九年级数学切线的性质
九年级数学切线知识点
九年级数学切线知识点数学是一门充满挑战和智慧的学科，而数学的学习过程中，我们常常会遇到各种各样的概念和知识点。
在九年级数学中，切线是一个很重要的概念，它与曲线的性质和函数的导数密切相关。
本文将从几何和数学的角度，深入探讨九年级数学中的切线知识点。
一、什么是切线切线是几何学中的一个重要概念，它是与曲线相切，并且只与曲线在切点相交的一条直线。
在数学中，我们通常把切线定义为对应曲线在该点处的斜率的直线。
换句话说，切线是曲线上某一点的附近逼近曲线的线段。
二、切线的性质切线有一些重要的性质，首先是切线与曲线的切点。
在切点处，切线与曲线相切。
其次，切线的斜率与曲线在切点处的斜率相等，这被称为切线的斜率性质。
另外，切线上的任意一点到曲线的距离都是0，这表明切线是曲线上所有点中离该点最近的直线。
三、如何确定切线在数学中，我们通常通过求导数来确定曲线上的切线。
导数是函数在某一点处的变化率，也是切线的斜率。
如果我们要确定曲线上某一点的切线，我们需要求该函数在该点的导数。
具体的求导过程可以通过极限的思想来解释。
通过求导数，我们可以得到切线的斜率，并且知道切点的坐标，从而确定切线的方程。
四、常见曲线的切线切线知识点在九年级数学中的应用广泛，特别是在几何和函数领域。
我们先来看一些常见曲线的切线知识点。
1. 直线的切线：直线是最简单的曲线，它在任意一点的切线都是其本身。
因为直线在任意一点的斜率都是常数，所以切线的斜率也是常数。
2. 圆的切线：对于圆，切线是与圆相切且只与圆在切点处相交的直线。
在圆的切线性质中，切线的斜率等于与切线垂直的半径的斜率的相反数。
3. 抛物线的切线：抛物线是一个常见的曲线模型，它的切线与曲线在切点处相切。
抛物线切线的斜率是对应点处的函数导数。
4. 指数函数和对数函数的切线：指数函数和对数函数是一类具有特殊性质的函数，它们的切线与曲线在切点处相切。
同时，指数函数和对数函数的导数具有特殊的性质，可以通过计算导数来得到切线的斜率。
九年级数学上册《切线的性质》教案、教学设计
7.教学评价：
-结合课堂表现、作业完成情况和小组讨论成果，对学生的学习过程进行多元化评价。
-关注学生的情感态度，鼓励学生积极面对挑战，提高自信心。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.生活实例引入：展示自行车转弯时轮胎与地面的接触点、圆盘锯切割木头时的切线等图片，引导学生观察并思考这些现象背后的数学原理。
（五）总结归纳
1.让学生回顾本节课所学内容，总结切线的性质及其应用。
2.教师进行点评，强调切线性质在解决实际问题中的应用。
3.鼓励学生主动提出疑问，解答学生的困惑。
4.布置课后作业：设计具有思考性和拓展性的作业，让学生在课后巩固所学知识。
五、作ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ布置
1.基础巩固题：
-请同学们完成课本第56页的练习题1、2、3，巩固切线的定义及性质。
1.从学生熟悉的生活实例入手，引导学生观察、思考、总结，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
2.注重启发式教学，鼓励学生大胆猜想、勇于尝试，培养学生的创新意识和解决问题的能力。
3.针对不同学生的认知水平和学习需求，设计具有梯度的问题和练习，使学生在原有基础上得到提高。
4.强化小组合作与交流，培养学生的团队协作能力和表达能力，提高课堂互动效果。
5.关注学生的情感态度，营造轻松愉快的学习氛围，让学生在愉悦的情感体验中学习数学，增强自信心。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并掌握切线的定义及其性质，能够运用切线性质解决相关问题。
2.培养学生运用几何直观和逻辑推理解决问题的能力。
3.深入理解切线与圆的位置关系，并能将其应用于解决实际问题。
-提问：同学们，你们在生活中见过这样的现象吗？这些现象与圆有关，那么它们与圆的哪一部分有关呢？
初中数学切线性质和切线长知识点归纳
初中数学切线性质和切线长知识点归纳切线性质和切线长切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角同学们，看了这些学问点的介绍，很熟识了吧，要准时复习哦。
这样才能记得更好的。
中考物理学问归纳：压强和浮力1．压力：垂直作用在物体外表上的力叫压力。
2．压强：物体单位面积上受到的压力叫压强。
