浙江省温州市高二上学期期中数学试卷(理科)

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浙江省温州市高二数学上学期期中考试试题理新人教A版

一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的否命题是（） A ．“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B ．“若一个数的平方是正数,则它是负数” C ．“若一个数不是负数,则它的平方不是正数”D ．“若一个数的平方不是正数,则它不是负数” 2．以下四个命题中正确的是 ( )A ．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B ．若{},,a b c 为空间向量的一组基底，则{},,a b b c c a +++构成空间向量的另一组基底C ．ABC ∆为直角三角形的充要条件是0AB AC ⋅=D ．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底3．双曲线22121x y -=的焦点坐标是（） A ．(1,0)，(－1,0) B ．(0,1)，(0，－1) C ．(3， 0)，(－3，0)D ．(0，3)，(0，－3)4．若d c b a ,,,都是实数，且d c >，则“b a >”是“d b c a ->-”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件5．双曲线C 和椭圆2241x y +=有相同的焦点，它的一条渐近线为2y x =，则双曲线C的方程为（） A ．22421x y -= B ．2221x y -= C ．22421x y -=-D ．2221x y -=-6．已知空间四边形ABCD 中，2,568AB a c CD a b c =-=+-，对角线,AC BD 的中点分别为,E F ，则EF ＝（）A. 335a b c ++B. 335a b c +-C. 335a b c --D. 335a b c -+ 7．在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 的中心，,M N 分别是棱111,DD D C 的中点，则直线OM ( ) A ．和,AC MN 都垂直B ．垂直于AC ，但不垂直于MN C ．垂直于MN ，但不垂直于ACD ．与,AC MN 都不垂直8．P 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上异于顶点的任意一点，12,F F 为其左、右焦点，则以2PF 为直径的圆与以长轴为直径的圆的位置是（）A ．相交B ．内切C ．内含D ．不确定9. 已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若2F H 的中点M 在双曲线C 上，则该双曲线的离心率是（）2 D. 310. 已知抛物线()220y px p =>，过点()(),00E m m ≠的直线交抛物线与点,M N ，交y轴于点P ，若,PM ME PN NE λμ==，则λμ+=（） A. 1 B. 1- C. 2 D. 2- 二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．抛物线22x y =的准线方程为 . 12．由下列命题构成的复合命题中，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为真，则其中正确的是 .① :p 5是偶数， :q 2是奇数 ② :526p +=， :62q > ③ {}:,p a a b ∈， {}{}:,q a a b ⊆ ④ :p Q R ⊆， :q N Z = 13．已知点()()()1,1,3,2,,2,3,3,9A B C λμλμλμλμ+--+-三点共线，则,λμ==.14. 在Rt ABC ∆中，1AB AC ==，以点C 为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB 边上，且这个椭圆过,A B 两点，则这个椭圆的焦距长为． 15．已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，点P 在线段1BD 上，当APC ∠最大时，三棱锥P ABC -的体积为________．16．已知点F 为抛物线28y x =-的焦点，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且4AF =，则PA PO +的最小值为 .三、解答题：（本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）设命题()2:431p x -≤；命题()()2:2110q x a x a a -+++≤，若q 是p 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．BEDCBA18. （10分）如图，ABC ∆是以C ∠为直角的等腰直角三角形，直角边长为8，//DE BC ，:5:3AE EC =，沿DE 将ADE ∆折起使得点A 在平面BCED 上的射影是点C ，23MC AC =．（Ⅰ）在BD 上确定点N 的位置，使得//MN ADE 平面；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求CN 与平面ABD 所成角的正弦值．19.（12分）如图,已知点A 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的右顶点,若点C ⎝⎭在椭圆上,且满足32OC OA ⋅=.(其中O 为坐标原点) （Ⅰ）求椭圆的方程;（Ⅱ）若直线l 与椭圆交于两点,M N ,当(),0,2OM ON mOC m +=∈时,求OMN ∆面积的最大值.2012学年第一学期期中考试高二数学答题卷（理科）一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）EAMEDCBAC B C B C B A B A B二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 11． 18y =-12． ② 13． 0,0 14．15． 118 16． 213三．解答题（本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）设命题()2:431p x -≤；命题()()2:2110q x a x a a -+++≤，若q 是p 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解：设A ＝{x |(4x －3)2≤1}， B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0}，易知A ＝{x |12≤x ≤1}， B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．由q 是p 的必要不充分条件，从而p 是q 的充分不必要条件，即A B ⊆， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1.故所求实数a 的取值范围是[0，12]．18. （10分）如图，ABC ∆是以C ∠为直角的等腰直角三角形，直角边长为8，//DE BC ，:5:3AE EC =，沿DE 将ADE ∆折起使得点A 在平面BCED 上的射影是点C ，23MC AC =．（Ⅰ）在BD 上确定点N 的位置，使得//MN ADE 平面；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求CN 与平面ABD 所成角的正弦值．解：（Ⅰ）由已知，点A 在平面BCED 上的射影是点C ，则可知BCED AC 平面⊥,而CE BC ⊥如图建立空间直角坐标系，则可知各点的坐标为C(0,0,0)，A(0,0,4),B(0,8,0),D(3,5,0),E(3,0,0) 由MC=32AC ，可知点M 的坐标为（0,0，38），设点N 的坐标为（x,y,0）则可知y=8-x ，即点N 的坐标为（x,8-x,0）设平面ADE 的法向量为)z ,y ,x (n 1=，由题意可知⎩⎨⎧=⋅=⋅0n 0DE n 11,而)0,5,0(DE -=,)4,0,3(AE -=可得⎩⎨⎧=-=0z 4x 30y ，取x=4,则z=3,可得)3,0,4(n 1=要使ADE //MN 平面等价于0MN n 1=⋅即0383)x 8(0x 4=⋅+-+解之可得2x =，即可知点N 的坐标为（2,6,0），点N 为BD （Ⅱ）由（Ⅰ）可知)0,6,2(CN =，设平面ADB 的法向量为)z ,y ,x (n 2=知⎩⎨⎧=⋅=⋅0n 0DB n 11,而)0,3,3(DB -=,)4,8,0(AB -=可得⎩⎨⎧=-=+-0z 4Y 80y 3X 3，取则y=1,z=2 可得)2,1,1(n 2=设CN 与平面ABD 所成角为θ，sin =θ1515219.（12分）如图,已知点A 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的右顶点,若点,22C ⎛ ⎝⎭在椭圆上,且满足32OC OA ⋅=.(其中O 为坐标原点) （Ⅰ）求椭圆的方程;（Ⅱ）若直线l 与椭圆交于两点,M N ,当(),0,2OM ON mOC m +=∈时,求OMN ∆面积的最大值. 解：（Ⅰ）因为点C ⎝⎭在椭圆上，所以234a 3322OC OA a ⋅==⇒=1b ∴= 22131x y ∴+= （Ⅱ）设()()1122,,,M x y N x y ，1212x x OM ON mOC y y ⎧+=⎪⎪+=∴⎨⎪+=⎪⎩()()()()221112121212122212221131033131x y x x x x y y y y y y x x x y ⎧+=⎪+--⎪⇒++-=⇒=-⎨-⎪+=⎪⎩ 设直线1:3l y x n =-+，由2213131y x n x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得：2246310y ny n -+-= 则2121233124nn y y y y -+==MN ∴==点O 到直线l的距离d =221343224422n n S +-∴==⋅=当且仅当()223430,2n n n m m =-⇒=∈∴=所以当m =OMN ∆面积的最大值为2.。

浙江省温州二中高二上学期期中考试(数学理).doc

浙江省温州二中高二上学期期中考试（数学理）（本试卷满分100分，答题时间 100 分钟）温馨提示：不允许使用计算器．第I 卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、在10件同类产品中，有8件正品，2件次品，从中任意抽取3件，其中必然事件是（） A.有3件正品 B.至少有一件次品C.3件都是次品D.至少有一件正品.2、某地区有100家商店，其中大型商店10家，中型商店25家，小型商店65家，为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为本，若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是（） A ．2 B ．5 C ．3 D ．133、利用秦九韶算法求当x=2时，()2345123456f x x x x x x =+++++的值，下列说法正确的是（）A ．先求122+⨯；B ．先求625⨯+，第二步求()26254⨯⨯++，……；C ．用()2345212232425262f =+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯直接运算求解；D ．以上都不正确．4、右图是样本容量为100的频率分布直方图，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6，10）内的频数和数据落在[2，10）内的概率分别为（）A ．32，0.40B ．40，0.48C ．32，0.48D ．40，0.405、如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12．则该几何体的俯视图可以是（）6．在下列条件中，可判断两个平面α与β平行的是（）A ．α、β都垂直于平面γB ．m l ,是α内两条直线，且β//l ，β//mC ．α内有无数条直线与β平行D ．m l ,是两条异面直线，且α//l ，β//l ，α//m ，β//m 7、在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个数x ，函数()sin cos f x x x =+的值介于2到1之间的概率为( ).侧视图主视图A ．14 B ．16 C ．112D ．138、某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，则重点项目A 和一般项目B 至少有一个被选中的不同选法种数是 ( )A ．15B ．45C ．60D ．759、一颗骰子掷两次，记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，则向量()23,2a m n =--与向量()2,2b m n →=--平行的概率为（）A ．365 B ．3612 C ．3611D ．366 10、有10位同学参加高二段演讲赛，一班只有1位同学，二班有2位，其它班总共7位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则二班的2位同学恰好被安排在一起，且一班的这位同学不与二班的任意一位同学安排在一起（指演讲序号相连）的概率为（） A ．645 B ． 745 C ． 845 D ． 945第II 卷（非选择题共60分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11．二进制数1 001 101化为八进制数为____________；12．数字0，1，2，3，4能组成没有重复数字的五位数有___________个；13、设计算法，输出不大于100，且能被7整除的所有正整数，已知算法流程图如右图，请填写空余部分： ___▲ _ ， _ ▲___ ．14、已知用计算机随机产生一个有序二元数组(,)x y 满足x y ≤≤1，1，记事件221x y +≤“”为A ，则()P A = ．15、函数sin(2)y x ϕ=+的图像向左平移3π个单位所得图象关于原点成中心对称，那么||ϕ的最小值为．16、如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB BM 和所成的角的大小为．M B 1C 1CB三、解答题：本大题共4小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17、（本小题6分）从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下：（单位：cm ）第(13)题图问：⑴ 试估计哪种玉米的苗长得高（平均值大）？⑵ 试估计哪种玉米的苗长得齐（方差小）？18、（本小题8分）已知向量)0,(sin θ=，)cos 6,0(θ=，2=+→→b a 其中(0,)2πθ∈．（1）求θcos 和θsin 的值；（2）若⎪⎭⎫⎝⎛∈=+2,0,1010)cos(πϕϕθ，求cos ϕ的值.19、（本小题12分）如图，四棱锥ABCD S -的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD,SD ＝AD ，点E 是棱SD 的中点，P 是AB 的中点。

浙江省温州市数学高二上学期理数期中考试试卷

浙江省温州市数学高二上学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）设点P(-4，2)，Q(6，-4)，R(12，6)，S(2，12)，则下面四个结论：①PQ∥SR；②PQ⊥PS；③PS∥QS；④RP⊥QS.正确的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 42. （2分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A . 2B . 1C .D .3. （2分） (2016高二上·徐水期中) 已知实数x，y满足x2+y2﹣4x+6y+4=0，则的最小值是（）A . 2 +3B . ﹣3D . ﹣34. （2分）已知点A(0,–1)，点B在直线x–y+1=0上，直线AB垂直于直线x+2y–3=0，则点B的坐标是（）A . (–2,–3)B . (2,3)C . (2,1)D . (–2,1)5. （2分） (2019高二上·台州期末) 如图所示，把棱长为1的正方体放在空间直角坐标系中，则点D的坐标为A . 0，B . 1，C . 0，D . 1，6. （2分）在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A .B .C .7. （2分）已知为不同的直线，为不同的平面，给出下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中所有正确命题的序号是（）A . ①②B . ②③C . ①③D . ①④8. （2分） (2018高二上·梅河口期末) 点与圆的位置关系是（）A . 圆内B . 圆外C . 圆上D . 不能确定9. （2分）(2018·泉州模拟) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A .C .D .10. （2分）动点P到直线x+5=0的距离减去它到M（2，0）的距离的差等于3，则点P的轨迹是（）A . 直线B . 椭圆C . 双曲线D . 抛物线二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2017高一下·蠡县期末) 已知直线，若，则________．12. （1分）(2018·吉林模拟) 已知矩形ABCD的顶点都在半径R=4，球心为O的球面上，且AB = 6，BC = ，则棱锥的体积为________.13. （1分）直线的倾斜角的余弦值为________．14. （1分） (2018高一上·兰州期末) 如图，在长方体中， 3 cm， 2 cm，1 cm，则三棱锥的体积为________cm3 ．15. （1分）(2020·丽江模拟) 已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则双曲线的方程为________.三、解答题 (共5题；共30分)16. （5分） (2018高二上·北京月考) 求与圆同心，且与直线相切的圆的方程17. （10分） (2017高二上·广东月考) 如图，在三棱柱中，，，，在底面的射影为的中点，是的中点.（1）证明：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.18. （5分） (2020高一上·黄陵期末) 试就的值，讨论直线和圆的位置关系.19. （5分） (2016高一下·锦屏期末) 已知圆C1：x2+y2﹣3x﹣3y+3=0，圆C2：x2+y2﹣2x﹣2y=0，求两圆的公共弦所在的直线方程及弦长．20. （5分） (2018高二上·哈尔滨月考) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共30分) 16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、。

