线性代数课后作业答案(胡觉亮版)

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第二章-线性代数(第四版)习题答案

y1 2 2 1 2 1 −1 x1 −7 −4 3 2 9 y1
y2 = 3 3 y2
5 3
x2 = 6 3 x3
−7 y2 . y3 −4
即
y1 = −7x1 − 4x2 + 9x3 , y2 = 6x1 + 3x2 − 7x3 , y = 3x + 2x − 4x . 3 1 2 3
由数学归纳法知: Ak =
8 ．设 A = 0
解: 方法一. 首先计算
1 = 0 0 λ λ3 0 λn 猜测: An = 0 0 nλn−1 λn 0
同理得 y2 = 6x1 + 3x2 − 7x3 , y3 = 3x1 + 2x2 − 4x3 .
2 . 已知两个线性变换 x1 = 2y1 + y3 , x2 = −2y1 + 3y2 + 2y3 , x = 4y + y + 5y , 3 1 2 3 y1 = −3z1 + z2 , y 2 = 2 z1 + z3 , y = −z + 3z , 3 2 3
1 0 (6) 0 0
1 3 (1) AB = BA 吗?
5. 设A=
1
2
,B=
1 1
0 2
, 问:
(2) (A + B )2 = A2 + 2AB + B 2 吗? (3) (A + B )(A − B ) = A2 − B 2 吗?
解: (1) 因为
AB = 3 4 4 6 , BA = 1 2 3 8 ,

线性代数复旦版课后习题标准答案

线性代数习题及答案习题一1. 求下列各排列的逆序数.(1) 341782659； (2) 987654321；(3) n (n -1)…321； (4) 13…(2n -1)(2n )(2n -2)…2. 【解】(1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36;(3) τ(n (n -1)…3²2²1)= 0+1+2 +…+(n -1)=(1)2n n -;(4) τ(13…(2n -1)(2n )(2n -2)…2)=0+1+…+(n -1)+(n -1)+(n -2)+…+1+0=n (n -1).4. 本行列式4512312123122xx x D x xx=的展开式中包含3x 和4x 的项.解：设 123412341234()41234(1)i i i i i i i i i i i i D a a a a τ=-∑，其中1234,,,i i i i 分别为不同列中对应元素的行下标，则4D 展开式中含3x 项有(2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5x x x x x x x x x ττ-⋅⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅⋅=-+-=-4D 展开式中含4x 项有(1234)4(1)2210x x x x x τ-⋅⋅⋅⋅=.5. 用定义计算下列各行列式.(1)2000010300004； (2)12300020304501.【解】(1) D =(-1)τ(2314)4!=24; (2) D =12.6. 计算下列各行列式.(1)2141312112325062-----； (2) ab ac ae bdcd de bf cf ef-------； (3)10011001101ab c d ---； (4)1234234134124123.【解】(1) 125062312101232562r r D+---=--;(2) 1114111111D abcdef abcdef --==------; 210110111(3)(1)111011111;bcD a a bcd c c dd ddabcd ab ad cd --⎡--⎤=+-=+++--⎢⎥⎣⎦=++++ 321221133142144121023410234102341034101130113(4)160.1041202220044101231114r r c c r r c c r r r r c c r r D -+-+-++---====-------7. 证明下列各式.(1) 22222()111aab baa b b a b +=-； (2)2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)aa a ab b b bc c c c dd d d ++++++=++++++；(3) 232232232111()111a a a ab b ab bc ca b b cccc=++(4) 20000()000nn aba b D ad bc cdcd==-；(5)121111111111111nni i i i na a a a a ==++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+∑∏. 【证明】(1)1323223()()()2()201()()()()()2()21c c c c a b a b b a b ba b a b b a b a b b a b a b b a b a b a b a b--+--=--+--+==-=-=--左端右端.(2) 32213142412222-2-2232221446921262144692126021446921262144692126c c c c c c c c c c aa a a aa b b b b b b c c c c c c dd d d dd ---++++++++====++++++++左端右端.(3) 首先考虑4阶范德蒙行列式:2323232311()()()()()()()(*)11x x x a a a f x x a x b x c a b a c b c b b b ccc==------从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f (x )的x 的系数为2221()()()()(),11a aab bc ac a b a c b c ab bc ac b b cc++---=++但对（*）式右端行列式按第一行展开知x 的系数为两者应相等，故231123231(1),11a ab b cc+-(4) 对D 2n 按第一行展开，得22(1)2(1)2(1)00000(),n n n n ab abab ab D abcdcdc d c d dcad D bc D ad bc D ---=-=⋅-⋅=-据此递推下去，可得22(1)2(2)112()()()()()()n n n n n nD ad bc D ad bc D ad bc D ad bc ad bc ad bc ----=-=-==-=--=-2().nn D ad bc ∴=-(5) 对行列式的阶数n 用数学归纳法.当n =2时，可直接验算结论成立，假定对这样的n -1阶行列式结论成立，进而证明阶数为n 时结论也成立.按D n 的最后一列，把D n 拆成两个n 阶行列式相加：112211211111011111110111111101111111.n n nn n n a a a a D a a a a a a D ---++++=++=+但由归纳假设11121111,n n n i i D a a a a ---=⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑从而有11211211121111111111.n n n n n i i nnnn n i i i i i i D a a a a a a a a a a a a a a a ---=-===⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∏8. 计算下列n 阶行列式.(1) 111111n x x D x =(2) 122222222232222n D n=； (3)0000000000n x y x y D x y yx=. (4)n ij D a =其中(,1,2,,)ij a i j i j n =-= ； (5)21000121000120000021012n D =.【解】(1) 各行都加到第一行，再从第一行提出x +(n -1),得11111[(1)],11n x D x n x =+-将第一行乘（-1）后分别加到其余各行，得1111110[(1)](1)(1).01n n x D x n x n x x --=+-=+---(2) 213111222210000101001002012n r r n r r r r D n ---=-按第二行展开222201002(2)!.002002n n -=---(3) 行列式按第一列展开后，得1(1)(1)(1)10000000000000(1)0000000(1)(1).n n n n n nn nx y y x y x y D x y x y x y y x xyx xy yx y +-+-+=+-=⋅+⋅-⋅=+-(4)由题意，知11121212221212110122103123n n n n n nnn a a a n a a a D n a a a n n n --==----012211111111*********1111n n ------------后一行减去前一行自第三行起后一行减去前一行01221122111111200002000020000000022n n n n --------=-按第一列展开1122000201(1)(1)(1)(1)22n n n n n n -----=---按第列展开.(5) 210002000001000121001210012100012000120001200000210002100021012012012n D ==+122n n D D --=-.即有 112211n n n n D D D D D D ----=-==-=由 ()()()112211n n n n D D D D D D n ----+-++-=-得11,121n n D D n D n n -=-=-+=+. 9. 计算n 阶行列式.121212111n n n na a a a a a D a a a ++=+【解】各列都加到第一列，再从第一列提出11ni i a =+∑，得232323123111111,11n n nn i n i na a a a a a D a a a a a a a =+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭+∑将第一行乘（-1）后加到其余各行，得2311110011.001001n nnn i ii i a a a D a a ==⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭∑∑10. 计算n 阶行列式（其中0,1,2,,i a i n ≠= ）.1111123222211223322221122331111123n n n n nn n n n n nn n n n n n n n n n n na a a a ab a b a b a b D a b a b a b a b b b b b ----------------=.【解】行列式的各列提取因子1(1,2,,)n j a j n -= ,然后应用范德蒙行列式.3121232222312112123111131212311211111()().n n n n n n n n n n n n n j i n n j i n i j b b b b a a a a b b b b D a a a a a a a b b b b a a a a b b a a a a a ------≤<≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫-= ⎪⎝⎭∏11. 已知4阶行列式41234334415671122D =;试求4142A A +与4344A A +，其中4j A 为行列式4D 的第4行第j 个元素的代数余子式. 【解】41424142234134(1)(1)3912.344344567167A A +++=-+-=+= 同理43441569.A A +=-+=- 12. 用克莱姆法则解方程组.(1) 123123412342345,2 1, 2 2, 23 3.x x x x x x x x x x x x x x++=⎧⎪+-+=⎪⎨+-+=⎪⎪++=⎩(2) 121232343454556 1,56 0, 56 0, 560,5 1.x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪+=⎪⎩ 【解】方程组的系数行列式为1110111013113121110131180;121052*********23141230123D -------=====≠-----1234511015101111211118;36;2211121131230323115011152111211136;18.1221121201330123D D D D --====---====--故原方程组有惟一解，为312412341,2,2,1.D D D D x x x x D D D D ========-12345123452)665,1507,1145,703,395,212.15072293779212,,,,.66513335133665D D D D D D x x x x x ===-==-=∴==-==-=13. λ和μ为何值时，齐次方程组1231231230,0,20x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 有非零解?【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式110,11121λμμ= 即(1)0.μλ-=故0μ=或1λ=时，方程组有非零解. 14. 问：齐次线性方程组12341234123412340,20,30,0x x x ax x x x x x x x x x x ax bx +++=⎧⎪+++=⎪⎨+-+=⎪⎪+++=⎩ 有非零解时，a ,b 必须满足什么条件？【解】该齐次线性方程组有非零解，a ,b 需满足11112110,113111a ab =-即(a +1)2=4b .15. 求三次多项式230123()f x a a x a x a x =+++，使得(1)0,(1)4,(2)3,(3)16.f f f f -====【解】根据题意，得0123012301230123(1)0;(1)4;(2)2483;(3)392716.f a a a a f a a a a f a a a a f a a a a -=-+-==+++==+++==+++=这是关于四个未知数0123,,,a a a a 的一个线性方程组，由于012348,336,0,240,96.D D D D D ====-=故得01237,0,5,2a a a a ===-= 于是所求的多项式为23()752f x x x =-+16. 求出使一平面上三个点112233(,),(,),(,)x y x y x y 位于同一直线上的充分必要条件. 【解】设平面上的直线方程为ax +by +c =0 (a ,b 不同时为0)按题设有1122330,0,0,ax by c ax by c ax by c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 则以a ,b ,c 为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为1122331101x y x y x y = 上式即为三点112233(,),(,),(,)x y x y x y 位于同一直线上的充分必要条件.习题二1. 计算下列矩阵的乘积.（1）[]11321023⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=；（2） 500103120213⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（3） []32123410⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（4） ()111213112321222323132333a a a x x x x a a a x a a a x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（5） 11121321222331323310001101a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（6） 1210103101010121002100230303⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦. 【解】 (1) 32103210;64209630-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦(2)531⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦; (3) (10);(4) 3322211122233312211213311323322311()()()iji j i j a x a x a x a a x x a a x x a a x x ax x ==++++++++=∑∑(5)111212132122222331323233a a a a a a a a a a a a +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦; (6) 12520124004309⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦. 2. 设111111111⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A ，121131214⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，求(1)2-A B A ;(2) -A B B A ；(3) 22()()-=-A +B A B A B 吗? 【解】(1) 2422;400024⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A B A (2) 440;531311⎡⎤⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A B B A (3) 由于AB ≠BA ,故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2.3. 举例说明下列命题是错误的.(1) 若2=A O ，则=A O ； (2) 若2=A A ，则=A O 或=A E ； (3) 若A X =A Y ，≠A O ，则X =Y . 【解】(1) 以三阶矩阵为例，取201,000000⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦0A A ,但A ≠0 (2) 令110000001-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,则A 2=A ,但A ≠0且A ≠E (3) 令11021,=,011121110⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=≠=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A Y X 0 则AX =AY ,但X ≠Y . 4. 设11A λ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 求A 2，A 3，…，A k . 【解】2312131,,,.010101kk λλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A A A 5. 10010λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =，求23A ,A 并证明： 121(1)2000kk k kk k kk k k k λλλλλλ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =. 【解】2322233223213302,03.0000λλλλλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =A = 今归纳假设121(1)2000kk k kk k kk k k k λλλλλλ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =那么11211111(1)1020100000(1)(1)2,0(1)00k kk k k k k kk kk k kk k k k k k k k k λλλλλλλλλλλλλλλ+---+-++=-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦+⎡⎤+⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦AA A = 所以，对于一切自然数k ,都有121(1)2.000kk k kk k kk k k k λλλλλλ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A = 6. 已知A P =PB ，其中10010000021001211⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B =,P = 求A 及5A .【解】因为|P |= -1≠0,故由AP =PB ,得1100200,611-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A PB P而51551()()100100100100210000210200.211001411611--==⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A PB PP B P A 7. 设a b c d ba d cc d a b dcba ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦A =，求|A |. 解：由已知条件，A 的伴随矩阵为22222222()()a b c d b a d ca b c d a b c d c d a b dcba *⎡⎤⎢⎥--⎢⎥-+++=-+++⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦A =A 又因为*A A =A E ，所以有22222()a b c d -+++A =A E ，且0<A ，即 42222222224()()a b c d a b c d -++++++A=A A =AE于是有 2222422222()()a b c d a b c d =-+++=-+++A . 8. 已知线性变换112112212321331233232,3,232,2,45;3,x y y y z z x y y y y z z x y y y y z z =+=-+⎧⎧⎪⎪=-++=+⎨⎨⎪⎪=++=-+⎩⎩ 利用矩阵乘法求从123,,z z z 到123,,x x x 的线性变换. 【解】已知112233112233210,232415310,201013421124910116x y x y x y y z y z y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦X A Y Y B z X A Y A B z z, 从而由123,,z z z 到123,,x x x 的线性变换为11232123312342,1249,1016.x z z z x z z z x z z z =-++⎧⎪=-+⎨⎪=--+⎩ 9. 设A ，B 为n 阶方阵，且A 为对称阵，证明：'B A B 也是对称阵. 【证明】因为n 阶方阵A 为对称阵，即A ′=A , 所以 (B ′AB )′=B ′A ′B =B ′AB ,故'B A B 也为对称阵.10. 设A ，B 为n 阶对称方阵，证明：AB 为对称阵的充分必要条件是AB =BA . 【证明】已知A ′=A ,B ′=B ，若AB 是对称阵，即(AB )′=AB .则 AB =(AB )′=B ′A ′=BA , 反之，因AB =BA ,则(AB )′=B ′A ′=BA =AB ,所以，AB 为对称阵.11. A 为n 阶对称矩阵，B 为n 阶反对称矩阵，证明： (1) B 2是对称矩阵.(2) AB -BA 是对称矩阵，AB +BA 是反对称矩阵. 【证明】因A ′=A ,B ′= -B ,故(B 2)′=B ′²B ′= -B ²(-B )=B 2; (AB -BA )′=(AB )′-(BA )′=B ′A ′-A ′B ′= -BA -A ²(-B )=AB -BA ; (AB +BA )′=(AB )′+(BA )′=B ′A ′+A ′B ′= -BA +A ²(-B )= -(AB +BA ).所以B 2是对称矩阵，AB -BA 是对称矩阵，AB+BA 是反对称矩阵. 12. 求与A =1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦可交换的全体二阶矩阵. 【解】设与A 可交换的方阵为ab cd ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,则由 1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦a b cd ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=a b cd ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 得a cb d aa b cd cc d +++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦. 由对应元素相等得c =0,d =a ,即与A 可交换的方阵为一切形如0a b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的方阵，其中a,b 为任意数. 13. 求与A =100012012⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦可交换的全体三阶矩阵. 【解】由于A =E +000002013⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 而且由111111222222333333000000,002002013013a b c a b c a b c a b c a b c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦可得111222333333232323023000023222.023333c b c c b c a b c c b c a a b b c c -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦由此又可得1113232332322333230,230,20,30,2,3,232,233,c b c a a a c b c b b b c c b c c c =-==-===--=-=-所以2311233230,2,3.a a b c c b c b b ======-即与A 可交换的一切方阵为12332300203a b b b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦其中123,,a b b 为任意数.14. 求下列矩阵的逆矩阵.(1) 1225⎡⎤⎢⎥⎣⎦； (2) 123012001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (3)121342541-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦； (4) 1000120021301214⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (5) 520021000083052⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (6) ()1212,,,0n n a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦，未写出的元素都是0（以下均同，不另注）. 【解】(1) 5221-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦; (2) 12101201-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦;(3) 12601741632142-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦; (4) 100011002211102631511824124⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦; (5) 120025000023058-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦; (6) 12111n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 15. 利用逆矩阵，解线性方程组12323121,221,2.x x x x x x x ++=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩【解】因123111102211102x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,而111002211≠- 故112311101111122.0221113122110221112x x x -⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦16. 证明下列命题：(1) 若A ，B 是同阶可逆矩阵，则（AB ）*=B *A *. (2) 若A 可逆，则A *可逆且（A *）-1=（A -1）*. (3) 若AA ′=E ,则（A *）′=(A *)-1.【证明】（1）因对任意方阵c ，均有c *c =cc *=|c |E ,而A ,B 均可逆且同阶，故可得|A |²|B |²B *A *=|AB |E (B *A *)=(AB ) *AB (B *A *)=(AB ) *A (BB *)A *=(AB ) *A |B |EA *=|A |²|B |(AB ) *.∵ |A |≠0,|B |≠0,∴ (AB ) *=B *A *.(2) 由于AA *=|A |E ,故A *=|A |A -1,从而(A -1) *=|A -1|(A -1)-1=|A |-1A . 于是A * (A -1) *=|A |A -1²|A |-1A =E ,所以(A -1) *=(A *)-1.(3) 因AA ′=E ，故A 可逆且A -1=A ′. 由(2)(A *)-1=(A -1) *,得(A *)-1=(A ′) *=(A *)′.17. 已知线性变换11232123312322,35,323,x y y y x y y y x y y y =++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩ 求从变量123,,x x x 到变量123,,y y y 的线性变换. 【解】已知112233221,315323x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦X A Y 且|A |=1≠0,故A 可逆，因而1749,637324---⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦Y A X X 所以从变量123,,x x x 到变量123,,y y y 的线性变换为112321233123749,637,324,y x x x y x x x y x x x =--+⎧⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 18. 解下列矩阵方程.(1) 12461321-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦X =； (2)211211210210111111--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦X ； (3) 142031121101⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦X =； (4) 01010004310000120101010120-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦X .【解】(1) 令A =1213⎡⎤⎢⎥⎣⎦;B =4621-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.由于13211--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 故原方程的惟一解为13246820.112127----⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦X A B 同理 (2) X =10001001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (3) X =11104⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (4) X =210.03412-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦19. 若k A =O (k 为正整数)，证明：121()k --- E A =E +A +A ++A.【证明】作乘法212121()()k k k kk----=-----=-=E A E +A +A ++A E +A +A ++A A A A A E A E ,从而E -A 可逆，且121()k --- E A =E +A +A ++A20.设方阵A 满足A 2－A －2E ＝O ，证明A 及A ＋2E 都可逆，并求A -1及(A +2E )-1. 【证】因为A 2-A -2E =0,故212().2-=⇒-=A A E A E A E由此可知，A 可逆，且11().2-=-AA E同样地2220,64(3)(2)41(3)(2)4--=--=--+=---+=A A E A A E E ,A E A E E ,A E A E E.由此知，A +2E 可逆，且1211(2)(3)().44-+=--=-A E A E A E21. 设423110123⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A =，2AB =A +B ,求B . 【解】由AB =A +2B 得(A -2E )B =A .而22310,1102121==-≠---A E 即A -2E 可逆，故11223423(2)110110121123143423386.1531102961641232129--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦B A E A22. 设1-PAP =Λ. 其中1411--⎡⎤⎢⎥⎣⎦P =，1002-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=Λ，求10A . 【解】因1-P 可逆，且1141,113-⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦P 故由1Λ-A =P P 得10110101101012121010()()141410331102113314141033110211331365136412421.34134031242--==⎡⎤⎢⎥---⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥--⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎡⎤-+-+⎡⎤==⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦AP P P PΛΛ23. 设m 次多项式01()m m f x a a x a x =+++ ，记01()mm f a a a =+++ A E A A ,()f A 称为方阵A 的m 次多项式.(1)12λλ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A =，证明12kk k λλ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A =，12()()()f f f λλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ； (2) 设1-A =P BP ，证明1k k -B =PA P ，1()()f f -=B P A P . 【证明】 (1)232311232200,0λλλλ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A A 即k =2和k =3时，结论成立. 今假设120,0kkk λλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 那么111111222000,00kk k k k k λλλλλλ+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦AA A = 所以，对一切自然数k ，都有120,0kkk λλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 而011101220111012212()1100().()mm mm m m m m m f a a a a a a a a a a a a f f λλλλλλλλλλ=⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A E +A ++A++++++ (2) 由(1)与A =P -1BP ,得B =PAP -1.且B k =( PAP -1)k = PA k P -1,又0111011011()()().mm mm mm f a a a a a a a a a f ----=+++=+++=++=B E B BE PA PPA PP E A +A P P A P24. a b cd ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A =，证明矩阵满足方程2()0x a d x ad bc -++-=.【证明】将A 代入式子2()x a d x ad bc -++-得222222()()10()()010000.00a d ad bc a b a b a d ad bc cd cd ad bca bc ab bd a adab bd ad bc ac cd cb d ac cdad d -++-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤++++⎡⎤=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A A E 0 故A 满足方程2()0x a d x ad bc -++-=. 25. 设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，证明：(1) 若｜A ｜＝０，则｜*A ｜＝０；(2) 1n *-=A A .【证明】（1）若|A |=0，则必有|A *|=0，因若| A *|≠0，则有A *( A *)-1=E ,由此又得A =AE =AA *( A *)-1=|A |( A *)-1=0,这与| A *|≠0是矛盾的，故当|A | =0，则必有| A *|=0. (2) 由A A *=|A |E ，两边取行列式，得|A || A *|=|A |n ,若|A |≠0，则| A *|=|A |n -1 若|A |=0,由(1)知也有| A *|=|A |n -1.26. 设520032002100450000730041052062⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =,B . 求(1) A B ; (2)B A ; (3) 1-A ；(4)｜A ｜k(k 为正整数). 【解】 (1)232000109000046130329⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A B =; (2) 1980030130000331405222⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦B A =;(3) 1120025000023057--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦A =; (4)(1)kk=-A .27. 用矩阵分块的方法，证明下列矩阵可逆，并求其逆矩阵.（1）1200025000003000001000001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（2）003100212100230-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦; （3）20102020130010*******1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 【解】(1) 对A 做如下分块 12⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A A A 00 其中1230012;,0102501⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦A A 12,A A 的逆矩阵分别为1112100523;,01021001--⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦A A 所以A 可逆，且1111252000210001.0000300010001----⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A AA 同理(2)11112121310088110044.110055230055----⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A A AA A (3)1110012211300222.001000001001-⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A习题三1. 略.见教材习题参考答案.2. 略.见教材习题参考答案.3. 略.见教材习题参考答案.4. 略.见教材习题参考答案.5.112223334441,,,=+=+=+=+βααβααβααβαα，证明向量组1234,,,ββββ线性相关.【证明】因为1234123412341312342()2()0+++=+++⇒+++=+⇒-+-=ββββααααββββββββββ 所以向量组1234,,,ββββ线性相关.6. 设向量组12,,,r ααα线性无关，证明向量组12,,,r βββ也线性无关，这里12.i i +++ β=ααα【证明】设向量组12,,,r βββ线性相关，则存在不全为零的数12,,,,r k k k 使得1122.r r k k k +++= 0βββ把12i i +++ β=ααα代入上式，得121232()()r r r r k k k k k k k +++++++++=0 ααα.又已知12,,,r ααα线性无关，故1220,0,0.r r r k k k k k k +++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪=⎩该方程组只有惟一零解120r k k k ==== ，这与题设矛盾，故向量组12,,,r βββ线性无关.7. 略.见教材习题参考答案.8. 12(,,,),1,2,,i i i in i n ααα== α.证明：如果0ij a ≠，那么12,,,n ααα线性无关. 【证明】已知0ij a =≠A ,故R (A )=n ,而A 是由n 个n 维向量12(,,,),i i i in ααα= α1,2,,i n = 组成的，所以12,,,n ααα线性无关.9. 设12,,,,r t t t 是互不相同的数，r ≤n .证明：1(1,,,),1,2,,n i i i t t i r -== α是线性无关的.【证明】任取n -r 个数t r +1,…,t n 使t 1,…,t r ,t r +1,…,t n 互不相同，于是n 阶范德蒙行列式21111212111121110,11n n r r r n r r r n nnnt t t t t t t t tt t t ---+++-≠从而其n 个行向量线性无关，由此知其部分行向量12,,,r ααα也线性无关.10. 设12,,,s ααα的秩为r 且其中每个向量都可经12,,,r ααα线性表出.证明：12,,,r ααα为12,,,s ααα的一个极大线性无关组.【证明】若 12,,,r ααα (1) 线性相关，且不妨设12,,,t ααα (t <r ) (2)是(1)的一个极大无关组，则显然（2）是12,,,s ααα的一个极大无关组，这与12,,,s ααα的秩为r 矛盾，故12,,,r ααα必线性无关且为12,,,s ααα的一个极大无关组. 11. 求向量组1α=(1,1,1,k ),2α=(1,1,k ,1),3α=(1,2,1,1)的秩和一个极大无关组. 【解】把123,,ααα按列排成矩阵A ，并对其施行初等变换.1111111111111120010010101101001000111011001000k k k k kk k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A 当k =1时，123,,ααα的秩为132,,αα为其一极大无关组. 当k ≠1时，123,,ααα线性无关，秩为3，极大无关组为其本身.12. 确定向量3(2,,)a b =β,使向量组123(1,1,0),(1,1,1),==βββ与向量组1α=(0,1,1), 2α=(1,2,1),3α=(1,0,-1)的秩相同，且3β可由123,,ααα线性表出.【解】由于123123011120(,,);120011111000112112(,,),11010102a b b a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A B αααβββ而R (A )=2,要使R (A )=R (B )=2,需a -2=0,即a =2,又12330112120(,,,),12001121112aa b b a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦c αααβ 要使3β可由123,,ααα线性表出，需b -a +2=0,故a =2,b =0时满足题设要求，即3β=(2,2,0). 13. 设12,,,n ααα为一组n 维向量.证明：12,,,n ααα线性无关的充要条件是任一n 维向量都可经它们线性表出.【证明】充分性: 设任意n 维向量都可由12,,,n ααα线性表示，则单位向量12,,,n εεε，当然可由它线性表示，从而这两组向量等价，且有相同的秩，所以向量组12,,,n ααα的秩为n ，因此线性无关.必要性：设12,,,n ααα线性无关，任取一个n 维向量α,则12,,,n ααα线性相关，所以α能由12,,,n ααα线性表示.14. 若向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组α１,α２,α３线性表出，也可由向量组β１,β２,β３,β４线性表出，则向量组α１,α２,α３与向量组β１,β２,β３,β４等价.证明：由已知条件，1001103111R ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组α１,α２,α３线性表出，即两向量组等价，且123(,,)3R =ααα，又，向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组β１,β２,β３,β４线性表出，即两向量组等价，且1234(,,,)3R =ββββ，所以向量组α１,α２,α３与向量组β１,β２,β３,β４等价.15. 略.见教材习题参考答案.16. 设向量组12,,,m ααα与12,,,s βββ秩相同且12,,,m ααα能经12,,,s βββ线性表出.证明12,,,m ααα与12,,,s βββ等价.【解】设向量组12,,,m ααα (1)与向量组12,,,s βββ (2)的极大线性无关组分别为12,,,r ααα (3)和12,,,r βββ (4)由于（1）可由（2）线性表出，那么（1）也可由（4）线性表出，从而（3）可以由（4）线性表出，即1(1,2,,).ri ijjj ai r ===∑ αβ因（4）线性无关，故（3）线性无关的充分必要条件是|a ij |≠0，可由（*）解出(1,2,,)j j r = β,即（4）可由（3）线性表出，从而它们等价，再由它们分别同（1），（2）等价，所以（1）和（2）等价.17. 设A 为m ³n 矩阵，B 为s ³n 矩阵.证明：m ax{(),()}()()R R R R R ⎡⎤≤≤+⎢⎥⎣⎦A AB A B B .【证明】因A ,B 的列数相同，故A ,B 的行向量有相同的维数，矩阵⎡⎤⎢⎥⎣⎦A B 可视为由矩阵A 扩充行向量而成，故A 中任一行向量均可由⎡⎤⎢⎥⎣⎦A B 中的行向量线性表示，故()R R ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦A A B同理()R R ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦A B B故有m ax{(),()}R R R ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦A AB B又设R (A )=r ,12,,,i i ir ααα是A 的行向量组的极大线性无关组,R （B ）=k , 12,,,j j jkβββ是B 的行向量组的极大线性无关组.设α是⎡⎤⎢⎥⎣⎦A B 中的任一行向量，则若α属于A 的行向量组，则α可由12,,,i i ir ααα表示，若α属于B 的行向量组，则它可由12,,,j j jkβββ线性表示，故⎡⎤⎢⎥⎣⎦A B 中任一行向量均可由12,,,i i ir ααα,12,,,j j jkβββ线性表示，故()(),R r k R R ⎡⎤≤+=+⎢⎥⎣⎦A AB B 所以有m ax{(),()}()()R R R R R ⎡⎤≤≤+⎢⎥⎣⎦A AB A B B .18. 设A 为s ³n 矩阵且A 的行向量组线性无关，K 为r ³s 矩阵.证明：B ＝KA 行无关的充分必要条件是R (K )=r .【证明】设A =(A s ,P s ³(n -s )),因为A 为行无关的s ³n 矩阵，故s 阶方阵A s 可逆. (⇒)当B =KA 行无关时，B 为r ³n 矩阵.r =R (B )=R (KA )≤R (K ),又K 为r ³s 矩阵R (K )≤r ,∴ R (K )=r . (⇐)当r =R (K )时，即K 行无关，由B =KA =K (A s ,P s ³(n -s ))=(KA s ,KP s ³(n -s)) 知R (B )=r ,即B 行无关. 19. 略.见教材习题参考答案.20. 求下列矩阵的行向量组的一个极大线性无关组.(1)2531174375945313275945413425322048⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (2)1122102151203131141⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦. 【解】(1) 矩阵的行向量组1234⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦αααα的一个极大无关组为123,,ααα;(2) 矩阵的行向量组1234⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦αααα的一个极大无关组为124,,ααα.21. 略.见教材习题参考答案.22. 集合V 1＝{(12,,,n x x x )｜12,,,n x x x ∈R 且12n +++ x x x ＝0}是否构成向量空间?为什么? 【解】由（0,0,…,0）∈V 1知V 1非空，设121122(,,,),(,,,),n n V V k =∈=∈∈x x x y y y αβR )则112212(,,,)(,,,).n n n x y x y x y k kx kx kx +=+++= αβα因为112212121212()()()()()0,()0,n n n n n n x y x y x y x x x y y y kx kx kx k x x x ++++++=+++++++=+++=+++= 所以11,V k V +∈∈αβα,故1V 是向量空间.23. 试证：由123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)===ααα,生成的向量空间恰为R 3.【证明】把123,,ααα排成矩阵A =(123,,ααα),则11020101011==-≠A , 所以123,,ααα线性无关，故123,,ααα是R 3的一个基，因而123,,ααα生成的向量空间恰为R 3.24. 求由向量1234(1,2,1,0),(1,1,1,2),(3,4,3,4),(1,1,2,1)====αααα所生的向量空间的一组基及其维数. 【解】因为矩阵12345(,,,,)113141131411314214150121301213,113260001200012024140241400=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--------⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ααααα ∴124,,ααα是一组基，其维数是3维的.25. 设1212(1,1,0,0),(1,0,1,1),(2,1,3,3),(0,1,1,1)===-=--ααββ,证明:1212(,)(,)L L =ααββ.【解】因为矩阵1212(,,,)1120112010110131,01310000013100=⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A ααββ 由此知向量组12,αα与向量组12,ββ的秩都是2，并且向量组12,ββ可由向量组12,αα线性表出.由习题15知这两向量组等价，从而12,αα也可由12,ββ线性表出.所以1212(,)(,)L L =ααββ.26. 在R 3中求一个向量γ，使它在下面两个基123123(1)(1,0,1),(1,0,0)(0,1,1)(2)(0,1,1),(1,1,0)(1,0,1)==-==-=-=αααβββ下有相同的坐标.【解】设γ在两组基下的坐标均为(123,,x x x )，即111232123233112233(,,)(,,),11001100111011101x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦γαααβββ即1231210,1110x x x --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦求该齐次线性方程组得通解123,2,3x k x k x k ===- (k 为任意实数)故112233(,2,3).x x x k k k =++=-γεεε27. 验证123(1,1,0),(2,1,3),(3,1,2)=-==ααα为R 3的一个基，并把1(5,0,7),=β2(9,8,13)=---β用这个基线性表示.【解】设12312(,,),(,),==A B αααββ又设11112123132121222323,x x x x x x =++=++βαααβααα,即11121212321223132(,)(,,),x x x x x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ββααα 记作 B =AX .则2321231235912359()111080345170327130327131235910023032713010330022400112r r r r r r -+↔--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−−→−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦A B 作初等行变换。

