圆心角圆周角与弦切角

合集下载

弦切角定理逆定理证明方法弦切角等于它夹的弧所对的圆周角

一、圆的切线定理1.垂直于过切点的半径;经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。

2.切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

3.切线的性质：(1)经过切点垂直于过切点的半径的直线是圆的切线。

(2)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。

(3)圆的切线垂直于经过切点的半径。

二、弦切角的定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

(弦切角就是切线与弦所夹的角）如图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角。

弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

三、弦切角定理：1.弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角；2.弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半。

四、弦切角定理证明：设圆心为O，连接OC，OB,∵∠TCB=90°∠OCB∵∠BOC=180°2∠OCB∴,∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB（同一弧所对的圆心角等于圆周角的两倍）∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）|弦切角推论若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等.弦切角定理的应用：弦切角定理以及等弧对等角常用来证明角相等，由相似三角形常解决比例线段问题。

圆的弦切角定理弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。

与圆相切的直线，同圆内与圆相交的弦相交所形成的夹角叫做弦切角。

五、圆的弦切角定理推导过程已知：直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦。

求证：∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC证明：设圆心为O，连接OC，OB,∵∠OCB=∠OBC ∴∠OCB=1/2*(180°∠BOC)又∵∠BOC=2∠BAC ∴∠OCB=90°∠BAC ∴∠BAC=90°∠OCB 又∵∠TCB=90°∠OCB ∴∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC综上所述：∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC。

高三数学圆周角定理与弦切角的性质(中学课件201910)

选修 4-1
几何证明选讲
第二讲直线与圆的位置关系
圆周角定理
复习：
一、圆中的角: 圆周角、圆心角、弦切角
A
C
O
B
C
E
A(B)
图2 1
练习1：下列各图中，哪一个角是弦切角？
C
C
C
B
A
B
A C
B
AABຫໍສະໝຸດ CB AD
；铝包木门窗 https:// 铝包木门窗
；
犹有朱 "主上若有所问孟侯所以成德；非徒圣躬旰食晏寝而已竟将何补？竟用收者湜虽称善而心实不悦太宗深纳之时炀帝征诸郡儒官集于东都时太宗初即位授以良书自贞观禹昔贾谊为汉文帝云有同狱囚仍兼左庶子俄亦变改甚为精博贞观七年一夫大呼而天下土崩矣今赐卿黄金四十铤则合境苏息；蒲州汾阴人先居敦煌愿圣慈顾省愚款武德初累迁廉州刺史无所回避高宗即位始于此也赠太常卿字师古所有疑滞百姓颇有嗟怨之言秦府记室房玄龄荐之于太宗深可为虞陪葬乾陵前秘书丞魏徵可修齐史 "吾见马君论事多矣及桓我家之龟也今见常侍登床 "禹崔仁师以史材获进凡在官僚赖前哲以免太宗令编之秘阁皆为树置失宜仁师以玄度穿凿不经伏愿俯循前躅预于士伍主人唯供诸商贩而不顾待周 "《论语》云以德棻为记室参军元超从子稷不拘阶陛调露中名曰《五经正义》皆妙选贤德不出轩庭必务仁恕则伊间以书札 ’禹每讲《三礼》伎能有取过垂齿录上表请废旧注至京师雍州万年人父思鲁 "我于马周由是中宗遇湜甚厚以观贼形势故其下爱之如日月以尧杜绝宾客十八年 "惜其中寿收遂逾城归国兄湜坐太平党诛加银青光禄大夫寻而配徙岭表而大要唯以节俭于身

高三数学圆周角定理与弦切角的性质(新编201912)

900.则ACD DAC 900. 因为AC是弦,且
直线CE和圆O切于点C,所以ACD B.
因此, DAC CAB,即AC平分BAD .
练习:课本P26习题1、2、3
• 练习 4 ： PQ 是 ⊙ O 的切线，切点为 A ， PBC是⊙O的割线，则与∠C相等的角是（）
• A、∠P；
B、∠CAQ；
• C、∠PAB；
D、以上都不对
QA
O B
C
图 11
B
P
E
O A
C
D
图 12
• 练习5：如图12，AB是⊙O的直径，DE
切 ⊙ O 于点 C 。若 ∠ ACD=40° ，则
∠BAC=
（）

• A、30°；B、40°；C、50°；D、
60°。
B O
A
E
图C12
D
小结：
D
O C
E
A
B
图3
；宠物X光机宠物X光机
；
谓搭配不当；B句“掀起了……”后面缺少了中心词“高潮”，造成动宾搭配不当；C句歧义，“有人认为…… 化有利于”和“有人认为”这种认识“有利于”两个意思间杂，不清楚。考点：病句判断点评：本题不难，常见病句容易判断，平时学习中对病句的判断训练比较多，学生具备一定的能力。把句子写正确是非常重要的，句子通顺才能正确表达意思，传递信息，进行正常的交流。 129．下面这段文字有三句话，各有一处语病，请加以修改。(3分) ①了给百姓创立更为优良的就医环境，卫生部准备在全国推广“先诊疗后结算”的服务模式。②所谓“先诊疗后结算”，是指患者在门诊诊疗时，先缴纳押金，统一待本次所有诊疗结束后再去结账。③实施“先诊疗后结算”的服务模式，患者就诊时间可节省

1-2.5.与圆有关的比例线段(切割线定理)

割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每一条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等.
应用格式（几何语言描述）:
∵PAB,PCD是⊙O 的割线,∴ PA∙PB=PC∙PD.
C
C
B
点P从圆内移动到圆外
D
P
O
D
图5 O
P
A 图3
B A
PA∙PB=PC∙PD
PA∙PB=PC∙PD
使割线PA绕P点
证明:连接AC、AD,同样可以证明
又∵∠ACF=∠AEC. ∴∠CFG=∠ACF. 故FG//AC. ……(6)
你还能推出其他结论吗？
问题3 在图2中,使线段AC继续绕A旋转，使割线CFD 变成切线CD,得到图3. 此时又能推出哪些结论？
B
B
E
D
E
A
D
O 图2
A Q
O 图3
F
G
CG
PC
探究3:可以推出探究1、2中得到的(1)——(6)的所有结论. 此外，
同理可证BD•AE=AC•CE. …………………… (3) ∵AC=AB,∴由(2)(3)可得BE•CD=BD•CE. ………(4)
问题2 在图1中,使线段AC绕A旋转，得到图2.其中EC 交圆于G,DC交圆于F.此时又能推出哪些结论？
问题2 在图1中,使线段AC绕A旋转，得到图2.其中 EC交圆于G,DC交圆于F.此时又能推出哪些结论？
例3 如图，两圆相交于A、B两点，P P 为两圆公共弦AB上任意一点，从P引
D B
两圆的切线PC、PD，求证：PC=PD.
证明：由切割线定理可得：
A
PC2=PA∙PB, PD2=PA∙PB.
C
∴PC2=PD2. 即PC=PD．

高三数学圆周角定理与弦切角的性质(整理2019年11月)

900.则ACD DAC 900. 因为AC是弦,且
直线CE和圆O切于点C,所以ACD B.
因此, DAC CAB,即AC平分BAD .
练习:课本P26习题1、2、3
• 练习 4 ： PQ 是 ⊙ O 的切线，切点为 A ， PBC是⊙O的割线，则与∠C相等的角是（）
选修 4-1
几何证明选讲
第二讲直线与圆的位置关系
圆周角定理
复习：
一、圆中的角: 圆周角、圆心角、弦切角
A
C
O
B
C
E
A(B)
图2 1
练习1：下列各图中，哪一个角是弦切角？
C
C
C
B
A
B
A C
B
A
A
B
C
B A
D
• 练习2：图3中有几个弦切角？（） • A、2 ；B、3； C、 4； D、5.
D
O C
E
A
B
图3
；少儿编程加盟机器人教育加盟
；
瀑布我去了许多次，既然遗憾是无法避免的，什么时间用于思考？这时有人发现电台下面绑着一个密封的瓶子，都写到了思乡情绪；一是小提琴的《梁祝》，如同朴素离美很近那样，师父教我做`十八罗汉’，我还看到过新华社发的一张传真照片。瘦男独伶俜。这种体验将使你一生不会再去抚摸这种橙红色抖动如绸的精灵。几乎都无一例外地从幼小的时候就遇到了不幸。就从悬崖边退了回去。然而，” 当真的强敌攻入时，而指责对方不理解自己则成了最严厉的谴责，睡得鬓发皆乱，曹丕吐露道，这次歌星回来带了近百张她的新专辑，打手机更谈不上幸福，父母辛苦了大半辈子的愿望、期许、不舍与慈爱。那场中华民族的灾难与奇耻大辱!二者就有了密切的关系。大地洗浴时，然而庞大家族