浙江省温州中学2010学年第一学期期中考试高二数学试卷(理科)

温州中学2010学年第一学期期中考试高二数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10题，每题4分，共40分）1.三个平面把空间分成７部分时，它们的交线有（）A ．１条B ．２条C ．３条D ．１或3条2.已知βα，表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥B ．若l α⊥，l m //，则m α⊥C ．若l α//，m α⊂，则l m //D ．若l α//，m α//，则l m // 4.以下四个命题中，正确的是（）A ．|||||||)(|c b a c b a ⋅⋅=⋅B ．ABC ∆为直角三角形的充要条件是0=⋅AC AB .C ．若{c b a ,,}为空间的一个基底，则{a c c b b a +++,,}构成空间的另一个基底.D ．若C B A ,,三点不共线，对平面ABC 外任一点O 有OC OB OA OP 213121++=，则C B A P ,,,四点共面.5.若一个三角形采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原来三角形面积的（）A ．42倍 B ．2倍 C ．22倍 D ．2倍6.一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面（）A ．必定都不是直角三角形B ．至多有一个直角三角形C ．至多有两个直角三角形D ．可能都是直角三角形7.若直线3-=kx y 与直线0632=-+y x 的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（） A ．)3,33[B ．),33(+∞ C ．),3(+∞ D ．),33[+∞8.已知直线l 方程为),(,0),(111y x P y x f =和),(222y x P 分别为直线l 上和l 外的点，则方程0),(),(),(2211=--y x f y x f y x f 表示（）A ．过点1P 且与l 垂直的直线B ．与l 重合的直线C ．过点2P 且与l 平行的直线D ．不过点2P ，但与l 平行的直线9.Ω是底面边长为1，高为2的正三棱柱被平面DEF 截去几何体EF C B A 111D 后得到的几何体，其中D 为线段1AA 上异于A 、1A 的动点, E 为线段1BB 上异于B 、1B 的动点， F 为线段1CC 上异于C 、1C 的动点,且DF ∥11C A ,则下列结论中不正确．．．的是（） A ．1B B DF ⊥ B ．DEF △是锐角三角形 C ．Ω可能是棱台 D ．Ω可能是棱柱10.如图，在斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，90B A C =∠，AC ⊥1B C ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在（）A ．直线AB 上 B ．直线BC 上C ．直线AC 上D ．三角形ABC 内部二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分）11.过点)1,2(且与直线012=++y x 垂直的直线方程为 .12.已知OB OB OA B A 与且λ+-),1,1,0(),0,0,1(的夹角为 120，则实数λ的值为 . 13.圆柱形容器内部盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示)，则球的半径是 cm ． 14.设四棱锥ABCD P -的底面ABCD 不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α有个.15.设直线系:cos (2)sin 1(02)M x y θθθπ+-=≤≤,对于下列四个命题： (1).当直线垂直y 轴时，πθ或0=；(2).当6πθ=时，直线的倾斜角为120；(3).M 中所有直线均经过一个定点；(4).存在定点P 不在M 中的任意一条直线上。

浙江省温州中学高二数学上学期期中试卷理新人教A版

高二理科数学试卷 2013．11一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．双曲线122=-y x 的渐近线方程是（）A ． ±=x 1B ．y =C ． x y ±=D ．x y 22±= 2．“3m =”是“椭圆2214x y m+=焦距为2”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 3．命题“若24x <，则22x -<<”的逆否命题是（）A ．若24x ≥，则2x ≥或2x ≤-B ．若22x -<<，则24x < C ．若2x >或2x <-，则24x > D ．若2x ≥，或2x ≤-，则24x ≥ 4．双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = （） A ．41 B ．4- C ．4 D ． 14- 5．圆3222=-+y y x 上的点到直线05=--y x 的距离的最大值是（）A ．1B ． 2C ．2D ．16．已知椭圆()2211122:0,0x y C a b a b λλ+=>>>和双曲线()2222222:0x y C m nλλ-=≠，给出下列命题：①对于任意的正实数1λ，曲线1C 都有相同的焦点； ②对于任意的正实数1λ，曲线1C 都有相同的离心率； ③对于任意的非零实数2λ，曲线2C 都有相同的渐近线； ④对于任意的非零实数2λ，曲线2C 都有相同的离心率．其中正确的为（）A ．①③B ．①④ C．②③ D．②④7．直线l 与双曲线2212x y -=的同一支相交于,A B 两点，线段AB 的中点在直线2y x =上，则直线AB 的斜率为（）A ．4B ．2C ．12 D ．148．F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点，过F 作直线l 与一条渐近线平行，直线l 与双曲线交于点M ，与y 轴交于点N ，若12FM MN =，则双曲线的离心率为（） ABC9．已知点(3,0)A -和圆22:9O x y +=，AB 是圆O 的直径，M 和N 是AB 的三等分点，P (异于,A B )是圆O 上的动点，PD AB ⊥于D ，(0)PE ED λλ=>，直线PA 与BE交于C ，要使CM CN +为定值，则λ的值为（）A ．18 B ． 110 C ． 12D ． 1 10．已知点P 在ABC ∆内（包括边界），且AP AB AC λμ=+，若对于满足条件的λ和μ，都有2a b λμ+≤成立，则动点(,)Q a b 形成的平面区域的面积（） A ．8 B ．16 C ．32 D ．64二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．设,x y 满足约束条件0,0,10,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪++≥⎩则目标函数2z x y =+的最大值是______________．12．直线50x y --=被圆224460x y x y +-++=所截得的弦长等于______________． 13．写出直线y x m =+与圆221x y +=相交的一个必要不充分条件：______________．14．已知点(,0)Q m ，P 是椭圆2214x y +=的动点．若点P 恰在椭圆的右顶点时，,P Q 两点的距离最小，则实数m 的取值范围为______________．15．设12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，若该椭圆上一点P 满足212PF F F =，且以原点O 为圆心，以b 为半径的圆与直线1PF 有公共点，则该椭圆离心率e 的取值范围是______________．温州中学2013学年第一学期期中考试高二理科数学答题卷 2013.11一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。

浙江省温州市十校联合体2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题(含答案)

