矩阵的初等行变换与初等矩阵.
矩阵的初等行变换与初等矩阵
阵A 阵 的
初等行变换 是 的
下
例题讲解
0 2 0 1 0 0 例1．运用初等行变换将矩阵 A = ． 转化成单位矩阵 3 0 1 对换变换
解： 0 2 0 1 0 1 0 0 1 ( 2 )× )× (1 ) ↔ ( 2 ) 1 0 0 → 0 2 0 2 → 0 1 I 3 0 3 0 1 3 0 1 倍加变换 倍乘变换 1 0 0 ( 3 ) − 3× (1 ) 0 1 0 → 0 0 1
1 0 0 2 0 初等行变换 0 1 0 4 0 → 0 0 1 3 1 − 2
−1 1 −2 1 1 1 − 2
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课堂小结
1．三种初等行变换 2．三类初等矩阵 3. 使用初等行变换求矩阵的逆
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作业
）（3）（ 书P87 1（1）（ ）（ ） （ ）（ ）（6）
个方程 x − 2 y = 5 第1个方程 个方程 −3 −4 2 x + 7 y = −14 第2个方程
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初等行变换
定义2.13 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换： 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换： 定义 什 么 是 非 奇 异 变换 定 2.7 A是 是 将矩阵的某 行 B 行 k 阵B 阵 变换 将矩阵的某 行 k 对换变换 将矩阵的某两行对换位置
1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 = −3 0 1 3 0 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1
初等矩阵
0 1 0 1 0 0 0 0 1
矩阵的分块 初等行变换 初等矩阵 矩阵的秩
Matrix and determinant
教学目的与要求：掌握矩阵的初等变换，会求矩阵的 标准形，能应用矩阵的初等变换求矩阵的逆矩阵，理 解矩阵秩的的概念，会求矩阵的秩 。 教学内容：初等变换,矩阵等阶,初等方阵,矩阵求逆,矩 阵的秩。
重点：矩阵的初等变换，矩阵求逆，矩阵的秩 。
难点：矩阵的秩 。 教学方式：讲授。
A
即对 n 2n 矩阵 ( A E ) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1 .
1 例１ 设 A 2 3 1 解 A E 2 3
1 0 0 c5 4c1 3c2 3c3 0
c3 c4 c4 c1 c2
矩阵 F 称为矩阵 B 的标准形.
特点：F的左上角是一个单位矩 阵，其余元素全
为零.
m n 矩阵 A 总可经过初等变换化为 标准形
Er O F O O mn 此标准形由m , n, r 三个数唯一确定，其中r 就是
A ~ E , 故 E 经有限次初等变换可变A,
即存在有限个初等方阵P1 , P2 ,, Pl , 使
P1 P2 Pr EPr 1 Pl A
即
A P1 P2 Pl .
推论 m n 矩阵 A ~ B 的充分必要条件是 : 存在 m 阶可逆方阵 P 及 n 阶可逆方阵 Q , 使 PAQ B.
1 2 1 1 2 1 1 1 2 3 1 1 3 6 9 7 B1 4 2 2 9
2 r2 31 1 1 r 1 r3 21 0 2 2r 1 B1 1 r4 21 0 5 3r 3 3 0 3 9 6
1 4 1 2 1 2 2 2 1 2 3 5 7 9 4 3
矩阵的初等变换
二、消元法解线性方程组
同解方程组
分析：用消元法解下列方程组的过程．
引例 求解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2, 1
4
x1 x2 2 x3 x1 6 x2 2 x3
x4 2 x4
4, 4,
2
32
(1)
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
一、矩阵的初等变换
1、定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j 两行,记作ri rj）； 2以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第i 行上 记作ri krj）.