《线性代数》课后习题答案

《线性代数》课后习题答案第一章行列式习题1.11. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。

因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。

任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(21212121221121212211212122 11b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。

因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221 121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。

如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。

又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=-+-+=++。

综上所述，我们有)3(Q 是数域。

（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。

（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。

（反证法）如果)()(q Qp Q ?，则q b a p Q b a +=?∈?,，从而有q ab qb a p p 2)()(222++==。

由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。

所以有0=a 或0=b 。

线性代数胡觉亮版(题目)

习题解答习题一（A ）1．用消元法解下列线性方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.5432,9753,432321321321x x x x x x x x x解由原方程组得同解方程组12323234,23,x x x x x ++=⎧⎨+=⎩得方程组的解为13232,2 3.x x x x =-⎧⎨=-+⎩令3x c =，得方程组的通解为c x c x c x =+-=-=321,32,2，其中c 为任意常数．（2）⎪⎩⎪⎨⎧=++--=++-=++-.552,12,12432143214321x x x x x x x x x x x x解由原方程组得同解方程组1234421,44,02,x x x x x -++=⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以方程组无解．（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-=--=+-.05,3523,22,1231321321321x x x x x x x x x x x解由原方程组得同解方程组12323321,0,41,x x x x x x -+=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩得方程组的解为41,41,45321-=-==x x x ．（4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+-+-=-++-=+-.23,0243,6332,322432143214321421x x x x x x x x x x x x x x x解由原方程组得同解方程组123423434432,310,39,3,x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪++=⎪⎨-=⎪⎪=⎩得方程组的解为3,4,1,24321===-=x x x x ．2．用初等行变换将下列矩阵化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--122212221．解 122122100212012010221001001r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-−−→−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得行阶梯形：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100210221（不唯一）；行最简形：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001．（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--324423211123．解 1102232111232551232041050124442300000000r r ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-−−→--−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭，得行阶梯形：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000510402321（不唯一）；行最简形：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000045251021201．（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--211132．解 231110110101120000r r -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-−−→−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得行阶梯形：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-001011（不唯一）；行最简形：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001001．（4）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-34624216311230211111．解 11001111111111122032102501101002136120070000100426430000000000r r ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪−−→−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，得行阶梯形：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000007001052011111（不唯一）；行最简形：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000000100210010211001．3．用初等行变换解下列线性方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++.3,1142,53332321321x x x x x x x x解 2100313357214110109011320019r B ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-−−→- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭M M M M M M ，得方程组的解为920,97,32321=-==x x x ．（2）⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=++-.2222,2562,134432143214321x x x x x x x x x x x x解 114311143121652032101222200001r B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭M M M M M M ，得方程组无解．（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+-=-+=-+-.1837,4,133,44324324324214321x x x x x x x x x x x x x解 4710021234415130310101201114230012073118200000r B ⎛⎫ ⎪--⎛⎫ ⎪⎪⎪--- ⎪ ⎪=−−→ ⎪- ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎪⎪⎝⎭MM M M M M MM ，得方程组的解为1243447,215,2232.2x x x x x ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩令4x c =，得方程组的通解为c x c x c x x =-=-==4321,2232,215,247，其中c 为任意常数．（4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=+++-=+++-=+++-.1224,9138436,354236,232254321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x解1112112321002226324530010436348139000100421121000000r B ⎛⎫----⎛⎫ ⎪ ⎪⎪- ⎪=−−→ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭M M M M M M M M ，得方程组的解为125354111,22243,0.x x x x x x ⎧=+-⎪⎪=-+⎨⎪=⎪⎩令2152,x c x c ==，得方程组的通解为 2542312211,0,34,,2122c x x c x c x c c x ==+-==-+=，其中21,c c 为任意常数．（B ）1．当λ为何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++2321321321,,1λλλλx x x x x x x x x 有无穷多解，并求解．解 2211111111110*********r B λλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭M M M M M M ．当1λ=时，111100000000rB ⎛⎫⎪−−→ ⎪ ⎪⎝⎭M M M ，方程组有无穷多解，且解为 1231x x x =--+．令2132,x c x c ==，得方程组的通解为2312211,,1c x c x c c x ==+--=，其中21,c c 为任意常数．3．（联合收入问题）已知三家公司A 、B 、C 具有如下图所示的股份关系，即A 公司掌握C公司50%的股份，C 公司掌握A 公司30%的股份，而A 公司70%的股份不受另外两家公司控制等等．现设A 、B 和C 公司各自的营业净收入分别是12万元、10万元、8万元，每家公司的联合收入是其净收入加上其它公司的股份按比例的提成收入．试确定各公司的联合收入及实际收入．解 A 公司的联合收入为309390.86元，实际收入为216573.60元； B 公司的联合收入为137309.64元，实际收入为27461.93元；0.2C 公司的联合收入为186548.22元，实际收入为55964.47元.习题二（A ）1．利用对角线法则计算下列行列式：（1）cos sin sin cos θθθθ-．解原式1=．（2）22x y x y ．解原式()xy y x =-．（3）123312231．解原式18=．（4）000a b c a b a．解原式3a =．（5）000a a b a b c．解原式3a =-． 2．按定义计算下列行列式：（1）000000000a b f c de．解原式1311000(1)0(1)0bca f c ab abcd d ede++=-=-=-．（2）0100002000010n n-L L LL L L L L L．解原式1100020(1)001n n n +=-=-LL M M M L!)1(1n n +-．3．利用行列式的性质，计算下列行列式：（1）ab ac ae bdcd de bf cf ef---．解原式111111111022111002abcdef abcdef -=-=-=-abcdef 4-．（2）1111222233334444------．解原式1111044419200660008==．（3）a xa a a a a x aa a a a x a aaaa x ++++．解原式1111100000(4)(4)0000a a x a a a x a x a x a a a x a a x aaaa xa x+=+=+=++3(4)a x x +．（4）23100120103518510154．解原式120112011201231000*********0351803518003512510154151151----=-=-=---12351221501151=-⋅=---．（5）12111110010010na a a LL LM M M L M L，其中0,1,2,,i a i n ≠=L ．解原式111212110001001001ii ni ir r a i nna a a a =-≤≤-==∑L LL M M M LM L∑∏==-ni ni i i a a 11)11(． 4．利用行列式展开定理，计算下列行列式：（1）1214012110130131-．解原式02012010010121321213217101313131131131--==-=-==---．（2）5487235472856393--------．解原式0030323014153223141531443144318143466343663443--====-=--．（3）123100010000000000001n na a a a a -L L L MM MM M L L．解原式122131100010000000(1)0000000n n n n a a a a a a a +--=-+L L L L L M M M M M M M LL2311(1)1210000(1)(1)00n n n n a a a a a a ++--=--+L LL M M M L23112n n a a a a a a -=-+L L 2311(1)n n a a a a a -=-L ．（4）2100012100012000002100012n D =L LL M M M M M L L．解将行列式按第一行展开，得122n n n D D D --=-，则11221212112n n n n D D D D D D ----=-==-=-=L ，所以12112(1)1n n n D D D D n n --=+=+==+-=+L ． 5．利用行列式展开定理证明：当βα≠时，有11000100010000001n n n D αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+++++-==-++L L LM M M O MML L．证将行列式按第一行展开，得12()n n n D D D αβαβ--=+-，则211223()()n n n n n n D D D D D D βαβαβ------=-=-22221()[()()]n n n D D αβααβαββαβα--==-=+--+=L ，所以1n n n D D βα--=．（1）由n D 关于α与β对称，得1n n n D D αβ--=．（2）由（1）与（2）解得11n n n D αβαβ++-=-(类比于高中学过的由数列a n 与a n-1的关系推导通项公式）6．利用范德蒙德行列式计算行列式222abcab c b c a c a b+++．解原式222222111()()111ab c a b c ab c a b c ab c a b c =++=++ ()()()()a b c b a c a c b =++---．7．设2142112531335111D =-，试求14243444A +A +A +A 和11121314M +M M M ++．解 14243444A +A +A +A 0=；111213141112131411111125+31335111M M M M A A A A --++=-+-=-100234650213465242242284214262620626120---==-=-=-=--．8．利用克拉默法则解下列线性方程组：（1）12341234123412345,242,2352,32110.x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩解经计算，得1234142,142,284,426,142D D D D D =-=-=-=-=，所以方程组的解为1,3,2,14321-====x x x x ．（2）123423412423423411,3,30,73 5.x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+=-⎪⎨++=⎪⎪-++=⎩解经计算，得123416,16,0,32,16D D D D D =====-，所以方程组的解为1,2,0,14321-====x x x x ．9．试问λ取何值时，齐次线性方程组123123123230,3470,20x x x x x x x x x λ-+=⎧⎪-+=⎨⎪-++=⎩有非零解．解方程组有非零解，则0D =．又2133475(3)12D λλ-=-=-+-，所以3-=λ．10．试问λ、μ取何值时，齐次线性方程组1231231230,0,20x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解．解方程组有非零解，则0D =．又1111(1)121D λμμλμ==-，所以1=λ或0=μ．（B ）1．选择题：（1）设1112132122233132330a a a a a a a a a a =≠，则111312122123222231333232125331253312533a a a a a a a a a a a a ----=--( )．（A ）2a （B ）2a - （C ）3a - （D ）3a解原式1233223111312121112132123222221222325(3)331323331333232153112(3)56()233153c c c c c c c a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ÷+÷-⨯↔-=⨯--=-⨯⨯-=-．选（A ）．（2）四阶行列式11223344000000a b a b b a b a 的值等于（）．（A ）12341234a a a a bb b b - （B ）12341234a a a a bb b b +（C ）()()12123434a a b b a a b b -- （D ）()()23231414a a b b a a b b --解将行列式的第4行依次与第3行、第2行交换，再将行列式的第4列依次与第3列、第2列交换，得()()11114422232314142233334400000000000000a b a b b a a b a a b b a a b b a b b a b a b a ==--．选（D ）．（3）设线性方程组111122121122220,0.a x a x b a x a x b -+=⎧⎨-+=⎩若111221221a a a a =，则方程组的解为（）．（A ）11211112222212,b a a b x x b a a b == （B ）11211112222212,b a a bx x b a a b =-=-（C ）11211112222212,b a a b x x b a a b =-= （D ）11211112222212,b a a b x x b a a b ==-解将方程组写成标准形式：11112212112222,.a x a x b a x a x b -=-⎧⎨-=-⎩有11121121121111111221222222222122121,,a a b a b a a b a b D D D a a b a b a a b a b ----==-====-----，所以方程组的解为1121111212222212,b a a b D Dx x b a a b D D ==-==．选（C ）．（4）方程()f x =2222333311110x a b cxabcx a b c =的根的个数为（）．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 解方法一：将()f x 按第1列展开，知()f x 为3次多项式，因此有3个根．选（C ）．方法二：()()()()()()()f x a x b x c x b a c a c b =------有3个根123,,x a x b x c ===．选（C ）．2．计算四阶行列式12124121200000000a a b b D c c d d =．解 121212124121212120000000000000a a a a c c c c Db b b b d d d d =-= 12121212a ab bc cd d =⋅=))((12211221d b d b c a c a --．3．计算四阶行列式41111111*********x x D x x ---+-=--+--．解 41111111111111111111111111111xx x x x x D xx x x x-----+--+-==--------43210010(1)1001000xx x x x x x x ⨯==⋅-⋅⋅=4x ．4．计算n 阶行列式12321213212121n n n D n nn n -=---L L LL L L L L L ．解 11221121231134111111100001111112000111111222n n n n j r r r r r r nc c j nn nn n D ------+≤≤-+----==----L L L LLL L LL M M M M M M M M M M LL112110001200(1)(1)(1)(1)212201222nn n n n n ++--=+-=-+L LL M M M M L．5．计算五阶行列式222522000120001200012012a a aa D a a a a a=．解方法一：一般地，对于此类n 阶行列式，将其按第一行展开，得2122n n n D D D αα--=-，则211223()()n n n n n n D D D D D D βαααα------=-=-222221()[(2)2]n n n D D αααααααα--==-=--⋅=L ，有12122()2n n n n n n n n D D D D αααααααα----=+=++=+111(1)2(1)(1)n n n n nD n n n αααααα--==+-=⋅+-=+L ，所以556D a =．方法二：由习题二（A ）的第5题，得当αβ=时，有11lim (1)lim (1)n n n n n D n n βαβααββααβ++→→-==+=+-，所以556D a =．6．计算n 阶行列式01221000100010000001n n n x a x a x a D xa x a ----=-+L L L M M M M M L L．解将行列式按第一行展开，得10n n D xD a -=+，则 2210210()n n n D x xD a a x D a x a --=++=++121210n n n x D a x a x a ---==++++L L121210()n n n n x x a a x a x a ----=+++++L 1110n n n x a x a x a --=++++L ．7．已知1326、2743、5005、3874都能被13整除，不计算行列式的值，证明4783500534726231能被13整除．证4142431000100101326132********27427435005500500538743873874c c c c c c +++=．由已知，得后行列式的第4列具有公因子13，所以原行列式能被13整除．8．证明:222244441111()()()()()()()a b c d a b a c a d b c b d c d a b c d abcda b c d =------+++．证构造5阶行列式222225333334444411111a b c d x D a b c d x a b c d x a b c d x =，则5()()()()()()()()()()D b a c a d a c b d b d c x a x b x c x d =----------．（1）将5D 按第5列展开，得435222222223333444411111111()a b c d a b c d D x x abcdabcda b c d a b c d =+-+L ．（2）比较（1）与（2）右边3x 的系数，知结论成立．9．证明：当b a 4)1(2=-时，齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=+-+=+++=+++0)(,03,02,04321432143214321x b a x a x x x x x x x x x x ax x x x 有非零解．证方程组的系数行列式21111211(1)4113111a D ab aa b==---+，当0D =，即b a 4)1(2=-时，方程组有非零解．10．应用题：（1）1；（2）01=+-y x ．习题三（A ）1．下列矩阵中，哪些是对角矩阵、三角矩阵、数量矩阵、单位矩阵．1203A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，100001000010B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100420053C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，300030003D ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．解 D 是数量矩阵，也是对角矩阵；A 、C 是三角矩阵；B 都不是．2．设矩阵112123111,122211031A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．（1）计算2A B +；（2）若X 满足32A X B +=，求X ．解（1）3472100411A B ⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭；（2）11023577695X B A -⎛⎫ ⎪=-=-- ⎪ ⎪--⎝⎭．3．设有3阶方阵111222333a c d A a c d a c d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，111222333b c d B b c d b c d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且1A =，2=B ，求2A B +．解 1111222233332332233233a b c d A B a b c d a b c d ++=++1111112222223333339(2)9(2)45a c d b c d a c d b c d A B a c d b c d --=+--=+=--． 4．计算下列矩阵的乘积：（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛--16696432．解原式09018-⎛⎫=⎪-⎝⎭．（2）131104227011-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭．解原式866⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．（3）()132123⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．解原式10=．（4）()123213⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．解原式321642963⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．（5）10020020100100031003⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭．解原式3E =．（6）()111213112312222321323333a a a x x x x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．解原式222111222333121213132323222a x a x a x a x x a x x a x x =+++++．5．已知矩阵103021001A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，100021301B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．求：（1）AB 与BA ；（2）))((B A B A -+与22B A -.解（1）1003343301AB ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1030433010BA ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；（2）906()()600609A B A B -⎛⎫ ⎪+-=- ⎪ ⎪-⎝⎭，22006300600A B ⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭． 6．求与矩阵1(0)01a A a ⎛⎫=≠⎪⎝⎭可交换的所有矩阵．解设与A 可交换的矩阵1234x x B x x ⎛⎫=⎪⎝⎭．由AB BA =，得 131********33343444,,,,,0,,.x ax x x x x ax ax x x x x x x x ax x x x +==⎧⎧⎪⎪+=+=⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎪⎪⎪=+=⎩⎩ 令24,x c x b ==，得0b c B b ⎛⎫=⎪⎝⎭，其中c b ,为任意常数． 7．利用归纳法，计算下列矩阵的k 次幂，其中k 为正整数：（1）cos sin sin cos θθθθ-⎛⎫⎪⎝⎭．解令cos sin sin cos A θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭，有 23cos 2sin 2cos3sin 3,,sin 2cos 2sin 3cos3A A θθθθθθθθ--⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L则cos sin sin cos k k k A k k θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭．（2）1201⎛⎫⎪⎝⎭．解令1201A ⎛⎫=⎪⎝⎭，有234141618,,,010101A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，则 1201k k A ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（3）110011001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．解令110011001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，有 23451211331461510012,013,014,015,001001001001A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L则2101001k k k C A k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．8．已知矩阵()123α=，11123β⎛⎫= ⎪⎝⎭，令βαTA =，求n A ，其中n 为正整数．解 111()()()3()nTT n T n T n T A αβαββααβαβ---=== 111123232133312n -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅-------11112113233323323233n n n n n n n n n ．9．若A 为n 阶对称矩阵，P 为n 阶矩阵，证明TP AP 为对称矩阵．证因为()()T A ATTTTT TT P AP P A P P AP ===，所以T P AP 为对称矩阵．10．利用公式法求下列矩阵的逆矩阵：（1）3421A ⎛⎫=⎪⎝⎭．解 50A =-≠，又*1423A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，所以1*1A A A -==⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--53525451．（2）100210331A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．解 10A =≠，又*100210331A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，所以1*1A A A -==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--133012001．（3）122212221A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭．解 270A =-≠，又*3A A =-，所以1*1A A A-==A 91．（4）1111111111111111A ⎛⎫⎪--⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭．解 160A =-≠，又*4A A =-，所以1*1A A A-==A 41．11．解下列矩阵方程：（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛3121203221X ．解 112021320212321321213X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎭⎫⎝⎛---152384．（2）设B AX X +=，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=101111010A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111B ．解由B AX X +=，得B X A E =-)(．又03201101011≠=-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-A E A E ，，则A E -可逆，且B A E X 1)(--=．经计算，得1*02111()()3213011E A E A E A -⎛⎫ ⎪-=-=- ⎪- ⎪-⎝⎭．所以B A E X 1)(--=02111321130111⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-= ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛001．（3）100001321001010987010100654X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．解 11100100001001001001,010010010010100100--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则11100321001001987010010654100X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛987654321．12．设(1,2,1)A diag =-，且矩阵B 满足*28A BA BA E =-，求矩阵B ．解等式*28A BA BA E =-两边左乘以A ，得28A BA ABA A =-．又20A =-≠，上式两边右乘以1A -，得228B AB E -=-，即()4E A B E +=，所以1114()4(,1,)222B E A diag A -=+=-=．13．设,,A B C 都是n 阶矩阵，证明：ABC 可逆的充分必要条件是,,A B C 都可逆．证 ABC 可逆000,0,0ABC A B C A B C ⇔≠⇔⋅⋅≠⇔≠≠≠⇔,,A B C 都可逆．14．设n 阶方阵A 满足23A A O -=，证明2A E -可逆，并求()12A E --．证由23A A O -=，得(2)()2A E A E E --=，即(2)2A EA E E --=，所以2A E -可逆，且()12A E --=2E A -．15．设A 为n 阶矩阵，且O A =3，证明A E -及A E +都是可逆矩阵．证由2A O =，得2()()E A E A A E -++=及2()()E A E A A E +-+=，所以AE -及A E +都是可逆矩阵．16．已知A 为三阶方阵，且2A =-，求：（1）()12A -；（2）*A ；（3）*112A A --．解（1）原式13111()22A A-===161-．（2）原式2A ==4．（3）*1111115222A A A A A A -----=-=-，有原式13551()22A A-=-=-=16125． 17．设123231312A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求()1*-A．解 18A =-，则()1*AAA-==18A -．18．（1）设1P AP B -=，证明1kkB P A P -=．（2）设PB AP =，且100100210,000211001P B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，求A 与2011A ．证（1）111111()()()()kkkB P AP P A PP A PP PP AP P A P ------===L ．（2）由PB AP =，得1A PBP -=，且201120111APB P -=．又12011100100210,000411001P B B -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以20111100200,611A A PBP A -⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪--⎝⎭． 19．利用分块矩阵计算下列矩阵的乘积：（1）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121003013000120010100121．解将矩阵进行如下分块：11221210103001010121,0021002300030003A E E B O A O B ⎛⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭M MM M L L L L L L L L L L M M M M ，则原式1111122222A E E B A A B B O A O B O A B +⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．又1122212302351212349,01210322030309A B B A B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以原式1251012200490009⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭．（2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛d d c c b b a a 0000010001100010．解将矩阵进行如下分块：01000010,10000100a c a c aE E C E bE dE b d b d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭MM L L L L L L L M M ，则原式aE E C aC dE E bE dE C bdE +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛bd c c bd d ac ac d ．20．利用分块矩阵求下列矩阵的逆矩阵：（1）130120005⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭．解将矩阵进行如下分块：12130120005A O A O A ⎛⎫⎪-⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭M M L L L L M ，则11112A O A OA ---⎛⎫=⎪⎝⎭．又()1111122313155,51211555A A ----⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭，所以 1A -=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-51000515105352．（2）2100130000330042⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭．解将矩阵进行如下分块：122100130000330042AO A O A ⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎪== ⎪⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭M M L L LL L M M ，则11112A O A OA ---⎛⎫=⎪⎝⎭．又111112311121335532,131242215532A A ----⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1A -=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----213200213100005251005153．（3）200000120013000002500021⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭．解将矩阵进行如下分块：1232000001200=0130********21A A A A ⎛⎫ ⎪⎪⎪⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭M M L LL L L L L M M M M L LL L L L L M M M M，则1111123(,,)Adiag A A A ----=．又()111111123151232251882,,13112111244A A A ------⎛⎫-- ⎪-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫======⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭，所以1A -=10000203200011001500088110044⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． 21．设矩阵1100010000120021A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，利用分块矩阵计算4A ．解将矩阵进行如下分块：1211000100(,)00120021A diag A A ⎛⎫⎪ ⎪⎪==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M M L L LL L M M ，则44412(,)A diag A A =．又4412144140,014041A A ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以 41400100004140004041A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭．22．设矩阵2500130002100122A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，利用分块矩阵计算2012A ．解将矩阵进行如下分块：1225001300(,)002100122A diag A A ⎛⎫⎪ ⎪⎪==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M M L L LL L M M ，则121(8)8A A A =⋅=⨯-=-，所以2012201220128AA==．23．（1）设O B A C O ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且m 阶矩阵B 和n 阶矩阵C 均可逆，试证明111O C A BO ---⎛⎫= ⎪⎝⎭．（2）设矩阵12100000000000n na a A a a -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L MM M M L L，其中12,,,n a a a L 为非零常数，求1A -．证（1）因为1111O B E O O C BB O E C O O E B O O CC ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以A 可逆，且111O C A BO ---⎛⎫= ⎪⎝⎭．（2）将矩阵进行如下分块：121000000000000n n a a O B A a C O a-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M LM L M M M M M L L L L L L L ML，则111O C A BO ---⎛⎫= ⎪⎝⎭．又111111121(,,,),()n n B diag a a a C a -------==L ，所以1A -=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----0000000000001112111n n a a a a ΛM M M M ΛΛΛ． 24．利用矩阵的初等行变换判断下列矩阵是否可逆；如可逆，求其逆矩阵．（1）130312433⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭．解 ()313100510101301001313120100105101043300113000122r A E ⎛⎫⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-−−→-- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪-⎪⎝⎭M M M M M M ．因为31051015000E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，所以A 不可逆．（2）122212221⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭．解 ()122100999122100212212010010999221001221001999r A E ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-−−→- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪-⎪⎝⎭M M M M M M ，所以A 可逆，且1122999212999221999A -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭．（3）3201022112320121--⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭．解 ()32011000022101001232001001210001A E --⎛⎫⎪⎪= ⎪---⎪⎝⎭M M M M100011240100010100101136000121610r --⎛⎫ ⎪- ⎪−−→ ⎪-- ⎪--⎝⎭M M M M ，所以A 可逆，且111240101113621610A ---⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭．（4）1111111111111111A ⎛⎫⎪--⎪= ⎪--- ⎪---⎝⎭．解 ()11111000111101001111001011110001A E ⎛⎫⎪--⎪= ⎪---⎪---⎝⎭M M M M11100000221101000022110011002200000011r ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎪−−→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭MM MM ，所以A 不可逆．25．利用矩阵的初等行变换解下列矩阵方程：（1）12313032410272101078X --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．解 ()12313010064532410270102122101078001333r E X --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-−−→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭M M M M M M ，所以645212333X ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．（2）5318301325905212150X -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．解将方程两边转置，得5158523323915121000T X ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．由 ()515100100147332010010258121001001369r T E X -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-−−→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭M M M M M M ，得123456789X ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． 26．求下列矩阵的秩：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------034123122651．解 156215622132099214300000r A ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以()2R A =．（2）213244251721182--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭．解 21324213244251700151()22118200000r A R A ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-−−→-⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．（3）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5341112332122131．解 1312131221230747()23211000014350000r A R A ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪=−−→⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．（4）31325532341350775141-⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪--- ⎪-⎝⎭．解 313251350753234049113()313507000017514100000r A R A ----⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎪ ⎪=−−→⇒= ⎪ ⎪--- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭． 27．设矩阵12125111610A λλ-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，且3)(=A R ，求λ的值．解 1211161025101510116100033(3)r A λλλλλ--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭．由3)(=A R ，得3λ≠．28．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ，问k 取何值时，使得（1）()1R A =；（2）()2R A =；（3）3)(=A R ．解 12312312302(1)3(1)23003(1)(2)r k k A k k k k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭，有当1k ≠且2k ≠-时，3)(=A R ；当1k =时，()1R A =；当2k =-时，()2R A =．29．设A 是43⨯矩阵，且A 的秩为2，而101111123B ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪---⎝⎭，求()R AB ．解 20B =≠，则()()2R AB R A ==．30．设A 为n 阶矩阵，满足256A A E O ++=，证明：(2)(3)R A E R A E n +++=．证由256A A E O ++=，得(2)(3)A E A E O ++=，所以(2)(3)R A E R A E n +++≤.又(2)(3)(2)(3)()R A E R A E R A E R A E R E n +++=--++≥=，所以(2)(3)R A E R A E n +++=.31．设三阶矩阵110212122A ⎛⎫ ⎪=--- ⎪ ⎪--⎝⎭，试求()R A 与*()R A ．解 110110212012()2122000r A R A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=---−−→-⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．因为*()231()1R A R A ==-⇒=． 32．求解下列线性方程组：（1）12312312340,2960,3520.x x x x x x x x x +-=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解方程组的系数矩阵114114296012352001r A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为()3R A =，所以方程组只有零解．（2）12312312321,23,237.x x x x x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪-++=⎩解方程组的增广矩阵()121110012113010112370012r B A β-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==-−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭M M M M M M ，所以方程组的解为2,1,1321===x x x ．（3）12341234123412342370,3270,4360,2550.x x x x x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩解方程组的系数矩阵11002231773127010241365001125520000r A ⎛⎫ ⎪--⎛⎫⎪ ⎪⎪--⎪ ⎪=−−→ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎪⎪⎝⎭，得方程组的解为1424341,27,25.2x x x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩令42x c =，得方程组的通解(1,7,5,2)T X c =-，其中c 为任意常数．（4）12341234123412340,232,325,36 4.x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+--=⎪⎨+++=⎪⎪+--=⎩解方程组的增广矩阵()1111011110231120133232115005573611400005r B A β⎛⎫⎛⎫⎪⎪----⎪ ⎪==−−→ ⎪ ⎪- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭M M M M M M M M ．因为()3()4R A R B =≠=，所以方程组无解．（5）1231231231232515,34,4611,32419.x x x x x x x x x x x x -+=⎧⎪+-=⎪⎨-+=⎪⎪++=⎩解方程组的增广矩阵()2151512713140111146110000324190000r B A β-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪==−−→ ⎪ ⎪-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭M M M M M M M M ，得方程组的解为132327,1.x x x x =-+⎧⎨=-⎩ 令3x c =，得方程组的通解(2,1,1)(7,1,0)T T X c =-+-，其中c 为任意常数．（6）1234123412341234321,22,22771,228100.x x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+-+=-⎪⎨-++=⎪⎪-++=⎩解方程组的增广矩阵()11321110741121200131227710000022810000000r B A β---⎛⎫⎛⎫⎪⎪---- ⎪ ⎪==−−→⎪ ⎪-⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭M M M M M M M M ，得方程组的解为1243474,3 1.x x x x x =++⎧⎨=--⎩ 令2142,x c x c ==，得方程组的通解为12(1,1,0,0)(7,0,3,1)(4,0,1,0)T T T X c c =+-+-，其中12,c c 为任意常数．33．试问λ取何值时，下列非齐次线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解．（1）123123123(1)1,(1),(1) 1.x x x x x x x x x λλλλλ+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=--⎩解方程组的系数行列式2111111(3)111A λλλλλ+=+=++．当0A ≠，即0≠λ且3-≠λ时，方程组有唯一解．当0=λ时，()111111111110000111110000r B A β⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭M M M M M M ．因为()1()2R A R B =≠=，所以方程组无解．当3-=λ时，()211111221213033511220000r B A β--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==--−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭M M M M M M ．因为()()23R A R B ==<，所以方程组有无穷多解．（2）123123123(2)221,2(5)42,24(5) 1.x x x x x x x x x λλλλ-+-=⎧⎪+--=⎨⎪--+-=--⎩解方程组的系数行列式322222222254254(10)(1)245011r r A λλλλλλλκλ+----=--=--=--------．当0A ≠，即1λ≠且10λ≠时，方程组有唯一解．当10λ=时，()8221254225420111245110001r B A β----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==--−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭M M M M M M ．因为()2()3R A R B =≠=，所以方程组无解．当1λ=时，()122112212442000024420000r B A β--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==-−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭M M M M M M ．因为()()13R A R B ==<，所以方程组有无穷多解．34．试问λ取何值时，非齐次线性方程组13123123,422,6423x x x x x x x x λλλ+=⎧⎪++=+⎨⎪++=+⎩有解，并求解．解方程组的增广矩阵()101101412201223614230001r B A λλβλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==+−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭M M M M M M ．当1=λ时，()101101210000rB A β⎛⎫⎪=−−→-- ⎪ ⎪⎝⎭M M M ，有()()23R A R B ==<，则方程组有无穷多解，且解为13231,2 1.x x x x =-+⎧⎨=-⎩ 令3x c =，得方程组的通解为(1,2,1)(1,1,0)T T X c =-+-，其中c 为任意常数．35．求平面上三点112233(,),(,),(,)x y x y x y 共线的充分必要条件．解设直线方程为0ax by c ++=．则平面上三点112233(,),(,),(,)x y x y x y 共线1222330,0,0x a y b c x a y b c x a y b c ++=⎧⎪⇔++=⎨⎪++=⎩有非零解1122331101x y x y x y ⇔=，即0111321321=y y y x x x ．（B ）1．选择题：（1）设B A ,为n 阶矩阵，以下结论正确的是（）．(A)若A 、B 是对称矩阵，则AB 也是对称矩阵． (B)()()22B A B A B A -=+-．(C)若AB O =，且A 可逆，则B O =． (D)若A 与B 等价，则A 与B 相等．解选（C ）．（2）设A 和B 均为n n ⨯矩阵，则必有（）．(A)B A +=A +B ． (B)BA AB =． (C)AB =BA ． (D)()111---+=+B A B A ．解选（C ）．（3）设A 为(2)n n ≥阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，k 为常数，则*()kA =（）．(A)*A ． (B)*kA ． (C)1*n kA -． (D)*n k A ．解由伴随矩阵的定义，知选（C ）．（4）设A 和B 均为n 阶非零矩阵，且AB O =，则A 和B 的秩（）． (A)必有一个等于零． (B)一个等于n ，一个小于n ． (C)都等于n ． (D)都小于n ．解由AB O =，得()()R A R B n +≤．又,A O B O ≠≠，知()1,()1R A R B ≥≥．所以(),()R A n R B n <<，故选（D ）．（5）对于非齐次线性方程组11m n n m A X β⨯⨯⨯=，若()R A r =，则（）． (A)当r m =时，11m n n m A X β⨯⨯⨯=有解．(B)当r n =时，11m n n m A X β⨯⨯⨯=有唯一解． (C)当m n =时，11m n n m A X β⨯⨯⨯=有唯一解． (D)当r n <时，11m n n m A X β⨯⨯⨯=有无穷多解．。