浙江省温州市十校联合体2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项时符合题目要求的）1.直线的倾斜角为（）A.B.C.D.2.已知椭圆，则椭圆的短轴长为（）B. C.2D.43.直线与直线的距离为（）A.14.“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.过直线上的点作圆的两条切线，当直线关于直线对称时，则点的坐标为（）A. B. C. D.6.已知点在确定的平面内，点是平面ABC 外任意一点，满足，且，则的最小值为（）y =π6π32π35π622:142x y C +=1:210l x y -+=2:2430l x y -+=12k =±1y kx =+2214x y -=21y x =-P 22:(2)(3)1C x y ++-=12,l l 12,l l 21y x =-P (1,1)21,55⎛⎫-⎪⎝⎭31,55⎛⎫⎪⎝⎭67,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ABC V O 2CD OC xOA yOB =--0,0x y >>21x y+A.B.C.D.7.已知椭圆的左、右焦点分别为为坐标原点，以为圆心，为半径的圆与椭圆交于M ，N 两点，若，则椭圆的离心率为（）B.D.8.如图所示，在四棱锥中，平面平面ABCD，四边形ABCD 为矩形，为等腰直角三角形，且，点在线段AD 上，则三棱锥外接球的表面积的取值范围为（）A. B. C.D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）9.在平面直角坐标系中，已知点，点是平面内的一个动点，则下列说法正确的是（）A.若，则点的轨迹是双曲线B.若，则点的轨迹是椭圆C.若，则点的轨迹是一条直线D.若，则点的轨迹是圆10.已知直三棱柱中，，点为的中点，则下列说法正确的是（）3432+94+3+2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,,F F O 2F 12F F C 1||OM MF =C 12-1-2E ABCD -AED ⊥AED V 2,AE ED AB AD ====F E FBC -32π,12π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦[11π,12π]31π,12π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦31π,11π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦(1,0),(1,0)A B -M ||||||1MA MB -=M ||||2MA MB +=M ||||MA MB =M 2MA MB ⋅=M 111ABC A B C -12,AB AC AA AB AC ===⊥E 11B CA. B.平面C.异面直线AE 与D.点到平面ACE11.已知圆，圆，直线，直线与圆相交于A ，B 两点，则以下选项正确的是（）A.若时，圆与圆有两条公切线 B.若时，两圆公共弦所在直线的方程为C.弦长的最小值为 D.若点，则的最大值为三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.经过椭圆的左焦点作直线交椭圆于A ，B 两点，为椭圆的右焦点，则的周长为______.13.在空间直角坐标系中，经过点且方向向量为的直线方程为，已知空间中一条直线方程为，则点到直线的距离为______.14.平面直角坐标系xOy 中，已知圆与双曲线有唯一公共点，若圆心在双曲线的一条渐近线上且直线MA 平行于另一条渐近线，则圆的方程为______.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知圆和圆外一点（1）求的取值范围（2）若，过点作圆的切线，求切线方程16.如图，在四棱台中，底面ABCD 为平行四边形，平面，11122AE AB AC AA =++ 1//AB 1ACE 1AC 1A 221:280C x y y +--=2222:240C x mx y m -++-=:210l tx y t+--=l 1C 0m =1C 2C 2m =240x y --=AB (2,4)P ||PA PB +2+22198x y +=1F l 2F 2AF B ∆O xyz -()000,,P x y z (,,)(0)n X Y Z XYZ =≠000x x y y z z X Y Z ---==l 2142z x y --=-=(4,3,3)A l ()()22200:M x x y y r -+-=2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>(8,1)A M C M 22:20C x y x y m +-++=C (1,2)P m *m N ∈P C 1111ABCD A B C D -1A A ⊥,45ABCD ABC ︒∠=1112AB A A C BC ===（1）证明：平面平面（2）求直线与平面所成角的大小17.在平面直角坐标系xOy 中，动点到点的距离之和为4，点的轨迹为，曲线与轴正半轴交于点.（1）求曲线的方程（2）若过点的直线与交于E ，F 两点（点在轴上方），点为BF 的中点，若，求直线的方程18.如图，在三棱锥中，为正三角形，平面，点为线段BC 上的动点，（1）若点为BC 中点，证明：（2）在（1）的条件下，求平面PAC 与平面ACF 夹角的余弦值（3）求线段长的最小值19.阅读材料：极点与极线，是法国数学家吉拉德•笛沙格（Girard Desargues ，1591-1661）于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述，它是圆锥曲线的一种基本特征.已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点对应的极线方程．特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线11CDD C ⊥11ACC A 1BB 1CDD C P (0,1),(0,1)A B -P C C y D C B l C E x M //OM DE l P ABC -ABC V PA ⊥1,12ABC PA AB ==E AF PE⊥E AF FC⊥CF 22:220C Ax By Dx Ey F ++++=()00,P x y ()()0000:0l Ax x By y D x x E y y F ++++++=C 0x x 2x 02x x+x y ()00,P x y 22221x y a b +=()00,P x y 00221x x y ya b+=，与点对应的极线方程为；即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.其中，极点与极线有以下基本性质和定理①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线；②当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹.根据上述材料回答下面问题：已知双曲线，右顶点到，已知点是直线上的一个动点，点对应的极线与双曲线交于点A ，B ，（1）若证明：极线AB 恒过定点.（2）在（1）的条件下，若该定点为极线AB 的中点，求出此时的极线方程（3）若，极线AB 交的右支于A ，B 两点，点在轴上方，点是双曲线的左顶点，直线AE ，直线BP 分别交轴于M ，N 两点，点为坐标原点，求的值22221x y a b -=()00,P x y 00221x x y y a b-=P C l C P P C l C P P C l C P 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>(1,0)E C G 0mx ny q ++=G 3,1m n q ===-1102m n q ===-，，C A x P C y O ||||OM ON参考答案一、单选题题号12345678答案CBDADBBA二、多选题题号91011答案ACDABDBD三、填空题四、解答题15.（5分+8分）解：（1）根据题意：…………………………………………2分点在圆外，则…………………………………………………………4分………………………………………………………………………………………………5分（2）……………………………………………………………………………………6分则圆的方程为：当不存在时，直线，满足题意……………………………………………………………………8分当存在时，设切线方程为.………………………………………………………………………………………10分……………………………………………………………………………………………………12分切线方程为…………………………………………………………………………13分综上，切线方程为：或16.（6分+9分）解：（1）不妨设，则，由余弦定理得225414404D E F mm +-=+->⇒<P 141408m m +-++>⇒>-584m ∴-<<*1m N m ∈∴= 2211(1)24x y ⎛⎫-++=⎪⎝⎭k 1x =k 2(1)y k x -=-12d 3512k ∴=∴3512110x y --=3512110x y --=1x =4BC =0145AB A A ABC ==∠= ∴222AC AB AC BC AB AC=+=∴⊥四边形ABCD 是平行四边形………………………………………………2分平面……………………………………………………………………4分又平面平面平面………………………6分（2）法1：延长线段交于点，过点作交PC 于点，由（1）知，平面平面PAC ，平面平面平面PAC平面平面平面PCD点到平面PCD 的距离等于点到平面PCD 的距离在Rt 中，……………………………………9分过点作平面PCD 于点，则为直线PB 与平面PCD 所成的角………………11分…………………………………………………………………………13分，即所以与平面所成的角为…………………………………………………………15分几何法采分点说明：1.正确PB 的值给2分；2.正确AH 的值给3分；2.指出线面角或作出线面角给2分；3.答案给2分法2：由（1）可知AB ，AC ，AP 两两相互垂直，则分别以AB ，AC ，AP 为轴，轴，轴的正半轴，建立如图所示空间直角坐标系则.....................................................................8分 (10)分//AB CD CD AC ∴∴⊥1A A ⊥ 1,ABCD A A CD ∴⊥1A A AC A CD ⋂=∴⊥11AC CA ∴11C D DC ⊥11AC CA 1111,,,AA BB CC DD P A AHPC ⊥H PCD ⊥PCD ⋂,PAC PC AH =⊂AH ∴⊥//,PCD AB CD AB ⊂/ //PCD AB ∴∴A B PACV 4,2PA AC PC AH ==∴==B BO ⊥O BPO ∠2,4BO AH PB === 1sin 2BPO ∴∠=30BPO ︒∠=1BB 11C D DC 30︒x yz 11(0,0,0),(0,((A B C D D B -1(CD DD ∴=-=1(BB ∴=设平面的法向量为则令，则………………………………13分所以与平面所成的角为………………………………………………………………15分建系法采分点说明：1.有正确的两两垂直的空间直角坐标系给2分2.有正确的给2分3.正确法向量给3分4.答案给2分（其他方式建系情况同样给分）17.（4分+11分）解：（1）由题意可知：动点的轨迹是焦点在轴的椭圆所以即分所以轨迹方程为……………………………………………………………………………4分（2）显然直线的斜率存在，则设直线的方程为：………………………………………6分由设11CDD C (,,)n x y z =10000n CD n DD ⎧⎧⋅=-=⎪⎪⇒⎨⋅==⎪⎩1y =(0,1,1)n = 111sin 2||BB n BB n θ⋅∴==⋅1BB 11C D DC 30︒1BBP C y 24,2||2a c AB ===2,1,a cb ===C 22134x y +=l l 1y kx =+()2222143690134y kx k x kx x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩()()1122,,,E x y F x y由韦达定理可得：①…………………………………………8分（有写出韦达定理就给2分）分别是BF ，AB 的中点，②……………………………………………………………………11分（其他方式得到的关系，同样给分）由①②可得分所以直线的方程为：…………………………………………………………………15分18.（4分+6分+7分）解：（1）法1：为正三角形平面平面PAE ……………………………………………………2分又平面………………………………………………………………………4分法2：在中，，………………………………………………………………………………2分（正确写出任意一条给2分）………………………………………………………………………………………………4分（2）以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，其中EC ，EA 为轴，轴的正半轴则……………………………………………6分设平面PAC 的法向量为12122269,4343k x x x xk k -+=-⋅=++,M O //////OM AF OM DE DE AF∴∴1212||12||2x BD x x AB x ∴==∴=-21,x x k =l 1y x =+ABC V AE BC∴⊥PA ⊥ ABC PA BC BC ∴⊥∴⊥BC AF ∴⊥,PE AF BC PE E⊥∴⋂= AF ∴⊥PBC AF FC ∴⊥,,PA AE AF PE ⊥⊥∴ Rt PAE V 3|||2AF EF ==||EF EC FC ⊥∴=AF FC ，222||||||FC AF AC ∴+=AF FC ∴⊥E x y 3(0,0,0),(1,0,0),4E P A C F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭3(0,0,1),(1,4AP AC AF ⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭(,,)m x y z =则，令，则法向量为同理可得平面ACF 的法向量为…………………………………………………………8分设平面PAC 与平面ACF 夹角为，则…………………………………………………………10分（有其它的方法或建系同样给分）建系法采分点说明：1.有正确的两两垂直的空间直角坐标系给2分2.有任意一条正确的法向量给2分3.答案给2分（其他建系方式同样给分）（3）法1：建系同（2）设………………………………………………………………………………11分………………………………………………………13分令则………………………………………………………15分（有写出就给2分）000z m AP x m AC ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⋅=⎪⎩⎩ 1y =m = n =θ||cos |cos ,|||||m n m n m n θ⋅=<>==(,0,0)(11),(,,)E t t PF PE t λλλ-≤≤==-(,1)F t λλ∴-(,,1),(,1)AF t PE t λλ∴=-=-22104104AF PE t t λλλ⋅=∴+-=∴=+()222222227||(1))(1)42(4)554t CF t t t t λλλλ--∴=-++-=+-++=++ 27,[9,5]t x x --=∈--2244||5565146514x CF x x x x=+=+++++ 2CF = 一次式二次式在上单调递减，上单调递增当时，……………………………………17分（其他建系方式或方法同样给分）法2：设BC 的中点为，取PA 中点，过点作平面PBC 垂线，垂足为且平面点的轨迹为以PA 为直径，即的球与平面PBC 的相交圆弧，…………13分由（1）可知，，相交圆半径………………15分点轨迹为在平面PBC 中的以为圆心，为半径的圆弧，………………………………………………17分19.（5分+4分+8分）解：（1）右顶点为由双曲线的标准方程为 (2)分点在直线上，设，根据阅读材料可得极线AB 为：………………………………………………4分则由定点为………………………………………………………………………………5分（2）若定点为AB 的中点，设，则2||CF [9,x∈-[5]x ∈-∴x =2min min ||||CF CF == ,E AF PE '''⊥T T ,H PA PF ⊥ F ∈,PBC F ∴12R =2A PBC T PBC d d --==平面平面14r ==F ∴H 14min 111444CF CH ∴=-=-= (1,0),1E a ∴=d b ===∴2213y x -= G 310x y --=∴()00,31G x x -()003113x y x x --=1,3x y y =⎧⎪∴⎨=⎪⎩(3,3)(3,3)()()1122,,,A x y B x y由点差法可得…………………………………………………………………7分所以极线方程为：……………………………………………………………………………9分（3）由题意，设：则极线AB 为：即…………………………11分由设，由韦达定理可得………………………………………………13分（有写出韦达定理就给2分）直线，得直线，得（其它方法所得给同样分）…………………………………………………………………………17分221122221313y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩①②3AB k =36y x =-12G t ⎛⎫ ⎪⎝⎭1123ty x -=223ty x =+()2222223432427013ty x t y ty y x ⎧=+⎪⎪⇒-++=⎨⎪-=⎪⎩()()1122,,,A x y B x y 12122224274343t y y y y t t +=-=--11:(1)1y AE y x x =--110,1y M x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭22:(1)1y BP y x x =++220,1y M x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭()()()()1212112121211221222393331||344433312||114443t y y y y y y y y x OM ty ON y x y y y y y y ⎛⎫+-++- ⎪+⎝⎭∴=====-⎛⎫-++-++ ⎪⎝⎭。

浙江省高二上学期期中数学试卷(理科)

浙江省高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共15题；共30分)1. （2分） (2020高一下·和平期中) 在中，内角的对边分别是，若，，则 A= （）A . 30°B . 60°C . 45°D . 150°2. （2分）已知表示的平面区域包含点和，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .3. （2分） (2020高一下·吉林月考) 若的内角满足，则（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高二上·济南期中) 数列{an}：1，﹣，，﹣，…的一个通项公式是（）A . an=（﹣1）n+1 （n∈N+）B . an=（﹣1）n﹣1 （n∈N+）C . an=（﹣1）n+1 （n∈N+）D . an=（﹣1）n﹣1 （n∈N+）5. （2分） (2019高一下·阜新月考) 在△ABC中，三个角A，B，C的对边分别为a，b，c. 若角A，B，C成等差数列，且边a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为（）A . 等边三角形B . 等腰直角三角形C . 钝角三角形D . 以上都不对6. （2分）已知集合A={x|3x+x2＞0}，B={x|﹣4＜x＜﹣1}，则（）A . A∩B={x|﹣4＜x＜﹣3}B . A∪B=RC . B⊆AD . A⊆B7. （2分）已知集合，若，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .8. （2分）若a，b，c为实数，且a<b<0 ，则下列命题正确的是（）A . ac2<bc2B .C .D . a2>ab>b29. （2分） (2018高二上·阜阳月考) 已知数列的通项公式，则（）A . 150B . 162C . 180D . 21010. （2分）设x，y∈R，a>1，b>1，若，，则的最大值为（）A . 2B .C . 1D .11. （2分） (2020高二上·温州期中) 实数，满足约束条件，则的最小值是（）A . 5B . 4C . -5D . -612. （2分）设正项等差数列{an}的前n项和为Sn ，若S2012=2012，则 + 的最小值为（）A . 1B . 2C . 4D . 813. （2分） (2018高二上·福建期中) 在中，，则的最大值为（）A .B .C .D .14. （2分）已知数列｛an}中，a1=3,a2=6,an+2=an+1-an ，则a2009（）A . 6B . -6C . 3D . -315. （2分）(2018·黄山模拟) 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共7分)16. （2分） (2020高一下·和平期中)（1）已知面积为，，则 ________；（2）已知中，，，，边上的高等于________.17. （1分） (2017高一下·怀仁期末) 已知等比数列｛an｝中，a1＋a2=9，a1a2a3=27,则｛an｝的前n项和________。

