2 l/2 B
3Fl/16 A B
EI=
Z1 Z2
EI=
力法计算超静定结构举例
![力法计算超静定结构举例](https://img.taocdn.com/s3/m/14d0177baef8941ea66e055c.png)
3)计算系数和自由 绘 N1 和NP 。 项
11
1 EA
1
1
3
4 3
4 4 2 ( 3
5 ) ( 3
5 3
)
5
3
45 EA
1P
1 EA
(75) (
5)5 3
60
4 3
4
945 EA
例:用力法计算图示桁架的轴力。(各杆EA相等且为常数)
4)计算多余未知力X1
945
X1
1P
11
EA 45
21(kN)
EA
5)作最后内力图
N=N1X1+NP
四、超静定组合结构
五、力法计算铰接排架
例:用力法计算图示铰结排架,并作弯矩图。
解:1)选取图示基本体系 2)力法方程为: 11X1 1p 0 3)绘单位弯矩图M1和 荷载弯矩图MP
3)绘单位弯矩图M1和荷载弯矩图
MP
11
2 EI
(1 3 3 2
EA
EA
ip
NiN EA
p
dx
NiN EA
p
l
各杆的最后轴力按下式计算:
N N1X1 N2 X2 Nn Xn N p
例:用力法计算图示桁架的轴力。(各杆EA相等且为常数)
解:1) 确定基本体系(如图所示) 2)建立力法方程:
11X1+△1P=0 (基本体系在切口两边截面沿X1方向
取结点A为脱离体 取结点C为脱离体
Y 0,
2 RA 5 ql
()
Y 0,
RC
ql 2
3 ql 5
11 ql 10
()
讨 ①超静定结构在荷载作用下其内力与EI 的实际值无关,只与EI的相对值有关;
7.8超静定结构的位移计算
![7.8超静定结构的位移计算](https://img.taocdn.com/s3/m/4eef50f0360cba1aa811dac1.png)
1 l/4 l/4
1
1 ( FP l ) 4
M图
M 1 图之一
M 1 图之二
解:(1)作原超静定结构的最后弯矩图 (2)作虚拟力状态下的单位弯矩图 (3)用图乘法求位移
ΔDV Ay MM 1 ds 0 EI EI EI 3FP l 3 () 1408EI
A B
q
a l
3EI a (q ) l l
M图
解: (1)作原超静定梁 的 最后弯矩图
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q
A B
q
a l
3EI a (q ) l l
M图
1
FR 1
1
M 图
(2)作虚拟力状态下的单位弯矩图 (3)计算位移:
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• 计算超静定结构位移的基本思路:利用基本体系求原结构的位移.
将计算出的多余未知 力作为外荷载
超静定结构
静定结构
• 计算超静定结构位移的步骤
1、解超静定结构,作超静定结构的最终内力图;
2、取原结构的任一基本结构作为虚拟状态,并作虚拟力状态下 的单位内力图;
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§1.3超静定结构的计算超静定结构是具有多余约束的几何不变体系,仅根据静力平衡条件不能求出其全部支座反力和内力,还须考虑变形协调条件。
计算超静定结构的基本方法是力法和位移法。
这两种基本方法的解题思路,都是设法将未知的超静定结构计算问题转换成已知的结构计算问题。
转换的桥梁就是基本体系,转换的条件就是基本方程,转换后要解决的关键问题就是求解基本未知量。
1.3.1力法力法是以多余未知力为基本未知量、一般用静定结构作为基本结构,以变形协调条件建立基本方程来求解超静定结构内力的计算方法。
超静定结构多余约束(或多余未知力)的数目称为超静定次数,用n表示。
确定超静定次数的方法是:取消多余约束法,即去掉超静定结构中的多余约束,使原结构变成静定结构,所去掉的多余约束的数目即为原结构的超静定次数。
