2019-2020学年山东省济宁市高二上学期期末数学试题及答案解析版
2019-2020学年山东省济宁市汶上县七年级下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年山东济宁市汶上县七年级第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．若点P的坐标是（2，﹣1），则点P在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．下列说法中正确的是（）A．不带根号的数都是有理数B．8没有立方根C．16的算术平方根是4D．1的平方根是13．我国疫情防控形势积极向好，为做好复学复课前的准备工作，我县某学校为了解全校1500名学生复课后的上学方式，随机抽取了300名学生进行调查，其中有150人乘车上学，50人步行，剩下的选择其他上学方式，该调査中的样本容量是（）A．1500B．300C．150D．504．如图，能判断直线AB∥CD的条件是（）A．∠1＝∠2B．∠3＝∠4C．∠1+∠3＝180°D．∠3+∠4＝180°5．已知m＞n，则下列不等式中不正确的是（）A．m+7＞n+7B．5m＞5n C．m﹣6＜n﹣6D．﹣4m＜﹣4n 6．端午节前夕，某超市用1680元购进A、B两种商品共60件，其中A型商品每件24元，B型商品每件36元．设购买A型商品x件、B型商品y件，依题意列方程组正确的是（）A．B．C．D．7．如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为（）A．2B．3C．4D．58．已知关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜1，则（a+b）2020为（）A．1B．3C．4D．﹣19．若方程组的解是，则方程组的解是（）A．B．C．D．10．如图，已知BC∥DE，BF平分∠ABC，DC平分∠ADE，则下列结论：①∠ACB＝∠E；②∠ABF＝∠ADC；③BF∥CD；④∠ABF＝∠BCD，其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题（共5小题，每小题3分，满分12分）11．小明家1至6月份的用水量统计如图所示，根据图中的数据可知，5月份的用水量比3月份的用水量多吨．12．将一副三角板（∠A＝30°）按如图所示方式摆放，使得AB∥EF，则∠1等于度．13．中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，﹣2），“马”位于点（4，﹣2），则“兵”位于点．14．关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＞2，则a的范围为．15．我们规定：将任意三个互不相等的数a，b，c按照从小到大的顺序排列后，把处于中间位置的数叫做这三个数的中位数，用符号mid{a，b，c}表示．例如mid{﹣1，2，1}＝1，则mid{，5，3}＝．三、解答题（共7小题，满分55分）16．计算：（1）+（﹣1）2．（2）|1﹣|﹣（1﹣）．17．如图，AG⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，∠A+∠AEF＝180°，求证：CD∥EF．某同学证法如下，请在括号里填写其推理过程或理由．证明：：AB⊥BD，CD⊥BD（已知），∴∠DBG＝∠CDB＝90°（）．∴AB∥（），∵∠A+∠AEF＝180°（），∴AB∥EF（），∴CD∥EF（）．18．在解方程组时，由于粗心，小军看错了方程组中的n，得解为，小红看错了方程组中的m，得解为．（1）则m，n的值分别是多少？（2）正确的解应该是怎样的？19．为弘扬传统文化，我县某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动、为了解七、八年级学生的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年级随机抽取m名学生的竞赛成绩进行整理分组，形成如下表格（x代表成绩），并绘制出扇形统计图和条形统计图（横坐标表示成绩，单位：分）．A组90＜x≤100B组80＜x≤90C组70＜x≤80D组60＜x≤70E组50＜x≤60（1）求m的值和扇形统计图中D组对应的圆心角的度数；（2）请补全条形统计图，并标注出相应的人数；（3）若此次竞赛成绩80分以上的为优秀，参加此次竞赛考试的学生总数为2000人，请求出此次竞赛成绩为优秀的学生人数．20．【计算下列各式】（1）×＝，＝．×＝，＝．【归纳发现】（2）观察以上计算结果，尝试用含有字母a、b（其中，a≥0，b≥0）的式子表示发现的规律；【实践应用】（3）运用发现的规律进行计算：①×．②×．21．为了更好地保护环境，某市污水处理厂决定先购买A，B两型污水处理设备共20台，对周边污水进行处理，每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．已知2台A型污水处理设备和1台B型污水处理设备每周可以处理污水680吨，4台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1560吨．（1）求A、B两型污水处理设备每周每台分别可以处理污水多少吨？（2）经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于4500吨，请你列举出所有购买方案．（3）如果你是厂长，从节约资金的角度来谈谈你会选择哪种方案并说明理由？22．某学习小组发现一个结论：已知直线a∥b，若直线c∥a，则c∥b．他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题：已知直线AB∥CD，点E在AB、CD之间，点P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、BQ．（1）如图1，过点E作EH∥AB，运用上述结论，探究∠PEQ、∠APE、∠CQE之间的数量关系，并说明理由；（2）如图2，类比（1）中的方法，运用上述结论，探究∠PEQ、∠APE、∠CQE之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，当∠PEQ＝140°时，直接写出∠PFQ 的度数．参考答案一、选择题（共10小题）.1．若点P的坐标是（2，﹣1），则点P在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：∵2＞0，﹣1＜0，∴点P（2，﹣1）在第四象限．故选：D．2．下列说法中正确的是（）A．不带根号的数都是有理数B．8没有立方根C．16的算术平方根是4D．1的平方根是1解：A、不带根号的数不一定是有理数，如π，故选项错误；B、8有立方根2，故选项错误；C、16的算术平方根是4，故选项正确；D、1的平方根是±1，故选项错误．故选：C．3．我国疫情防控形势积极向好，为做好复学复课前的准备工作，我县某学校为了解全校1500名学生复课后的上学方式，随机抽取了300名学生进行调查，其中有150人乘车上学，50人步行，剩下的选择其他上学方式，该调査中的样本容量是（）A．1500B．300C．150D．50解：为了解某校1500名学生的上学方式，随机抽取了300名学生进行调查，该调查中的样本容量是：300．故选：B．4．如图，能判断直线AB∥CD的条件是（）A．∠1＝∠2B．∠3＝∠4C．∠1+∠3＝180°D．∠3+∠4＝180°解：∵∠1+∠5＝180°，∠3+∠1＝180°，∴∠3＝∠5，∴AB∥CD，故选：C．5．已知m＞n，则下列不等式中不正确的是（）A．m+7＞n+7B．5m＞5n C．m﹣6＜n﹣6D．﹣4m＜﹣4n 解：A．∵m＞n，∴m+7＞n+7，故本选项不符合题意；B．∵m＞n，∴5m＞5n，故本选项不符合题意；C．∵m＞n，∴m﹣6＞n﹣6，故本选项符合题意；D．∵m＞n，∴﹣4m＜﹣4n，故本选项不符合题意；故选：C．6．端午节前夕，某超市用1680元购进A、B两种商品共60件，其中A型商品每件24元，B型商品每件36元．设购买A型商品x件、B型商品y件，依题意列方程组正确的是（）A．B．C．D．解：设购买A型商品x件、B型商品y件，依题意列方程组：．故选：B．7．如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为（）A．2B．3C．4D．5解：由B点平移前后的纵坐标分别为1、2，可得B点向上平移了1个单位，由A点平移前后的横坐标分别是为2、3，可得A点向右平移了1个单位，由此得线段AB的平移的过程是：向上平移1个单位，再向右平移1个单位，所以点A、B均按此规律平移，由此可得a＝0+1＝1，b＝0+1＝1，故a+b＝2．故选：A．8．已知关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜1，则（a+b）2020为（）A．1B．3C．4D．﹣1解：由x﹣a＞2，得：x＞a+2，由b﹣2x＞0，得：x＜，∵解集为﹣1＜x＜1，∴a+2＝﹣1，＝1，解得a＝﹣3，b＝2，则（a+b）2020＝（﹣3+2）2020＝（﹣1）2020＝1，故选：A．9．若方程组的解是，则方程组的解是（）A．B．C．D．解：由题意得：，解得：，故选：B．10．如图，已知BC∥DE，BF平分∠ABC，DC平分∠ADE，则下列结论：①∠ACB＝∠E；②∠ABF＝∠ADC；③BF∥CD；④∠ABF＝∠BCD，其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个解：∵BC∥DE，∴∠ACB＝∠E，①正确；∵BC∥DE，∴∠ABC＝∠ADE，∵BF平分∠ABC，DC平分∠ADE，∴∠ABF＝∠CBF＝∠ABC，∠ADC＝∠EDC＝∠ADE，∴∠ABF＝∠CBF＝∠ADC＝∠EDC，②正确；∴BF∥CD，③正确；∵∠ABF＝∠ADC，∠ADC＝∠EDC，∴∠ABF＝∠EDC，∵DE∥BC，∴∠BCD＝∠EDC，∴∠ABF＝∠BCD，④正确；即正确的有4个，故选：A．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分12分）11．小明家1至6月份的用水量统计如图所示，根据图中的数据可知，5月份的用水量比3月份的用水量多3吨．解：由折线统计图知，5月份用的水量是6吨，3月份用的水量是3吨，则5月份的用水量比3月份的用水量多3吨；故答案为：3．12．将一副三角板（∠A＝30°）按如图所示方式摆放，使得AB∥EF，则∠1等于105度．解：∵将一副三角板（∠A＝30°）按如图所示方式摆放，使得AB∥EF，∴∠E＝∠EDB＝45°，∠B＝60°，∴∠1＝45°+60°＝105°．故答案为：105．13．中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，﹣2），“马”位于点（4，﹣2），则“兵”位于点（﹣1，1）．解：如图所示：可得原点位置，则“兵”位于（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．14．关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＞2，则a的范围为a＜﹣2．解：，①+②得：4（x+y）＝2﹣3a，即x+y＝，代入不等式得：＞2，解得：a＜﹣2．故答案为：a＜﹣2．15．我们规定：将任意三个互不相等的数a，b，c按照从小到大的顺序排列后，把处于中间位置的数叫做这三个数的中位数，用符号mid{a，b，c}表示．例如mid{﹣1，2，1}＝1，则mid{，5，3}＝．解：∵3＜＜5，∴mid{，5，3}＝．故答案为：．三、解答题（共7小题，满分55分）16．计算：（1）+（﹣1）2．（2）|1﹣|﹣（1﹣）．解：（1）+（﹣1）2＝5+（﹣4）+1＝2．（2）|1﹣|﹣（1﹣）＝﹣1﹣+2＝1．17．如图，AG⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，∠A+∠AEF＝180°，求证：CD∥EF．某同学证法如下，请在括号里填写其推理过程或理由．证明：：AB⊥BD，CD⊥BD（已知），∴∠DBG＝∠CDB＝90°（垂直的定义）．∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），∵∠A+∠AEF＝180°（已知），∴AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行），∴CD∥EF（平行于同一条直线的两直线平行）．解：∵AB⊥BD，CD⊥BD（已知），∴∠DBG＝∠CDB＝90°（垂直的定义）．∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），∵∠A+∠AEF＝180°（已知），∴AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行），∴CD∥EF（平行于同一条直线的两直线平行）．故答案为：垂直的定义；CD；内错角相等，两直线平行；已知；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两直线平行．18．在解方程组时，由于粗心，小军看错了方程组中的n，得解为，小红看错了方程组中的m，得解为．（1）则m，n的值分别是多少？（2）正确的解应该是怎样的？解：（1）把代入第一个方程得：m+＝6，解得：m＝2，把代入第二个方程得：﹣4+4n＝8，解得：n＝3；（2）方程组为，②﹣①×2得：y＝2，把y＝2代入①得：x＝1，则方程组的解为．19．为弘扬传统文化，我县某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动、为了解七、八年级学生的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年级随机抽取m名学生的竞赛成绩进行整理分组，形成如下表格（x代表成绩），并绘制出扇形统计图和条形统计图（横坐标表示成绩，单位：分）．A组90＜x≤100B组80＜x≤90C组70＜x≤80D组60＜x≤70E组50＜x≤60（1）求m的值和扇形统计图中D组对应的圆心角的度数；（2）请补全条形统计图，并标注出相应的人数；（3）若此次竞赛成绩80分以上的为优秀，参加此次竞赛考试的学生总数为2000人，请求出此次竞赛成绩为优秀的学生人数．解：（1）m＝4÷8%＝50，图中D组对应的圆心角的度数是：360°×＝72°，即m的值是50，图中D组对应的圆心角的度数是72°；（2）C组的人数为：50×30%＝15，E组的人数为：50﹣10﹣15﹣16﹣4＝5，补全的频数分布直方图如右图所示；（3）2000×＝800（人），即此次竞赛成绩为优秀的学生有800人．20．【计算下列各式】（1）×＝6，＝6．×＝20，＝20．【归纳发现】（2）观察以上计算结果，尝试用含有字母a、b（其中，a≥0，b≥0）的式子表示发现的规律；【实践应用】（3）运用发现的规律进行计算：①×．②×．解：（1）×＝2×3＝6，＝6．×＝4×5＝20，＝＝20．故答案为：6，6；20，20；（2）观察以上计算结果，尝试用含有字母a、b（其中，a≥0，b≥0）的式子表示发现的规律×＝（a≥0，b≥0）；（3）运用发现的规律进行计算：①×＝．②×＝＝3．21．为了更好地保护环境，某市污水处理厂决定先购买A，B两型污水处理设备共20台，对周边污水进行处理，每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．已知2台A型污水处理设备和1台B型污水处理设备每周可以处理污水680吨，4台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1560吨．（1）求A、B两型污水处理设备每周每台分别可以处理污水多少吨？（2）经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于4500吨，请你列举出所有购买方案．（3）如果你是厂长，从节约资金的角度来谈谈你会选择哪种方案并说明理由？解：（1）设A型污水处理设备每周每台可以处理污水x吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水y吨，，解得，即A型污水处理设备每周每台可以处理污水240吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水200吨；（2）设购买A型污水处理设备a台，则购买B型污水处理设备（20﹣a）台，则，解得，12.5≤x≤15，第一种方案：当a＝13时，20﹣a＝7，即购买A型污水处理设备13台，购买B型污水处理设备7台；第二种方案：当a＝14时，20﹣a＝6，即购买A型污水处理设备14台，购买B型污水处理设备6台；第三种方案；当a＝15时，20﹣a＝5，即购买A型污水处理设备15台，购买B型污水处理设备5台；（3）如果我是厂长，从节约资金的角度考虑，我会选择第一种方案，即购买A型污水处理设备13台，购买B型污水处理设备7台；因为第一种方案所需资金：13×12+7×10＝226万元；第二种方案所需资金：14×12+6×10＝228万元；第三种方案所需资金：15×12+5×10＝230万元；∵226＜228＜230，∴选择第一种方案所需资金最少，最少是226万元．22．某学习小组发现一个结论：已知直线a∥b，若直线c∥a，则c∥b．他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题：已知直线AB∥CD，点E在AB、CD之间，点P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、BQ．（1）如图1，过点E作EH∥AB，运用上述结论，探究∠PEQ、∠APE、∠CQE之间的数量关系，并说明理由；（2）如图2，类比（1）中的方法，运用上述结论，探究∠PEQ、∠APE、∠CQE之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，当∠PEQ＝140°时，直接写出∠PFQ 的度数．解：（1）∠PEQ＝∠APE+∠CQE，理由如下：∵AB∥CD，EH∥AB，∴AB∥EH∥CD，∴∠APE＝∠PEH，∠CQE＝∠QEH．∵∠PEQ＝∠PEH+∠QEH，∴∠PEQ＝∠APE+∠CQE．（2）∠APE+∠CQE+∠PEQ＝360°；理由如下：过点E作EG∥AB，如图2所示：∵AB∥CD，EG∥AB，∴AB∥EG∥CD，∴∠APE+∠PEG＝180°，∠CQE+∠QEG＝180°，∴∠APE+∠PEG+∠CQE+∠QEG＝360°，即∠APE+∠CQE+∠PEQ＝360°；（3）由（2）得：∠PEQ+∠BPE+∠EQD＝360°，∵∠PEQ＝140°，∴∠BPE+∠EQD＝360°﹣140°＝220°，∵PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，∴∠BPF＝∠BPE，∠DQF＝∠EQD，∴∠BPF+∠DQF＝（∠BPE+∠EQD）＝110°，由（1）得：∠PFQ＝∠BPF+∠DQF＝110°．。
2021年山东省济宁市曲阜第二中学高二数学理期末试题含解析
2021年山东省济宁市曲阜第二中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a3=7﹣a2，则S4=（）A．15 B．14 C．13 D．12参考答案：B【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用已知条件求出a3+a2的值，然后求解S4的值．【解答】解：由题意可知a3=7﹣a2，a3+a2=7，S4=a1+a2+a3+a4=2（a3+a2）=14．故选：B．【点评】本题考查等差数列的基本性质，数列求和，基本知识的考查．2. 设，则a，b，c 的大小是（）A. a＞c＞bB. b＞a＞cC. b＞c＞aD. a＞b＞c参考答案：D【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【详解】，，，故选：D【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性的应用，属于基础题．3. 已知实数x，y满足条件，则z = x + 3y的最小值是（）A．B．C．12 D．－12参考答案：B略4. 高一新生军训时，经过两天的打靶训练，甲每射击10次可以击中9次，乙每射击9次可以击中8次．甲、乙两人射击同一目标（甲、乙两人互不影响），现各射击一次，目标被击中的概率为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【专题】概率与统计．【分析】先由题意根据独立事件的概率乘法公式求得两人都击不中的概率，再用1减去此概率，即为目标被击中的概率．【解答】解：由题意可得，甲射中的概率为，乙射中的概率为，故两人都击不中的概率为（1﹣）（1﹣）=，故目标被击中的概率为1﹣=，故选：D．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于基础题．5. 已知x＞0，y＞0，且.若恒成立，则m的取值范围为（）A．(3,4) B．(－4,3) C.(－∞,3)∪(4,+∞) D．(－∞,－4)∪(－3,+∞)参考答案：C6. 给定命题：函数和函数的图象关于原点对称；命题：当时，函数取得极小值．下列说法正确的是（）A.是假命题B.是假命题C.是真命题D.是真命题参考答案：B略7. 的值为（）．A． B． C． D．－参考答案：D略8. 已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于 ( )A B. C. D.参考答案：B9. f（x）是集合A到集合B的一个函数，其中，A={1，2，…，n}，B={1，2，…，2n}，n∈N*，则f（x）为单调递增函数的个数是（）A．B．n2n C．（2n）n D．参考答案：D【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】所有的从集合A到集合B的函数f（x）总共有（2n）n个，每从B的2n元素中选取n个元素的一个组合，就对应了一个增函数f（x），故单调递增函数f（x）的个数为C2n n，即可得出结论．【解答】解：所有的从集合A到集合B的函数f（x）总共有（2n）n个，从1，2， (2)中任意取出n个数，唯一对应了一个从小到大的排列顺序，这n个从小到大的数就可作为A中元素1，2，…，n的对应函数值，这个函数就是一个增函数．每从B的2n元素中选取n个元素的一个组合，就对应了一个增函数f（x），故单调递增函数f（x）的个数为C2n n，故选：D．10. 已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某工厂有三个车间，现将7名工人全部分配到这三个车间，每个车间至多分3名，则不同的分配方法有______________种．（用数字作答）参考答案：1050略12. 从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x,y）, 则点M 取自阴影部分的概率为.参考答案：略13. 在△ABC中，a=1，B=45°，S△ABC=2，则b= ．参考答案：5【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】由已知利用三角形面积公式可求c的值，根据余弦定理即可求b的值．【解答】解：∵在△ABC中，a=1，B=45°，S△ABC=2=acsinB=，可得：ac=4，∴c=4，∴b===5．故答案为：5．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，属于基础题．14. 设有两个命题：①关于x的不等式mx2＋1>0的解集是R；②函数f(x)＝log m x是减函数，如果这两个命题中有且只有一个真命题，则实数m的取值范围是________．参考答案：m≥1或m＝015. 已知双曲线的方程为，则它的离心率为______．参考答案：216. 已知椭圆：的焦距为4，则m为．参考答案：4或8【考点】椭圆的标准方程．【分析】分焦点在x，y轴上讨论，结合焦距为4，可求m的值．【解答】解：由题意，焦点在x轴上，10﹣m﹣m+2=4，所以m=4；焦点在y轴上，m﹣2﹣10+m=4，所以m=8，综上，m=4或8．故答案为：m=4或8．17. 函数f(x)是周期为4的偶函数，当时，，则不等式在[－1,3]上的解集为___________参考答案：【分析】根据函数的周期性、奇偶性以及时的解析式，画出函数的图像，由此求得的解集.【详解】根据函数周期为的偶函数，以及时，，画出函数图像如下图所示，由图可知，当时符合题意；当时，符合题意.综上所述，不等式的解集为.【点睛】本小题主要考查函数的周期性、奇偶性，考查不等式的解法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。
山东省济宁市邹城市2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题+答案解析(附后)
山东省济宁市邹城市2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知椭圆，则其离心率( )A. B. C. D.2.已知，向量，，若，则实数x的值等于( )A. B. 1 C. D. 23.若点在圆的内部，则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.4.若P，Q分别为直线与直线上任意一点，则的最小值为( )A. B. C. D.5.过点的直线l与圆相切，则直线l的方程是( )A.或 B.C.或 D.6.如图所示，在大小为的二面角中，四边形ABFE和四边形CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是( )A. 2B.C.D.7.在正方体中，与平面所成角的正弦值为( )A. B. C. D.8.已知椭圆E：，其右焦点为，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点坐标为，则E的方程为A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列说法中，正确的有( )A. 直线必过定点B. 直线在y轴上的截距为C. 直线的倾斜角为D. 点到直线的距离为710.给出下列命题，其中正确的是( )A. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底B. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面yOz的对称点是C. 若空间四个点P，A，B，C满足，则A，B，C三点共线D. 平面的一个法向量为，平面的一个法向量为若，则11.已知圆和圆相交于A，B两点，下列说法正确的是( )A. 圆M圆心坐标为B. 两圆有两条公切线C.直线AB的方程为D. 若点E圆O上，点F在圆M上，则12.如图所示，在四棱锥中，平面平面ABCD，侧面PAD是边长为的正三角形，底面ABCD为矩形，且，点Q是PD的中点，则下列结论描述正确的是( )A. 平面PADB. B，Q两点间的距离等于C. DC与平面AQC所成的角为D. 三棱锥的体积为12三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省济宁市曹营中学高二化学期末试题含解析
山东省济宁市曹营中学高二化学期末试题含解析一、单选题（本大题共15个小题，每小题4分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，共60分。
）1. 下列说法正确的是（）A．需要加热才能发生的反应一定是吸热反应B．任何放热反应在常温条件下一定能发生反应C．反应物和生成物所具有的总能量决定了放热还是吸热D．吸热反应只能在加热的条件下才能进行参考答案：C2. 标准状况下的1molH2的体积约为A．11.2 L B．22.4 L C．33.6 L D．44.8 L 参考答案：B气体的摩尔体积为22.4 L3. 用N A表示阿伏加德罗常数的值。
下列说法正确的是A．2 g H2中含有的分子数为N AB．常温常压下，22.4 L Cl2中含有的分子数为N AC．1 L 1 mol/LK2SO4溶液中含有的钾离子数为N AD．1 mol钠原子中含有的电子数为N A参考答案：A略4. 控制适合的条件，将反应2Fe3++2I- 2Fe2++I2设计成如图所示的原电池。
下列判断不正确的是A.反应开始时，乙中石墨电极上发生氧化反应B.反应开始时，甲中石墨电极上Fe3+被还原C.电流计读数为零时，反应达到化学平衡状态D.电流计读数为零后，在甲中溶入FeCl2固体，乙中石墨电极为负极参考答案：D5. Al，Fe，Cu都是重要的金属元素。
下列说法正确的是A.三者对应的氧化物均为碱性氧化物B.三者的单质放置在空气中只生成氧化物C.制备FeCl3不能采用将溶液直接蒸干的方法D.电解AlCl3溶液是阴极上析出Al参考答案：C略6. 中草药秦皮中含有的七叶树内酯，具有抗菌作用。
若1 mol七叶树内酯分别与浓溴水和NaOH溶液完全反应，则消耗的Br2和NaOH的物质的量分别为（）A．2 mol Br2 2 mol NaOH B．2 mol Br2 3 mol NaOHC．3 mol Br2 4 mol NaOH D．4 mol Br2 4 mol NaOH参考答案：C略7. 下列现象与氢键有关的是：（）①NH3的熔、沸点比VA族其他元素氢化物的高②小分子的醇、羧酸可以和水以任意比互溶③冰的密度比液态水的密度小④尿素的熔、沸点比醋酸的高⑤邻羟基苯甲酸的熔、沸点比对羟基苯甲酸的低⑥水分子高温下也很稳定A.①②③④⑤⑥ .①②③④⑤ C.①②③④ D.①②③参考答案：B略8. 已知乙炔（C2H2）、苯（C6H6）、乙醛（C2H4O）的混合气体中含氧元素的质量分数为8%，则混合气体中碳元素的质量分数为（）A．84% B．60% C．91%D．42%参考答案：A略9.A．当该卤代烃发生取代反应时，被破坏的键可能是①B．当该卤代烃发生消去反应时，被破坏的键一定是①和③C．当该卤代烃在碱性条件下发生水解反应时，被破坏的键一定是①D．当该卤代烃发生消去反应时，被破坏的键一定是①和④参考答案：D略10. 反应a M(g)＋b N(g) c P(g)＋d Q(g)达到平衡时，M的体积分数y(M)与反应条件的关系如图所示。
2020学年山东省济宁市高二下学期期末考试数学试题(解析版)
2020学年山东省济宁市高二下学期期末考试数学试题一、 单选题1． 已知集合{}2{0,1,2,3,4},|560A B x x x ==-+>，则A B =I （ ）A ．{0,1}B ．{4}C ．{0,1,4}D ．{0,1,2,3,4}【答案】 C【解析】解一元二次不等式求得集合B ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由()()256320x x x x -+=-->，解得2x <，或3x >，故{}0,1,4A B =I .故选C. 【点睛】本小题主要考查两个集合交集的运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2．计算52752C 3A +的值是（ ） A ．72 B ．102 C ．5070 D ．5100【答案】B【解析】根据组合数和排列数计算公式，计算出表达式的值. 【详解】依题意，原式227576232354426010221C A ⨯=+=⨯+⨯⨯=+=⨯，故选B. 【点睛】本小题主要考查组合数和排列数的计算，属于基础题.3．设23342,log 5,log 5a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c b a <<【答案】A【解析】先根据1来分段，然后根据指数函数性质，比较出,,a b c 的大小关系. 【详解】由于203221-<=，而344log 5log 5log 41>>=，故a c b <<，所以选A. 【点睛】本小题主要考查指数函数的单调性，考查对数函数的性质，考查比较大小的方法，属于基础题.4．5(12)(1)x x ++的展开式中3x 的系数为（ ） A ．5 B ．10 C ．20 D ．30【答案】D【解析】根据乘法分配律和二项式展开式的通项公式，列式求得3x 的系数. 【详解】根据乘法分配律和二项式展开式的通项公式，题目所给表达式中含有3x 的为()3322335512102030C x x C x x x ⋅+⋅=+=，故展开式中3x 的系数为30，故选D.【点睛】本小题主要考查二项式展开式通项公式的应用，考查乘法分配律，属于基础题.5．我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，每天的正点率X 服从正态分布2(0.98)N σ,，且(0.97)0.005P X <=，则(0.970.99)P X <<=（ ）A ．0.96B ．0.97C ．0.98D ．0.99【答案】D【解析】根据正态分布的对称性，求得指定区间的概率. 【详解】由于0.98μ=，故(0.970.99)12(0.97)0.99P X P X <<=-⨯<=，故选D. 【点睛】本小题主要考查正态分布的对称性，考查正态分布指定区间的概率的求法，属于基础题.6．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果. 【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C.【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续. 7．已知函数()211x f x x +=-，其定义域是[)8,4--，则下列说法正确的是( ) A ．()f x 有最大值53，无最小值B ．()f x 有最大值53，最小值75C ．()f x 有最大值75，无最小值 D ．()f x 有最大值2，最小值75【答案】A【解析】试题分析：()2132()11x f x f x x x +==+⇒--在[)8,4--上是减函数()f x 有最大值5(8)3f -=，无最小值，故选A.【考点】函数的单调性.8．已知函数224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，若()22()f a f a ->，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(2,1)-B ．(1,2)-C ．(,1)(2,)-∞-+∞UD ．(,2)(1,)-∞-+∞U【答案】A【解析】代入特殊值对选项进行验证排除，由此得出正确选项. 【详解】若0a =，()()()20212,00,120f f f -===>符合题意，由此排除C,D 两个选项.若1a =，则()()2211f f -=不符合题意，排除B 选项.故本小题选A.【点睛】本小题主要考查分段函数函数值比较大小，考查特殊值法解选择题，属于基础题.9．如下图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为36，则称该图形是“和谐图形”，已知其中四个三角形上的数字之和为二项式5(31)x -的展开式的各项系数之和.现从0，1，2，3，4，5中任取两个不同的数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（ ）A ．115B ．215 C ．15D ．415【答案】B【解析】先求得二项式5(31)x -的展开式的各项系数之和为32.然后利用列举法求得在05:一共6个数字中任选两个，和为4的概率，由此得出正确选项. 【详解】令1x =代入5(31)x -得5232=，即二项式5(31)x -的展开式的各项系数之和为32.从0，1，2，3，4，5中任取两个不同的数字方法有：01,02,03,04,05,12,13,14,15,23,24,25,34,35,45共15种，其中和为36324-=的有04,13共两种，所以恰好使该图形为“和谐图形”的概率为215，故选B. 【点睛】本小题主要考查二项式展开式各项系数之和，考查列举法求古典概型概率问题，属于基础题.10．函数()21()ln 2x f x x e -=+-的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】分析四个图像的不同，从而判断函数的性质，利用排除法求解。
山东省济宁市2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题含答案