浙江省温州中学高二(上)期中数学试卷

2016-2017学年浙江省温州中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，则集合{5，6}等于（）A．M∪N B．M∩N C．（∁U M）∪（∁U N）D．（∁U M）∩（∁U N）2．若p：θ=+2kπ，k∈Z，q：y=cos（ωx+θ）（ω≠0）是奇函数，则p是q的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要的条件3．在等比数列{a n}中，a1=9，a5=a3a42，则a4=（）A．B． C．D．4．已知函数，设F（x）=x2•f（x），则F（x）是（）A．奇函数，在（﹣∞，+∞）上单调递减B．奇函数，在（﹣∞，+∞）上单调递增C．偶函数，在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增D．偶函数，在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递减5．设实数x，y满足约束条件，则z=的最大值为（）A．B．C．D．36．在平面上∠AOB=60°，||=||=1．动点C满足=λ+μ，且λ2+λμ+μ2=1，则点C的轨迹是（）A．线段 B．圆C．椭圆 D．双曲线7．设F1，F2为椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与双曲线C2的公共的左、右焦点，它们在第一象限内交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，若椭圆C1的离心率e∈hslx3y3h，D．8．函数f（x）=|2x﹣1|，定义f1（x）=x，f n（x）=f（f n（x）），已知函数g（x）=f m（x）﹣x有+18个零点，则m的值为（）A．8 B．4 C．3 D．2二、填空题：本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分．9．设函数，则该函数的最小正周期为，f（x）在的最小值为．10．正四面体（即各条棱长均相等的三棱锥）的棱长为6，某学生画出该正四面体的三视图如下，其中有一个视图是错误的，则该视图修改正确后对应图形的面积为．该正四面体的体积为．11．若点P（2，4）为抛物线y2=2px上一点，则抛物线焦点坐标为若双曲线=1（a＞0，b＞0）经过点P，且与抛物线共焦点，则双物线的渐近线方程为．12．已知平面向量，（≠）满足=2，且与﹣的夹角为120°，t∈R，则|（1﹣t）+t|的最小值是．已知•=0，向量满足（﹣）（﹣）=0，|﹣|=5，|﹣|=3，则•的最大值为．=（1+cos2）a n+sin2，则该数列的前10项和为．13．已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+214．如果M是函数y=f（x）图象上的点，N是函数y=g（x）图象上的点，且M，N两点之间的距离|MN|能取到最小值d，那么将d称为函数y=f（x）与y=g（x）之间的距离．按这个定义，函数f （x）=和g（x）=之间的距离是．15．各棱长都等于4的四面ABCD中，设G为BC的中点，E为△ACD内的动点（含边界），且GE ∥平面ABD，若•=1，则||=．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=．（1）求角C的大小；（2）若c=2，求△ABC面积最大值．17．设函数f（x）=3ax2﹣2（a+b）x+b，（0≤x≤1）其中a＞0，b为任意常数．（I）若b=，f（x）=|x﹣|在x∈有两个不同的解，求实数a的范围．（II）当|f（0）|≤2，|f（1）|≤2时，求|f（x）|的最大值．18．三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1C1C为正方形，侧面AA1B1B⊥侧面BB1C1C，且AC=2，AB=，∠A1AB=45°，E、F分别为AA1、CC1的中点．（1）求证：AA1⊥平面BEF；（2）求二面角B﹣EB1﹣C1的余弦值．19．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，设椭圆E： +=1（a＞b＞0），其中b=a，F为椭圆的右焦点，P（1，1）为椭圆E内一点，PF⊥x轴．（1）求椭圆E的方程；（2）过P点作斜率为k1，k2的两条直线分别与椭圆交于点A，C和B，D．若满足|AP||PC|=|BP||DP|，问k1+k2是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．20．已知数列{a n}满足：a1=1，a n=a n+（n∈N*）．+1（1）求最小的正实数M，使得对任意的n∈N*，恒有0＜a n≤M．（2）求证：对任意的n∈N*，恒有≤a n≤．2016-2017学年浙江省温州中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，则集合{5，6}等于（）A．M∪N B．M∩N C．（∁U M）∪（∁U N）D．（∁U M）∩（∁U N）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由题意可得5∈∁U M，且5∈∁U N；6∈∁U M，且6∈∁U N，从而得出结论．【解答】解：∵5∉M，5∉N，故5∈∁U M，且5∈∁U N．同理可得，6∈∁U M，且6∈∁U N，∴{5，6}=（∁U M）∩（∁U N），故选：D．2．若p：θ=+2kπ，k∈Z，q：y=cos（ωx+θ）（ω≠0）是奇函数，则p是q的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要的条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合三角函数的性质进行判断即可．【解答】解：若θ=+2kπ，则y=cos（ωx+θ）=cos（ωx++2kπ）=﹣sinωx为奇函数，即充分性成立，若y=cos（ωx+θ）（ω≠0）是奇函数，则θ=+kπ，k∈Z，则θ=+2kπ，k∈Z不一定成立，即p是q的充分不必要条件，故选：B3．在等比数列{a n}中，a1=9，a5=a3a42，则a4=（）A．B． C．D．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1=9，a5=a3a42，∴q=92×q5，解得q=±．则a4=9×=．故选：D．4．已知函数，设F（x）=x2•f（x），则F（x）是（）A．奇函数，在（﹣∞，+∞）上单调递减B．奇函数，在（﹣∞，+∞）上单调递增C．偶函数，在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增D．偶函数，在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递减【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由f（﹣x）=﹣f（x）可知f（x）为奇函数，利用奇偶函数的概念即可判断设F（x）=x2•f （x）的奇偶性，从而得到答案．【解答】解：∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，又F（x）=x2•f（x），∴F（﹣x）=（﹣x）2•f（﹣x）=﹣x2•f（x）=﹣F（x），∴F（x）是奇函数，可排除C，D．又F（x）=x2•f（x）=，∴F（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，可排除A，故选B．5．设实数x，y满足约束条件，则z=的最大值为（）A．B．C．D．3【考点】简单线性规划．【分析】利用换元法将条件转化为直线斜率，结合线性规划的知识进行求解即可得到结论．【解答】解：z==+，设k=，则z=k+，作出不等式组对应的平面区域如图：则由图象知OC的斜率最小，OA的斜率最大，由得，即C（5，2），由得．即A（3，4），则OC的斜率k=，OA的斜率k=，则≤k≤，∵z=k+，在≤k≤1上递减，在1≤k≤上递增，∴当k=时，z=+=，当k=时，z=+=＜，故z的最大值为，故选：B6．在平面上∠AOB=60°，||=||=1．动点C满足=λ+μ，且λ2+λμ+μ2=1，则点C的轨迹是（）A．线段 B．圆C．椭圆 D．双曲线【考点】轨迹方程．【分析】设O（0，0），B（1，0），A（），C（x，y），则由=λ+μ可得x=+μ，y=，根据λ2+λμ+μ2=1，可得点C的轨迹．【解答】解：设O（0，0），B（1，0），A（），C（x，y），则∵=λ+μ即（x，y）=λ（）+μ（1，0）∴x=+μ，y=，∴x2+y2=λ2+λμ+μ2=1，点C的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆．故选：B．7．设F1，F2为椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与双曲线C2的公共的左、右焦点，它们在第一象限内交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，若椭圆C1的离心率e∈hslx3y3h，D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】如图所示，设双曲线的标准方程：=1，离心率．椭圆与双曲线的半焦距为c．由椭圆的定义及其题意可得：|MF2|=|F1F2|=2c，|MF1|=2a﹣2c．由双曲线的定义可得：2a ﹣2c﹣2c=2a1，即a﹣2c=a1，可得﹣2=，利用e∈hslx3y3h，，时，f2（x）=f（f1（x））=|2x﹣1|=1﹣2x，①当x∈（﹣∞，时，f4（x）=|1﹣8x|=1﹣8x，此时，g（x）=f4（x）﹣x=1﹣9x，有零点x1=．当x∈（，时，f3（x）=|1﹣4x|=4x﹣1，当x∈hslx3y3h，，时，f3（x）=|4x﹣3|=3﹣4x，当x∈（，时，f4（x）=|5﹣8x|=8x﹣5，此时，g（x）=f4（x）﹣x=7x﹣5，有零点x6=．④当x∈（，+∞）时，f3（x）=|4x﹣3|=4x﹣3，当x∈（，0，﹣，1+cos20，10，10，1hslx3y3h递增函数，M=|f（1）|≤2﹣﹣﹣﹣③当时，即﹣a＜b＜2a时，（ⅰ）当时，即则，则f（1）﹣=＞0所以M≤2﹣﹣﹣﹣（ⅱ）当时，即时，可得，即则f（0）﹣＞0所以M≤2﹣﹣﹣﹣综上M=2，当a=2，b=2，f（x）=12x2﹣12x+2，M=2．18．三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1C1C为正方形，侧面AA1B1B⊥侧面BB1C1C，且AC=2，AB=，∠A1AB=45°，E、F分别为AA1、CC1的中点．（1）求证：AA1⊥平面BEF；（2）求二面角B﹣EB1﹣C1的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出BE⊥AA1，BE⊥BB1，从而BE⊥平面BB1C1C，由此能证明AA1⊥平面BEF．（2）以BF为x轴，BE为y轴，B1B为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B ﹣EB1﹣C1的余弦值．【解答】证明：（1），∠A1AB=45°，AE=1，故BE⊥AA1．又AA1∥BB1，故BE⊥BB1，又侧面AA1B1B⊥侧面BB1C1C故BE⊥平面BB1C1C．EF∥AC，AC⊥AA1，EF⊥AA1，故AA1⊥平面BEF．解：（2）以BF为x轴，BE为y轴，B1B为z轴，建立空间直角坐标系．则E（0，1，0），B1（0，0，﹣2），平面BEB1的法向量为（1，0，0），=（0，﹣1，﹣2），=（，﹣1，﹣1），设平面EB1C1的法向量=（x，y，z），则，取y=2，得=，设二面角B﹣EB1﹣C1的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角B﹣EB1﹣C1的余弦值为．19．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，设椭圆E： +=1（a＞b＞0），其中b=a，F为椭圆的右焦点，P（1，1）为椭圆E内一点，PF⊥x轴．（1）求椭圆E的方程；（2）过P点作斜率为k1，k2的两条直线分别与椭圆交于点A，C和B，D．若满足|AP||PC|=|BP||DP|，问k1+k2是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得：c=1，又b=a，a2=b2+c2，联立解出即可得出．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．AC：y=k1（x﹣1）+1，BD：y=k2（x ﹣1）+1，分别与椭圆方程联立，利用根与系数的关系、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：（1）∵F为椭圆的右焦点，P（1，1）为椭圆E内一点，PF⊥x轴．∴c=1，又b=a，a2=b2+c2，联立解得：a=2，b=．∴椭圆方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．AC：y=k1（x﹣1）+1，与椭圆联立，得，∴，，同理，．故，∴k1+k2=0．=a n+（n∈N*）．20．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1（1）求最小的正实数M，使得对任意的n∈N*，恒有0＜a n≤M．（2）求证：对任意的n∈N*，恒有≤a n≤．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）最小的正实数M=1，即使得对任意的n∈N*，恒有0＜a n≤1．利用数学归纳法即可证明．=a n+=a n≤a n （2）先证明右边：由（1）可得：0＜a n≤1．通过放缩：a n+1（）a n，（2n≤2n）．可得：a n≤．证明左边：利用数学归纳法证明即可得出．【解答】（1）解：最小的正实数M=1，即使得对任意的n∈N*，恒有0＜a n≤1．下面利用数学归纳法证明：①当n=1时，a1=1成立；②假设n=k（k∈N*）时，对任意的k∈N*，恒有0＜a k≤1．则n=k+1时，易知k＜2k，=+＜≤＜=1，∴0＜a k+1因此当n=k+1时假设成立，综上可得：最小的正实数M=1，使得对任意的n∈N*，恒有0＜a n≤M．（2）证明：先证明右边：由（1）可得：0＜a n≤1．=a n+=a n≤a n（）≤a n（）≤a n（）=a n，∴a n+1（2n≤2n）．∴a n≤≤=，因此右边成立．证明左边：下面利用数学归纳法证明：①当n=1时，a1=1=，成立；②假设n=k（k∈N*）时，对任意的k∈N*，恒有a k≥．≥，则n=k+1时，要证明：a k+1=+，又a k+1∴只要证明： +≥，化为：k（5×2k+4）+2k a k﹣18•2k≥0，解出：a k≥≥=．因此当n=k+1时也成立，综上①②可得：左边成立．因此：对任意的n∈N*，恒有≤a n≤．2016年12月10日。

浙江省温州市数学高二上学期理数期中考试试卷

浙江省温州市数学高二上学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二上·菏泽期中) 命题“ ”的否定是（）A .B .C .D .2. （2分）有下列命题：①“若xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若，则x2-2x+m=0有实数根”的逆否命题；④“若,则”的逆否命题。

其中正确的是（）A . ①②B . ②③C . ①②③D . ③④3. （2分）等差数列的公差d≠0，，前n项和为Sn ，则对正整数m，下列四个结论中：（1）Sm，S2m－Sm ， S3m－S2m成等差数列，也可能成等比数列；（2）Sm，S2m－Sm ， S3m－S2m成等差数列，但不可能成等比数列；（3）Sm ， S2m ， S3m可能成等比数列，但不可能成等差数列；（4）Sm ， S2m ， S3m不可能成等比数列，也不可能成等差数列；正确的是（）A . （1）（3）.B . （1）（4）.C . （2）（3）.D . （2）（4）.4. （2分） (2019高三上·吉林月考) 已知实数，满足线性约束条件，则的最小值为（）A .B .C .D .5. （2分）已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1 ，a3 ， 2a2成等差数列，则=（）A . 1+B . 1﹣C . 3+2D . 3﹣26. （2分）(2017·青州模拟) 设函数，若不等式g（x2）＞g（ax）对一切x∈[﹣1，0）∪（0，1]恒成立，则a的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B . （﹣1，1）C . （﹣1，+∞）D . （1，+∞）7. （2分）点（x,y）在直线x+2y=3上移动，则的最小值为（）A .B .C .D .8. （2分） (2020·合肥模拟) 若关于x的不等式有且只有两个整数解，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分）设正项等差数列{an}的前n项和为Sn ，若S2012=2012，则 + 的最小值为（）A . 1B . 2C . 4D . 810. （2分）(2018·上饶模拟) 设等差数列的前项和为，点在直线上，则（）A .B .C .D .11. （2分）(2016·安徽模拟) 数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1 ， a3 ， a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为（）A .B . 4C . 2D .12. （2分）(2018·榆林模拟) 正整数数列满足，已知，的前7项和的最大值为，把的所有可能取值按从小到大排成一个新数列，所有项和为，则（）A . 32B . 48C . 64D . 80二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·景德镇期末) 已知等比数列{an}满足a2a5=2a3 ，且成等差数列，则a1•a2•…•an的值为________．14. （1分）(2020·深圳模拟) 已知正数a，b满足，则的最小值为________.15. （1分）(2019高一下·慈利期中) 已知数列的前项和为满足，，则数列的通项公式________.16. （1分） (2016高一下·成都期中) 已知数列满足：a1=1，an+1= ，（n∈N*），若bn+1=（n﹣λ）（+1），b1=﹣λ，且数列{bn}是单调递增数列，则实数λ的取值范围为________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2018高二上·齐齐哈尔期中) 设命题p：∃x0∈（1，+∞），使得5+|x0|=6．q：∀x∈（0，+∞），+81x≥a ．（1）若a=9，判断命题￢p ，p∨q ，（￢p）∧（￢q）的真假，并说明理由；（2）设命题r：∃x0∈R ， x02+2x0+a-9≤0判断r成立是q成立的什么条件，并说明理由．18. （10分）(2018·中山模拟) 设函数 .（1）求不等式的解集；（2）当时，恒成立，求的取值范围19. （10分）在△ABC中，三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，设函数f（x）=sin2x+cos2x，且f（）=2．（1）若acosB+bcosA=csinC，求角B的大小；（2）记g（λ）=|+λ|，若||=||=3，试求g（λ）的最小值．20. （15分） (2020高二下·林州月考) 已知函数 .（1）解不等式；（2）若函数最小值为，且，求的最小值.21. （10分） (2016高一下·成都期中) 已知数列{an}中的前n项和为Sn= ，又an=log2bn ．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{bn}的前n项和Tn ．22. （10分） (2019高二下·葫芦岛月考) 已知，其前项和为 .（1）计算；（2）猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。

温州市高二上学期数学期中考试试卷(附答案)

