多元复合函数求导法则的教学探究
多元复合函数求导法则的解题思路及方法
实例二：乘积法则的应用
总结词
乘积法则是求多元复合函数导数的常用方法之一，适 用于多个因子的乘积形式。
详细描述
乘积法则指出，若$z = uv$，则$frac{dz}{dx} = u cdot frac{du}{dx} + v cdot frac{dv}{dx}$。在解题过程中， 将复合函数表示为乘积形式，然后分别对各个因子求导， 最后将求得的导数相乘。
理解题目要求
在解题前，需要仔细阅读题目， 理解题目的要求和条件，明确解 题的目标。
分析函数结构
在解题过程中，需要仔细分析复 合函数的构成，明确内层函数和 外层函数，以便正确应用求导法 则。
逐步求导
在求导过程中，需要按照求导法 则逐步对复合函数进行求导，注 意每一步的运算和符号。
对实际解题方法的思考
详细描述
根据多元函数的对称性质，如轮换对称、反对称等，可以 简化求导过程，避免重复计算。
参数法
总结词
将多元复合函数中的参数视为自变量，对参数求导后再 与原函数求导数。
详细描述
首先将多元复合函数中的参数视为自变量，然后对参数 进行求导，得到参数的导数，最后将参数的导数与原函 数进行链式求导，得到多元复合函数的导数。
06 总结与思考
求导法则的总结
链式法则
对于复合函数，求导时需要将外层函数的导 数乘以内层函数的导数。
商的导数法则
对于两个函数的商，其导数为商的分子与分 母的导数的商。
乘积法则
对于两个函数的乘积，其导数为两个函数的 导数的乘积。
幂函数导数法则
对于幂函数，其导数为幂函数与指数的乘积。
对解题思路的反思
。
04 实际解题方法
Байду номын сангаас
多元复合函数的求导法则
第四节 多元复合函数的求导法则教学目的：使学生熟练掌握多元复合函数的求导法则；了解函数全微分形式不变性:。
教学重点：复合函数的中间变量均为多元函数的求导法则教学过程：一、 复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理1 如果函数u =ϕ(t )及v =ψ(t )都在点t 可导, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(t ), ψ(t )]在点t 可导, 且有dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=. 简要证明1: 因为z =f (u , v )具有连续的偏导数, 所以它是可微的, 即有 dv vz du u z dz ∂∂+∂∂=. 又因为u =ϕ(t )及v =ψ(t )都可导, 因而可微, 即有d t d t d u d u =, dt dtdv dv =, 代入上式得dt dt dv v z dt dt du u z dz ⋅∂∂+⋅∂∂=dt dtdv v z dt du u z )(⋅∂∂+⋅∂∂=, 从而 dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=. 简要证明2: 当t 取得增量∆t 时, u 、v 及z 相应地也取得增量∆u 、∆v 及∆z . 由z =f (u , v )、u =ϕ(t )及v =ψ(t )的可微性, 有)(ρo v v z u u z z +∆∂∂+∆∂∂=∆)()]([)]([ρo t o t dtdv v z t o t dt du u z +∆+∆∂∂+∆+∆∂∂= )()()()(ρo t o vz u z t dt dv v z dt du u z +∆∂∂+∂∂+∆⋅∂∂+⋅∂∂=, to t t o v z u z d t d v v z d t d u u z t z ∆+∆∆∂∂+∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=∆∆)()()(ρ, 令∆t →0, 上式两边取极限, 即得dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=. 注:0)()(0)()()(lim )(lim 222200=+⋅=∆∆+∆⋅=∆→∆→∆dt dv dt du t v u o t o t t ρρρ. 推广: 设z =f (u , v , w ), u =ϕ(t), v =ψ(t ), w =ω(t ), 则z =f [ϕ(t), ψ(t ), ω(t )]对t 的导数为:dtdw w z dt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂+∂∂=. 上述dtdz 称为全导数.二、 复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理2 如果函数u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y )都在点(x , y )具有对x 及y 的偏导数, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(x , y ), ψ(x , y )]在点(x , y )的两个偏导数存在, 且有x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂. 