济宁市高二年级第一学期九月模块测试数学试题（答案在最后）注意事项：1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码. 2．本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.3．选择题的作答：每小题选出答案后，用28铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.4．非选择题的作答：用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.以下事件是随机事件的是（）A.标准大气压下，水加热到100C ，必会沸腾B.走到十字路口，遇到红灯C.长和宽分别为,a b的矩形，其面积为abD.实系数一元一次方程必有一实根【答案】B【解析】【分析】根据随机事件的概念判断即可【详解】解：A．标准大气压下，水加热到100℃必会沸腾，是必然事件；故本选项不符合题意；B．走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；故本选项符合题意；C．长和宽分别为,a b的矩形，其面积为ab是必然事件；故本选项不符合题意；D．实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件．故本选项不符合题意．故选：B．2.抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立事件为A.至多两件次品B.至多一件次品C.至多两件正品D.至少两件正品【答案】B【解析】【详解】试题分析：事件A 不包含没有次品或只有一件次品，即都是正品或一件次品9件正品，所以事件A 的对立事件为至多一件次品．故B 正确．考点：对立事件．3.两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为（）A.12B.14C.13D.16【答案】B 【解析】【分析】列举出所有的可能事件，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】两名同学分3本不同的书，记为,,a b c ，基本事件有(0，3)，(1a ，2)，(1b ，2)，(1c ，2)，(2，1a )，(2，1b )，(2，1c )，(3，0)，共8个，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的基本事件有2个，∴一人没有分到书，另一人分得3本书的概率p ＝28＝14.故选:B4.掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中事件A B +发生的概率为（）A.13B.12C.23D.56【答案】C 【解析】【分析】由互斥事件的概率可知(()(1())P A B P A P B +=+-，从而得解.【详解】由已知得：1()3P A =，2()3P B =，事件B 表示“小于5的点数出现”，则事件B 表示“出现5点或6点”故事件A 与事件B 互斥，122()()(1())(1)333P A B P A P B ∴+=+-=+-=故选：C5.直三棱柱111ABC A B C -中，若1,,CA a CB b CC c ===，则1A B = （）A.a b c+-r r r B.a b c-+r r r C.a b c -++D.a b c-+- 【答案】D 【解析】【分析】由空间向量线性运算法则即可求解．【详解】()11111A A B B a b B A B c CC C CB =+=-+=-+--+.故选：D ．6.已知空间向量0a b c ++=，2a = ，3b = ，4c = ，则cos ,a b = （）A.12B.13C.12-D.14【答案】D 【解析】【分析】设,,AB a BC b CA c ===，在ABC V 中由余弦定理求解.【详解】空间向量0a b c ++= ，2a = ，3b = ，4c =，则,,a b c三向量可能构成三角形的三边.如图，设,,AB a BC b CA c === 2a = ，则ABC V 中，||2,||3,||4AB BC CA === 2a =，222||||cos ,cos 2AB BC CA a b ABC AB BC+-∴=-∠=-⨯⨯ 491612234+-=-=⨯⨯.故选：D7.端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙,丙回老家过节的概率分别为11,45.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为（）A.5960 B.35 C.12 D.160【答案】B【解析】【分析】这段时间内至少1人回老家过节的对立事件是这段时间没有人回老家过节，由此能求出这段时间内至少1人回老家过节的概率.【详解】端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙,丙回老家过节的概率分别为11,45.假定三人的行动相互之间没有影响，这段时间内至少1人回老家过节的对立事件是这段时间没有人回老家过节，∴这段时间内至少1人回老家过节的概率为：1113 11113455 p⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.8.在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为（）A.4.33%B.3.33%C.3.44%D.4.44%【答案】B【解析】【分析】推理出回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，故回答服用过兴奋剂的人有5人，从而得到答案.【详解】因为抛硬币出现正面朝上的概率为12，大约有150人回答第一个问题，又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的，在回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，共有80个“是”的回答，故回答服用过兴奋剂的人有5人，因此我们估计这群人中，服用过兴奋剂的百分率大约为5150≈3.33%.故选：B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.在平行六面体ABCD A B C D -''''中，若AB 所在直线的方向向量为(2,1,3)-，则C D ''所在直线的方向向量可能为（）A.(2,1,3)B.(2,1,3)--C.(4,2,6)-D.(4,2,6)-【答案】BC 【解析】【分析】由已知可得//AB C D ''，所以它们的方向向量共线，利用向量共线的坐标关系，即可判断各个选项.【详解】由已知可得//AB C D ''，故它们的方向向量共线，对于B 选项，(2,1,3)(2,1,3)--=--，满足题意；对于C 选项，(4,2,6)2(2,1,3)-=-，满足题意；由于A 、D 选项不满足题意．故选：BC.10.下列各组事件中，是互斥事件的是（）A.一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B.统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分C.播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒D.检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%【答案】ACD 【解析】【分析】根据互斥事件的定义，两个事件不会同时发生，命中环数大于8与命中环数小于6，发芽90粒与发芽80粒，合格率高于0070与合格率为0070均为互斥事件，而平均分数不低于90分与平均分数不高于90分，当平均分为90分时可同时发生，即得解.【详解】根据互斥事件的定义，两个事件不会同时发生，对于A ，一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6,为互斥事件；对于B ，统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数不低于90分与平均分数不高于90分当平均分为90分时可同时发生，不为互斥事件；对于C ，播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒,为互斥事件；对于D ，检查某种产品，合格率高于0070与合格率为0070,为互斥事件；故选：ACD.11.已知点P 为三棱锥O ABC -的底面ABC 所在平面内的一点，且12OP OA mOB nOC =+-（m ，n R ∈），则m ，n 的值可能为（）A.1m =，12n =- B.12m =，1n = C.12m =-，1n =- D.32m =，1n =【答案】CD 【解析】【分析】根据平面向量基本定理，结合空间向量加法的几何意义进行求解即可.【详解】因为点P 为三棱锥O ABC -的底面ABC 所在平面内的一点，所以由平面向量基本定理可知：()()AP y AC z AB AO OP y AO OC z AO OB =+⇒+=+++ ，化简得：(1)OP y z OA yOC zOB =--++，显然有11y z y z --++=，而12OP OA mOB nOC =+- ，所以有11122m n m n +-=⇒-=，当1m =，12n =-时，32m n -=，所以选项A 不可能；当12m =，1n =时，12m n -=-，所以选项B 不可能；当12m =-，1n =-时，12m n -=，所以选项C 可能；当32m =，1n =时，12m n -=，所以选项D 可能，故选：CD第Ⅱ卷（非选择题）三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．【答案】34【解析】【详解】从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条这一事件共有4种，而不能构成三角形的情形为2,3,5.所以这三条线段为边可以构成三角形的概率是P ＝34.13.已知事件A ，B ，C 两两互斥，且()0.3P A =，()0.6P B =，()0.2P C =，则()P A B C ⋃⋃=______．【答案】0.9##910【解析】【分析】由互斥事件与对立事件的相关公式求解【详解】由题意得()1()0.4P B P B =-=，则()()()()0.9P A P P A B C B P C ⋃⋃=++=．故答案为：0.914.在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AA AD ===，以D 为原点，DA ，DC ，1DD方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则1AC =______，若点P 为线段AB 的中点，则P 到平面11A BC 距离为______．【答案】①.(1,2,2)-②.6【解析】【分析】第一空，根据向量的坐标运算可得答案；第二空，求出平面11A BC 的法向量，利用向量法求点到平面的距离即可得解.【详解】如图，建立空间直角坐标系，因为122AB AA AD ===，则(1,0,0)A ，1(0,2,2)C ，1(1,0,2)A ，(1,2,0)B ，(1,1,0)P ，所以1(1,2,2)AC =- ，11(1,2,0)A C =- ，1(0,2,2)A B =- ，(0,1,0)PB =，设平面11A BC 的法向量为(,,)n x y z = ，则11100A B n A C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020y z x y -=⎧⎨-+=⎩，令1y =，则2,1x z ==，故(2,1,1)n =，则P 到平面11A BC距离为66n PB d n⋅== .故答案为：(1,2,2)-；66.四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）已知2,3a b == ，且a b ⊥ 求2a b a b +⋅（）（-）（2）已知a b a b +=- ，求a b⋅ 【答案】（1）1-（2）0【解析】【分析】（1）由已知，利用向量数量积运算，结合向量垂直的向量表示即可求解；（2）由a b a b +=-，两边平方，展开运算即可.【详解】（1）因为2,3a b == ，且a b ⊥ ，所以22222222031a b a b a a b b +⋅+⋅-=⨯+-=- （）（-）=.（2）因为a b a b +=- ，则22a b a b +=- ，所以222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ，化简得22a b a b ⋅=-⋅ ，所以0a b ⋅=.16.已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．【答案】（1）3，2，2（2）（i）见解析（ii）5 21【解析】【详解】分析：（Ⅰ）结合人数的比值可知应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）由题意列出所有可能的结果即可，共有21种．（ii）由题意结合（i）中的结果和古典概型计算公式可得事件M发生的概率为P（M）=5 21．详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．（ii）由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以，事件M发生的概率为P（M）=5 21．点睛：本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．17.甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．（1）求再赛2局结束这次比赛的概率；（2）求甲获得这次比赛胜利的概率．【答案】（1）0.52（2）0.648【解析】【分析】（1）再赛2局结束这次比赛分“第三、四局甲胜”与“第三、四局乙胜”两类情况，根据根据互斥事件的概率和及独立事件同时发生的概率求解可得；（2）由题意，甲获得这次比赛胜利只需后续比赛中甲先胜两局即可，根据互斥事件的概率和及独立事件同时发生的概率求解即可.【小问1详解】用i A 表示事件“第i 局甲胜”，j B 表示事件“第j 局乙胜”（,3,4,5i j =），设“再赛2局结束这次比赛”为事件A ，则3434A A A B B =+，由于各局比赛结果相互独立，且事件34A A 与事件34B B 互斥.所以()()()()()()()()343434343434P A P A A B B P A A P B B P A P A P B P B =+=+=+0.60.60.40.40.52=⨯+⨯=．故再赛2局结束这次比赛的概率为0.52.【小问2详解】记“甲获得这次比赛胜利”为事件B ，因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲成为胜方当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而34345345B A A B A A A B A =++，由于各局比赛结果相互独立，且事件34A A ，345B A A ，345A B A 两两互斥，所以()0.60.60.40.60.60.60.40.60.648P B =⨯+⨯⨯+⨯⨯=.故甲获得这次比赛胜利的概率为0.648.18.如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，ABAF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：(1)AM ∥平面BDE ；(2)AM ⊥平面BDF.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【详解】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD ＝N ，连结NE.则N 22,,022⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，E(0，0，1)，220)，M 22,,122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.∴NE ＝22,,122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，AM ＝22,,122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.∴NE ＝AM 且NE 与AM 不共线．∴NE ∥AM.∵NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ，∴AM ∥平面BDE.(2)由(1)知AM ＝22,,122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，∵2，0，0)，22，1)，∴DF ＝(02，1)，∴AM ·DF＝0，∴AM ⊥DF.同理AM ⊥BF.又DF∩BF ＝F ，∴AM ⊥平面BDF.19.在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA AD ==，E 为线段CD 中点．（1）求直线1B E 与直线1AD 所成的角的余弦值；（2）在棱1AA 上是否存在一点P ，使得//DP 平面1B AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．【答案】（1）0（2）存在，12AP =【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，设AB a =，写出点的坐标，求出110B E AD ⋅= ，得到异面直线夹角余弦值为0；（2）设()00,0,P z ，求出平面1B AE 的一个法向量1,,2a n a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，根据0DP n ⋅= 得到方程，求出12z =，故存在点P ，使得//DP 平面1B AE ，此时12AP =.【小问1详解】以A 为坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，设AB a =，则()()()11,0,1,,1,0,0,0,0,0,1,12a B a E A D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()()()()11,1,0,0,1,1,1,0,1,10,0,00,1,122a a B E a AD ⎛⎫⎛⎫=-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，则()11,1,10,1,11102a B E AD ⎛⎫⋅=--⋅=-= ⎪⎝⎭，故直线1B E 与直线1AD 所成的角的余弦值为0；【小问2详解】存在满足要求的点P ，理由如下：设棱1AA 上存在点()00,0,P z ，使得//DP 平面1B AE ，0,1,0，则()00,1,DP z =- ，设平面1B AE 的一个法向量为(),,n x y z =，则()()()1,,,0,10,,,1,0022n AB x y z a ax z a a n AE x y z x y ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⎛⎫⋅=⋅=+= ⎪⎪⎝⎭⎩，取1x =得,2a y z a =-=-，故1,,2a n a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，要使//DP 平面1B AE ，则n DP ⊥，即()00,1,1,,02a DP n z a ⎛⎫⋅=-⋅--= ⎪⎝⎭ ，所以002a az -=，解得012z =，故存在点P ，使得//DP 平面1B AE ，此时12AP =.。
山东省济宁市邹城市第一中学2024-2025学年高二上学期10月阶段性检测数学试题
山东省济宁市邹城市第一中学2024-2025学年高二上学期10月阶段性检测数学试题一、单选题1．下列可使,,a b c r r r 构成空间的一个基底的条件是（ ）A ．,,a b c r r r 两两垂直B ．b c λ=r rC ．a mb nc =+r r rD ．0a b c ++=r r r r 2．在长方体1111ABCD A B C D -中，下列向量与CD u u u r 是相等向量的是（ ）A ．AB u u u r B ．BA u u u rC ．11A B u u u u rD ．DC u u u r3．在三棱锥A BCD -中，E 是棱CD 的中点，且23BF BE =u u u v u u u v ，则AF =u u u v （ ） A ．133244AB AC AD +-u u u v u u u v u u u v B ．3344AB AC AD +-u u u v u u u v u u u v C ．533AB AC AD -++u u u v u u u v u u u v D ．111333AB AC AD ++u u u v u u u v u u u v 4．已知空间向量()()1,3,5,2,,a b x y =-=r r ，且a r ∥b r ，则x y +=（ ）A ．10B ．6C ．4D ．4-5．现有7张分别标有1,2,3,4,5,6,7的卡片，甲一次性从中随机抽取5张卡片，抽到的卡片数字之和为a ，剩下的2张卡片数字之和为b ，则3a b ≥的概率为（ ）A ．57B ．27 C ．47 D ．376．在空间直角坐标系中，已知()()()1,1,0,4,3,0,5,4,1A B C --，则A 到BC 的距离为（ ）A ．3BCD 7．如图所示，在60︒二面角的棱上有两点A ，B ，线段AC ，BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，若4AB AC BD ===，则线段CD 的长为（ ）A ．B ．1C ．8D ．8．在棱长为1的正四面体A BCD -中，点M 满足()1AM xAB yAC x y AD =++--u u u r u u u u ur u r u u u u r ，点N 满足()1DN DB DC λλ=--u u u r u u u r u u u r ，当线段AM 、DN 的长度均最短时，AM AN ⋅=u u u u r u u u r （ ）A ．23B ．23-C ．43D ．43- 9．抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记录骰子朝上面的点数，若用x 表示红色骰子的点数，用y 表示绿色骰子的点数，用(),x y 表示一次试验结果，设事件:8E x y +=；事件F ：至少有一颗点数为5；事件:4G x >；事件:4H y ≤.则下列说法正确的是（ ） A ．事件E 与事件F 为互斥事件B ．事件F 与事件G 为互斥事件C ．事件E 与事件G 相互独立D ．事件G 与事件H 相互独立10．已知正四面体ABCD 的棱长为6，P 是四面体ABCD 外接球的球面上任意一点，则PA PB⋅u u u r u u u r 的取值范围为（ ）A ．6⎡-+⎣B ．9⎡-+⎣C ．⎡⎣D ．⎡⎣二、多选题11．从装有3只红球，3只白球的袋中任意取出3只球，则下列每对事件，是互斥事件，但不是对立事件的是（ ）A ．“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”B ．“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”C ．“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”D ．“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球”12．给出下列命题，其中正确的是（ ）A ．对空间任意一点O 和不共线的三点,,ABC ，若222OP OA OB OC =--u u u r u u r u u u u r u u u u r ，则,,,P A B C四点共面B ．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线C ．若直线l 的方向向量为()1,0,3e =r ，平面α的法向量为22,0,3n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r ，则直线l ∥α D ．已知向量()()9,4,4,1,2,2a b =-=r r ，则a r 在b r 上的投影向量为()1,2,213．已知事件A ，B ，且()0.5P A =，()0.2P B =，则下列结论正确的是（ ）A ．如果B A ⊆，那么()0.2P A B =U ，()0.5P AB =B ．如果A 与B 互斥，那么()0.7P A B ⋃=，()0P AB =C ．如果A 与B 相互独立，那么()0.7P A B ⋃=，()0P AB =D ．如果A 与B 相互独立，那么()0.4P AB =，()0.4P AB =14．如图，PA ⊥平面ABCD ，正方形ABCD 边长为1，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF PE ⊥时，则（ ）A ．:2:1AF FD =B ．:1:1AF FD =C ．若P A =1，则异面直线PE 与BC 所成角的余弦值为23D ．若P A =1，则直线PE 与平面ABCD 所成角为30o15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是11A D 、11C D 的中点，G 为线段BC 上的动点(含端点)，则下列结论中正确的是（ ）A ．存在点G 使得直线BD ⊥平面EFGB ．存在点G 使得直线AB 与EG 所成角为45°C ．G 为BC 的中点时和G 、C 重合时的三棱锥1G EFD -的外接球体积相等D ．当G 与B 重合时三棱锥1G EFD -的外接球体积最大三、填空题16．掷一枚质地均匀的骰子一次，则掷得奇数点的概率是.17．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来1524石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为石．18．已知三棱锥P ABC -，点G 满足：0GP GA GB GC +++=u u u r u u u r u u u r u u u r r ，过点G 作平面，与直线PA ，PB ，PC 分别相交于,,D E F 三点，且PD xPA =u u u r u u u r ，PE yPB =u u u r u u u r ，PF zPC =u u u r u u u r ，则111x y z ++=. 19．某校进行定点投篮训练，甲、乙、丙三个同学在固定的位置投篮，投中的概率分别12，23，p ，已知每个人投篮互不影响，若这三个同学各投篮一次，至少有一人投中的概率为78，则p ＝.20．某中学组织学生到一工厂开展劳动实习，加工制作帐篷．将一块边长为6m 的正方形材料先按如图①所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形（其中2m AA BB CC DD ''''====），然后，将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个四棱锥型的帐篷（如图②）．该四棱锥底面ABCD 是正方形，从顶点P 向底面作垂线，垂足恰好是底面的中心，则直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为．四、解答题21．在如图所示的多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，2,1,AC AD CD DE AB G ===== 为AD 中点，F 是CE 的中点.(1)证明：//BF 平面ACD(2)求点G 到平面BCE 的距离.22．为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表：(1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率；(2)一名同学先玩了游戏一，试问m为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大．23．如图，已知SA垂直于梯形ABCD所在的平面，矩形SADE的对角线交于点F，G为SB 的中点，π2∠=∠=ABC BAD，122SA AB BC AD====.(1)求证：//BD平面AEG；(2)求平面SCD与平面ESD夹角的余弦值；(3)在线段EG上是否存在一点H，使得BH与平面SCD所成角的大小为π6?若存在，求出GH 的长；若不存在，说明理由.。
2019年-2020学年高一上学期数学期末模拟考试试题(含答案解析)
2019年-2020 学年高一数学期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．110．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是2512．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．13．函数的递减区间是（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．2019年-2020 学年高一期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]【答案】A【解答】解：A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∪B＝（﹣∞，4）．故选：A．2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）【答案】C【解答】解：∵f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x﹣8存在一个零点该同学在第二次应计算的函数值＝1.25，故选：C．3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由，可知当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，排除A，C；当x→+∞时，由指数爆炸可知e x＞x3，则→0，排除B．故选：D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由于连续函数满足f（）＝﹣2＜0，f（）＝＞0，且函数在区间（，）上单调递增，故函数函数的零点所在的区间为（，）．故选：C．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解答】解：由于ln|a|＞ln|b|⇔|a|＞|b|＞0，由a＞b推不出ln|a|＞ln|b|，比如a＝1，b＝﹣2，有a＞b，但ln|a|＜ln|b|；反之，由ln|a|＞ln|b|推不出a＞b，比如a＝﹣2，b＝1，有ln|a|＞ln|b|，但a＜b；∴“a＞b”是“ln（a﹣b）＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]【答案】A【解答】解：令t（x）＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1≤1∵单调递减∴即y≥故选：A．7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c【答案】B【解答】解：因为a＞b＞c＞1，令a＝16，b＝8，c＝2，则log c a＞1＞log a b所以A，C错，则故D错，B对．故选：B．8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）【答案】B【解答】解：函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，设g（x）＝ax2﹣2x+a，则g（x）能取边所有的正数，即（0，+∞）是g（x）值域的子集，当a＝0时，g（x）＝﹣2x的值域为R，满足条件．当a≠0时，要使（0，+∞）是g（x）值域的子集，则满足得，此时0＜a≤1，综上所述，0≤a≤1，故选：B．9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．1【答案】A【解答】解：由于x1和x2是函数y＝e x和函数y＝lnx与函数y＝的图象的公共点A和B的横坐标，而A（），B（）两点关于y＝x对称，可得，因此x1x2＝4，故选：A．10．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解答】设蒲草每天长的高度为数列{a n}，莞草每天长的高度为数列{b n}，由题意得：{a n}为等比数列，求首项为3，公比为，所以通项公式a n＝3•（）n﹣1，前n项和S n＝6[1﹣（）n]，{b n}为等比数列，首项为1，公比为2，所以通项公式b n＝2n﹣1，前n项和T n＝2n﹣1；由题意得设n天莞草是蒲草的二倍，即2n﹣1＝2•6[1﹣（）n]⇒（2n）2﹣13•2n+12＝0⇒2n＝12或1（舍）两边取以10为底的对数，n＝＝＝2+由相关数据可得，n＝4，故选：C．二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是25【答案】25【解答】解：因为x＞0，y＞0，+＝1，所以3x+4y＝（3x+4y）（+）＝13++≥13+2＝25（当且仅当x＝2y 时取等号），所以（3x+4y）min＝25．故答案为：25．12．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．【答案】（4，）；．【解答】解：对于函数（a＞0且a≠1），令2x﹣7＝1，求得x＝4，y＝，可得它的图象恒过定点P（4，）．点P在幂函数g（x）＝xα的图象上，则4α＝，即22α＝2﹣1，∴α＝﹣，g（x）＝＝，故g（9）＝＝，故答案为：（4，）；．13．函数的递减区间是（3，+∞）．【答案】（3，+∞）【解答】解：由2x2﹣5x﹣3＞0得x＞3或x＜﹣，设t＝2x2﹣5x﹣3，则当x＞3时，函数t为增函数，当x＜﹣时，函数t为减函数，∵y＝log0.1t为减函数，∴要求y＝log0.1（2x2﹣5x﹣3）的递减区间，即求函数t＝2x2﹣5x﹣3的递增区间，即（3，+∞），即函数f（x）的单调递减区间为为（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．【答案】（，1）．【解答】解：∵函数f（x）＝有3个零点，∴a＞0 且y＝ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，∴，解得＜a＜1，故答案为：（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．【解答】解：∵f（x）＝3x+2m﹣1是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数，∴存在x0∈[﹣1，1]满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），∴3+2m﹣1＝﹣3﹣2m+1，∴4m＝﹣3﹣3+2，构造函数y＝﹣3﹣3+2，x0∈[﹣1，1]，令t＝3，t∈[，3]，y＝﹣﹣t+2，y∈[﹣，0]，∴﹣＜0，∴﹣，故答案为：[﹣，0）．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围【解答】解：（1）∵函数的定义域为集合A，∴A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，∴∁R A＝{x|x≤﹣1或x≥2}，∵集合B＝{x|1＜x＜8}，∴集合（∁R A）∪B＝{x|x≤﹣1或x＞1}．（2）∵A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，C＝{x|a＜x＜2a+1}，A∪C＝A，∴C⊆A，当C＝∅时，a≥2a+1，解得a≤﹣1，当C≠∅时，，解得﹣1＜x．综上，a的取值范围是（﹣∞，]．17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．【解答】解：（1）5a＝3，5b＝4，得a＝log53，b＝log54，log2536＝，（2）原式＝﹣1+2＝﹣1﹣2+2＝2.5﹣1＝1.5．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．【解答】解：（1）不等式即为log a（1﹣x）＜log a（x+3），∵0＜a＜1，∴1﹣x＞x+3＞0，得解为﹣3＜x＜﹣1，（2），由﹣x2﹣2x+3＞0解得其定义域为（﹣3，1），∵h（x）＝﹣x2﹣2x+3z在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，∴h（x）max＝h（﹣1）＝4．∵0＜a＜1，且F（x）的最小值为﹣4，∴log a4＝﹣4．得a﹣4＝4，所以a＝＝．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．（1）由题意可知x年的维修，使用x年后的总保养、维修费用为8x+【解答】解：＝2x2+6x．所以盈利总额y关于x的函数为：y＝54x﹣（2x2+6x）﹣128＝﹣2x2+48x﹣128（x∈N×）．（2）由y＞0，得﹣2x2+48x﹣128＞0，即x2﹣24x+64＜0，解得，由x∈N*，得4≤x≤20．答：第4年该设备开始盈利．（3）方案①年平均盈利，当且仅当，即x＝8时取等号，．所以方案①总利润为16×8+42＝170（万元），方案②y＝﹣2（x﹣12）2+160，x＝12时y取得最大值160，所以方案②总利润为160+10＝170（万元），答：选择方案①处理较为合理．。