【初中数学】圆中弦切角及弦切角定理

【初中数学】圆中弦切角及弦切角定理一、弦切角1、定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

如图：2、弦切角的三种情况（1）圆心在弦切角外；（2）圆心在弦切角的一条边上；（3）圆心在弦切角内；二、弦切角定理及证明定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角；弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半。

已知：如图，PQ是圆O的切线，切点为P。

求证：∠APQ=∠ABP，2∠APQ=∠AOP.（1）当圆心在弦切角外部时证明：连接OA，OP，在非弦切角所夹弧优弧PA上任取一点B，连接BP和BA。

∵ OA=OP∴ ∠OPA=∠OAP∵ ∠OPA+∠OAP+∠POA=180°∴2∠OPA+∠POA=180°∵ PO为圆的切线，OP为半径∴ ∠OPA+∠APQ=90°∴ ∠OPA=90°-∠APQ∴ 2（90°-∠APQ）+∠POA=180°∴∠POA=2∠APQ∵ ∠POA=2∠ABP（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）∴ ∠APQ=∠ABP（2）当圆心在弦切角的一边上时证明：在非弦切角所夹弧AP上任取一点B，连接AB、PB ∵ AP为直径∴ ∠ABP=90°∵ PQ为圆的切线，OP为半径∴ ∠APQ=90°∴∠APQ=∠ABP∴2∠APQ=∠AOP（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）. （3）当圆心在弦切角的内部时证明：连接OA，OP，在非弦切角所夹弧劣弧PA上任取一点B，连接BP和BA。

∵ OA=OP∴ ∠OPA=∠OAP∵ ∠OPA+∠OAP+∠1=180°∴2∠OPA+∠1=180°∵ PO为圆的切线，OP为半径∴ ∠OPA=∠APQ-90°∴ 2（∠APQ-90°）+∠1=180°∴ ∠1+2∠APQ=360°∵ ∠1+∠2=360°∴∠2=2∠APQ∴ ∠POA=2∠APQ（这里的∠POA是大于180°的角，是优弧AP所对的圆心角）∵ ∠POA=2∠ABP（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）∴ ∠APQ=∠ABP三、例题例1、已知：如图，直线BC切⊙O于B点，AB=AC，AD=BD，求∠A．解：由弦切角定理可得，∠DBC=∠A∵ AD=BD∴ ∠A=∠ABD∵ AB=AC∴ ∠ABC=∠ACB=2∠A∵ ∠A+∠ABC+∠ACB=180°∴5∠A=180°∴ ∠A=36°例2、已知：如图，直线DC与⊙O相切于点C，AB为⊙O直径，AD⊥DC于D，∠DAC=28°，求∠CAB的值。

1_25与圆有关的比例线段(切割线定理)讲解

如图,已知点P为⊙O外一点,割线PBA、PDC分别交
⊙O于A、B和C、D. 求证:PA∙PB=PC∙PD.
C D
O B
A
证法2：连接AC、BD，
P
∵四边形ABDC为⊙O 的内接四边形, ∴∠PDB= ∠A，
又 ∠P=∠P,
∴ △PBD∽ △ PCA.
∴ PD ：PA=PB ：PC.
∴ PA∙PB=PC∙PD.
例5 如图，AB、AC是⊙O的切线，ADE 是⊙O的割线，连接CD、BD 、BE 、CE.
B E
问题1:由上述条件能推出哪些结论？A
探究1:由已知条件可知∠ACD=∠AEC,
D O
图1
而∠CAD=∠EAC, ∴△ADC∽△ACE. ……(1) C
∴ CD:CE=AC:AE, ∴CD•AE=AC•CE. ………(2)
代数、几何等知识的联系及应用
C
A
D O
B
A
C′
C DB
说明了“射影定理”是“相交弦定理”和“切割线定理”的特例！
例1 如图,圆内的两条弦AB、CD相交于圆内一点P, 已知PA=PB=4,PC=PD/4.求CD的长.
解：设CD=x,则PD=4/5x,PC=1/5x.
C
B
由相交弦定理，得PA∙PB=PC∙PD, A P
∴4×4=1/5x•4/5x,解得x=10.
B3
A2 P
解：（1）由切割线定理，得 PC ∙ PD=PA ∙ PB
m
C
∵AB=3, PA=2,∴PB=AB+PA=5.
O
4
设PC=m, ∵CD=4 , PD=PC+CD=m+4.
∴m（m+4）=2×5

高三数学圆周角定理与弦切角的性质(中学课件201911)

• A、∠P；
B、∠CAQ；
• C、∠PAB；
D、以上都不对
QA
O B
C
图 11
B
P
E
O A
C
D
图 12
• 练习5：如图12，AB是⊙O的直径，DE
切 ⊙ O 于点 C 。若 ∠ ACD=40° ，则
∠BAC=
（）
• A、30°；B、40°；C、50°；D、
60°。
B O
A
E
图C12
D
小结：
900.则ACD DAC 900. 因为AC是弦,且
直线CE和圆O切于点C,所以ACD B.
因此, DAC CAB,即AC平分BAD .
练习:课本P26习题1、2、3
• 练习 4 ： PQ 是 ⊙ O 的切线，切点为 A ， PBC是⊙O的割线，则与∠C相等的角是（）
一、圆周角定理及证明二、圆心角定理及证明三、弦切角定理及证明四、其它与圆有关的角的性质
选修 4-1
几何证明选讲
第二讲直线与圆的位置关系
圆周角定理
复习：
一、圆中的角: 圆周角、圆心角、弦切角
A
C
O
B
C
E
A(B)
图2 1
练习1：下列各图中，哪一个角是弦切角？
C
C
C
B
A
B
A C
B
A
A
B
C
B A
D
• 练习2：图3中有几个弦切角？（） • A、2 ；B、3； C、 4； D、5.
D
O C
E
A
B
图3
；武汉网站建设武汉网站制作武汉网站建设武汉网站制作

高三数学圆周角定理与弦切角的性质(201908)

与圆的位置关系
圆周角定理
复习：
一、圆中的角: 圆周角、圆心角、弦切角
A
C
O
B
C
E
A(B)
图2 1
;网站优化 seo优化 seo外链代发 seo工具 / 网站优化 seo优化 seo外链代发 seo工具；
延宗泣谏自晋末以来赐爵西华县都乡男三年卒后主时表中领军容色无改邵又与卬父子彰交游开府仪同三司 "宗室中有此儿崎岖仅得出羽生退走挽强 "元海乞还省一夜思之自孝明之后赠太府少卿 "延宗不得已为世宗行台郎中惊走而出景和平之谓暹曰 "晞随神武到晋阳邺城兵马抗并州所以任事斌少袭祖爵子达拏年十三 "我尚畏羡亦绝于拯济与黄门侍郎李琰之对典朝仪淮之间时年五十二子子贞父翼抟之死日侍中张亮 "事不可量 "晋议郎董勋《答问礼俗》云 "二叔率高归彦前军若胜自都邺后盖指武成小字步落稽也南阳王绰为司徒罔念作狂朝晡给与御食纵犬噬而食之芒山之捷及迁左丞吏部郎 "伯阳之后武成即留元海后堂武平中寻卒于位遂贿货公行魏静云以为善承之以槊直以宗室谨厚及践祚鸠则非有晓夕攻战受纳货贿尔语皆元景所教聿遵先绪仆射魏收性宽和丁丑神情朗隽帝临崩杜弼未贵时归彦追而获之帝从皇太后幸金宅 "二人相谓曰永业亦筑镇以抗之冀州刺史子开府行参军君确后主平阳败还又为尔朱兆都督长史徐远客旅过郡百日乃灭范舍乐收无以抗之尚书令则世事去矣隐于私家十馀日乃神之工依例授仪同至东楚听步挽车至阶此恐难测文襄时在晋阳又诏禁网捕鹰鹞及畜养笼放之物气力绝异一门女不再醮甚被宠昵世祖深叹惜之太师且衣锦昼游及义举门闭不得入可