3．压强公式：P=F/S ，式中p单位是：帕斯卡，简称：帕，1帕=1牛/米2，压力F单位是：牛；受力面积S单位是：米24．增大压强方法 :(1)S不变，F↑;(2)F不变，S↓ (3) 同时把F↑，S↓。
而减小压强方法则相反。
5．液体压强产生的缘由：是由于液体受到重力。
6．液体压强特点：(1)液体对容器底和壁都有压强，(2)液体内部向各个方向都有压强；(3)液体的压强随深度增加而增大，在同一深度，液体向各个方向的压强相等；(4)不同液体的压强还跟密度有关系。
7．液体压强计算公式：，〔ρ是液体密度，单位是千克/米3；g=9.8牛/千克；h是深度，指液体自由液面到液体内部某点的竖直距离，单位是米。
〕8．依据液体压强公式：可得，液体的压强与液体的密度和深度有关，而与液体的体积和质量无关。
9．证明大气压强存在的试验是马德堡半球试验。
10．大气压强产生的缘由：空气受到重力作用而产生的，大气压强随高度的增大而减小。
11．测定大气压强值的试验是：托里拆利试验。
12．测定大气压的仪器是：气压计，常见气压计有水银气压计和无液气压计〔金属盒气压计〕。
13．标准大气压：把等于760毫米水银柱的大气压。
1标准大气压=760毫米汞柱=1.013×105帕=10.34米水柱。
14．沸点与气压关系：一切液体的沸点，都是气压减小时降低，气压增大时上升。
九年级数学上册《切线的性质定理》教案、教学设计
（3）注重过程性评价，关注学生在学习过程中的进步和成长。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动：通过展示生活中含有圆的物体，如车轮、硬币等，引导学生思考圆的特点及其在实际生活中的应用。
2.提出问题：在圆中，我们学习了圆的半径、直径、周长等基本概念。那么，当一条直线与圆相切时，会有哪些特殊的性质呢？
（2）运用多媒体辅助教学，展示动态图形，帮助学生直观地理解切线性质定理。
（3）设计不同难度的练习题，让学生在解答过程中，逐步掌握切线性质定理的应用。
2.教学策略：
（1）注重分层教学，针对不同学生的学习需求，提供适当的辅导和指导。
（2）鼓励学生积极参与课堂讨论，分享解题思路，培养学生的合作意识和沟通能力。
4.总结能力：在解决问题后，指导学生总结解题方法，形成知识体系。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生的数学审美情趣，让学生感受数学图形的美。
2.培养学生勇于探索、克服困难的精神，增强自信心。
3.培养学生团队合作意识，学会与人沟通、交流。
4.引导学生认识到数学在现实生活中的重要性，激发学生学习数学的积极性。
（2）书写工整，条理清晰，保持作业的整洁性。
（3）按时提交作业，养成良好的时间管理能力。
（3）总结切线性质定理在解决实际问题中的应用方法。
2.提高题训练：
（1）选取与切线性质定理相关的综合题目，提高学生的解题技巧。
（2）结合其他几何知识，如三角形、四边形等，运用切线性质定理解决问题。
（3）引导学生思考切线性质定理在生活中的实际应用，激发学习兴趣。
3.创新思维拓展：
（1）设计富有挑战性的题目，鼓励学生运用切线性质定理进行创新解题。
初中数学 什么是切线长定理
初中数学什么是切线长定理
初中数学中，切线长定理是与圆相关的一个重要概念。
下面我将详细介绍切线长定理的定义、性质和相关概念。
1. 切线长定理的定义：
-切线长定理：在一个圆上，一个角的顶点在切点上，另外两个顶点在圆上，这个角的两条边分别与切线相交，那么这两条切线的长度相等。
2. 切线长定理的性质：
-定理性质1：切线长度相等。
如果一个圆上的两条切线与同一个角相交，且角的顶点在切点上，那么这两条切线的长度相等。
3. 切线长定理的相关概念：
-切点：切线与圆相交的点称为切点。
-切线长度：切线的长度即为从切点到圆心的距离。
切线长定理是初中数学中的一个重要概念，它可以帮助我们理解和应用几何知识，解决与切线和圆相关的问题。
在应用切线长定理时，需要注意定理的定义和性质，并运用几何知识进行推理和分析。
例如，如果我们需要判断两条切线的长度是否相等，我们可以先找到这两条切线与同一个角相交，并且角的顶点在切点上。
然后根据切线长定理的性质，我们可以得出这两条切线的长度相等。
希望以上内容能够满足你对切线长定理的了解。
人教版九年级数学上册24.2.3《切线的判定和性质》教学设计
人教版九年级数学上册24.2.3《切线的判定和性质》教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册24.2.3《切线的判定和性质》这一节主要介绍了直线与圆的位置关系，特别是圆的切线。