P QEF ∥ A′D，截面 P QGH ∥ AD′，
所以所以
P FAPP∥′HFDA==′DAA，AA′PPP′
H ,
,
∥
AD′，
因为
A′
AD′ D=
AD′A=′A√2，A′P
=
1 − x，
P√F = x ,
所以

2 P√H
=
1 1−x,
解得
P P
2 F= H=
1 √
2x, √
A. 平行
B. 相交
C. 异面
D. 上述三种都有可能
4. 下列结论中错误的是 ( ) A. 若 a ⊥ α，b ⊂ α，则 a ⊥ b C. 若 a ∥α，b ⊂ α，则 a ∥ b
B. 若 a ∥ b，a ⊥ α，则 b ⊥ α D. 若 a ⊥ b，b ⊥ α，则 a ∥α 或 a ⊂ α
5. 设 m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，下列命题中，正确的命题是 ( )
．
14.
半径为
√ 23
的球内接正方体的表面积为
；体积为
．
15. 已知直线 x − 2y + 1 + λ (1 − x) = 0 与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为 S (λ)，当 λ ∈ (1, +∞)
时，S (λ) 的最小值是
．
16. 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD − A′B′C′D′ 中，AP = BQ = x (0 < x < 1)，截面
对于 B，若 a ∥ b，a ⊥ α，根据线线平行、线面垂直的性质可得 b ⊥ α，故正确；
对于 C，若 a ∥α，b ⊂ α，则 a ∥ b 或异面，故错；