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换．
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组
的系数和常数进行运算，未知量并未参与运
算．
若记
2 1 1 1 2
B
(
A
b)
1 4
1 6
2 2
1 2
4 4
3 6 9 7 9
3、定义3 如果矩阵A经有限次初等变换变成矩 阵B，就称矩阵A与B等价，记作A ～ B
r
A～B ,
c
A～B ,
等价关系的性质： （1） 反身性 A A； （2）对称性 若 A B ,则 B A; （3）传递性 若 A B, B C,则 A C. 具有上述三条性质的关系称为等价．
（1）交换方程次序； （ i 与 j 相互替换）
矩阵的初等变换和初等矩阵
23xxx111
x2 3x2 6x2
2x3 x3 9x3
x4 x4 7 x4
4 2 9
增广矩阵的比较
B
2 1 4 3
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
42 94
B2
1 2 2 3
1 1 3 6
2 1
1 9
1 1 1 7
24 92
显然 把B的第3行乘以(1/2)即得B2
即 方程③两端乘以(1/2) B的第3行乘以(1/2)
E1ij(k)Eij(-k)
Henan Agricultural University
四、初等矩阵与初等变换的关系
设A是一个mn矩阵 对A施行一次初等行变换 相当于在 A的左边乘以相应的m阶初等矩阵 对A施行一次初等列变换 相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵
3 0 1
例如
设
A 10
1 1
4 4 9
①②
①②
x1 x2 2x3 x4 4
423xxx111
x2 6x2 6x2
x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
2 4 9
增广矩阵的比较
B
21 43
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
42 94
1 1 2 1 4
B1
2 4 3
1 6
6
1 2 9
1 2
7
2 94
[i,j]
以数k乘第i行加到第j行上 记作 [i(k)j]
Henan Agricultural University
三、初等矩阵
例如，对于3阶单位矩阵E
2.4 矩阵的初等变换与初等阵
2011年10月22日星期六 年 月 日星期六
定理1 定理1 设 A 是一个 m×n 矩阵，对 A 施行一 × 矩阵， 次初等行变换， 次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵； 施行一次初等列变换， 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于 阶初等矩阵. 在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.
相当于对矩阵 A 施行第一种初等行变换 ： 把 A 的第 i 行与第 j 行对调 ( ri ↔ r j ).
数学科学学院 徐 鑫
2011年10月22日星期六 年 月 日星期六
类 地 似 ， 以n 阶 等 阵P (i, j) 右 矩 A 初 矩 n 乘 阵 ，
a11 L a1 j L a1i L a1n a21 L a2 j L a2i L a2 n APn (i, j ) = L L L L a L amj L ami L amn m1
1− 1
数学科学学院
徐
鑫
2011年10月22日星期六 年 月 日星期六
定义
对矩阵施行的下列三种变换称为矩阵的初 等行( 变换： 等行(列)变换：
(i) 对换两行(列)； [ri ↔rj (ci ↔cj )] ) 对换两行( 所有元素； (ii) 非零数乘以某一行(列)所有元素； [kr (kci ), k ≠ 0] ) 非零数乘以某一行( i (iii) 一行(列)元素的 k 倍加到另一行(列)对应元 倍加到另一行( ) 一行( 素上。 i 素上。 [r + krj (ci + kcj )] 初等变换。 初等行变换与初等列变换统称为初等变换 初等行变换与初等列变换统称为初等变换。 当矩阵A由初等变换变成矩阵B 当矩阵A由初等变换变成矩阵B时，记为A → B 记为A 不难看出：三种初等变换均是可逆的， 不难看出：三种初等变换均是可逆的，且其逆变 换仍为同类型初等变换。 换仍为同类型初等变换。
分块矩阵的初等变换
分块矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换与初等矩阵我们先回顾矩阵的初等变换与初等矩阵的概念。
定义1 设A 是矩阵，对n m ×A 的下面三种变形统称为矩阵的初等行变换。
（1）对换矩阵A 的第i 行和第行的位置，记作j j i r r ↔； （2）用非零常数k 乘矩阵A 的第i 行各元素，记作；i r k （3）把矩阵A 的第i 行各元素的k 倍加到第j 行对应元素上，记作。
i j kr r + 类似地，若把定义中的“行”换成“列”，就得到矩阵的初等列变换，并依次记为；；。
j i c c ↔i kc i j kc c +初等行（列）变换统称为矩阵的初等变换。
若矩阵A 经过有限次初等变换变成矩阵B ，则称矩阵A 与B 等价，记作A ~B 。
定义2 n 阶单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵。
（1）对换单位矩阵E 的i , j 两行)(j i r r ↔，所得初等矩阵记为，简记为。
),(j i n r r E ),(j i r r E （2）用非零数k 乘单位矩阵E 的第i 行，所得初等矩阵记为， )(i kr )(i n kr E 简记为。
)(i kr E （3）把单位矩阵E 的第i 行的k 倍加到第j 行上)(i j kr r +所得初等矩阵记 为，简记为。
)(j i n kr r E +)(j i kr r E + 对单位矩阵作一次初等列变换得到的初等矩阵也是上面三种初等矩阵之一。
三种初等矩阵都是可逆的，且逆矩阵也是初等矩阵，各自的逆矩阵为，),(),(1j i j i r r E r r E =−)1()(1i i r kE kr E =−，。
)()(1j i j i kr r E kr r E −=+− 初等矩阵与矩阵的乘法运算联系在一起，可以实现矩阵的初等变换。
定理1 对一个矩阵A 作一次初等行变换所得到的矩阵n m ×B ，等于一个对应的m 阶初等矩阵左乘矩阵A ；对A 作一次初等列变换所得到的矩阵B ，等于一个对应的n 阶初等矩阵右乘矩阵A 。
第十二讲 矩阵的初等行变换
1 0
1 1
1 0
1 4
1 2
1 3
r3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)
1 0
1 1
1 0
1 4
1 2
1 3
0 0 2 18 8 12
0 0 1 9 4 6
r1 + r3 1 0 0 6 3 4
r1 r2
0 0
1 0
0 1
4 9
2 4
3 6
特别要注意将元素化为零 的先后顺序.