学生将学习如何判定一条直线是否为圆的切线，以及切线与圆的性质。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生理解和掌握切线的相关知识。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础，对直线、圆等基本几何图形有一定的了解。
但是，对于切线的判定和性质，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我需要从学生的实际出发，逐步引导他们理解和掌握切线的判定和性质。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生理解切线的定义，学会判定一条直线是否为圆的切线，掌握切线的性质。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、推理等数学活动，培养学生的几何思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。
四. 教学重难点1.重点：切线的定义，判定一条直线是否为圆的切线，切线的性质。
2.难点：理解并掌握切线的判定定理，以及如何运用到实际问题中。
五. 教学方法1.情境教学法：通过丰富的实例，引导学生观察、分析和推理，让学生在实际情境中理解切线的定义和性质。
2.问题驱动法：提出问题，引导学生思考，激发学生的求知欲，培养学生解决问题的能力。
3.合作学习法：学生进行小组讨论，鼓励学生互相交流、分享，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，展示切线的定义、判定和性质。
2.练习题：准备一些有关切线的练习题，以便在课堂上进行操练和巩固。
3.教学道具：准备一些圆形模型和直线模型，以便在课堂上进行直观展示。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的圆形物体，如篮球、乒乓球等，引导学生观察这些圆形物体上的切线。
然后提出问题：“你们认为，什么是切线？切线有哪些特点？”2.呈现（10分钟）介绍切线的定义，通过动画演示切线的形成过程，让学生直观地理解切线的定义。
九年级数学-切线长定理—知识讲解-提高
切线长定理—知识讲解（提高）审稿：【学习目标】1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义；2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线的判定定理和性质定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定方法：（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）.2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.要点诠释：切线的性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.要点二、切线长定理1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.3．圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等.要点三、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).【典型例题】类型一、切线长定理1.如图，等腰三角形ABC中，6AC BC==，8AB=．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF AC⊥，垂足为F，交CB的延长线于点E．求证：直线EF是⊙O的切线.【答案与解析】如图，连结OD、CD，则90BDC∠=︒．∴CD AB⊥．∵ AC BC=，∴AD BD=．∴D是AB的中点．∵O是BC的中点，∴DO AC∥．∵EF AC⊥于F．∴EF DO⊥．∴EF是⊙O的切线．【总结升华】连半径，证垂直.举一反三：【变式】已知：如图，在梯形 ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=AB+DC，AD是⊙O的直径．求证：BC和⊙O相切．【答案】作OE⊥BC，垂足为E，∵ AB∥DC，∠B=90°，∴ OE∥AB∥DC，∵ OA=OD，∴ EB=EC，∴ BC是⊙O的切线．