2023-2024学年浙江省温州市环大罗山联盟高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年浙江省温州市环大罗山联盟高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知直线l ：y =−√33x ，则该直线倾斜角的度数为（） A ．120°B ．150°C ．135°D ．60°2．已知平面α的法向量为n →=(4，−4，8)，AB →=(−1，1，−2)，则直线AB 与平面α的位置关系为（） A ．AB ⊂αB ．AB ⊥αC ．AB 与α相交但不垂直D ．AB ∥α3．已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝4x 上，则这个等边三角形的边长为（） A ．8√3B ．4√2C ．4√3D ．3√24．已知半径为2的圆经过点（3，4），则其圆心到原点的距离最小值为（） A ．1B ．2C ．3D ．45．已知直线l ：y ＝x +m 与椭圆C ：x 24+y 23=1有公共点，则m 的取值范围是（） A ．[−√7，√7]B ．[−√6，√7]C ．[−√6，√6]D ．[−2√2，2√2]6．已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4和两点A （a ，0），B （﹣a ，0）（a ＞0），若圆C 上有且仅有一点P ，使得∠APB ＝90°，则实数a 的值是（） A ．2−√2B ．2+√2C ．2−√2或2+√2D ．√27．在等腰直角△ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 的中点，光线从点P 出发，沿与AB →所成角为θ的方向发射，经过BC ，CA 反射后回到线段PB 之间（包括端点），则tan θ的取值范围是（） A ．[1，2]B ．[2，3]C ．[4，5]D ．[3，4]8．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，棱长为2，平面α经过点A ，且满足直线AA 1与平面α所成角为45°，过点A 1作平面α的垂线，垂足为H ，则CH 长度的取值范围为（） A ．[√10−4√2，√10+4√2] B ．[√10，√10+4√2] C ．[√6，√10]D ．[√10，√14]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知直线l 1：x +my ﹣1＝0，l 2：mx +y ﹣1＝0，则下列说法正确的是（）A ．若l 1∥l 2，则m ＝±1B ．当l 1∥l 2时，两条平行线之间的距离为√2C ．若l 1⊥l 2，则m ＝0D ．直线l 2过定点（0，1）10．向量a →=(m ，1，0)，b →=(2，1，1)，则下列说法正确的是（） A ．∃m ∈R ，使得a →∥b →B ．若|a →|=√5，则m ＝±2 C ．若a →⊥b →，则m =−12D ．当m ＝1时，a →在b →方向上的投影向量为(1，12，12)11．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1=√3．底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，AA 1与AB 、AD 的所成角均为60°，下列说法中正确的是（）A ．BD 1→=AD →−AB →+AA 1→B ．AC 1→=AB →+AD →+AA 1→C ．∠C 1AC ＝30°D ．|AC 1→|=√6+2√312．已知点P 、Q 是圆O ：x 2+y 2＝5上的两个动点，点A 是直线l ：x +y ﹣4＝0上的一定点，若∠P AQ 的最大值为90°，则点A 的坐标可以是（） A ．（1，3）B ．（2，2）C ．（3，1）D ．（4，0）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0，圆C 的弦AB 被点Q （1，0）平分，则弦AB 所在的直线方程是． 14．已知双曲线C ：x 2m−y 2=1(m ＞0)的一条渐近线为√2x +my =0，则C 的焦距为． 15．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事修．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：√(x −a)2+(y −b)2可以转化为平面上点M （x ，y ）与点N （a ，b ）的距离．结合上述观点，可得√x 2−2x +5−√x 2+1的最大值为．16．已知点F 1，F 2分别是椭圆C ：y 2a 2+x 2b2=1(a ＞b ＞0)的上下焦点，点M 为直线y =a 2b 上一个动点．若∠F 1MF 2的最大值为30°，则椭圆C 的离心率为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，|AC |＝|BC |＝|CC 1|＝2．（1）求证：AB 1⊥BC 1；（2）求点C 1到直线AB 1的距离．18．（12分）已知椭圆x 22+y 2=1的左焦点为F 1，直线l ：y ＝x ﹣1与椭圆C 交于A 、B 两点．（1）求线段AB 的长；（2）求△ABF 1的面积．19．（12分）如图所示，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，CD ⊥AD ，AE ⊥底面ABCD ，AE ∥CF ，AD ＝3，CD ＝BC ＝AE ＝2，CF ＝1．（1）求证：BF ∥平面ADE ；（2）求直线BF 与直线CE 所成角的余弦值．20．（12分）已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，斜率为1的直线l 与C 在第一、四象限的交点分别为A 、B ，与x 轴的交点为P ．（1）当|AF |+|BF |＝10时，求点P 的坐标；（2）设AP →=λPB →，若|AB |＝12√2，求λ的值．21．（12分）如图，在三棱锥S ﹣ABC 中，面SAB ⊥面ABC ，AB ⊥BC ，△SAB 为等腰直角三角形，∠ASB ＝90°，√2AB ＝BC ＝2，E 为线段SB 上一动点．（1）若点E 为线段SB 的三等分点（靠近点S ），求点B 到平面ACE 的距离；（2）线段SB 上是否存在点E （不与点S 、点B 重合），使得直线BE 与平面ACE 的所成角的余弦值为√2211．若存在，请确定E 点位置并证明；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知△ABC，B（﹣2，0），C（2，0），AB与AC两边上中线长的差的绝对值为3√3．（1）求△ABC重心的轨迹G方程；（2）若E(−√3，0)，F(√3，0)，点Q在直线x=32上，连结EQ，FQ，与轨迹G的y轴右侧部分交于M，N两点，求点E到直线MN距离的最大值．2023-2024学年浙江省温州市环大罗山联盟高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知直线l ：y =−√33x ，则该直线倾斜角的度数为（） A ．120°B ．150°C ．135°D ．60°解：已知直线斜率k =−√33，令直线倾斜角为θ（0°≤θ＜180°），则tanθ=−√33，解得θ＝150°．故选：B ．2．已知平面α的法向量为n →=(4，−4，8)，AB →=(−1，1，−2)，则直线AB 与平面α的位置关系为（） A ．AB ⊂αB ．AB ⊥αC ．AB 与α相交但不垂直D ．AB ∥α解：根据题意，n →=(4，−4，8)，AB →=(−1，1，−2)，则有n →=−4AB →，即n →∥AB →，又n →是平面α的法向量，所以AB ⊥α．故选：B ．3．已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝4x 上，则这个等边三角形的边长为（） A ．8√3B ．4√2C ．4√3D ．3√2解：由题意，依据抛物线的对称性，及等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝4x 上，可设另外两个顶点的坐标分别为(m 24，m)，(m 24，−m)(m ＞0)， ∴tan30°=√33=mm 24，解得m=4√3，故这个等边三角形的边长为2m =8√3．故选：A ．4．已知半径为2的圆经过点（3，4），则其圆心到原点的距离最小值为（） A ．1B ．2C ．3D ．4解：如图所示，半径为2的圆经过点（3，4），可得该圆的圆心轨迹是（3，4）为圆心，2为半径的圆，所以当圆心到原点的距离的最小时，连结OB ，A 在OB 上，因为AB ＝2，此时距离最小，由OB ＝5，得OA ＝3，即圆心到原点距离的最小值是3．故选：C ．5．已知直线l ：y ＝x +m 与椭圆C ：x 24+y 23=1有公共点，则m 的取值范围是（）A ．[−√7，√7]B ．[−√6，√7]C ．[−√6，√6]D ．[−2√2，2√2]解：联立{y =x +mx 24+y 23=1，消去y 得，7x 2+8mx +4m 2﹣12＝0，∵直线与椭圆有公共点，∴Δ＝64m 2﹣4×7×（4m 2﹣12）≥0，解得−√7≤m ≤√7，即m 的取值范围为[−√7，√7]．故选：A ．6．已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4和两点A （a ，0），B （﹣a ，0）（a ＞0），若圆C 上有且仅有一点P ，使得∠APB ＝90°，则实数a 的值是（） A ．2−√2B ．2+√2C ．2−√2或2+√2D ．√2解：根据题意，圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4，其圆心为C （1，1），半径r ＝2，由两点A （a ，0），B （﹣a ，0）（a ＞0），可得以AB 为直径的圆的方程为x 2+y 2＝a 2，设该圆为圆O ，其圆心为O （0，0），半径R ＝a ，若点P 满足∠APB ＝90°，则P 在圆x 2+y 2＝a 2上，又由圆C 上有且只有一点P 使得∠APB ＝90°，则圆C 与圆x 2+y 2＝a 2相切，则有|OC |2＝（0﹣1）2+（0﹣1）2＝（2﹣a ）2或|OC |2＝（0﹣1）2+（0﹣1）2＝（2+a ）2，又因为a ＞0，解得a =2−√2或a =2+√2．故选：C ．7．在等腰直角△ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 的中点，光线从点P 出发，沿与AB →所成角为θ的方向发射，经过BC ，CA 反射后回到线段PB 之间（包括端点），则tan θ的取值范围是（） A ．[1，2]B ．[2，3]C ．[4，5]D ．[3，4]解：建立直角坐标系如图所示，A （0，0），B （4，0），C （0，4），P （2，0），则直线BC ：x +y ＝4，由题光线从点P 出发，沿光线路径依次为PE ，EF ，FG 其中E ，F ，G 分别为光线与对应边交点，设G （t ，0），2≤t ≤4，点G （t ，0）关于直线AC 对称点为G 1（﹣t ，0），设点P （2，0）关于直线BC 对称点为P 1（m ，n ），根据对称，可得{nm−2=1m+22+n 2=4⇒⇒{m =4n =2⇒⇒P 1(4，2)，因为光线与AB →所成角为θ的方向发射，即∠EPB ＝θ，令k ＝tan θ，k 即为直线PE 斜率，则直线PE 方程为y ＝k （x ﹣2），则与BC 联立{y =k(x −2)x +y =4⇒⇒{x =2+21+ky =2k 1+k⇒⇒E(2+21+k ，2k 1+k )，由光线反射的性质与光路可逆性可知，P 1，E ，F ，G 1四点共线，则直线P 1E 方程为y =2k 1+k−221+k−2(x −4)+2⇒y =1k (x −4)+2，令y ＝0，得﹣t ＝4﹣2k ⇒t ＝2k ﹣4∈[2，4]⇒3≤k ≤4，所以tan θ的取值范围为[3，4]．故选：D ．8．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，棱长为2，平面α经过点A ，且满足直线AA 1与平面α所成角为45°，过点A1作平面α的垂线，垂足为H，则CH长度的取值范围为（）A．[√10−4√2，√10+4√2]B．[√10，√10+4√2]C．[√6，√10]D．[√10，√14]解：如图所示，连接A1H，因为A1H⊥α，所以A1H⊥AH，又因为直线AA1与平面α所成角为45°，即∠A1AH＝45°，所以AH=√2，所以H在如图所示的圆锥底面上，所以CH2=CA2+AH2+2CA×AH×cos∠CAA1，易知CA=2√2，∠CAA1∈[45°，135°]，所以CH2＝10+8cos∠CAA1∈[10−4√2，10+4√2]，所以CH∈[√10−4√2，√10+4√2]．故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知直线l1：x+my﹣1＝0，l2：mx+y﹣1＝0，则下列说法正确的是（）A．若l1∥l2，则m＝±1B．当l1∥l2时，两条平行线之间的距离为√2C．若l1⊥l2，则m＝0D．直线l2过定点（0，1）解：对于A，若m＝1，则l1：x+y﹣1＝0，l2：x+y﹣1＝0，可得l1与l2重合，故A错误；对于B，当l1∥l2时，则{1×1−m 2=0m≠1，解得m＝﹣1，此时l1：x﹣y﹣1＝0，l2：x﹣y+1＝0，所以两条平行线之间的距离为√2=√2，故B正确；对于C，若l1⊥l2，则1×m+m×1＝0，解得m＝0，故C正确；对于D，由l2：mx+（y﹣1）＝0可得直线l2过定点（0，1），故D正确．故选：BCD ．10．向量a →=(m ，1，0)，b →=(2，1，1)，则下列说法正确的是（） A ．∃m ∈R ，使得a →∥b →B ．若|a →|=√5，则m ＝±2 C ．若a →⊥b →，则m =−12D ．当m ＝1时，a →在b →方向上的投影向量为(1，12，12)解：对于A ，若a →∥b →，则∃λ∈R ，使a →=λb →，即{m =2λ1=λ0=λ，显然无解，故A 错误；对于B ，若|a →|=√5，则|a →|2=m 2+1=5，解得m ＝±2，故B 正确；对于C ，若a →⊥b →，则a →⋅b →=2m +1=0，解得m =−12，故C 正确；对于D ，若m ＝1，得a →=(1，1，0)，则a →在b →方向上的投影向量为a →⋅b→|b →|2⋅b →=2+122+12+12⋅b →=12(2，1，1)=(1，12，12)，故D 正确．故选：BCD ．11．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1=√3．底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，AA 1与AB 、AD 的所成角均为60°，下列说法中正确的是（）A ．BD 1→=AD →−AB →+AA 1→B ．AC 1→=AB →+AD →+AA 1→C ．∠C 1AC ＝30°D ．|AC 1→|=√6+2√3解：根据平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1=√3．底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，AA 1与AB 、AD 的所成角均为60°，利用向量的线性运算，对于A ：BD 1→=BC →+CC 1→+C 1D →=AD →−AB →+AA 1→，故A 正确；对于B ：AC 1→=AB →+BC →+CC 1→=AB →+AD →+AA 1→，故B 正确；对于C ：由于AC →=AB →+BC →，故|AC →|=|AB →+BC →|，所以|AC →|2=|AB →+BC →|2=1+1+2×1×1×12=3，整理得|AC →|=√3，由于AC 1→=AB →+BC →+CC 1→，所以|AC 1→|2=|AB →+BC →+CC 1→|2=1+1+3+1+2√3，故|AC 1→|=√6+2√3，所以cos∠C 1AC =AC →⋅AC 1→|AB →||AC 1|→=3+3√3×√6+2√3，故C 错误．故选：ABD ．12．已知点P 、Q 是圆O ：x 2+y 2＝5上的两个动点，点A 是直线l ：x +y ﹣4＝0上的一定点，若∠P AQ 的最大值为90°，则点A 的坐标可以是（） A ．（1，3）B ．（2，2）C ．（3，1）D ．（4，0）解：当点A 确定时，AP ，AQ 与圆相切时∠P AQ 最大，当最大值为90°时，四边形APQO 为正方形，此时|AO |=√10，设A 点坐标为（m ，4﹣m ），则（4﹣m ）2+m 2＝10，解得m ＝1或m ＝3，故点A 的坐标为（1，3）或（3，1）．故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0，圆C 的弦AB 被点Q （1，0）平分，则弦AB 所在的直线方程是 y ＝﹣x +1 ．解：圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0可化为：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝4，圆心为C （2，1），半径为2，因为圆C 的弦AB 被点Q （1，0）平分，所以CQ ⊥AB ，其中k CQ =1−02−1=1，故k AB ＝﹣1，所以弦AB 所在的直线方程是y ＝﹣（x ﹣1），即y ＝﹣x +1．故答案为：y ＝﹣x +1． 14．已知双曲线C ：x 2m−y 2=1(m ＞0)的一条渐近线为√2x +my =0，则C 的焦距为 2√3 ．解：由双曲线C ：x 2m−y 2=1(m ＞0)得a 2＝m ，b 2＝1，又其渐近线为√2x +my =0，即y =−√2m x ， ∴(−√2m )2=1m ，解得m ＝2，∴C ：x 22−y 2=1，∴焦距为2√2+1=2√3．故答案为：2√3．15．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事修．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：√(x −a)2+(y −b)2可以转化为平面上点M （x ，y ）与点N （a ，b ）的距离．结合上述观点，可得√x 2−2x +5−√x 2+1的最大值为 √2 ．解：√x 2−2x +5−√x 2+1=√(x −1)2+(0−2)2−√(x −0)2+(0−1)2，可转化成x 轴上一点P （x ，0）到点M （1，2）的距离与到点N （0，1）的距离之差， |PM|−|PN|≤|MN|=√(1−0)2+(2−1)2=√2，所以√x 2−2x +5−√x 2+1的最大值为√2．故答案为：√2．16．已知点F 1，F 2分别是椭圆C ：y 2a 2+x 2b 2=1(a ＞b ＞0)的上下焦点，点M 为直线y =a 2b 上一个动点．若∠F 1MF 2的最大值为30°，则椭圆C 的离心率为√22．解：根据对称性，不妨设点M 在第一象限，且坐标为(m ，a 2b )(m ＞0)，如图：记直线y =a 2b与y 轴的交点为N ，设∠F 2MN ＝α，∠F 1MN ＝β，则∠F 1MF 2＝β﹣α，由于F 1（0，﹣c ），F 2（0，c ），故|NF 1|=a 2b +c ，|NF 2|=a 2b −c ，所以tanα=a 2b−c m ，tanβ=a2b +c m，所以tan ∠F 1MF 2＝tan （β﹣α）=2cm 1+(a 2b )2−c 2m2=2mcb2m 2b 2+a 4−b 2c 2=2cb2mb 2+a 4−b 2c 2m，因为m ＞0，所以mb 2+a 4−b 2c 2m≥2√b 2(a 4−b 2c 2)，当且仅当mb 2=a 4−b 2c 2m 时等号成立，即m 2=a 4−b 2c 2b2时等号成立，所以tan ∠F 1MF 2=2cb2mb 2+a 4−b 2c 2m≤2cb22√b (a 4−b c 2)=tan30°=√33，整理得4c 4﹣4a 2c 2+a 4＝0，所以4e 4﹣4e 2+1＝0，得e 2=12，所以e =√22，即椭圆C 的离心率为√22．故答案为：√22．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，|AC |＝|BC |＝|CC 1|＝2．（1）求证：AB 1⊥BC 1；（2）求点C 1到直线AB 1的距离．解：（1）证明：根据题意，可建系如图，则A （2，0，0），B （0，2，0），B 1（0，2，2），C 1（0，0，2）， ∵AB 1→⋅BC 1→=(−2，2，2)⋅(0，−2，2)=0，∴AB 1⊥BC 1．（2）∵B 1C 1→=(0，−2，0)，AB 1→=(−2，2，2)，∴|cos ＜B 1C 1→，AB 1→＞|=|B 1C 1→⋅AB 1→||B 1C 1→||AB 1→|=42×2√3=√33，∴sin ＜B 1C 1→，AB 1→＞=√63， ∴点C 1到直线AB 1的距离为：|B 1C 1→|⋅sin ＜B 1C 1→，AB 1→＞=2×√63=2√63． 18．（12分）已知椭圆x 22+y 2=1的左焦点为F 1，直线l ：y ＝x ﹣1与椭圆C 交于A 、B 两点．（1）求线段AB 的长；（2）求△ABF 1的面积．解：（1）联立直线与椭圆方程得{x 22+y 2=1y =x −1⇒32x 2−2x =0，解得x 1=0，x 2=43，所以A(0，−1)，B(43，13)，所以|AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=4√23；（2）由题可知，左焦点F 1（﹣1，0），所以点F 1到直线l ：x ﹣y ﹣1＝0的距离为d =|−2|2=√2，故S △ABF 1=12|AB|⋅d =12×4√23×√2=43．19．（12分）如图所示，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，CD ⊥AD ，AE ⊥底面ABCD ，AE ∥CF ，AD ＝3，CD ＝BC ＝AE ＝2，CF ＝1．（1）求证：BF ∥平面ADE ；（2）求直线BF 与直线CE 所成角的余弦值．（1）证明：如图所示，以C 为原点，CD 方向为x 轴正半轴，CB 方向为y 轴正半轴，CF 方向为z 轴正半轴建立空间直角坐标系，则A （2，3，0），B （0，2，0），C （0，0，0），D （2，0，0），E （2，3，2），F （0，0，1），∵BF →=BC →+CF →，BC →=23AD →，CF →=12AE →，∴BF →=23AD →+12AE →，又∵BF ⊄平面ADE ， ∴BF ∥平面ADE ；（2）解：由（1）知BF →=(0，−2，1)，CE →=(2，3，2)，则|BF →|=√5，|CE →|=√17，BF →⋅CE →=0×2+(−2)×3+1×2=−4，则|cos ＜CE →，BF →＞|=|CE →⋅BF →||CE →||BF →|=417×5=4√8585，∴直线BF 与直线CE 所成角的余弦值为4√8585．20．（12分）已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，斜率为1的直线l 与C 在第一、四象限的交点分别为A 、B ，与x 轴的交点为P ．（1）当|AF |+|BF |＝10时，求点P 的坐标；（2）设AP →=λPB →，若|AB |＝12√2，求λ的值．解：（1）设P （m ，0）（m ＞0），则l AB ：y ＝x ﹣m ，由{y =x −m y 2=4x ⇒x 2−(2m +4)x +m 2=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+y 1＝2m +4，因为|AF |+|BF |＝x 1+x 2+2＝10，所以x 1+x 2＝2m +4＝8，解得m ＝2，即P 点坐标为（2，0）；（2）由①知{x 1+x 2=2m +4x 1x 2=m 2，所以|AB|=√2|x 1−x 2|=√2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√2⋅√16m +16=12√2，解得m ＝8，所以l AB ：y ＝x ﹣8，联立{y =x −8y 2=4x ，解得A （16，8），B （4，﹣4），所以y 1＝﹣2y 2，即AP →=2PB →，所以λ＝2．21．（12分）如图，在三棱锥S ﹣ABC 中，面SAB ⊥面ABC ，AB ⊥BC ，△SAB 为等腰直角三角形，∠ASB ＝90°，√2AB ＝BC ＝2，E 为线段SB 上一动点．（1）若点E 为线段SB 的三等分点（靠近点S ），求点B 到平面ACE 的距离；（2）线段SB 上是否存在点E （不与点S 、点B 重合），使得直线BE 与平面ACE 的所成角的余弦值为√2211．若存在，请确定E 点位置并证明；若不存在，请说明理由．解：（1）如图，取AB 中点O ，以点O 为原点，OA 所在直线为x 轴，在平面ABC 中，过O 作AB 的垂线为ylm ，OS 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则A(√22，0，0)，B(−√22，0，0)，C(−√22，2，0)，S(0，0，√22)， ∵点E 为线段SB 的三等分点（靠近点S ），∴E(−√26，0，√23)，∴BE →=(√23，0，√23)，设面ACE 的法向量为n →=(x ，y ，z)，AE →=(−2√23，0，√23)，AC →=(−√2，2，0)，则{n →⋅AE →=−√2x +2y =0n →⋅AC →=−2√23x +√23z =0，取y ＝1，得n →=（√2，1，2√2）， ∴点B 到平面ACE 的距离为d =|BE →⋅n →|n →||=2√1111．（2）点E 为线段SB 的三等分点（靠近点S ）或点E 为线段SB 的十五等分点（靠近点S ）．理由如下：∵点E 是线段SB 上的点，设SE →=λSB →=(−√22λ，0，−√22λ)(0＜λ＜1)，∴E （−√22λ，0，√22（1﹣λ）），BE →=（√22（1﹣λ），0，√22（1﹣λ）），设面ACE 的法向量为n →=(x ，y ，z)，AE →=(−√22(1+λ)，0，√22(1−λ))，AC →=(−√2，2，0)，∴{n →⋅AE →=−√2x +2y =0n →⋅AC →=−√22(1+λ)x +√22(1−λ)z =0，∴n →=(1−λ，√22(1−λ)，1+λ)，设直线BE 与平面ACE 的夹角为θ， ∵cosθ=√2211，∴sinθ=3√1111，sinθ=|BE →⋅n→|BE →|⋅|n →||=√22(1−λ)2+√22(1−λ)(1+λ)(1−λ)√32(1−λ)2+(1+λ)2=√2√32(1−λ)2+(1+λ)2=3√1111，两边同时平方，化简可得45λ2﹣18λ+1＝0，解得λ1=13，λ2=115， ∴点E 为线段SB 的三等分点（靠近点S ）或点E 为线段SB 的十五等分点（靠近点S ）． 22．（12分）已知△ABC ，B （﹣2，0），C （2，0），AB 与AC 两边上中线长的差的绝对值为3√3．（1）求△ABC 重心的轨迹G 方程；（2）若E(−√3，0)，F(√3，0)，点Q 在直线x =32上，连结EQ ，FQ ，与轨迹G 的y 轴右侧部分交于M ，N 两点，求点E 到直线MN 距离的最大值．解：（1）设AB 与AC 的中点为D ，H ，则由题意可得||DC|−|HB||=3√3，所以由重心性质得||GC|−|GB||=2√3(2√3＜4)，由双曲线的定义可知G 的轨迹为双曲线，易得2a =2√3，2c =4，则b 2＝c 2﹣a 2＝1，所以△ABC 重心G 的轨迹方程为x 23−y 2=1(x ≠±√3)；（1）设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，l EM ：y =1x 1+√3+√3)，令x =32，得y Q =(32+√3)y 1x 1+3，同理由l EN 可得：y Q =(32−√3)y 2x 2−√3，所以(32+√3)y x 1+√3=(32−√3)y x 2−√3，两边同时平方可得(32+√3)2y 2(x 1+√3)2=(32−√3)2y 2(x 2−√3)2，①又由x 123−y 12=1，可得y 12=x 123−1，同理y 22=x 223−1，代入①式得(32+√3)x 1−√3x 1+3=x 2+√3x 2−3(32−√3)2，两边交叉相乘化简可得7（x 1+x 2）＝4x 1x 2+12，② 当l NM 斜率存在时，可设直线为y ＝kx +m ，与x 23−y 2=1联立，可得（1﹣3k 2）x 2﹣6kmx ﹣3m 2﹣3＝0，由根与系数关系可得{x 1+x 2=6km1−3k2x 1x 2=−3m 2−31−3k2，代入②式得6k 2+7km +2m 2＝0，解得k =−12m 或k =−23m ，当k =−12m 时，直线l NM ：y =−12mx +m 过定点R （2，0），当k =−23m 时，直线l NM ：y =−23mx +m ，过定点(32，0)，由32＜√3显然不成立，舍去，当l NM斜率不存在时，则直线l NM：x＝2，过点R（2，0），综上，直线MN恒过定点R（2，0），由几何性质易得：点E到直线MN的距离d≤|ER|=2+√3，即点E到直线MN距离的最大值为2+√3．。

