线性代数课后作业答案(胡觉亮版)
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第一章
1．用消元法解下列线性方程组：
（1）⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++.
5432,9753,432321
321321x x x x x x x x x
解 由原方程组得同解方程组
12323234,23,x x x x x ++=⎧⎨
+=⎩
得方程组的解为13232,
2 3.
x x x x =-⎧⎨
=-+⎩令3x c =，得方程组的通解为
c x c x c x =+-=-=321,32,2，其中c 为任意常数． 2．用初等行变换将下列矩阵化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵：
（2）⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--324423211123．
解 1102
232111232551232041050124442300000000r r ⎛
⎫- ⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
-−−→--−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪
⎪⎝
⎭
，得 行阶梯形：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛---0000510402321（不唯一）；行最简形：⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
-
-00004525
10212
01 3．用初等行变换解下列线性方程组：
（1）⎪⎩
⎪
⎨⎧=+-=+-=++.3,1142,53332321321x x x x x x x x
解 2100313357214110109011320019r B ⎛
⎫ ⎪⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪=-−−→- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝
⎭M M M M M M ， 得方程组的解为
9
20
,97,32321=-==x x x ．
（2）⎪⎩⎪
⎨⎧=+++=+++=++-.
2222,2562,
1344321
43214321x x x x x x x x x x x x
解 114311143121652032101222200001r B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
=−−
→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
M M M M M M ， 得方程组无解．
第二章
1.（2）
2
2
x y x y ．
解 原式()xy y x =-．
（2）01000
020
00010
n n
-L L L
L L L L L L
． 2.解 原式1
100
020
(1)
001
n n n +=-=-L
L M M M L
!)1(1n n +-
3.（2）1111 2222 3333 4444
-
--
---
．
解原式
1111
0444
192 0066
0008
==．
（5）
1
2
1111
100
100
100
n
a
a
a
L
L
L
M M M L M
L
，其中0,1,2,,
i
a i n
≠=L．
解原式
1
11
2
1
2
1
1000
100
100
100
i
i
n
i i
r r
a
i n
n
a
a
a
a
=
-
≤≤
-
==
∑L
L
L
M M M L M
L
∑∏
==
-
n
i
n
i
i
i
a
a
11
)
1
1(
4．利用行列式展开定理，计算下列行列式：
（1）1214 0121 1013 0131
-
．
解原式
0201
201001
012132
1213217 101313
131131
0131
--
==-=-==-
-
-
．
（3）
1
2
3
1
0001 0000 0000 0000 1000
n
n
a
a
a
a
a
-
L
L
L
M M M M M
L
L
．
解 原式1221
31
1
00010000000(1)
0000000
n n n n a a a a a a a +--=-+L L L L L M M M M M M M L
L
231
1(1)
121
0000
(1)
(1)00n n n n a a a a a a ++--=--+L L L M M M L
23112n n a a a a a a -=-+L L 2311(1)n n a a a a a -=-L ．
7．设2
14211253133
5
111
D =
-，试求14243444A +A +A +A 和11121314M +M M M ++．
解 14243444A +A +A +A 0=；
11121314111213141
1111125+31335
1
1
1
M M M M A A A A --++=-+-=
- 010*******
213465
242242284214262
620620
6
1
20
---=
=-=-=-=--． 8．利用克拉默法则解下列线性方程组：
（1）12341234
123412345,242,2352,32110.
x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩
解 经计算，得1234142,142,284,426,142D D D D D =-=-=-=-=，所以方程组的解为1,3,2,14321-====x x x x ．
9．试问λ取何值时，齐次线性方程组1231231
23230,
3470,20
x x x x x x x x x λ-+=⎧⎪
-+=⎨⎪-++=⎩有非零解．