2019-2020年高二下学期期末数学试卷(文科)含解析
2019-2020年高二下学期期末数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞04．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．58．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.0049．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=_______．12．函数y=的值域为_______．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是_______．14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于_______．15．已知函数则的值为_______．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行_______次才停止；若运算进行3次才停止，则x的取值范围是_______．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？20．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．2015-2016学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出不等式x（x﹣2）＜0的解集，即求出A，再由交集的运算求出A∩B．【解答】解：由x（x﹣2）＜0得，0＜x＜2，则A={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，∴A∩B═{x|1＜x＜2}=（1，2），故选D．2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为3，即a n2﹣a n﹣12=3从而利用等差数列通项公式an2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1=20，得解，n=7【解答】解：数列…，各项的平方为：2，5，8，11，…则a n2﹣a n﹣12=3，又∵a12=2，∴a n2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，令3n﹣1=20，则n=7．故选B．3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0 C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞0【考点】四种命题的真假关系．【分析】注意判断区分∃和∀．【解答】解：A错误，因为，不存在x0∉ZB错误，因为C错误，x=3时不满足；D中，△＜0，正确，故选D答案：D4．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】导数的运算．【分析】先求原函数的导函数，再把x=1的值代入即可．【解答】解：∵y′=，∴y′|x=1==1．故选：A．5．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．【分析】把a=﹣2代入复数，可以得到复数是纯虚数，当复数是纯虚数时，得到的不仅是a=﹣2这个条件，所以得到结论，前者是后者的充分不必要条件．【解答】解：a=﹣2时，Z=（22﹣4）+（﹣2+1）i=﹣i是纯虚数；Z为纯虚数时a2﹣4=0，且a+1≠0∴a=±2．∴“a=2”可以推出“Z为纯虚数”，反之不成立，故选A．6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】a=30.2＞1，利用换底公式可得：b=log64=，c=log32=，由于1＜log26＜log29，即可得出大小关系．【解答】解：∵a=30.2＞1，b=log64=，c=log32==，∵1＜log26＜log29，∴1＞b＞c，则a＞b＞c，故选：B．7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．5【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．8．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004【考点】独立性检验的应用．【分析】本题考查的知识点是独立性检验公式，我们由列联表易得：a=11，b=34，c=8，d=37，代入K2的计算公式：K2=即可得到结果．【解答】解：由列联表我们易得：a=11，b=34，c=8，d=37则K2===0.6004≈0.60故选A9．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【考点】抽象函数及其应用．【分析】首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B 选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C 选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D 选项正确；故选C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=﹣1+i．【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果．【解答】解：∵复数z满足（1﹣i）z=2i，则z====﹣1+i，故答案为：﹣1+i．12．函数y=的值域为{y|y≠2} ．【考点】函数的值域．【分析】函数y===2+，利用反比例函数的单调性即可得出．【解答】解：函数y===2+，当x＞1时，＞0，∴y＞2．当x＜1时，＜0，∴y＜2．综上可得：函数y=的值域为{y|y≠2}．故答案为：{y|y≠2}．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是P＞Q．【考点】不等式比较大小．【分析】利用作差法，和平方法即可比较大小．【解答】解：∵P=﹣1，Q=﹣，∴P﹣Q=﹣1﹣+=（+）﹣（+1）∵（+）2=12+2，（ +1）2=12+2∴+＞+1，∴P﹣Q＞0，故答案为：P＞Q14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于0.9．【考点】线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵==1.5，==3，∴这组数据的样本中心点是（1.5，3）把样本中心点代入回归直线方程，∴3=1.4×1.5+a，∴a=0.9．故答案为：0.9．15．已知函数则的值为﹣．【考点】函数的值；函数迭代．【分析】由题意可得=f（﹣）=3×（﹣），运算求得结果．【解答】解：∵函数，则=f（﹣）=3×（﹣）=﹣，故答案为﹣．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行4次才停止；若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是（10，28] ．【考点】循环结构．【分析】本题的考查点是计算循环的次数，及变量初值的设定，在算法中属于难度较高的题型，处理的办法为：模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中各变量的值进行管理，并分析变量的变化情况，最终得到答案．【解答】解：（1）程序在运行过程中各变量的值如下表示：x x 是否继续循环循环前5∥第一圈15 13 是第二圈39 37 是第三圈111 109 是第四圈327 325 否故循环共进行了4次；（2）由（1）中数据不难发现第n圈循环结束时，经x=（x0﹣1）×3n+1：x 是否继续循环循环前x0/第一圈（x0﹣1）×3+1 是第二圈（x0﹣1）×32+1 是第三圈（x0﹣1）×33+1 否则可得（x0﹣1）×32+1≤244且（x0﹣1）×33+1＞244解得：10＜x0≤28故答案为：4，（10，28]三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．【分析】（1）使函数各部分都有意义的自变量的范围，即列出不等式组，解此不等式组求出x范围就是函数的定义域；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．【解答】解：（1）由题得，使解析式有意义的x范围是使不等式组成立的x范围，解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（2）函数f（x）为奇函数，证明：由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣log a（1+x）+log a（1﹣x）=﹣[log a（1+x）﹣log a （1﹣x）]=﹣f（x）所以函数f（x）为奇函数．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】先将命题p，q分别化简，然后根据若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，判断出p，q一真一假，分类讨论即可．【解答】解：由题意命题P：x2+mx+1=0有两个不等的实根，则△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2，命题Q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根，则△＜0，解得﹣3＜m＜﹣1，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假，（1）当P真q假时：，解得m≤﹣3，或m＞2，（2）当P假q真时：，解得﹣2≤m＜﹣1，综上所述：m的取值范围为m≤﹣3，或m＞2，或﹣2≤m＜﹣1．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积，再利用导数的方法解决，应注意函数的定义域．【解答】解：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积（0＜x＜60）．（0＜x＜60）令=0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V（40）=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm320．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，可得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，f'（1）=2+1=3，所以斜率k=3，又切点（1，2），所以切线方程为y﹣2=3（x﹣1）），即3x﹣y﹣1=0故曲线y=f（x）在x=1处切线的切线方程为3x﹣y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max．g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g （x）max=2由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，，所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（I）由{a n}伴随数列{b n}的定义可得前5项为1，1，1，2，3．（II）由a n=3n﹣1≤m，可得n≤1+log3m，m∈N*，分类讨论：当1≤m≤2时，m∈N*，b1=b2=1；当3≤m≤8时，m∈N*，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20时，m∈N*，b9=b10=…=3；即可得出数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【解答】解：（Ⅰ）数列1，4，5，…的伴随数列{b n}的前5项1，1，1，2，3；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m（m∈N*）．∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1；当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20，m∈N*时，b9=b10=…=b20=3．∴b1+b2+…+b20=1×2+2×6+3×12=50．2016年9月9日。
2022-2023学年山东省济宁市兖州区高二(上)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年山东省济宁市兖州区高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线x −√3y +1=0的倾斜角为（ ） A ．120°B ．150°C ．30°D ．45°2．已知a →=(2，−2，−3)，b →=(2，0，4)，则cos〈a →，b →〉=（ ） A ．4√8585B ．−4√8585C ．0D ．13．“m ＝﹣1”是“直线l 1：mx +2y +1＝0与直线l 2：12x +my +12=0平行”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件4．甲、乙两位同学独立地解答某道数学题，若甲、乙解出的概率都是25，则这道数学题被解出的概率是（ ） A ．425B ．925C ．1625D ．21255．直线y ﹣1＝k （x ﹣3）被圆（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝4所截得的最短弦长等于（ ） A ．√2B ．2√3C ．2√2D ．√56．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．237．若直线l ：ax +by ﹣1＝0（ab ＞0）始终平分圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝4的周长，则1a+1b的最小值为（ ） A ．3+2√2B ．6C ．7D ．3+4√28．若直线l ：kx ﹣y ﹣2＝0与曲线C ：√1−(y −1)2=x −1有两个交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(43，2]B ．(43，4) C ．[−2，43)∪(43，2]D ．(43，+∞)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ）A ．2个球都是红球的概率为16B ．2个球不都是红球的概率为13C ．至少有1个红球的概率为23D ．2个球中恰有1个红球的概率为1210．小明与小华两人玩游戏，则下列游戏公平的有（ ）A ．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜B ．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜C ．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜D ．小明、小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜 11．已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝16，直线l ：（2m ﹣1）x +（m ﹣1）y ﹣3m +1＝0．下列说法正确的是（ ）A ．直线l 恒过定点（2，1）B ．圆C 被y 轴截得的弦长为2√15C ．直线l 被圆C 截得弦长存在最大值，此时直线l 的方程为2x +y ﹣3＝0D ．直线l 被圆C 截得弦长存在最小值，此时直线l 的方程为x ﹣2y ﹣4＝012．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M 是线段BC 1上运动，则下列说法正确的是（ ）A ．A 1M ∥平面ACD 1B ．几何体A 1BC 1﹣ACD 1的外接球半径r =√2C ．异面直线CD 与A 1M 所成角的正弦值的取值范围为[√33，√22] D ．面A 1DM 与底面ABCD 所成角正弦值的取值范围为[√22，√63] 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．经过两直线2x +y ﹣1＝0与x ﹣y ﹣2＝0的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 ．14．已知空间中有三点A （3，2，0），B （3，2，2），C （3，0，1），则C 到直线AB 的距离为 ． 15．写出与圆x 2+y 2＝1和（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程 ．16．若圆x 2+y 2+2x +4y ﹣3＝0上到直线x +2y +a ＝0的距离等于√2的点恰有3个，则实数a 的值为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知△ABC 的三个顶点分别为A （0，1），B （2，1），C （0，5）， （1）BC 边上中线所在直线的方程（D 为BC 中点）； （2）BC 边的垂直平分线的方程；18．（12分）袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是59，得到黄球或绿球的概率是23，试求：（Ⅰ）从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？ （Ⅱ）从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？ 19．（12分）已知直线方程为y +2＝k （x +1）． （1）若直线的倾斜角为135°，求k 的值；（2）若直线分别与x 轴、y 轴的负半轴交于A 、B 两点，O 为坐标原点，求△AOB 面积的最小值及此时直线的方程．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，P A ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1，点M ，N 分别为棱PB ，DC 的中点． （1）求证：AM ∥平面PCD ；（2）求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值．21．（12分）已知圆C ：（x ﹣2）2+y 2＝9．（1）直线l 1过点D （﹣1，1），且与圆C 相切，求直线l 1的方程；（2）设直线l 2：x +√3y ﹣1＝0与圆C 相交于M ，N 两点，点P 为圆C 上的一动点，求△PMN 的面积S 的最大值．22．（12分）如图，在正四棱锥P ﹣ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，AB ＝2，OP ＝1． （1）求二面角C ﹣AP ﹣B 的大小；（2）在线段AD 上是否存在一点Q ，使得PQ 与平面APB 所成角的正弦值为√26？若存在，指出点Q 的位置；若不存在，说明理由．2022-2023学年山东省济宁市兖州区高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线x −√3y +1=0的倾斜角为（ ） A ．120°B ．150°C ．30°D ．45°解：设直线x −√3y +1=0的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°）， 则tan θ=1−√3=√33， ∴θ＝30°， 故选：C ．2．已知a →=(2，−2，−3)，b →=(2，0，4)，则cos〈a →，b →〉=（ ） A ．4√8585B ．−4√8585C ．0D ．1解：∵a →=(2，−2，−3)，b →=(2，0，4)， ∴cos ＜a →，b →＞=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=4+0−12√17⋅2√5=−4√8585．故选：B ．3．“m ＝﹣1”是“直线l 1：mx +2y +1＝0与直线l 2：12x +my +12=0平行”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件解：若直线l 1：mx +2y +1＝0与直线l 2：12x +my +12=0平行，则m 2−2×12=0， 所以m ＝1或m ＝﹣1，当m ＝1时，直线l 1：x +2y +1＝0与直线l 2：12x +y +12=0重合，舍去．故m ＝﹣1是直线l 1：mx +2y +1＝0与直线l 2：12x +my +12=0平行充要条件．故选：A ．4．甲、乙两位同学独立地解答某道数学题，若甲、乙解出的概率都是25，则这道数学题被解出的概率是（ ）A ．425B ．925C ．1625D ．2125解：当甲，乙都解不出时，这道数学题不被解出，概率为(1−25)×(1−25)=925； 所以这道数学题被解出的概率是1−925=1625． 故选：C ．5．直线y ﹣1＝k （x ﹣3）被圆（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝4所截得的最短弦长等于（ ） A ．√2B ．2√3C ．2√2D ．√5解：直线过定点（3，1），由圆的方程可知圆心为（2，2），半径为2， 所以圆心到直线的最大距离为点（2，2），（3，1）的距离√2， 所以最短的弦长为2√22−(√2)2=2√2， 故选：C ．6．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．23解：从2至8的7个整数中任取两个数共有C 72=21种方式，其中互质的有：23，25，27，34，35，37，38，45，47，56，57，58，67，78，共14种， 故所求概率为1421=23．故选：D ．7．若直线l ：ax +by ﹣1＝0（ab ＞0）始终平分圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝4的周长，则1a+1b 的最小值为（ ） A ．3+2√2B ．6C ．7D ．3+4√2解：圆C 的圆心为C （1，2），由题意可知，直线1过圆心C ，则a +2b ＝1， 因为ab ＞0，则a ＞0且b ＞0，因此，1a+1b=(a +2b)(1a+1b)=3+2b a +a b≥3+2√2b a⋅a b=3+2√2，当且仅当a =√2b 时，等号成立，故1a+1b的最小值为3+2√2．故选：A ．8．若直线l ：kx ﹣y ﹣2＝0与曲线C ：√1−(y −1)2=x −1有两个交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(43，2]B ．(43，4) C ．[−2，43)∪(43，2]D ．(43，+∞)解：直线l ：kx ﹣y ﹣2＝0恒过定点（0，﹣2），由曲线C ：√1−(y −1)2=x −1⇒（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1， 所以曲线C 表示以点（1，1）为圆心，半径为1，且位于直线x ＝1右侧的半圆（包括点（1，2），（1，0）），如图所示：当直线l 经过点（1，0）时，l 与曲线C 有两个不同的交点，此时k ＝2； 当l 与半圆相切时，由√k 2+1=1，得k =43，分析可知当43＜k ≤2时，l 与曲线C 有两个不同的交点． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ）A ．2个球都是红球的概率为16B ．2个球不都是红球的概率为13C ．至少有1个红球的概率为23D ．2个球中恰有1个红球的概率为12解：设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A 1，从“乙袋中摸出一个红球”为事件A 2， 则P （A 1）=13，P （A 2）=12，对于A 选项，2个球都是红球为A 1A 2，其概率为13×12=16，故A 选项正确，对于B 选项，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为1−16=56，故B 选项错误，对于C 选项，2个球至少有一个红球的概率为1−P(A 1)P(A 2)=1−23×12=23，故C 选项正确， 对于D 选项，2个球中恰有1个红球的概率为13×12+23×12=12，故D 选项正确．故选：ACD ．10．小明与小华两人玩游戏，则下列游戏公平的有（ ）A ．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜B ．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜C ．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜D ．小明、小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜 解：对于A ，抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数和向上的点数为偶数是等可能的，所以游戏公平，故选项A 正确；对于B ，恰有一枚正面向上包括（正，反），（反，正）两种情况，而两枚都正面向上仅有（正，正）一种情况，所以游戏不公平，故选项B 错误；对于C ，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色和扑克牌是黑色是等可能的，所以游戏公平，故选项C 正确；对于D ，小明、小华两人各写一个数字6或8，一共有四种情况：（6，6），（6，8），（8，6），（8，8，），两人写的数字相同和两人写的数字不同是等可能的，所以游戏公平，故选项D 正确． 故选：ACD ．11．已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝16，直线l ：（2m ﹣1）x +（m ﹣1）y ﹣3m +1＝0．下列说法正确的是（ ）A ．直线l 恒过定点（2，1）B ．圆C 被y 轴截得的弦长为2√15C ．直线l 被圆C 截得弦长存在最大值，此时直线l 的方程为2x +y ﹣3＝0D ．直线l 被圆C 截得弦长存在最小值，此时直线l 的方程为x ﹣2y ﹣4＝0 解：由（2m ﹣1）x +（m ﹣1）y ﹣3m +1＝0， 得m （2x +y ﹣3）+（﹣x ﹣y +1）＝0， 联立{2x +y −3=0−x −y +1=0，解得{x =2y =−1，∴直线l 恒过定点（2，﹣1），故A 错误； 在（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝16中，取x ＝0，得（y ﹣1）2＝15，则y ＝1±√15，∴圆C 被y 轴截得的弦长为2√15，故B 正确；∵点P （2，﹣1）在圆（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝16内部，k PC =−1−12−1=−2， ∴当直线过圆心时，直线l 被圆C 截得弦长取最大值，此时直线l 的方程为y ﹣1＝﹣2（x ﹣1），即2x +y ﹣3＝0，而直线系方程（2m ﹣1）x +（m ﹣1）y ﹣3m +1＝0中不含直线2x +y ﹣3＝0，故C 错误；当直线l ⊥PC 时，直线l 被圆C 截得弦长取最小值，此时k l =12， 直线l 的方程为y +1=12(x −2)，即x ﹣2y ﹣4＝0，故D 正确． 故选：BD ．12．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M 是线段BC 1上运动，则下列说法正确的是（ ）A ．A 1M ∥平面ACD 1B ．几何体A 1BC 1﹣ACD 1的外接球半径r =√2 C ．异面直线CD 与A 1M 所成角的正弦值的取值范围为[√33，√22] D ．面A 1DM 与底面ABCD 所成角正弦值的取值范围为[√22，√63]解：由于平面A 1BC 1∥平面ACD 1，A 1M ⊂平面A 1BC 1，则A 1M ∥平面ACD 1，A 正确．几何体A 1BC 1﹣ACD 1关于正方体的中心对称，其外接球与正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的外接球相同，半径为√3，故B 错误．由于CD ∥A 1B 1，则直线A 1B 1与A 1M 所成最大角为∠B 1A 1C 1（或∠B 1A 1B ），其正弦值为√22． 直线A 1B 1与A 1M 所成最小角为A 1B 1与平面A 1BC 1所成角，当M 为BC 1中点时，所成角即为∠B 1A 1M ，其正弦值为√33，故C 正确． 同理，D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．经过两直线2x +y ﹣1＝0与x ﹣y ﹣2＝0的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 x +y ＝0，或x ﹣y ﹣2＝0 ．解：联立{2x +y −1=0x −y −2=0，解得{x =1y =−1，可得此两条直线交点P （1，﹣1）．要求的直线经过原点时满足条件，可得直线方程为y ＝﹣x ． 要求的直线不经过原点时，设直线方程为xa +y −a=1，把交点P （1，﹣1）代入可得1a+−1−a=1，解得a ＝2．所以直线的方程为x ﹣y ＝2．综上直线方程为x +y ＝0，或x ﹣y ﹣2＝0． 故答案为：x +y ＝0，或x ﹣y ﹣2＝0．14．已知空间中有三点A （3，2，0），B （3，2，2），C （3，0，1），则C 到直线AB 的距离为 2 ． 解：因为点A （3，2，0），B （3，2，2），C （3，0，1）， 所以AB →=（0，0，2），AC →=（0，﹣2，1）； 所以C 到直线AB 的距离为d =√AC →2−(AC →⋅AB →|AB →|)2=√(0+4+1)−(0+0+22)2=√5−1=2． 故答案为：2．15．写出与圆x 2+y 2＝1和（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程 x ＝﹣1（填3x +4y ﹣5＝0，7x ﹣24y ﹣25＝0都正确） ．解：圆x 2+y 2＝1的圆心坐标为O （0，0），半径r 1＝1，圆（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝16的圆心坐标为C （3，4），半径r 2＝4， 如图：∵|OC |＝r 1+r 2，∴两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条． ∵k OC =43，∴l 1的斜率为−34，设直线l 1：y =−34x +b ，即3x +4y ﹣4b ＝0， 由|−4b|5=1，解得b =54（负值舍去），则l 1：3x +4y ﹣5＝0；由图可知，l 2：x ＝﹣1；l 2与l 3关于直线y =43x 对称，联立{x =−1y =43x，解得l 2与l 3的一个交点为（﹣1，−43），在l 2上取一点（﹣1，0）， 该点关于y =43x 的对称点为（x 0，y 0），则{y 02=43⋅x 0−12y 0x 0+1=−34，解得对称点为（725，−2425）． ∴k l 3=−2425+43725+1=724，则l 3：y =724(x +1)−43，即7x ﹣24y ﹣25＝0． ∴与圆x 2+y 2＝1和（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程为：x ＝﹣1（填3x +4y ﹣5＝0，7x ﹣24y ﹣25＝0都正确）．故答案为：x ＝﹣1（填3x +4y ﹣5＝0，7x ﹣24y ﹣25＝0都正确）．16．若圆x 2+y 2+2x +4y ﹣3＝0上到直线x +2y +a ＝0的距离等于√2的点恰有3个，则实数a 的值为 5+√10或5−√10 ．解：圆的方程即（x +1）2+（y +2）2＝8，则圆的圆心为（﹣1，﹣2），半径为r =2√2，则满足题意时，圆心到直线x +2y +a ＝0的距离为√2， 即√1+4=√2，解得：a =5±√10． 故答案为：5+√10或5−√10．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知△ABC 的三个顶点分别为A （0，1），B （2，1），C （0，5），（1）BC 边上中线所在直线的方程（D 为BC 中点）；（2）BC 边的垂直平分线的方程；解：（1）∵B （2，1），C （0，5），∴线段BC 的中点D （1，3），∴k AD =3−11−0=2，故中线的方程为y ﹣1＝2（x ﹣0），即2x ﹣y +1＝0．（2）∵B （2，1），C （0，5），∴k BC =5−10−2=−2，∴中垂线的斜率为12， ∴中垂线的方程为y −3=12(x −1)，即x ﹣2y +5＝0．18．（12分）袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是59，得到黄球或绿球的概率是23，试求： （Ⅰ）从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？（Ⅱ）从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？（1）解：从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件A ，B ，C ，由于A ，B ，C 为互斥事件，根据已知得{P(A)+P(B)+P(C)=1P(A)+P(B)=59P(B)+P(C)=23， 解得 { P(A)=13P(B)=29P(C)=49， ∴从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是13，29，49．