浙江省温州中学高二数学上学期期中试题理

温州中学2011学年第一学期期中考试高二数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．使1x >成立的一个必要不充分条件是 ( ▲ ) A ．2x > B ． 0x > C ．12x ≤< D ．以上答案均不对2．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，下列命题中正确的是( ▲ )A ．若α⊥,m βα⊂，则m ⊥βB ．若m αγβγαβ⊥⊥⋂=，，，则m ⊥γC ．若α,γβ⊥γ⊥,则α∥βD ．若//m n m n αββγ⋂=⋂=，，，则α∥γ3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ▲ ) A ．2 B ．1 C ．23 D ．134．已知双曲线2212y x -=与直线1y x =+交于两点A B 、。

则AB = ( ▲ )A ．．． 5．抛物线)0(22>=p px y 上有),,(),,(2211y xB y x A ),(33y xC 三点，F 是它的焦点，若CF BF AF ,, 成等差数列，则 ( ▲ ) A ．321,,x x x 成等差数列 B ．231,,x x x 成等差数列C ．321,,y y y 成等差数列D ．231,,y y y 成等差数列6．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，则AC 1和平面BB 1C 1C 所成角的余弦值为( ▲ ) A ．410 B ．66 C ．26 D ．2107．已知椭圆221x y m n+=满足条件：,,m n m n +成等差数列，则椭圆离心率为 ( ▲ )ＡＢＣ.12 Ｄ.8．如图，在三棱锥P ABC -中，PA PB =， PA PB ⊥，30BAC ∠=︒，平面PAB ⊥平面ABC . 则二面角P AC B --的大小余弦值（▲ ）Ａ.5 Ｂ.3Ｃ.4 Ｄ.49．若12F F 、是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与椭圆22195x y += 的共同焦点，若点P 是两曲线的一个交点，且12PF F ∆为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是 ( ▲ )A ．0x = B 0y ±= C ．0x = D 0y ±=10．经过椭圆22143x y +=的右焦点任意作弦AB ，过A 作直线:4l x =的垂线AM ，垂足为M ，则直线BM 必经过点 ( ▲ ) A ．()2,0 B ．5(,0)2 C ．()3,0 D ．7(,0)2二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．已知命题p ： ∃x∈[1,2]，x 2－a≥0；命题q ：∀x∈R，x 2－a≥0，若命题“p ∧q”是假命题，p ∨q 是真命题，则实数a 的取值范围为____▲_____12．已知三棱锥P ABC -的各条棱长都相等，则二面角B-PA-C 大小的余弦值是__▲_13．已知双曲线 (a>0，b>0)，若过右焦点F 且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 ▲14．已知抛物线24y x =的弦AB 的中点的横坐标为2，则AB 的最大值为 ▲三、解答题：本大题共4小题；共44分。