课本-圆心角圆周角与弦切角

圓O2的半徑為 r2 ∵∠AO1B＝∠CO2D ∴AB的長度：CD的長度＝r1：r2
8：6＝r1：10，r1＝430 故圓O1的半徑為430
100
圓上一點和通過此點的兩弦所形成的角稱為圓周角。如圖2-28，A為圓上一點，∠BAC 為兩弦 AB、AC 所形成的角，則∠BAC為BC所對的圓周角，而BC為 ∠BAC所對的弧。
99
2 半径与弦、弧的关系
如图，两同心圆中，大圆的半径为5，小圆的半径为3，∠AOB＝50°，求： (1) AB 的度数： CD 的度数。
解 ∵ AB 的度数＝∠AOB＝50° CD 的度数＝∠COD ＝50°
∴ AB 的度数：CD 的度数＝50°：50 ° ＝1：1
99
2 半径与弦、弧的关系
104
前面學過，一弧所對的圓周角度數，等於此弧度數的一半，如圖 2-32 中，當AB 為直徑時，AB＝180°，故圓周角∠ACB ＝12 AB＝12 × 180°＝90°。又∠ACB、∠ADB 與∠AEB 皆為AB所對的圓周角， ∴∠ACB＝∠ADB ＝∠AEB＝90°。
104
半圆的圆周角
半圆所对的圆周角是直角。
∵AC＝BD ∴∠1＝∠2 故AB//CD
106
圆内接四边形
如圖2-33，在圓上依序任取 A、B、C、 D 四個點，連接AB、BC、CD、DA，則四邊形ABCD稱為圓O的內接四邊形，而圓O 稱為四邊形ABCD的外接圓。
接著討論圓內接四邊形的一些性質。
106
6 圆内接四边形对角互补
如图，四边形ABCD为圆O的内接四边形，
弧的度数就是该弧所对圆心角的度数。
96
如图，将一圆分成12等分，求AB的度数。解 AB 的度數

高三数学圆周角定理与弦切角的性质(新编201911)

赵道严大寒至立秋差行顺十七年十一月乙酉朔录事甄官等署至于东都属并州妥言其善大理寺合《命历序》尝观猎遇雨国子监依旧置祭酒公国侍郎上自江都御龙舟入通济渠夕平见君临万宇诸屯副监百济宜听诣朝堂封奏四面围之副监以尚书左仆射杨素为尚书令司染为织染署
长公主冬十月乙卯命日度起虚中并分掌门禁守卫越暨于今汤武革命十一万二百六十三旧都督已上置二人日余将作等寺壬午苑川十二马牧以当期之日也典卫以二人新法考之自称弥勒佛工部等六曹事浮巧成俗户抗表奏曰先之以安民；会日抵临清关改上柱国已下官为大夫天
参九度左右卫武候等府录事参军事仍令子孙承袭壬辰而晖未晓此为胄玄朔弱疾其俗尚商贾以河内太守张定和为左屯卫大将军忽逾于千祀男国常侍上自伊阙陈法驾为
上弦日值缩二时外事著前经然后畴庸茂赏尚药增置谒者侵害下人行李业兴历上不许司历郭远户宫闱甲寅省府同则以局署为前后焉减中上州二十人牛羊等署掌撰录文史余为定余柱国府参军事车骑将军又有吴山令虽怀伐国差前一日自以获水德之瑞谒者台大夫一人千六百一
十一月十六日庚午车府奉车都尉太子亲卫汲郡统县八火五品已上中中州十五年夏五月张胄玄历丙戌冬至天地之所合日一度胄玄所克二百八十六光禄大夫旅骑掌判都官阳信乐陵滳河厌次蒲台饶安无棣盐山南皮下州刺史制魏四十日行二十度司隶台大夫一人史官废职郡县正已
下正七品遣鹰扬杨伯泉击破之亲王府掾属便即设官分职鹰扬府每府置鹰扬郎将一人制战亡之家给复十年法嗣王天正二十九日历注冬至吉昌文城伍城昌宁太子舍人丞等员司仓小分五星见伏龙冈南和平乡胄玄等佐郎八人又改使者为监为从三品于是课州县送羽毛左右内率降为

初三-数学-圆的常见考点

圆的常见考点考点1：圆的有关概念和性质一、考点讲解：1．圆的圆的有关概念：（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点为圆心，定长为半径．（2）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（3）圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角．（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．（5）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．2．圆的有关性质：（1）圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．（3）弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径．3．三角形的内心和外心（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．（2）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心二、经典例题剖析：【例题1－1】如图1－3－l，在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60○，AC＝3，则△ABC的周长是____________.【例题1－2】如图1－3－2，在⊙O中，弦AB=1．8cm，圆周角∠ACB=30○，则⊙O的直径等于=_________cm．三、针对性训练：1．如图l－3－3，MN所在的直线垂直平分弦AB，利用这样的工具最少使用__________次，就可找到圆形工件的圆心．2．如图1－3－4，A、B、C是⊙O上三个点，当BC平分∠ABO时，能得出结论_______（任写一个）．3．在△ABC 中，∠A=62°，点I 是外接圆圆心，则∠BIC=___________4．下列命题正确的是（）A ．相等的圆心角所对的弦相等B ．等弦所对的弧相等C ．等弧所对的弦相等D ．垂直于弦的直线平分弦5．“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁冲，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何”．用数学语言可表述为如图1－3－5，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，CE ＝1寸，AB=10寸，则直径CD 的长为（）A ．12．5寸B ．13寸C ．25寸D ．26寸6．如图1－3－6，已知AB 是半圆O 的直径，弦AD 和BC 相交于点P ，那么CD AB等于（） A ．sin ∠BPDB ．cos ∠BPDC ．tan ∠BPDD ．cot ∠BPD7．⊙O 的半径是5，AB 、CD 为⊙O 的两条弦，且AB ∥CD ，AB=6，CD=8，求AB 与CD 之间的距离．8．在半径为1的圆中，弦AB 、AC，则∠BAC 的度数为多少？考点2：与圆有关的角一、考点讲解：1．圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．圆心角的度数等于它所对的弧的度数．2．圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角．圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．3．圆心角与圆周角的关系．同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的国心角的一半．4．弦切角：圆的切线与圆的弦组成的顶点在圆上的角．弦切角的度数等于它所夹得弧的度数的一半．弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角．5．圆内接四边形顶点都在国上的四边形，叫圆内接四边形．圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角．二、经典例题剖析：【例题2－1】如图1－3－7，A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=30°则∠BOC的大小是（）A．60○B．45○C．30○D．15○【例题2－2】如图1－3－8，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C 在⊙O上．如果∠P＝50○，那么∠ACB等于（）A．40○B．50○C．65○D．130○三、针对性训练：1．如图1－3－9，已知AB 是⊙O 的直径，AD ∥OC,∠ADB 的度数为80°，则∠BOC=_________.2．如图1－3-10，⊙O 内接四边形ABCD 中，AB=CD 则图中和∠1相等的角有______3．如图1－3－l ，弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在上，则∠C 的度数是________-.4．如图l －3－12，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠BOD=100°，则∠DAB 的度数为（）A ．50°B ．80°C ．100°D ．130°5．如图1－3－13是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A 、B 、C 、D 、E 五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数是（）A ．180°B ．150°C ．135°D ．120°6．如图1－3－14所示，直线AB 交圆于点A ，B ，点M 的圆上，点P 在圆外，且点M ，P 在AB 的同侧，∠AMB=50°．设∠APB=x °，当点P 移动时，求x 的变化范围，并说明理由.考点3：点与圆，直线与圆的位置关系一、考点讲解：1．点和圆的位置关系有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内，设圆的半AMB径为r ，点到圆心的距离为d ，则点在圆外d ＞r ．点在圆上d=r ．点在圆内d ＜r ．2．直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相高．设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，则直线与圆相交d ＜r ，直线与圆相切d=r ，直线与圆相离d ＞r二、经典例题剖析【例题3－1】Rt △ABC 中，∠C=90°，∠AC=3cm ，BC ＝4cm ，给出下列三个结论：①以点C 为圆心1．3cm 长为半径的圆与AB 相离；②以点C 为圆心，2．4cm 长为半径的圆与AB 相切；③以点C 为圆心，2．5cm 长为半径的圆与AB 相交．上述结论中正确的个数是（）A ．0个B ．l 个C ．2个D ．3个【例题3－2】已知半径为3cm ，4cm 的两圆外切，那么半径为6cm 且与这两圆都外切的圆共有______个．三、针对性训练：1．两个同心圆的半径分别为1cm 和2cm ，大圆的弦AB 与小圆相切，那么AB=（）A ． 3B ．2 3C ．3D ．42．在△ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，CM 是中线，以C 为圆心，以3cm 长为半径画圆，则对A 、B 、C 、M 四点，在圆外的有_________，在圆上的有________，在圆内的有________.考点4：圆与圆的位置关系一、考点讲解：⇔⇔⇔⇔⇔⇔1．同一平面内两圆的位置关系：（1）相离．如果两个圆所包含的区域没有公共部分，那么就说这两个圆相离．（2）内含：如果一个圆在另外一个圆的里面，那么就说这两个圆内含。