（6分） （2）由（1）知黑球、黄球、绿球个数分别为3，2，4，得到的两个球同色的可能有：两个黑球共3种情况，两个黄球只有1种情况，四个绿球共有6种情况， 而从9个球中取出2个球的情况共有36种，所以所求概率为3+1+636=518，则得到的两个球颜色不相同的概率是1−518=1318．（12分）19．（12分）已知直线方程为y +2＝k （x +1）．（1）若直线的倾斜角为135°，求k 的值；（2）若直线分别与x 轴、y 轴的负半轴交于A 、B 两点，O 为坐标原点，求△AOB 面积的最小值及此时直线的方程．解：（1）直线方程为y +2＝k （x +1），若直线的倾斜角为135°，则斜率k ＝tan135°＝﹣1；（2）令x ＝0，得y ＝k ﹣2，令y ＝0，得x =2k −1，则{k −2＜02k−1＜0，解得k ＜0， 所以直线与x 轴交于点A （2k −1，0），与y 轴交于点B （0，k ﹣2），所以△AOB 的面积为S △AOB =12•|OA |•|OB |=12•|2k −1|•|k ﹣2|=12（﹣k +4−k +4）≥12（2√(−k)⋅4−k+4）＝2+2＝4，当且仅当﹣k =4−k ，即k ＝﹣2时取等号， 所以△AOB 面积的最小值为4，此时直线l 的方程为y +2＝﹣2（x +1），即2x +y +4＝0．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，P A ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1，点M ，N 分别为棱PB ，DC 的中点．（1）求证：AM ∥平面PCD ；（2）求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值．（1）证明：以A 为坐标原点，AD 为x 轴，AB 为y 轴，AP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A （0，0，0），B （0，2，0），C （2，2，0），D （1，0，0），P （0，0，2），M （0，1，1）， 则AM →=（0，1，1），PD →=（1，0，﹣2），CD →=（（﹣1，﹣2，0），设平面PCD 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅PD →=x −2z =0n →⋅CD →=−x −2y =0，令z ＝1，则x ＝2，y ＝﹣1，则平面PCD 的一个法向量为n →=（2，﹣1，1），∴n →•AM →=0﹣1+1＝0，∴n →⊥AM →，∴AM ∥平面PCD ；（2）解：由（1）得N （32，1，0），∴MN →=（32，0，﹣1）， 设直线MN 与平面PCD 所成角为θ．∴sin θ＝|cos ＜MN →，n →＞|=|n →⋅MN →||n →|⋅|MN →|=3−1√4+1+1×√94+0+1=2√7839． ∴直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值为2√7839．21．（12分）已知圆C ：（x ﹣2）2+y 2＝9． （1）直线l 1过点D （﹣1，1），且与圆C 相切，求直线l 1的方程； （2）设直线l 2：x +√3y ﹣1＝0与圆C 相交于M ，N 两点，点P 为圆C 上的一动点，求△PMN 的面积S 的最大值．解：（1）当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ﹣1＝k （x +1），即kx ﹣y +k +1＝0， 则√1+k 2=3，解得k =43，此时直线l ：4x ﹣3y +7＝0； 当直线l 的斜率不存在时，直线l ：x ＝﹣1显然与圆C 相切，综上：直线l 的方程为x ＝﹣1或4x ﹣3y +7＝0；（2）圆心到直线l '的距离d =|2+0−1|√1+3=12， 所以|MN |＝2√32−(12)2=√35， 则点P 到直线l '的距离的最大值为r +d =72，所以三角形PMN 的面积最大值为12×√35×72=7√354． 22．（12分）如图，在正四棱锥P ﹣ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，AB ＝2，OP ＝1．（1）求二面角C ﹣AP ﹣B 的大小；（2）在线段AD 上是否存在一点Q ，使得PQ 与平面APB 所成角的正弦值为√26？若存在，指出点Q 的位置；若不存在，说明理由．解：（1）由题意得PO ⊥平面ABCD ，且AC ⊥BD ，以O 为原点，分别以OA ，OB ，OP 为x ，y ，z 轴正方向建系，如图所示，所以A(√2，0，0)，B(0，√2，0)，C(−√2，0，0)，D(0，−√2，0)，P(0，0，1)， 所以AP →=(−√2，0，1)，AB →=(−√2，√2，0)，BD →=(0，−2√2，0)， 设平面P AB 的法向量n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AP →=0n →⋅AB →=0，即{−√2x +z =0−√2x +√2y =0， 令x ＝1，可得y =1，z =√2，所以n →=(1，1，√2)，因为PO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥BD ，又因为AC ⊥BD ，AC ∩PO ＝O ，AC ，PO ⊂平面P AC ，所以BD ⊥平面P AC ，所以BD →即为平面P AC 的法向量，所以cos ＜n →，BD →＞=n →⋅BD →|n →|⋅|BD →|=−12， 又＜n →，BD →＞∈[0，π]，由图象可得二面角C ﹣AP ﹣B 为锐二面角，所以二面角C ﹣AP ﹣B 的大小为π3； （2）假设线段AD 上存在一点Q ，满足题意，设Q （m ，n ，0），因为AQ →=λAD →，(λ∈[0，1])，所以(m −√2，n ，0)=λ(−√2，−√2，0)，解得m =√2−√2λ，n =−√2λ， 所以Q(√2−√2λ，−√2λ，0)，则PQ →=(√2−√2λ，−√2λ，−1)， 因为平面P AB 的法向量n →=(1，1，√2)，设得PQ 与平面APB 所成角为θ，所以sinθ=|cos ＜PQ →，n →＞|=|PQ →⋅n →|PQ →|⋅|n →||=√2−√2λ−√2λ−√2√(√2−√2λ)2+(−√2λ)2+1⋅√1+1+2=√26， 解得λ=14或λ=−38（舍），所以在线段AD 上存在一点Q ，使得PQ 与平面APB 所成角的正弦值为√26，此时AQ →=14AD →，即Q 为AD 上靠近A 的四等分点．。
山东省烟台市2019-2020年高二上学期期末考试化学试题(解析版)
2019-2020学年度第一学期期末学业水平诊断高二化学2020.01 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号、座号涂写在答题卡指定位置上。
2．选择题必须使用2B铅笔(按填涂样例)正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
保持卡面清洁，不折叠、不破损。
可能用到的相对原子质量：H 1 B 11 O 16 F 19 Na 23 S 32 Se79 Ba 173 Pt195第I卷(选择题共40分)一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
每小题只有一个选项符合题意。
1.下列说法不正确的是（）A. 原子光谱是测定物质结构的基本方法和实验手段B. 霓虹灯能够发出五颜六色的光，其发光机理与氢原子光谱形成机理基本相同C. 原子线状光谱的产生是原子核外电子在不同的、能量量子化的状态之间跃迁所导致的D. “在高分辨钠原子光谱中的靠的很近的两条黄色谱线”可以利用玻尔原子结构模型较好地解释2.下列能级中，能级符号正确且轨道数为5的是（）A. 2dB. 3pC. 4dD. 5s3.下列粒子的中心原子形成sp3杂化轨道且该粒子的空间构型为三角锥形的是（）A. SO42-B. CH3-C. ClO2-D. [PCl4]+4.以下是一些同学书写的某些原子的2p能级或3d能级中的电子排布情况，其中违反了洪特规则的是（）5.下列说法错误的是（）A. 分子的许多性质与分子的对称性有关B. 石墨晶体具有金属键的特性C. 离子晶体中的化学键可能有方向性和饱和性D. 氯化钠晶体中与Na+距离最近且相等的Na+有6个6.下列说法错误的是（）A. 最外层电子数为2且价电子数为5的元素可能为主族元素B. 外围电子构型为4f75d16s2的元素在周期表中位置应是第6周期C. 最外层电子排布式为ns2的元素可能是金属元素也可能是非金属元素D. 1～36号元素中，基态原子价电子层中未成对电子数最多的元素位于ⅥB族7.下列说法正确的是（）A. 分子晶体的熔点一定比金属晶体的熔点低B. 晶体在受热熔化过程中一定存在化学键的断裂C. DNA呈双螺旋结构是由于两条链间形成氢键所致D. 根据价电子互斥理论可以分析出NH3、PH3、AsH3、SbH3分子的键角依次变大8.下列关于共价键的说法正确的是（）A. 丙炔分子中含有5个σ键和2个π键B. 乙醇分子中O-H键的极性强于C-H键的极性C. 乙烷分子中只含有极性键不含有非极性键D. 分子晶体中共价键键能越大，该分子晶体的熔点和沸点一定也越高9.下列状态的铝中，电离最外层一个电子所需能量最大的是（）10.由IIIA 族元素A和VIA 族元素B组成的阴离子结构如下：则所带电荷X、Y、Z依次为多少？（）A. 4、4、2B. 4、3、2C. 3、3、2D. 4、2、2二、选择题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
2019-2020年高二下学期期末数学试卷(理科) 含解析
2019-2020年高二下学期期末数学试卷（理科）含解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．23．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=45．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．46．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．38．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是．16．在平面直角坐标系xOy中，直线1与曲线y=x2（x＞0）和y=x3（x＞0）均相切，切点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数），直线l过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C的普通方程及直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆C交于A，B两点，求弦|AB|的长．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82822．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．2015-2016学年吉林省东北师大附中净月校区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]【考点】交集及其运算．【分析】先化简集合A，解绝对值不等式可求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩B即可．【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}∴A∩B={x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≤1，x∈R}={x|﹣2≤x≤1}故选D．2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，再根据复数相等的充要条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：===i，则，解得：a=1．故选：C．3．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出直角坐标．【解答】解：点M的极坐标（4，）化成直角坐标为，即．故选：B．4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=4【考点】伸缩变换．【分析】把伸缩变换的式子变为用x′，y′表示x，y，再代入原方程即可求出．【解答】解：由得，代入直线x﹣2y=2得，即2x′﹣y′=4．故选B．5．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．4【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】利用积分的几何意义即可得到结论．【解答】解：由题意，S===4﹣=，故选：C．6．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】根据题意，易得在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品，由概率计算公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品；则第二次抽到次品的概率为故选：C．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据逆否命题的定义进行判断②根据充分条件和必要条件的定义进行判断，③根据集合关系进行判断．【解答】解：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”正确，故①正确，②由|x|＞1得x＞1或x＜﹣1，则“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；故②正确，③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，当a=0时，B=∅，也满足B⊆A，当a≠0时，B={}，由=1，得a=1，则实数a的所有可能取值构成的集合为{0，1}．故③错误，故正确的是①②，故选：C8．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率，若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，由相互独立事件的概率计算可得答案．【解答】解：根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率；若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，则P（ε=3）=（）2×（）；故选C．9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数，由此能求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．【解答】解：∵在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，基本事件总数n==120，取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数m==22，∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率p===．故选：C．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用在切点处的导数值是切线的斜率，令f′（x）=2有解；利用有解问题即求函数的值域问题，求出值域即a的范围．【解答】解：f′（x）=﹣e﹣x+a据题意知﹣e﹣x+a=2有解即a=e﹣x+2有解∵e﹣x+2＞2∴a＞2故选C11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．【考点】抽象函数及其应用．【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、D两个选项，再看此函数的最值情况，即可作出正确的判断．【解答】解：由于f（x）=e sinx，∴f（﹣x）=e sin（﹣x）=e﹣sinx∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），故此函数是非奇非偶函数，排除A，D；又当x=时，y=e sinx取得最大值，排除B；故选：C．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，一方面0＜1+ln（x2﹣m）≤，．利用lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．可得1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，可得m≥x﹣e x﹣e，利用导数求其最大值即可得出．【解答】解：当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，∴0＜1+ln（x2﹣m）≤，∴．∵lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．∴1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，化为m≥x﹣e x﹣e，x＞m+．令f（x）=x﹣e x﹣e，则f′（x）=1﹣e x﹣e，可得x=e时，f（x）取得最大值．∴m≥e﹣1．故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为0.3．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P （X＜0）．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，o2），∴正态曲线的对称轴是x=2∵P（X＞4）=0.3，∴P（X＜0）=P（X＞4）=0.3．故答案为：0.3．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=2．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，得到f′（1）=0，得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：∵f（x）=x2﹣alnx，x＞0，∴f′（x）=2x﹣=，若函数f（x）在x=1处取极值，则f′（1）=2﹣a=0，解得：a=2，经检验，a=2符合题意，故答案为：2．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是46．【考点】归纳推理．【分析】由三角形阵可知，上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，利用累加法可求．【解答】解：设第一行的第二个数为a 1=1，由此可得上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，即a 2﹣a 1=1，a 3﹣a 2=2，a 4﹣a 3=3，…a n ﹣1﹣a n ﹣2=n ﹣2，a n ﹣a n ﹣1=n ﹣1， ∴a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 4﹣a 3）+（a 3﹣a 2）+（a 2﹣a 1）+a 1 =（n ﹣1）+（n ﹣2）+…+3+2+1+1 =+1=，∴a 10==46．故答案为：46．16．在平面直角坐标系xOy 中，直线1与曲线y=x 2（x ＞0）和y=x 3（x ＞0）均相切，切点分别为A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），则的值为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出导数得出切线方程，即可得出结论．【解答】解：由y=x 2，得y ′=2x ，切线方程为y ﹣x 12=2x 1（x ﹣x 1），即y=2x 1x ﹣x 12， 由y=x 3，得y ′=3x 2，切线方程为y ﹣x 23=3x 22（x ﹣x 2），即y=3x 22x ﹣2x 23， ∴2x 1=3x 22，x 12=2x 23， 两式相除，可得=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 17．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为（φ为参数），直线l 过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C 的普通方程及直线l 的参数方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦|AB |的长． 【考点】参数方程化成普通方程． 【分析】（Ⅰ）圆C 的参数方程为（φ为参数），利用cos 2φ+sin 2φ=1消去参数可得圆C 的普通方程．由题意可得：直线l 的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离d，利用|AB|=2即可得出．【解答】解：（Ⅰ）圆C的参数方程为（φ为参数），消去参数可得：圆C的普通方程为x2+y2=4．由题意可得：直线l的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离，∴|AB|=2=2．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．（Ⅱ）把代入椭圆方程中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，由t得几何意义可知|MA||MB|=|t1t2|．【解答】解：（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程：l：x﹣y+1=0．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，可得直角坐标方程：x2+y2+y2=2，即．（Ⅱ）把代入中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，∴，由t得几何意义可知，．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用等可能事件概率计算公式能求出元件甲，乙为正品的概率．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）元件甲为正品的概率约为：，元件乙为正品的概率约为：．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，，，，所以随机变量X的分布列为：X 0 1 2P所以：．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为在区间[1，4]上恒成立，令，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为R，当a=1时，f（x）=x3﹣x2+6x，f′（x）=3（x﹣1）（x﹣2），当x＜1时，f′（x）＞0；当1＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞），单调减区间为（1，2）．（Ⅱ）即在区间[1，4]上恒成立，令，故当时，g（x）单调递减，当时，g（x）单调递增，时，∴，即．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数401555女性驾驶员人数202545合计6040100（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．求出Χ2，即可判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率，X可取值是0，1，2，3，，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（Ⅰ）平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数40 15 55女性驾驶员人数20 25 45合计60 40 100因为，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关．…（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率为．X可取值是0，1，2，3，，有：，，，，分布列为X 0 1 2 3P．…22．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为a≤x2，求出a的范围即可；（2）问题可化为，设，求出函数的导数，问题等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，求出m的最小值即可．【解答】解：（1）∵在[1，2]上是增函数，∴恒成立，…所以a≤x2…只需a≤（x2）min=1…（2）因为﹣2≤a＜0，由（1）知，函数f（x）在[1，2]上单调递增，…不妨设1≤x1≤x2≤2，则，可化为，设，则h（x1）≥h（x2）．所以h（x）为[1，2]上的减函数，即在[1，2]上恒成立，等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，…设g（x）=x3﹣ax，所以m≥g（x）max，因﹣2≤a＜0，所以g'（x）=3x2﹣a＞0，所以函数g（x）在[1，2]上是增函数，所以g（x）max=g（2）=8﹣2a≤12（当且仅当a=﹣2时等号成立）．所以m≥12．即m的最小值为12．…2016年10月17日。
山东省济宁市邹城市2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题含答案
2024年新高二开学考试数学（答案在最后）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数z 满足i 1i z -=+，则i z =（）A.2i +B.2i- C.i- D.i【答案】B 【解析】【分析】根据复数的四则运算法则计算可得结果.【详解】由i 1i z -=+可得12z i =+，所以()2212i i 12i i 2i i 22i i i i 1z +++====-+=--.故选：B2.有一组样本数据：15，16，11，11，14，20，11，13，13，24，13，18，则这组样本数据的上四分位数是（）A.11B.12C.16D.17【答案】D 【解析】【分析】将样本数据由小到大排列，结合上四分位数的定义可求得这组数据的上四分位数.【详解】将样本数据由小到大排列依次为：11，11，11，13，13，13，14，15，16，18，20，24，因为上四分位数是第75%分位数，则1275%9⨯=，所以这组数据的上四分位数为1618172+=.故选：D.3.从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取2个球，下列事件中与事件“至少有一个黄球”互为对立的是（）A.都是蓝球B.都是黄球C.恰有一个蓝球D.至少有一个蓝球【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用对立事件的意义判断即可.【详解】事件“至少有一个黄球”的对立事件是“没有黄球”，即都是“都是蓝球”，所以与事件“至少有一个黄球”互为对立的是“都是蓝球”.故选：A4.已知向量(1,2),(3,1)a b =-=- ，则a 在b上的投影向量为（）A.31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭B.1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C.,55⎛- ⎝⎭D.1010⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的公式求解.【详解】根据题意，a 在b上的投影向量为：131,222||||a b b b b b ⋅⎛⎫===- ⎪⎝⎭.故选：A5.已知向量p 在基底{},,a b c 下的坐标是(2,3,1)-，则p 在基底{},,a a b b c ++下的坐标为（）A.(2,4,1)--B.(2,5,2)C.(2,5,1)-D.(2,4,1)-【答案】A 【解析】【分析】由题意可知23p a b c =+-，设p 在基底{},,a a b b c ++ 下的坐标为(),,x y z ，根据空间向量的坐标运算和空间向量基本定理列方程组即可求解.【详解】由题意可知23p a b c =+-，设p 在基底{},,a a b b c ++ 下的坐标为(),,x y z ，所以()()()()p xa y a b z b c x y a y z b zc =++++=++++，所以223411x y x y z y z z +==-⎧⎧⎪⎪+=⇒=⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎩，所以p在基底{},,a a b b c ++ 下的坐标为()2,4,1--.故选：A6.如图，已知四棱锥M ABCD -，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱长相等且为4，E 为CD 的中点，则异面直线CM 与AE 所成的角的余弦值为（）A.35B.540C.515D.3520【答案】D 【解析】【分析】取MD 有中点F ，利用几何法，结合余弦定理求出异面直线夹角的余弦.【详解】取MD 的中点F ，连接,EF AF ，由E 为CD 的中点，得//EF MC ，122EF MC ==，则AEF ∠是异面直线CM 与AE 所成的角或其补角，正方形ABCD 中，225AE AD DE =+=，在△MAD 中，4MD MA ==，112cos 4AD ADF MD ∠==，2212222264AF =+-⨯⨯⨯，于是22235cos 220252AE EF AF AEF AE EF +-∠===⋅⨯，所以异面直线CM 与AE 所成的角的余弦值为3520.故选：D7.某学校兴趣学习小组从全年级抽查了部分男生和部分女生的期中考试数学成绩，并算得这部分同学的平均分以及男生和女生各自的平均分，且男女生的平均分不相等，由于记录员的疏忽把人数弄丢了，则据此可确定的是（）A.这部分同学是高分人数多还是低分人数多B.这部分同学是男生多还是女生多C.这部分同学的总人数D.全年级是男生多还是女生多【答案】B 【解析】【分析】根据平均数意义可判断A ；利用分层平均数公式可求出女生所占比例，可判断BC ；分析题中样本的抽取方式可判断D .【详解】对于A ，平均数描述平均水平，所以无法判断高分和低分人数，A 错误；对于B ，设这部分同学的平均分为x ，其中有男生m 人，女生n 人，平均分分别为12,x x ，根据分层平均数公式有12112m n n nx x x x x x m n m n m n m n=+=-+++++，整理得()211nx x x x m n-=-+，即121x x n m n x x -=+-，即根据两个平均数可求出这部分同学中女生所占比例，故B 正确；对于C ，由B 可知，只能求出男女生所占比例，无法确定总人数，C 错误；对于D ，因为题干并没有告诉这部分学生的抽取是否按照比例抽取，所以无法全年级是男生多还是女生多，D 错误.故选：B8.在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin sin a A b c B =+，则a bc-的取值范围是（）A.11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C.,13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D.1,32⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】由()sin sin a A b c B =+，利用正弦定理得到()2a b c b =+，再利用余弦定理结合两角和的正弦公式得到2A B =，进而得到π03B <<，然后利用正弦定理和三角恒等变换，由sin sin sin a b A B c C --=12cos 1B =+求解.【详解】解：因为()sin sin a A b c B =+，由正弦定理得()2a b c b =+，由余弦定理得()222cos b c bc A b c b +-=+，即2cos c b b A -=，由正弦定理得sin sin 2sin cos C B B A -=，又()()sin sin πsin sin cos cos sin C A B A B A B A B ⎡⎤=-+=+=+⎣⎦，所以sin cos cos sin sin 2sin cos A B A B B B A +-=，所以()sin sin cos sin cos sin B A B B A A B =-=-，又()0,πA ∈，()0,πB ∈，则()π,πA B -∈-，所以B A B =-或()πB A B +-=，即2A B =或πA =（舍去），则ππ3C A B B =--=-，所以02π,0π3π,B B <<⎧⎨<-<⎩解得π03B <<，则1cos 12B <<．所以()sin sin sin2sin sin2sin sin sin 3sin3a b A B B B B Bc C B Bπ----===-，()2sin cos sin 2sin cos sin sin 2sin2cos cos2sin B B B B B BB B B B B B--==++，()()22sin 2cos 1111,2cos 1322sin cos 2cos 1sin B B B B B B B -⎛⎫==⎪++-⎝⎭，即a b c -的取值范围是11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是得到2A B =，从而利用02π0π3πB B <<⎧⎨<-<⎩确定角B 的范围，由此得解.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.体育教学是学校开展素质教育不可缺少的重要内容，对学生的发展有着不可忽视的重要作用.某校为了培养学生的竞争意识和进取精神，举行篮球定点投篮比赛.甲、乙两名同学每次各自投10个球，每人8次机会，每次投篮投中个数记录如下：同学第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次甲（投中个数）67564389乙（投中个数）84676575记甲、乙两名同学每次投篮投中个数的平均数分别为x 甲、x 乙，方差分别为2s 甲、2s 乙.则下列结论正确的是（）A.x x >甲乙B.x x =乙甲 C.22s s <甲乙D.22s s >甲乙【答案】BD 【解析】【分析】根据给定的数据，利用平均数、方差的定义计算判断即可.【详解】依题意，6756438968x +++++++==甲，8467657568x +++++++==乙，所以x x =乙甲，A 错误，B 正确；2222222221[(66)(76)(56)(66)(46)(36)(86)(96)] 3.58s =-+-+-+-+-+-+-+-=甲，2222222221[(86)(46)(66)(76)(66)(56)(76)(56)] 1.58s =-+-+-+-+-+-+-+-=乙，所以22s s >甲乙，C 错误，D 正确.故选：BD10.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段11A C 的中点，Q 为线段1BC 上的动点（不包括端点），则（）A.存在点Q ，使得//PQ BDB.