单纯形法解线性规划问题培训资料
单纯形法解线性规划问题
一、用单纯形第Ⅰ阶段和第Ⅱ阶段解下列问题s.t.解：1)、将该线性问题转为标准线性问题一、第一阶段求解初始可行点2)、引入人工变量修改约束集合取人工变量为状态变量，问题变量和松弛变量为决策变量，得到如下单纯形表，并是所有决策变量的值为零，得到人工变量的非负值。
2 -2 -1 1 21 1 -1 -1 12 -1 -2 1 25 -2 -4 1 -1 1 50 0 0 0 03)、对上述单纯形表进行计算，是目标函数进一步减小，选为要改变的决策变量，计算改变的限值。
2 -2 -1 1 2 11 1 -1 -1 1 02 -1 -2 1 2 05 -2 -4 1 -1 1 5 10 0 0 0 00 1 0 0 04)、由于，为人工变量，当其到达零值时，将其从问题中拿掉保证其值不会再变。
同时将以改变的决策变量转换为状态变量。
增加的值使目标函数值更小。
1 -3 1 1 1 01 1 -1 11 -3 1 1 1 00 0 0 00 0 05）使所有人工变量为零的问题变量的值记为所求目标函数的初始可行点，本例为，二、第二阶段用单纯形法求解最优解-2 2 1 01 1 -1 0-2 1 2 15 1 3要使目标函数继续减小，需要减小或的值，由以上计算，已经有两个松弛变量为零，因此或不能再减小了，故该初始可行点即为最优解。
2、求解问题s.t.如果目标函数变成，确定使原解仍保持最优的c值范围，并把目标函数最大值变达成c的函数。
解：先采用单纯形法求解最优解，再对保持最优解时C值的范围进行讨论。
1）将问题华为标准线性问题s.t.2）用单纯形表表示约束条件，同时在不引入人工变量的前提下，取松弛变量得初始值为零值，求解初始解和最优解10 -1 -1 -1 10-20 1 5 1 -20-2 -1 -1 00 0 0要使目标函数继续减小，可以增大，增大的限值是10。
10 -1 -1 -1 10 0-20 1 5 1 -20 -10-2 -1 -1 0 -200 0 010 0 03）转轴。
运筹学5-单纯形法
保持可行性 保持可行性 保持可行性
保持可行性
X1
X2
X3
...
Xk
保持单调增 保持单调增 保持单调增
Z1
Z2
Z3
...
保持单调增
Zk
当Zk 中非基变量的系数的系数全为负值时，这时的基 本可行解Xk 即是线性规划问题的最优解，迭代结束。
(2) 线性规划的典则形式
标准型
Max Z CX AX b
s.t X 0
j 1
j 1
j 1
j 1
与X 0 相比，X 1 的非零分量减少1个，若对应的k-1个 列向量线性无关，则即为基可行解；否则继续上述步
骤，直至剩下的非零变量对应的列向量线性无关。
几点结论
❖ 若线性规划问题有可行解,则可行域是一个凸多边形或 凸多面体(凸集),且仅有有限个顶点(极点);
❖ 线性规划问题的每一个基可行解都对应于可行域上的 一个顶点(极点);
10
令 x1 0 x2 0
则 x3 15
X 0 0 15 24T
x4 24
为基本可行解，B34为可行基
B
0
X 24
3
108
A
0
X 34
0
15 24
0
0
X 23
12
45 0
1 基本解为边界约束方程的交点； 2 基对应于可行解可行域极点； 3 相邻基本解的脚标有一个相同。
1 0
1 0
B23 1 0 B24 1 1 B34 0 1
C42
2!
4! 4
2
!