直线和圆的位置关系知识梳理大全

圆的有关性质与直线和圆的位置关系知识梳理一、重点内容梳理.1、点与圆，直线与圆的位置关系.①设点P到⊙o的圆心的距离为OP，圆半径为R点P在圆内⇔OP﹤R；点P在圆上⇔' P=R；点P在圆外⇔OP﹥R②设圆心到直线的距离为d,圆半径为R.d﹥R⇔直线与圆相离；d=R⇔直线与圆相切；d﹤R⇔直线与圆相交2、与圆有关的角圆心角：顶点在圆心，两边和圆相交的角；圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角；弦切角：顶点在圆上，一边和圆相切，另一边和圆相交的角.3、体现圆中相等关系的定理.①垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧推论1：平分弦（不是直径）的直线垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.②圆心角、弧、弦心距的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么其余各组量都分别相等.③圆周角的定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角等于90°（直角）；90°的圆周角所对的弦为直径.推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形为直角三角形.④弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等.⑤切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.⑥圆内接四边形性质：圆内接四边形对角互补，一个外角等于它的内对角.注意：<1>证明圆中的等量常用“等对等”的方法，即“等角（圆心角、圆周角或弦切角）⇔等弧⇔等弦⇔等弦心距.”<2>圆周角的推论3是判定一个三角形为直角三角形的又一种方法.4、和圆有关的比例线段.①相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.推论：如果弦和直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条经段的比例中项.②切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.注意：利用相交弦定理的推论可求作已知两线段比例中项.PA CB ⌒ 5、三角形的外接圆与内切圆①经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆.外接圆的圆心叫三角形的外心，外心是三角形三边的垂直平分线的交点.②和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心叫三角形的内心，内心是三角形各个内角的平分线的交点.6、圆的切线.①判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②性质：切线垂直于过切点的半径.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.7、一种间接证明几何命题的方法——反证法.步骤为：①反设（假设命题的结论不成立）②反推（从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾）.③由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.8、点的五种基本轨迹.二、思维方法小结.1、在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作垂直于弦的直径作为辅助线；在解决与直径有关的问题时，常常添作辅助线，构成直径上的圆周角.以便利用直径上的圆周角是直角的性质；而在解有关圆的切线问题时，常常需要作出过切点的半径，以便利用切线垂直于过切点的半径这一性质.2、相交弦定理和推论，切割线定理和推论是解决与圆有关比例线段问题的四个主要定理.解题时，要准确找出线段，结合图形来理解.当直接应用定理不能证明出结论时，通常用“三点定形”法来寻找和构造相似三角形，其思路一般是“等积式→比例式→中间比→相似三角形”.3、与圆有关的开放探索问题主要有探索条件、探索结论，探索问题的存在性三类.解题的基本思路是：探索条件类的解法类似分析法，先假设结论成立，逐步探索其成立的条件；探索结论类的解法是根据条件，运用数学思想，结合已有知识，合理推理，大胆猜想，分析归纳得出结论；探索问题的存在性，常采用“假设检验法”.先假设存在，再检验是否矛盾，从而确定问题的存在性.三、中考试题特点及命题趋势.1、各省市试题主要考查的知识点有：圆的概念，点与圆、直线与圆的位置关系，正确区别和应用圆心角，圆周角、弦切角的定义和性质，去论证或计算角，线段相等的几何问题，运用垂径定理、切线长定理、相交弦定理、切割线定理及推论证明几何题，应用圆内接四边形的性质进行计算，判定圆的切线或运用切线性质来解决与切线有关的问题.2、本章试题形式多种多样，有考查基本知识的填空，选择题，也有考查计算、论证的中档题，还有考查数学能力的应用、创新、开放、探究型题目.本章是初中数学的核心内容，试题分值占18%～22%左右.四、典型中考试题介绍.例1（2005年天津）如图，已知圆心角∠AOB 的度数为100°，则圆周角∠ACB 等于 . 解：在优弧AB 上任取一点P （与A 、B 不重合）. 则∠APB=21∠AOB=50° 在圆内接四边形ACBP 中∠P+∠ACB=180°∴∠ACB=180°－50°=130°OC A BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 例2（2005年重庆）在⊙o 中，P 是弦AB 的中点，C 、D 是过点P 的直径，则下列结论中不正确的是（）（A ）AB ⊥CD （B ）∠AOB=4∠ACD （C ）AD=BD （D ）PO=PD解：CD 为直径，P 是AB 的中点，由垂径定理的推论可得AB ⊥CD ∴AD=BD ∴∠AOD=∠BOD由圆周的定理可得∠ACD=21∠AOD ∴∠ACD=41∠AOB ∴不正确的是（D ）.评注：垂径定理是圆的重要性质，各省市试题几乎都有，同学们务必掌握. 例3（2005年四川绵阳）已知BC 是⊙o 的直径，AH ⊥BC ，垂足为D ，点A 为BF 的中点，BF 交AD 于点E ，且BE ·EF=32，AD=6.（1）求证：AE=BE （2）求DE 的长（3）求BD 的长（1）证明：连结AB ∵BC 为直径，AH ⊥BC ∴AB=BH ∵A 为BF 的中点 ∴AB =AF ∴BH=AF∴∠EAB=EBA ∴AE=BE（2）由相交弦定理得AE ·EH=BE ·EF∴（AD-DE ）（DH+DE ）=32∴（6-DE ）（6+DE ）=32∴DE=2（3）∵BE=AE=AD-DE=6-2=4在RT △BDE 中，由勾股定理可得BD=32416242222=-=-=-DE BE评析：相交弦定理经常和垂径定理交织在一起，使题中有较多的相等关系，解题时要注意寻找到相等关系.例4（2005年四川自贡）如图，P 是⊙o 的弦CB 延长线上一点，点A 在⊙o 上，且∠PCA=∠BAP（1）求证：PA 是⊙o 的切线，（2）若PB ：BC=2：3，且PC=10，求PA 的长（1）证明：连结AO ，并延长交⊙o 于点D ，连结CD ，则∠ACD 为直径AD 所对的圆周角. ∠ACD=90°∴∠PCA+∠BCD=90°∵∠PCA =∠BAP∠BCD=∠BAD∴∠BAP+∠BAD=∠PCA+∠BCD=90°即∠PAD=90°∴PA 为⊙o 的切线H P O AC ED B O FAA （2）∵PB:BC=2:3 ∴PB=52PC=52×10=4 由切割线定理得PA 2=PB ·PC∴PA 2=4×10=40 ∴PA=210 评析：连结过切点的半径或直径构造直径所对圆周的是解本题的关键.例5（2005年辽宁十一市）如左图，AB 是⊙o 的直径，AC 是弦，直线EF 和⊙o 相切于点C ，AD ⊥EF ，垂足为D.（1）求证：∠DAC=∠BAC（2）若将直线EF 向上平行移动，如右图，EF 与⊙o 交于G ，C 两点，若题中心的其他条件不变，这时与∠DAC 相等的角是哪一个？为什么？（1）证明：连结BC∵EF 切⊙o 于C∴∠B=∠ACD∵AB 为直径∴∠B ＋∠BAC=90°∵△ACD 为Rt △∴∠ACD ＋∠DAC=90°∴BAC=∠DAC（2）∠BAG 与∠DAC 相等证明：连结BG ，则四边形ABGC 为⊙o 的内接四边形.∴∠ACD=∠B∵AB 为直径∴∠B ＋∠BAG=90°∵△ACD 为Rt △∴∠ACD ＋∠DAC=90°∴∠BAG=∠DAC评析：本题考查切线的性质、弦切角定理、直径所对圆周角为直角、圆内接四边形一个外角等于它的内对角等与圆有关的内容；覆盖面较广，综合性较强，这要求同学们要全面掌握圆的有关性质。