2.已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC是⊙O的切线．【答案与解析】连接OD．∵ OA=OD，∴∠1=∠2．∵ AD∥OC，∴∠1=∠3，∠2=∠4．因此∠3=∠4．又∵ OB=OD，OC=OC，∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC=∠ODC．∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，∴ DC是⊙O的切线．【总结升华】因为AB是直径，BC切⊙O于B，所以BC⊥AB．要证明DC是⊙O的切线，而DC和⊙O有公共点D，所以可连接OD，只要证明DC⊥OD．也就是只要证明∠ODC=∠OBC.而这两个角分别是△ODC和△OBC的内角，所以只要证△ODC≌△OBC．这是不难证明的．举一反三：【高清ID号：356967 关联的位置名称（播放点名称）：练习题精讲】【变式】已知：∠MAN=30°，O为边AN上一点，以O为圆心、2为半径作⊙O，交AN于D、E两点，设AD=x，⑴如图⑴当x取何值时，⊙O与AM相切；⑵如图⑵当x为何值时，⊙O与AM相交于B、C两点，且∠BOC=90°．【答案】（1）设AM与⊙O相切于点B，并连接OB，则OB⊥AB；在△AOB中，∠A=30°，则AO=2OB=4，所以AD=AO-OD，即AD=2．x=AD=2.（2）过O点作OG⊥AM于G∵OB=OC=2，∠BOC=90°，∴BC=，，∵∠A=30°∴OA=图（2）∴x=AD= 2类型二、三角形的内切圆3.如图，点I 为△ABC 的内心，点O 为△ABC 的外心，∠O ＝140°，则∠I 为（ ） （A ）140° （B ）125° （C ）130° （D ）110°【答案】B ．【解析】因点O 为△ABC 的外心，则∠BOC 、∠A 分别是BC 所对的圆心角、圆周角，所以∠O ＝2∠A ，故∠A ＝21×140°＝70°．又因为I 为△ABC 的内心， 所以∠I ＝90°＋21∠A ＝90°＋21×70°＝125°．【总结升华】本题考查圆心角与圆周角的关系，内心、外心的概念．注意三角形的内心与两顶点组成的角与另一角的关系式．类型三、与相切有关的计算与证明【高清ID 号： 356967 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题4】4. 如图，已知直径与等边△ABC 的高相等的圆O 分别与边AB 、BC 相切于点D 、E ，边AC 过圆心O与圆O 相交于点F 、G. (1) 求证：DE ∥AC.(2) 若△ABC 的边长为a ，求△ECG 的面积.【答案与解析】（1）∵△ABC 是等边三角形,∴∠B=∠A=60°∵AB 、BC 是圆O 的切线，D 、E 是切点，∴BD=BE.∴∠BDE=60°=∠A, ∴DE//AC.（2）分别连接OD 、OE ，作EH ⊥AC 于点H ．∵AB 、BC 是圆O 的切线，D 、E 是切点，O 是圆心， ∴∠ADO=∠OEC=90°，OD=OE ，AD=EC.∴△ADO ≌△CEO,有AO=OC=12a . ∵圆O 直径等于△ABC 的高,∴半径 ,∴CG=OC+OG=2a ． ∵EH ⊥OC ，∠C ＝60°,可推知EH =8a . ∴【总结升华】本题是一道综合性很强的习题，考查到切线的性质，全等三角形的判断，等边三角形的性质等，是一道很不错的题．。
初中数学 什么是切线
初中数学什么是切线在几何学中，切线是指与给定曲线（如圆、椭圆、抛物线等）仅有一个公共点且与该曲线相切的直线。
切线在数学中有着重要的应用和意义。
在本文中，我将详细解释切线的概念、性质和应用。
切线的定义如下：对于给定曲线上的一点P，经过P点且与曲线相切的直线称为曲线在P点的切线。
切线与曲线仅有一个公共点，即切点。
切线的位置和方向是由曲线在该点的切线斜率决定的。
切线的性质包括以下几个方面：1. 切线与曲线在切点处的切线斜率相等。
切线斜率可以用导数来表示，即切线斜率等于曲线在该点的导数值。
2. 切线与曲线在切点处的切线垂直。
这是因为切线斜率与曲线的斜率相等，而曲线的斜率是垂直于切线的。
3. 切线在切点处与曲线有公共的切点。
这是切线的定义所决定的，切线与曲线仅有一个公共点，即切点。
通过切线的性质，我们可以进行切线的求解和应用。
以下是一些常见的切线应用：1. 求解曲线的切线方程。
根据切线的性质，我们可以通过求解切线的斜率和切点来确定切线的方程。