推广: 设z =f (u , v , w ), u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y ), w =ω(x , y ), 则x w w z x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, yw w z y v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂. 讨论:(1)设z =f (u , v ), u =ϕ(x , y ), v =ψ(y ), 则=∂∂xz ？=∂∂y z ？ 提示: x u u z x z ∂∂⋅∂∂=∂∂, dydv v z y u u z y z ⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂. (2)设z =f (u , x , y ), 且u =ϕ(x , y ), 则=∂∂xz ？=∂∂y z ？ 提示: x f x u u f x z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂, yf y u u f y z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂. 这里x z ∂∂与x f ∂∂是不同的, xz ∂∂是把复合函数z =f [ϕ(x , y ), x , y ]中的y 看作不变而对x 的偏导数, xf ∂∂是把f (u , x , y )中的u 及y 看作不变而 对x 的偏导数. y z ∂∂与y f ∂∂也朋类似的区别.三、复合函数的中间变量既有一元函数, 又有多元函数的情形定理3 如果函数u =ϕ(x , y )在点(x , y )具有对x 及对y 的偏导数, 函数v =ψ(y )在点y 可导, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(x , y ), ψ(y )]在点(x , y )的两个偏导数存在, 且有x u u z x z ∂∂⋅∂∂=∂∂, dydv v z y u u z y z ⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂.例1 设z =e u sin v , u =xy , v =x +y , 求x z ∂∂和yz ∂∂. 解 xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ =e u sin v ⋅y +e u cos v ⋅1=e x y [y sin(x +y )+cos(x +y )],yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ =e u sin v ⋅x +e u cos v ⋅1=e xy [x sin(x +y )+cos(x +y )].例2 设222),,(z y x e z y x f u ++==, 而y x z sin 2=. 求xu ∂∂和y u ∂∂. 解 xz z f x f x u ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂ y x ze xe z y x z y x sin 222222222⋅+=++++y x y x e y x x 2422s i n 22)s i n 21(2++++=.yz z f y f y u ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂ y x ze ye z y x z y x cos 222222222⋅+=++++y x y x e y y x y 2422s i n 4)c o s s i n (2+++=.例3 设z =uv +sin t , 而u =e t , v =cos t . 求全导数dtdz . 解 tz dt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂= =v ⋅e t +u ⋅(-sin t )+cos t=e t cos t -e t sin t +cos t=e t (cos t -sin t )+cos t .例4 设w =f (x +y +z , xyz ), f 具有二阶连续偏导数, 求xw ∂∂及z x w ∂∂∂2. 解 令u =x +y +z , v =xyz , 则w =f (u , v ).引入记号: u v u f f ∂∂='),(1, vu v u f f ∂∂∂='),(12; 同理有2f ',11f '',22f ''等. zf yz f y z f f yz f z z x w ∂'∂+'+∂'∂='+'∂∂=∂∂∂221212)( 2222121211f z xy f yz f y f xy f ''+''+'+''+''= 22221211)(f z xy f y f z x y f ''+'+''++''=. 注: 1211111f xy f z v v f z u u f z f ''+''=∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=∂'∂, 2221222f xy f zv v f z u u f z f ''+''=∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=∂'∂. 