12
所以
6 3 4
A1
c
就称矩阵 A 与 B 列等价，记作 A～ B．
如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ~ B．
7
等价关系的性质： (i) 反身性 A~A (ii) 对称性 若 A~B 则 B~A (iii)传递性 若 A~B B~C 则A~C
8
三、利用初等变换求矩阵的逆的方法
变换 ri rj 的逆变换为 ri rj ;
变换 ri k
的逆变换为
ri
(1 k
)
或
ri
k;
变换 ri + krj 的逆变换为 ri + (k)rj 或 ri krj .
5
a11 A a21
a31
a12 a22 a32
r1
r3
a 31 a21
a11
a
32
a22
r1
r3
10
例2.设
A
0 3
2 0
12，求 A1.
2 3 0
解:
0 2 1 1 0 0
( A, E) 3 0 2 0 1 0
4-4 初等矩阵与初等变换
A 后, 右边E对应部分即为 A (或对 施行初等列 E 变换, 将A划为单位阵 E后, E对应部分即为 A−1 .
−1
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 ( ri + krj ) [或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j + kci )， 1 O 1 ← 第 i行 Ri j ( k ) = C ji (k ) = M O k L 1 ← 第 j行 O 1
的方法， 利用初等行变换求逆阵 的方法，还可用于求 矩阵A−1 B .
Q
即
A ( A B) = ( E A B)
−1
−1
( A B)
初等行变换
E A −1 B
例 例3
求矩阵 X , 使 AX = B，其中 2 3 2 5 2 1 , B = 3 1 . 4 3 4 3 −1 可逆， 若 A 可逆，则 X = A B . 1 2 3 2 5 2 3 ( A B ) = 2 2 1 3 1 ∴ X = − 2 − 3 . 3 4 3 4 3 1 3 1 A = 2 3 解
类似有初等列变换(所用记号是把“ 换成 类似有初等列变换 所用记号是把“r”换成 所用记号是把 “c”)． ． 初等列变换与初等行变换统称为初等变换． 统称为初等变换 初等列变换与初等行变换统称为初等变换．
（第 i 行乘 k , 记作 ri × k）
m × n 矩阵 通过有限次初等行变换 矩阵,通过有限次初等行变换
初等矩阵都是可逆矩阵， 定理 初等矩阵都是可逆矩阵，且其逆阵也为 同型的初等矩阵，且有： 同型的( k ) = Ri ( ), Rij 1 ( k ) = Rij ( − k ) k 1 −1 −1 −1 Cij = Cij , Ci ( k ) = Ci ( ), Cij ( k ) = Cij ( − k ) k
矩阵的初等变换与初等矩阵
Er O
O O
0
00
0
的矩阵等价，称之为 A 的标准形.其中r是行阶梯形矩
阵非零行的行数.
§3 矩阵的初等变换与初等矩阵
二、初等矩阵
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的
矩阵，称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等矩阵:
1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
行阶梯形矩
阵的特点: 阶梯 线下方的元素全 为零; 每个台阶 只有一行, 台阶 数即是非零行的 行数, 阶梯线的 竖线(每段竖线 的长度为一行) 后面的第一个元 素为非零元,也 就是非零行的第 一个非零元.
