线形空间的维数与基

浅谈线性空间的维数与基

摘要

本文通过对有限维线性空间中基和维数的讨论，总结出了有限维线性空间的基和维数的求解方法，并且，用不同的方法对线性空间的基和维数的应用进行了探讨.

关键词：线性空间；维数；基；同构；子空间

THE DISCUSSING TO THE DIMENSIONS AND

BASES OF LINEAR SPACE

ABSTRACT

In this paper, by discussing dimensions and bases of finite dimensions linear space, we Summarizes the methods to soluting dimensions and bases of finite dimensional linear space. Moreover, the application of the bases and dimensions are discussed in different ways.

Keywords: linear space; dimension; base; isomorphism; subspace .

目录

摘要 (1)

关键词： (1)

ABSTRACT (2)

一、基本概念 (4)

二、线性空间的基和维数求解方法 (5)

2.1、定义法 (5)

2.2、利用相关定理求维数与基 (8)

三、线性空间基和维数的应用 (10)

3.1、次子空间的应用 (10)

3.2、在同构线性空间中的应用 (12)

四、有限维线性空间基的扩充 (13)

五、参考文献 (15)

致谢 (15)

一、基本概念

定义1.2、U 中向量集H 如果满足下述两个条件，

① 向量集H 是线性相关的；

② U 中每一个向量可以由H 中有限个向量线性表出；

则H 是U 的一个基，只含0向量的基是空集。

定义1.3、U 称为有限维的，如果U 有一个基包含有限多个向量，否则U 称为无限维的，有限维线性空间的一个基所含向量个数称为U 的维数。

定义1.4、域S 上线性空间V 的一个非空子集V ，如果对于U 的加法与纯量乘法也形成S 上的线性空间，则V 是U 的线性子空间，简称子空间。

定义1.5、在U 中取向量1∂，2,∂，s ∂；由它们的所有线性组合构成的集合 {1122S s s i m m m m ∂+∂++∂∈ i=1,2,s }是U 的一个子空间，称为由1∂，2,∂，s ∂生成的子空间，记作<1∂，2,∂，s ∂>。

定义1.6、设U 与U '都是域F 上的线性空间，如果有U 到U '的一个双射τ，使得对,,A B V m S ∀∈∈有

()()()A B A B τττ+=+

()()mA m A ττ=

那么τ是U 与U '的一个同构映射，如果U 与U '有一个同构映射，则称为U 与U '同构，

记作 U U '≅

二、线性空间的基和维数求解方法

在高等代数学科中，线性空间比较抽象，对于有限维的线性空间来说，维数和基的求解也是必须了解和掌握的内容，本文在此将对有限维线性空间的基和维数求解方法作总结和探讨。

2.1、定义法

利用线性空间维数和基的定义，可求解一些简单线性空间的维数和基。 例2.1.1、令V={（,i v i αβμ++）α，β，v ，μ∈R}∈则U 对二元向量的加法与数量乘法运算作成C 上的线性空间，分别用dim c U 和dim R U 表示它们的维数，求dim c U 和dim R U 及相应的基。

解：I ：对复数域而言，(,)(,)a b i v i U αβμ∀=++∈，

(,)(1,0)(0,1)a b a b =+ ，

(0,1),(1,0)是C 上线性空间的一个生成系，线性无关，所以是该空间的一个基

∴dim c U=2。

Ⅱ、对实数域而言(,)(;)a b i v i U αβμ∀=++∈，

(,)(1,0)(,0)(0,1)(0,)a b i v i αβμ=+++，

于是：),0(),1,0(),0,(),0,1(i i 是R 上的一个生成系，也线性无关从而是U 的一个基，于是:

dim R U=4。

例2.1.2、求F M 3中的所有与B 可交换的矩阵所构成的子空间ℵ的维数和

一个基，其中：100010312B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

。 解：易证F M 3中的所有与B 可交换的矩阵构成F M 3的一个子空间，任取A ，M ，N ∈F M 3，设：

11

121321

2223313233e e e A e e e e e e ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

， 111213212223112131122232

132333323232e e e BA e e e e e e e e e e e e ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥++++++⎣⎦， 1113

1213132123

22232331333233332323e e e e e AB e e e e e e e e e e ++⎡⎤⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥++⎣⎦

， 由AB=BA 得:13233312113122

1232033e e e e e e e e e ===⎧⎪=--⎨⎪=--⎩，

11121131

1232313203300e e M e e e e e e ⎡

⎤⎢⎥=----⎢⎥⎢⎥⎣⎦=11100300000e ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦+12010030000e ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦

+31000100100e ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦+32000010010e ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦

， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-000003001，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-000030010，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-001001000，⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-010010000∈ℵ

,它们线性无关，