例5 设u =f (x , y )的所有二阶偏导数连续, 把下列表达式转换成极坐标系中的形式:(1)22)()(y u x u ∂∂+∂∂; (2)2222y u x u ∂∂+∂∂. 解 由直角坐标与极坐标间的关系式得u =f (x , y )=f (ρcos θ, ρsin θ)=F (ρ, θ),其中x =ρcos θ, y =ρsin θ, 22y x +=ρ, xy arctan =θ. 应用复合函数求导法则, 得x u x u x u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθρρ2ρθρρy u x u ∂∂-∂∂=ρθθθρs i n c o s y u u ∂∂-∂∂=, y u y u y u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθρρ2ρθρρx u y u ∂∂+∂∂=ρθθθρc o s s i n ∂∂+∂∂=u u . 两式平方后相加, 得22222)(1)()()(θρρ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂u u y u x u . 再求二阶偏导数, 得xx u x x u x u∂∂⋅∂∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂∂=∂∂θθρρ)()(22 θρθθθρρc o s )s i n c o s (⋅∂∂-∂∂∂∂=u u ρθρθθθρθs i n )s i nc o s (⋅∂∂-∂∂∂∂-u u 22222222s i n c o s s i n 2c o s ρθθρθθθρθρ∂∂+∂∂∂-∂∂=u u u ρθρρθθθ22s i n c o s s i n 2∂∂+∂∂+u u . 同理可得2222222222c o s c o s s i n 2s i n ρθθρθθθρθρ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂u u u y u ρθρρθθθ22c o s c o s s i n 2∂∂+∂∂-u u . 两式相加, 得22222222211θρρρρ∂∂++∂∂=∂∂+∂∂u u y u x u])([1222θρρρρρ∂∂+∂∂∂∂=uu .全微分形式不变性: 设z =f (u , v )具有连续偏导数, 则有全微分dv vz du u z dz ∂∂+∂∂=. 如果z =f (u , v )具有连续偏导数, 而u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y )也具有连续偏导数, 则dy yz dx x z dz ∂∂+∂∂= d y yv v z y u u z d x x v v z x u u z )()(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂= )()(dy yv dx x v v z dy y u dx x u u z ∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂= dv vz du u z ∂∂+∂∂=. 由此可见, 无论z 是自变量u 、v 的函数或中间变量u 、v 的函数, 它的全微分形式是一样的. 这个性质叫做全微分形式不变性.例6 设z =e u sin v , u =x y , v =x +y , 利用全微分形式不变性求全微分.解 dv vz du u z dz ∂∂+∂∂== e u sin vdu + e u cos v dv = e u sin v (y dx +x dy )+ e u cos v (dx +dy )=( ye u sin v + e u cos v )dx +(xe u sin v + e u cos v )dy=e xy [y sin(x +y )+cos(x +y )]dx + e xy [x sin(x +y )+cos(x +y )]dy .。
形象理解多元复合函数求导法则
形象理解多元复合函数求导法则计算机科学领域若要实现某些多元函数的求导，就必须熟练运用求导的规律。
求导法则本身就是一个难点，而多元复合函数求导法则更是一道难题。
为了更好的理解这些法则，我们需要用形象的方式来理解它们。
首先，让我们以一维函数为例来说明求导的过程。
这里假定函数为f(x)=x^2+3x+4, 也就是X的平方加3X再加4。
求导就是求出关于X的导数，也就是求出这个函数的斜率。
很显然，这个斜率的表达式是2X+3。
那么，在此基础上，多元复合函数求导法则就是把一维函数的求导过程投影到多元函数的求导法则上来。
把求导过程投影到多元函数上，我们将需要用到一个新的概念：偏导数。
偏导数就是一个函数中某个变量的导数。
比如对于一个二元函数f(x,y)=x^2+3xy+y^2，求x的偏导数就是求函数f(x,y)关于x 的导数。
从一维函数到多元函数，求导的过程就是把所有变量从一维投影到多维，并求出各个偏导数。
假设现在我们有一个三元函数f(x,y,z)=x^2+5xy+z^3，如何计算该函数的x的偏导数？我们可以把它的求导看作是一个活动流程：首先，把函数f(x,y,z)拆分成f(x)=x^2 +5xy和z^3两部分；然后，你只需要考虑第一部分的求导，也就是求f(x)的偏导数，即2x+5y；最后，将求出的f(x)和z^3两部分的偏导结果相加，就得到了f(x,y,z)关于x的偏导数2x+5y。