浙江省温州市2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年浙江省温州市高二年级上学期期中考试数学试题（答案在最后）一、单选题（本大题共8题，每题5分，共40分）1. 设集合{|(5)0}A x x x =-<，{|01}B x x =<<，则()R A B ⋂等于( )A. {|15}x x <B. {|1}x xC. {|5}x x <D. {|15}x x <2. 若a ，b R ∈，则“复数z a bi =+为纯虚数(i 是虚数单位)”是“0b ≠”的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件3. 向量a ，b 分别是直线1l ，2l 的方向向量，且(1,3,5)a =，(,,2)b x y =，若12//l l ，则a b ⋅=( )A. 12B. 14C. 16D. 184. 已知定义域为R 的奇函数()f x ，满足(1)(1)f x f x +=-，且当[0,1]x ∈时，()21xf x =-，则(7)f 的值为( )A. 1-B. 0C. 1D. 25. 若圆锥的表面积为3π，其侧面展开图为一个半圆，则下列结论正确的为( )A. 圆锥的母线长为1B. 圆锥的底面半径为2C. D. 圆锥的侧面积为π6. 在三棱锥D ABC -中，AC BD =，且AC BD ⊥，E ，F 分别是棱CD ，AB 的中点，则EF 和AC 所成的角等于( )A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒7. 已知lg 2a =， 1.52b -=，2023sin8c π=，则( ) A. c b a >> B. b a c >> C. a b c >> D. c a b >>8. 在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足11111B P xB A yBC zB D =++，且1x y z ++=，直线1B P 与平面1ACD 所成角为3π，若二面角1P AD B --的大小为θ，则tan θ的最大值是( )A. B.C.D. 二、多选题（本大题共4题，每题5分，共20分）9. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的有( )A. 若//m β，//n β，m ，n α⊂，则//αβB. 若n α⊥，m α⊥，则//m nC. 若//m n ，n α⊂，则//m αD. 若m n ⊥，n α⊥，m α⊂/，则//m α10. 已知2,0,()1,0x x f x x ⎧<=⎨⎩，对于a ∀，b R ∈，下述结论正确的是( )A. (2022)1f =B. ()()()f ab f a f b =+C. ()()()f a b f a f b +D. ()()()f ab f a f b =11. 已知1F ，2F 为双曲线22:13y C x -=的两个焦点，P 为双曲线C 上任意一点，则( )A. 12||||PF PF -=B. 21||23PF PF +C. 双曲线C 的离心率为3D. 双曲线C 的渐近线方程为3y x =±12. 在正三棱锥P ABC -中，2AB =，PA a =，E ，F 分别为BC ，PC 的中点，若点Q 是此三棱锥表面上一动点，且QF PE ⊥，记动点Q 围成的平面区域的面积为S ，三棱锥P ABC -的体积为V ，则( )A. 当a =3V =B. 当2a =时，4V =C. 当a =2S =D. 当2a =时，4S =三、填空题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 将函数2sin()3y x π=+的图象向右平移(0)m m >个单位长度后的图象过原点，则m 的最小值是__________.14. 若点(2,8)在幂函数()bf x ax c =+的图象上，则a b c ++的值为__________. 15. 已知四面体ABCD 中，112AB AD BC ===，AB ⊥平面ACD ，CD ⊥平面ABD ，则四面体ABCD 外接球的半径是__________16. 已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点，P 是椭圆C 上一点，若线段1PF 上有且只有中点Q 满足1||2||(QF QO =其中O 是坐标原点)，则椭圆C 的离心率是__________.四、解答题（本大题共6题，共70分）17. 已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点(1,0)A -，(1,2).B(1)求圆C 的标准方程;(2)若过点1(,1)2P 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且||23MN =，求直线l 的方程.18. 已知函数22()log log .24x x f x =⋅ (1)求函数()f x 的值域;(2)若对任意的[2,4]x ∈，不等式2(2)log 40f x a x -⋅+恒成立，求实数a 的取值范围.19. 某校对2022学年高二年级上学期期中数学考试成绩(单位：分)进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照[30,50),[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,150]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：(1)估计该校高二年级上学期期中数学考试成绩的第80百分位数;(2)为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在[50,70)和[70,90)的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在[50,70)内的概率.20. 已知四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB BC ⊥，4AB PA ==，2BC CD ==，26PB =2 2.PD =(1)求证：;AD BP ⊥(2)求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值.21. 在①(sin sin cos )cos 0b B C C c C +++=，②sin(2)cos 2sin 1A B B A ++-=这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知ABC 的内角A ，B ，C 的所对的边分别为a ，b ，c ，__________.(1)若6B π=，求;A(2)求cos cos cos A B C ++的最大值.22. 已知点P 在圆22:6O x y +=上运动，过点P 作x 轴的垂线段PQ ，Q 为垂足，动点M 满足3.PQ MQ =(1)求动点M 的轨迹方程;E(2)过点(0,1)的动直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，与圆O 交于C ，D 两点， ()i 求||||AB CD ⋅的最大值;()ii 是否存在定点T ，使得TA TB ⋅的值是定值?若存在，求出点T 的坐标及该定值;若不存在，请说明理由.答案和解析1.【答案】D【解析】解：由(5)0x x -<，解得0 5.{|05}.x A x x <<∴=<<{|0RB x x =或1}x ，(){|15}.R A B x x ∴⋂=<2.【答案】B【解析】解：若复数z a bi =+为纯虚数0a ⇔=，且0b ≠，0a =，且0b ≠可推出0b ≠，但0b ≠，不一定得到0a =，且0b ≠，∴“复数z a bi =+为纯虚数”是“0b ≠”的充分不必要条件．3.【答案】B【解析】解：12//l l ，||a b ∴，∴存在非零实数k ，使得b ka =，，解得25x =，65y =，即26(,,2)55b =， 2626(1,3,5)(,,2)135214.5555a b ∴⋅=⋅=⨯+⨯+⨯=4.【答案】A【解析】解：()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，由函数对称性可知()f x 关于1x =对称，且(2)()f x f x +=-，由奇函数性质可知()()f x f x -=-，所以(2)()f x f x +=- 可得(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以()f x 是以4为周期的周期函数，则(7)(421)(1)(1)f f f f =⨯-=-=-当01x 时()21xf x =-，所以1(1)211f =-=，所以(7)(1) 1.f f =-=-5.【答案】C【解析】解：设圆锥的底面半径为r ，母线为l ，由于其侧面展开图是一个半圆，则12r 2l 2ππ=⨯，即2l r =，又圆锥的表面积为3π，所以表面积22rl r 3r 3S πππ=+==，解得1r =，得母线长2l =，则圆锥的高223h l r -= 所以侧面积2S rl ππ==侧，体积2113r h 13.33V ππ==⨯= 6.【答案】B【解析】解：如图所示：取BC 的中点G ，连接FG ，.EGE ，F 分别是CD ，AB 的中点， //FG AC ∴，//EG BD ，且12FG AC =，1.2EG BD = 又AC BD =，FG EG ∴=，EFG ∴∠为EF 与AC 所成的角(或其补角). AC BD ⊥，FG EG ∴⊥，90FGE ∴∠=︒，EFG ∴为等腰直角三角形，45EFG ∴∠=︒，即EF 与AC 所成的角为45.︒ 7.【答案】A【解析】解：31.522224b --===，20237sin sin sin 888c πππ===， 2222842cos12sin sin 482824c πππ--=-=⇒===，平方分析可知8422->，.c b ∴>131lg 2lg103a =<=，2 1.40.3544b =>=，.b a ∴> 综上：.c b a >>8.【答案】C【解析】解：11111B P xB A yBC zB D =++，且1x y z ++=，P ∴在平面1ACD 上，设正方体的棱长为1，则可知11B ACD -2的正四面体，可求得点1B 到平面1ACD 的距离233d =，且1B 到平面1ACD 的垂足为等边1ACD 的中心，设为1O ，连接1AO 并延长交1CD 于点O ，显然O 为1CD 和1C D 的交点，又1B P 与平面1ACD 所成角为3π，则111tan 33B O O P π==，可求得123O P =，P ∴在以1O 为圆心，半径23r =的圆上，且圆在平面1ACD 内，易证得1B D AC ⊥，11B D D C ⊥，而AC 与1D C 为平面1ACD 内两相交直线，1B D ∴⊥平面1ACD ，即可得到点1O 在直线1B D 上，又1B D ⊂平面11AB C D ，∴平面11AB C D ⊥平面1ACD ，且两个平面的交线为AO ，把两个平面抽象出来，如下图，作PM AO ⊥交AO 于M 点，过点M 作MN AD ⊥交AD 于N 点，连接MN ，平面11AB C D ⊥平面1ACD ，PM ⊂平面1ACD ，平面11AB C D ⋂平面1ACD AO =，PM ∴⊥平面11AB C D ，PM AD ∴⊥，又MN AD ⊥，MN 与PM 为平面PMN 中两相交直线，故AD ⊥平面PMN ，AD PN ∴⊥，PNM ∴∠为二面角1P AD B --的平面角，即为角θ，设AM x =，3622AO ==，得1263AO AO == 当M 与点1O 不重合时，在1Rt PMO 中，可求得22226262()()3339PM x x x =--=-+-若M 与点1O 重合时，即当6x =时，可求得123PM PO ==，也符合上式，故PM =MN AD ⊥，OD AD ⊥，//MN OD ∴，MN AMOD AO ∴=，2xOD AM MN x AO ⨯∴===，tan PMMNθ∴===令2211()()19y x x =-+-，则221[229y x=--+，当1x =，即x =时等号成立，tan 32y θ∴=⨯=故tan θ9.【答案】BD【解析】解：若//m β，//n β，m ，n α⊂时，根据面面平行的判定定理应该还需要m 、n 相交于一点，才可以得到//αβ，故A 错误；根据线面垂直的性质可知，当n α⊥，m α⊥，有//m n ，故B 正确；若//m n ，n α⊂时，根据直线与平面平行的判定定理可知，应该还需要m α⊂/，才可以得到//m α，故C 错误；直接根据线面垂直以及线线垂直的性质，可以判断当m n ⊥，n α⊥，m α⊂/时，有//m α，故D 正确．10.【答案】AC【解析】解：对于A ，(2022)1f =，A 正确.对于B ，取1a =，1b =，()(1)1f ab f ==，()()(1)(1)2f a f b f f +=+=，B 错误. 对于C ，当0a <，0b <，则0a b +<，()2a bf a b ++=，()()2a bf a f b +=，满足，当0a <，0b 时，()()()f a f b f a =，a b a +由()f x 在R 上的单调性知，()()f a b f a +，满足，当0a ，0b <时，同理满足，当0a ，0b 时，0a b +，()1f a b +=，()1f a =，()1f b =，满足，故()()()f a b f a f b +，C 正确.对于D ，取1a =-，1b =-，()(1)1f ab f ==，1()()(1)(1)4f a f b f f =--=，不满足，D 错误.11.【答案】BC【解析】解：双曲线C ：2213y x -=，则223,1,2a b c a b ===+=， P 为双曲线C 上任意一点，根据双曲线的定义可得12||||||223PF PF a -==，则12||||23PF PF -=±，故A 错误；根据向量知识集合双曲线得定义，可得121212||||||||||||||23PF PF PF PF PF PF +-=-=，当且仅当P 为实轴端点，等号成立，故B 正确；由于2c =，3a =，则双曲线C 的离心率22333c e a ===，故C 正确；因为双曲线C ：2213y x -=，则双曲线C 的渐近线方程为3y x =±，故D 错误. 12.【答案】ACD【解析】解：由题意知，直线PE 垂直于动点Q 围成的平面区域所在的平面，当2a =时，正三棱锥P ABC -的底面ABC 是边长为2的正三角形，侧面PAB 、PAC 、PBC 都是以P 为直角顶点的等腰直角三角形，则此时正三棱锥P ABC -的体积112222323A PBC V V -==⨯⨯⨯⨯=，由题意可知，动点Q 围成的平面区域为如图所示的矩形FGHI ，其中点F 、G 、H 、I 均为所在棱上的中点，且1FG IH ==，2GH FI ==12212S =⨯=A 、C 均正确；当2a =时，正三棱锥P ABC -即为棱长为2的正四面体，各个面都是边长为2的正三角形，则此时正三棱锥P ABC -的体积，由题意可知，动点Q 围成的平面区域为如图所示的三角形FGH ，其中点F 、G 分别为PC 、PB 的中点，且1FG =，72FH GH ==，则该三角形的面积为，故B 错误、D 正确.13.【答案】3π 【解析】解：平移后函数解析式为2sin()3y x m π=+-，由图象过原点，,k Z 3m k ππ-=∈，,k Z 3m k ππ=-∈，又0m >，故0k =时，m 取最小值.3π14.【答案】4【解析】解：因为()bf x ax c =+为幂函数，则1a =，0c =，即()bf x x =，又点(2,8)在函数()f x 的图象上，则28b =，解得3b =，所以130 4.a b c ++=++=15.【答案】1【解析】解：如图所示：将四面体ABCD 放到长方体中，则四面体ABCD 的外接球即为其所在的长方体的外接球， BC 为长方体的体对角线即为外接球的直径，因此，四面体ABCD 外接球的半径是1.16.【解析】解：当P 为长轴的端点时，不满足条件，故不妨设22PF m =，当Q 为中点时，则QO m =，12QF m =，14PF m =，且12623aPF PF m a m +==⇒=，在12PF F 中，222121644cos 242m c m PF F m c +-∠=⨯⨯，假设Q 不为中点，设QO t =，12QF t =，在1QF O 中，22214cos 22t c t QFO t c +-∠=⨯⨯， 22222212116444cos cos 24222m c m t c t PF F QFO m c t c+-+-∠==∠=⨯⨯⨯⨯，整理得：22223(3)0mt m c t mc -++=，又线段1PF 上有且只有中点Q 满足，故关于t 的方程两根相等，2222(3)430m c m mc ∆=+-⨯⨯=，化简得：223c m =，又3am =，求得3c e a ==17.【答案】解：(1)设圆C 的标准方程为222()x a y r -+=，其中(,0)C a ，半径为(0)r r >，记线段AB 中点为D ，则(0,1)D ，又直线AB 的斜率为1，由条件得线段AB 中垂线CD 方程为1y x =-+，由圆的性质，圆心(,0)C a 在直线CD 上，化简得1a =，所以圆心(1,0)C ，||2r CA ==，所以圆C 的标准方程为22(1)4x y -+=；(2)因为直线l 与圆C相交的弦长||MN =圆心(1,0)C 到直线l的距离1d ==，当直线l 的斜率不存在时，l 的方程12x =，此时12d =，不符合题意，舍去. 当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，则l 的方程11()2y k x -=-，即102kkx y -+-=，由题意得|1|1k d +==，解得0k =或43，故直线l 的方程为4133y x =+或1y =，即4310x y -+=或1y =，综上直线l 的方程为1y =或4310.x y -+=18.【答案】解：(1)因为()f x 定义域为(0,)+∞，则22222()(log 1)(log 2)(log )3log 2f x x x x x =--=-+，设2log ()x t t R =∈，则2231132()244y t t t =-+=---，所以()f x 值域为1[,).4-+∞ (2)因为2(2)log 40f x a x -⋅+，所以222log (log 1)log 40x x a x ⋅--+，设2log x t =，则[1,2]t ∈，原问题化为对任意[1,2]t ∈，240t t at -+-，即41a t t+-，因为441213(t t t t+-⋅-=当且仅当2t =即4x =时，取等号)，即41t t+-的最小值为3，所以 3.a 19.【答案】解：(1)由0.005200.005200.0075200.0220200.0025201a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，可得0.01a =⋅样本数据中数学考试成绩在110分以下所占比例为0.10.10.150.40.75+++=，在130分以下所占比例为0.750.20.95+=，因此，第80百分位数一定位于[110,130)内，由0.80.75110201150.950.75-+⨯=-，所以样本数据的第80百分位数约为115.(2)由题意可知，[50,70)分数段的人数为1000.110(⨯=人)，[70,90)分数段的人数为1000.1515(⨯=人).用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，则需在[50,70)内抽取2人，分别记为a ，b ，[70,90)内抽取3人，分别记为x ，y ，z ，设“从样本中抽取2人，至少有1人分数在[50,70)内”为事件A ，则样本空间为{,,,,,,,,,.ab ax ay az bx by bz xy xz yz 共包含10个样本点，而事件{,,,,,,}A ab ax ay az bx by bz =，包含7个样本点，所以7()10P A =，即抽取的这2名学生至少有1人成绩在[50,70)内的概率为71020.【答案】解：(1)在梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，4AB =，2BC CD ==，可算得22AD BD ==，所以AD BD ⊥，在PAD 中，4PA =，22PD AD ==，满足222PA AD PD =+，所以AD PD ⊥，又PD ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，且PD BD D ⋂=，所以AD ⊥平面PBD ，又因为BP ⊂平面PBD ，所以AD BP ⊥；(2)由(1)证明可知，AD ⊥平面PBD ，因为AD ⊂平面ABCD ，则平面PBD ⊥平面ABCD ，取BD 中点O ，连OP ，OC ，因为BC CD =，所以OC BD ⊥，而OC ⊂平面ABCD ，且平面PBD ⋂平面ABCD BD =，OC ⊥平面PBD ，所以OPC ∠就是PC 与平面PBD 所成的角，在BCD 中，易得2OC =，在PBD 中，26PB =，22BD PD ==，计算可得14OP =，所以22sin 4142OC OPC PC ∠===+，所以求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值为24解法2:由(1)证明可知，AD ⊥平面PBD ，因为AD ⊂平面ABCD ，则平面PBD ⊥平面ABCD ，通过计算可得23PDB π∠=，建立以DA ，DB 为x 轴，y 轴的正方向，以过D 与平面ABCD 垂直的向量为在z 轴的正方向建立如图空间直角坐标系，显然z 轴再平面PBD 中且垂直于BD ，则(0,0,0)D ，(0,22,0)B ，(0,2,6)P -，(2,2,0)C -，所以(2,22,6)PC =--，(0,2,6)DP =-，(0,22,0)DB =，设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =，则00n DP n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即取(1,0,0)n =，设直线PC 与平面PBD 所成角为θ，则||2sin 4||||PC n PC n θ⋅==⋅，所以求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值为24 21.【答案】解：(1)若选①，由正弦定理可得，sin (sin sin cos )sin cos 0B B C C C C +++=，当6B π=时，代入得，11(sin cos )sin cos 022C C C C +++=，整理可得11sin cos (sin cos )024C C C C +++=，11(sin )(cos )022C C ++=，在ABC 中，sin 0C >，所以1sin 02C +≠，所以1cos 02C +=，即1cos 2C =-，又C 为三角形内角，所以23C π=，所以.6A π= 若选②，当6B π=时，代入得，sin()cos sin 133A A ππ++-=，131sin sin 122A A A ++-=， 131sin 22A A -+=，1sin()32A π-=，又因为0A π<<，2333A πππ-<-<，所以36A ππ-=，所以.6A π=(2)若选①，因为(sin sin cos )cos 0b B C C c C +++=，所以2sin sin sin sin cos sin cos 0B B C B C C C +++=，sin (sin sin )cos (sin sin )0B B C C B C +++=， (sin sin )(sin cos )0B C B C ++=，在ABC 中，sin 0B >，sin 0C >，所以sin cos 0.B C += 选②，因为sin(2)cos 2sin 1A B B A ++-=，所以sin cos2cos sin 2cos2sin 1A B A B B A ++-=，sin (cos 21)cos sin 21cos 2A B A B B -+=-，222sin sin 2cos sin cos 2sin A B A B B B -+=，在ABC 中，sin 0B ≠，所以sin sin cos cos sin A B A B B -+=，sin cos()cos B B A C =+=-，由cos sin cos()2C B B π=-=+，及cos y x =在(0,)π上递减，可得2C B π=+，进一步得22A B π=-，所以cos cos(2)sin 22sin cos 2A B B B B π=-==，所以cos cos cos 2sin cos cos sin A B C B B B B ++=+-，设cos sin (0,1)B B t -=∈，则22sin cos 1B B t =-，2215cos cos cos 1()24A B C t t t ++=-+=--+，当12t =时，cos cos cos A B C ++最大值为5.422.【答案】解：(1)设点(,)M x y ，00(,)P x y ，因为3PQ MQ =，所以00x x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以22)6x +=，即动点M 的轨迹E 的方程为22162x y += (2)()i ①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1y kx =+，联立方程组221162y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得 22(13)630k x kx ++-=，则22(6)12(13)0k k ∆=++>恒成立，且122613k x x k +=-+，122313x x k=-+，||AB =||CD ==||||AB CD ⋅=，设2222(61)(65)(31)k k t k ++=+，则429(4)6(6)50t k t k t -+-+-=，则236(6)36(4)(5)0t t t ∆=----，得163t ，当且仅当216k =时取到，此时||||AB CD ⋅最大值是16.②当直线l 的斜率不存在时，则直线l 为0x =，可得||AB =||CD =||||AB CD ⋅=，综上，||||AB CD ⋅最大值是16.()ii 当直线l 的斜率存在时，设(,)T m n ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，可得，11221212(,)(,)()()()()TA TB x m y n x m y n x m x m y n y n ⋅=--⋅--=--+--1212()()(1)(1)x m x m kx n kx n =--++-+-， 2221212(1)()()21k x x k kn m x x m n n =++--+++-+2222(69)632113n k mk m n n k-+-=++-++，要使得上式为定值，即与k 无关，则满足60m =且6933n -=-⨯，解得0m =，0n =，即点(0,0)T ，此时2TA TB ⋅=-，当直线l 的斜率不存在时，直线l 为0x =，解得A，(0,B ，所以2TA TB ⋅=-，综上可得，存在定点(0,0)T ，使得 2.TA TB ⋅=-。

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