(完整版)线性代数课后习题答案第1——5章习题详解

第一章行列式4.计算下列各行列式：（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢7110025*********4；（2）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-265232112131412；（3）⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae ac ab ；（4）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c b a100110011001解(1)7110025102021421434327c c c c --0100142310202110214---=34)1(143102211014+-⨯---=143102211014-- 321132c c c c ++1417172001099-=0(2)2605232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=ec b e c b ec b adf ---=111111111---adfbce =abcdef 4(4)d c b a 100110011001---21ar r +dc b a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dc a ab 10111--+23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明: (1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(33+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅;(5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n +-----n n n n a x a x a x ++++=--111 . 证明(1)00122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--=右边=-=3)(b a(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分bzay y x by ax x z bxaz z y b +++z y x y x z x z y b y x z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y zy x b y x z x z y z y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 964496449644964422222++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a 949494949464222224232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+ddd c c c bb b a a a (4) 444444422222220001ad a c a b a ad a c a b a ad a c a b a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b ad a c a b --------- =)()()(111))()((222a d d a c c a b b a d a c ab a d ac a b ++++++--- =⨯---))()((ad a c a b )()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b )()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即 ,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x xa xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得n nn n a a a a D 11111 =， 11112n nn n a a a a D = ，11113a a a a D n nnn =，证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnn n nn n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴ =--=--nnn n nnn n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn n n n a a a a 111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-=同理可证nnn n n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n T n n 2)1(2)1()1()1(---=-= D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)a aD n 11=,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)xaaax aa a x D n=; (3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n n n n n ------=---+; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) nnnnn d c d c b a b a D000011112=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121 ,021≠n a a a 其中.解(1) aa a a a D n 00010000000000001000 =按最后一行展开)1()1(100000000000010000)1(-⨯-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--⋅-+n n na aa(再按第一行展开)n n n nn a a a+-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax x a ax x a a x x a aa a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上，得ax ax a x aaa a n x D n ----+=000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=- (3) 从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得 nn n n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-•-•-=---=111)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) nn nnn d c d c b a b a D 011112=nn n n n nd d c d c b a b a a 0000000011111111----展开按第一行0000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222 ---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D即 ∏=-=ni i i iin D c b da D 222)(而 111111112c b d a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)j i a ij -=432140123310122210113210)det( --------==n n n n n n n n a D ij n ,3221r r r r --0432111111111111111111111 --------------n n n n,,141312c c c c c c +++152423210222102210002100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n(6)nn a a D a +++=11111111121,,433221c c c c c c ---n n n n a a a a a a a a a a +-------10000100010000100010001000011433221 展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------00000000000000000000000000022433221 nn n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------000000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---)11)((121∑=+=ni in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(5454343232121x x x x x x x x x x x x x解 (1)11213513241211111----=D 8120735032101111------=145008130032101111---=1421420005410032101111-=---= 112105132412211151------=D 11210513290501115----=1121023313090509151------=2331309050112109151------=1202300461000112109151-----=14200038100112109151----=142-=112035122412111512-----=D 811507312032701151-------=3139011230023101151-=2842840001910023101151-=----=426110135232422115113-=----=D ; 14202132132212151114=-----=D1,3,2,144332211-========∴DDx D D x D D x D D x (2) 510006510006510006510065=D 展开按最后一行61000510065100655-'D D D ''-'=65 D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019D D ''''-'''=1146566551141965=⨯-⨯=(,11的余子式中为行列式a D D ',11的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',) 51001651000651000650000611=D 展开按第一列6510065100650006+'D 46+'=D 460319+''''-'''=D 1507=51010651000650000601000152=D 展开按第二列5100651006500061-6510065000610005-365510651065⨯-= 1145108065-=--=51100650000601000051001653=D 展开按第三列51006500061000516500061000510065+6100510656510650061+= 703114619=⨯+=51000601000051000651010654=D 展开按第四列61000510065100655000610005100651--51065106565--=395-= 110051000651000651100655=D 展开按最后一列D '+10005100651006512122111=+= 665212;665395;665703;6651145;665150744321=-==-==∴x x x x x ． 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 μλμμμλ-==12111113D ，齐次线性方程组有非零解，则03=D即 0=-μλμ 得 10==λμ或不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.10.齐次线性方程组取何值时问,λ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解？解λλλ----=111132421D λλλλ--+--=101112431)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-=3)1(2)1(23-+-+-=λλλ 齐次线性方程组有非零解，则0=D得 32,0===λλλ或不难验证，当32,0===λλλ或时，该齐次线性方程组确有非零解.第二章矩阵及其运算1. 已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x ,求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换.解由已知:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y , ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y .2. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换.解由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z , 所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B . 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T . 4. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635. (2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(; 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛; 解 )21(312-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142. (4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ; 解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876. (5)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ; 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x =(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问: (1)AB =BA 吗?解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .(2)(A +B)2=A 2+2AB +B 2吗?解 (A +B)2≠A 2+2AB +B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148, 但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610, 所以(A +B)2≠A 2+2AB +B 2.(3)(A +B)(A -B)=A 2-B 2吗?解 (A +B)(A -B)≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A , 故(A +B)(A -B)≠A 2-B 2.6. 举反列说明下列命题是错误的:(1)若A 2=0, 则A =0;解取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0. (2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;解取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y .解取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y , 则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k . 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k . 8. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A , 求A k . 解首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=k A k k k k k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫ . 用数学归纳法证明:当k =2时, 显然成立.假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121. 9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵. 证明因为A T =A , 所以(B T AB)T =B T (B T A)T =B T A T B =B T AB ,从而B T AB 是对称矩阵.10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA . 证明充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以(AB)T =(BA)T =A T B T =AB ,即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB)T =AB , 所以AB =(AB)T =B T A T =BA .11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A|=1, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A , 故*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A . |A|=1≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A , 所以*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos . (3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A . |A|=2≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A , 所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n≠0) .解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021, 由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311*********X ; 解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122. (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ;解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111. (4)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X . 解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201431012. 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x , 从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x .解方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x ,故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x , 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x .14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1. 证明因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为 E -A k =(E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1),所以 (E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E , 由定理2推论知(E -A)可逆, 且(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明一方面, 有E =(E -A)-1(E -A). 另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A)+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k ) =(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A),故 (E -A)-1(E -A)=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A), 两端同时右乘(E -A)-1, 就有(E -A)-1(E -A)=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E)-1.证明由A 2-A -2E =O 得 A 2-A =2E , 即A(A -E)=2E ,或E E A A =-⋅)(21,由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-.由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E)(A -3E)=-4E ,或E A E E A =-⋅+)3(41)2(由定理2推论知(A +2E)可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A 2-A|=2,即 |A||A -E|=2, 故 |A|≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E|=|A 2|=|A|2≠0, 故A +2E 也可逆. 由 A 2-A -2E =O ⇒A(A -E)=2E⇒A -1A(A -E)=2A -1E ⇒)(211E A A -=-,又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E)A -3(A +2E)=-4E⇒ (A +2E)(A -3E)=-4 E ,所以 (A +2E)-1(A +2E)(A -3E)=-4(A +2 E)-1,)3(41)2(1A E E A -=+-.16. 设A 为3阶矩阵,21||=A , 求|(2A)-1-5A*|.解因为*||11A A A =-, 所以|||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A=|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A|-1=-8⨯2=-16. 17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A*也可逆, 且(A*)-1=(A -1)*.证明由*||11A A A =-, 得A*=|A|A -1, 所以当A 可逆时, 有|A*|=|A|n |A -1|=|A|n -1≠0,从而A*也可逆.因为A*=|A|A -1, 所以 (A*)-1=|A|-1A .又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以(A*)-1=|A|-1A =|A|-1|A|(A -1)*=(A -1)*. 18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A*, 证明: (1)若|A|=0, 则|A*|=0; (2)|A*|=|A|n -1. 证明(1)用反证法证明. 假设|A*|≠0, 则有A*(A*)-1=E , 由此得 A =A A*(A*)-1=|A|E(A*)-1=O ,所以A*=O , 这与|A*|≠0矛盾，故当|A|=0时, 有|A*|=0.(2)由于*||11A A A =-, 则AA*=|A|E , 取行列式得到|A||A*|=|A|n . 若|A|≠0, 则|A*|=|A|n -1;若|A|=0, 由(1)知|A*|=0, 此时命题也成立. 因此|A*|=|A|n -1.19. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B , 求B .解由AB =A +2E 可得(A -2E)B =A , 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E A B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011321330.20. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B .解由AB +E =A 2+B 得 (A -E)B =A 2-E ,即 (A -E)B =(A -E)(A +E).因为01001010100||≠-==-E A , 所以(A -E)可逆, 从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B .21. 设A =diag(1, -2, 1), A*BA =2BA -8E , 求B . 解由A*BA =2BA -8E 得 (A*-2E)BA =-8E , B =-8(A*-2E)-1A -1 =-8[A(A*-2E)]-1 =-8(AA*-2A)-1 =-8(|A|E -2A)-1 =-8(-2E -2A)-1 =4(E +A)-1=4[diag(2, -1, 2)]-1)21 ,1 ,21(diag 4-==2diag(1, -2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A , 且ABA -1=BA -1+3E , 求B .解由|A*|=|A|3=8, 得|A|=2. 由ABA -1=BA -1+3E 得 AB =B +3A ,B =3(A -E)-1A =3[A(E -A -1)]-1A11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1030060600600006603001010010000161. 23. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11.解由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A=P Λ11P -1.|P|=3,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ11111120 012001,故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731.24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511, 求ϕ(A)=A 8(5E -6A +A 2).解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)] =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ϕ(A)=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111114.25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明因为A -1(A +B)B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,而A -1(A +B)B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B)B -1可逆, 即A -1+B -1可逆.(A -1+B -1)-1=[A -1(A +B)B -1]-1=B(A +B)-1A .26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B ,则⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ,而⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521, 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521. 27. 取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠.解4100120021100101002000021010010110100101==--=--=D C B A , 而01111|||||||| ==D C B A , 故|||||||| D C B A D C B A ≠. 28. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A , 求|A 8|及A 4. 解令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A ,则⎪⎭⎫⎝⎛=21A O O A A ,故8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A ,1682818281810||||||||||===A A A A A .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A . 29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求(1)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ;解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n E BC O BC O AC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111. (2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A .解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s n E BD CD O BD CD O AD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A . 30. 求下列矩阵的逆阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025; 解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B .于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001. 解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A BC O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001.第三章矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020*********)2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311 141312323~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r r r --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。