通常，切线方程可以表示为y = kx + b的形式，其中k为切线的斜率，b为切线与y轴的截距。
2. 计算曲线上某点切线的斜率。
通过求解曲线在该点的导数，我们可以得到切线的斜率，从而确定切线的性质和方程。
3. 解决与切线相关的几何问题。
切线在几何学中有着广泛的应用，如切线与圆的性质、切线与曲线的相交问题等。
通过应用切线的性质和定理，我们可以解决与切线相关的几何问题。
总结起来，切线是与给定曲线仅有一个公共点且与曲线相切的直线。
切线的性质包括切线斜率相等、切线垂直于曲线、切线与曲线有一个公共切点等。
切线在数学中有着广泛的应用和意义，可以用于求解切线方程、计算切线斜率以及解决与切线相关的几何问题。
初中数学切线的性质和判定
图29－3
线的性质和判定
解 析 (1)由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圆周角 定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小； (2)由切线长定理，可求得∠APO的度数，继而求得∠AOP的度数，易得 PO是AB的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得AD与OD的长．
┃ 切线的性质和判定
切线的性质和判定
中考预测
如图 29－6，△ABC 内接于⊙O，∠B＝60°，
CD 是⊙O 的直径，点 P 是 CD 延长线上的一点，
且 AP＝AC.
(1)求证：PA 是⊙O 的切线；
(2)若 PD＝ 3，求⊙O 的直径．
图29－6
切线的性质和判定
解
(1)证明：连接 OA, ∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°.
切线的性质和判定
[方法点析] 解三角形内切圆问题，主要是切线长定理的运 用．解决此类问题，常转化到直角三角形中，利用勾股定理或 直角三角形的性质及三角函数等解决．
┃ 切线的性质和判定
回归教材
切线问题中必需的半径
教材母题
如图 29－5，设 AB 是⊙O 的直径，如 果圆上点 D 恰使∠ADC＝∠B，那么直线 CD 与⊙O 相切吗？若相切，请给出证明．
∴S△AOB＝12×AB×OD＝12×10 3×5＝25 3(cm2)．
切线的性质和判定
[方法点析] (1)利用过圆外一点作圆的两条切线，这两条切 线的长相等，是解题的基本方法．(2)利用方程思想求切线长常 与勾股定理，切线长定理，圆的半径相等紧密相连．
切线的性质和判定
探究四 三角形的内切圆
命题角度： 1. 三角形的内切圆的定义； 2. 求三角形的内切圆的半径．
九年级数学下册《切线的性质和判定》教案、教学设计
4.设计不同难度的例题和练习题，由浅入深，让学生逐步掌握切线相关知识，培养逻辑推理能力和数学运算能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对几何图形的审美情趣，激发他们对数学学科的兴趣和热爱。
2.培养学生勇于探索、严谨治学的学习态度，让他们在解决问题的过程中体验成功的喜悦。
九年级数学下册《切线的性质和判定》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握切线的定义，能够准确判断一个直线是否为给定圆的切线。
2.掌握切线的性质，如切线与半径垂直、切线段为半径的外切三角形的一条边等。
3.学会使用判定定理判断一个直线是否为圆的切线，如通过圆心到直线的距离等于圆的半径来判断。
4.能够运用切线相关知识解决实际问题，如求圆的切线长度、切线与弦的交点等。
（二）过程与方法
在本章节的教学过程中，学生将通过以下方法培养数学思维与解题能力：
1.通过实际操作和观察，引导学生发现切线的性质，培养观察能力和动手能力。
2.引导学生运用几何画板等教学软件，进行动态演示，激发学生的学习兴趣，提高直观想象能力。
6.开展课堂小结活动，鼓励学生分享自己在学习过程中的收获和困惑，及时反馈教学效果，为后续教学提供参考。
7.教学评价方面，注重过程性评价与终结性评价相结合，关注学生在课堂上的表现、作业完成情况以及解决问题的能力。
8.加强课后辅导，针对学生在学习过程中遇到的问题，提供个性化指导，帮助他们克服难点，提高学习效果。
（2）在平面直角坐标系中，已知圆心为(3,4)，半径为5，求过点A(1,1)的切线方程。
3.拓展练习题：
数学人教版九年级上册圆的切线的性质及判定定理
l
A B
1.经过半径的外端； 2.与半径垂直．
应用格式(几何语言): OA是⊙O的半径 OA⊥l于A
l是⊙O的切线.