43 21 21 21
6
由于所有|B|≠ 0， 所以有6个基阵和 6个基本解。
第1章-线性规划及单纯形法-课件(1)
✓ x1、 x2 0
IБайду номын сангаас
设备
1
原材料 A 4
原材料 B 0
利润
2
II 资源限量
2 8 台时
0
16kg
4
12kg
3
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
该计划的数学模型
✓ 目标函数 ✓ 约束条件
Max Z = 2x1 + 3x2
x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x1
✓ 美国航空公司关于哪架飞机用于哪一航班和哪些 机组人员被安排于哪架飞机的决策。
✓ 美国国防部关于如何从现有的一些基地向海湾运 送海湾战争所需要的人员和物资的决策。
✓ ……
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
二、线性规划问题的数学模型
✓ 1、一般形式 ✓ 2、简写形式 ✓ 3、表格形式 ✓ 4、向量形式 ✓ 5、矩阵形式
1、唯一最优解
max Z 2 x 1 3 x 2
2 x 1 2 x 2 12 ⑴
x1 4 x1
2 x2
8 16
⑵ ⑶
4 x 2 12 ⑷
x 1 0 , x 2 0
1 234 56
x2
⑶ ⑷
(4，2)
0 1 234 5678
x1
⑵
⑴
✓最优解：x1 = 4,x2 = 2，有唯一最优解Z=14。
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
三、线性规划模型的标准形式
✓ 1、标准形式 ✓ 2、转换方式
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
1、标准形式
maZx cjxj
xj
aijxj 0
bi
运筹学第1章：线性规划问题及单纯型解法
原料甲 原料乙 最低含量 VA 0.5 0.5 2 VB1 1.0 0.3 3 VB2 0.2 0.6 1.2 VD 0.5 0.2 2 0.3 0.5 单价
分别代表每粒胶丸中甲, 设 x1, x2分别代表每粒胶丸中甲, 乙两种原料的用量
5
例3,合理下料问题 , 分别代表采用切割方案1~8的套数, 的套数, 设 xj 分别代表采用切割方案 的套数
19
( f(x
)= 3
6
1.2.2 单纯型法的基本思路
确定初试基础可行解
检查是否为 最优解? 最优解?
是
求最优解的目标函数值
否 确定改善方向
求新的基础可行解
20
1.2.3 单纯型表及其格式
IV CB III XB II x1 b c1 a11 a21 c1′′= cn+1 xn+1 b1 c2′′= cn+2 xn+2 b2 x2 … xn c2 … cn a12 … a1n a22 … a2n I xn+1 cn+1 1 0 0 zn+1 xn+2 cn+2 0 1 0 zn+2 … … … … … … xn+m cn+m 0 0 1 zn+m
OBJ : max f ( x) = 6x1 + 4x2 2x1 + x2 ≤ 10 铜资源约束 x1 + x2 ≤ 8 铅资源约束 s.t. x2 ≤ 7 产量约束 x1, x2 ≥ 0 产量不允许为负值 最优解: x1 = 2, x2 = 6, max f ( x) = 36.
4
例2,配料问题(min, ≥) ,配料问题(
2 max 1 O 1 2 3 4 D 5 6 7 H 8
使用单纯形法解线性规划问题说课材料
使用单纯形法解线性规划问题要求：目标函数为：123min 3z x x x =--约束条件为：1231231312321142321,,0x x x x x x x x x x x -+≤⎧⎪-++≥⎪⎨-+=⎪⎪≥⎩ 用单纯形法列表求解，写出计算过程。
解：1） 将线性规划问题标准化如下：目标函数为：123max max()3f z x x x =-=-++s.t.： 123412356137123456721142321,,,,,,0x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++-+=⎪⎨-++=⎪⎪≥⎩2） 找出初始基变量，为x 4、x 6、x 7，做出单纯形表如下：表一：最初的单纯形表3） 换入变量有两种取法，第一种取为x 2，相应的换出变量为x 6，进行第一次迭代。
迭代后新的单纯形表为：表二：第一种换入换出变量取法迭代后的单纯形表由于x1和x5对应的系数不是0就是负数，所以此时用单纯形法得不到最优解。
表一中也可以把换入变量取为x3，相应的换出变量为x7，进行一次迭代后的单纯形表为：表三：第二种换入换出变量取法迭代后的单纯形表4）表三中，取换入变量为x2，换出变量为x6，进行第二次迭代。
之后的单纯形表为：表四：第二次迭代后的单纯形表5）表四中，取换入变量为x7，换出变量为x3，进行第三次迭代。
之后的单纯形表为：表五：第三次迭代后的单纯形表可以看出，此时x1，x5对应的系数全部非零即负，故迭代结束，没有最优解。
结论：综上所述，本线性规划问题，使用单纯形法得不到最优解。
护理应急预案及程序一、重大意外伤害事故护理急救工作规定………………二、常见急性化学中毒的抢救预案及程序……………..三、急性食物中毒病人的抢救应急预案及程序四、传染病救治应急预案及流程五、突然发生猝死应急预案及程序六、药物引起过敏性休克的应急预案及程序七、患者外出或外出不归时的应急预案及程序八、停电和突然停电的应急预案及程序九、使用呼吸机过程中突遇断电的应急预案及程序十、失窃的应急预案及程序十一、消防紧急疏散患者应急预案及程序十二、住院患者出现输液、输血反应的应急预案及程序十三、患者住院期间出现摔伤的应急预案及程序十四、住院患者发生坠床的应急预案及程序十五、医护人员发生针刺伤时的应急预案及程序十六、紧急封存患者病历及反应标本的应急预案及程序十七、处理医疗投诉及纠纷的应急预案及程序十八、复合伤患者的应急预案及程序十九、住院患者发生过敏性休克时的应急预案及程序二十、急诊患者突发呼吸心跳骤停的应急预案及程序二十一、吸氧过程中中心吸氧装置出现故障的应急预案及程序二十二、吸痰过程中中心吸引装置出现故障的应急预案及程序。