线性代数复旦版课后习题标准答案

线性代数习题及答案习题一1. 求以下各排列的逆序数.(1) 341782659； (2) 987654321；(3) n (n -1)…321； (4) 13…(2n -1)(2n )(2n -2)…2. 【解】(1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36;(3) τ(n (n -1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n -1)=(1)2n n -; (4) τ(13…(2n -1)(2n )(2n -2)…2)=0+1+…+(n -1)+(n -1)+(n -2)+…+1+0=n (n -1).4. 本行列式4512312123122x x x D xxx=的展开式中包含3x 和4x 的项. 解：设 123412341234()41234(1)i i i i i i i i i i i i D a a a a τ=-∑ ，其中1234,,,i i i i 分别为不同列中对应元素的行下标，那么4D 展开式中含3x 项有4D 展开式中含4x 项有(1234)4(1)2210x x x x x τ-⋅⋅⋅⋅=.5. 用定义计算以下各行列式.(1)0200001030000004； (2)1230002030450001.【解】(1) D =(-1)τ(2314)4!=24; (2) D =12.6. 计算以下各行列式.(1)214131211232562-----； (2) abac ae bdcd de bfcfef-------；(3)100110011001abcd---；(4)1234234134124123.【解】(1) 125062 31210 1232 5062r r D+---=--;(2)1114111111D abcdef abcdef--==------;7. 证明以下各式.(1)222 22() 111a ab ba ab b a b+=-；(2)2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a ab b b bc c c cd d d d++++++=++++++；(3)232232232 111()111a a a ab b ab bc ca b bc c c c=++(4)200()0000n na ba bD ad bcc dc d==-；(5)1211 11111111111nnii iinaaaaa==++⎛⎫=+⎪⎝⎭+∑∏.【证明】(1)(2) 32213142412222-2-2232221446921262144692126021446921262144692126c c c c c c c c c c a a a a a a b b b b b b c c c c c cd d d d d d ---++++++++====++++++++左端右端. (3) 首先考虑4阶范德蒙行列式:从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f (x )的x 的系数为但对〔*〕式右端行列式按第一行展开知x 的系数为两者应相等，故 (4) 对D 2n 按第一行展开，得据此递推下去，可得(5) 对行列式的阶数n 用数学归纳法.当n =2时，可直接验算结论成立，假定对这样的n -1阶行列式结论成立，进而证明阶数为n 时结论也成立.按D n 的最后一列，把D n 拆成两个n 阶行列式相加：但由归纳假设从而有8. 计算以下n 阶行列式.(1) 111111n x xD x=(2) 122222222232222n D n=； (3)000000000n x y x y D x y y x=.(4)n ij D a =其中(,1,2,,)ij a i j i j n =-= ；(5)2100012100012000002100012n D =.【解】(1) 各行都加到第一行，再从第一行提出x +(n -1),得将第一行乘〔-1〕后分别加到其余各行，得(2) 21311122221000101001002010002n r r n r r r r D n ---=-按第二行展开222201002(2)!.00200002n n =---(3) 行列式按第一列展开后，得(4)由题意，知1122000201(1)(1)(1)(1)2002n n n n n n -----=---按第列展开.(5) 210002000001000121001210012100012000120001200000210002100021000120001200012n D ==+122n n D D --=-.即有 112211n n n n D D D D D D ----=-==-=由 ()()()112211n n n n D D D D D D n ----+-++-=- 得11,121n n D D n D n n -=-=-+=+.9. 计算n 阶行列式.【解】各列都加到第一列，再从第一列提出11nii a=+∑，得将第一行乘〔-1〕后加到其余各行，得 10. 计算n 阶行列式〔其中0,1,2,,i a i n ≠=〕.1111123222211223322221122331111123n n n n n n n n n n nn n n n n n nn n n n na a a a ab a b a b a b D a b a b a b a b b b b b ----------------=.【解】行列式的各列提取因子1(1,2,,)n j a j n -=,然后应用范德蒙行列式.11. 4阶行列式41234334415671122D =;试求4142A A +与4344A A +，其中4j A 为行列式4D 的第4行第j 个元素的代数余子式. 【解】同理43441569.A A +=-+=- 12. 用克莱姆法那么解方程组.(1) 12312341234234 5,2 1, 2 2, 23 3.x x x x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪+-+=⎪⎨+-+=⎪⎪++=⎩ (2)121232343454556 1,56 0,56 0, 560,5 1.x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪+=⎪⎩ 【解】方程组的系数行列式为故原方程组有惟一解，为13. λ和μ为何值时，齐次方程组有非零解?【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式即故0μ=或1λ=时，方程组有非零解. 14. 问：齐次线性方程组有非零解时，a ,b 必须满足什么条件？【解】该齐次线性方程组有非零解，a ,b 需满足即(a +1)2=4b .15. 求三次多项式230123()f x a a x a x a x =+++，使得【解】根据题意，得这是关于四个未知数0123,,,a a a a 的一个线性方程组，由于故得01237,0,5,2a a a a ===-= 于是所求的多项式为16. 求出使一平面上三个点112233(,),(,),(,)x y x y x y 位于同一直线上的充分必要条件. 【解】设平面上的直线方程为ax +by +c =0 (a ,b 不同时为0)按题设有那么以a ,b ,c 为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为上式即为三点112233(,),(,),(,)x y x y x y 位于同一直线上的充分必要条件.习题二1. 计算以下矩阵的乘积.〔1〕[]11321023⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=；〔2〕500103120213⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；〔3〕[]32123410⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；〔4〕()111213112321222323132333a a a x x x x a a a x a a a x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；〔5〕111213212223313233100011001a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；〔6〕12101310101012100210023********⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦. 【解】(1) 32103210;64209630-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦(2)531⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦; (3) (10);(4) 3322211122233312211213311323322311()()()ij iji j a x a x a x a a x x a a x x a a x x a x x==++++++++=∑∑(5)111212132122222331323233a a a a a a a a a a a a +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦; (6) 1252012400430009⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦. 2. 设111111111⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A ，121131214⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，求(1)2-AB A ;(2) -AB BA ；(3) 22()()-=-A+B A B A B 吗?【解】(1) 2422;400024⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦AB A (2) 440;531311⎡⎤⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦AB BA (3) 由于AB ≠BA ,故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2.3. 举例说明以下命题是错误的.(1) 假设2=A O ，那么=A O ； (2) 假设2=A A ，那么=A O 或=A E ； (3) 假设AX =AY ，≠A O ，那么X =Y . 【解】(1) 以三阶矩阵为例，取2001,000000⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦0A A ,但A ≠0(2) 令110000001-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,那么A 2=A ,但A ≠0且A ≠E (3) 令11021,=,0111210110⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=≠=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A Y X 0 那么AX =AY ,但X ≠Y .4. 设101A λ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 求A 2，A 3，…，A k .【解】2312131,,,.010101k k λλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A A A 5. 100100λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =，求23A ,A 并证明：121(1)2000kk k k kk k k k k k λλλλλλ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =.【解】2322233223213302,03.0000λλλλλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =A = 今归纳假设那么所以，对于一切自然数k ,都有6. AP =PB ，其中求A 及5A .【解】因为|P |= -1≠0,故由AP =PB ,得而7. 设a b cd ba d c c d ab dcba ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦A =，求|A |. 解：由条件，A 的伴随矩阵为又因为*A A =A E ，所以有22222()a b c d -+++A =A E ，且0<A ，即 42222222224()()a b c d a b c d -++++++A =A A =A E 于是有22222()a b c d ==-+++A . 8. 线性变换利用矩阵乘法求从123,,z z z 到123,,x x x 的线性变换. 【解】从而由123,,z z z 到123,,x x x 的线性变换为9. 设A ，B 为n 阶方阵，且A 为对称阵，证明：'B AB 也是对称阵. 【证明】因为n 阶方阵A 为对称阵，即A ′=A ,所以 (B ′AB )′=B ′A ′B =B ′AB ,故'B AB 也为对称阵.10. 设A ，B 为n 阶对称方阵，证明：AB 为对称阵的充分必要条件是AB =BA . 【证明】A ′=A ,B ′=B ，假设AB 是对称阵，即(AB )′=AB . 那么AB =(AB )′=B ′A ′=BA , 反之，因AB =BA ,那么(AB )′=B ′A ′=BA =AB ,所以，AB 为对称阵.11. A 为n 阶对称矩阵，B 为n 阶反对称矩阵，证明： (1) B 2是对称矩阵.(2) AB -BA 是对称矩阵，AB +BA 是反对称矩阵. 【证明】因A ′=A ,B ′= -B ,故(B 2)′=B ′·B ′= -B ·(-B )=B 2;(AB -BA )′=(AB )′-(BA )′=B ′A ′-A ′B ′= -BA -A ·(-B )=AB -BA ;(AB +BA )′=(AB )′+(BA )′=B ′A ′+A ′B ′= -BA +A ·(-B )= -(AB +BA ).所以B 2是对称矩阵，AB -BA 是对称矩阵，AB+BA 是反对称矩阵. 12. 求与A =1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦可交换的全体二阶矩阵. 【解】设与A 可交换的方阵为a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,那么由 1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 得a cb d a a bcd c c d +++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦. 由对应元素相等得c =0,d =a ,即与A 可交换的方阵为一切形如0a b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的方阵，其中a,b 为任意数.13. 求与A =100012012⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦可交换的全体三阶矩阵. 【解】由于A =E +000002013⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 而且由可得由此又可得所以即与A 可交换的一切方阵为123323000203a b b b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦其中123,,a b b 为任意数. 14. 求以下矩阵的逆矩阵.(1) 1225⎡⎤⎢⎥⎣⎦； (2)123012001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；(3)121342541-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦；(4)1000120021301214⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；(5)5200210000830052⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；(6)()1212,,,0nnaaa a aa⎡⎤⎢⎥⎢⎥≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦，未写出的元素都是0〔以下均同，不另注〕. 【解】(1)5221-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦; (2)121012001-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦;(3)12601741632142-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦; (4)10001100221112631511824124⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦;(5)1200250000230058-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦; (6)12111naaa⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.15. 利用逆矩阵，解线性方程组【解】因123111102211102xxx⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,而111022110≠-故16. 证明以下命题：(1) 假设A，B是同阶可逆矩阵，那么〔AB〕*=B*A*.(2) 假设A可逆，那么A*可逆且〔A*〕-1=〔A-1〕*.(3) 假设AA′=E,那么〔A*〕′=(A*)-1.【证明】〔1〕因对任意方阵c，均有c*c=cc*=|c|E,而A,B均可逆且同阶，故可得|A|·|B|·B*A*=|AB|E(B*A*)=(AB ) *AB (B *A *)=(AB ) *A (BB *)A * =(AB ) *A |B |EA *=|A |·|B |(AB ) *.∵ |A |≠0,|B |≠0, ∴ (AB ) *=B *A *.(2) 由于AA *=|A |E ,故A *=|A |A -1,从而(A -1) *=|A -1|(A -1)-1=|A |-1A . 于是A * (A -1) *=|A |A -1·|A |-1A =E ,所以(A -1) *=(A *)-1. (3) 因AA ′=E ，故A 可逆且A -1=A ′. 由(2)(A *)-1=(A -1) *,得(A *)-1=(A ′) *=(A *)′.17. 线性变换求从变量123,,x x x 到变量123,,y y y 的线性变换. 【解】且|A |=1≠0,故A 可逆，因而所以从变量123,,x x x 到变量123,,y y y 的线性变换为 18. 解以下矩阵方程.(1) 12461321-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦X =； (2)211211************--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦X ；(3) 142031121101⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦X =； (4) 010100043100001201001010120-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦X . 【解】(1) 令A =1213⎡⎤⎢⎥⎣⎦;B =4621-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.由于13211--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 故原方程的惟一解为同理(2) X =100010001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (3) X =11104⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (4) X =210.034102-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦19. 假设kA =O (k 为正整数)，证明：121()k ---E A =E +A+A ++A .【证明】作乘法从而E -A 可逆，且20.设方阵A 满足A 2－A －2E ＝O ，证明A 及A ＋2E 都可逆，并求A -1及(A +2E )-1. 【证】因为A 2-A -2E =0, 故由此可知，A 可逆，且同样地由此知，A +2E 可逆，且21. 设423110123⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A =，2AB =A+B ,求B . 【解】由AB =A +2B 得(A -2E )B =A .而即A -2E 可逆，故22. 设1-P AP =Λ. 其中1411--⎡⎤⎢⎥⎣⎦P =，1002-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=Λ，求10A . 【解】因1-P 可逆，且1141,113-⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦P 故由1Λ-A =P P 得23. 设m 次多项式01()m m f x a a x a x =+++，记01()m m f a a a =+++A E A A ,()f A 称为方阵A 的m 次多项式.(1)12λλ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A =，证明 12kkk λλ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A =，12()()()f f f λλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ；(2) 设1-A =P BP ，证明1k k -B =PA P ，1()()f f -=B P A P .【证明】(1)232311232200,00λλλλ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A A 即k =2和k =3时，结论成立. 今假设那么所以，对一切自然数k ，都有而(2) 由(1)与A =P -1BP ,得B =PAP -1.且B k =( PAP -1)k = PA k P -1,又 24. a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A =，证明矩阵满足方程2()0x a d x ad bc -++-=. 【证明】将A 代入式子2()x a d x ad bc -++-得故A 满足方程2()0x a d x ad bc -++-=. 25. 设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，证明：(1)假设｜A ｜＝０，那么｜*A ｜＝０；(2)1n *-=A A .【证明】〔1〕假设|A |=0，那么必有|A *|=0，因假设| A *|≠0，那么有A *( A *)-1=E ,由此又得 A =AE =AA *( A *)-1=|A |( A *)-1=0,这与| A *|≠0是矛盾的，故当|A | =0，那么必有| A *|=0. (2) 由A A *=|A |E ，两边取行列式，得|A || A *|=|A |n ,假设|A |≠0，那么| A *|=|A |n -1 假设|A |=0,由(1)知也有| A *|=|A |n -1.26. 设52003200210045000073004100520062⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =,B . 求(1)AB ; (2)BA ; (3) 1-A ；(4)｜A ｜k (k 为正整数). 