通过以上方法，就可以把多元复合函数求导问题转换为求一个一元函数的偏导数，从而降低复杂度。
掌握了多元复合函数求导法则，就可以快捷地求出多元函数的偏导数，从而便于分析函数的特征。
当然，每次求导都需要具体根据不同的函数来进行具体的求导操作，但是通过对求导的过程进行可视化的形象性认识，可以有效地帮助我们掌握多元复合函数求导法则，从而更好地理解多元函数的求导过程。
总而言之，多元复合函数求导法则是一个复杂的概念，但是通过形象的方式来理解它，我们就可以更好地把握它的求导过程，从而更好地分析和理解真实世界中的多元函数，从而更好地实现计算机科学领域的研究目标。
浅析多元复合函数求导法则
鱼 ：笪 ． ＋
．
ａ＇， ａ ｄ’， ａｙ
对于此种情形 ，一种最常见 的情 况是 ：复合 函数 的中间 变量 和 Ｙ本身又是 复合 函数 的 自变量．
例 ３ 设 “＝ ，Ｙ， ）＝ｅ ” ，ｚ＝ ｓｉ ．求 和 ．
解 （１）正确 画出复合 函数 关 系图．“是 和 ，Ｙ和 ｚ的 函数 ，所 以从 ｕ出发分 出三条线 ， 是 和 Ｙ的函数 ，所 以分 出两 条线．画 出如下 图所示 的复合 函数关 系图 ：
例 ４ （综合 应 用 ）若 ＝ ， ，Ｙ）和 “＝ （ ，ｙ）都 有 连
续 偏 导 数 ，求 ， ．
解 复合 函数 ＝，（“（ ，，，）， ，Ｙ）可 以看作是 ＝／（“， ，Ｗ）中 ＝ ，Ｗ＝Ｙ的特殊情形 ，这 时 ｚ＝，（“， ，Ｙ）的 ，Ｙ既 是 自变量 ，又是 中间变量 ，要特别注意 区分．
解 （１）正确画 出复 合函数关 系图． 是 “和 的函数 ， 所 以从 出发分 出两 条线 ， 和 分别是 和 Ｙ的函数 ，所 以 各分 出两条线．画出如下图所示 的复合 函数 关系图 ：
＜ ＼＼ ：
（２）一 （４）看 图写法 则 ，一元 求 导用 “ｄ”，多 元 求 导用 “ａ”， 最终 将中间变量 的表达式代入 求导结果表达式 中．
【关键词 】多元复合 函数 求导；复合 函数关 系 图
复合 函数 求 导 法 则 ：（１）正 确 画 出 复合 函 数关 系 图 ； （２）看 图写 法则 ，因变量到 某个 自变量 有几 条道 路 ，对该 自 变量 的（偏 ）导数就是几个 部分之和 ，每个部分 （对应一 条道 路 ）用 一元 链式法则求 出因变量对 该 自变量 的导数 ；（３）一 元求导用 …ｄ’，多元求 导用 “ａ”；（４）将 中间变量 的表达式 代 人求导结果表达式 中．
多元复合函数的求导解析(修改)
闽江学院数学小论文题目：多元复合函数的求导解析学生姓名：学号：系别：：化学与化学工程系年级： 2010级专业：高分子材料与工程完成日期：2010.04.30多元闽江学院化工系高分班 郭培芬 120101206113摘要 在一元函数中，复合函数的求导公式在求导时起着重要的作用，对于多元函数情形也是如此。
由于多元复合函数的中间变量和自变量往往不只一个，且复合关系也远比一元函数复杂，所以要掌握变量之间的复合关系。
关键词 复合函数求导 中间变量 自变量 复合关系由一元函数微分学得知，若函数x=g(t)在点t 可导，函数g=f(x)在其对应点x 可导,则复合函数y=f(g(t))在点t 可导，且有dy dy dx dt dx dt=⋅，现在我们把这一复合函数的求导法推广到多远函数。
我们都知道，一般刚接触到复合函数，我们都会弄不清它们的关系，而多元复合函数又比一元复合函数来得复杂。
为了直观地反映变量之间的关系，可以画出它们的复合关系图，即链式法则。
设z=f(u,v)是自变量u 、v 二元函数，而u=u(x,y),v=v(x,y)是自变量x 、y 的二元函数，则z=f(u(x,y),v(x,y))是x 、y 的复合函数，u 、v 称为中间变量。
它的复合关系图如图z u xv y从一元复合函数的求导法则推广到多元复合函数，但是多元的复合比一元复合情形复杂的多，为此我将其中间变量归结为以下几种情形：中间变量都为一元函数的情形、中间变量都为多元函数的情形、中间变量既有一元函数也有多元函数的情形、某变量既是中间变量又是自变量的情形。
1、 中间变量都为一元函数的情形1⋅定理1 如果函数()(),,,u x y v x y ϕψ==都在点x 可导，函熟(),z f u v =在对应点(),u v 有连续的偏导数，则复合函数()(),z f x x ϕψ=⎡⎤⎣⎦在点x 可导，且有dz z du z dvdx u dx x dx∂∂=⋅+⋅∂∂也称为全导数⋅⋅⋅⋅（1·1·1）证明：设当自变量x 的改变量为x ∆时，中间变量()()u x x ϕψ=和v=的改变量分别为u v ∆∆和，函数的改变了为z ∆,依条件，函数(),z f u v =可微，于是有()f fz u v u vορ∂∂∆=⋅∆+⋅∆+∂∂其中ρ其中x ∆得()z f u f v x u x v x xορ∆∂∆∂∆=⋅+⋅+∆∂∆∂∆∆()f u f v u x v x ορρ∂∆∂∆=⋅+⋅+∂∆∂∆∆ z u x()f u f v u x v x ορρ∂∆∂∆=⋅+⋅+∂∆∂∆∆ v y 因为函数()()0u x v x x ϕψ==∆→和可导，所以时 图1-1-10,0,,u du v dv u v x dx x dx ∆∆∆→∆→→→∆∆有 0dz f du f dv x dx u dx v dx∂∂∆→=⋅+⋅∂∂令得如图1-1-1反映了公式（1·1·1）中的变量关系，称为复合函数的结构图。