存在点Q ，使得PQ ⊥平面11AB C DC.三棱锥Q APD -的体积是定值D.二面角11Q A C D --的余弦值为13【答案】BD【解析】【分析】A 选项，由//PQ BD 推出//BD 平面11A C B ，矛盾；B 选项，建立空间直角坐标系，证明出11A B AB ⊥，111A B B C ⊥，得到线面垂直，进而当Q 为1BC 的中点时，1//PQ A B ，此时PQ ⊥平面11AB C D ，故B 正确；C 选项，假设体积为定值，得到1//BC 平面APD ，求出平面的法向量，证明出1//BC 平面APD 不成立，C 错误；D 选项，找到二面角的平面角，利用余弦定理求出余弦值.【详解】对于A ，若//PQ BD ，因为BD ⊄平面11A C B ，PQ ⊂平面11A C B ，所以//BD 平面11A C B ，矛盾，故A 错误．对于B ，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则()()()()()1112,0,0,2,2,2,2,0,2,2,2,0,0,2,2A B A B C ，因为()()()()()()112,2,22,0,00,2,2,2,2,02,0,20,2,2AB A B =-==-=-，()()()110,2,22,2,22,0,0B C =-=-，故()()110,2,20,2,2440AB A B ⋅=⋅-=-= ，()()1112,0,00,2,20B C A B ⋅=-⋅-=，故11A B AB ⊥，111A B B C ⊥，因为1111AB B C B ⋂=，111,AB B C ⊂平面11AB C D ，故1A B ⊥平面11AB C D ，当Q 为1BC 的中点时，1//PQ A B ，此时PQ ⊥平面11AB C D ，故B 正确．对于C ，Q 在线段1BC 上运动，若三棱锥Q APD -的体积为定值，则1//BC 平面APD ，()()()()1,1,2,1,1,22,0,01,1,2P AP =-=-，D=2,0,0，设平面APD 的法向量为 =s s ，则()()()(),,2,0,020,,1,1,220m DA x y z x m AP x y z x y z ⎧⋅=⋅==⎪⎨⋅=⋅-=-++=⎪⎩ ，解得0x =，令1z =得2y =-，故()0,2,1m =-，故()()12,0,20,2,12BC m ⋅=-⋅-= ，故1BC 与()0,2,1m =-不垂直，故1//BC 平面APD 不成立，故C 错误；对于D ，二面角11Q A C D --即二面角11B A C D --，连接BP ，DP ，BD ，由于1111,A BC A DC 为等边三角形，则11BP A C ⊥，11DP AC ⊥，所以BPD ∠为所求二面角的平面角，不妨设正方体的棱长为2，则1111,A BC A DC的棱长为，故BP DP ==，BD =，由余弦定理可得2221cos 23BP DP BD BPD BP DP +-∠===⋅，二面角11Q A C D --的余弦值为13，故D 正确．故选：BD11.掷一枚质地均匀的骰子两次，设A =“第一次骰子点数为奇数”，B =“第二次骰子点数为偶数”，C =“两次骰子点数之和为奇数”，D =“两次骰子点数之和为偶数”，则（）A.C 与D 互为对立事件B.A 与D 相互独立C.1()4P AC =D.1()2P B D =【答案】ABC 【解析】【分析】根据对立事件的定义即可求解A ，利用列举法，求解对应事件包含的样本点，即可根据古典概型的概率公式求解CD ，结合独立事件的定义即可求解B.【详解】对于A,事件C 与事件D 不能同时发生，且并起来是全部的样本空间，故互为对立事件，A 正确；对于B ，抛掷一枚骰子两次的样本点数共36种，事件A的样本点为()()()()()()()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6,()()()()()()5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6共18种，事件D的样本点为()()()()()()()()()()()()1,1,1,3,1,5,2,2,2,4,2,6,3,1,3,3,3,5,4,2,4,4,4,6,()()()()()()5,1,5,3,5,5,6,2,6,4,6,6共有18种，事件AD 的样本点为()()()()()()1,1,1,3,1,5,3,1,3,3,3,5,()()()5,1,5,3,5,5共有9种，所以111(),(),()224P A P D P AD ===,由于()()()P AD P A P D =，故,A D 相互独立，B 正确，对于C ，事件AC 的样本点为()()()()()()1,2,1,4,1,6,3,2,3,4,3,6,()()()5,2,5,4,5,6共9种，故1()4P AC =,C 正确，对于D，事件B D的样本点为()()()()()()()()()()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,2,2,4,2,6,3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6,()()()()()()()()()()()()4,2,4,4,4,6,5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6,6,2,6,4,6,6共27种，故273()364P B D == ，故选：ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.文以载道，数以忘忧，本学期某校学生组织数学知识竞答（满分100），并从中随机抽取了100名学生的成绩为样本，分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，得到如图所示频率分布直方图：估计该校高二学生数学成绩的平均数为___________.【答案】75.5##1512【解析】【分析】由频率分布直方图的面积和为1求出a ，再根据平均数计算公式求解即可.【详解】由频率分布直方图的面积和为1得()100.0200.0350.0251a a ⨯++++=，解得0.01a =，所以该校高二学生数学成绩的平均数为550.1650.2750.35850.25950.175.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.故答案为：75.5.13.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，动点M ，N 分别在棱BC ，AB 上，且满足AN BM =，当1D MNB V -的体积最小时，1B M 与平面1A MN 所成角的正弦值是______．【答案】4515【解析】【分析】设()02AN x x =≤≤，结合等积法，可求出当1D MNB V -的体积最小时，M ，N 分别是所在棱的中点；法一，根据1111M A B N B A MN V V --=，可求出点1B 到平面1A MN 的距离为h ，结合直线与平面所成角的集合法即可求解；法二，建立空间直角坐标系，应用向量法求解.【详解】设()02AN x x =≤≤，则()()()1111222222222222DMN S x x x x x x =⨯-⨯---⨯-=-- ．由等体积法，得()112141412221333332D MNB B DMNDMN x x V V S x x ---+⎛⎫==⨯⨯=--≥-= ⎪⎝⎭，当且仅当2x x -=，即1x =时，等号成立．所以当1D MNB V -的体积最小时，M ，N 分别是所在棱的中点．方法一易知11A N B M ==，13A M =，MN =．由余弦定理，得22213cos2A MN+-∠=，所以1sin2AMN∠=，所以1133222A MNS=⨯=．设点1B到平面1A MN的距离为h．根据1111M A B N B A MNV V--=，得11132213232h⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，解得43h=．所以1B M与平面1ANM所成角的正弦值为14315hB M==．方法二以点D为原点，以DA，DC，1DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则()2,1,0N，()1,2,0M，()12,0,2A，()12,2,2B．所以()1,1,0MN=-，()11,2,2A M=--，()11,0,2MB=．设平面1A MN的法向量为 =s s，则10,0,n MNn A M⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,220.x yx y z-=⎧⎨-+-=⎩令1x=，得1y=，12z=，则11,1,2n⎛⎫= ⎪⎝⎭．设1B M与平面1A MN所成的角为θ，则1111111022sin cos,15n MBn MBn MBθ⨯+⨯+⨯⋅===．故答案为：1514.如图，在四边形ABCD中，ABCV的面积为()222134S AC ABBC=--，记ACD的面积为2S，CD=，设30CAD∠=︒，120BCD∠=︒，若存在常数λ，使12S Sλ=成立，则λ的值为___________【答案】333【解析】【分析】利用余弦定理及三角形面积公式，求得tan B 的值，得ABC ∠的大小，再设ACB α∠=，利用正弦定理得关于α的代数式，解出α，利用三角形面积公式，求出λ的值.【详解】在ABC V 中，由余弦定理，2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅，因为222131()sin 42S AC AB BC AB BC B =--=⋅，所以3sin B B =，即tan 3B =-，又因为(0,180)B ∈︒︒，所以120ABC ∠=︒.设ACB α∠=，则120ACD α∠=︒-，30D α=︒+，60CAB α∠=︒-，在ACD 中，由正弦定理，sin sin CD AC CAD D=∠，在ABC V 中，由正弦定理，sin sin BC AC CAB B =∠，两式作商，得1sin(60)sin(30)cos(30)sin(30)4αααα︒-︒+=︒+︒+=，即1sin(602)2α︒+=，因为(0,120)α∈︒︒，所以602150α︒+=︒，45α=︒，11sin 452S AC BC =⋅︒，21sin(12045)2S AC DC =⋅︒-︒，假设12S S λ=，所以12132122222222AC BC AC DC λ⋅⋅=⋅⋅⋅⨯+⨯，解得333λ-=.故答案为：333四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知平行四边形ABCD 中，4,2,120AB BC DAB ∠=== ，点E 是线段BC 的中点.（1）求AB AD ⋅的值；（2）若AF AE AD λ=+ ，且BD AF ⊥ ，求λ的值.【答案】（1）4-（2）2【解析】【分析】（1）根据数量积的定义即可求解，（2）根据向量的线性运算以及数量积的运算律即可求解.【小问1详解】1cos 4242AB AD AB AD DAB ⎛⎫⋅=∠=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭【小问2详解】BD AD AB =- ，11(22AF AE AD AB AD AD AB AD λλλ=+=++=++ ，,0BD AF BD AF ⊥∴⋅= ，22111022AD AB AB AD λλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+-+-+⋅= ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，即()114164022λλ⎛⎫⎛⎫+-+-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：2λ=.16.已知函数()()425x x f x a a a =-⋅-+∈R .（1）若2a =，求()f x 在区间[]1,1-上的最大值和最小值；（2）若()0f x ≥在(),∞∞-+上恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）()min 2f x =，()max 3f x =（2）(,2⎤-∞⎦【解析】【分析】（1）利用换元法及二次函数的性质计算可得；（2）参变分离可得621221x x a ≤++-+在R 上恒成立，利用基本不等式求出62121x x +++的最小值，即可求出参数的取值范围.【小问1详解】若2a =，()()242232223x x x x f x =-⨯+=-⨯+，[]1,1x ∈-，令2x u =，因为[]1,1x ∈-，所以1,22u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令()()222312g u u u u =-+=-+，1,22u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()g u1上单调递减，在()1,2上单调递增，又()12g =，()23g =，1924g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()min 2g u =，()max 3g u =，所以()()min 02f x f ==，()()max 13f x f ==；【小问2详解】因为()0f x ≥在(),∞∞-+上恒成立，即()()2212216456212212121x x x x x x x a +-+++≤==+++++在R 上恒成立，又62122221x x ++-≥-=-+，当且仅当62121x x+=+，即)2log 1x =时等号成立，所以2a ≤，即a 的取值范围是(,2∞⎤-⎦.17.已知在ABC V 中，2,CA CB ABC ⋅=-△（1）求角C 的度数；（2）若2,,BC D E =是AB 上的动点，且DCE ∠始终等于30︒，记CED α∠=．当DE 取到最小值时，求α的值．【答案】（1）120C ∠=︒；（2）75︒．【解析】【分析】（1）设,CA b CB a ==，则1cos 2,sin 2ab C ab C =-=（2）根据三角形面积公式结合正弦定理得到DE =，根据角的范围求解即可．【小问1详解】设,CA b CB a ==，则cos 2ab C =-，又1sin 2ab C =tan C =，由C 为ABC V 的内角，所以120C ∠=︒.【小问2详解】由（1）知，1sin1202ab ︒=2a =，则2b =，因此2,30CA CB A B ==∠=∠=︒，在ACE △中，由正弦定理得sin sin 30CA CE α=︒，即1sin CE α=，在CDE 中，由正弦定理得sin sin 30CE DE CDE =∠︒，sin 301sin 2sin sin(150)CE DE CDE αα⋅︒===∠︒-2222=显然30120α︒≤≤︒，则有0260180α≤-︒≤︒，因此当sin(260)1α-︒=时，DE 取到最小值，此时26090α-︒=︒，即75α=︒，所以α的值75︒.18.已知()()2sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，π2ϕ<.（1）若π4ϕ=，函数=的最小正周期T 为4π，求函数=的单调减区间；（2）设函数=的部分图象如图所示，其中12AB AC ⋅=，(0,D ，求函数的最小正周期T ，并求=的解析式.【答案】（1）()π5π4π,4π22k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）4T =，()ππ2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）根据2πT ω=求出ω，求出()f x 的解析式，利用整体代换法计算即可求解；（2）由图可知,42T AB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，,42T AC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用平面向量数量积的定义和坐标表示求出4T =，进而求ω，将点D 代入解析式计算即可求解.【小问1详解】由题，2π4πT ω==，解得12ω=，故()1π2sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.令()π1π3π2π2π2242k x k k +≤+≤+∈Z ，所以()f x 的单调减区间为()π5π4π,4π22k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .【小问2详解】由题，可得,42T AB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，,42T AC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因此，2164T AB AC ⋅=-+ ，又12AB AC ⋅= ，得4T =.由2π4T ==ω，得π2=ω.再将(0,D 代入=，即2sin ϕ=.由π2ϕ<，解得π3ϕ=-.因此=的解析式为()ππ2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭.19.已知函数21()ln(1)2f x x ax x =--+，其中实数0a ≥.（1）求()f x 在0x =处的切线方程；（2）若()f x 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围；（3）当0a =时，证明：()1ex f x x ->-.【答案】（1）0y =；（2）1a ≥；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.（2）按0,01,1a a a =<<≥分类，利用导数探讨函数()f x 的单调性，确定最值情况即可.（3）把0a =代入，等价变形不等式，再构造函数()()1eln 1x g x x -=-+，利用导数求出最小值并判断大于0即可.【小问1详解】函数21()ln(1)2f x x ax x =--+，求导得1()11f x ax x '=--+，则(0)0f '=，而(0)0f =，所以函数()f x 图象在0x =处的切线方程为0y =.【小问2详解】当0x ≥时，21()ln(1)2f x x ax x =--+，(1)()1x ax a f x x +-'=-+，当0a =时，()0f x '≥，当且仅当0x =时取等号，函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，无最大值；当01a <<时，由()0f x '>，得10a x a -<<，函数()f x 在1[0,a a -上单调递增，1(0,a x a-∀∈，()(0)0f x f >=，则0不可能是()f x 在[0,)+∞上的最大值；当1a ≥时，()0f x '≤恒成立，当且仅当0x =时取等号，因此函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，[0,)x ∀∈+∞，()(0)0f x f £=，即0是()f x 在[0,)+∞上的最大值，所以a 的取值范围1a ≥.【小问3详解】当0a =时，()ln(1)f x x x =-+，不等式()()11e e ln 10x x f x x x -->-⇔-+>，令函数()()1e ln 1x g x x -=-+，求导得()11e 1x g x x --'=+，显然函数()g x '在(1,)-+∞上单调递增，而11(0)10,(1)0e 2g g ''=-<=>，则存在0(0,1)x ∈，使得00()g x '=，即()010001e 1ln 11x x x x -=⇔-=-++，当01x x -<<时，()0g x '<，当0x x >时，()0g x '>，即函数()g x 在0(1,)x -上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，因此()()()010000min 0011e ln 1112011x g x g x x x x x x -==-+=+-=++->++，所以()1e ln 10x x --+>恒成立，即()1e x f x x ->-成立.。
2019-2020学年山东省济宁市曲阜市八年级下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年山东济宁市曲阜市八年级第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．要使二次根式有意义，x的值可以是（）A．﹣2B．﹣3C．﹣4D．﹣52．一次函数y＝2﹣x与x轴的交点为（）A．（1，1）B．（0，2）C．（2，0）D．（3，0）3．在▱ABCD中、如果∠A＝65°、那么∠C的度数是（）A．115°B．65°C．25°D．35°4．某青年排球队l2名队员的年龄情况如下表所示：年龄1819202122人数14322则这12名队员的平均年龄是（）A．18岁B．19岁C．20岁D．21岁5．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）A．5，12，13B．1，2，C．，，2D．4，5，66．下列运算结果正确的是（）A．＝﹣3B．（﹣）2＝2C．÷＝2D．＝±4 7．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是（）A．当AB＝BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC＝90°时，它是矩形D．当AC＝BD时，它是菱形8．某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是（）A．10，15B．13，15C．13，20D．15，159．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k和b的取值范围是（）A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0D．k＜0，b＜0 10．已知：如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF等于（）A．B．C．D．二、填空题（共6小题）.11．正比例函数图象经过（3，﹣6），则这个正比例函数的解析式是．12．已知：x＝，y＝﹣2，代数式x2﹣2xy+y2的值为．13．已知，如图，一小船以20海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一小船以15海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1小时后，则两船相距．14．将直线y＝2x﹣5向上平移2个单位，所得直线解析式为．15．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AB边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH的长等于．16．如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积为．三、解答题：共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．计算：×+6﹣．18．如图，每个小正方形的边长都为1（1）求四边形ABCD的周长；（2）求∠BCD的大小．19．甲、乙两名同学5次数学练习的成绩如下表：（单位：分）测试日期2月10日2月20日3月5日3月18日3月27日甲126127130133134乙130125130135130已知甲同学这5次数学练习成绩的平均数为130分，方差为10分2．（1）乙同学这5次数学练习成绩的平均数为分，方差为分2；（2）甲、乙都认为自己在这5次练习中的表现比对方更出色，请分别写出一条支持他们俩观点的理由．20．如图，在平行四边形ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且∠BAF＝∠DCE．求证：BE＝DF．21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x 轴相交于点B，与y轴交于点D，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．（1）求k，b的值；（2）请直接写出不等式kx+b﹣3x＞0的解集；（3）M为射线CB上一点，过点M作y轴的平行线交y＝3x于点N，当MN＝OD时，求M点的坐标．22．“双剑合璧，天下无敌”，其意思是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也常有这种相辅相成的“对子”，如：（2+）（2﹣）＝1，＝3，它们的积中不含根号，我们说这两个二次根式是互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解：，＝7+4．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化．解决下列问题：（1）将分母有理化得；+1的有理化因式是；（2）化简：＝；（3）化简：……+．23．如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上的一个动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．（1）求证：OP＝OQ；（2）若AD＝8cm，AB＝6cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动（不与D 重合）．设点P运动的时间为t秒，请用t表示PD的长；并求出t为何值时，四边形PBQD是菱形？参考答案一、选择题（共10小题）.1．要使二次根式有意义，x的值可以是（）A．﹣2B．﹣3C．﹣4D．﹣5解：由题意得，x+2≥0，解得，x≥﹣2，故选：A．2．一次函数y＝2﹣x与x轴的交点为（）A．（1，1）B．（0，2）C．（2，0）D．（3，0）解：令y＝0，则2﹣x＝0，解得x＝2，所以一次函数y＝2﹣x与x轴的交点坐标是（2，0），故选：C．3．在▱ABCD中、如果∠A＝65°、那么∠C的度数是（）A．115°B．65°C．25°D．35°解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠A＝65°，故选：B．4．某青年排球队l2名队员的年龄情况如下表所示：年龄1819202122人数14322则这12名队员的平均年龄是（）A．18岁B．19岁C．20岁D．21岁解：（18+4×19+3×20+2×21+2×22）÷12＝（18+76+60+42+44）÷12＝240÷12＝20（岁）．故这l2名队员的平均年龄是20岁．故选：C．5．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）A．5，12，13B．1，2，C．，，2D．4，5，6解：A、52+122＝132，能构成直角三角形，故选项符合题意；B、12+22≠（）2，不能构成直角三角形，故选项不合题意；C、（）2+22≠（）2，不能构成直角三角形，故选项不合题意；D、42+52≠62，不能构成直角三角形，故选项不合题意．故选：A．6．下列运算结果正确的是（）A．＝﹣3B．（﹣）2＝2C．÷＝2D．＝±4解：A、＝3，故本选项不符合题意；B、（﹣）2＝2，故本选项符合题意；C、÷＝，故本选项不符合题意；D、＝4，故本选项不符合题意；故选：B．7．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是（）A．当AB＝BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC＝90°时，它是矩形D．当AC＝BD时，它是菱形解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，故正确；B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故正确；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，故正确；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，四边形ABCD是矩形，故错误．故选：D．8．某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是（）A．10，15B．13，15C．13，20D．15，15解：把这组数据从小到大排列：10、13、15、15、20，最中间的数是15，则这组数据的中位数是15；15出现了2次，出现的次数最多，则众数是15．故选：D．9．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k和b的取值范围是（）A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0D．k＜0，b＜0解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限，∴k＜0，b＞0．故选：C．10．已知：如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF等于（）A．B．C．D．解：连接PO，∵矩形ABCD的两边AB＝5，BC＝12，∴S矩形ABCD＝AB•BC＝60，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝＝13，∴S△AOD＝S矩形ABCD＝15，OA＝OD＝AC＝，∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝OA（PE+PF）＝××（PE+PF）＝15，∴PE+PF＝，故选：A．二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）11．正比例函数图象经过（3，﹣6），则这个正比例函数的解析式是y＝﹣2x．解：设这个正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），∵正比例函数的图象经过点（3，﹣6），∴﹣6＝3k，解得k＝﹣2，∴y＝﹣2x．故答案是：y＝﹣2x．12．已知：x＝，y＝﹣2，代数式x2﹣2xy+y2的值为4．解：∵x＝，y＝﹣2，∴x﹣y＝2，∴原式＝（x﹣y）2＝4，故答案为：413．已知，如图，一小船以20海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一小船以15海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1小时后，则两船相距25海里．解：由题意得：两船的行驶方向为直角，向东北方向航行的小船行驶路程为：20×1＝20（海里），向东南方向航行的小船行驶路程为：15×1＝15（海里），两船的距离：＝25（海里），故答案为：25海里．14．将直线y＝2x﹣5向上平移2个单位，所得直线解析式为y＝2x﹣3．解：由“上加下减”的原则可知，将函数y＝2x﹣5向上平移，2个单位所得函数的解析式为y＝2x﹣5+2，即y＝2x﹣3．故答案为：y＝2x﹣3．15．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AB边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH的长等于3．解：∵菱形ABCD的周长等于24，∴AB＝＝6，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵H为AB边中点，∴在Rt△AOB中，OH为斜边上的中线，∴OH＝AB＝3．故答案为：3．16．如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积为1．解：∵四边形ABD是正方形，∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∴∠AOE＝∠BOF，在△AOE和△BOF中，，∴△AOE≌△BOF（ASA），∴△AOE的面积＝△BOF的面积，∴四边形AFOE的面积＝正方形ABCD的面积＝×22＝1；故答案为：1．三、解答题：共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．计算：×+6﹣．解：原式＝+2﹣＝2+2﹣＝3．18．如图，每个小正方形的边长都为1（1）求四边形ABCD的周长；（2）求∠BCD的大小．解：（1）由勾股定理得：DC＝＝，BC＝＝2，AD＝＝，AB＝＝，所以四边形ABCD的周长为AB+BC+cd+ad＝+2++＝+3+；（2）连接BD，由勾股定理得：BD＝＝5，∵DC＝，BC＝2，∴DC2+BC2＝BD2，∴∠BCD＝90°．19．甲、乙两名同学5次数学练习的成绩如下表：（单位：分）测试日期2月10日2月20日3月5日3月18日3月27日甲126127130133134乙130125130135130已知甲同学这5次数学练习成绩的平均数为130分，方差为10分2．（1）乙同学这5次数学练习成绩的平均数为130分，方差为10分2；（2）甲、乙都认为自己在这5次练习中的表现比对方更出色，请分别写出一条支持他们俩观点的理由．解：（1）乙的平均分＝（130+125+130+135+130）＝130，方差＝[（130﹣130）2+（125﹣130）2+（130﹣130）2+（135﹣130）2+（130﹣130）2]＝10．故答案为130，10．（2）答案不唯一，如：甲的数学成绩逐渐进步，更有潜力；乙的数学成绩在130分以上（含130分）的次数更多．20．如图，在平行四边形ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且∠BAF＝∠DCE．求证：BE＝DF．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABF＝∠CDE，在△ABF和△CDE中，∴△ABF≌△CDE（ASA），∴ED＝BF，∴BD﹣CF＝BD﹣DE，∴BE＝DF．21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x 轴相交于点B，与y轴交于点D，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．（1）求k，b的值；（2）请直接写出不等式kx+b﹣3x＞0的解集；（3）M为射线CB上一点，过点M作y轴的平行线交y＝3x于点N，当MN＝OD时，求M点的坐标．解：（1）当x＝1时，y＝3x＝3，∴C点坐标为（1，3）．直线y＝kx+b经过（﹣2，6）和（1，3），则，解得：k＝﹣1，b＝4；（2）x＜1；（3）当x＝0时，y＝﹣x+4＝4，∴D点坐标为（0，4），∴OD＝4．设点M的横坐标为m，则M（m，﹣m+4），N（m，3m），∴MN＝3m﹣（﹣m+4）＝4m﹣4∵MN＝OD，∴4m﹣4＝4，解得m＝2．即M点坐标为（2，2）．22．“双剑合璧，天下无敌”，其意思是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也常有这种相辅相成的“对子”，如：（2+）（2﹣）＝1，＝3，它们的积中不含根号，我们说这两个二次根式是互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解：，＝7+4．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化．解决下列问题：（1）将分母有理化得；+1的有理化因式是﹣1；（2）化简：＝﹣；（3）化简：……+．解：（1）＝＝，（+1）（﹣1）＝（）2﹣12＝2﹣1＝1，即+1的有理化因式是﹣1，故答案为：，﹣1；（2）＝＝＝﹣，故答案为：﹣．（3）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣＝﹣1＝10﹣1＝9．23．如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上的一个动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．（1）求证：OP＝OQ；（2）若AD＝8cm，AB＝6cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动（不与D 重合）．设点P运动的时间为t秒，请用t表示PD的长；并求出t为何值时，四边形PBQD是菱形？解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠PDO＝∠QBO，∵O为BD的中点，∴DO＝BO，在△PDO和△QBO中，，∴△PDO≌△QBO（ASA），∴OP＝OQ；（2）由题意知：AD＝8cm，AP＝tcm，∴PD＝8﹣t，∵PB＝PD，∴PB2＝PD2，即AB2+AP2＝PD2，∴62+t2＝（8﹣t）2，解得t＝，∴当t＝时，PB＝PD．。