【解】(1)2320001090000461300329⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦AB =; (2)19800301300003314005222⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦BA =; (3)11200250000230057--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦A =; (4)(1)k k =-A .27. 用矩阵分块的方法，证明以下矩阵可逆，并求其逆矩阵.〔1〕1200025000003000001000001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；〔2〕0031002121002300-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦; 〔3〕20102020130010*******0001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.【解】(1) 对A 做如下分块 12⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A A A 00 其中12,A A 的逆矩阵分别为所以A 可逆，且同理(2) (3)习题三1. 略.见教材习题参考答案.2. 略.见教材习题参考答案.3. 略.见教材习题参考答案.4. 略.见教材习题参考答案.5.112223334441,,,=+=+=+=+βααβααβααβαα，证明向量组1234,,,ββββ线性相关.【证明】因为所以向量组1234,,,ββββ线性相关.6. 设向量组12,,,r ααα线性无关，证明向量组12,,,r βββ也线性无关，这里12.i i +++β=ααα【证明】设向量组12,,,r βββ线性相关，那么存在不全为零的数12,,,,r k k k 使得把12i i +++β=ααα代入上式，得121232()()r r r r k k k k k k k +++++++++=0ααα.又12,,,r ααα线性无关，故该方程组只有惟一零解120r k k k ====，这与题设矛盾，故向量组12,,,r βββ线性无关.7. 略.见教材习题参考答案. 8. 12(,,,),1,2,,i i i in i n ααα==α.证明：如果0ij a ≠，那么12,,,n ααα线性无关. 【证明】0ij a =≠A ,故R (A )=n ,而A 是由n 个n 维向量12(,,,),i i i in ααα=α1,2,,i n =组成的，所以12,,,n ααα线性无关.9. 设12,,,,r t t t 是互不相同的数，r ≤n .证明：1(1,,,),1,2,,n i i i t t i r -==α是线性无关的.【证明】任取n -r 个数t r +1,…,t n 使t 1,…,t r ,t r +1,…,t n 互不相同，于是n 阶范德蒙行列式从而其n 个行向量线性无关，由此知其局部行向量12,,,r ααα也线性无关. 10. 设12,,,s ααα的秩为r 且其中每个向量都可经12,,,r ααα线性表出.证明：12,,,r ααα为12,,,s ααα的一个极大线性无关组.【证明】假设12,,,r ααα (1)线性相关，且不妨设12,,,t ααα (t <r ) (2)是(1)的一个极大无关组，那么显然〔2〕是12,,,s ααα的一个极大无关组，这与12,,,s ααα的秩为r 矛盾，故12,,,r ααα必线性无关且为12,,,s ααα的一个极大无关组.11. 求向量组1α=(1,1,1,k ),2α=(1,1,k ,1),3α=(1,2,1,1)的秩和一个极大无关组. 【解】把123,,ααα按列排成矩阵A ，并对其施行初等变换.当k =1时，123,,ααα的秩为132,,αα为其一极大无关组. 当k ≠1时，123,,ααα线性无关，秩为3，极大无关组为其本身.12. 确定向量3(2,,)a b =β,使向量组123(1,1,0),(1,1,1),==βββ与向量组1α=(0,1,1),2α=(1,2,1),3α=(1,0,-1)的秩相同，且3β可由123,,ααα线性表出.【解】由于而R (A )=2,要使R (A )=R (B )=2,需a -2=0,即a =2,又要使3β可由123,,ααα线性表出，需b -a +2=0,故a =2,b =0时满足题设要求，即3β=(2,2,0). 13. 设12,,,n ααα为一组n 维向量.证明：12,,,n ααα线性无关的充要条件是任一n 维向量都可经它们线性表出.【证明】充分性: 设任意n 维向量都可由12,,,n ααα线性表示，那么单位向量12,,,n εεε，当然可由它线性表示，从而这两组向量等价，且有相同的秩，所以向量组12,,,n ααα的秩为n ，因此线性无关.必要性：设12,,,n ααα线性无关，任取一个n 维向量α,那么12,,,n ααα线性相关，所以α能由12,,,n ααα线性表示.14. 假设向量组〔1，0，0〕，〔1，1，0〕，〔1，1，1〕可由向量组α１,α２,α３线性表出，也可由向量组β１,β２,β３,β４线性表出，那么向量组α１,α２,α３与向量组β１,β２,β３,β４等价.证明：由条件，1001103111R ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且向量组〔1，0，0〕，〔1，1，0〕，〔1，1，1〕可由向量组α１,α２,α３线性表出，即两向量组等价，且123(,,)3R =ααα，又，向量组〔1，0，0〕，〔1，1，0〕，〔1，1，1〕可由向量组β１,β２,β３,β４线性表出，即两向量组等价，且1234(,,,)3R =ββββ，所以向量组α１,α２,α３与向量组β１,β２,β３,β４等价. 15. 略.见教材习题参考答案. 16. 设向量组12,,,m ααα与12,,,s βββ秩相同且12,,,m ααα能经12,,,s βββ线性表出.证明12,,,m ααα与12,,,s βββ等价.【解】设向量组12,,,m ααα (1)与向量组12,,,s βββ (2)的极大线性无关组分别为12,,,r ααα (3)和12,,,r βββ (4)由于〔1〕可由〔2〕线性表出，那么〔1〕也可由〔4〕线性表出，从而〔3〕可以由〔4〕线性表出，即因〔4〕线性无关，故〔3〕线性无关的充分必要条件是|a ij |≠0，可由〔*〕解出(1,2,,)j j r =β,即〔4〕可由〔3〕线性表出，从而它们等价，再由它们分别同〔1〕，〔2〕等价，所以〔1〕和〔2〕等价.17. 设A 为m ×n 矩阵，B 为s ×n 矩阵.证明：max{(),()}()()R R R R R ⎡⎤≤≤+⎢⎥⎣⎦A AB A B B .【证明】因A ,B 的列数相同，故A ,B 的行向量有相同的维数，矩阵⎡⎤⎢⎥⎣⎦A B 可视为由矩阵A 扩充行向量而成，故A 中任一行向量均可由⎡⎤⎢⎥⎣⎦A B 中的行向量线性表示，故同理故有又设R (A )=r ,12,,,i i ir ααα是A 的行向量组的极大线性无关组,R 〔B 〕=k ,12,,,j j jk βββ是B 的行向量组的极大线性无关组.设α是⎡⎤⎢⎥⎣⎦A B 中的任一行向量，那么假设α属于A 的行向量组，那么α可由12,,,i i ir ααα表示，假设α属于B 的行向量组，那么它可由12,,,j j jkβββ线性表示，故⎡⎤⎢⎥⎣⎦A B 中任一行向量均可由12,,,i i ir ααα,12,,,j j jk βββ线性表示，故所以有max{(),()}()()R R R R R ⎡⎤≤≤+⎢⎥⎣⎦A AB A B B .18. 设A 为s ×n 矩阵且A 的行向量组线性无关，K 为r ×s 矩阵.证明：B ＝KA 行无关的充分必要条件是R (K )=r . 【证明】设A =(A s ,P s ×(n -s )),因为A 为行无关的s ×n 矩阵，故s 阶方阵A s 可逆. (⇒)当B =KA 行无关时，B 为r ×n 矩阵.r =R (B )=R (KA )≤R (K ),又K 为r ×s 矩阵R (K )≤r ,∴R (K )=r . (⇐)当r =R (K )时，即K 行无关，由B =KA =K (A s ,P s ×(n -s ))=(KA s ,KP s ×(n -s)) 知R (B )=r ,即B 行无关.19. 略.见教材习题参考答案.20. 求以下矩阵的行向量组的一个极大线性无关组.(1)2531174375945313275945413425322048⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (2)11221021512031311041⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦. 【解】(1) 矩阵的行向量组1234⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦αααα的一个极大无关组为123,,ααα;(2) 矩阵的行向量组1234⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦αααα的一个极大无关组为124,,ααα.21. 略.见教材习题参考答案. 22. 集合V 1＝{(12,,,n x x x )｜12,,,n x x x ∈R 且12n +++x x x ＝0}是否构成向量空间?为什么? 【解】由〔0,0,…,0〕∈V 1知V 1非空，设121122(,,,),(,,,),n n V V k =∈=∈∈x x x y y y αβR )那么因为所以11,V k V +∈∈αβα,故1V 是向量空间.23. 试证：由123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)===ααα,生成的向量空间恰为R 3. 【证明】把123,,ααα排成矩阵A =(123,,ααα),那么11020101011==-≠A ,所以123,,ααα线性无关，故123,,ααα是R 3的一个基，因而123,,ααα生成的向量空间恰为R 3.24. 求由向量1234(1,2,1,0),(1,1,1,2),(3,4,3,4),(1,1,2,1)====αααα所生的向量空间的一组基及其维数. 【解】因为矩阵∴124,,ααα是一组基，其维数是3维的.25. 设1212(1,1,0,0),(1,0,1,1),(2,1,3,3),(0,1,1,1)===-=--ααββ,证明:1212(,)(,)L L =ααββ.【解】因为矩阵由此知向量组12,αα与向量组12,ββ的秩都是2，并且向量组12,ββ可由向量组12,αα线性表出.由习题15知这两向量组等价，从而12,αα也可由12,ββ线性表出.所以1212(,)(,)L L =ααββ.26. 在R 3中求一个向量γ，使它在下面两个基下有相同的坐标.【解】设γ在两组基下的坐标均为(123,,x x x )，即即求该齐次线性方程组得通解123,2,3x k x k x k ===- (k 为任意实数)故27. 验证123(1,1,0),(2,1,3),(3,1,2)=-==ααα为R 3的一个基，并把1(5,0,7),=β2(9,8,13)=---β用这个基线性表示.【解】设又设11112123132121222323,x x x x x x =++=++βαααβααα,即记作 B =AX . 那么因有↔A E ,故123,,ααα为R 3的一个基，且即1123212323,332=+-=--βαααβααα.习题四1. 用消元法解以下方程组.(1)12341241234123442362242322312338;x x x x ,x x x ,x x x x ,x x x x +-+=⎧⎪++=⎪⎨++-=⎪⎪++-=⎩ (2) 1231231232222524246;x x x ,x x x ,x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩【解】(1) 得所以 (2)解②-①×2得 x 2-2x 3=0③-① 得2x 3=4 得同解方程组由⑥得 x 3=2,由⑤得 x 2=2x 3=4,由④得 x 1=2-2x 3 -2x 2 = -10, 得 (x 1,x 2,x 3)T =(-10,4,2)T . 2. 求以下齐次线性方程组的根底解系.(1) 123123123 320 5 03580;x x x ,x x x ,x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ (2)1234123412341234 5 0 2303 8 0 3970;x x x x ,x x x x ,x x x x ,x x x x -+-=⎧⎪+-+=⎪⎨-++=⎪⎪+-+=⎩ (3) 1234512341234 22702345 03568 0;x x x x x ,x x x x ,x x x x ++++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩ (4)123451234512345 222 0 2 320247 0.x x x x x ,x x x x x ,x x x x x +-+-=⎧⎪+-+-=⎨⎪+-++=⎩ 【解】(1)得同解方程组得根底解系为T71122⎛⎫- ⎪⎝⎭. (2) 系数矩阵为∴ 其根底解系含有4()2R -=A 个解向量. 根底解系为(3)得同解方程组取3410,01x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦得根底解系为 (-2，0，1，0，0)T ,(-1，-1，0，1，0).(4) 方程的系数矩阵为∴根底解系所含解向量为n -R (A )=5-2=3个取245x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦为自由未知量 245010,,,001100x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 得根底解系 324010,,.101001100--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦3. 解以下非齐次线性方程组.(1) 123123121232122423442;x x x ,x x x ,x x ,x x x ++=⎧⎪-+=⎪⎨-=⎪⎪++=⎩ (2) 12341234123421422221;x x x x ,x x x x ,x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩(3) 123412341234212125;x x x x ,x x x x ,x x x x -++=⎧⎪-+-=-⎨⎪-++=⎩ (4) 12345123452345123457323222623543312x x x x x ,x x x x x ,x x x x ,x x x x x .++++=⎧⎪+++-=-⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩【解】〔1〕方程组的增广矩阵为得同解方程组(2) 方程组的增广矩阵为得同解方程组即令130x x ==得非齐次线性方程组的特解x T =(0，1，0，0)T .又分别取得其导出组的根底解系为 ∴ 方程组的解为(3) 2131121111211112111000221211500004r r r r ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦()()R R ≠A A ∴ 方程组无解.(4) 方程组的增广矩阵为分别令得其导出组12345234502260x x x x x x x x x ++++=⎧⎨----=⎩的解为令3450x x x ===,得非齐次线性方程组的特解为：x T =(-16,23,0,0,0)T , ∴ 方程组的解为其中123,,k k k 为任意常数.4. 某工厂有三个车间，各车间相互提供产品〔或劳务〕，今年各车间出厂产量及对其它车间的消耗如下表所示.表中第一列消耗系数0.1,0.2,0.5表示第一车间生产1万元的产品需分别消耗第一，二，三车间0.1万元，0.2万元，0.5万元的产品；第二列，第三列类同，求今年各车间的总产量.解：根据表中数据列方程组有即 123123130.90.20.4522,0.20.80.30,0.50.8855.6,x x x x x x x x --=⎧⎪-+=⎨⎪-=-⎩解之 123100,70,120;x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩5. λ取何值时，方程组(1)有惟一解，(2)无解，(3)有无穷多解，并求解. 【解】方程组的系数矩阵和增广矩阵为|A |=2(1)(2)λλ-+.(1) 当λ≠1且λ≠-2时，|A |≠0，R (A )=R (B )=3.∴ 方程组有惟一解〔2〕当λ=-2时，R (A )≠R (B ),∴ 方程组无解. (3) 当λ=1时R (A )=R (B )<3,方程组有无穷解. 得同解方程组 ∴ 得通解为 6. 齐次方程组当λ取何值时，才可能有非零解?并求解. 【解】方程组的系数矩阵为|A |=(4)(1)λλ-+当|A |=0即λ=4或λ=-1时，方程组有非零解. (i) 当λ=4时, 得同解方程组 (ii) 当λ=-1时, 得∴ (123,,x x x )T =k ·(-2,-3,1)T .k ∈R7. 当a ,b 取何值时，以下线性方程组无解，有惟一解或无穷多解？在有解时，求出其解.〔1〕123412341234123423123132236x x x x x x x x x x x x a x x x bx ++-=⎧⎪+++=⎪⎨---=⎪⎪+-+=-⎩ (2) 123423423412340221(3)2321x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=⎧⎪++=⎪⎨----=⎪⎪+++=-⎩【解】方程组的增广矩阵为(1)(i) 当b ≠-52时,方程组有惟一解 (ii) 当b =-52,a ≠-1时，方程组无解.(iii) 当b =-52，a =-1时，方程组有无穷解. 得同解方程组123423434231403274x x x x x x x x x ++-=⎧⎪--+=⎨⎪--=-⎩(*) 其导出组123423434230403270x x x x x x x x x ++-=⎧⎪--+=⎨⎪--=⎩的解为非齐次线性方程组〔*〕的特解为取x 4=1, 12345335.32331x x x x ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦∴ 原方程组的解为(2)(i) 当a -1≠0时，R (A )=R (A )=4,方程组有惟一解. (ii) 当a -1=0时,b ≠-1时，方程组R (A )=2<R (A )=3, ∴ 此时方程组无解.(iii) 当a =1，b = -1时，方程组有无穷解. 得同解方程组取∴ 得方程组的解为8. 设112224336⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，求一秩为2的3阶方阵B 使AB =0. 【解】设B =(b 1 b 2b 3),其中b i (i =1,2,3)为列向量,由为Ax =0的解.求123112224336x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=0的解.由得同解方程组 ∴ 其解为取那么9.123,,ηηη是三元非齐次线性方程组Ax =b 的解，且R (A )=1及求方程组Ax =b 的通解.【解】Ax =b 为三元非齐次线性方程组R (A )=1⇒Ax =0的根底解系中含有3-R (A )=3-1=2个解向量. 由123,,ηηη为Ax=b 的解1312,⇒--ηηηη为Ax=0的解,且1312(),()--ηηηη线性无关1312,⇒--ηηηη为Ax =0的根底解系. 又∴ 方程组Ax=b 的解为10. 求出一个齐次线性方程组，使它的根底解系由以下向量组成.(1) 1223==;1001,-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ξξ (2) 123121232==,=021352132,.⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦ξξξ【解】(1) 1223==1001-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ξξ设齐次线性方程组为Ax =0由12,ξξ为Ax =0的根底解系，可知令 k 1=x 2 , k 2=x 3 ⇒Ax =0即为x 1+2x 2-3x 3=0.(2) A (123ξξξ)=0⇒A 的行向量为方程组为12345121232()0021352132x x x x x ⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦的解.即124512345123452302325302220x x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-++-=⎨⎪-++-=⎩的解为得根底解系为1η=(-5 -1 1 1 0)T 2η=(-1 -1 1 0 1)TA =5111011101--⎡⎤⎢⎥--⎣⎦方程为11. 设向量组1α=〔1，0，2，3〕，2α=〔1，1，3，5〕，3α=〔1，-1，a +2，1〕，4α=〔1，2，4，a +8〕，β=〔1，1，b +3，5〕问：〔1〕a ，b 为何值时，β不能由1α，2α，3α，4α线性表出？〔2〕a ，b 为何值时，β可由1α，2α，3α，4α惟一地线性表出？并写出该表出式.〔3〕a ，b 为何值时，β可由1α，2α，3α，4α线性表出，且该表出不惟一？并写出该表出式. 【解】11223344x x x x =+++βαααα (*)(1) β不能由1α，2α，3α，4α线性表出⇔方程组〔*〕无解,即a +1=0,且b ≠0.即a =-1,且b ≠0.(2) β可由1α，2α，3α，4α惟一地线性表出⇔方程组(*)有惟一解，即a +1≠0，即a ≠-1.(*) 等价于方程组(3) β可由1α，2α，3α，4α线性表出，且表出不惟一⇔方程组〔*〕有无数解，即有 a +1=0,b =0⇒a =-1,b =0.方程组〔*〕12112342122343142212121x k k x x x x x k k x x x x k x k =-⎧⎪+++==-+⎧⎪⇔⇒⎨⎨-+==⎩⎪⎪=⎩1234,,,k k k k 为常数.∴2111221324(2)(21)k k k k k k =-+-+++βαααα12. 证明：线性方程组121232343454515x x a x x a x x a x x ax x a -=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪-=⎪⎩有解的充要条件是510i i a ==∑.【解】方程组有解的充要条件，即R (A )=4=R (A )510i i a =⇔=∑得证.13. 设*η是非齐次线性方程组Ax=b 的一个解，12n r ,,,-ξξξ是对应的齐次线性方程组的一个根底解系.证明〔1〕1*n r ,,-,ξξη线性无关；〔2〕1++***n r ,,-,ξξηηη线性无关.【证明】(1)1*n r ,,-,ξξη线性无关⇔ 110*n r n r k k k --+++=ξξη成立,当且仅当k i =0(i =1,2,…,n -r ),k =0 ∵12n r ,,,-ξξξ为Ax =0的根底解系*0k ⇒=A η由于*0b =≠A η00.k b k ⇒⋅=⇒=.由于12n r ,,,-ξξξ为线性无关 ∴121*n ,,,-,ξξξη线性无关.(2) 证1++***n r ,,-,ξξηηη线性无关.***11()()0n r n r k k k --⇔+++++=ξξηηη成立当且仅当k i =0(i =1,2,…,n -r ),且k =0 即由(1)可知，11*n ,,-,ξξη线性无关.即有k i =0(i =1,2,…,n -r ),且∴1++***n r ,,-,ξξηηη线性无关.14. 设有以下线性方程组〔Ⅰ〕和(Ⅱ)〔Ⅰ〕1241234123264133x x x x x x x x x x +-=-⎧⎪---=⎨⎪--=⎩ (Ⅱ) 123423434521121x mx x x nx x x x x t +--=-⎧⎪--=-⎨⎪-=-⎩(1) 求方程组〔Ⅰ〕的通解；(2) 当方程组〔Ⅱ〕中的参数m,n,t 为何值时，〔Ⅰ〕与(Ⅱ)同解？解：〔1〕对方程组〔Ⅰ〕的增广矩阵进行行初等变换由此可知系数矩阵和增广矩阵的秩都为3，故有解.由方程组1424340020x x x x x x -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩〔*〕得方程组〔*〕的根底解系令40x =，得方程组〔Ⅰ〕的特解 2450-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦η于是方程组〔Ⅰ〕的通解为k =+ηξx ，k 为任意常数。