多元复合函数的求导法则详解
多元复合函数的求导法则详解具体来说，有两种常见的多元复合函数情况，即链式法则和求导法则。
下面将结合具体例子详细解释这两种求导法则。
链式法则：链式法则适用于一个函数内部嵌套一个函数的情况。
我们用一个简单的例子来说明。
假设有一个函数f(x)=x²+1，另一个函数g(y)=y³。
现在我们要求复合函数h(x)=g(f(x))的导数。
首先，我们可以计算出 f(x) 的导数 df/dx = 2x。
然后我们计算g(y) 的导数dg/dy = 3y²。
接下来，我们利用链式法则来求解 h(x) 的导数。
根据链式法则，h(x) 的导数可以表示为 h'(x) = (dg/df) *(df/dx)。
在这个例子中，(dg/df) 表示 g'(f(x))。
我们可以通过将 f(x) 的结果代入到 g(y) 中来计算 (dg/df)。
即将 f(x) 的结果代入到 g(y)中得到h(x) = g(f(x)) = (f(x))³ = (x²+1)³。
然后我们计算 g'(f(x))，也就是求 g(f(x)) 的导数。
根据前面的计算， g(y) 的导数dg/dy = 3y²。
将 f(x) 的结果代入 dg/dy 中，即f(x) = x²+1，我们得到dg/df = 3(x²+1)²。
接下来，我们将 (dg/df) 和 df/dx 代入链式法则的公式中，即h'(x) = (dg/df) * (df/dx) = 3(x²+1)² * 2x = 6x(x²+1)²。
因此，我们得出 h(x) 的导数为h'(x) = 6x(x²+1)²。
这个例子说明了链式法则的使用方法，即先计算每个嵌套函数的导数，然后将这些导数代入到链式法则的公式中，得到最终的复合函数的导数。
多元复合函数求导的图示教学法探讨
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导数公式 ，最后代入公式就可以求 出偏导数。
［ ］刘玉琏、傅沛仁．数学分析讲义 ［ ．北京：人民教育 出版社 ，１８ ． １ Ｍ］ ９２
［ ］ 同济 大学． 高等数 学 ［ ． 北京 ： 高等教 育 出版社 ，２０ ． ２ Ｍ］ ０２ ［ ］王 景克 ． 高等数 学解题 方 法与技 巧 ［ ． 北 京 ： 中国林 业 出版社 ，１９ ． ３ Ｍ］ ９９
最终 为 的函数 ， ： 而 到 有两 条路径 ， 每条路 径有 两个箭 头 ， 一 １ 即 ２ ， 一 和 ｚ 一 ，
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Ｓ 高等数学教 材介绍 多元 复合 函数求 导 时 ， ｔ
一
都 以“ 导法 则 ”为ｊ 在 编写 时 基本 采 用 先理 链 三但 论证 明 ， 出公 式 ， 给 然后 举例直 接套 用公 式 ， 这种方 式， 学生 不易 掌握 ， 常 因记 不住 公 式 或搞 不 清 复 常
多元复合函数求导法则的教学探究
按 照 “ 串 乘 并 加 ’ 口 诀 得 妻 ： 嘉 罢，
ｄ
一 一 一
，
Ｏ ｖ ｄｙ 。
ｕ 和Ｖ 关于 ｔ 都 是导 数 ， 而 最终 Ｚ 是ｔ 的 一元 函
特 别的 ， 若 函数
之一 ， 由 于中 间变量 和 自变 量 多数 情况 下 不 数 ， 所 以是 导 数 ． 综上所述 ， 学 生 便 可 很 容
的ｘ是 中间变 量 ， 这个 区 别在 结 构 图中一 目
２ 中间变 量为 多元 函数 的情 形
设 函 数 ｚ＝ｆ（ ｕ ， Ｖ ） ， “＝“ （ ， ） ， Ｖ＝ｖ （ ｘ ， Ｙ ） 均 满足 相关 条 件 ， 变 量 间关系有 结 构 图：
了然 。
其 它 各 种 复 杂 情 形 只 需 画 出 变 量 关 系结构图， 按照 “ 串乘 并 加 ”的 １ ： ３ 诀 类 推 即
中图分类号： ０ １ ３
文献标 识码 ： Ａ
文章编号 ： １ ６ ７ ４ — ０ ９ ８ Ｘ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ７ （ ｂ ） 一 ０ １ ４ ６ — ０ ２
高 等 数 学 下册 主 要 以研 究 多元 函数 为
记为 “ 串乘 并 加 ” ． 在 结 构 图中还 可 以 注 意
有 区别 的 ，
Ｏ ｆ Ｏ ｕ
Ｏ ｕ ＋
按照 “ 串乘 并加 ”口诀可得
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的 几种 不 同复合情 况 ， 具 体 介 绍结 构 图和 四
字 口诀 的用法 。
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复合函数求导模版式教学尝试
复合函数求导模版式教学尝试【摘要】本文探讨了复合函数求导模版式教学的尝试。
文章首先介绍了复合函数求导的基本概念，接着分析了传统教学方法的局限性。
随后详细阐述了模版式教学的具体实施方式，并对实施效果进行评估。
通过对比分析不同教学方法的优缺点，我们发现模版式教学可以提高学生的学习效率和理解深度。
结论部分总结了模版式教学在复合函数求导中的应用前景，强调了其重要性和价值。
本文旨在为教学实践提供新思路和方法，促进教学效果的提升。