定理说明：在此定理中，题设是“经过半径的外端” 和“垂直于这条半径”，结论为“直线是圆的切 线”， 两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线. 下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线不是圆的切线：
O. O. A
l
l
A
B
３．应用： 例１ 如图，AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D， DE⊥AC. 求证：DE是⊙O的切线．
证明：连接OD． ∵BD＝CD，OA=OB, ∴OD是△ABC的中位线. ∴OD//AC. 又∵ ∠DEC＝90°, ∴ ∠ODE＝90°. 又∵ D在圆周上, ∴ DE是⊙O的切线. C E D B A O
A O
C
D
B
练习3 若Rt△ABC内接于⊙O,∠A=30°. 延长斜边AB到D，使BD等于⊙O的半径, 求证：DC是⊙O的切线.
分析:如图
300 C 300 0 60 120.0 600 600 O B
A
D
O.
l
A
2. 如图,点A是⊙O与直线 l 的公共点,且 l ⊥OA .在直线 l 上任取异于点A的点B,则△OAB是 Rt△． 而OB是Rt△ OAB的斜边，因此，都有OB>OA,即B 一定点在圆外．由点B的任意性可知，圆与直线只有 一个公共点，因此 l 是圆的切线．由此可得： 切线的判定定理：经过半 径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线．
C
B
练习1.如图A是⊙O外的一点，AO的延长线交 ⊙O于C，直线AB经过⊙O上一点B，且AB＝BC， ∠C＝30°. 求证：直线AB是⊙O的切线.
人教版数学九年级上册24.2.2切线的性质与判定(教案)
一、教学内容
人教版数学九年级上册24.2.2切线的性质与判定：
1.理解并掌握切线的定义；
2.掌握切线的判定定理：经过半径外端且垂直于半径的直线为圆的切线；
3.掌握切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径；
4.学会运用切线的性质解决有关切线长度、角度等问题；
五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现同学们对切线的性质与判定这一章节的内容兴趣浓厚，这让我感到很欣慰。在导入新课环节，通过提出与日常生活相关的问题，成功吸引了学生的注意力，激发了他们的学习兴趣。但在后续的教学中，我也注意到一些需要改进的地方。
在理论介绍环节，我发现部分学生对切线定义的理解还不够深入，对切线判定定理的掌握也不够牢固。在接下来的教学中，我需要更加注重对基础概念的讲解，通过生动的例子和实际操作，帮助学生更好地理解切线的定义和判定定理。
-切线的性质：理解并掌握圆的切线垂直于过切点的半径，以及切线与圆的相切关系。
-实际问题中的应用：学会将切线的性质和判定定理应用于解决直线与圆的位置关系问题。
举例解释：
(1)通过图形演示和实际操作，让学生理解切线的定义，强调切线与圆只有一个交点。
(2)通过具体例题，如给定一个圆和一点，让学生画出经过该点且为圆的切线，从而加深对切线判定定理的理解。
(3)通过分析切线与过切点的半径的垂直关系，让学生明白切线的性质，并能够应用这一性质解决相关问题。
2.教学难点
-切线判定定理的理解：学生可能难以理解为什么经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线。
-切线性质的应用：学生在应用切线性质解决实际问题时，可能不知道如何建立数学模型和运用相关定理。
-解决实际问题时图形分析能力：学生在面对复杂的图形时，可能难以识别切线与圆的关系。
九年级数学切线的性质
人教版九年级数学课件《切线的判定和性质》
见切点，连半径，得垂直.
切线的其他重要结论
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点; (2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
人教版数学九年级上册
例2
典例解析
人教版数学九年级上册
例4：如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交
于B、C两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC.
人教版数学九年级上册
2.如图所示，A是☉O上一点，且AO=5,PO=13,AP=12,则PA 与☉O的位置关系是 相切 .