2023-2024学年山东省济宁市兖州区高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省济宁市兖州区高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A ．至少有一个白球与都是红球 B ．恰好有一个白球与都是红球C ．至少有一个白球与都是白球D ．至少有一个白球与至少一个红球2．若两条平行直线x ﹣2y +m ＝0（m ＞0）与x +ny ﹣3＝0之间的距离是2√5，则m +n ＝（ ） A ．5B ．﹣15C ．0D ．13．如图，二面角的度数为60°，其棱上有两点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，若AB ＝5，AC ＝BD ＝4，则线段CD 的长为（ ）A ．√73B ．41C ．73D ．√414．已知平面α的一个法向量为n →=(3，1，3)，M(1，0，0)，N(1，32，0)，其中M ∈α，N ∉α，则点N 到平面α的距离为（ ）A ．√1938B ．5√1938C ．3√1938D ．2√19195．在正四棱锥S ﹣ABCD 中，O 为顶点S 在底面内的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面P AC 所成角的余弦值是（ ） A ．√54B ．√22C ．√32D ．126．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A ．甲与丙相互独立 B ．甲与丁相互独立 C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立7．已知圆C 的方程为x 2+y 2＝9，直线l ：x +2y ﹣10＝0，点P 是直线l 上的一动点，过P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，当四边形P ACB 的面积最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．2x +4y +9＝0B ．4x +2y +9＝0C ．4x +2y ﹣9＝0D ．2x +4y ﹣9＝08．在棱长为3的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，EF 是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1外接球的直径，点P 是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1表面上的一点，则PE →⋅PF →的取值范围是（ ） A ．[−92，0]B ．[−52，0]C ．[0，52]D ．[0，92]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（ ）A ．已知直线l 过点P （2，3），且在x ，y 轴上截距相等，则直线l 的方程为x +y ﹣5＝0B ．直线√3x +y +1=0的倾斜角为120°C ．a ∈R ，b ∈R ，“直线ax +2y ﹣1＝0与直线（a +1）x ﹣2ay +1＝0垂直”是“a ＝3”的必要不充分条件D ．若直线l 沿x 轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则直线l 的斜率为−2310．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）A ．已知两个向量a →=(m ，1，3)，b →=(−1，5，n)，且a →∥b →，则mn ＝﹣3B ．已知a →=(0，1，1)，b →=(0，0，−1)，则b →在a →上的投影向量为(0，−12，−12)C ．设{a →，b →，c →}是空间的一个基底，则{a →−b →，b →，c →}也是空间的一个基底D ．若对空间中任意一点O ，有OP →=13OA →+12OB →−14OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面 11．下列说法正确的是（ ）A ．圆x 2+y 2﹣10x ﹣10y ＝0与圆x 2+y 2﹣6x +2y ﹣40＝0的公共弦长为4√10B ．过点P （2，1）作圆O ：x 2+y 2＝1的切线l ，则切线l 的方程为4x ﹣3y ﹣5＝0C ．圆x 2+y 2﹣x +2y ＝0与圆(x +2)2+(y −32)2=54关于直线x ﹣y +1＝0对称D ．圆心为A （2，﹣3），半径为5的圆的标准方程是（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝2512．在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1＝1，点P 满足BP →=λBC →+μBB 1→，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（ ）A ．当λ＝1时，△AB 1P 的周长为定值 B ．当μ＝1时，三棱锥P ﹣A 1BC 的体积为定值 C ．当λ=12时，有且仅有一个点P ，使得A 1P ⊥BP D ．当μ=12时，有且仅有一个点P ，使得A 1B ⊥平面AB 1P三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．假设P （A ）＝0.7，P （B ）＝0.8，且A 与B 相互独立，则P （A ∪B ）＝ ．14．直线l 经过点(√3，1)，且直线l 的一个方向向量为(−2，−2√3)，若直线l 与x 轴交于点（a ，0），则a ＝ ．15．写出与圆x 2+y 2＝1和（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程 ．16．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝2，AC ＝AA 1＝1，M 、N 分别是线段A 1B 1、AC 1上的点，P 是直线AC 上的点，满足MN ∥平面BB 1C 1C ，MN ⊥NP ，且M 、N 不是三棱柱的顶点，则MP 长的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在空间四边形OABC 中，2BD →=DC →，点E 为AD 的中点，设OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →． （1）试用向量a →，b →，c →表示向量OE →；（2）若OA ＝OB ＝OC ＝2，∠AOC ＝∠BOC ＝∠AOB ＝60°，求OE →⋅BC →的值．18．（12分）袋中有7个大小形状相同颜色不全相同的小球，分别为红球、白球、黑球，某同学从中任意取一个球，得到红球或白球的概率是57，得到白球或黑球的概率是47，试求：（1）某同学从中任取一个球，得到红球、白球、黑球的概率各是多少？ （2）某同学从中任取两个小球，得到的两个小球颜色不相同的概率是多少？19．（12分）已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y ﹣7m ﹣4＝0（m ∈R ）恒过定点D ．（1）求定点D 的坐标．（2）求直线l 被圆C 截得的弦长最短时m 的值、直线l 的方程以及最短弦长．20．（12分）甲，乙两人进行游戏比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时甲获胜的概率； （2）求乙最终以2分获胜的概率．21．（12分）如图，在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝4．点A 2，B 2，C 2，D 2分别在棱AA 1，BB 1，CC 1，DD 1上，AA 2＝1，BB 2＝DD 2＝2，CC 2＝3． （1）证明：B 2C 2∥A 2D 2；（2）点P 在棱BB 1上，当二面角P ﹣A 2C 2﹣D 2为150°时，求B 2P ．22．（12分）中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD 为正方形，四边形ABFE ，CDEF 为两个全等的等腰梯形，AB ＝4，EF ∥AB ，AB ＝2EF ，EA ＝ED ＝FB ＝FC ＝3．（1）当点N 为线段AD 的中点时，求证：直线AD ⊥平面EFN ；（2）当点N 在线段AD 上时（包含端点），求平面BFN 和平面ADE 的夹角的余弦值的取值范围．2023-2024学年山东省济宁市兖州区高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A ．至少有一个白球与都是红球 B ．恰好有一个白球与都是红球C ．至少有一个白球与都是白球D ．至少有一个白球与至少一个红球解：从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球， 对于A ，至少有一个白球与都是红球是对立事件，故A 错误；对于B ，恰好有一个白球与都是红球不能同时发生，但能同时不发生，是互斥而不对立事件，故B 正确； 对于C ，至少有一个白球与都是白球能同时发生，不是互斥事件，故C 错误； 对于D ，至少有一个白球与至少一个红球能同时发生，不是互斥事件，故D 错误． 故选：B ．2．若两条平行直线x ﹣2y +m ＝0（m ＞0）与x +ny ﹣3＝0之间的距离是2√5，则m +n ＝（ ） A ．5B ．﹣15C ．0D ．1解：直线x ﹣2y +m ＝0（m ＞0）与x +ny ﹣3＝0平行，则n ＝﹣2， 两条平行直线x ﹣2y +m ＝0（m ＞0）与x +ny ﹣3＝0之间的距离是2√5， 则22=2√5，解得m ＝7，故m +n ＝5． 故选：A ．3．如图，二面角的度数为60°，其棱上有两点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，若AB ＝5，AC ＝BD ＝4，则线段CD 的长为（ ）A ．√73B ．41C ．73D ．√41解：由题意可知，AB ＝5，AC ＝BD ＝4，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，＜AC →，BD →＞=60°， ∴AC →⋅BD →=|AC →|•|BD →|cos60°＝42×12=8，∵CD →=CA →+AB →+BD →=AB →+BD →−AC →，∴CD →2=（AB →+BD →−AC →）2=AB →2+BD →2+AC →2+2（AB →⋅BD →−AB →⋅AC →−BD →⋅AC →） ＝52+42+42+2（0﹣0﹣8）＝41， ∴CD =√41． 故选：D ．4．已知平面α的一个法向量为n →=(3，1，3)，M(1，0，0)，N(1，32，0)，其中M ∈α，N ∉α，则点N 到平面α的距离为（ ） A ．√1938B ．5√1938C ．3√1938D ．2√1919解：根据题意可得MN →=(0，32，0)，又M ∈α，N ∉α，且平面α的一个法向量为n →=(3，1，3)，∴点N 到平面α的距离为|MN →||cos ＜MN →，n →＞|=|MN →⋅n →||n →|=32√9+1+9=3√1938．故选：C ．5．在正四棱锥S ﹣ABCD 中，O 为顶点S 在底面内的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面P AC 所成角的余弦值是（ ） A ．√54B ．√22C ．√32D ．12解：如图，以O 为坐标原点，以OA 为x 轴，以OB 为y 轴，以OS 为z 轴，建立空间直角坐标系O ﹣xyz ，设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ，则A(a ，0，0)，B(0，a ，0)，C(−a ，0，0)，D(0，−a ，0)，S(0，0，a)，P(0，−a 2，a2)，则CA →=(2a ，0，0)，AP →=(−a ，−a 2，a2)，CB →=(a ，a ，0)，设平面P AC 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅CA →=2ax =0n →⋅AP →=−ax −a 2y +a2z =0，令y ＝1，则x ＝0，z ＝1，可得n →=（0，1，1）， 则cos〈CB →，n →〉=CB →⋅n→|CB →|⋅|n →|=√2a 2⋅√2=12，设直线BC 与平面P AC 的夹角为θ（0°≤θ＜90°），可得直线BC 与平面P AC 的夹角的正弦值为sinθ=|cos〈CB →，n →〉|=12， 所以直线BC 与平面P AC 的夹角的余弦值cosθ=√1−sin 2θ=√32． 故选：C ．6．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A ．甲与丙相互独立 B ．甲与丁相互独立 C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立解：由题意可知，两点数和为8的所有可能为：（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）， 两点数和为7的所有可能为（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）， P （甲）=16，P （乙）=16，P （丙）=56×6=536，P （丁）=66×6=16， A ：P （甲丙）＝0≠P （甲）P （丙）， B ：P （甲丁）=136=P （甲）P （丁）， C ：P （乙丙）=136≠P （乙）P （丙）， D ：P （丙丁）＝0≠P （丙）P （丁）， 故选：B ．7．已知圆C 的方程为x 2+y 2＝9，直线l ：x +2y ﹣10＝0，点P 是直线l 上的一动点，过P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，当四边形P ACB 的面积最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．2x +4y +9＝0B ．4x +2y +9＝0C ．4x +2y ﹣9＝0D ．2x +4y ﹣9＝0解：∵圆x 2+y 2＝9的圆心为C （0，0），半径r ＝3，当点P 与圆心的距离最小时，切线长P A 、PB 最小，此时四边形P ACB 的面积最小， ∴直线PC 与直线l ：x +2y ﹣10＝0垂直， ∴PC 的方程为2x ﹣y ＝0，两方程联立可得x ＝2，y ＝4，∴P （2，4），∴以CP 为直径的圆的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝5． 两圆方程相减可得2x +4y ﹣9＝0． 故选：D ．8．在棱长为3的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，EF 是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1外接球的直径，点P 是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1表面上的一点，则PE →⋅PF →的取值范围是（ ） A ．[−92，0]B ．[−52，0]C ．[0，52]D ．[0，92]解：∵在棱长为3的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，EF 是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1外接球的直径，点P 是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1表面上的一点，则设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的外接球的球心为O ，球O 的半径为R ， 则2R =3√3，可得R =3√32， 故OE =OF =3√32，又∵PE →⋅PF →=(PO →+OE →)⋅(PO →+OF →)=(PO →+OE →)⋅(PO →−OE →)=|PO →|2−|OE →|2=PO 2−274， ∵32≤PO ≤3√32， ∴PE →⋅PF →=PO 2−274的范围是[−92，0]． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（ ）A ．已知直线l 过点P （2，3），且在x ，y 轴上截距相等，则直线l 的方程为x +y ﹣5＝0B ．直线√3x +y +1=0的倾斜角为120°C ．a ∈R ，b ∈R ，“直线ax +2y ﹣1＝0与直线（a +1）x ﹣2ay +1＝0垂直”是“a ＝3”的必要不充分条件D ．若直线l 沿x 轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则直线l 的斜率为−23解：对于A ：直线l 过点P （2，3），且在x ，y 轴上截距相等，则直线l 的方程为x +y ﹣5＝0或y =32x ，故A 错误；对于B ：直线√3x +y +1=0，故直线的斜率tan θ=−√3，故θ＝120°，故B 正确；对于C ：a ∈R ，b ∈R ，当“a ＝3”时，“直线ax +2y ﹣1＝0与直线（a +1）x ﹣2ay +1＝0垂直”反之不成立，故“直线ax +2y ﹣1＝0与直线（a +1）x ﹣2ay +1＝0垂直”是“a ＝3”的必要不充分条件，故C 正确；对于D ：若直线l 沿x 轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则直线l 的斜率为−23，故D 正确． 故选：BCD ．10．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）A ．已知两个向量a →=(m ，1，3)，b →=(−1，5，n)，且a →∥b →，则mn ＝﹣3B ．已知a →=(0，1，1)，b →=(0，0，−1)，则b →在a →上的投影向量为(0，−12，−12)C ．设{a →，b →，c →}是空间的一个基底，则{a →−b →，b →，c →}也是空间的一个基底D ．若对空间中任意一点O ，有OP →=13OA →+12OB →−14OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面 解：对于A ：两个向量a →=(m ，1，3)，b →=(−1，5，n)，且a →∥b →，则m−1=15=3n，整理得mn ＝﹣3，故A 正确；对于B ：已知a →=(0，1，1)，b →=(0，0，−1)，则b →在a →上的投影向量为|a →|⋅a →⋅b→|a →||b →|⋅b→|b →|=(0，−12，−12)，故B 正确；对于C ：设{a →，b →，c →}是空间的一个基底，则{a →−b →，b →，c →}也是空间的一个基底，故C 正确； 对于D ：由于13+12−14≠1，故P ，A ，B ，C 四点不共面，故D 错误．故选：ABC ．11．下列说法正确的是（ ）A ．圆x 2+y 2﹣10x ﹣10y ＝0与圆x 2+y 2﹣6x +2y ﹣40＝0的公共弦长为4√10B ．过点P （2，1）作圆O ：x 2+y 2＝1的切线l ，则切线l 的方程为4x ﹣3y ﹣5＝0C ．圆x 2+y 2﹣x +2y ＝0与圆(x +2)2+(y −32)2=54关于直线x ﹣y +1＝0对称D ．圆心为A （2，﹣3），半径为5的圆的标准方程是（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝25解：对于A ：将圆x 2+y 2﹣10x ﹣10y ＝0与圆x 2+y 2﹣6x +2y ﹣40＝0相减可得4x +12y ﹣40＝0，即x +3y ﹣10＝0，所以两圆的公共弦所在的直线方程为x +3y ﹣10＝0，由圆x 2+y 2﹣10x ﹣10y ＝0的方程可得圆心C （5，5），半径r ＝5√2， 圆x 2+y 2﹣10x ﹣10y ＝0的圆心（5，5）到直线x +3y ﹣10＝0的距离d =|5+15−10|1+9=√10，所以公共弦长为2√50−10=4√10，故A 正确；对于B ：由题知，圆O ：x 2+y 2＝1，圆心为（0，0），半径为1， 因为P （2，1）在圆外，所以设切线l 为y ﹣1＝k （x ﹣2），即kx ﹣y +1﹣2k ＝0， 因为l 与圆O ：x 2+y 2＝1相切， 所以d =√k +1=1，解得k ＝0或k =43，所以切线l 的方程为y ＝1或4x ﹣3y ﹣5＝0，故B 错误； 对于C ：由圆x 2+y 2﹣x +2y ＝0可得圆心为（12，﹣1），半径r 1=√52，设（12，﹣1）关于直线x ﹣y +1＝0的对称点为B （m ，n ），所以{ n+1m−12⋅1=−1m+122−n−12+1=0，解得m ＝﹣2，n =32，所以B （﹣2，32）， 所以圆x 2+y 2﹣x +2y ＝0关于直线x ﹣y +1＝0对称圆的方程为(x +2)2+(y −32)2=54，故C 正确； 对于D ：圆心为A （2，﹣3），半径为5的圆的标准方程是（x ﹣2）2+（y +3）2＝25，故D 错误． 故选：AC ．12．在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1＝1，点P 满足BP →=λBC →+μBB 1→，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（ ）A ．当λ＝1时，△AB 1P 的周长为定值 B ．当μ＝1时，三棱锥P ﹣A 1BC 的体积为定值 C ．当λ=12时，有且仅有一个点P ，使得A 1P ⊥BPD ．当μ=12时，有且仅有一个点P ，使得A 1B ⊥平面AB 1P解：对于A ，当λ＝1时，BP →=BC →+μBB 1→，即CP →=μBB 1→，所以CP →∥BB 1→， 故点P 在线段CC 1上，此时△AB 1P 的周长为AB 1+B 1P +AP ， 当点P 为CC 1的中点时，△AB 1P 的周长为√5+√2， 当点P 在点C 1处时，△AB 1P 的周长为2√2+1， 故周长不为定值，故选项A 错误；对于B ，当μ＝1时，BP →=λBC →+BB 1→，即B 1P →=λBC →，所以B 1P →∥BC →， 故点P 在线段B 1C 1上， 因为B 1C 1∥平面A 1BC ，所以直线B 1C 1上的点到平面A 1BC 的距离相等， 又△A 1BC 的面积为定值，所以三棱锥P ﹣A 1BC 的体积为定值，故选项B 正确；对于C ，当λ=12时，取线段BC ，B 1C 1的中点分别为M ，M 1，连结M 1M ，因为BP →=12BC →+μBB 1→，即MP →=μBB 1→，所以MP →∥BB 1→，则点P 在线段M 1M 上，当点P 在M 1处时，A 1M 1⊥B 1C 1，A 1M 1⊥B 1B ， 又B 1C 1∩B 1B ＝B 1，所以A 1M 1⊥平面BB 1C 1C ， 又BM 1⊂平面BB 1C 1C ，所以A 1M 1⊥BM 1，即A 1P ⊥BP ， 同理，当点P 在M 处，A 1P ⊥BP ，故选项C 错误；对于D ，当μ=12时，取CC 1的中点D 1，BB 1的中点D ， 因为BP →=λBC →+12BB 1→，即DP →=λBC →，所以DP →∥BC →， 则点P 在线的DD 1上，当点P 在点D 1处时，取AC 的中点E ，连结A 1E ，BE ，因为BE ⊥平面ACC 1A 1，又AD 1⊂平面ACC 1A 1，所以AD 1⊥BE ， 在正方形ACC 1A 1中，AD 1⊥A 1E ， 又BE ∩A 1E ＝E ，BE ，A 1E ⊂平面A 1BE ，故AD 1⊥平面A 1BE ，又A 1B ⊂平面A 1BE ，所以A 1B ⊥AD 1， 在正方体形ABB 1A 1中，A 1B ⊥AB 1，又AD 1∩AB 1＝A ，AD 1，AB 1⊂平面AB 1D 1，所以A 1B ⊥平面AB 1D 1， 因为过定点A 与定直线A 1B 垂直的平面有且只有一个， 故有且仅有一个点P ，使得A 1B ⊥平面AB 1P ，故选项D 正确．故选：BD ．三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．假设P （A ）＝0.7，P （B ）＝0.8，且A 与B 相互独立，则P （A ∪B ）＝ 0.94 ． 解：∵P （A ）＝0.7，P （B ）＝0.8，且A 与B 相互独立， ∴P （AB ）＝P （A ）P （B ）＝0.7×0.8＝0.56，∴P （A ∪B ）＝P （A ）+P （B ）﹣P （AB ）＝0.7+0.8﹣0.56＝0.94． 故答案为：0.94．14．直线l 经过点(√3，1)，且直线l 的一个方向向量为(−2，−2√3)，若直线l 与x 轴交于点（a ，0），则a ＝2√33．解：由直线的方向向量可得直线的斜率为：−2√3−2=√3，可得直线l 的方程为：y ﹣1=√3（x −√3）， 将（a ，0）代入可得﹣1=√3（a −√3）， 解得a =2√33． 故答案为：2√33． 15．写出与圆x 2+y 2＝1和（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程 x ＝﹣1（填3x +4y ﹣5＝0，7x ﹣24y ﹣25＝0都正确） ．解：圆x 2+y 2＝1的圆心坐标为O （0，0），半径r 1＝1，圆（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝16的圆心坐标为C （3，4），半径r 2＝4， 如图：∵|OC |＝r 1+r 2，∴两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条． ∵k OC =43，∴l 1的斜率为−34，设直线l 1：y =−34x +b ，即3x +4y ﹣4b ＝0，由|−4b|5=1，解得b =54（负值舍去），则l 1：3x +4y ﹣5＝0；由图可知，l 2：x ＝﹣1；l 2与l 3关于直线y =43x 对称，联立{x =−1y =43x，解得l 2与l 3的一个交点为（﹣1，−43），在l 2上取一点（﹣1，0）， 该点关于y =43x 的对称点为（x 0，y 0），则{y 02=43⋅x 0−12y 0x 0+1=−34，解得对称点为（725，−2425）． ∴k l 3=−2425+43725+1=724，则l 3：y =724(x +1)−43，即7x ﹣24y ﹣25＝0． ∴与圆x 2+y 2＝1和（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程为： x ＝﹣1（填3x +4y ﹣5＝0，7x ﹣24y ﹣25＝0都正确）．故答案为：x ＝﹣1（填3x +4y ﹣5＝0，7x ﹣24y ﹣25＝0都正确）．16．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝2，AC ＝AA 1＝1，M 、N 分别是线段A 1B 1、AC 1上的点，P 是直线AC 上的点，满足MN ∥平面BB 1C 1C ，MN ⊥NP ，且M 、N 不是三棱柱的顶点，则MP 长的最小值为√62．解：如图，由已知AB ，AC ，AA 1两两互相垂直，以点A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 根据题意可得B （2，0，0），C （0，1，0），B 1（2，0，1），C 1（0，1，1）， 设M （m ，0，1），N （0，n ，n ），P （0，t ，0），0＜m ＜2，0＜n ＜1，∴BB 1→=(0，0，1)，BC →=(−2，1，0)，MN →=(−m ，n ，n −1)，NP →=(0，t −n ，−n)， 设平面BCC 1B 1的一个法向量为n 1→=(x ，y ，z)， 则{n 1→⋅BB 1→=z =0n 1→⋅BC →=−2x +y =0，取n 1→=(1，2，0)， 因为MN ∥平面BCC 1B 1，所以MN →⋅n 1→=0，∴m ＝2n ，（0＜m ＜2，0＜n ＜1）， 又MN ⊥NP ，∴MN →⋅NP →=0，可得t ＝2n ﹣1，∴M （2n ，0，1），P （0，2n ﹣1，0）， ∴MP =√(2n)2+(2n −1)2+12=√8n 2−4n +2=√8[(n −14)2+316]≥√32=√62， 当n =14时，MP 取最小值，最小值为√62． 故答案为：√62． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在空间四边形OABC 中，2BD →=DC →，点E 为AD 的中点，设OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →． （1）试用向量a →，b →，c →表示向量OE →；（2）若OA ＝OB ＝OC ＝2，∠AOC ＝∠BOC ＝∠AOB ＝60°，求OE →⋅BC →的值．解：（1）∵2BD →=DC →，所以BD →=13BC →=13(OC →−OB →)，∴OD →=OB →+BD →=OB →+13(OC →−OB →)=23OB →+13OC →，∵点E 为AD 的中点，∴OE →=12OA →+12OD →=12OA →+12(23OB →+13OC →)=12OA →+13OB →+16OC →=12a →+13b →+16c →． （2）∵BC →=OC →−OB →，由（1）得OE →⋅BC →=(12OA →+13OB →+16OC →)⋅(OC →−OB →) =12OC →⋅OA →+16OC →⋅OB →+16OC →2−12OB →⋅OA →−13OB →2=12×2×2×12+16×2×2×12+16×22−12×2×2×12−13×22=−13． 18．（12分）袋中有7个大小形状相同颜色不全相同的小球，分别为红球、白球、黑球，某同学从中任意取一个球，得到红球或白球的概率是57，得到白球或黑球的概率是47，试求：（1）某同学从中任取一个球，得到红球、白球、黑球的概率各是多少？ （2）某同学从中任取两个小球，得到的两个小球颜色不相同的概率是多少？ 解：（1）从中任取一个小球，分别记得到红球、白球、黑球为事件A ，B ，C ， 由于A ，B ，C 为互斥事件，所以由题意得，{P(A)+P(B)+P(C)=1P(A +B)=P(A)+P(B)=57P(B +C)=P(B)+P(C)=47，解得P （A ）=37，P （B ）=27，P （C ）=27， 所以任取一个小球，得到红球、白球、黑球的概率分别是37，27，27．（2）由（1）知红球、白球、黑球的个数分别为3，2，2， 记红球为a ，b ，c ，白球为m ，n ，黑球为x ，y ，则从7个小球中取出两个小球的基本事件有：ab ，ac ，am ，an ，ax ，ay ，bc ，bm ，bn ，bx ，by ，cm ，cn ，cx ，cy ，mn ，mx ，my ，nx ，ny ，xy ，共有21个，其中两个小球是红球的基本事件有：ab ，ac ，bc ，共3个，两个白球的基本事件有：mn ，共1个，两只黑球的基本事件有：xy ，共1个， 于是两个小球同色的概率为3+1+121=521，则两个小球颜色不相同的概率是1−521=1621． 19．（12分）已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y ﹣7m ﹣4＝0（m ∈R ）恒过定点D ．（1）求定点D 的坐标．（2）求直线l 被圆C 截得的弦长最短时m 的值、直线l 的方程以及最短弦长．解：（1）直线l 的方程（2m +1）x +（m +1）y ﹣7m ﹣4＝0，整理得（2x +y ﹣7）m +（x +y ﹣4）＝0． 该方程对于任意实数m ∈R 成立，于是有{2x +y −7=0x +y −4=0，解得x ＝3，y ＝1，所以直线l 恒过定点D （3，1）．（2）因为直线l 恒经过圆C 内的定点D ，所以当直线经过圆心C 时被截得的弦最长，它是圆的直径； 当直线l 垂直于CD 时被截得的弦长最短．由C （1，2），D （3，1），可知k CD =−12，所以当直线l 被圆C 截得的弦最短时，直线l 的斜率为2， 于是有−2m+1m+1=2，解得m =−34． 此时直线l 的方程为y ﹣1＝2（x ﹣3），即2x ﹣y ﹣5＝0． 又|CD|=√5，所以，最短弦长为2√25−5=4√5．20．（12分）甲，乙两人进行游戏比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时甲获胜的概率； （2）求乙最终以2分获胜的概率．解：（1）由题知，每局比赛中，甲获胜的概率为12，不获胜的概率为12，设事件A 为“第三局结束时甲获胜”，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况： （胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）， 所以P(A)=12×12×12+12×12×12=14； （2）由题知，每局比赛中，乙获胜的概率为13，平的概率为16，负的概率为12， 设事件B ＝“乙最终以2分获胜”，若第二局结束时乙获胜，则乙两局连胜，此时概率P 1=13×13=19， 若第三局结束时乙获胜，则乙第三局必定获胜总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜），此时概率P 2=13×23×13+23×13×13=427， 若第四局结束时，乙以2分获胜，则乙第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），（胜，负，平 胜），（平，胜，负，胜），（平，负，胜，胜），（负，胜，平，胜），（负，平，胜，胜）， 此时概率P 3=13×16×16×13×3+13×16×12×13×6=7108， 所以P(B)=P 1+P 2+P 3=19+427+7108=35108．21．（12分）如图，在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝4．点A 2，B 2，C 2，D 2分别在棱AA 1，BB 1，CC 1，DD 1上，AA 2＝1，BB 2＝DD 2＝2，CC 2＝3． （1）证明：B 2C 2∥A 2D 2；（2）点P 在棱BB 1上，当二面角P ﹣A 2C 2﹣D 2为150°时，求B 2P ．解：（1）证明：以C 为坐标原点，CD ，CB ，CC 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图，则C （0，0，0），C 2（0，0，3），B 2（0，2，2），D 2（2，0，2），A 2（2，2，1）， 所以B 2C 2→=(0，−2，1)，A 2D 2→=(0，−2，1)， 所以B 2C 2→=A 2D 2→， 所以B 2C 2→∥A 2D 2→，又B 2C 2，A 2D 2不在同一条直线上， 所以B 2C 2∥A 2D 2．（2）设平面A 2C 2D 2的法向量m →=(a ，b ，c)，则m →=(1，1，2)， 设P （0，2，λ）（0≤λ≤4），又A 2C 2→=(−2，−2，2)，PC 2→=(0，−2，3−λ)，D 2C 2→=(−2，0，1)，设平面P A2C2的法向量n→=(x，y，z)，则{n→⋅A2C2→=−2x−2y+2z=0 n→⋅PC2→=−2y+(3−λ)z=0，令z＝2，得y＝3﹣λ，x＝λ﹣1，所以n→=(λ−1，3−λ，2)，所以|cos〈n→，m→〉|=|n→⋅m→||n→||m→|=6√6√4+(λ−1)2+(3−λ)2=|cos150°|=√32，化简可得，λ2﹣4λ+3＝0，解得λ＝1或λ＝3，所以P（0，2，1）或P（0，2，3），所以B2P＝1．22．（12分）中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，AB＝4，EF∥AB，AB＝2EF，EA＝ED＝FB＝FC＝3．（1）当点N为线段AD的中点时，求证：直线AD⊥平面EFN；（2）当点N在线段AD上时（包含端点），求平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值的取值范围．解：（1）证明：因为点N为线段AD的中点，且EA＝ED，所以AD⊥EN，因为EF∥AB，且四边形ABCD为正方形，故AD⊥AB，所以AD⊥EF，而EN∩EF＝E，EN，EF⊂平面EFN，故AD⊥平面EFN；（2）设正方形ABCD的中心为O，分别取AB，BC，EF的中点为P，Q，S，设点H为线段AD的中点，由（1）知E，F，H，Q四点共面，且AD⊥平面EFH，连接OS，OS⊂平面EFH，故AD⊥OS，又AD⊂平面ABCD，故平面ABCD⊥平面EFHQ，且平面ABCD∩平面EFHQ＝HQ，由题意可知四边形EFQH 为等腰梯形，故OS ⊥HQ ， OS ⊂平面EFHQ ，故OS ⊥平面ABCD ，故以O 为坐标原点，OP ．OO ．OS 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，因为AB ＝4，则A （2，﹣2，0），B （2，2，0），C （﹣2，2，0），D （﹣2，﹣2，0）， 又AB ＝2EF ，故EF ＝2， 设EF 到底面ABCD 的距离为h ，四边形ABFE ，CDEF 为两个全等的等腰梯形，且EF ∥AB ， 故E （0，﹣1，h ），F （0，1，h ），又EA ＝ED ＝FB ＝FC ＝3， 故√22+12+ℎ2=3，∴h ＝2，则E （0，﹣1，2），F （0，1，2），AE →=(−2，1，2)，AD →=(−4，0，0)，BF →=(−2，−1，2)，B →A →=(0，−4，0)， 设AN →=λAD →，λ∈[0，1]，∴BN →=BA →+AN →=BA →+λAD →=(−4λ，−4，0)， 设平面 BFN 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅BF →=−2x −y +2z =0n →⋅BF →=−4λx −4y =0，令x ＝2，∴n →=(2，−2λ，2−λ)， 设平面ADE 的一个法向量为m →=(a ，b ，c)，则{m →⋅AD →=−4a =0m →⋅AE →=−2a +b +2c =0，令c ＝1，∴m →=(0，−2，1)， 故|cos〈n →，m →〉|=|n →⋅m →||n →||m →|=|3λ+2|√5×√5λ−4λ+8=3√5√(λ+23)5λ2−4λ+8， 令m =λ+23，m ∈[23，53]，则|cos〈n →，m →〉|=3√5⋅√m5m 2−323m+1169， 令t =1m ∈[35，32]，则|cos〈n →，m →〉|=3√51√1169t 2−323t+5， 令f(t)=1169t 2−323t +5，则f （t ）在[35，32]上单调递增，故当t=35时，f(t)min=f(35)=8125，当t=32时，f(t)max=f(32)=18，故|cos〈n→，m→〉|∈[√1010，√53]，即平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值得取值范围为[√1010，√53]．第21页（共21页）。