例如
1 2 0 0
0
0
1
0
0 0 0 1
1 2 1 0
E(i, j)A: 对换 A的 i, j 两行； AE(i, j): 对换 A的 i, j 两列． E(i(k))A ：用非零数 k乘 A 的第 i 行； AE(i(k)) ：用非零数 k 乘 A 的第 i 列．
E(i, j(k))A ：A 的第 j 行乘以 k加到第 i 行 ;
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念与运算 §2 可逆矩阵与逆矩阵 §3 矩阵的初等变换与初等矩阵 §4 矩阵的秩与矩阵的分块
习题课
§3 矩阵的初等变换与初等矩阵
一、矩阵的初等变换 二、初等矩阵 三、用初等变换求矩阵的逆
§3 矩阵的初等变换与初等矩阵
一、矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：
1) 用非零数k乘矩阵的某一行（列）； k ri，k ci 2) 把矩阵的某行(列)的k倍加到另一行() 互换矩阵中两行(列)的位置． ri rj，ci c j 矩阵A经初等行(列)变换变成矩阵B，一般地A≠B．
2.5矩阵的初等变换和初等矩阵
§2。
5 矩阵的初等变换和初等矩阵矩阵的初等变换源于线性方程组消元过程中的同解变换，它在将矩阵变换为简单形式、解线性方程组、求矩阵的逆阵、解矩阵方程以及研究矩阵的秩等方面起着重要的作用。
一 矩阵的初等变换和矩阵等价定义2。
10 设A 是矩阵，下面三种变换称为矩阵的初等行变换： n m ×（1） 交换A 的第行和第行的位置，记为i j j i r r ↔； A 的第i 行各元素，记为；i kr （2） 用非零常数乘以k 的第i 行各元素的倍加到第行对应元素，记为A j k i j kr r +。
（3） 将 若把定义2。
10中的行改为列，便得到三种对应的初等列变换，记号分别为；；。
j i c c ↔i kc i j kc c + 矩阵的初等行（列）变换统称为矩阵的初等变换。
例如⎯⎯→⎯⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−↔31132100101792r r ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−179200101321⎯⎯→⎯+242c c ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−177********21值得注意的是，初等变换将一个矩阵变成了另一个矩阵，在一般情况下 ，变换前后的两个矩阵并不相等，因此进行初等变换只能用来表示，而不能用等号。
另外，矩阵的初等变换可以逆向操作，即若矩阵→i r k1A B B 经过、i kr i j kc c +变换成了矩阵，那么对施以及，就可以将矩阵B A i j kc c −。
复原为矩阵A B A B 定义2。
11 如果矩阵经过有限次初等变换后化为矩阵，则称等价于矩阵，简记为B A ~。
由定义可以得到以下关于矩阵等价的一些简单性质：A A ~(1) 反身性：；(2) 对称性：则,~B A A B ~；B A ~且，则。
C B ~C A ~(3) 传递性： 定理２。
３ 任意矩阵()nm ija A ×=都与形如的矩阵等价。
矩阵称为矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛000rE ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛000r E ),min(1n m r ≤≤A 的标准形。
矩阵的初等变换及应用的总结
矩阵的初等变换及应用内容摘要：矩阵是线性代数的重要研究对象。
矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。
一矩阵的概念定义：由于m×n个数aij（i=1，2，….，m；j=1，2，….，n）排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m×n矩阵二矩阵初等变换的概念定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换1.初等行变换矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换:(1) 交换矩阵的两行(交换两行,记作);(2) 以一个非零的数乘矩阵的某一行(第行乘数,记作);(3) 把矩阵的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,记为).1.初等列变换把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换3 ,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B等价，记作A~B矩阵之间的等价关系具有下列基本性质:(1) 反身性;(2) 对称性若,则;(3) 传递性若,,则.三矩阵初等变换的应用1.利用初等变换化矩阵为标准形定理：任意一个m×n矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形2.利用初等变换求逆矩阵求n阶方阵的逆矩阵：即对n×2n矩阵（A¦E）施行初等行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时，右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A^(-1)即(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1))这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化为行阶梯形矩阵时，若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。
设矩阵可逆，则求解矩阵方程等价于求矩阵，为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，构造矩阵，对其施以初等行变换将矩阵化为单位矩阵，则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵化为，即.这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程的方法.同理, 求解矩阵方程等价于计算矩阵亦可利用初等列变换求矩阵. 即.3．利用矩阵初等变换求矩阵的秩矩阵的秩的概念是讨论向量组的线性相关性、深入研究线性方程组等问题的重要工具. 从上节已看到，矩阵可经初等行变换化为行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的, 这个数实质上就是矩阵的“秩”,鉴于这个数的唯一性尚未证明，在本节中，我们首先利用行列式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵的秩的方法.定理：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，即若A~B则R（A）=R(B)为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成阶梯矩阵解体矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩利用矩阵值得概念，能够讨论线性方程组有解的条件，然后通过研究向量组的线性相关性，向量组的秩等重要概念，讨论线性方程组的结构。
线性代数：矩阵的初等变换和初等矩阵
是把“r”换成“c”)．
定义 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 2 初等变换．
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛.