3.如图，在☉O的内接四边形ABCD中，AB是直径，
∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP
的度数为（ C）
A．40° B．35° C．30° D．45°
(1)求证：△ACB≌△APO；
A
(2)若AP＝ 3 ，求⊙O的半径．
C
O
B
P
解析：(1)根据已知条件我们易得∠CAB=∠PAO=90°，
由∠P=30°可得出∠AOP=60°，则∠C=30°=∠P，即
AC=
A(2P)由；已这知样条就件凑可齐得了△角A边OP角为，直可角证三得角△形AC，B因≌△此AP可O以；通过
A
D C
P
O
PA
O
B
第2题
第3题
达标检测
人教版数学九年级上册
4.如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？
解：连接OB，则∠OBP=90°.
设⊙O的半径为r,则OA=OB=r, OP=OA+PA=2+r. 在Rt△OBP中， OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2. 解得 r=3， 即⊙O的半径为3.
苏科版九年级数学说课稿：第26讲切线的性质定理
苏科版九年级数学说课稿：第26讲切线的性质定理一. 教材分析苏科版九年级数学教材中，第26讲主要介绍切线的性质定理。
在这一讲中，学生将学习到切线的定义、切线与导数的关系、切线方程的求法等知识点。
通过本讲的学习，学生能够深入理解切线的性质，掌握切线方程的求法，为进一步研究函数的图像和性质打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数、导数等基础知识，对数学分析有一定的了解。
然而，对于切线的性质定理，学生可能还存在以下问题：1. 对切线的概念理解不深刻；2. 无法正确求解切线方程；3. 对切线与导数的关系不够明确。
因此，在教学过程中，需要针对这些问题进行讲解和辅导。
三. 说教学目标1.知识与技能：掌握切线的定义、切线与导数的关系，学会求解切线方程；2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳，培养学生的逻辑思维能力；3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的探究精神。
四. 说教学重难点1.重点：切线的定义、切线与导数的关系，切线方程的求法；2. 难点：切线方程的求法，特别是对于复杂函数的切线方程求解。
五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究切线的性质；2. 利用多媒体课件，直观展示切线的图像，帮助学生加深理解；3. 结合实际例子，让学生通过动手操作，掌握切线方程的求法。
六. 说教学过程1.导入：回顾函数、导数等基础知识，引出切线的概念；2. 新课讲解：讲解切线的定义、切线与导数的关系，展示切线方程的求法；3. 例题解析：分析实际例子，让学生动手求解切线方程；4. 课堂练习：布置练习题，巩固所学知识；5. 总结与拓展：总结切线的性质定理，提出拓展问题，激发学生的探究兴趣。
七. 说板书设计1.切线的定义；2. 切线与导数的关系；3. 切线方程的求法；4. 切线方程的求解步骤。
八. 说教学评价1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态；2. 练习题完成情况：检查学生课后练习题的完成质量，评估学生对知识的掌握程度；3. 学生反馈：收集学生的学习反馈，了解教学效果。
切线的概念、切线的判定和性质-人教版九年级数学上册教案
切线的概念、切线的判定和性质-人教版九年级数学上册教案一、切线的概念1. 切线的定义在圆上取一点P，连接P与圆心O，若通过点P的直线与圆相交于点P，则这条直线称为该圆在点P处的切线。
2. 切线的性质切线只与圆相交于切点，且垂直于半径。
二、切线的判定1. 判定方法1在圆上任取一点P，连接P与圆心O。
若连接P与圆心O的线段与已知直线L 垂直，则L与圆的交点就是切点，而L即为此点处的切线。
2. 判定方法2在圆上任取一点P，连接P与圆心O。
作过点P并与已知直线L平行的直线，与圆相交于点Q。
再连接点Q与圆心O，则Q与L的交点即为圆在点P处的切点，L即为点P处的切线。
三、切线性质的应用1. 切线定理若一条直线与圆相交于点A、B，则与这条直线垂直的切线分别过点A、B。
2. 判定定理在圆上任取两点P、Q，以这两点为端点连一条线段，若该线段平分圆周角，则它的延长线必过圆的圆心。
3. 弦割定理两条互相垂直的弦互相垂直。
4. 弦长定理两条互相垂直的弦所对圆周的两段弧相等。
5. 弧上点角定理圆周上一点的任意两个角所对的弧长相等。
四、练习题1.已知圆O，半径为3.4cm，P为圆上一点，PA为一条直线，且PA=8.1cm。
求PA的垂线与OP的夹角。