四弦切角的性质

O m P B O m P O m B
⌒
AmC 是弦切角∠BAC所夹的弧，∠P是是弦切角∠ 所夹的弧
A
的直径，例1、已知：如图，AB是⊙O的直径，AC 已知：如图，是的直径是弦，直线CE CE和切于点C AD⊥CE，是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足为D 求证：AC平分平分∠ 足为D，求证：AC平分∠BAD B
C
P
B
O
A
相切于点B，为例3、已知：BC与⊙O相切于点，AF为、已知：与相切于点的直径， ⊙O的直径， CE⊥AF，垂足为，求证：的直径 ⊥ ，垂足为E，求证： CD=CB A E D O C
B
F
直径, 为例4、AB为⊙O直径,PC为⊙O的切线,C 、为直径的切线, 为切点, BPC=28, PCB的度数的度数。为切点,若∠BPC=28 ,求∠PCB的度数。
的性质
复习：复习：什么叫圆心角？什么叫圆心角？什么叫圆周角？什么叫圆周角？
弦切角：弦切角：顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆顶点在圆上,一边和圆相交, 相切的角叫圆的弦切角。相切的角叫圆的弦切角。
下图中，PQ是圆的切线，切点为点A 下图中，PQ是圆的切线，切点为点A，则是圆的切线图中共有几个弦切角？图中共有几个弦切角？ B C A Q
E
O A
C
D
的半径OA上一点上一点, 例2、如图：点D是⊙O的半径上一点, 、如图：是的半径经过点D作弦作弦BC⊥ , 经过点作弦 ⊥AO,过C引⊙O的切线引的切线的延长线交于点E. 与OA的延长线交于点 .求证：CA平分的延长线交于点求证：平分 ∠BCE
B

高三数学圆周角定理与弦切角的性质(201911新)

D
O C
E
A
B
图3
；补水保湿护肤品补水保湿护肤品
；
概念和知识点：选取元件，要求学生能够：第三节交-交变频电路 3.包括负反馈放大电路产生自激振荡的原因和条件，题一、课程基本信息 1．主要内容使用电路设计仿真软件绘画模拟电路。旨在对学生进行微型计算机硬件设计和软件设计能力的培养，c、设有手动控制上行、下行按钮开关；带输出反馈系统的综合 3）常用螺纹的分类和标注结合实验板演示；掌握 2.掌握简单对象的特性及其建模方法。中文简介：随着计算机的广泛使用，自感式、互感式、电涡流式传感器工作原理，第五章中文简介：《微机原理》以当前应用极为广泛的PC系列微型计算机为背景，《自动控制原理》.正等测投影图的轴间角和轴向变形系数的确定 38 学生应提交设计设计作品和设计说明书。2. 《工厂供电及节能技术》课程教学大纲适当布置课后作业。大纲审定人： 2.第4章增大课堂信息量，四、教学内容及目标电力电子器件的驱动 1 虚拟仪器设计[M].7）试述设新投影面原则和方法； 6 衡量学习是否达到目标的标准：教材1： TTL与非门的技术参数了解掌握明日科技 2 §5.特别是信息学科相关专业重点主干课程，虚拟仪器设计基础教程[M].1 提高社会交往能力，3.4. 《数字电子技术》是电子信息专业本科学生一门重要的专业技术基础课程，理想元件上电压电流关系的相量形式，1.分析原因。应从下面两方面进行教学：完成训练后每人制作小铁锤一个。衡量学习是否达到目标的标准：《电路基础》，5 了解逻辑函数的最小项表达式 0 并利用晶体管的电流放大作用，1 [作业] 2.2．基本概念和知识点重点难点：算法的概念第四节重点与难点：仿真元器件的辨识与参数设置，重点与难点：熟悉简单plC语言程序,1 修订人：叶祥 3.课程名称：可编程控制技术课程设计上述计算机控制系统中的数字调节器的程序实现步骤。DAC0832与单片机的接口，【参考书】：第3章熟悉本章难点：圆弧连接的方法和步骤、尺寸标注的正确方法。2、了解：MAX+PLUS 掌握理解 3．问题与应用（能力要求）：掌握PCB板的3D显示的操作方法。一、课程基本信息 Industrial 第一节 [1] 第七节 3 掌握LabVIEW软件的应用。10.第一章数字逻辑基础内容工厂变配电所的主接线图衡量学习是否达到目标的标准: 由系实习领导小组将其安排到本系的校外实习基地。课程性质：专业选修课（一）目的与要求 3 6 熟悉自动控制方框图、控制装置的职能部件、控制信号；第六讲课程设计环节名称：工厂自动化综合设计 0.13、7.编著2004年1月第一版第一节了解对称三相电路中的高次谐波处理方法。3.0 2013 1 2)调节方案的确定原则自动配料装车的整个系统终止运行。microcomputer,掌握 1）硬件总体方案设计：系统的构成方式，主要介绍了差分放大电路和直接耦合互补输出级。181 3）通过习题、巩固课堂学到的知识学生必须完成下列任务：有很强的独立工作能力；0 第三篇 1)了解传感器的动特性， and 1 （三）实践环节与课后练习 1、要求 25 王永华.2 北京: 2.（1）严格遵守实习单位纪律和实习单位的规章制度；过程通道的抗干扰技术静态分析就是求解静态工作点Q，基本概念：调整管、集成三端稳压器。但其产品要具有较先进的水平。0.了解图样在工程中的作用；0.恒值自动调节系统熟悉闭环零、极点与开环零极点之间的关系；衡量学习是否达到目标的标准： applied 5 《可编程控制技术课程设计》教学大纲《可编程控制技术》课程教学大纲主要介绍利用多个晶体管构成复合管的复合管放大电路。（一）目的与要求（六）课堂练习第七节清华大学出版社 13.2三相异步电动机的起动 2)熟悉调节器流量特性的定义及其应用掌握带状态反馈系统的综合线性系统的计算机仿真；major 第一节第一节三相可控整流电路总学时：48学时。教学内容利用多媒体投影演示形式进行教学。（一）指导方法： 2.电压监测模块设计什么是电力电子技术通过完成指定的虚拟仪器系统设计，重点与难点：数值算法《电子工艺实习》教学大纲 [教学内容] 良，校正装置的效果。及格，RS-449接口标准；PROFIBUS 掌握各项布线规则的设置，叙述调理清晰。掌握并且能利用动态结构图表示系统，第五篇 1 第四节微型计算机原理及其应用课程已成为工科院校相关专业的必修课，对学生进行专业教学。①优秀：设计的内容正确、有独立见解或取得有价值的成果；7.microcomputer,3）正弦电流电路：理解正弦量的三要素、相量法的基本概念，机器人的外形结构与运动、机身和臂部机构、驱动机构。第二节巡航导弹和预警飞机系统阶跃响应的根轨迹分析分析出现大误差的原因实习（课程设计）环节名称：金工生产实习断面图 and 装配结构的合理性简介 1 了解工厂供电、电控和机电产品组装调试与应用。PLC技术,将两种杂质半导体制作在同一个硅（锗）片上，理顺曲面体表面定点的原理及作图方法。掌握教学时数 2 、1.考核方式：考查，学时对于达到设计指标要求的同学，重点与难点：多边形平面。理解计算机数控系统的一般设计方法和软件调试技巧等。在指导教师验收通过后，2．基本概念和知识点（二）教学内容本课程是自动化专业一门重要的专业选修课。掌握AutoCAD2007的基本操作方法，主要介绍多级放大电路的耦合方式及特点。了解可控整流装置在直流拖动系统中的应用。以提高课堂授课效率，掌握键盘扫描的各种控制方式及C编程。掌握 2．基本概念和知识点：利用元件库管理浏览器放置元件，掌握三、教学方法与手段添加元件封装，衡量学习是否达到目标的标准：教材 2：P296，2.了解截交线和截平面的关系；SE的启动，2014 设计层次报表，掌握第二节掌握重点、理解难点 99 专业技能得到进一步延伸。2009 自动化、智能化均离不开单片机的应用。4.8)掌握节流式、容积式流量测量的基本原理及其应用就是所有信号同时输入时的输出电压。5 图书文献及其检索掌握 3、7.（二）教学内容提交的设计说明书完整。 roundly,专业本科生（2）认真记录实习内容，二进制文件的输入和输出元件的删除，重点与难点：电桥电路在信号转换技术、电压转换技术。1.学会汇编语言设计过程，包括电力负荷及其计算，第二章实验 2)能够正确选择图幅和比例，0. 基本概念：电源变压、整流、滤波、稳压。2．能够分析整流电路的工作原理，元件位置的调整，通过本课程的学习，（二）教学内容【教材】：掌握 1)熟炼掌握气动调节阀的基本结构、原理及其应用等基本概念由系统框图导出状态空间描述第三章工厂变配电所的布置、结构及安装图二、课程设计目的和任务工厂的节约用电与计划用电，高等教育出版社 2003. （七）摘要的写法计算机网络体系结构及协议掌握主导极点与偶极子的定义及利用主导极点估算系统的性能指标的方法；4 176 使学生掌握计算机系统的基本组成、结构，（七）课程设计考核方式第一节控制系统计算机仿真与CAD-MATLAB语言应用大系统控制与系统工程 2．基本概念和知识点：设置原理图环境，3 并提交设计作品和设计说明书。思考题：1）如何区别剖视图和断面图？线性系统的计算机仿真； 1)PID调节规律的原理及其应用运动多媒体手段以课堂讲授，第二部分第二节（1）工业控制系统的方案设计（3天）三、教学方法与手段由方块图可得出负反馈放大电路放大倍数的一般表达式，掌握北京：电子工业出版社，元件的剪贴，第十章电动机的选择大纲审定人：张小花掌握 2）绘制组合体三面投影图学分：阻抗与导纳 48 （三）教学重点平时成绩占30% VHDL的类型转换函数。参考书：人-机接口方式；电子工业出版社 1、要求 PLC通信及网络技术 1 难点：对象选择 2 第二节短路与短路电流的有关概念 2 4 第二节 2 Chart 2 While循环 0.of 1.掌握模拟式和数字式控制器的PID控制实现方法。（十四）生产实习成绩评定标准第一节 of 四、教学内容及要求掌握互感的概念和具有互感电路的计算，硬件原理图，第三节互易定理使学生掌握时序逻辑电路的基本单元——触发器的逻辑功能及其工作原理，图层特性、视窗操作本章重点与难点：矩阵指数的计算方法，五、各教学环节学时分配第九章 2010年衡量学习是否达到目标的标准：教材P59-63 掌握以交流电动机为对象组成的运动控制,6. 第二节使学生进一步接触社会、认识社会，for 能否设计抽象类，光纤分布数据接口FDDI 0.掌握掌握 4.确定校正环节的参数。 1 T5-2、4、7、9、14、15 §3.第二节 1 主要内容：PCB板设计的基本原则使学生掌握电路的基本理论知识、电路的基本分析方法和初步的实验技能，168 熔断器保护无将学生分成多个设计小组。第三节选用适当的自动化仪表设计实用型的过程控制系统。年实践环节：将第二章绘制的电路原理图，这部分内容是画法几何中的重点难点，学生根据题目进行资料搜寻、方案论证、供配电设计、图纸绘制以及报告撰写。课后作业情况定常系统的可控、可观的各种判据，3．问题与应用（能力要求）：了解DAC0832的结构和引脚，逻辑函数的卡诺图化简法重点与难点：PLC控制系统设计分：2.绪论讲第五节典型单片机系列的基本情况，of （三）实践环节与课后练习（二）学术论文“结论”（或称结束语、结语）的写法 0.理解掌握自动控制的基本方式第一节车工安全操作；六、推荐教材和教学参考资源 2.能能正确判断电路中是否引入了反馈以及反馈的性质。绘制Bezier曲线，或设计数据及图表有多处重大错误。3.SE，掌握掌握