2021届高二新题数学人教A版2019专题01空间向量与立体几何(选择题、填
2021届高二新题数学人教A版2019专题01,空间向量与立体几何（选择题、填空题）（9月解析版）题专题01空间向量与立体几何（选择题、填空题）一、单选题1．（江苏省南通市如东县2019-2020学年高一下学期期末数学试题）在长方体1111ABCDABCD中，2ABBC，11AA，则直线1BC与平面11BBDD所成角的正弦值为A．63B．102C．155D．105【答案】D【分析】由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线,所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．【解析】以D点为坐标原点，以1,,DADCDD所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则1(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),ABCC(0,2,1),1(2,0,1),(2,2,0),BCACA C为平面11BBDD的一个法向量．1410cos,558BCAC．直线1BC与平面11BBDD所成角的正弦值为105.故选D．【点睛】此题重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系,利用向量方法解决立体几何问题．2．（广东省广州市八区2019-2020学年高二下学期期末教学质量检测数学试题）如图，在平行六面体ABCDABCD中，AC 与BD的交点为O，点M在BC上，且2BMMC，则下列向量中与OM相等的向量是A．172263ABADAA B．151263ABADAA C．112263ABADAA D．111263ABADAA【答案】C【分析】在平行六面体ABCDABCD中，根据空间向量加法合成法则，对向量OM进行线性表示即可【解析】因为2BMMC，所以23BMBC，在平行六面体ABCDABCD中，OMOBBM"23OBBC"12()23DBADAA"12()()23ABADADAA 112263ABADAA，故选C【点睛】此题考查了空间向量的加法运算问题，解题时应结合图形进行解答，属于基础题.3．（河南省驻马店市2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题）若两条不重合直线1l和2l的方向向量分别为11,0,1-，22,0,2，则1l和2l的位置关系是A．平行B．相交C．垂直D．不确定【答案】A【分析】由212v，可知两直线的位置关系是平行的【解析】因为两条不重合直线1l和2l的方向向量分别为11,0,1-，22,0,2，所以212v，即2与1v共线，所以两条不重合直线1l和2l的位置关系是平行，故选A【点睛】此题考查了直线的方向向量，共线向量，两直线平行的判定，属于基础题.4．（河南省商丘市回民中学2019-2020学年高二期末考试数学（理）试题）已知向量1,1,01,0,2ab，且2kabab与互相垂直，则k的值是A．75B．2C．53D．1【答案】A【分析】由向量垂直，可得对应向量数量积为0，从而可求出结果.【解析】因为1,1,01,0,2ab，，所以1ab，25ab，，又2kabab与互相垂直，所以20kabab，即22220kakababb，即4250kk，所以75k;故选A【点睛】本题主要考查向量的数量积的坐标运算，属于基础题型.5．（江西省南昌市八一中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题）,,abc为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是A．,,aabab B．,,bababC．,,cabab D．,,2ababab【答案】C【分析】空间的一组基底，必须是不共面的三个向量，利用向量共面的充要条件可证明A,B,D三个选项中的向量均为共面向量，利用反证法可证明C 选项中的向量不共面【解析】对于A，因为()()2ababa，所以,,aabab共面，不能构成基底，排除A，对于B，因为)()2ababb(，所以,,babab共面，不能构成基底，排除B，对于D，312()()22ababab，所以,,2ababab共面，不能构成基底，排除D，对于C，若,,cabab共面，则()()()()cababab，则,,abc共面，与,,abc为空间向量的一组基底相矛盾，故,,cabab可以构成空间向量的一组基底，故选C【点睛】此题考查了空间向量基本定理，向量共面的充要条件等基础知识，判断向量是否共面是解决此题的关键，属于基础题.6．（江苏省泰州市2019-2020学年高一下学期期末（重考卷）数学试题）点P(1，2，3）关于xOy平面的对称点的坐标为A．(－1，2，3)B．(1，－2，－3)C．(－1，－2，－3)D．(1，2，－3)【答案】D【分析】关于xOy平面对称的点的,xy坐标不变，只有z坐标相反．【解析】点P(1，2，3）关于xOy平面的对称点的坐标为(1,2,)3．故选D．【点睛】本题考查空间直角坐标系，考查空间上点关于坐标平面对称或关于坐标轴对称问题，属于简单题．7．（河南省开封市第二十五中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）在空间直角坐标系Oxyz中，记点1,2,3A在xOz平面内的正投影为点B，则OB A．5B．10C．13D．14【答案】B【分析】求出B点坐标，然后计算OB．【解析】点1,2,3A在xOz平面内的正投影为点(1,0,3)B，则2210310OB．故选B.【点睛】本题考查空间点在坐标平面上的投影，考查空间两点间距离．属于基础题．8．（浙江省湖州市2019-2020学年高二上学期期中数学试题）在正方体1111ABCDABCD 中，异面直线AC与1BD所成的角为A．6B．4C．3D．2【答案】D【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC与1BD所成的角.【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，则A（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，0），B1（1，1，1），AC＝（﹣1，1，0），1BD＝（﹣1，﹣1，﹣1），设异面直线AC与B1D所成的角为，则cos ＝11||||||ACBDACBD＝0，＝2.异面直线AC与B1D所成的角为2.故选D.【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.9．（浙江省绍兴市鲁迅中学2019-2020学年高二上学期期中数学试题）如图，长方体1111ABCDABCD中，14AAAB，2AD，E、F、G分别是1DD、AB、1CC的中点，则异面直线1AE与GF所成角的余弦值是A．0B．105C．22D．155【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，表示1,AEGF，然后利用空间向量的夹角公式计算即可.【解析】如图12,0,40,0,2,2,2,0,0,4,2AEFG，所以12,0,2,2,2,2AEGF所以异面直线1AE与GF所成角的余弦值110AEGFAEGF故选A【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值，利用向量的方法，便于计算，将几何问题代数化，属基础题.10．（吉林省长春市农安县实验中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）点A(3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标是A．(－3,4，－10)B．(－3,2，－4)C．311(,,)222D．(6，－5,11)【答案】A【解析】A(3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标是(023,122,324)(3,4,10)，选A.11．（福建省莆田第七中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题）若向量,ab的坐标满足2,1,2ab，4,3,2ab，则ab等于A．5B．5C．7D．1【答案】B【分析】直接利用向量的关系式，求出向量a、b的坐标，再根据向量数量积运算公式求解即可.【解析】因为2,1,2ab，4,3,2ab，两式相加得22,4,0a，解得1,2,0a，3,1,2b，所以1321025ab，故选B.【点睛】本题主要考查空间向量的基本运算，数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题.12．（上海市上海交通大学附属中学2019-2020学年高二下学期期末数学试题）在平行六面体1111ABCDABCD中，M为11AC与11BD的交点，若,ABaADb,1AAc，则与BM相等的向量是A．1122abc B．1122abc C．1122abc D．1122abc 【答案】D【分析】根据空间向量的线性运算，用,,abc作基底表示BM即可得解.【解析】根据空间向量的线性运算可知11BMBBBM11112AABD1111112AABAAD112AAAB AD因为,ABaADb,1AAc，则112AAABAD1122abc即1122BMabc，故选D.【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.13．（黑龙江省海林市朝鲜族中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）在空间直角坐标系中，点(1,3,5)P关于xOy面对称的点的坐标是（）A．(1,3,5)B．(1,3,5)C．(1,3,5)D．(1,3,5)【答案】C 【解析】1,3,5P关于xOy面对称的点为1,3,514．（江西省南昌市八一中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题）如图，空间四边形OABC中，,,OAaOBbOCc，且2OMMA，BNNC，则MN A．221332abc B．111222abc C．211322abc D．12 1232abc【答案】C【分析】根据MNONOM，再由2OMMA，BNNC，得到2211,3322aOMOAONOBOCcb，求解.【解析】因为MNONOM，又因为2211,3322aOMOAONOBOCcb，所以211322MNabc.故选C【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15．（江西省南昌市八一中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题）设,xyR，向量(,1,1),b(1,,1),c(2,4,2)axy，,cacb P，则||ab A．22B．10C．3D．4【答案】C【分析】根据,cacb P，结合向量的坐标运算可求得参数,xy的值，再结合向量的加法与模长运算即可求解【解析】,241,2,(1,2,1)bcyyb P，,ac214+ 20,acx1x，(1,1,1),(2,1,2)aab，222||2(1)23ab，故选C.【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题16．（河北省石家庄市第二中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题）在正方体1111ABCDABCD中，MN，分别为AD，11CD的中点，O为侧面11BCCB的中心，则异面直线MN与1OD所成角的余弦值为()A．16B．14C．16D．14【答案】A【分析】以D为坐标原点，分别以1,,DADCDD所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，求出1MNOD，的坐标，由数量积求夹角公式求解．【解析】如图，以D为坐标原点，分别以1,,DADCDD 所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则1100,012,121,002MNOD，，，，，，，，，11,1,2,1,2,1MNOD．则11111cos,666MNODMNODMNOD．异面直线MN与1OD所成角的余弦值为16,故选A．【点睛】本题考查利用空间向量求解异面直线所成角，关键是正确标出所用点的坐标，是中档题．17．（新疆实验中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题）长方体1111ABCDABCD中12,1ABAAAD，E为1CC的中点，则异面直线1BC与AE所成角的余弦值为A．1010B．3010C．21510D．31010【答案】B【解析】建立坐标系如图所示．则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，1BC＝(－1,0,2)，AE＝(－1，2,1)．cos〈1BC，AE〉＝＝3010.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为3010.18．（湖北省黄石市第二中学2019-2020学年高二下学期5月月考数学（理）试题）已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C （－1，3，1），则A．AB与AC是共线向量B．AB的单位向量是1,1,0C．AB与BC夹角的余弦值是5511D．平面ABC的一个法向量是1,2.5【答案】D【分析】分别根据两个向量的坐标运算，单位向量的定义和两向量的夹角公式，及法向量的求法，逐一判定，即可得到答案.【解析】由题意，对于A中，2,1,0,1,2,1ABAC，所以ABAC，则AB与AC不是共线向量，所以不正确；对于B中，因为2,1,0AB，所以AB的单位向量为255,,055或255,,055，所以是错误的；对于C中，向量2,1,0,3,1,1ABAC，所以55cos,11ABBCABBCABBC，所以是错误的；对于D中，设平面ABC的一个法向量是,,nxyz，因为2,1,0,1,2,1ABAC，所以200200xynABxyznAC，令1x，所以平面ABC的一个法向量为125n，，，所以是正确的，故选D.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，两个向量的夹角公式以及共线向量的定义和平面法向量的求解，其中解答中熟记向量的基本概念和向量的运算公式是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19．（福建省莆田第七中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题）如图，平行六面体中1111ABCDABCD中，各条棱长均为1，共顶点A的三条棱两两所成的角为60，则对角线1BD的长为A．1B．2C．3D．2【答案】B【分析】在平行六面体中1111ABCDABCD中，利用空间向量的加法运算得到11BDBABBBC，再根据模的求法，结合各条棱长均为1，共顶点A的三条棱两两所成的角为60，由2211BDBABBBC222111222BABBBCBABBBCBABBBC求解.【解析】在平行六面体中1111ABCDABCD中，因为各条棱长均为1，共顶点A的三条棱两两所成的角为60，所以111111cos120,11cos6022BABBBABCBCBB，所以11BDBABBBC，所以2211BDBABBBC，222111222BABBBCBABBBCBABBBC，113+22+2222，所以12BD，故选B【点睛】本题主要考查空间向量的运算以及向量模的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．（黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，2BCBD，AB与平面ACD所成角的正切值为12，则点B到平面ACD 的距离为A．32B．233C．55D．255【答案】D【分析】首先以B为原点，BC，BD，BA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，BAt=，根据AB与平面ACD所成角的正切值为12得到2t，再求B到平面ACD 的距离即可.【解析】以B为原点，BC，BD，BA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：设BAt=，0t，0,0,0B，2,0,0C，0,2,0D，()0,0,At.()0,0,ABt=-，()2,0,CAt=-，()2,2,0CD=-.设平面ACD的法向量,,nxyz，则20220nCAxtznCDxy，令1x，得1y，2zt，故21,1,nt.因为直线AB与平面ACD所成角的正切值为12，所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为55.即2255211ABnABntt，解得2t.所以平面ACD的法向量21,1,2n，故B到平面ACD 的距离为22551112ABndn.故选D【点睛】本题主要考查向量法求点到面的距离，同时考查线面成角问题，属于中档题.21．（山东省济南莱芜市第一中学2019-2020学年高二下学期第一次质量检测数学试题）在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，点M为棱1CC 的中点，则直线1BM与平面11ADM所成角的正弦值是A．215B．25C．35D．45【答案】B【分析】通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而求出线面角的正弦值.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则1111(1,0,1),(0,0,1),(0,1,),(1,1,1)2ADMB11(1,0,0)AD，11(0,1,)2DM，11(1,0,)2MB设平面11ADM的法向量为(,,)mxyz则1110=01002xADmyzDMm令1y可得2z，所以(0,1,2)m设直线1BM与平面11ADM所成角为，1112sin5552mMBmMB故选B【点睛】本题考查了空间中的角线面角的求法，考查了空间想象能力和数学运算技能，属于一般题目.22．（四川省叙州区第二中学2019-2020学年高二下学期期末模拟考试数学（文）试题）一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是0,0,0，1,2,0，0,2,2，3,0,1，则该四面体中以yOz平面为投影面的正视图的面积为A．3B．52C．2D．72【答案】A【解析】根据平行投影的知识可知:该四面体中以yOz平面为投影面的正视图为一个上底为1，下底为2，高为2的直角梯形，所以面积为3.23．（四川省内江市2020届高三高考数学（理科）三模试题）如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC＝4，AB＝AC，BAC＝90，D为半圆弧的中点，若异面直线BD和AB1所成角的余弦值为23，则该几何体的体积为A．16+8B．32+16C．32+8D．16+16【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线BD和1AB所成的角的余弦值计算出该几何体的高，由此计算出该几何体的体积.【解析】设D在底面半圆上的射影为1D，连接1AD交BC于O，设1111ADBCO.依题意半圆柱体底面直径4,,90BCABACBAC，D为半圆弧的中点，所以1111,ADBCADBC且1,OO分别是下底面、上底面半圆的圆心.连接1OO，则1OO与上下底面垂直，所以11,,OOOBOOOAOAOB，以1,,OBOAOO为,,xyz轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为0hh，则12,0,0,0,2,,0,2,0,2,0,BDhABh，所以12,2,,2,2,BDhABh，由于异面直线BD和1AB 所成的角的余弦值为23，所以212212388BDABhBDABhh，即2222,16,483hhhh.所以几何体的体积为2112442416822.故选A【点睛】本小题主要考查根据线线角求其它量，考查几何体体积的求法，属于中档题.24．（吉林省长春市2020届高考数学二模试卷（文科））在正方体1111ABCDABCD中，点E，F，G分别为棱11AD，1DD，11AB的中点，给出下列命题：①1ACEG；②//GCED；③1BF平面1BGC；④EF和1BB成角为4.正确命题的个数是A．0B．1C．2D．3【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数.【解析】设正方体边长为2，建立空间直角坐标系如下图所示，12,0,0,0,2,2,2,1,2ACG，10,2,0,1,0,2,0,0,0,2,2,2,0,0,1,2,2,0CEDBFB.①，112,2,2,1,1,0,2200ACEGACEG，所以1ACEG，故①正确.②，2,1,2,1,0,2GCED，不存在实数使GCED，故//GCED不成立，故②错误.③，112,2,1,0,1,2,2,0,2BFBGBC，1110,20BFBGBFBC，故1BF平面1BGC不成立，故③错误.④，11,0,1,0,0,2EFBB，设EF和1BB成角为，则1122cos222EFBBEFBB，由于0,2，所以4，故④正确.综上所述，正确的命题有2个.故选C【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题.25．（浙江省台州市书生中学2020届高三下学期高考模拟数学试题）如图，三棱锥VABC的侧棱长都相等，底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，E为线段AC的中点，F为直线AB上的动点，若平面VEF与平面VBC所成锐二面角的平面角为，则cos的最大值是A．33B．23C．53D．63【答案】D【分析】连接BE，以E为原点，EB 为x轴，EC为y轴，EV为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面VBC的一个法向量m，平面VEF的一个法向量n，利用cosmnmn即可求解.【解析】底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，则RtABCRtVAC，所以VAVCBABC设2VAVCBABCVB，由E为线段AC的中点，则2VEBV，由222VEBEVB，所以VEEB，以E为原点，EB为x轴，EC为y 轴，EV为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则0,2,0C，2,0,0B，0,0,2V，设,2,0Fxx，0,2,2VC，2,0,2VB，0,0,2EV，,2,2VFxx，设平面VBC的一个法向量111,,mxyz，则00mVCmVB，即1111220220yzxz，令11x，则11y，11z，所以1,1,1m.设平面VEF的一个法向量222,,nxyz，则00nEVnVF，即222220220zxxxyz，解得20z，令21y，则221xx，所以21,1,0nx，平面VEF与平面VBC所成锐二面角的平面角为，则22cos22232mnxmnxx，将分子、分母同除以1x，可得2222322226626xxxx令2226626632fxxxx，当22x时，min3fx，则cos的最大值为：2633.故选D【点睛】本题考查了空间向量法求二面角、考查了基本运算求解能力，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于中档题.26．（陕西省渭南市大荔县2019-2020学年高一下学期期末数学试题）已知MN是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PMPN的取值范围为A．0,4B．0,2C．1,4D．1,2【答案】B【分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可将所求数量积化为21PO，根据正方体的特点可确定PO的最大值和最小值，代入即可得到所求范围.【解析】设正方体内切球的球心为O，则1OMON，2PMPNPOOMPOONPOPOOMONOMON，MN为球O的直径，0OMON，1OMON，21PMPNPO，又P在正方体表面上移动，当P为正方体顶点时，PO最大，最大值为3；当P为内切球与正方体的切点时，PO最小，最小值为1，210,2PO，即PMPN的取值范围为0,2.故选B.【点睛】本题考查向量数量积的取值范围的求解问题，关键是能够通过向量的线性运算将问题转化为向量模长的取值范围的求解问题.27．（河南省新乡市2020届高三年级第三次模拟考试数学（理科）试题）连续掷三次骰子，先后得到的点数分别为x，y，z，那么点(,,)Pxyz到原点O的距离不超过3的概率为A．427B．7216C．1172D．16【答案】B【分析】根据空间中两点间的距离公式结合古典概型的概率公式，即可得出答案.【解析】点(,,)Pxyz到原点O的距离不超过3，则2223xyz，即2229xyz连续掷三次骰子，得到的点的坐标共有666216个其中(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,1),(2,2,1),(2,1,2)满足条件则点(,,)Pxyz到原点O的距离不超过3的概率为7216P故选B 【点睛】本题主要考查了古典概型概率公式的应用，涉及了空间中两点间距离公式的应用，属于中档题.28．（浙江省2020届高三下学期强基联考数学试题）已知非负实数x，y，z满足01xyz，则有序实数对,,xyz围成几何体的体积为A．12B．13C．16D．以上都不对【答案】C【分析】由已知条件可知有序实数对围成几何体为三棱锥，由棱锥体积公式可得结果.【解析】若01x，01y，01z，则有序实数对,,xyz围成几何体是棱长为1的正方体1111ABCDABCD,若非负实数x，y，z满足01xyz，有序实数对,,xyz围成几何体为三棱锥111BDCD,则111111=111=326BDCDV，故选C【点睛】本题考查空间向量和锥体体积公式的应用，考查空间想象能力和分析推理能力，属于中档题.29．（浙江省舟山中学2020届高三下学期6月高考仿真模拟数学试题）在正四面体DABC（所有棱长均相等的三棱锥）中，点E 在棱AB上，满足2AEEB，点F为线段AC上的动点.设直线DE与平面DBF所成的角为，则A．存在某个位置，使得DEBF B．存在某个位置，使得4FDB C．存在某个位置，使得平面DEF平面DACD．存在某个位置，使得6【答案】C【分析】设正四面体DABC的底面中心为点O，连接DO，则DO平面ABC，以点O为坐标原点，OB、OD所在直线分别为x、z轴建立空间直角坐标系，设正四面体DABC的棱长为2，然后利用空间向量法逐一分析求解可得结果.【解析】如下图所示，设正四面体DABC的底面中心为点O，连接DO，则DO平面ABC，以点O为坐标原点，OB、OD所在直线分别为x、z轴建立空间直角坐标系，设正四面体DABC的棱长为2，则3,1,03A、23,0,03B、3,1,03C、260,0,3D、31,,033E，设3,,03F，其中11，对于A选项，若存在某个位置使得DEBF，3126,,333DE，3,,0BF，1103DEBF，解得3，不合乎题意，A选项错误；对于B选项，若存在某个位置使得4FDB，326,,33DF，2326,0,33DB，22212cos,2323DFDBDFDBDFDB，该方程无解，B选项错误；对于C选项，设平面DAC的一个法向量为111,,mxyz，326,1,33DA，326,1,33DC，由111111326033326033mDAxyzmDCxyz，取11z，得22,0,1m，设平面DEF的一个法向量为222,,nxyz，3126,,333DE，326,,33DF，由22222231260333326033nDExyznDFxyz，取46y，则2262,46,31n，若存在某个位置，使得平面DEF平面DAC，则2190mn，解得31,17，合乎题意，C选项正确；对于D选项，设平面DBF的一个法向量为333,,uxyz，2326,0,33DB，326,,33DF，由333332326033326033uDBxzuDFxyz，令z，则2,6,u，若存在某个位置，使得6，即22612131sincos,6227272363uDEuDEuDE，整理得254120，162400，该方程无解，D选项错误.故选C.【点评】本题考查利用空间向量法求解空间角以及利用空间向量法处理动点问题，计算量大，属于难题.30．（浙江省杭州市2019-2020学年高二下学期期末教学质量检测数学试题）如图，直三棱柱111ABCABC的底面是边长为6的等边三角形，侧棱长为2，E是棱BC上的动点，F是棱11BC 上靠近1C点的三分点，M是棱1CC上的动点，则二面角AFME的正切值不可．．能．是A．3155B．2155C．6D．5【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，求得二面角AFME的余弦值，进而求得二面角AFME的正切值，求得正切值的最小值，由此判断出正确选项.【解析】取BC 的中点O，连接OA，根据等边三角形的性质可知OABC，根据直三棱柱的性质，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系.则0,33,0,1,0,2AF，设3,0,02Mtt.则1,33,2,2,0,2AFFMt.设平面AMF的一个法向量为,,mxyz，则3320220mAFxyzmFMxtz，令1y，得633363,1,66tmtt.平面FME的一个法向量是0,1,0n，所以22216cos,28120252633363166mntmnmnttttt，所以2sin,1cos,mnmn222710821628120252tttt，所以二面角AFME的正切值为22sin,271082166cos,mnttfttmn211540216 2766tt.因为02t，所以111466t，216125405结合二次函数的性质可知当1165t时，ft有最小值为11315540216272555；当1166t时，ft有最大值为11540216276366，所以315,65ft，所以二面角AFME的正切值不可能是2155.故选B.【点睛】本小题主要考查二面角的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.二、多选题31．（辽宁省葫芦岛市2019-2020学年高二上学期期末数学试题）若1,,2a，2,1,1b，a与b的夹角为120，则的值为（A．17B．－17C．－1D．1【答案】AC【分析】求出ab，以及,ab，代入夹角公式cos,ababab即可求出.【解析】由已知224ab，22145,4116ab，241cos120256abab，解得17或1，故选AC.【点睛】本题考查向量夹角公式的应用，是基础题.32．（江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二（美术班）上学期期末数学试题）对于任意非零向量111,,axyz，222,,bxyz，以下说法错误的有()A．若ab，则1212120xxyyzz B．若//abrr，则111222xyzxyz C．121212222222111222cos,xxyyzzxyzazbxyD．若1111xyz，则a为单位向量【答案】BD【分析】利用空间向量数量积的坐标运算可判断A、C选项的正误；利用空间共线向量的坐标表示可判断B选项的正误；利用空间向量模的坐标公式可判断D选项的正误.综合可得出结论.【解析】对于A选项，因为ab，则1212120abxxyyzz，A选项正确；对于B选项，若20x，且20y，20z，若//abrr，但分式12xx无意义，B选项错误；对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知121212222222111222cos,xxyyzzxyzazbxy，C 选项正确；对于D选项，若1111xyz，则2221113a，此时，a不是单位向量，D选项错误.故选BD.【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，涉及空间共线向量的坐标表示和数量积的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.33．（江苏省苏州市2019-2020学年高二上学期期末数学试题）已知向量abbcac，3,0,1b，1,5,3c，下列等式中正确的是A．abcbc B．abcabc C．2222abc abc D．abcabc【答案】BCD【分析】根据坐标求出3030abacbc，根据向量的运算法则即可判定.【解析】由题3030bc，所以0abbcac0,0abcbc不相等，所以A选项错误；0abcabcabbcabac，所以abcabc，所以B选项正确；2222222222abcabcabbcacabc，所以C选项正确；2222222222abcabcabbcacabc，即22abcabc，abcabc，所以D选项正确.故选BCD【点睛】此题考查空间向量的运算，根据运算法则进行运算化简即可.34．（江苏省连云港市2019-2020学年高二上学期期末数学试题）已知点P是△A BC所在的平面外一点，若AB＝(﹣2，1，4)，AP＝(1，﹣2，1)，AC＝(4，2，0)，则A．APABB．APBPC．BC＝53D．AP//BC【答案】AC【分析】根据向量的定义，平行，垂直和模长的定义可以对每个选项逐个判断，进而得出答案。
