(完整版)解三角形三类经典题型

解三角形三类经典类型

类型一 类型二 类型三 判断三角形形状 求范围与最值 求值专题 类型一 判断三角形形状

2 2 2

例1已知△ ABC 中,bsinB=csinC,且sin A sin B sin C ,试判断三角形的形状. 解：T bsinB=csinC,由正弦定理得 sin 2 B=sin 2C ,「. sinB=sinC B=C

由sin 2A sin 2 B sin 2C 得a 2 b 2

c 2

三角形为等腰直角三角形.

例2:在厶ABC 中,若E =60 ,2 b=a+c,试判断△ ABC 的形状.

解：T2 b=a+c,由正弦定理得 2sinB=sinA+sinC,由 B=60 得 sinA+sinC= . 3 由三角形内角和定理知 sinA+sin( 120

A )= 3 ,整理得sin(A+ 30 )=1

二A+30 90，即A 60 ,所以三角形为等边三角形

2bc 整理得(a 2 b 2)(a 2 b 2 c 2)

0 • a 2 b 2或a 2 b 2 c 2

即三角形为等腰三角形或直角三角形

例4：在厶ABC 中，(1)已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状； (2)已知sinA= sin B sinC ，试判断三角形的形状.

cosB cosC

解：⑴由三角形内角和定理得 sin(B+C)=2cosBsinC

整理得sinBcosC — cosBsinC=0即sin(B — C)=0 • B=C 即三角形为等腰三角形 (2)由已知得sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC

，结合正、余弦定理得

例3:在厶ABC 中，已知

tan A tan B

2

，试判断厶ABC 的形状.

b 2

解：法1:由题意得 sin AcosB

sin B cos A ■ 2 A

sin A ■ 2 - sin B

,化简整理得 sinAcosA=sinBcosB 即 sin2A=sin2B

••• 2A=2B 或 2A+2B=n /• A=B 或 A

a

2

a 2 ,2

c b 法2：由已知得sinAcosB sin B

cos A

2

a

2

结合正、余弦定理得

b 2

2ac b b 2 2 2 c a

a 2

b 2

B

i ，•三角形的形状为等腰三角形或直角三角形.

为等腰直角三角形.

类型二求范围与最值

b c

2、在厶ABC 中, AD 为BC 边上的高线， AD= BC 角A, B , C 的对边为a , b , c ,^卜+二的最 c b

大值是

一 一 2 ,2 2 : 1 2

1 a

b +

c — a

解析 因为AD= BC= a ,由；a = bc sin 代解得sin A =厂，再由余弦定理得cos A ='

2 2 bc

2bc

2 2 2 2 2 2

a — c - a a - c

b

c ，化简整理得 (a 2 b 2 c 2

2ac 2ab

)(b c) 0

2 2

b c 即三角形为直角三角形.

例5： （2

在厶ABC 中，（1）已知a - b=ccosB — ccosA ，判断△ ABC 的形状. 若 b=asinC,c=acosB,判断△ ABC 的形状. 解: （1）由已知结合余弦定理可得

a b c

a 2 c 2

b 2

c 2

(a

b)(a 2 b 2 c 2) 0 ••• a b 或a 2 b 2

(2)

b=as inC

可知sinC 哑, a

sin A

2ac

b 2

c - 2bc

2

a

，整理得

c 2，•/三角形为等腰三角形或直角三角形 2 2 ,2

a c

b 亠

c=acosB 可知c a

整理得

2ac

b 2

c 2

a 2，即三角形 ，定是直角三角形，Z A=90 , /• sinC=sinB /-Z B=Z C,「.A ABC

例6:已知△ ABC 中, cos A -，且(a 2): b : (c 2) 5 1:2:3， 判断三角形的形状. 解：由题意令a 2 k,b 2k,c 2 3k(k 0)，则 a k 2,b 2k, c 3k 2 4

••• cos A —,由余弦定理得k

5

角三角形.

2

4 •/ a 6,b

8, c 10 •/ a

b c 即厶ABC 为直

7.在厶 ABC 中, a 、 b 、c 分别为 A B C 的对边，cos

2

-

2

匕工，则△ ABC 的形状为

2c

8.在 ABC 中，若

tan A tanB 2c b

b ,，则 A= 1、在ABC 中,

角A 、 B 、C 所对的边分别为a 、b 、

C 满足

b 2

c 2 a 2

bc ，

AB BC 0,a 仝则

2

b c 的取值范围是