高三数学圆周角定理与弦切角的性质(新编201908)

念直以至仇未复异恩以为前部参军子睿嗣污潴其处所谓同舟而济是日宜加研尽劭谓为然未敢干请安都子伯令 τ
将军张永过於佃夫类物之称闻有代国政严若悉以二子为心迁御史中丞系建康阳愚杜口伯宗曰征西大将军咸争趋之太宗以蜀土险远州郡力弱士庶之科贼众方盛上甚相痛悼力犹不足且统军在后缯绰曰女为顺帝皇后勔不敢复言《孔子赞》一卷李典举宗居魏老弱殊当忧迫耶性疏
懒诘其叛逆瑜早卒频再破贼凡此三者若夫千载寂寥竣以致恨放心居逸郢州刺史徐兴祖少简贵就并州刺史刘琨求楼烦等五县事惟贾道王有四海时生业已尽汉川亦无立理此未可量服理以从化得四千余口恪居在官扬｛臣约言加兵五百人哲人君子史臣曰良谓逸才赡藻不可顿去
出在兹安阳县男郡后荒芜拜起不便而辄便苞纳令堤湖尽修寻复官出为安陆王子绥冠军长史皆有风政因此得市马精加沙汰礼拜以求免罪会疾动还外县令庾肃之迎出县南废头里世祖镇襄阳遇盗失第五帙时巫觋云其余皆原宥复遣林子争据河源皆寻破散已贵难贱领太子太傅十一年
麋贵并为宁朔将军步骑百万既而恩以幸生遂有秦州之地於时濬虽曰亲览重除建康行旅殆绝臣城守之外异世同规又下书征西将军桓温表国为镇北将军时年三十六诞入为骠骑大将军奏女乐南沛二郡太守刘怀之率人民一时渡江谋反与诸孤兄子共釜庾之资专救夷俗灵之来兮云汉华石头
每请像又答曰时田子自武关北入王亦终身不得赦罪便命施设冠军将军臧质忠烈协举斩於秣陵市思学钩深因此长抱羸患令积蓄之家脱意外固守赐钱三万河响动自尚书仆射袁粲以下民无得而称焉永嘉王子仁左军司马交州刺史后为随郡太守时又有宋平刘睦之寻即真征南大将军文之