山东省济宁市高二数学期末测试试卷
山东省济宁市高二数学期末测试试卷一、选择题 （每小题５分，共60分）1. 已知集合{}|14,U x N x =∈<<集合{}2|44,A x R x x =∈+=则U C A 等于（ ） A.{}3 B.{}2,3 C.{}2 D.{}3-2. 设A={x |－1≤x <2}, B= {x |x <a },若A ∩B ≠φ, 则a 的取值范围是（ ） A.a < 2 B.a >－2 C.a >－1 D ．-1< a ≤23. 条件:12p x +>，条件:2q x >，则p ⌝是q ⌝的（ ） A.充分非必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件4. 函数2lg(1)()231x f x x -=++的定义域是（ ） A.),31(+∞- B. )1,31(- C. )31,31(- D. )31,(--∞5. 设f(x)=ax 5+bx 3-cx +2,已知f (-3)=9,则f (3)的值是（ ）A.9B.-7C.-5D.-116. 设f(x)是奇函数,当x >0时, f(x)=-xlg (1+x ),那么当x <0时, f(x)的表达式是（ ） A.xlg (1-x ) B.xlg (1+x ) C.-xlg (1-x ) D.-xlg (1+x )7. 的值分别为则数的图象上的图象上又在它的反函既在若点b k b kx y ,,)2,1(+=（ ） A.－3, 7 B.3, 7 C.3, －7 D ．－3, －78. 在某路段检测点，对200辆汽车的车速进行检测，检测结果表示为如右频率分布直方图，则车速不小于90km /h 的汽车约有（ ）辆。
A.60B.70C.80D.909. 某校高中生共有900人,其中高一年级有300人, 高二年级有200人, 高三年级有400人,现采用分层抽样方法抽取一个容量为45的样本, 则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（ ）.A.10, 15, 20B.15, 15, 15C.20, 5, 20D.15, 10, 2010. =-+-+-++++=-732107722107,)21(a a a a a x a x a x a a x ΛΛ那么已知（ ）A. 1B.27C. 37D.-1 11. 已知函数32()f x ax bx cx d =+++的图像如图所示，则下列判断正确的是（ ） A.0,0,0a b c <<< B.0,0,0a b c >>< C.0,0,0a b c ><> D.0,0,0a b c >>> 12.Oxy2x1x的范围是则的递减区间为若函数 ),33,33(-)()(3a x x a x f -=（ ） A.a >0 B.-1<a <0 C.a >1 D.0<a <1二、填空题 （每小题5分，共20分）13. .____,323范围是点切线的倾斜角的取值过上移动时在曲线点P x x y P +-= 14. 20名运动员中有2名种子选手,现将运动员平均分为2组,两名种子选手分在同一组的概率为_________.15. 市内某公共汽车站有10个候车位(成一排)，现有4名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有5个连续空座位的候车方式共有_________种.(用数字作答)16. 对于任意定义在R 上的函数f (x)，若存在x 0∈R 满足f (x 0)=x 0，则称x 0是函数f (x)的一个不动点.若函数f （x ）=x 2+ax +1没有不动点，则实数a 的取值范围是______. 三、解答题 （共70分）17. 已知f(x)是定义在R 上的恒不为零的函数，且对于任意的R y x ∈,都满足)()()(y x f y f x f +=⋅.（1）求f(0)的值，并证明对任意的R x ∈，有f(x)>0；（2）设当x<0时，都有f(x)>f(0)，证明：f(x)在),(∞+-∞上是减函数；18. 已知函数f(x)=x 3＋bx 2＋cx ＋d 有两个极值点x 1=1, x 2=2, 且直线y=6x ＋1与曲线y=f(x)相切于P 点.(1)求b 和c (2)求函数y=f(x)的解析式;(3)在d 为整数时, 求过P 点和y=f(x)相切于一异于P 点的直线方程.19. 一个袋子中有8个小球，其中有4个白球和4个黑球，现从中每次任意取出一个球，8次取完，求恰好有3次连续取出白球的概率。
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2019-2020学年山东省济宁市高二上学期期末数学试题及答案解析版一、单选题1．命题“32000,10x R x x ∃∈-+≤”的否定是（ ） A ．32000,10x R x x ∃∈-+> B ．32000,10x R x x ∃∈-+≥ C ．320,10x R x x ∀∈-+≤ D ．320,10x R x x ∀∈-+>【答案】D【解析】根据特称命题的否定，可直接得出结果. 【详解】命题“32000,10x R x x ∃∈-+≤”的否定是“320,10x R x x ∀∈-+>”. 故选：D. 【点睛】本题主要考查特称命题的否定，只需改量词否结论即可，属于基础题型.2．抛物线x 2＝4y 的焦点坐标是（ ） A ．（0，2） B ．（2，0） C ．（0，1） D ．（l ，0）【答案】C【解析】先根据标准方程求出p 值，判断抛物线x 2＝4y 的开口方向及焦点所在的坐标轴，从而写出焦点坐标． 【详解】 ∵抛物线x 2＝4y 中，p ＝2，2p=1， 焦点在y 轴上，开口向上，∴焦点坐标为 （0，1 ）， 故选：C ． 【点睛】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，抛物线 x 2＝2py 的焦点坐标为（0，2p），属基础题． 3．“x 是1与9的等比中项”是“3x =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要【答案】B【解析】根据充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果. 【详解】若“x 是1与9的等比中项”，则29x =，解得3x =±；不能推出“3x =”；若“3x =”，则“x 是1与9的等比中项”显然成立； 因此“x 是1与9的等比中项”是“3x =”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题主要考查命题的必要不充分条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于基础题型. 4．不等式103x x -≤-的解集是（ ） A ．()[),13,-∞-+∞ B ．(](),13,-∞+∞ C ．[)1,3 D ．[]1,3【答案】C【解析】先将原不等式化为(1)(3)030x x x --≤⎧⎨-≠⎩，求解，即可得出结果. 【详解】由103x x -≤-可得(1)(3)030x x x --≤⎧⎨-≠⎩，解得：13x ≤<，即原不等式的解集为：[)1,3. 故选：C. 【点睛】本题主要考查解分式不等式，熟记不等式解法即可，属于基础题型.5．若斜率为1的直线l 经过抛物线2:4C y x =的焦点F ，且与抛物线C 相交于点,A B ，则AB =（ ） A ．4 B ．8 C ．12 D ．16【答案】B【解析】先由题意，得到直线l 的方程，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立直线与抛物线方程，根据焦点弦公式，即可得出结果. 【详解】由题意，抛物线2:4C y x =的焦点为(1,0)F ， 因此直线l 的方程为1y x =-； 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由241y xy x ⎧=⎨=-⎩得2(1)4x x -=，整理得：2610x x -+=， 所以126x x +=，因此12118AB AF BF x x =+=+++=.故选：B. 【点睛】本题主要考查求抛物线的焦点弦长问题，通常需要联立直线与抛物线方程，结合弦长公式以及韦达定理求解，属于常考题型.6．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若1,,AB A b c a D AA ===，则CM =（ ）A ．1122++a b c B ．1122-+a b c C ．1122a b c -++ D ．1122--+a b c【答案】D【解析】根据空间向量基本定理，用1,,AB AD AA 表示出CM 即可. 【详解】由题意，因为M 为11A C 与11B D 的交点，所以M 也为11A C 与11B D 的中点，因此()()11112CM AM AC AA A M AB AD AA AC AB AD =-=+-+=+-+()1121122AA AB AD a b c -=-+=-+. 故选：D. 【点睛】本题主要考查由基底表示空间向量，熟记空间向量基本定理即可，属于常考题型.7．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五间中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升”.其大意为“官府陆续派遣1984人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多8人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”.在该问题中前5天共分发多少升大米？（）A ．1200B ．1440C ．1512D ．1772【答案】A【解析】根据题意，得到每天分发的大米构成等差数列，由题中数据，得到首项与公差，根据求和公式，即可求出结果. 【详解】记第一天共分发大米为1643a =⨯升，由题意，每天分发的大米构成等差数列，公差为83d =⨯， 因此，前5天共分发大米为115(51)55105643108396024012002a d a d ⨯-+⨯=+=⨯⨯+⨯⨯=+=升. 故选：A. 【点睛】本题主要考查等差数列的简单应用，熟记等差数列的定义，以及等差数列的求和公式即可，属于常考题型. 8．已知点,A B 为曲线1y x =上两个不同的点，,A B 的横坐标12x x 、是函数21()ln 2f x ax ax x =--的两个极值点，则直线AB 与椭圆2214x y +=的位置关系是（） A ．相离 B ．相切C ．相交D ．位置关系不确定 【答案】C【解析】先对函数求导，根据题意，得到1212110x x x x a a +=⎧⎪⎪=-⎨⎪≠⎪⎩，求出直线AB 的方程为：111()ya xx x ，得到直线AB 恒过定点(1,0)，进而可得直线与椭圆位置关系.【详解】 由21()ln 2f x ax ax x =--，得211()ax ax f x ax a x x--'=--=， 因为,A B 的横坐标12x x 、是函数21()ln 2f x ax ax x =--的两个极值点，所以12x x 、是方程210ax ax --=的两根，因此1212110x x x x a a +=⎧⎪⎪=-⎨⎪≠⎪⎩， 又点,A B 为曲线1y x=上两个不同的点， 所以121212111ABx x ka x x x x -==-=-， 因此直线AB 的方程为：111()ya xx x ，即1121211()(1)yaxax axax ax axa x x ax a a xx ，即直线AB 恒过定点(1,0)，又点(1,0)显然在椭圆2214x y +=内，因此直线AB 与椭圆2214x y +=必相交.故选：C. 【点睛】本题主要考查判断直线与椭圆位置关系，熟记椭圆的简单性质，以及函数极值点与导函数对应方程之间关系即可，属于常考题型.二、多选题9．下列命题正确的是（ ）A ．若,a b c d >>，则a c b d +>+B ．若,a b c d >>，则ac bd >C ．若ac bc >，则a b >D ．若0,0a b c >><，则c ca b> 【答案】AD【解析】根据不等式的性质，逐项判断，即可得出结果. 【详解】A 选项，若,a b c d >>，根据同向可加性，可得a c b d +>+，故A 正确；B 选项，若1,2,2,3a b c d ==-==-，满足,a b c d >>，但此时2,6ac bd ==，不满足ac bd >，故B 错误；C 选项，若0c <，则由ac bc >可得a b <，故C 错误；D 选项，若0a b >>，则110b a >>，又0c <，根据同向同正可乘性，可得c ca b >，故D 正确.故选：AD. 【点睛】本题主要考查判断命题的真假，熟记不等式的性质，灵活运用特殊值法处理即可，属于常考题型.10．若n S 为数列{}n a 的前n 项和，且21,(*)n n S a n N =+∈，则下列说法正确的是（ ） A ．516a =-B ．563S =-C ．数列{}n a 是等比数列D ．数列{}1n S +是等比数列【答案】AC【解析】根据题意，先得到11a =-，再由1(2)n n n a S S n -=-≥，推出数列{}n a 是等比数列，根据等比数列的通项公式与求和公式，逐项判断，即可得出结果. 【详解】因为n S 为数列{}n a 的前n 项和，且21,(*)n n S a n N =+∈， 所以1121Sa =+，因此11a =-，当2n ≥时，1122n n n n n a S S a a --=-=-，即12n n a a -=，所以数列{}n a 是以1-为首项，以2为公比的等比数列，故C 正确；因此451216a =-⨯=-，故A 正确；又2121n n n S a =+=-+，所以552131S =-+=-，故B 错误； 因为110S +=，所以数列{}1n S +不是等比数列，故D 错误. 故选：AC.【点睛】本题主要考查由递推公式判断等比数列，以及等比数列基本量的运算，熟记等比数列的概念，以及等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.11．已知函数()f x 的定义域为R 且导函数为'()f x ，如图是函数'()y xf x =的图像，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的增区间是(2,0),(2,)-+∞B ．函数()f x 的增区间是()(),2,2,-∞-+∞C ．2x =-是函数的极小值点D ．2x =是函数的极小值点 【答案】BD【解析】先由题中图像，确定()f x '的正负，得到函数()f x 的单调性；从而可得出函数极大值点与极小值点，进而可得出结果. 【详解】由题意，当02x <<时，()0f x '<；当2x >，()0f x '>；当20x -<<时，()0f x '<； 当2x <-时，()0f x '>；即函数()f x 在(),2-∞-和(2,)+∞上单调递增，在()2,2-上单调递减，因此函数()f x在2x=时取得极小值，在2x=-时取得极大值；故A错，B正确；C错，D正确.故选：BD.【点睛】本题主要考查导函数对原函数的影响，根据导数的正负确定原函数单调性与极值点，属于常考题型.12．如图，正方体1111-的棱长为1，线段11ABCD A B C DB D上有两个动点,E F，且1EF=，则下列结论中正确的是（）2A．AC AF⊥B．AC⊥平面BEFC．AB与平面BEF所成角是45D．AEF面积与BEF的面积相等【答案】BC【解析】先连接AC，BD，根据正方体结构特征，以及线面角的概念，线面垂直的判定定理等，逐项判断，即可得出结果.【详解】连接AC，BD，A选项，因为F线段11B D上的动点，若F与1B重合，则在正方体1111-中，11ABCD A B C D==，此时AC与AF所成的AC AB B C角为160∠=，显然AC与AF不垂直，故A错；CABB选项，因为正方体底面为正方形，对角线互相垂直，所以AC BD⊥；又正方体侧棱与底面垂直，所以1BB⊥平面⊥，由线面垂直的判定定理，可得AC⊥平ABCD，所以1BB AC面11BDD B，又平面BEF即为平面11BDD B，所以AC⊥平面BEF；故B正确；C选项，由B选项可得，AB与平面11BDD B所成角即为AB与平面BEF所成角，即ABD∠，所以在正方形ABCD中，45∠=；故C正确；ABDD选项，因为点A∉平面11BDD B，由正方BDD B，点B∈平面11体结构特征易得，点A到直线11D B的距离大于正方体的侧棱长，而点B到直线11D B的距离等于侧棱长，因此AEF面积与BEF的面积不相等；故D错误；故选：BC.【点睛】本题主要考查与正方体有关的相关命题的判定，熟记正方体结构特征，线面垂直的判定定理，以及直线与平面所成角的概念等即可，属于常考题型.三、填空题13．设复数z 满足21iz i =+，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数在复平面内对应的点位于第_______象限. 【答案】四【解析】先由复数的除法运算，化简复数z ，得到其共轭复数，从而可得出结果. 【详解】 因为22(1)11(1)(1)i i i z i i i i -===+++-， 所以1z i =-，其在复平面对应点的坐标为(1,1)-位于第四象限.故答案为：四. 【点睛】本题主要考查判断复数对应的点所在象限，熟记复数的除法运算法则，共轭复数的概念，以及复数的几何意义即可，属于基础题型.14．已知向量(1,1,0),(1,0,2)a b ==-，若ka b +与b 互相垂直，则实数k 的值是_______. 【答案】5【解析】先由题意，得到()1,,2ka b k k +=-，再由向量垂直，得到(1)40k --+=，求解，即可得出结果. 【详解】因为(1,1,0),(1,0,2)a b ==-，所以()1,,2ka b k k +=-， 又ka b +与b 互相垂直，所以()0ka b b +⋅=，即(1)40k --+=，解得：5k =. 故答案为：5. 【点睛】本题主要考查由向量垂直求参数，熟记向量数量积的坐标表示即可，属于基础题型.15．已知直线y x b =+是曲线21y ax =+的切线，也是曲线ln y x =的切线，则a =_______,b =_______【答案】181-【解析】先对函数ln y x =求导，根据直线y x b =+是曲线ln y x =的切线，求出1b =-；再对函数21y ax =+求导，根据直线1y x =-是曲线21y ax =+的切线，求出18a =. 【详解】 由ln y x =得1y x '=；因为直线y x b =+是曲线ln y x =的切线，所以11x =，解得1x =，所以ln10y ==，即切点为(1,0)，所以01b =+，解得1b =-；即1y x b x =+=-； 由21y ax =+得2y ax '=；因为直线1y x =-是曲线21y ax =+的切线， 所以21ax =，解得12x a =，所以114y a =+，即切点为11,124a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 所以有111142a a+=-，即124a =，解得：18a =.故答案为：(1). 18 (2). 1-【点睛】本题主要考查由曲线的切线方程求参数，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.16．已知一组双曲线224:(*)(1)n E x y n N n n -=∈+，设直线(2)x m m =>与n E 在第一象限的交点为n A ，点n A 在n E 的两条渐近线上的射影分别为点n B ，n C .记n n n A B C 的面积为n a ，则数列{}n a 前2020项和为________.【答案】20202121【解析】先设(,)n A m y ，由题意，得到224(1)m y n n -=+，根据双曲线的渐近线方程，以及点到直线距离公式，得到n n A B =，n n A C =n n n A B C 的面积为121(1)n n n n n a A B A C n n ⋅=+=，再由裂项相消的方法，即可求出结果. 【详解】由题意，设(,)n A m y ，则224(1)m y n n -=+，双曲线224:(*)(1)nE x y n N n n -=∈+的渐近线方程为0x y -=，0x y +=，因为点n A 在nE 的两条渐近线上的射影分别为点n B ，n C ，则n n A B =，n n A C =，因为两渐近线相互垂直，因此可得：n n n n A B A C ⊥， 所以n n n A B C 的面积为2211114(1)112n n n n n a A B A C m y n n n n ⋅==-=-==++， 因此数列{}n a 前2020项和为2120201111112020112232020202120212021a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：20202121【点睛】本题主要考查数列的求和，以及双曲线的简单应用，熟记裂项相消的方法求数列的和，以及双曲线的简单性即可，属于常考题型.四、解答题17．已知公差不为0的等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且412420,,,S a a a =，成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2(*)na nb n N =∈，求数列{}n b 的前n 项和nT .【答案】（1）2,(*)n a n n N ∴=∈（2）1443n n T +-=【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为,(0)d d ≠，根据题意，列出方程组求解，求出首项与公差，即可得出结果； （2）根据（1）的结果，得到4n nb ，再由等比数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为,(0)d d ≠412420,,,S a a a =成等比数列21114620()(3)a d a d a a d +=⎧∴⎨+=+⎩ ，解得122a d =⎧⎨=⎩,1(1)2(1)22,(*)n a a n d n n n N ∴=+-=+-⨯=∈；（2）2224n a n n n b ===∴数列{}n b 是等比数列，公比4q =14(14)4(41)441433n n n n T +⨯-⨯--∴===-.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的综合，熟记等差数列通项公式，以及等比数列的求和公式即可，属于常考题型. 18．已知函数3()1f x x ax =-+的图像在点(0,1)处的切线方程为31y x =-+.（1）求实数a 的值；（2）求函数()f x 在区间[]0,2上的最大值与最小值. 【答案】（1）3a =（2）最大值为3，最小值为1- 【解析】（1）先由题意，得到(0)3f '=-，对函数求导，推出(0)3f a '=-=-，即可得出结果；（2）先由（1）得3()31f x x x =-+，2()3(1)f x x '=-，用导数的方法研究其在[]0,2上的单调性，得出极值，进而可得出最值. 【详解】（1）因为函数3()1f x x ax =-+的图像在点(0,1)处的切线方程为31y x =-+，所以(0)3f '=-， 又2()3f x x a '=-(0)3f a '∴=-=-，3a ∴=；（2）由（1）知3()31f x x x =-+，2()3(1)f x x '=-， 令()0f x '=，解得1x =±.当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：因此，当1x =时，()f x 有极小值为(1)1f =-， 又(0)1,(2)3f f ==，函数()f x 在区间[]0,2上的最大值为3，最小值为1-. 【点睛】本题主要考查由曲线的切线方程求参数，以及导数的方法求函数的最值，熟记导数的几何意义，以及导数的方法研究函数的单调性与极值等即可，属于常考题型.19．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形CDEF 为直角梯形，//DE CF ，90EDC ∠=，四边形ABCD 为矩形，平面CDEF ⊥平面ABCD ，2AD DE ==，4CD CF ==，点P 为CF 的中点，点Q 为BE的中点.（1）求证：DQ BP⊥；（2）求二面角Q AD B--的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）25【解析】（1）先根据线面垂直的判定定理，得到DE⊥平面ABCD，根据题意，以D为坐标原点，,,DA DC DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.表示出,DQ BP，求两向量的数量积，从而可判断出结果；（2）根据（1）的坐标系，分别求出平面ABCD与平面ADQ 的法向量，求出两向量夹角，从而可得出结果.【详解】（1）证明：平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF平面=，90ABCD CDEDC∠=，DE⊂平面CDEF，∴DE⊥平面ABCD；又AD CD⊥，如图，以D为坐标原点，,,DA DC DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.由已知得(0,0,0)B，(1,2,1)P，A，(2,4,0)D，(2,0,0)Q，(0,4,2)所以(,,)DA =200，(1,2,1)DQ =，(2,0,2)BP =-1(2)20120DQ BP ∴⋅=⨯-+⨯+⨯=，DQ BP ∴⊥；（2）设平面ADQ 的一个法向量(,,)m x y z =，则0,0,m DA m DQ ⎧⋅=⎨⋅=⎩所以，20,20,x x y z =⎧⎨++=⎩令1y =-，得012x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，则(0,1,2)m =-又DE ⊥平面ABCD ，故取平面ABCD 的一个法向量(0,0,1)n =cos ,51m n m n m n⋅∴<>===⨯⋅ ∴由图可知，二面角Q AD B --.【点睛】本题主要考查证明线线垂直，以及求二面角，灵活运用空间向量的方法证明和求解即可，属于常考题型.20．,A B 两地相距36km ，现计划在两地间以,A B 为端点的线段上，选择一点C 处建造畜牧养殖场，其对两地的影响度与所选地点到两地的距离有关，对A 地和B 地的总影响度为对地和地的影响度之和，记点C 到A 地的距离为xkm ，建在C 处的畜牧养殖场对A 地和B 地的总影响度为y .统计调查表明：畜牧养殖场对A 地的影响度与所选地点到A 地的距离成反比，比例系数为1；对B 地的影响度与所选地点到B 地的距离成反比，比例系数为k ，当畜牧养殖场建在线段AB 中点处时，对A 地和B 地的总影响度为518.（1）将y 表示为x 的函数，写出函数的定义域； （2）当点C 到地A 的距离为多少时，建在此处的畜牧养殖场对A 地和B 地的总影响度最小？并求出总影响度的最小值.【答案】（1）1436y x x=+-，定义域为{|036}x x <<（2）12x =，最小值为14【解析】（1）先根据题意，得到1(036)36ky x x k =+<<-，根据题中数据，求出4k =，即可得出结果；（2）根据（1）的结果，利用基本不等式求解，即可得出结果. 【详解】（1）依题意知：1(036)36ky x x k=+<<-， 其中当18x =时，518y =，可得4k =，所以，14(036)36y x x x=+<<- （2）由（1）知，14(036)36y x x x =+<<-14114(36)()363636y x x x x x x∴=+=+-+--136411(14)(53636364x x x x -=+++≥+=- 当且仅当36436x xx x-=-时等号成立，此时12x =， 所以当12x =时，min 14y =，所以，点C 到A 地的距离为12km 时，畜牧养殖场对A 地和B 地的总影响度最小， 最小值为14. 【点睛】本题主要考查函数模型的简单应用，以及基本不等式求最值，熟记基本不等式即可，属于常考题型.21．在①离心率12e =，②椭圆C 过点3(1,)2，③12PF F △面积的，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F F、，过1F 且斜率为k 的直线l 交椭圆于P Q 、两点，已知椭圆C 的短轴长为________.（1）求椭圆C 的方程；（2）若线段PQ 的中垂线与x 轴交于点N ，求证：1PQNF 为定值.【答案】（1）选①，22143x y +=（2）证明见解析【解析】（1）选①，根据题意，得到222212a b c b c a ⎧=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩，求解，即可得出结果；（2）先讨论0k =时，求出124PQ aNF c==；再讨论0k ≠时，设直线1PF 的方程为(1)y k x =+，1122(,),(,)P x y Q x y ，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，以及弦长公式等，求出22121234k PQ k +=+，再求出线段PQ 的中垂线方程，得到22(,0)34k N k -+，求出2123334k NF k +=+，进而可求出结果. 【详解】（1）选①，由题意可得：222212a b c b c a ⎧=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以所求椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）（i ）当0k =时，124,1PQ a NF c ====124PQ aNF c∴== （ii ）当0k ≠时，由题意可得：1(1,0)F -.设直线1PF 的方程为(1)y k x =+，设1122(,),(,)P x y Q x y ，由22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得：2222(34)84120k x k x k +++-= 显然>0∆，且221212228412,3434k k x x x x k k -+=-=++，PQ ∴==22121234k k +=+所以31212122286(1)(1)()223434k ky y k x k x k x x k k k k -+=+++=++=+=++所以线段PQ 的中点22243(,)3434k kM k k -++，则线段PQ 的中垂线方程为222314()3434k k y x k k k -=-+++，令0y =，可得2234k x k =-+，即22(,0)34k N k -+，又1(1,0)F -，所以221223313434k k NF k k +=-+=++，所以2221212123443334k PQ k k NF k ++==++，即14PQ NF = 【点睛】本题主要考查求椭圆的方程，以及椭圆的简单应用，通常需要联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，弦长公式，以及椭圆的简单性质等求解，属于常考题型. 22．已知函数21()ln (1)2f x x ax a x =+++.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设函数()f x 图象上不重合的两点()112212,,(,)()A x y B x y x x >.证明：12'()2AB x x k f +>.（AB k 是直线AB 的斜率） 【答案】（1）①当0a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；②当0a <时，函数()f x 在1(0,)a -上单调递增，在1(,)a-+∞上单调递减.（2）证明见解析【解析】（1）先由题意，得到函数定义域，对函数求导，分别讨论0a ≥和0a <两种情况，解对应的不等式，即可得出其单调性；（2）根据斜率公式，由题意，得到1212121212ln ln ()(1)2AB y y x x a x x k a x x x x --+==+++--，再由()1212122()(1)22a x x x x f a x x ++'=++++，将证明的问题转化为证明()11212121222(1)2ln1x x x x x x x x x x -->=++，令12(1)x t t x =>，即证(1,)t ∈+∞时，2(1)ln 1t t t ->+成立，设2(1)()ln ,(1)1t g t t t t -=->+，对其求导，用导数的方法求其范围，即可得出结果. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 且21(1)1(1)(1)()(1)ax a x ax x f x ax a x x x+++++'=+++==①当0a ≥时，1()(1)0f x ax a x'=+++>，此时()f x 在(0,)+∞单调递增；②当0a <时，令()0f x '=可得1x a =-或1x =-（舍），10a ->， 由()0f x '>得10x a<<-，由()0f x '<得1x a >-， 所以()f x 在1(0,)a -上单调递增，在1(,)a-+∞上单调递减.综上：①当0a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； ②当0a <时，函数()f x 在1(0,)a -上单调递增，在1(,)a -+∞上单调递减.（2）由题意得221111222211ln (1),ln (1)22y x ax a x y x ax a x =+++=+++， 所以2211122212121211ln (1)(ln (1))22ABx ax a x x ax a x y y k x x x x +++-+++-==-- 121212ln ln ()(1)2x x a x x a x x -+=+++- 又()1212122()(1)22a x x x x f a x x ++'=++++， 要证12()2AB x x k f +'>成立， 即证：121212ln ln 2x x x x x x ->-+成立，即证：()11212121222(1)2ln1x x x x x x x x x x -->=++成立.令12(1)x t t x =>，即证(1,)t ∈+∞时，2(1)ln 1t t t ->+成立.设2(1)()ln ,(1)1t g t t t t -=->+ 则22214(1)()0,(1)(1)(1)t g t t t t t t -'=-=>>+⋅+所以函数()g t 在(1,)+∞上是增函数， 所以(1,)t ∀∈+∞，都有()(1)0g t g >=， 即(1,)t ∀∈+∞，2(1)ln 1t t t ->+， 所以122AB x x k f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查用导数的方法判定函数单调性，以及用导数的方法证明不等式恒成立，通常需要对函数求导，用导数的方法求函数单调区间，以及最值等，属于常考题型.。