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
a13 a23
a12 a22
5
a11 a21
a12 a22
a13 a23
c2
c3
a11 a12
a13 a23
a12 a22
用 m 阶初等矩阵 Em (i, j) 左乘 A (aij )mn，得
a11
a12
a1n
Em
(i
,
j)
A
a j1
aj2
a jn
第
i
行
ai1
ai 2
1
0
c1
2c3
0
1
0 E(3,1(2))
0 0 1
2 0 1
1 2
10
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a21
a11 2a11
a12 a22 2a12
a23
a13 2a13
a11 a21
a12 a22
a13 a23
r2 2r1
a21
a11 2a11
a12 a22 2a12
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调(ci c j ).
7
2、以数 k 0 乘某行或某列
线性代数 第四讲 矩阵的初等变换与初等矩阵
一、矩阵的初等变换
显然，三种初等变换都是可逆的， 显然，三种初等变换都是可逆的，且其变 换是同一类型的初等变换。变换r 换是同一类型的初等变换。变换 i↔rj的逆变换 就是本身； 就是本身；变换 rj×k 的逆变换为 rj÷k ；变换 ri+krj 的逆变换为 i− k rj。 的逆变换为r 如果 A 经过有限次初等变换变为矩阵 B， ， 是等价的， 称矩阵 A与 B是等价的，记为 ↔ B 。 与 是等价的 记为A 矩阵的等价关系有如下性质： 矩阵的等价关系有如下性质： 反身性： 反身性： A ↔ A 对称性： 对称性： A ↔ B ，则B ↔ A 传递性： 传递性： A ↔ B， B ↔ C，则A ↔ C ， ，
2x1 − x2 − x3 + x4 = 2 (1) x1 + x2 − 2x3 + x4 = 4 (2) 4x1 − 6x2 + 2x3 − 2x4 = 4 (3)
2 −1 −1 1 方程组的增广矩阵B = 1 1 −2 1 4 −6 2 −2
2 4 4
一、矩阵的初等变换
1 3 0 2 0 (1) 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 1 1 2 0 −2 (2) 0 0 0 0 1 3 4 1 1 2 0 0 1 0 2 −1 (3) 0 1 4 1 0 0 0 0
√
×
√
二、阶梯形矩阵
1 1 1 1 4 ( A| b) = 2 3 1 1 9 −3 2 −8 −8 −4
→
r3 + 3× r1
r2 − r1
1 1 1 1 4 0 1 −1 −1 1 0 5 −5 −5 8
→
r3 − 5× r2
《线性代数》第五节初等变换初等矩阵
1
1
0
1
1
Rij
Cij
1
1
0
1
1
第i行 第j行
1
1
Ri ( ) Ci ( )
1
第i行
1
1
1
第i行
Rij
(k
)
C
ji
(k
)
k1
第j行
1
行初等矩阵与列初等矩阵统称为初等[矩]阵
初等变换与初等矩阵有以下定理表出的一些性质
定理7 对 m n 矩阵 A , 做一次行 (列) 初等变换
3 y1
y3 10
解 注意到这两个方程组具有全同的
利用分块技巧，可将其看成单个矩阵方
乍看起来，对于 n×n 方程组 Ax = b ，先求出
解 A-1 b 与用行初等变换法直接算出解 A-1 b 除了增
证明 充分证性明 若充分A 性可表示若成A有可限表个示初成等有阵限的 定理 13乘积n（阶不矩妨阵乘均A积为看非（作退不为化妨行阵均初的看等充作阵分为）必行，则要初可条等将件阵A是）看，则作
可通过对是A对作单有位限阵次是I行对作(单有列位限)初阵次等行I变作初换有等后限变化次换成行的单初结位等果阵变，. 换因
例 18 证明方阵
1 3 7
A
2
4 3
3 7 2
是非退化阵，并算出其逆阵.