在结构上去掉多余约束的方法,通常有如下几种:●切断一根链杆,或者移去一个支座链杆,相当于去掉一个约束;●将一个固定支座改成固定铰支座,或将受弯杆件某处改成铰接,相当于去掉一个抗转动约束;●去掉一个联结两刚片的铰,或者撤去一个固定铰支座,相当于去掉两个约束;●将一梁式杆切断,或者撤去一个固定支座,相当于去掉三个约束。
现以图1-26a所示一次超静定结构为例,说明力法的基本原理。
其中,要特别重视力法的三个基本概念。
图1-261、力法的基本未知量:取超静定结构中的多余未知力(如图1-26a 中的X1)作为力法的基本未知量,以X i表示。
多余未知力在超静定结构内力分析中处于关键的地位,因此,有必要将其突出出来,作为主攻目标。
力法这个名称也因此而得。
2、力法的基本体系:将原结构中的多余约束(如图1-26a中的支座B)去掉,所得到的无任何外加因素的结构,称为力法的基本结构(图1-26b);基本结构在荷载和多余未知力共同作用下的体系,称为力法的基本体系(图1-26c)。
在基本体系中,仍然保留原结构的多余约束反力X1,只是把它由被动力改为主动力,因此基本体系的受力状态与原结构完全相同。
由此看出,基本体系本身既是静定结构(可方便计算),又可用它代表原来的超静定结构。
因此,它是由静定结构过渡到超静定结构的一座桥梁。
3、力法的基本方程:为求多余未知力,除平衡条件外,还须补充新的条件,即利用原结构的已知变形条件。
在本例中,基本体系沿多余未知力X1方向的位移Δ1应与原结构支座B处的竖向位移相同,即Δ1=0(a)由图1-26d和e可知,变形条件(a)可表示如下:(b)根据叠加原理,,于是可进一步将变形条件写成显含多余未知力X1的展开形式为(1-23)这就是在线性变形条件下一次超静定结构的力法基本方程,其实质是变形条件。
(三)多次超静定结构的计算三对于n次超静定的一般情形,力法的基本未知量是n个多余约束力X1,X2,…,X n;力法的基本体系是以原结构中去掉n个多余约束,而代之以相应的n个多余未知力后所得到的静定结构;力法的基本方程是在n个多余约束处的n个变形条件——基本体系中沿多余未知力方向的位移应与原结构中相应的位移相等。
在线性变形体中,根据叠加原理,n个变形条件通常可写为(1-24)式(1-24)为n次超静定结构在荷载、温度改变、支座移动等因素共同作用下力法基本方程的一般形式,因为不论结构是什么型式、结构的基本未知量和基本体系怎么选取,其力法基本方程均为此形式,故常称为力法典型方程。
在方程(1-24)中,系数和自由项、、都代表基本结构的位移。
位移符号中采用双下标表示,第一个下标表示位移的方位,第二个下标表示产生位移的原因。
例如:——基本结构在单独作用下,沿方向的位移;、、——基本结构在荷载、温度改变、支座移动单独作用下,沿方向的位移;——原结构沿方向的实际位移。
解力法方程(1-24)得到多余未知力,,…,X n的数值后,超静定结构的内力可根据平衡条件求出,或根据叠加原理用下式计算:(1-25)式中、和是基本结构由于=1作用而产生的内力,、和是基本结构由于荷载作用而产生的内力。
在应用式(1-25)第一式画出原结构的弯矩图后,也可以直接应用平衡条件计算和,并画出图和图。
(四)力法解题步骤1.确定超静定次数n;2.选择力法的基本体系;3.建立力法典型方程(根据基本体系沿多余未知力方向的位移与原结构相应位移相等的条件);4.计算系数、和自由项、、(为此,须作出基本结构的各单位内力图和实际荷载内力图,由相应的位移计算公式求出);5.解力法典型方程,求出基本未知量;6.作结构内力图(将已求出的视为外力,根据基本体系的平衡条件,直接求内力;或根据叠加原理,利用式(1-25)计算);7.校核(一般可分两步进行:一是利用平衡条件校核,这是必要条件;二是根据已知变形条件校核,这是充分条件。
详见本节第五部分“超静定结构最终内力图的校核”)。
【例1-16】试用力法作图1-27a所示结构的内力图。
设各杆刚度的比值为,。
图1-27解:(1)确定超静定次数:n=1(此结构为一次超静定组合结构)。
(2)选择力法基本体系,如图1-27b所示。
(3)建立力法典型方程:(4)计算系数和自由项:绘出基本结构的图及图,并求出DB杆的轴力及(图1-27c、d)。
计算系数及自由项时,对梁杆只考虑弯矩影响,对桁杆应计算轴力影响。