线性代数课后习题答案全）习题详解

线性代数课后习题答案全）习题详解前言因能力有限，资源有限，现粗略整理了《工程数学线性代数》课后习题，希望对您的了解和学习线性代数有参考价值。

第一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）381141102---；（2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ；（4）y x y x x y x yyx y x +++. 解（1）=---381141102811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??-=416824-++-=4-（2）=ba c a cb cb a ccc aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---=（3）=222111c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---=（4）yx y x x y x y yx y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）1 2 3 4；（2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1；（4）2 4 1 3；（5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2.解（1）逆序数为0（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2)1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个……………… …)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个（6）逆序数为)1(-n n3 2 1个 5 2，54 2个……………… …)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个4 2 1个 6 2，6 4 2个……………… …)2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.解由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为10100=+++或22000=+++∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.4.计算下列各行列式：（1）7110025*********4；（2）-265232112131412；（3）---ef cf bf de cd bd ae ac ab ；（4）---d c b a100110011001解(1)7110025102021421434327c c c c --0100142310202110214---=34)1(143102211014+-?---=143102211014-- 321132c c c c ++1417172001099-=0(2)2605232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=1 11111111---adfbce =abcdef 4(4)d c b a 100110011001---21ar r +dc b a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dc a ab 10111--+23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明: (1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(3 3+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-?;(5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n +-----n n n n a x a x a x ++++=--111 . 证明(1)00122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22) 1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--= 右边=-=3)(b a(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分bz ay y x by ax x z bx az z y b +++zy x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y zy x b y x z x z y z y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(+++++++++++++++ +=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边964412964412964412964412241312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 964496449644964422222++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a949494949464222224232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+dd d c c c bb b a a a (4) 444444422222220001ad a c a b a ad a c a b a a d a c a b a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b ad a c a b --------- =)11))()((222a d d a c c a b b a d a c ab a d ac a b ++++++--- =?---))()((ad a c a b )()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =?-----))()()()((b d b c a d a c a b )()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x xa xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得n nn n a a a a D 11111 =， 11112n nn n a a a a D = ，11113a a a a D n nnn =，证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnnn nn n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴ =--=--nnn n nnn n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn n n n a a a a 111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-= 同理可证nnn n n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n Tn n 2)1(2)1()1()1(---=-= D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)aaD n 11=,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)xa a ax aa a x D n =; (3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n nn n n ------=---+; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) n nn nn d c d c b a b a D000011112=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121 ,021≠n a a a 其中.解(1) aa a a a D n 000100000000 00001000 =按最后一行展开)1()1(1000000000010000)1(-?-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--?-+n n n a a a(再按第一行展开)n n n nn a a a+-?-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax x a ax x a a x x a aa a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上，得ax ax a x aaa a n x D n ----+=000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=- (3) 从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得 nnn n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-?-?-=---=111)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) nnn d c d c b a b a D 011112=nn n n n nd d c d c b a b a a 0000000011111111----展开按第一行0000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222 ---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D即∏=-=ni i i iin D c b d22)(而 111111112c b d a d c b a D -==得∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)j i a ij -=432140123310122210113210)det( --------==n n n n n n n n a D ij n ,3221r r r r --0 432111111111111111111111 --------------n n n n ,,141312c c c c c c +++152423210222102210002100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n (6)nn a a D a +++=11111111121 ,,433221c c c c c c ---n n n n a a a a a a a a a a +-------100 00100010000100010001000011433221展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------000 00000000000000000000000022433221 nn n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------000000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=--- )11)((121∑=+=ni in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(545434323212 1x x x x x x x x x x x x x上一页下一页。

(精选)线性代数课后作业及参考答案

《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同15.设有矩阵Ａｍ×ｎ，Ｂｍ×ｓ，Ｃｓ×ｍ，则下列运算有意义的是（）。

线性代数课后作业参考答案

第一章作业参考答案1-1. 求以下排列的逆序数：（1）134782695 （3）13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2 解：（1）t=0+0+0+0+4+2+0+4=10（2）t=0+0+…+0+2+4+6+…+2(n-1)=2(1+2+3+…+n-1)=(1)2(1)2n n n n -⨯=-1-2. 在6阶行列式的定义式中，以下的项各应带有什么符号？（1）233142561465a a a a a a解：()12(234516)4,•3126454t t t t ====128t t t =+=为偶数，故该项带正号。

1-3. 用行列式的定义计算：（1）0004004304324321（3）0123100010001x x x a a a x a ---+解：（1）12412312400040043(1)(1)444425604324321tq q q a a a ++=-=-⨯⨯⨯⨯=∑ （3）1320123100010()(1)(1)001x x x x x x a x x a x a a a x a --=⨯⨯⨯++-⨯⨯⨯-⨯-+233432103210(1)(1)(1)(1)(1)a a x a x a x a x a +-⨯-⨯-⨯+-⨯-⨯=++++1-4. 计算下列行列式：（1） 1111111111111111--- （3）1200340000130051- （5）1111111111111111a a b b +-+- （7）n a b b b b a b b D b b b a=解：（1）11111111111102001(2)(2)(2)81111002011110002--==⨯-⨯-⨯-=-----（3）()120034001213(1423)113532001334510051-=⨯=⨯-⨯⨯-⨯-⨯=⎡⎤⎣⎦- （5）111111111111111000001111000011110000a a a a a aab a b a b b a b a b++----==+-------2221111110000000000000000a aa b a a a b b b bab+--===---（7）(1)(1)(1)n a b b b a n b a n b a n b b a b b b a bD b b b a b b a+-+-+-==111111100[(1)][(1)][(1)]()00000n ba b a b a n b a n b a n b a b bb a a b--=+-=+-=+---1-5. 证明：（1）332()xy x y y x y x x y x yx y ++=-++ （3）2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b c c c c d d d d ++++++=++++++证明：（1）2()2()2()xy x y x y x y x y yx y x y x y x x yxy x y x y +++++=+++1111112()2()00x y y x y x x y x x y x yx y yx=++=+-+--2332()[()]2()x y x y x y x y =+-+-=-+（3）22222222222222222222(1)(2)(3)214469(1)(2)(3)214469(1)(2)(3)214469(1)(2)(3)214469a a a a a a a ab b b b b b b b cc c c cc c cd d d d d d d d ++++++++++++=++++++++++++222221262126021262126a ab bc cd d ++==++1-6. 计算下列行列式：（1）001000000100n a a D a a=（3）12311100002201(1)n n n n ------解：（1）2001000000000(1)10000000100100nn a a a a a D a aa a a==+-⨯⨯2nn a a-=-（3）123112321110001100002200022000001(1)0000(1)n nn n n n n ----=-------112323342101000(1)!(1)002002(1)n n n n n n n n +++++++++++--+===----1-7. 解下列方程：（1）24211231223()023152319x D x x -==-解：要使原方程有解，观察可知只有两种可能：①当221x -=时，即1x =±时，4()0D x = ②当295x -=时，即2x =±时，4()0D x = 综上所述，原方程的解为1，-1，2，-21-8. 设1578111120963437D --=--，试证：414243440A A A A +++=证明：根据拉普拉斯定理可知4142434411110A A A A ⨯+⨯+⨯+⨯=即414243440A A A A +++=1-9. 用Cramer 法则解下列方程组：（1）123412423412342583692254760x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--=⎪⎨-+=-⎪⎪+-+=⎩解：该方程组的系数行列式为215113062702121476D ---==--，常数向量8950β⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭1815193068152120476D ---==--- 22851190610805121076D --==----3218113962702521406D --==-- 4215813092702151470D --==---312412343,•4,•1,•1D D D Dx x x x D D D D∴====-==-==1-10. （1）问λ取何值时，下列齐次方程组有非零解？12312313220300x x x x x x x x λλ++=⎧⎪++=⎨⎪-=⎩解：要使原方程有解，由定理1.8知2223112001λλλλ=+-=- 解得11λ=或22λ=-。

线性代数课后作业及参考答案

《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λs βs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同15.设有矩阵Ａｍ×ｎ，Ｂｍ×ｓ，Ｃｓ×ｍ，则下列运算有意义的是（）。

（精选）线性代数课后作业及参考答案

（精选）线性代数课后作业及参考答案《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003，则A-1等于（）A.130012001B.100120013C. 1 3 00 010 00 1 2D. 1 2 00 10013.设矩阵A=312101214---，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解2η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<n< bdsfid="226" p=""></n<>B.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同15.设有矩阵Ａｍ×ｎ，Ｂｍ×ｓ，Ｃｓ×ｍ，则下列运算有意义的是（）。

线性代数课后习题答案_1-4

第一章3.如果排列n x x x 21是奇排列,则排列11x x x n n -的奇偶性如何？解：排列11x x x n n -可以通过对排列n x x x 21经过(1)(1)(2)212n n n n --+-+++=次邻换得到，每一次邻换都改变排列的奇偶性，故当2)1(-n n 为偶数时，排列11x x x n n -为奇排列，当2)1(-n n 为奇数时，排列11x x x n n -为偶排列。

4. 写出4阶行列式的展开式中含元素13a 且带负号的项.解：含元素13a 的乘积项共有13223144(1)t a a a a -，13223441(1)t a a a a -，13213244(1)t a a a a -，13213442(1)t a a a a -，13243241(1)t a a a a -，13243142(1)t a a a a -六项，各项列标排列的逆序数分别为(3214)3t τ==，(3241)4t τ==，(3124)2t τ==，(3142)3t τ==，(3421)5t τ==，(3412)4t τ==，故所求为132231441a a a a -，132134421a a a a -，132432411a a a a -。

5.按照行列式的定义,求行列式nn 000000100200100-的值. 解：根据行列式的定义，非零的乘积项只有1,12,21,1(1)tn n n nn a a a a ----，其中(1)(2)[(1)(2)21]2n n t n n n τ--=--=，故行列式的值等于：(1)(2)2(1)!n n n ---6. 根据行列式定义,分别写出行列式xx x x x 111123111212-的展开式中含4x 的项和含3x 的项.解：展开式含4x 的乘积项为0411223344(1)(1)22ta a a a x x x x x -=-⋅⋅⋅= 含3x 的乘积项为1312213344(1)(1)1t a a a a x x x x -=-⋅⋅⋅=- 8. 利用行列式的性质计算下列行列式：解： (1)4113112342112341111111141023412341012110310()3412341201212412341230321r r r r r r r r r r r -÷--+++------ 4243321111111130121012110101011(4)(4)160040004100440004r r r r r r +--+=⨯⨯⨯-⨯-=----- (2)265232112131412-1231211241124113210562202132035005620562c c r r r r -↔-=--+（第二行与第四行相同）(3)22231132222221111111222202221110a ab b r a r aa b b r r a a b bb ab a r ar a abb ab a b a -+↔-+------ 2332111111()()012()012()000b a b a r ar b a a b a b a b a=------=-+-(4)3421211110011001111111111111111000011111111111111x x x r r x x x x r r x x x x x x+----=-+---41224432111001100011011001100110011000r r xxxr r x x r r x x----=---9.若540030087654321x =0,求.x解：12341500567826001544(512)003374263500454835x x x x =⨯=--转置即有：124(512)05x x --=⇒=11. 利用行列式按行或列展开的方法计算下列行列式：解： (2)124310010110(1)(1)010*********a a a a a D a D a a a a aaa+----=-+--------按第一行展开11323212(1)(1)(1)(1)(1)]n n n a D a D a D aD D a D aD +--=----=-+=-+[一般地有 221221(1)[(1)](1)(1)a a D aD aD a a D a a D =--++=-++-，其中：2221(1)111a a D a a a a a -==-+=-+--，111D a a =-=-.带入上式即可。

线性代数课后习题答案第1――5章习题详解(优选.)

xx .. ..第一章行列式4.计算下列各行列式：（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢7110025*********4；（2）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-265232112131412；（3）⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae ac ab ；（4）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c b a100110011001解(1)7110025102021421434327c c c c --0100142310202110214---=34)1(143102211014+-⨯---=143102211014-- 321132c c c c ++1417172001099-=0(2)2605232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=111111111---adfbce =abcdef 4xx .. .. (4)d c b a 100110011001---21ar r +dc b a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dc a ab 10111--+ 23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明: (1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(33+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅;(5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n +-----n n n n a x a x a x ++++=--111 . 证明(1)00122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--=右边=-=3)(b axx .. ..(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分bz ay y x by ax x z bx az z y b +++zy x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y zy x b y x z x z y z y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 964496449644964422222++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a949494949464222224232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+ddd c c c bb b a a a (4) 444444422222220001ad a c a b a ad a c a b a ad a c a b a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b ad a c a b --------- =)()()(111))()((222a d d a c c a b b a d a c ab a d ac a b ++++++--- =⨯---))()((ad a c a b )()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b )()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++xx .. ..=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即 ,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x xa xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得n nn n a a a a D 11111 =， 11112n nn n a a a a D = ，11113a a a a D n nnn =，证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnnn nn n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴ =--=--nnn n nnn n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn n n n a a a a 111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-=xx .. ..同理可证nnn n n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n T n n 2)1(2)1()1()1(---=-= D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)a aD n 11=,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)xaaax aa a x D n=; (3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n n nn n ------=---+; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) nnnnn d c d c b a b a D000011112=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121 ,021≠n a a a 其中.解xx .. ..(1) aa a a a D n 00010000000000001000 =按最后一行展开)1()1(100000000000010000)1(-⨯-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--⋅-+n n na aa(再按第一行展开)n n n nn a a a+-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax x a ax x a a x x a aa a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上，得ax ax a x aaa a n x D n ----+=000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=- (3) 从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得xx .. ..nn n n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-•-•-=---=111)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) nn nnn d c d c b a b a D 011112=nn n n n nd d c d c b a b a a 0000000011111111----展开按第一行0000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222 ---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a Dxx .. ..即 ∏=-=ni i i iin D c b da D 222)(而 111111112c b d a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)j i a ij -=0432********0122210113210)det( --------==n n n n n n n n a D ij n ,3221r r r r --0432111111111111111111111 --------------n n n n,,141312c c c c c c +++152423210222102210002100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n(6)nn a a D a +++=11111111121,,433221c c c c c c ---n n n n a a a a a a a a a a +-------10000100010000100010001000011433221 展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------00000000000000000000000000022433221xx .. ..nn n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------000000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---)11)((121∑=+=ni in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(5454343232121x x x x x x x x x x x x x 解 (1)11213513241211111----=D 8120735032101111------=145008130032101111---=1421420005410032101111-=---= 112105132412211151------=D 11210513290501115----=1121023313090509151------=2331309050112109151------=1202300461000112109151-----=14200038100112109151----=142-=xx .. ..112035122412111512-----=D 811507312032701151-------=31390011230023101151-=2842840001910023101151-=----=426110135232422115113-=----=D ; 14202132132212151114=-----=D1,3,2,144332211-========∴DDx D D x D D x D D x (2) 510006510006510006510065=D 展开按最后一行61000510065100655-'D D D ''-'=65 D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019D D ''''-'''=1146566551141965=⨯-⨯=(,11的余子式中为行列式a D D ',11的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',) 51001651000651000650000611=D 展开按第一列6510065100650006+'D 46+'=D 460319+''''-'''=D 1507= 5101065100065000601000152=D 展开按第二列5100651006500061-6510065000610005-365510651065⨯-= 1145108065-=--=xx .. ..51100650000601000051001653=D 展开按第三列51006500061000516500061000510065+6100510656510650061+= 703114619=⨯+=51000601000051000651010654=D 展开按第四列61000510065100655000610005100651--51065106565--=395-= 110051000651000651100655=D 展开按最后一列D '+10005100651006512122111=+= 665212;665395;665703;6651145;665150744321=-==-==∴x x x x x ． 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 μλμμμλ-==12111113D ，齐次线性方程组有非零解，则03=D即 0=-μλμ 得 10==λμ或不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.xx .. ..10.齐次线性方程组取何值时问,λ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解？解λλλ----=111132421D λλλλ--+--=101112431)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-=3)1(2)1(23-+-+-=λλλ齐次线性方程组有非零解，则0=D 得 32,0===λλλ或不难验证，当32,0===λλλ或时，该齐次线性方程组确有非零解.xx .. ..第二章矩阵及其运算1. 已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换.解由已知:⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x ,故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y , ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y .2. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换.xx .. ..解由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z ,所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B .解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T.4. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫⎝⎛=49635.xx .. ..(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛;解 )21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=632142. (4)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ; 解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876.(5)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x xxx .. ..322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问:(1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .(2)(A +B)2=A 2+2AB +B 2吗? 解 (A +B)2≠A 2+2AB +B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148,但⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610,所以(A +B)2≠A 2+2AB +B 2.(3)(A +B)(A -B)=A 2-B 2吗? 解 (A +B)(A -B)≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A ,而⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A ,故(A +B)(A -B)≠A 2-B 2.xx .. ..6. 举反列说明下列命题是错误的: (1)若A 2=0, 则A =0;解取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0. (2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;解取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y . 解取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y ,则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k .解⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k . 8. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A , 求A k .解首先观察xx .. ..⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=kA k k kk k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫ . 用数学归纳法证明: 当k =2时, 显然成立. 假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:xx .. ..⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121.9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵. 证明因为A T =A , 所以(B T AB)T =B T (B T A)T =B T A T B =B T AB ,从而B T AB 是对称矩阵.10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA . 证明充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以 (AB)T =(BA)T =A T B T =AB ,即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB)T =AB , 所以 AB =(AB)T =B T A T =BA . 11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A|=1, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A ,故*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225.(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ;xx .. ..解⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A . |A|=1≠0, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A ,所以*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos .(3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=145243121A . |A|=2≠0, 故A -1存在. 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A ,所以*||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n≠0) .解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021, 由对角矩阵的性质知xx .. ..⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311*********X ; 解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122. (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ; 解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121xx .. ..⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111. (4)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X . 解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=201431012. 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x , 从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x .解方程组可表示为xx .. ..⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x , 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x .14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为E -A k =(E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1), 所以 (E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E ,由定理2推论知(E -A)可逆, 且(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明一方面, 有E =(E -A)-1(E -A).另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A)+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A),故 (E -A)-1(E -A)=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A),两端同时右乘(E -A)-1, 就有(E -A)-1(E -A)=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E)-1. 证明由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 即A(A -E)=2E ,xx .. ..或 E E A A =-⋅)(21, 由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-. 由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E)(A -3E)=-4E ,或 E A E E A =-⋅+)3(41)2( 由定理2推论知(A +2E)可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得|A 2-A|=2,即 |A||A -E|=2,故 |A|≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E|=|A 2|=|A|2≠0, 故A +2E 也可逆.由 A 2-A -2E =O ⇒A(A -E)=2E⇒A -1A(A -E)=2A -1E ⇒)(211E A A -=-, 又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E)A -3(A +2E)=-4E⇒ (A +2E)(A -3E)=-4 E ,所以 (A +2E)-1(A +2E)(A -3E)=-4(A +2 E)-1,)3(41)2(1A E E A -=+-. 16. 设A 为3阶矩阵,21||=A , 求|(2A)-1-5A*|.xx .. ..解因为*||11A A A =-, 所以 |||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A =|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A|-1=-8⨯2=-16.17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A*也可逆, 且(A*)-1=(A -1)*.证明由*||11A A A =-, 得A*=|A|A -1, 所以当A 可逆时, 有 |A*|=|A|n |A -1|=|A|n -1≠0,从而A*也可逆.因为A*=|A|A -1, 所以(A*)-1=|A|-1A . 又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以 (A*)-1=|A|-1A =|A|-1|A|(A -1)*=(A -1)*.18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A*, 证明:(1)若|A|=0, 则|A*|=0;(2)|A*|=|A|n -1.证明(1)用反证法证明. 假设|A*|≠0, 则有A*(A*)-1=E , 由此得A =A A*(A*)-1=|A|E(A*)-1=O ,所以A*=O , 这与|A*|≠0矛盾，故当|A|=0时, 有|A*|=0.(2)由于*||11A A A =-, 则AA*=|A|E , 取行列式得到 |A||A*|=|A|n .若|A|≠0, 则|A*|=|A|n -1;xx .. ..若|A|=0, 由(1)知|A*|=0, 此时命题也成立.因此|A*|=|A|n -1.19. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B , 求B . 解由AB =A +2E 可得(A -2E)B =A , 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E A B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011321330. 20. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B . 解由AB +E =A 2+B 得(A -E)B =A 2-E ,即 (A -E)B =(A -E)(A +E).因为01001010100||≠-==-E A , 所以(A -E)可逆, 从而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=201030102E A B . 21. 设A =diag(1, -2, 1), A*BA =2BA -8E , 求B .解由A*BA =2BA -8E 得(A*-2E)BA =-8E ,B =-8(A*-2E)-1A -1=-8[A(A*-2E)]-1=-8(AA*-2A)-1xx .. ..=-8(|A|E -2A)-1=-8(-2E -2A)-1=4(E +A)-1=4[diag(2, -1, 2)]-1)21 ,1 ,21(diag 4-= =2diag(1, -2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=8030010100100001*A , 且ABA -1=BA -1+3E , 求B .解由|A*|=|A|3=8, 得|A|=2.由ABA -1=BA -1+3E 得AB =B +3A ,B =3(A -E)-1A =3[A(E -A -1)]-1A 11*)2(6*)21(3---=-=A E A E ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1030060600600006603001010010000161. 23. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11. 解由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A=P Λ11P -1.|P|=3, ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,xx .. ..而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ11111120 012001, 故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731. 24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511, 求ϕ(A)=A 8(5E -6A +A 2).解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)]=diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0).ϕ(A)=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111114. 25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明因为A -1(A +B)B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,而A -1(A +B)B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B)B -1可逆, 即A -1+B -1可逆. (A -1+B -1)-1=[A -1(A +B)B -1]-1=B(A +B)-1A .xx .. ..26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A , 所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521, 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521. 27. 取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠. 解 41001200210100101002000021010010110100101==--=--=D C B A , 而 01111|||||||| ==D C B A , 故|||||||| D C B A D C B A ≠.xx .. ..28. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A , 求|A 8|及A 4. 解令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21A O O A A , 故 8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A ,1682818281810||||||||||===A A A A A . ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A . 29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求(1)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ;解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n E BC O BC O AC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C , 所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111.xx .. ..(2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A .解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s n E BD CD O BD CD O AD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A . 30. 求下列矩阵的逆阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025; 解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B .于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001.xx .. ..解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A BC O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001.第三章矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020*********)2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201xx .. ..33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311 141312323~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r r r --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。