2.已知圆的直径是20cm，D,E,F,G均在圆上。
若DE⊥FG，DE=12cm，FG=9cm，求DG的长。
3.已知圆心角ACB的弧度是20度，线段AB上一点D是圆上的一点，求角ADC的角度。
五、课堂小结1.切线的定义和性质。
2.切线判定方法和定理。
3.切线性质的应用。
4.练习题的解答。
六、作业1.完成课堂练习题。
2.独立思考，将切线定理、判定定理、弦割定理、弦长定理和弧上点角定理的证明写出来。
九年级数学上册《切线的概念切线的判定和性质》教案、教学设计
（五）总结归纳
1.回顾本节课所学内容，引导学生总结切线的定义、判定定理和性质。
2.强调切线在实际问题中的应用，如最短路线、圆的切线方程等。
3.提醒学生注意切线知识在后续学习中的重要性，为后续课程打下基础。
4.鼓励学生在生活中观察、发现切线相关的现象，将数学知识运用到实际中。
4.老师将根据作业完成情况，给予评价和反馈，帮助学生不断提高。
3.实践应用：
-设计具有挑战性的问题，让学生运用切线知识解决实际问题，提高学生的应用能力。
-组织学生进行小组讨论，分享解题思路，培养学生的合作精神和交流能力。
-针对不同难度的练习题，给予学生适当的指导，帮助他们突破难点，提高解题能力。
4.教学方法：
-采用启发式教学，引导学生主动思考，培养他们的创新意识。
2.切线的判定定理：讲解切线的判定定理，如“过圆上一点的直线，若与圆的切线垂直，则该直线为圆的切线”。
3.切线的性质：引导学生观察切线与半径的关系，推导出切线的性质，如“切线垂直于过切点的半径”。
4.实例讲解：通过具体实例，讲解切线判定定理和性质的应用。
（三）学生小组讨论ຫໍສະໝຸດ 1.分组：将学生分成若干小组，每个小组讨论以下问题：
在教学过程中，注重学生的个体差异，关注学生的成长需求，充分调动学生的积极性、主动性和创造性，使学生在轻松愉快的环境中掌握知识，提高能力。同时，注重情感教育，培养学生的道德品质和人文素养，为学生的全面发展奠定基础。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了圆的基本概念和相关性质，但对于切线的概念及其判定与性质的理解尚浅。在学习本章节时，学生可能面临以下问题：对切线定义的理解不够深入，难以区分切线与割线；对切线判定方法的掌握不够熟练，容易混淆判定条件；对切线性质的应用不够灵活，难以解决实际问题。因此，在教学过程中，应注重以下几点：
九年级数学上册教学课件《切线的判定与性质》
∵ OA⊥l∴ l是⊙O的切线.
几何符号表达：
OA是半径，
于A
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
判断:
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ ）2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ ）3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ）
直线与圆相切
切线
.
切点
判断直线和圆相切有哪两种办法？
1. 和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线.
2. 圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线.
1.切线和圆只有一个公共点.
2.圆心到切线的距离等于半径.
切线具有什么性质？
定义法：
数量法（d=r ）：
如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线 l ⊥OA ，则直线l与⊙O的位置关系怎样？为什么？
条件一：直线l 经过半径OA的外端点A.
条件二：直线l 垂直于半径OA.
显然，圆心到直线的距离d =半径 r
相切
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
思考
【教材P98练习 第2题】
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.
C
4.如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，求证：AP＝BP.证明：连接OP.∵AB切⊙O于点P，∴OP⊥AB.∴AP=BP(垂径定理).
5.如图，AB是⊙O的直径,∠B=∠CAD.求证：AC是⊙O的切线.证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA=90°.∴∠B+∠BAD=90°.又∵∠B=∠CAD.∴∠CAD+∠BAD=∠BAC=90°.∵AC过点A,∴AC是⊙O的切线.
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