【关键词】复合函数求导、模版式教学、引言、绪论、传统教学方法分析、实施效果评估、结论1. 引言1.1 引言在数学中，复合函数求导是微积分中的重要概念之一。
复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数，而求导则是用来求函数导数的运算。
在复合函数求导中，我们需要运用链式法则来求得最终的导数。
这个过程可能对一些学生来说比较复杂，因此需要有一种有效的教学方法来帮助他们理解和掌握。
传统的教学方法往往是通过讲解理论知识和公式推导来进行，然后让学生进行练习和应用。
对于一些抽象和复杂的概念来说，这种方法可能并不是最有效的。
我们需要尝试新的教学方法来帮助学生更好地理解和掌握复合函数求导这一概念。
在本文中，我们将探讨模版式教学法在复合函数求导中的应用。
通过引入模版式教学，我们希望能够通过提供具体的模版和示例，帮助学生更快地理解复合函数求导的概念和方法。
我们将介绍模版式教学的实施过程，并对其效果进行评估和分析。
通过本文的讨论，我们希望能够为教师和学生提供一种更有效的教学方法，帮助他们更好地理解和掌握复合函数求导这一重要的微积分概念。
结束。
2. 正文2.1 绪论复合函数求导是微积分中一个非常重要的概念，也是学生普遍认为比较困难的部分之一。
复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数，而求解复合函数的导数需要运用链式法则，即将内函数的导数与外函数的导数相乘。
学生在学习复合函数求导时往往容易混淆导数的计算步骤，导致出错的可能性较大。
多元复合函数求导法则的教学探究
多元复合函数求导法则的教学探究多元复合函数求导法则是微积分中的重要内容，它可以帮助我们求出不同变量之间的函数导数。
在教学中，我们可以采用以下方式进行探究：
首先，我们要介绍多元函数和复合函数的概念，并让学生理解它们的意义和特点。
接着，我们要教授多元复合函数的链式法则，让学生掌握如何用链式法则求出复合函数的导数。
在教学中，我们可以通过一些实例进行讲解，让学生更好地理解多元复合函数求导法则的应用。
最后，我们可以让学生进行课后练习和作业，来加强他们的练习和巩固所学知识。
总而言之，多元复合函数求导法则的教学探究需要我们注重理解概念和原理，注重实例演练，同时也需要学生的课后练习和巩固。
通过这些方式，我们可以帮助学生掌握多元复合函数求导的方法，提高其数学水平和解决问题的能力。
《复合函数的理论与应用实践教案设计与教学探究》教案设计
《复合函数的理论与应用实践教案设计与教学探究》教案设计第一章：引言1.1 教学目标1. 理解复合函数的概念及其重要性。
2. 掌握复合函数的表示方法。
3. 了解复合函数的图像特点。
1.2 教学内容1. 介绍复合函数的概念。
2. 讲解复合函数的表示方法。
3. 展示复合函数的图像特点。
1.3 教学方法1. 采用讲授法，讲解复合函数的概念和表示方法。
2. 使用图形演示法，展示复合函数的图像特点。
1.4 教学活动1. 引入复合函数的概念，引导学生理解其含义。
2. 讲解复合函数的表示方法，并通过示例进行说明。
3. 使用图形演示法，展示复合函数的图像特点，让学生观察和理解。
1.5 教学评估1. 提问学生关于复合函数的概念和表示方法的理解。
2. 让学生绘制一些简单的复合函数图像，以检验其理解程度。
第二章：复合函数的求导2.1 教学目标1. 理解复合函数的求导法则。
2. 掌握链式法则的应用。
3. 能够求解复合函数的导数。
2.2 教学内容1. 介绍复合函数的求导法则。
2. 讲解链式法则的定义和应用。
3. 示例求解复合函数的导数。
2.3 教学方法1. 采用讲授法，讲解复合函数的求导法则和链式法则。
2. 使用示例法，展示如何求解复合函数的导数。
2.4 教学活动1. 引入复合函数的求导法则，引导学生理解其定义。
2. 讲解链式法则的定义和应用，并通过示例进行说明。
3. 提供一些复合函数的例子，让学生应用链式法则求解其导数。
2.5 教学评估1. 提问学生关于复合函数的求导法则和链式法则的理解。
2. 提供一些复合函数的例子，让学生求解其导数，以检验其掌握程度。
第三章：复合函数的泰勒展开3.1 教学目标1. 理解复合函数的泰勒展开概念。
2. 掌握泰勒公式的应用。
3. 能够对复合函数进行泰勒展开。
3.2 教学内容1. 介绍复合函数的泰勒展开概念。
2. 讲解泰勒公式的定义和应用。
3. 示例对复合函数进行泰勒展开。
3.3 教学方法1. 采用讲授法，讲解复合函数的泰勒展开概念和泰勒公式。
关于一道多元抽象复合函数求导法的教学探究
关于一道多元抽象复合函数求导法的教学探究【摘要】这篇文章探讨了多元抽象复合函数求导的方法。
首先介绍了多元抽象复合函数的概念，然后解释了求导法的基本原理。
接着详细讲解了一道多元抽象复合函数的求导过程，包括步骤详解和实例演练。
通过这些内容，读者可以更加深入地理解和掌握这一求导方法。
在总结了学习多元抽象复合函数求导的重要性，以及如何正确应用这一方法解决实际问题。
本文旨在帮助读者提高对多元抽象复合函数求导的理解和应用能力，为他们在数学学习中更上一层楼提供帮助。
【关键词】多元抽象复合函数、求导法、概念、基本原理、求导过程、步骤详解、实例演练、结论、教学探究、引言1. 引言1.1 引言在数学中，多元抽象复合函数求导是一种重要的技巧，可以帮助我们求解复杂的函数的导数。
本文将通过探究一道多元抽象复合函数的求导过程，来详细介绍这一技巧的应用。