由位移计算公式可求得(5)解力法方程,求:将以上和值代入力法方程,可解得()(6)作内力图:按叠加公式作原结构弯矩图,如图1-27e所示。
再根据弯矩图作出剪力图,如图1-27f所示。
再由剪力图作出轴力图,如图1-27g 所示。
【例1-17】试求图1-28a所示刚架由于温度改变所产生的弯矩图。
各杆截面为矩形,高度,线膨胀系数为α。
设E I=常数。
图1-28解:(1)确定超静定次数:n=1。
(2)选择力法基本体系,如图1-28b所示。
(3)建立力法典型方程:(4)计算系数和自由项:绘出基本体系的图及图,如图1-28c、d 所示。
由位移计算公式可求得(5)解力法方程,求:将以上和值代入力法方程,可解得:()(6)作最终弯矩图:,如图1-28e所示。
由计算结果可知,在温度变化影响下,超静定结构的内力与各杆刚度的绝对值有关。
【例1-18】图1-29a所示结构的A支座发生了水平位移a=0.5c m(向右),b=1c m(向下),,已知各杆的抗弯刚度。
试绘制M图。
图1-29解:(1)确定超静定次数:n=1。
(2)选择力法基本体系,如图1-29b所示。
(3)建立力法典型方程:(4)计算系数和自由项、:绘出基本体系的图及图(图1-29c、d),并求出虚设单位力作用下的支座反力(图1-29c),由图乘法及支座移动时的位移计算公式可求得(5)解力法方程,求:将以上、、代入力法方程,可解得(↓)(6)作最终弯矩图:由叠加法可作出最终弯矩图,如图1-29e所示。
(五)结构对称性利用利用结构对称性简化计算的前提条件是结构必须具有对称性,对称结构是指结构的几何形状、支承条件的刚度分布均对称于某轴,该轴为结构的对称轴。
对称结构的受力和变形特点是:在正对称荷载作用下,变形是对称的,弯矩图和轴力图是对称的,而剪力图是反对称的;在反对称荷载作用下,变形是反对称的,弯矩图和轴力图是反对称的,而剪力图是对称的。
利用这些特点,计算对称连续梁或对称刚架时,只须计算这些结构的半边结构,这种方法称为等效半边梁法或等效半刚架法。
取半边结构代替原结构计算,能降低超静定次数,从而达到简化的目的。
选取半边结构的基本原则是:在结构对称轴切口处,按原结构的受力和变形设置相应的支承,得到原结构的等效半边结构。
其具体作法见图1-30(在正对称荷载作用下)和图1-31(在反对称荷载作用下)。
图1-30正对称荷载作用下的等效半刚架图1-31反对称荷载作用下的等效半刚架【例1-19】试作图1-32a所示刚架的弯矩图。
设E I=常数。
图1-32解:此结构是一个对称结构,由于荷载是反对称的,故取半边结构如图1-32b所示(注意:将中柱的抗弯刚度减半)。
再取基本体系如图1-32c所示。
建立力法典型方程如下:分别作出和图,如图1-32d、e所示,由图乘法可得代入典型方程可解得(↓)由叠加公式作半边结构弯矩图,如图1-32f所示。
由对称性得原结构的弯矩图,如图1-32g所示。
1.弹性支座是指受力后将发生位移,而外力解除后位移便可消失的支座。
在工程实际中,可见于支承在细长柔性墩上的连续梁、桥梁中的桥面梁、建筑工程中的交叉梁楼面等实例中。
2.弹性支座的柔度系数(通常用表示)定义为,弹性支座在单位力作用下,沿力的方向所引起的位移。
例如柔性墩柱化为弹性支座,其,其中h为墩柱的长度,E A为墩柱的刚度。
3.用力法计算具有弹性支座的结构时,可按组合结构的位移计算公式计算,即(1-26)式中第一项为弯曲变形对位移的影响,第二项为弹性支座本身的变形对位移的影响;、和分别为基本结构在各单位力和荷载作用下,在各弹性支座中所产生的轴力,亦即等于支座反力、和,可对比具有弹性支座的位移计算公式(1-7)。
【例1-20】试作图1-33a所示连续梁的弯矩图。
图中,A、B、C处均为弹性支座,各弹簧柔度系数相同,即,梁的。
图1-33解:(1)确定超静定次数:n=1。
(2)选择力法基本体系,如图1-33b所示。
(3)建立力法典型方程:(4)计算系数和自由项:绘出图和图,并分别求出相应的各支座反力,如图1-33c、d所示。
由位移计算公式(1-26)可得(5)解力法方程,求:()(6)作最终弯矩图,如图1-33e所示。