线性代数课后习题答案第四章胡觉亮

习题四（A ）1．设T T T 123(1,1,0),(0,1,1),(3,4,0)v v v ===，求21v v -和32123v v v -+．解 T v v )1,0,1(21-=-，T v v v )2,1,0(23321=-+． 2．求解下列向量方程：（1）βα=+X 3，其中T T (1,0,1),(1,1,1)αβ==-．解 11()(0,1,2)33T X βα=-=-．（2）βα+=+X X 332，其中T T )1,1,3(,)1,0,2(-==βα．解 3(3,1,4)T X αβ=-=-．3．试问向量β可否由向量组1234,,,αααα线性表示？若能，求出β由1234,,,αααα线性表示的表达式．（1）12341111121111;,,,1111111111βαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．解设11223344x x x x ααααβ+++=．由12345100041111110100111124(,,,|)1111110010411111100014r ααααβ⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪⎪-- ⎪⎪=−−→ ⎪ ⎪-- ⎪-⎪⎪--⎝⎭⎪-⎪⎝⎭，得12341234(,,,)(,,,|)4R R ααααααααβ==，所以β可由向量组1234,,,αααα线性表示，且12345111,,,4444x x x x ===-=-，得表达式12341(5)4βαααα=+--．（2）12340111121110;,,,0110011000βαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．解设11223344x x x x ααααβ+++=．由12341111010011110201001(,,,|)11000001021000100012r ααααβ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=−−→⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，得12341234(,,,)(,,,|)4R R ααααααααβ==，所以β可由向量组1234,,,αααα线性表示，且12341,1,2,2x x x x =-===-，得表达式123422βαααα=-++-． 4．讨论下列向量组的线性相关性：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=132,713,531,512,42354321ααααα．解向量组所含向量个数大于向量的维数，所以该向量组线性相关．（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=cz bz az cy by ay cx bx ax 321,,ααα，其中z y x c b a ,,,,,全不为零．解 12,αα对应的分量成比例，则12,αα线性相关，所以该向量组线性相关．（3）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21011α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=42112α ，32310α⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．解 ()123112112013013,,121001240000r ααα--⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎪ ⎪=−−→⎪ ⎪-⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．因为()123,,3R ααα=，所以该向量组线性无关．（4）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1100,0121,3021,03214321αααα．解 12341110111022200301(,,,)301100100301000r αααα--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=−−→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为1234(,,,)34R αααα=<，所以该向量组线性相关． 5．（1）设n R ∈α，证明：α线性相关当且仅当0α=．（2）设n R ∈21,αα，证明：21,αα线性相关当且仅当它们对应的分量成比例．证（１）α线性相关0,0k k α⇔=≠⇔0α=．（2）21,αα线性相关11220k k αα⇔+=，其中12,k k 不全为零．不妨设10k ≠，则21,αα线性相关21221()k l k ααα⇔=-=，即21,αα对应的分量成比例． 6．任取n R ∈4321,,,αααα，又记,,,433322211ααβααβααβ+=+=+=144ααβ+=，证明4321,,,ββββ必线性相关．证显然13123424ββααααββ+=+++=+，即1234(1)(1)0ββββ+-++-=，所以4321,,,ββββ必线性相关．7．若向量组321,,βββ由向量组321,,ααα线性表示为112321233123,,.βαααβαααβααα=-+⎧⎪=+-⎨⎪=-++⎩ 试将向量组321,,ααα由向量组321,,βββ表示．解由112321233123,,βαααβαααβααα=-+⎧⎪=+-⎨⎪=-++⎩解得11222331311,2211,2211.22αββαββαββ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩8．设12,,,n s R ααα∈L 为一组非零向量，按所给的顺序，每一(1,2,,)i i s α= 都不能由它前面的1-i 个向量线性表示，证明向量组12,,,s αααL 线性无关．证用数学归纳法证明．1s =时，10α≠，则1α线性无关．设s m =时成立，即12,,,m ααα 线性无关．当1s m =+时，若121,,,,m m αααα+ 线性相关，则1m α+可由12,,,m ααα 线性表示，矛盾，所以向量组12,,,s αααL 线性无关．9．设非零向量β可由向量组12,,,s αααL 线性表示，证明：表示法唯一当且仅当向量组12,,,s αααL 线性无关．证 β可由向量组12,,,s αααL 线性表示1212(,,,)(,,,|)s s R R ααααααβ⇔= ．则表示法唯一1122s s x x x αααβ⇔+++= 有唯一解1212(,,,)(,,,|)s s R R s ααααααβ⇔==12(,,,)s R s ααα⇔=⇔ 12,,,s αααL 线性无关．10．设12,,,n n R ααα∈L ，证明：向量组12,,,n αααL 线性无关当且仅当任一n 维向量均可由12,,,n αααL 线性表示．证必要性：12,,,n αααL 线性无关，任取n R β∈，则12,,,,n αααβL 线性相关，所以β可由12,,,n αααL 线性表示．充分性：任一n 维向量均可由12,,,n αααL 线性表示，则单位坐标向量12,,,n e e e L 可由12,,,n αααL 线性表示，有1212(,,,)(,,,)n n n R e e e R n ααα=≤≤L L ，所以12(,,,)n R n ααα=L ，即12,,,n αααL 线性无关．11．求下列各向量组的秩及其一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示．（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=131,020,011321ααα．解 123101100(,,)123010001001r ααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3),,(321=αααR ，本身为一个极大无关组；（2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2202,7431,6514,31214321αααα．解 12341121014129921305401(,,,)99154200036720000r αααα⎛⎫-- ⎪-⎛⎫⎪⎪--⎪⎪-=−−→ ⎪⎪-- ⎪⎪-- ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，所以2),,,(4321=ααααR ，21,αα为一个极大无关组，且21395911ααα+-=，2149492ααα--=．（3）123410321301,,,,217542146αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭51120α⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．解 123451032113011301101101(,,,,)217520001142146000000r ααααα-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪=−−→⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3),,,,(54321=αααααR ，421,,ααα为一个极大无关组，且2133ααα+=，4215αααα+--=．12．设A ：1,,s ααL 和B ：1,,t ββL 为两个同维向量组，秩分别为1r 和2r ；向量组C A B =的秩为3r ．证明：{}21321,max r r r r r +≤≤．证先证{}123max ,r r r ≤．显然A 组与B 组分别可由C 组线性表示，则13r r ≤，且23r r ≤，所以{}123max ,r r r ≤．次证312r r r ≤+．设11,,i ir ααL 为A 组的一个极大无关组，21,,i ir ββL 为B 组的一个极大无关组，则C 组可由1211,,,,,i ir i ir ααββL L 线性表示，有1231112(,,,,,)i ir i ir r R r r ααββ≤≤+ ．13．设B 为n 阶可逆阵，A 与C 均为n m ⨯矩阵，且C AB =．试证明)()(C R A R =．证由C AB =，知C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示，则()()R C R A ≤．因为B 可逆，则1A CB -=，知A 的列向量组可由C 的列向量组线性表示，则()()R A R C ≤．所以)()(C R A R =．14．设A 为n m ⨯矩阵，证明：O A =当且仅当0)(=A R ．证必要性显然，下证充分性：()0R A A O =⇒=．设α为A 的任一列向量，则()()0R R A α≤=，所以()00R αα=⇒=．由α的任意性知O A =．15．设T T T T )11,5,1(;)6,3,1(,)5,2,0(,)1,1,1(321====βααα．（1）求由向量组123,,ααα生成的向量空间的一组基与维数；（2）求向量β在此组基下的坐标．解由12310111011(,,|)12350112156110000r αααβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得（1）12,αα为由向量组123,,ααα生成的向量空间的一组基，且维数为2；（2）向量β在此组基下的坐标为)2,1(．16．设T T T )1,5,2(,)1,0,1(,)3,1,2(321---=-=-=ααα．证明向量组123,,ααα是3R 的一组基，并求向量T )3,6,2(=β在这组基下的坐标．证由123710021222(,,|)10560108311310012r αααβ⎛⎫ ⎪---⎛⎫⎪ ⎪=-−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭- ⎪⎝⎭ ，得123,,ααα是3R 的一组基，且β在这组基下的坐标为71(,8,)22--． 17．在3R 中取两组基：T T T )1,7,3(,)3,3,2(,)1,2,1(321===ααα；T T T )6,1,1(,)1,2,5(,)4,1,3(321-===βββ．（1）求由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵．（2）若向量γ在基123,,βββ下的坐标为)1,1,1(，求向量γ在基123,,ααα下的坐标．解设123123(,,)(,,)P βββααα=．由123123123351(,,|,,)237121131416αααβββ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭1002771410109209(|)0014128rE P ---⎛⎫ ⎪−−→= ⎪ ⎪⎝⎭，得（1）由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵27714192094128P ---⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭．（2）γ在基123,,ααα下的坐标为277141113992091384128124X PY ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．18．在4R 中求一向量γ，使其在下面两组基：T T T T )1,0,0,0(,)0,1,0,0(,)0,0,1,0(,)0,0,0,1(4321====αααα； T T T T )3,1,6,6(,)1,2,3,5(,)0,1,3,0(,)1,1,1,2(4321===-=ββββ下有相同的坐标．解由12341234(,,,),(,,,)X X X γααααγββββ===，得1234(,,,)γββββγ=，即1234((,,,))0E ββββγ-=．令1234(,,,)T x x x x γ=．由12341056100112360101(,,,)1111001110120000r E ββββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪-=−−→⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得142434,,.x x x x x x =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩取41x =，得T )1,1,1,1(---=γ． 19．求下列齐次线性方程组的一个基础解系及通解．（1）123231230,0,220.x x x x x x x x ++=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩ 解由111100011011122000r A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1230,.x x x =⎧⎨=-⎩令31x =，得方程组的一个基础解系(0,1,1)T ξ=-，通解为ξc X =，其中c 为任意常数．（2）123412341240,20,30.x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪++=⎩解由11002111131121011231010000r A ⎛⎫⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭，得132341,23.2x x x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 令3420,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得方程组的一个基础解系1(1,3,2,0)T ξ=-，T)1,0,1,0(2-=ξ，通解为2211ξξc c X +=，其中21,c c 为任意常数．（3）12341234123420,24530,4817110.x x x x x x x x x x x x ---=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩解由2120712115245300174817110000r A ⎛⎫-- ⎪---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-−−→ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭，得1243422,75.7x x x x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 令2410,07x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得方程组的一个基础解系T )0,0,1,2(1=ξ，T)7,5,0,2(2-=ξ，通解为2211ξξc c X +=，其中21,c c 为任意常数．（4）1234512345123451234520,20,333340,455570.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +--+=⎧⎪-++-=⎪⎨+--+=⎪⎪+--+=⎩解由1102111131111250111333334000004555700000r A ⎛⎫- ⎪--⎛⎫⎪ ⎪--⎪⎪--=−−→ ⎪ ⎪-- ⎪⎪-- ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，得1523451,35.3x x x x x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩令3451000,1,0003x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得方程组的一个基础解系 T )0,0,1,1,0(1=ξ，T )0,1,0,1,0(2=ξ，T )3,0,0,5,1(3-=ξ，通解为332211ξξξc c c X ++=，其中321,,c c c 为任意常数．20．判断下列非齐次线性方程组是否有解，若有解，并求其解（在有无穷多解的情况下，用基础解系表示全部解）．（1）123124234124244,24, 321,3 2 3.x x x x x x x x x x x x --=⎧⎪---=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩解方程组的增广矩阵()141000524104131201401005031214001031023500014r B A β⎛⎫-⎪--⎛⎫ ⎪⎪⎪----⎪ ⎪==−−→ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎪⎪⎝⎭．因为()()4R A R B ==，所以方程组有唯一解，且解为TX )4,54,513,514(--=．（2）12345123452345123451,3235, 2262,54337.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=-⎧⎪+++-=-⎪⎨+++=⎪⎪+++-=-⎩解方程组的增广矩阵()111111321135012262543317B A β-⎛⎫ ⎪--⎪== ⎪ ⎪--⎝⎭ 101153012262000000000000r ----⎛⎫⎪ ⎪−−→ ⎪ ⎪⎝⎭，因为()()25R A R B ==<，所以方程组有无穷多解，且1345234553,226 2.x x x x x x x x =++-⎧⎨=---+⎩ 令314253,,x c x c x c ===，得通解为123(3,2,0,0,0)(1,2,1,0,0)(1,2,0,1,0)(5,6,0,0,1)T T T T X c c c =-+-+-+-其中123,,c c c 为任意常数．（3）12341234123412342352,22,5,323 4.x x x x x x x x x x x x x x x x +--=-⎧⎪+-+=-⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩解方程组的增广矩阵()231521003121120100311115001053123400010r B A β----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪==−−→⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为()()4R A R B ==，所以方程组有唯一解，且解为(3,3,5,0)T X =-． 21．设三元非齐次线性方程组β=AX ，矩阵A 的秩为2，且T )2,2,1(1=η,T)1,2,3(2=η 是方程组的两个特解，试求此方程组的全部解．解由已知得导出组的基础解系含()321n R A -=-=个解向量，设为ξ，则可取21(2,0,1)T ξηη=-=-．所以方程组的通解为*(2,0,1)(1,2,2)T T X c c ξη=+=-+，其中c 为任意常数． 22．设m ξξξ,,,21 是齐次线性方程组0=AX 的基础解系，求证122,,,m ξξξξ+ 也是0=AX 的基础解系．证显然122,,,m ξξξξ+ 是0=AX 的解，只需证明它们线性无关．1221212100110(,,,)(,,,)(,,,)001m m m m m K ξξξξξξξξξξ⨯⎛⎫⎪⎪+== ⎪⎪⎝⎭．由10K =≠，得12212(,,,)(,,,)m m R R m ξξξξξξξ+== ，所以122,,,m ξξξξ+ 线性无关．23．设A 是n 阶方阵．证明：存在一个n 阶非零矩阵B ，使AB O =的充要条件是0=Α．证存在B O ≠，使得0AB O AX =⇔=有非零解0A ⇔=．24．设A 是n 阶方阵，B 为s n ⨯矩阵，且n B R =)(．证明：（1）若AB O =，则A O =；（2）若B AB =，则n E A =．证（1）AB O =，则()()R A R B n +≤．又()()0R B n R A A O =⇒=⇒=．（2）()AB B A E B O =⇒-=．由（１）得A E O A E -=⇒=．（B ）1．设向量组321,,ααα线性相关，而432,,ααα线性无关，问：（1）1α能否由432,,ααα线性表示？为什么？（2）4α能否由321,,ααα线性表示？为什么？解（1）432,,ααα线性无关，则23,αα线性无关；又321,,ααα线性相关，则1α可由23,αα线性表示；所以1α可由432,,ααα线性表示．（2）若4α可由321,,ααα线性表示，又1α可由23,αα线性表示，则4α可由23,αα线性表示，有432,,ααα线性相关，矛盾，所以4α不能由321,,ααα线性表示．2．若向量组T (,,,,),1,,i a b a i n α==L L L ，其中i α的第i 个分量为b ，余皆为a ．试讨论该向量组的线性相关性．解 112,,,[(1)]()n n b a a a b ab n a b a a a bααα-==+-- ．当b a ≠且11b a n ≠--时，12,,,0n ααα≠ ，向量组12,,,n ααα 线性无关；当b a =或11b a n =--时，12,,,0n ααα= ，向量组12,,,n ααα 线性相关． 3．设向量组s ααα,,,21 线性无关，211ααβ+=，322ααβ+=，…，1ααβ+=s s ，试讨论s βββ,,,21 的线性相关性．若向量组s ααα,,,21 线性相关呢？解 12121210011100(,,,)(,,,)(,,,)01100001s s s s s K βββαααααα⨯⎛⎫⎪⎪⎪== ⎪⎪ ⎪⎝⎭，且11(1)s K -=+-．（1）若s ααα,,,21 线性无关，则当s 为偶数时，0K =，有12(,,,)()s R R K s βββ≤< ，此时s βββ,,,21 线性相关；当s 为奇数时，0K ≠，有1212(,,,)(,,,)s s R R s βββααα≤= ，此时s βββ,,,21 线性无关．（2）若s ααα,,,21 线性相关，则1212(,,,)(,,,)s s R R s βββααα≤< ，此时s βββ,,,21 线性相关．4．设s ααα,,,21 为n 维非零向量，A 为n 阶方阵，若,,,3221 αααα==A A s s A αα=-1, ，0=s A α，试证明s ααα,,,21 线性无关．证设1122110s s s s x x x x αααα--++++= ．该式两边左乘以A ，得122310s s x x x ααα-+++=依此类推，得10s x α=．由0s α≠，得10x =．同理可证20,,0s x x == ．所以s ααα,,,21 线性无关．5．设32321211,,αααααααα+=+==A A A ，其中A 为3阶方阵，321,,ααα为3维向量，且01≠α，证明321,,ααα线性无关．证设1122330x x x ααα++=．（1）（1）式两边左乘以A ，得12123233()()0x x x x x ααα++++=．（2）（2）减去（1），得21320x x αα+=．（3）（3）式两边左乘以A ，得23132()0x x x αα++=．（4）（4）减去（3），得310x α=．因为10α≠，所以30x =．代入（３），得210x α=，所以20x =．代入（1），得110x α=，所以10x =．所以321,,ααα线性无关．6．设A 为n 阶方阵，α为n 维列向量．证明：若存在正整数m ，使0=αm A ，而01≠-αm A ，则1,,,m A A ααα-L 线性无关．证设10110m m x x A x A ααα--+++=L ，该式两边左乘以1m A -，得100m x A α-=．因为01≠-αm A ，所以00x =．同理可证110m x x -=== ．所以1,,,m A A ααα-L 线性无关．7．设向量组A 的秩与向量组B 相同，且A 组可由B 组线性表示，证明A 组与B 组等价．证设r B R A R ==)()(，r ααα,,,21 为A 组的一个极大无关组，r βββ,,,21 为B 组的一个极大无关组．由A 组可由B 组线性表示，得r r r r K ⨯=),,,(),,,(2121βββααα .又12,,,()()r r R K R r ααα≥≥= ，则r K R =)(，即K 为可逆矩阵，有11212(,,,)(,,,)r r K βββααα-= ，即r βββ,,,21 可由r ααα,,,21 线性表示，所以B 组可由A 组线性表示.故A 组与B 组等价．8．设向量组A ：s ααα,,,21 线性无关，向量组B ：12,,,r βββL 能由A 线性表示为1212(,,,)(,,,)r s s r K βββααα⨯=L L ，其中s r ≤，证明：向量组B 线性无关当且仅当K 的秩r K R =)(．证向量组B 线性无关121,,,)(0r r X βββ⨯⇔= 只有零解 121(,,,)()0s s r r K X ααα⨯⨯⇔= 只有零解12,,,10s s r r K X ααα⨯⨯=⇔线性无关只有零解()R K r ⇔=．9．设B A ,都是n m ⨯矩阵，试证明：)()()|()(B R A R B A R B A R +≤≤+．证先证()(|)R A B R A B +≤．显然A B +的列向量组可由A 的列向量组和B 的列向量组线性表示，则()(|)R A B R A B +≤．此证(|)()()R A B R A R B ≤+．设(),()R A r R B s ==，ˆA 与ˆB 分别为A 与B 的列向量组的一个极大无关组，则(|)A B 的列向量组可由ˆA与ˆB 线性表示，有 (|)()()R A B r s R A R B ≤+=+，即(|)()()R A B R A R B ≤+．10．设321,,ααα是3R 的一组基，211ααβ+=，322ααβ+=，133ααβ+=．（1）证明123,,βββ是3R 的一组基；（2）求由基321,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵；（3）若向量γ在基321,,ααα下的坐标为)0,0,1(，求向量γ在基123,,βββ下的坐标．证 123123101,,)(,,)110011(βββααα⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．（１）（１）由10111001120=≠，得123123,,),)3((,R R βββααα==，则123,,βββ线性无关，所以123,,βββ是3R 的一组基．（2）由（１）式，得由基321,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵101110011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．（3）γ在基123,,βββ下的坐标1110111111111001110201101110Y P X ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭=⎭=111(,,)222T -．11．当q p ,为何值时，齐次线性方程组1231231230,20,0x qx x x qx x px x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩只有零解？有非零解？在方程组有非零解时，求其全部解．解方程组的系数行列式11121(1)11q A q q p p ==-．当0A ≠，即0)1(≠-p q 时只有零解.当0A =，即0)1(=-p q 时有非零解，且通解为(1,1,1)T X c p =--，其中c 为任意常数．12．设321,,X X X 是β=AX 的三个特解，则（）也是β=AX 的解．（A ）332211X k X k X k ++；（B ）332211X k X k X k ++，1321=++k k k ；（C ）321)(X X X k ++；（D)32211)(X k X X k +-．解 B ．实质上，一般地有：若12,,,s X X X 为β=AX 的解，则1122s s k X k X k X +++ 也是β=AX 的解121s k k k +++⇔= ．13．考虑线性方程组12345123452345123450,323,2263,5433.x x x x x x x x x x a x x x x x x x x x b ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩问b a ,取什么值时有解？当有解时，求它的通解．解方程组的增广矩阵()1111103211301226354331a B A b β⎛⎫ ⎪-⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭111110012263000003000003r a b ⎛⎫⎪⎪−−→⎪+ ⎪+⎝⎭，则当3a b ==-时方程组有解，且()B A β=101153012263000000000000r----⎛⎫⎪⎪−−→ ⎪ ⎪⎝⎭，所以方程组的通解为T T T T c c c X )1,0,0,6,5()0,1,0,2,1()0,0,1,2,1()0,0,0,3,3(321-+-+-+-=，其中321,,c c c 为任意常数14．设矩阵),,,(4321αααα=A ，其中432,,ααα线性无关，且4321αααα+-=．向量4321432ααααβ+++=．试求方程组β=AX 的通解．解由432,,ααα线性无关，且4321αααα+-=，得432,,ααα是1234,,,αααα的一个极大无关组，则1234,,,)3(R αααα=，即()3R A =，从而0AX =的基础解系含()441n R A -=-=个线性无关的解向量，设为ξ．由1234αααα=-+，得12340αααα-+-+=，则(1,1,1,1)T --是0AX =的解，故可取(1,1,1,1)T ξ=--．由1234234βαααα=+++，得(1,2,3,4)T 是AX β=的一个特解．所以β=AX 的通解为(1,1,1,1)(1,2,3,4)T T X c =--+，其中c 为任意常数． 15．设A 为r m ⨯矩阵，B 为n r ⨯矩阵，且AB O =．求证：（1）B 的各列向量是齐次线性方程组0AX =的解；（2）若，则B O =；（3）若B O ≠，则A 的各列向量线性相关．证（1）令12(,,,)n B βββ= ．由AB O =，得12(,,,)(0,0,,0)n A A A βββ= ，即0,1,2,,j A j n β== ，所以B 的各列向量是齐次线性方程组0AX =的解．r A R =)(（2）若，则0AX =只有零解，所以B O =．（3）若B O ≠，则0AX =有非零解，所以A 的各列向量线性相关． 16．设A 为n 阶方阵（2≥n ），证明：（1）当n A R =)(时，n A R =*)(；（2）当1)(-=n A R 时，1)(=*A R ；（3）当1)(-<n A R 时，0)(=*A R ．证（1）当n A R =)(时，1*00n A A A-≠⇒=≠，所以()R A n *=．（2）当1)(-=n A R 时，由*AA A E O ==，得*()()R A R A n +≤有*()1R A ≤．又A 中至少有一个1n -阶子式不为零，则**()1A O R A ≠⇒≥，所以()1R A *=．（3）当1)(-<n A R 时，则A 中所有一个1n -阶子式全为零，有**()0A O R A =⇒=．r A R =)(。