在数学中，函数是一种映射关系，它将一个或多个自变量映射到一个因变量上。
而复合函数则是由多个函数按照一定的次序组合而成的新函数。
多元抽象复合函数则是在多元函数的基础上进行组合而成的复合函数。
对于这种函数，求导的过程相对复杂，需要一定的技巧和方法来解决。
本文将首先介绍多元抽象复合函数的概念，然后讲解求导法的基本原理。
接着，我们将通过一道具体的多元抽象复合函数来演示求导的过程，并详细解析每一个步骤。
我们将通过实例演练来进一步加深对这一技巧的理解。
通过本文的学习，读者可以更好地掌握多元抽象复合函数求导的技巧，提高数学解题的能力。
希望本文能对读者有所帮助，让大家更加深入地理解这一数学工具的应用。
2. 正文2.1 多元抽象复合函数的概念多元抽象复合函数是数学中的一个重要概念，它是由多个函数组合而成的复合函数。
在实际问题中，有时我们需要对多个函数进行组合运算，这时就会涉及到多元抽象复合函数的概念。
具体来说，如果我们有两个函数f(x) 和g(x)，那么它们的复合函数可以表示为f(g(x))。
基于多元复合函数求导的图示教学法研究
基于多元复合函数求导的图示教学法研究作者：王万龙来源：《读写算》2011年第38期【摘要】在高等数学学习与教学之中，多元复合函数求导既是一个重点内容，同时也是一个难点。
在实际教学过程之中，弄清求导的各个变量之间的关系显得尤为重要，这也是解决复合函数求导问题的关键之处。
在多元复合函数求导方法中，一个比较形象且实用性较强的方法就是图示法。
本文就是以举例的形式，对图示法在多元复合函数求导之中的具体应用进行着重地阐述。
【关键词】多元复合函数图示法“树形图”多元复合函数求导是高等数学教学之中的一个非常重要的内容，它要求学生首先要将数学教材中的五个求导公式加以熟记并能够灵活地运用。
然后在熟悉掌握这五个公式的基础上运用各自解题技巧和方法对多元复合函数进行求导。
其中，关于多元复合函数的一个比较重要的方法就是图示法，这个方法实用性强且比较形象，能够帮助学生理解。
本文就是以举例的形式，对图示法在多元复合函数求导之中的具体应用进行着重地阐述。
1、“链式”法则在对“链式”法则进行介绍之前，首先介绍一个定理，具体内容如下：定理：若假定一个函数以及均可以在t=t点处有导数，函数在点（u,v）处连续且可偏导，那么对于复合函数z=在t=t点处可导，且该复合函数的导数可以用如下公式加以表示：由上述定理可以得知，上述定理针对的是一元函数的情况，下面针对这个定理，推广至多元函数的情况，首先假定一个函数，且假设以及在点（x,y）处对x与y均可以求偏导数，而且按照上述相同定义假设在其所对应的点（u,v）处可连续偏导，那么复合函数在其所对应的点(x,y)处能够偏导，且可以用如下两个公式加以计算：“链式”法则可以用如下图示来加以表示：图1 “链式”法则图示类似地，还可以推广到三元、四元等复合函数的求导。
以三元复合函数的求导为例，现有函数，则按照图示法对其进行求导，具体计算公式如下：对于上述三元函数的求导，具体的图示为如图2所示：图2 三元复合函数求导图示2、图示法应用举例例：设一函数，求解：先画出图示：然后令，那么。
复合函数求导法则的教学设计
复合函数求导法则的教学设计摘要：本文主要介绍了《复合函数求导法则》这节课的一种创新性讲法，利用这种新的教学设计方法，不仅便于理解、容易掌握，更加强了学员分析、解决问题的能力。
关键词：复合函数复合分解求导法则复合函数求导法则是《高等数学》课程中的一个重要内容，是在学习了导数的概念，函数求导法则的基础上，对函数求导方法的进一步研究，并为后面学习导数的应用打下了坚实的基础。
通过对本节课的学习，不仅增强了学员对函数性质的理解，同时也加强了学员对现实生活中客观现象的认知能力。
下面我根据自己的实际教学效果，介绍本节课的教学设计如下：一、教学目的（一）教学目标1.认知上：了解复合函数求导法则，通过对法则的学习，能够熟练求出复合函数的导数。
2.能力上：通过对复合函数求导法则的学习，培养学员分析归纳、抽象概括的能力以及联系与转化的思维方法。
3.情感上：通过对本节课的学习，激发学员学习数学的兴趣，并养成严谨的学习态度。
（二）教学重点和难点本节课的教学重点是复合函数求导法则和计算，教学难点是三层复合函数求导的计算。
（三）教学方法主要运用讲授法，并结合启发式教学法，引导学员从数学本身和军事现象入手，探讨复合函数求导数的方法。
充分贯彻“以学为主”，发挥学员的积极性。
二、教学创新通过深入挖掘教材，我突破了传统的教学模式，并没有直接给出复合函数求导法则，而是通过对“为什么学？学什么？有什么用？”这三个问题进行回答，来展开教学。
（一）为什么学？本节课，我首先从数学问题和军事问题入手，突出学习复合函数求导法则的必要性和迫切性，从而引出问题。
这么做的目的不仅考虑了数学的连贯性，并且在发挥素质教育功能的基础上，贯彻职业技术士官教改中的“为专业服务，注重应用和实践”的思想，同时回答了我们本节课“为什么要学习这个课题”。
这么设计即复合学员基础较差的实际特点，又符合学员从感性到理性，从具体到抽象的认知规律。
（二）学什么？如何计算？对于课题，我重点从法则和计算这两个方面来进行研究。
浅谈多元复合函数的求导
浅谈多元复合函数的求导
刘海燕
【期刊名称】《科教导刊-电子版（上旬）》
【年(卷),期】2017(000)005
【摘要】本文将多元复合函数的求导法则概括为通熟易懂的十六个字口诀——沿链相乘,分链相加,单链全导,多链偏导,通过例题阐述具体用法,并针对学生容易出错的问题作了详细解答.