解
例 19 (一种密码法)密码法是信息编码与解码的
技巧，其中的一种是基于利用可逆矩阵的方法。 先在 26 个英文字母与数字间建立起一一对应， 例如可以是
A B… Y Z
…
1 2 … 25 26 若要发出信息action，使用上述代码，则信息的编 码是：1，3，20，9，15，14 . 可写成两个向量 [1 3 20 ]T、 [9 15 14 ]T, 现任选一可逆阵，
简论矩阵的初等矩阵和初等矩阵
简论矩阵的初等矩阵和初等矩阵发布时间：2023-02-03T06:52:33.822Z 来源：《教学与研究》2022年第18期第9月作者：蔡新华[导读] 由于矩阵的初等变换和初等矩阵都有“初等”二字,蔡新华内蒙古机电职业技术学院内蒙古呼和浩特 010070摘要由于矩阵的初等变换和初等矩阵都有“初等”二字,所以非常容易将二者混为一谈.此文的目的在于解释这两个概念的区别,同时也介绍它们的关系.在对矩阵进行运算时,我们可对其进行类似于行列式的行（列）变换或数乘运算等,即矩阵的初等变换.为了搞清楚变换后的矩阵所具有的特性,也为了说明矩阵的初等变换的意义,我们引入初等矩阵的概念.其实初等矩阵就是单位矩阵经矩阵的初等变换后所得的矩阵.具体内容见下文简述.关键词矩阵的初等变换初等矩阵单位矩阵逆矩阵矩阵就是将多个数按某种规则人为排列为m行n列所形成的一个数阵（具体学科的行与列都有确定的含义）。
它实际上记述着客观事件的因果关系，一个结果在多个原因的不同作用水平下的数量特征（这个矩阵的元素间没有因果关系），所以我们对其行（列）的运算实质是一种人为处理，但是我们知道，在建立矩阵时,我们确实纪录了某个（些）客观事实，这些数据有其内在的必然规律。
为了寻找这个（些）客观规律，我们必须对所得矩阵进行运算，又由于我们在建立矩阵时所记行（列）遵循一定的规则，所以我们只能对不同的行（列）展开运算。
也就是说同一行（列）中的数据前后上下的元素不能调整。
对不同行（列）间对应元素的对调、同一行（列）的数乘和数乘后与其它行（列）对应元素的代数和的运算也就没有改变事件内在规律（实为事物自身的线性性）。
这种对矩阵的处理就是矩阵的初等变换。
现在，我们给出矩阵的初等变换的定义：（1）：互换矩阵的两行（列）；（2）：用一个非零实数乘矩阵的某行（列）的所有元素；（3）：将某行（列）的所有元素实数k倍后加到另一行（列）的对应元素上去。
对于这个定义，我们要理解在如下三个层面上：（1）对矩阵实施某行（列）所有元素与另一行（列）对应元素的对调.（2）实施了矩阵的初等变换后得到了一个新的矩阵。
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第二个方程对应也在等号两边 同时加上第一个方程的（-2）倍
x 2y 5 第1个方程
2x
73y
4
第2个方程
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初等行变换
定义2.13 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换：
什
对换变换
将矩阵的某两行对换位置
么
是 非
倍乘变换
将矩阵的某一行遍乘一个非零常数k
奇
异
倍加变换 将矩阵的某一行遍乘一个常数k加至
0
0
1
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练习
0 1 2
练习
用初等行变化求矩阵
A
1 2
1 1
4 0
的逆
答案：
0 1 2 1 0 0
1 0 0 2 1 1
1
1
40
1
0
初等行变换
0
1
0
4
2
1
2 1 0 0 0 1
0
0
1 3
1
1
2
2
2 1 1
A1
4
2
1
3
1
1
2
2
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课堂小结
1．三种初等行变换 2．三类初等矩阵 3. 使用初等行变换求矩阵的逆
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作业
书P87 1（1）（3）（6）
高斯（1777-1855）
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矩阵的初等行变换 与
初等矩阵
学习目标
目标 一
目标 二
目标 三
理解什么是初等行变换 知道什么是初等矩阵 掌握初等行变换的应用
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初等行变换的背景
1801年德国数学家高斯把线性方程组的全部系数 作为一个整体
22x 33 y 4 x 22 y 5
收获：线性方程组可以用矩阵来表示
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另一行