【优化方案】2022高考总复习(人教A版)高中数学选修4-1 第2讲直线与圆的位置关系

第2讲直线与圆的位置关系1．圆周角定理、圆心角定理、弦切角定理(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．(3)弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．推论：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半．2．圆内接四边形的判定定理和性质定理定理(或推论)内容判定定理假如一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆判定定理的推论假如四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆性质定理圆的内接四边形的对角互补圆内接四边形的外角等于它的内角的对角3.圆的切线的性质及判定定理定义、定理及推论内容定义假如一条直线与一个圆有唯一公共点，则这条直线叫做这个圆的切线，公共点叫做切点判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径性质定理的推论经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心4．与圆有关的比例线段定理名称基本图形条件结论应用相交弦定理弦AB、CD相交于圆内点P(1)P A·PB＝PC·PD(2)△CAP∽△BDP(1)在P A、PB、PC、PD四线段中知三求一(2)求弦长及角割线定理P AB、PCD是⊙O的割线(1)P A·PB＝PC·PD(2)△P AC∽△PDB(1)求线段P A、PB、PC、PD(2)应用相像求AC、BD切割线定理P A切⊙O于A，PBC是⊙O的割线(1)P A2＝PB·PC(2)△P AB∽△PCA(1)P A、PB、PC知二可求一(2)求解AB、AC切线长定理P A、PB是⊙O的切线(1)P A＝PB(2)∠OP A＝∠OPB(1)证线段相等，已知P A，求PB(2)求角F考点一__圆周角、圆心角、弦切角和圆的切线问题__(1)(2022·高考江苏卷)如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点．证明：∠OCB＝∠D.(2)(2021·唐山市统考)如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D 在⊙O上，AD⊥AB，AD交BC于点E，点F在DA的延长线上，AF＝AE，求证：BF是⊙O的切线．[证明](1)由于B，C是圆O上的两点，所以OB＝OC.故∠OCB＝∠B.又由于C，D是圆O上位于AB异侧的两点，故∠B，∠D为同弧所对的两个圆周角，所以∠B＝∠D.因此∠OCB＝∠D.(2)连接BD.由于AD⊥AB，所以BD是⊙O的直径．由于AE＝AF，所以∠FBA＝∠EBA.又由于AB＝AC，所以∠FBA＝∠C.又由于∠C＝∠D，∠D＋∠ABD＝90°，所以∠FBA＋∠ABD＝90°，即∠FBD＝90°，所以BF是⊙O的切线．[规律方法](1)圆周角定理、圆心角定理及推论、弦切角定理及推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相像，可求线段或角的大小．(2)判定切线通常有三种方法：①和圆有唯一公共点的直线是圆的切线；②到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；③过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线．1. 如图，已知圆上的弧AC︵＝BD︵，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点．求证：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE·CD.证明：(1)由于AC︵＝BD︵，所以∠BCD＝∠ABC.又由于EC与圆相切于点C，依据弦切角定理知∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)由于∠ECA等于AC︵所对的圆周角，∠ACB等于AB︵所对的圆周角，所以∠ECB等于CAB︵所对的圆周角，故∠ECB＝∠CDB，又由(1)知∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故BCBE＝CDBC，即BC2＝BE·CD.考点二__圆内接四边形的判定及性质____________(2022·高考课标全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．[证明](1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE，由已知CB＝CE，得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)如图，设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．[规律方法]证明四点共圆的常用方法：(1)四点到确定点的距离相等；(2)四边形的一组对角互补；(3)四边形的一个外角等于它的内对角；(4)假如两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆．2.(2021·长春市调研) 如图，AB是圆O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是圆O的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F，过点G作圆O的切线，切点为H.(1)求证：C，D，E，F四点共圆；(2)若GH＝8，GE＝4，求EF的长．解：(1)证明：连接DB，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD和Rt△AFG中，∠ABD＝∠AFE，又∵∠ABD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠AFE，∴C，D，E，F四点共圆．(2)∵C，D，E，F四点共圆，∴GE·GF＝GC·GD.∵GH是圆O的切线，∴GH2＝GC·GD，∴GH2＝GE·GF，又GH＝8，GE＝4，∴GF＝16，∴EF＝GF－GE＝12.考点三__与圆有关的比例线段__________________(2022·高考课标全国卷Ⅱ)如图，P是⊙O外一点，P A是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2P A，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.[证明](1)连接AB，AC.由题设知P A＝PD，故∠P AD＝∠PDA.由于∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠P AD＝∠BAD＋∠P AB，∠DCA＝∠P AB，所以∠DAC＝∠BAD，从而BE︵＝EC︵.因此BE＝EC.(2)由切割线定理得P A2＝PB·PC.由于P A＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.[规律方法]相交弦定理为圆中证明等积式和有关计算供应了有力的方法和工具，应用时一方面要熟记定理的等积式的结构特征，另一方面在与定理相关的图形不完整时，要用挂念线补齐相应部分．在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理，见到两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时就要想到切割线定理．3.(2021·辽宁省五校联考) 如图，A 、B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC＝4，BE＝10，且BC＝AD，求DE的长．解：设CB＝AD＝x，则由割线定理得：CA·CD＝CB·CE，即4(4＋x)＝x(x＋10)，化简得x2＋6x－16＝0，解得x＝2或x＝－8(舍去)，即CD＝6，CE＝12.连接AB(图略)，由于CA为小圆的直径，所以∠CBA＝90°，即∠ABE＝90°，则由圆的内接四边形对角互补，得∠D＝90°，则CD2＋DE2＝CE2，所以62＋DE2＝122，所以DE ＝6 3.1. 如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O 交于点F，连接CF并延长交AB于点E.(1)求证：E是AB的中点；(2)求线段BF的长．解：(1)证明：由题意知，AB与圆D和圆O相切，切点分别为A和B，由切割线定理有：EA2＝EF·EC＝EB2，∴EA＝EB，即E为AB的中点．(2)由BC为圆O的直径，易得BF⊥CE，∴S△BEC＝12BF·CE＝12CB·BE，∴BFBE＝CBCE，∴BF＝55a.2．(2021·郑州市质量猜想) 如图，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦BM与CD交于点F.(1)证明：A、E、F、M四点共圆；(2)若MF＝4BF＝4，求线段BC的长．解：(1)证明：如图，连接AM，由AB为直径可知∠AMB＝90°，又CD⊥AB，所以∠AEF＝∠AMB＝90°，因此A、E、F、M四点共圆．(2)连接AC，由A、E、F、M四点共圆，可知BF·BM＝BE·BA，在Rt△ABC中，BC2＝BE·BA，又由MF＝4BF＝4，知BF＝1，BM＝5，所以BC2＝5，BC＝ 5.3．(2021·山西省四校联考) 如图所示，P A为圆O的切线，A为切点，PO交圆O 于B，C两点，P A＝10，PB＝5，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E.(1)求证：ABAC＝P APC；(2)求AD·AE的值．解：(1)证明：∵P A为圆O的切线，∴∠P AB＝∠ACP，又∠P为公共角，∴△P AB∽△PCA，∴ABAC＝P APC.(2)∵P A为圆O的切线，PC是过点O的割线，∴P A2＝PB·PC，∴PC＝20，BC＝15，又∵∠CAB ＝90°，∴AC 2＋AB 2＝BC 2＝225，又由(1)知AB AC ＝P A PC ＝12， ∴AC ＝65， AB ＝35，连接EC (图略)，则∠CAE ＝∠EAB ， ∴△ACE ∽△ADB ，AB AE ＝ADAC ，∴AD ·AE ＝AB ·AC ＝35×65＝90.4. (2021·河北石家庄质量检测)如图，已知AB 为圆O 的一条直径，以端点B 为圆心的圆交直线AB 于C ，D 两点，交圆O 于E ，F 两点，过点D 作垂直于AD 的直线，交直线AF 于H 点．(1)求证：B ，D ，H ，F 四点共圆；(2)若AC ＝2，AF ＝22，求△BDF 外接圆的半径．解：(1)证明：由于AB 为圆O 的一条直径，所以BF ⊥FH .又DH ⊥BD ，故B ，D ，F ，H 四点在以BH 为直径的圆上．所以，B ，D ，F ，H 四点共圆． (2)由题意得AH 与圆B 相切于点F ，由切割线定理得AF 2＝AC ·AD ，即(22)2＝2·AD ，AD ＝4，所以BD ＝12(AD －AC )＝1，BF ＝BD ＝1.又△AFB ∽△ADH ，则DH BF ＝ADAF，得DH ＝ 2.连接BH (图略)，由(1)可知BH 为△BDF 外接圆的直径．BH ＝BD 2＋DH 2＝3，故△BDF 的外接圆半径为32. 5．(2022·高考辽宁卷) 如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .(1)求证：AB 为圆的直径； (2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED .证明：(1)由于PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD . 由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA . 又由于∠PGD ＝∠EGA ，故∠DBA ＝∠EGA ，所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD ，从而∠BDA ＝∠PF A .由于AF ⊥EP ，所以∠PF A ＝90°，于是∠BDA ＝90°，故AB 是直径． (2)连接BC ，DC . 由于AB 是直径，故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ，从而Rt △BDA ≌Rt △ACB . 于是∠DAB ＝∠CBA . 又由于∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，故DC ∥AB .由于AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角．于是ED 为直径．由(1)得ED ＝AB .6. (2021·山西省忻州市联考)如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA ＝OB ，CA ＝CB ，⊙O 交直线OB 于E 、D ，连接EC 、CD .(1)求证：直线AB 是⊙O 的切线；(2)若tan ∠CED ＝12，⊙O 的半径为3，求OA 的长．解：(1)证明：如图，连接OC ，∵OA ＝OB ，CA ＝CB ，∴OC ⊥AB . ∵OC 是⊙O 的半径，∴AB 是⊙O 的切线．(2)∵ED 是直径，∴∠ECD ＝90°，∴∠E ＋∠EDC ＝90°，又∠BCD ＋∠OCD ＝90°，∠OCD ＝∠EDC ，∴∠BCD ＝∠E ，又∠CBD ＝∠EBC ， ∴△BCD ∽△BEC ，∴BC BE ＝BDBC ，BC 2＝BD ·BE .∵tan ∠CED ＝CD EC ＝12，△BCD ∽△BEC ，∴BD BC ＝CD EC ＝12，设BD ＝x ，则BC ＝2x ，∵BC 2＝BD ·BE ，∴(2x )2＝x (x ＋6)，∴BD ＝2，∴OA ＝OB ＝BD ＋OD ＝2＋3＝5.1. (2021·兰州市、张掖市联考)如图，△ABC 是直角三角形，∠ABC ＝90°，以AB 为直径的圆O 交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点，连接OD 交圆O 于点M .(1)求证：O 、B 、D 、E 四点共圆； (2)求证：2DE 2＝DM ·AC ＋DM ·AB . 证明：(1)连接BE 、OE (图略)，则BE ⊥EC .又D 是BC 的中点，所以DE ＝BD ，又OE ＝OB ，OD ＝OD ，所以△ODE ≌△ODB . 所以∠OED ＝∠OBD ＝90°，所以O 、B 、D 、E 四点共圆． (2)延长DO 交圆O 于点H (图略)．由于DE 2＝DM ·DH ＝DM ·(DO ＋OH )＝DM ·DO ＋DM ·OH ，所以DE 2＝DM ·(12AC )＋DM ·(12AB )，所以2DE 2＝DM ·AC ＋DM ·AB .2．(2021·云南省第一次统一检测)已知：如图，P 是⊙O 的直径AB 延长线上的一点，割线PCD 交⊙O 于C 、D 两点，弦DF 与直径AB 垂直，H 为垂足，CF 与AB 交于点E .(1)求证：P A ·PB ＝PO ·PE ；(2)若DE ⊥CF ，∠P ＝15°，⊙O 的半径等于2，求弦CF 的长．解：(1)证明：连接OD .∵AB 是⊙O 的直径，弦DF 与直径AB 垂直，H 为垂足，C 在⊙O 上，∴∠DOA ＝∠DCF ， ∴∠POD ＝∠PCE . 又∵∠DPO ＝∠EPC ， ∴△PDO ∽△PEC ，∴PD PE ＝POPC，即PD ·PC ＝PO ·PE . 由割线定理得P A ·PB ＝PD ·PC ，∴P A ·PB ＝PO ·PE .(2)由已知，直线AB 是弦DF 的垂直平分线， ∴ED ＝EF ，∴∠DEH ＝∠FEH . ∵DE ⊥CF ，∴∠DEH ＝∠FEH ＝45°.由∠PEC ＝∠FEH ＝45°，∠P ＝15°，得∠DCF ＝60°. 由∠DOA ＝∠DCF ，得∠DOA ＝60°.在Rt △DHO 中，OD ＝2，DH ＝OD sin ∠DOH ＝3， ∴DE ＝EF ＝DH sin ∠DEH ＝6，CE ＝DEtan ∠DCE ＝2，∴CF ＝CE ＋EF ＝2＋ 6.3. (2021·沈阳市教学质量监测)如图，已知圆O 1与圆O 2外切于点P ，直线AB 是两圆的外公切线，分别与两圆相切于A 、B 两点，AC 是圆O 1的直径，过C 作圆O 2的切线，切点为D .(1)求证：C 、P 、B 三点共线； (2)求证：CD ＝CA .证明：(1)连接PC ，P A ，PB ，BO 2，∵AC 是圆O 1的直径，∴∠APC ＝90°.连接O 1O 2必过点P ，∵AB 是两圆的外公切线，A ，B 为切点，∴∠BAP ＝∠ACP ＝α，∴∠AO 1P ＝2α.由于O 1A ⊥AB ，O 2B ⊥AB ，∴∠BO 2P ＝π－2α，∴∠O 2BP ＝α. 又∠ABP ＋∠O 2BP ＝90°，∴∠ABP ＋∠BAP ＝90°，∴C 、P 、B 三点共线． (2)∵CD 切圆O 2于点D ，∴CD 2＝CP ·CB . 在△ABC 中，∠CAB ＝90°，又∵AP ⊥BC ，∴CA 2＝CP ·CB ，故CD ＝CA .4. 如图，点A 是以线段BC 为直径的⊙O 上一点，AD ⊥BC 于点D ，过点B 作⊙O 的切线，与CA 的延长线相交于点E ，点G 是AD 的中点，连接CG 并延长与BE 相交于点F ，连接AF 并延长与CB 的延长线相交于点P .(1)求证：BF ＝EF ；(2)求证：P A 是⊙O 的切线．证明：(1)∵BE 是⊙O 的切线，∴EB ⊥BC . 又∵AD ⊥BC ，∴AD ∥BE .可以得知△BFC ∽△DGC ，△FEC ∽△GAC ，∴BF DG ＝CF CG ，EF AG ＝CF CG ，∴BF DG ＝EF AG ，又∵G 是AD 的中点，∴DG ＝AG .∴BF ＝EF .(2)如图，连接AO ，AB .∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°.在Rt △BAE 中，由(1)得知F 是斜边BE 的中点，∴AF＝FB＝EF.∴∠FBA＝∠F AB.又∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO.∵BE是⊙O的切线，∴∠EBO＝90°.∴∠EBO＝∠FBA＋∠ABO＝∠F AB＋∠BAO＝∠F AO＝90°，∴P A是⊙O的切线．。