习题线性代数课后答案胡显佑

习题二（A ）4．解: 1) 582715472201856525143A ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭ 632513590302078028185B ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭2) 1215228916260381214553328A B ⎛⎫⎪+=⎪ ⎪⎝⎭上式表明:123,,A A A 三个在2003年,2004年生产1234,,,B B B B 四种油品的总产量.52211802215342B A --⎛⎫⎪-=⎪ ⎪⎝⎭上式表明：123,,A A A 三厂在2004年生产的1234,,,B B B B 四种与2003年相比的增加量.3) 12192614221()813019621455316422A B ⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭上式表明123,,A A A 三厂在2003年、2004年生产1234,,,B B B B 四种油品的平均产量.7．求所有与A 可交换的矩阵：（1）1011A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；（2）11001101A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.解：1) 设a b X c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则XA =AX 得 a =d b =00a Xc a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭2) 设111222a b c Y a b c a b c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则YA AY =得1220a a b === 12b c a == 1c b =000ab c Y a b a ⎛⎫⎪∴=⎪ ⎪⎝⎭8．设矩阵A 与B 可交换.证明：（1）22()()A B A B A B +-=-；（2）222()2A B A AB B ±=±+.解：1) 2222()()A B A B A AB BA B A B +-=-+-=- 2) 22222()2A B A AB BA B A AB B ±=±±+=±+12解：1) 0.20.35820655335200010008000.0110.05827633.8120013005000.120.5840770346⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2) 82065533511810827633.81191.884077034611956⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭总价值为1810,总重量为191.8,总体积为1956 13．设A 为n 阵对称矩阵，k 为常数.试证kA 仍为对称矩阵.证明: 设111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L M M O M L,则 111212122212()n n T n n nn ka ka ka ka ka ka kA kA ka ka ka ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L M M O M L则kA 为对称矩阵14．（1）证明：对任意的m ×n 矩阵A ，A T A 和AA T 都是对称矩阵.（2）证明；对任意的n 阶矩阵A ，A +A T 为对称矩阵，而A -A T 为反对称矩阵. 解：1) 证明: ()()T T T T T T A A A A A A==Q()()T TT T T TAA A A AA ==,TT A A AA ∴都是对称矩阵2) ()(),T T T T T T T A A A A A A A A A A +=+=+=++为对称矩阵 ()()()T T T T T T A A A A A A A A -=-=-=--则T A A -为对称矩阵15．设A 、B 是同阶对称矩阵，则AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA .解：()TT T AB AB B A AB BA AB =⇔=⇔=17．设n 阶矩阵A 可逆，且det A =a ，求1det A -，det *A .解：1AA E -=Q111det det A A a-==∴*det AA A E =⋅∴*11det(det )n n A A a --==18．证明: 21()()k E A E A A A --+++L2121()k k k E A A A A A A E A E E A --=++++----=-=-L L 21K E A A A -=+++L19．已知n 阶阵A 满足232A A E O --=.求证：A 可逆，并求A -1。

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第一章1．用消元法解下列线性方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.5432,9753,432321321321x x x x x x x x x解由原方程组得同解方程组12323234,23,x x x x x ++=⎧⎨+=⎩得方程组的解为13232,2 3.x x x x =-⎧⎨=-+⎩令3x c =，得方程组的通解为c x c x c x =+-=-=321,32,2，其中c 为任意常数． 2．用初等行变换将下列矩阵化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵：（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--324423211123．解 1102232111232551232041050124442300000000r r ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-−−→--−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭，得行阶梯形：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000510402321（不唯一）；行最简形：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000045251021201 3．用初等行变换解下列线性方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++.3,1142,53332321321x x x x x x x x解 2100313357214110109011320019r B ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-−−→- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭M M M M M M ，得方程组的解为920,97,32321=-==x x x ．（2）⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=++-.2222,2562,134432143214321x x x x x x x x x x x x解 114311143121652032101222200001r B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭M M M M M M ，得方程组无解．第二章1.（2）22x y x y ．解原式()xy y x =-．（2）0100002000010n n-L L LL L L L L L． 2.解原式1100020(1)001n n n +=-=-LL M M M L!)1(1n n +-3.（2）1111 2222 3333 4444------．解原式11110444192 00660008==．（5）121111100100100naaaLLLM M M L ML，其中0,1,2,,ia i n≠=L．解原式11121211000100100100iini ir rai nnaaaa=-≤≤-==∑LLLM M M L ML∑∏==-niniiiaa11)11(4．利用行列式展开定理，计算下列行列式：（1）1214 0121 1013 0131-．解原式02012010010121321213217 1013131311310131--==-=-==---．（3）12310001 0000 0000 0000 1000nnaaaaa-LLLM M M M MLL．解原式122131100010000000(1)0000000n n n n a a a a a a a +--=-+L L L L L M M M M M M M LL2311(1)1210000(1)(1)00n n n n a a a a a a ++--=--+L L L M M M L23112n n a a a a a a -=-+L L 2311(1)n n a a a a a -=-L ．7．设2142112531335111D =-，试求14243444A +A +A +A 和11121314M +M M M ++．解 14243444A +A +A +A 0=；111213141112131411111125+31335111M M M M A A A A --++=-+-=- 010*******2134652422422842142626206206120---==-=-=-=--． 8．利用克拉默法则解下列线性方程组：（1）12341234123412345,242,2352,32110.x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩解经计算，得1234142,142,284,426,142D D D D D =-=-=-=-=，所以方程组的解为1,3,2,14321-====x x x x ．9．试问λ取何值时，齐次线性方程组123123123230,3470,20x x x x x x x x x λ-+=⎧⎪-+=⎨⎪-++=⎩有非零解．解方程组有非零解，则0D =．又2133475(3)12D λλ-=-=-+-，所以3-=λ．第三章2．设矩阵112123111,122211031A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．（1）计算2A B +；（2）若X 满足32A X B +=，求X ．解（1）3472100411A B ⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭；（2）11023577695X B A -⎛⎫ ⎪=-=-- ⎪ ⎪--⎝⎭．3．设有3阶方阵111222333a c d A a c d a c d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，111222333b c d B b c d b c d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且1A =，2=B ，求2A B +．解 1111222233332332233233a b c d A B a b c d a b c d ++=++1111112222223333339(2)9(2)45a c d b c d a c d b c d A B a c d b c d --=+--=+=--． 4（5）1020020100100031003⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭．解原式3E =．（6）()111213112312222321323333a a a x x x x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．解原式222111222333121213132323222a x a x a x a x x a x x a x x =+++++．5．已知矩阵103021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100021301B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．求：（1）AB 与BA ；（2）))((B A B A -+与22B A -.解（1）1003343301AB ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，1030433010BA ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；（2）906()()600609A B A B -⎛⎫ ⎪+-=- ⎪ ⎪-⎝⎭，22006300600A B ⎛⎫⎪-=- ⎪⎪-⎝⎭．8．已知矩阵()123α=，11123β⎛⎫=⎪⎝⎭，令βαTA =，求n A ，其中n 为正整数．解 111()()()3()nTT n T n T n T A αβαββααβαβ---=== 111123232133312n -⎛⎫⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-------11112113233323323233n n n n n n n n n ．9．若A 为n 阶对称矩阵，P 为n 阶矩阵，证明TP AP 为对称矩阵．证因为()()T A ATTTTT TT P AP P A P P AP ===，所以T P AP 为对称矩阵．10.（2）100210331A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．解 10A =≠，又*100210331A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，所以1*1A A A -==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--133012001． 14．设n 阶方阵A 满足23A A O -=，证明2A E -可逆，并求()12A E --．证由23A A O -=，得(2)()2A E A E E --=，即(2)2A EA E E --=，所以2A E -可逆，且()12A E --=2E A -．16．已知A 为三阶方阵，且2A =-，求：（3）*112A A --．（3）*1111115222A A A A A A -----=-=-，有原式13551()22A A-=-=-=16125． 20．利用分块矩阵求下列矩阵的逆矩阵：（1）130120005⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭．解将矩阵进行如下分块：12130120005A O A O A ⎛⎫⎪-⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭M M L L L L M ，则11112A O A OA ---⎛⎫=⎪⎝⎭．又()1111122313155,51211555A A ----⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，所以 1A -=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-51000515105352．21．设矩阵1100010000120021A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，利用分块矩阵计算4A ．解将矩阵进行如下分块：1211000100(,)00120021A diag A A ⎛⎫⎪ ⎪⎪==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M M L L LL L M M ，则44412(,)A diag A A =．又4412144140,014041A A ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以414000100004140004041A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． 22．设矩阵2501300002100122A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，利用分块矩阵计算2012A ．解将矩阵进行如下分块：1225001300(,)002100122A diag A A ⎛⎫⎪ ⎪⎪==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M M L L LL L M M ，则121(8)8A A A =⋅=⨯-=-，所以2012201220128AA==．24.（2）122212221⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭．解 ()122100999122100212212010010999221001221001999r A E ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪ ⎪⎪=-−−→- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪-⎪⎝⎭M M M M M M ，所以A 可逆，且1122999212999221999A -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭． 25．利用矩阵的初等行变换解下列矩阵方程：（1）12313032410272101078X --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．解 ()12313010064532410270102122101078001333r E X --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-−−→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭M M M M M M ，所以645212333X ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． 26.（2）213244251721182--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭．解 21324213244251700151()22118200000r A R A ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-−−→-⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭． 29．设A 是43⨯矩阵，且A 的秩为2，而101111123B ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪---⎝⎭，求()R AB ．解 20B =≠，则()()2R AB R A ==．33．试问λ取何值时，下列非齐次线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解．（1）123123123(1)1,(1),(1) 1.x x x x x x x x x λλλλλ+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=--⎩解方程组的系数行列式2111111(3)111A λλλλλ+=+=++．当0A ≠，即0≠λ且3-≠λ时，方程组有唯一解．当0=λ时，()111111111110000111110000r B A β⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭M M M M M M ．因为()1()2R A R B =≠=，所以方程组无解．当3-=λ时，()211111221213033511220000r B A β--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==--−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭M M M M M M ．因为()()23R A R B ==<，所以方程组有无穷多解．第四章2．求解下列向量方程：（1）βα=+X 3，其中TT(1,0,1),(1,1,1)αβ==-．解 11()(0,1,2)33T X βα=-=-． 4.（3）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21011α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=42112α ，32310α⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．解 ()123112112013013,,121001240000r ααα--⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎪ ⎪=−−→⎪ ⎪-⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．因为()123,,3R ααα=，所以该向量组线性无关．（4）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1100,0121,3021,03214321αααα．解 12341110111022200301(,,,)3011001003010000r αααα--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪=−−→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为1234(,,,)34R αααα=<，所以该向量组线性相关． 7．若向量组321,,βββ由向量组321,,ααα线性表示为112321233123,,.βαααβαααβααα=-+⎧⎪=+-⎨⎪=-++⎩ 试将向量组321,,ααα由向量组321,,βββ表示．解由112321233123,,βαααβαααβααα=-+⎧⎪=+-⎨⎪=-++⎩解得11222331311,2211,2211.22αββαββαββ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩11．求下列各向量组的秩及其一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示．（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=131,020,011321ααα．解 123101100(,,)123010001001r ααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3),,(321=αααR ，本身为一个极大无关组；（2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2202,7431,6514,31214321αααα．解 12341121014129921305401(,,,)99154200036720000r αααα⎛⎫-- ⎪-⎛⎫⎪⎪--⎪⎪-=−−→ ⎪⎪-- ⎪⎪-- ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，所以2),,,(4321=ααααR ，21,αα为一个极大无关组，且21395911ααα+-=，2149492ααα--=．（3）123410321301,,,,217542146αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭51120α⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．解 123451321103011301101101(,,,,)217520001142146000000r ααααα-⎛⎫⎛⎫⎪⎪---⎪ ⎪=−−→⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以3),,,,(54321=αααααR ，421,,ααα为一个极大无关组，且2133ααα+=，4215αααα+--=．14．设A 为n m ⨯矩阵，证明：O A =当且仅当0)(=A R ．证必要性显然，下证充分性：()0R A A O =⇒=．设α为A 的任一列向量，则()()0R R A α≤=，所以()00R αα=⇒=．由α的任意性知O A =．19. （2）123412341240,20,30.x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪++=⎩解由11002111131121011231010000r A ⎛⎫⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭，得132341,23.2x x x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩令3420,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得方程组的一个基础解系1(1,3,2,0)T ξ=-，T)1,0,1,0(2-=ξ，通解为2211ξξc c X +=，其中21,c c 为任意常数．20.（2）12345123452345123451,3235, 2262,54337.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=-⎧⎪+++-=-⎪⎨+++=⎪⎪+++-=-⎩解方程组的增广矩阵()111111321135012262543317B A β-⎛⎫ ⎪-- ⎪== ⎪⎪--⎝⎭M M M M 101153012262000000000000r ----⎛⎫⎪⎪−−→⎪⎪⎝⎭M M M M ，因为()()25R A R B ==<，所以方程组有无穷多解，且1345234553,226 2.x x x x x x x x =++-⎧⎨=---+⎩ 令314253,,x c x c x c ===，得通解为123(3,2,0,0,0)(1,2,1,0,0)(1,2,0,1,0)(5,6,0,0,1)T T T T X c c c =-+-+-+-其中123,,c c c 为任意常数．第五章1. (5)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----020212022．解 A 的特征多项式220212(2)(1)(4)02A E λλλλλλλ---=---=-+----，所以A 的特征值为21-=λ，12=λ，43=λ．当21-=λ时，解特征方程组(2)0A E X +=．由11042022320110220002r A E ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪+=−------−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，得13231,2.x x x x ⎧=⎪⎨⎪=⎩令32x =，得属于特征值21-=λ的线性无关的特征向量为1(1,2,2)T ξ=，全部特征向量为111,0k k ξ≠．当12=λ时，解特征方程组()0A E X -=．由1011201202012021000r A E ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-=−−→ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎝⎭-⎪⎝⎭，得1323,1.2x x x x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩令32x =，得属于特征值12=λ的线性无关的特征向量为2(2,1,2)T ξ=--，全部特征向量为222,0k k ξ≠．当43=λ时，解特征方程组(4)0A E X -=．由2201022320120240400r A E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭------⎭--⎝，得13232,2.x x x x =⎧⎨=-⎩令31x =，得属于特征值43=λ的线性无关的特征向量为3(2,2,1)Tξ=-，全部特征向量为333,0k k ξ≠．（6）----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪100111302．解 A 的特征多项式21001()(111232)A E λλλλλλ-------=+--=，所以A 的特征值为2,132,1=-=λλ．当12,1-=λ时，解特征方程组()0A E X +=．由101000000101303000r A E -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭--⎪，得13.x x =令2310,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得属于特征值12,1-=λ的线性无关的特征向量为12(0,1,0),(1,0,1)T T ξξ==，全部特征向量为112212,,k k k k ξξ+不全为0．当23=λ时，解特征方程组(2)0A E X -=．由10030011310133000002r A E ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-=−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭----，得1230,1.3x x x =⎧⎪⎨=-⎪⎩令33x =，得属于特征值23=λ的线性无关的特征向量为3(0,1,3)T ξ=-，全部特征向量为333,0k k ξ≠．5．已知3阶矩阵A 的特征值为3,2,1，求A A A 7523+-及A 的伴随矩阵*A 的特征值．解令325()7x x x x ϕ-+=，则A A A 7523+-的特征值为(1)3,(2)2,(3)3ϕϕϕ===．又1236A =⨯⨯=，则*A 特征值为6666,3,2123===． 9．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=533242111A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=20002000λB ，且A 与B 相似，求常数λ．解显然B 的特征值为,2,2λ．A 与B 相似，则A 的特征值为,2,2λ．由14522λ++=++，解得6=λ．10．已知矩阵A x =⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪20000101与矩阵B y =-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪20000001相似，求常数x 与y ．解 A 与B 相似，则202(1)1x y x y ++=++-⇒=-．（1）又2A =-，由A B =，得22(1)1y y -=⋅⋅-⇒=，代入（1）式，得0x =．所以1,0==y x ．11．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=12012001a A ．问a 为何值时，矩阵A 可相似对角化．解显然A 的特征值为1,231,1λλ==-．对1,21λ=，A 可相似对角化()321R A E ⇔-=-=．由2002001000000200r a A E a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=−−→ ⎪ ⎪ ⎪ -⎭⎝-⎭-⎪⎝，得0=a ．13.（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1324121019106127．解 A 的特征多项式132(1)7126112610191001910122413143(1)21c c A E λλλλλλλλλλ-----===----------+--，则A 的特征值为1,231,1λλ==-．当1,21λ=时，解方程组()0A E X -=．由6126102010122412121000000r A E -⎛⎫-⎛⎫⎪ ⎪-=−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎝-⎭⎭-⎪，得()1R A E -=，所以A 与对角矩阵相似，且1232x x x =-．令2310,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得属于特征值1,21λ=的线性无关的特征向量为12(2,1,0),(1,0,1)T Tp p ==-．当31λ=-时，解方程组()0A E X +=．由812610181012241411025016000r A E ⎛⎫- ⎪⎛⎫ ⎪⎪⎪+=−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎭---⎪ ⎪⎝，得13231,25.6x x x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩令36x =，得属于特征值31λ=-的线性无关的特征向量为3(3,5,6)T p =．令123213105016(,,)P p p p -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭=，则1P AP -=Λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100010001．（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----163053064．解 A 的特征多项式24603503(1)(2)61A E λλλλλλ--------==--+，则A 的特征值为1,231,2λλ==-．当1,21λ=时，解方程组()0A E X -=．由360360312000000600r A E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=−−→ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎭-⎪⎝⎝⎭，得()1R A E -=，所以A 与对角矩阵相似，且122x x =-．令2310,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得属于特征值1,21λ=的线性无关的特征向量为12(2,1,0),(0,0,1)T Tp p =-=．当32λ=-时，解方程组(2)0A E X +=．由6603310301201000631r A E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=−−→- ⎪ ⎪ ⎪--- ⎭-⎪⎝⎝⎭，得1323,.x x x x =-⎧⎨=⎩令31x =，得属于特征值31λ=-的线性无关的特征向量为3(1,1,1)Tp =-．令12320110101,1(,)P p p p --⎛⎫ =⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1P AP -=Λ15．设3阶方阵A 有特征值9,1,0321=-==λλλ，对应特征向量依次为T T T )2,1,1(,)0,1,1(,)1,1,1(321=-=--=ξξξ，求A ．解 A 有3个不同的特征值，则A 能相似对角化．令123111()111102,,P ξξξ--⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭，则1019P AP -⎛⎫⎪=Λ=- ⎪ ⎪⎝⎭，有1A P P -=Λ．又122213306112P ---⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=633312321A21．试求一个正交矩阵Q ，使AQ Q 1-为对角阵：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022A ．解 A 的特征多项式(2)(1)(4)A E λλλλ-=-+--，则A 的特征值为1232,1,4λλλ=-==．属于特征值12λ=-的线性无关的特征向量为1(1,2,2)Tα=；单位化，得1122(,,)333T β=．属于特征值21λ=的线性无关的特征向量为2(2,1,2)Tα=-；单位化，得2212(,,)333T β=-．属于特征值34λ=的线性无关的特征向量为3(2,2,1)Tα=-；单位化，得3221(,,)333T β=-．令正交矩阵1231221(,,)2123221Q βββ⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭，则 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-4000100021AQ Q AQ Q T ．（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=542452222A ．解 A 的特征多项式2(1)(10)A E λλλ-=--，则A 的特征值为1,231,10λλ==．属于特征值1,21λ=的线性无关的特征向量为12(2,1,0),(2,0,1)T Tαα=-=；正交化，得121(2,1,0),(2,4,5)5TT ββ=-=；单位化，得12(,T Tγγ==．属于特征值310λ=的线性无关的特征向量为3(1,2,2)Tα=--；单位化，得3122(,,)333T γ=--．令正交矩阵123132(,,)3203Q γγγ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪==-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-10000100011AQ Q AQ Q T22．设3阶实对称矩阵A 的特征值为6、3、3，与特征值6对应的特征向量为T)1,1,1(1=ξ，求与特征值3对应的特征向量．解设123(,,)TX x x x =为属于特征值3的特向量，有1[,]0X ξ=，即0321=++x x x ，其基础解系为T)0,1,1(2-=ξT )1,0,1(3-=ξ．所以属于特征值3的特征向量为3322ξξk k +，2k 、3k 不全为0．第五章（B ）二、计算题：1．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100001010A ，AP P B 1-=，其中P 为三阶可逆矩阵，求220042A B -．解 24100010,001A A E -⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭．又P A P B 200412004-=14501()P A P -=E EP P ==-1,所以20042230022030001BA E A ⎛⎫⎪-=-= ⎪ ⎪-⎝⎭． 3. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=122212221A ．（1）求A 的特征值；（2）利用(1)中结果求1-+A E 的特征值，其中E 为三阶单位矩阵．解（1）A 的特征多项式2(1)(5)A E λλλ-=--+，得A 的特征值为1,231,5λλ==-．（2）令1()1g x x=+，得1-+A E 的特征值为 1,234(1)2,(5)5g g μμ===-=．21 / 21 第六章1．写出下列二次型的矩阵．（1）222123123121323(,,)22454f x x x x x x x x x x x x =++++-．解 51222225222A ⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭．2．已知二次型222123123121323(,,)55266f x x x x x ax x x x x x x =++-+-的秩为2，求a ．解二次型的矩阵51315315302133003r A a a --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．由()2R A =，得30a -=，所以3a =．。

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