【总页数】1页(P85)
【作者】刘海燕
【作者单位】武警警官学院四川·成都 610000
【正文语种】中文
【中图分类】G642.421
【相关文献】
1.基于BOPPPS教学模式下的高等数学微课教学设计——以“多元复合函数的求导法则”为例 [J], 杜蘅;闵慧;
2.关于抽象多元复合函数求导问题的探析 [J], 马莹
3.树形图及其拓展在多元抽象复合函数求导中的应用 [J], 张伟
4.“看图找路”攻破多元复合函数求导 [J], 郑宇佳;刘晨华
5.多元复合函数求导教学浅谈 [J], 白森林
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《高职应用数学》教案 第32课 多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式
第32课多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式复习（10 min）【教师】提前设计好复习题目，并针对学生存在的问题及时讲解【学生】做复习题目复习所学内容，为讲授新课打好基础讲授新课（33 min）【教师】利用一元复合函数的求导法则推导出多元复合函数的求导法则，并通过例题演示求导过程在一元函数中，复合函数的求导法则是求导的核心，起到了非常重要的作用，现将一元复合函数的求导法则推广到多元复合函数，具体情况如下．1．中间变量是一元函数的情况定理1若函数()u tϕ=及()v tψ=都在点t处可导，函数()z f u v=，在对应点()u v，具有连续偏导数，则复合函数[()()]z f t tϕψ=，在点t可导，且有d d dd d dz z u z vt u t v t∂∂=+∂∂．此公式可由图6-11表示出来．对于()z f u v=，，z有两个直接变量u和v，画两个箭头，而u和v都有变量t，再画两个箭头．箭头表示求导数，两个箭头连起来是相乘关系，z关于t的导数就是两条路径之和，即遵循“连线相乘，分道相加”的原则．设z uv=，而e tu=，cosv t=，求ddzt．解d d de sin e cos e sind d dt t tz z u z vv u t t tt u t v t∂∂=+=-=-∂∂．2．中间变量是多元函数的情况定理2 设()u x yϕ=，，()v x yψ=，都在点()x y，处有偏导数，而()z f u v=，在对应点()u v，处具有连续偏导数，则复合函数[()()]z f x y x yϕψ=，，，在对应点()x y，处的两个偏导数均存在，且有z z u z vx u x v x∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂，z z u z vy u y v y∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂．学习多元复合函数的求导法则和求导过程。
边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化例1图6-11这两个计算公式求导过程可由图6-13表示出来．图6-13设e sin u z v =，而u xy =，v x y =+，求z x∂∂和z y∂∂． 解e sin e cos 1u u z z u z v v y v x u x v x∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅∂∂∂∂∂ e (sin cos )e [sin()cos()]u xy y v v y x y x y =+=+++．e sin e cos 1u u z z u z v v x v y u y v y∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅∂∂∂∂∂ e (sin cos )e [sin()cos()]u xy x v v x x y x y =+=+++．（例3、例4详见教材）【学生】理解多元复合函数的求导法则，并掌握多元复合函数的求导过程第二节课讲授新课（20 min ）【教师】利用复合函数的求导法则推导出隐函数的求导公式，并通过例题演示求导过程在一元函数中，我们曾介绍过隐函数的求导法则．但未给出一般公式．下面由复合函数的求导法则推导出隐函数的求导公式．设方程()0F x y =，确定了隐函数()y f x =，将其代入方程，得(())0F x f x =，，两端对x 求导，得 d 0d x y yF F x ''+=．若0y F '≠，则有 d d x y F yx F '=-'． 设方程()0F x y z =，，确定了隐函数()z f x y =，，将()z f x y =，代入方程得(())0F x y z x y =，，，，两端对x y ，求偏导数得0x z zF F x∂''+=∂，0y z z F F y ∂''+=∂．若0z F '≠，则得学习隐函数的求导公式。
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多元复合函数求导法则的教学探究
摘要:多元复合函数求导法则是多元函数微分学中的重点内容，很多学生在学习该知识点时感觉抽象和困难.本文利用图示的方法将多元复合函数的求导法则形象具体化，用“串乘并加”四字口诀归纳了求导过程，降低了学生学习的难度.
关键词:多元复合函数；求导法则；偏导数；串乘并加
高等数学下册主要以研究多元函数为主，相比一元函数而言，多元函数部分的很多理论和计算更为抽象和困难.多元复合函数求导法则是多元函数部分的重点和难点之一，由于中间变量和自变量多数情况下不止一个，教材上给出的求导公式在形式上也比较复杂，如果仅靠死记硬背几个公式，而不去搞清楚变量之间关系的内在规律，学生在做具体题目时往往会觉得很困难且容易出错.图示法在多数情况下是将抽象问题形象具体化的不错工具，笔者在讲授多元函数求导法则时就是先画出变量之间的关系结构图，然后利用“串乘并加”四字口诀来记忆求导公式和过程，在实际教学过程中取得不错的教学效果.下面根据多元复合函数的几种不同复合情况，具体介绍结构图和四字口诀的用法.。