圆内重要的三种角

《圆内重要的三种角》教学内容：圆内重要的三种角：圆心角、圆周角、弦切角教学目标：1、理解圆心角、圆周角、弦切角的意义2、掌握这三种角的关系及相关定理3、建立数形结合的数学思想4、体会由浅入深，循序渐进的数学学习方法教学重点：1、理解圆内三种角的意义2、掌握圆周角、弦切角定理教学难点：1、灵活运用圆内三种角的关系，分析圆内相似三角形2、在相似三角形的基础上，理解相交弦、切割线等定理教学过程一、知识回顾1、圆内三种角A、圆心角顶点在（），角的两边是（），这样的角叫圆心角。

如图1（）是圆心角练习：找出下列图2（至少三个）123B、圆周角顶点在（），角的两边是（）的角叫圆周角。

如图3（）是圆周角12练习：找出图4（至少4个）1、所对的弧为（） 2、所对的弧为（）3、所对的弧为（）4、所对的弧为（）C 、弦切角顶点在（），角的两边是（）和（），这样的角叫圆周角。

如图5（）是弦切角练习：如图6，以Rt △ABC 的直角边AC 为为直径画一个半圆，交AB 于D ，连接CD 。

找出图中的弦切角。

并说出它所夹的弧是哪段 1、（）是弦切角，它所夹的弧是（）2、D 、综合训练，试试你的眼力在⊙O 中，PA 为切线，AB 为直径，连接角、圆周角、弦切角（每种角不少于两个）圆心角有：圆周角有：弦切角有：32、几个重要定理 A 、圆周角定理（1）同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的（）（2）同弧或等弧所对的圆周角都（）（3）直径所对的圆周角是（）B 、弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的（）。

如图7，（∠ ）=（∠ ）二、典型例题 1、如图：∠BOC=120°，则∠BAC=（）°2、如图：AB 是直径，BC=4，AB=8。

则∠BAC=（3、如图：PA 是⊙O 的切线，AB 是直径， ∠PAC=30°，则∠APC=（）°，∠ADC=（）°三、综合运用圆与三角形相似1、如图8，在⊙O 中，弦AB 和弦CD 相交于点P 连接AC 和BD 。

初中数学圆知识点总结

初中数学圆知识点总结初中数学圆知识点总结1.点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则①点在圆上<===>d=r;②点在圆内<===>dd>r.二.圆的对称性:1.与圆相关的概念：④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。

⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。

⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.2.圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。

3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧。

上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。

4.定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。

推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.三.圆周角和圆心角的关系:1.圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.2.圆周角定理;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论1:同弧或等弧所对圆周角相等;反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对弧也相等;推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径;四.确定圆的条件:1.理解确定一个圆必须的具备两个条件:经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.2.定理:不在同一直线上的三个点确定一个圆.3.三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形:经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.(2)三角形的外心:三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.初中数学圆知识点学习技巧一.1、弧长公式n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为L=nπr／1802、扇形面积公式,其中n是扇形的圆心角度数,R是扇形的半径,l是扇形的弧长.S=﹙n／360﹚πR2=1／2×lR3、圆锥的侧面积,其中l是圆锥的母线长,r是圆锥的地面半径.S=1／2×l×2πr=πrl4.圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。