定理2.7 设方阵A经过若干次初等行变换后得到方阵B， 如果A是非奇异的，则B也是非奇异的。反之亦然。
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例题讲解
0 2 0
例1．运用初等行变换将矩阵 对换变换
A
1 3
0 0
0 1
转化成单位矩阵
解： 0
1
3
2 0 0
0
1
0
1
(1)(2) 倍加变换
0 3
0 2 0
0
0
1
(2) 1
2
1 0
3
0 0 1
1I 0
10 00
0 1 0
0
0 1
倍乘变换
1 0 0
(3) 3(1)
0
1
0
0 0 1
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初等行变换的练习
0 1 2
练习．运用初等行变换将矩阵
A
1 2
1 1
4 0
转化成单位矩阵
1、把主对角线上第一个元素变为1 2、把主对角线上第一个元素下方的所有元素变为0 3、把主对角线上第二个元素变为1
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用初等行变换法求逆矩阵
A I 初等 行变换 I A1
0 2 0
例1（续）：用初等行变换求矩阵
A
1 3
0 0
0 1
的逆
解： 初等行变换法（软件显示）
检验： 1
0 3
0 1 0
0 0 1
1 0 0
0 1 2 0
0 0 1
0 1 0
1 0 0
0
0
0 1
1
2
0
1 0 3
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初等行变换的应用——求逆矩阵
回顾： 满足AB BA I的两个矩阵A, B互为逆矩阵 其中B A1
因此有： A1A I
假设Pt ,Pt1,L ,P2,P1 都是初等矩阵，根据初等行变换的原理
A Pt Pt1 L P2 P1 I 结论：
初等行变换中省略的初等
A1
矩阵的乘积就是逆矩阵
4、把主对角线上第一个元素下方的所有元素变为0
5、如此类推，直至将主对角线最后一个元素变为1
6、从最后一列开始往第一列，把主对角线上方的 元素变为0
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初等矩阵的引入
为什么在初等行变换的过程中， 矩阵之间是用箭头连接呢？
0 1 00 2 0
1 0
0 0
0 1
1 3
0 0
0 1
1
1 0
0 1
说 出 结 果
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初等矩阵
0 1 0
1
0
0
0 0 1
1 0 0
0
1
0
2
0 0 1
1 0 0
0
1
0
3 0 1
三个矩阵的特点：单位矩阵经过一次初等行变换而得到
定义2.14 将单位矩阵作一次初等行变换得到的矩阵，称 为初等矩阵
初等对换矩阵 初等倍乘矩阵 初等倍加矩阵
1注矩2意阵：数2倍乘2乘的变区5换别与2
第一个方程对应也在等号两边同乘以2
2xx 42y 5 第1个方程
2x
3y
4
第2个方程
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初等行变换的引入
矩阵的第2行加上第1行乘以（-2）
1 2 5 第1行
02
37
4
第2行
矩阵某一行的倍数加到另一 行上的变换称为倍加变换
2 1 (2) 3 (2) (2)
由单位矩阵第i,行j行乘对k得换加到得，到第记，j行作记得E作到i(Ek，i)j 记作Eij(k)
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课堂中段小结
初等行变换
初等矩阵
对换变换
初等对换矩阵
倍乘对换
初等倍乘矩阵
倍加变换
初等倍加矩阵
初等行变换中，两个矩阵之间之所以用箭头连 接，是因为两个矩阵之间相差了初等矩阵
矩阵的初等行变换可以解决什么问题呢？
0
0
0 1 2 0
0 0 1
1 0 3
0 2 0
0
0
1
1 0 01 0 0
0 3
1 0
0 1
0 3
1 0
0 1
1 0 0
0 3
2 0
0 1
1 0 0
0 3
1 0
0 1
1 0 0
0 0
1 0
0 1
红色框的三
个矩阵与单 请
位矩阵有何 三
联系？
位引入
将矩阵的两行对调
2 3 4 第1行
1
2
5
第2行
对调矩阵两行的变换 称为对换变换
两个方程对应也发生对调
2x 3y 4 第1个方程
x 2y 5
第2个方程
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初等行变换的引入
将矩阵的第一行乘以2
12 24 5 第1行
2
3
4
第2行
矩阵某一行乘以一个常数的 变换称为倍乘变换