第1讲线性规划与单纯形法
基础可行解的非零分量个数 < m 时，称为退化解
约束方程可改写为：
向量的形式表示为：
m
n
a j x j b a j x j
j 1
j m1
矩阵的形式表示为：BX B
b
NX N
,其中A
B
N , X
XB XN
线性规划标准型问题解的关系
非可行解
可行解
约束方基程的 解可空行间解
x1 ，x2 ，… ，xn ，xn+1 ，… ，xn+m ≥ 0
= b1 = b2
xn+m =
单纯形表
解显对然应，的xj 基=是0单j位=矩1阵, …。, n ; xn+i = bi i = 1 , … , m 是基本可行
以下是初始单纯形表：
c1 … cn cn+1 … cn+m CB XB x1 … xn xn+1 … xn+m b
•
• 考虑： bi > 0 i = 1 , … , m
Max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn
s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤ b1
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤ b2
……
……
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0
（1-3）
非负约束
资源限制系数
标准型
maaax1211zxx=11++c1aax12122+xx2c2++2x2+++aa12+nnxxcnnn==xnbb12 am1x1+am2x2++amnxn=bm
第一章线性规划问题及单纯形解法2讲课文档
第八页，共65页。
例1.2-2 运输问题
单台 运费
B1
B2
B3
(100) (80) (90,120)
A1(200) 15 21
18
A2(150) 16 25
16
问题：如何调运才能即满足用户需要，又使 总运费最少？
9
第九页，共65页。
设 xij 表示从 Ai 调到 Bj 的调拨
数
Min s.t.
33
第三十三页，共65页。
图中的OABC即为满足约束条件的可行解集S,需在S中找出
最优解,若z 为一常数 z0则z0=5x1+4x2为目标函数等值线
（x1=10/7,x2=15/7,z*=110/7)。
34
第三十四页，共65页。
例1.2-2 假设上例中的目标函数变为
z=3x1+5x2
此时最优目标函数等值线与AB边重合，AB
若基解中所有的x最优解可行解基解和基可行解举例43可行解基础解和基础可行解举例变量基变量图中的点基础可行解最优解可行解444513单纯型法的基本思路确定初始基可行解是否为最优确定改善方向求新的基可行解求最优解的目标函数值是初始可行基向量则目标函数可写为两部分1约束条件也写为两部分经整理得47iviiiii单纯形表48例11试列出下面线性规划问题的初始单纯形表244540404524obj404524始基础可行基对于max松弛变量对应的列构成一个单检验当前基础可行解是否为最优解所有检验数0则为最优解否则132标准型的单纯型法基本步骤50ijij称为主元迭代以主元为中心进行迭代的实质是线性变换即要将主元变为1主列上其它元素变为0变换步骤如下
a
m
1
x
1
am2x2
线性规划单纯形法(例题)资料
线性规划单纯形法(例题)《吉林建筑工程学院城建学院人文素质课线性规划单纯形法例题》⎪⎩⎪⎨⎧≥=++=+++++=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=0,,,24261553).(002max ,,0,24261553).(2max 14.18432142132143214321212121x x x x x x x x x x t s x x x x z x x x x x x x x t s x x z 标准型得到该线性规划问题的，分别加入松驰变量在上述线性规划问题中法求解线性规划问题。
分别用图解法和单纯形）】（页【为初始基变量，选择43,x x)1000(00)0010(01)2050(12)6030(24321=⨯+⨯-==⨯+⨯-==⨯+⨯-==⨯+⨯-=σσσσ为出基变量。
为进基变量，所以选择41x x3/1)6/122/10(00)0210(03/1)3/1240(10)1200(24321-=⨯+-⨯-==⨯+⨯-==⨯+⨯-==⨯+⨯-=σσσσ为出基变量。
为进基变量，所以选择32x x24/724/528/11012/112/124/1100021110120124321-=⨯+-⨯-=-=-⨯+⨯-==⨯+⨯-==⨯+⨯-=）（）（）（）（σσσσ4334341522max ,)43,415(),(2112=+⨯=+===x x z x x X TT 故有：所以，最优解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++=+=+++++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤≤+=0,,,,18232424).(0002max ,,,0,182312212).(52max 24.185432152142315432154321212121x x x x x x x x x x x x t s x x x x x z x x x x x x x x x t s x x z 标准型得到该线性规划问题的，分别加入松驰变量在上述线性规划问题中法求解线性规划问题。
运筹学复习资料(1)
运筹学复习一、单纯形方法（表格、人工变量、基础知识）线性规划解的情况：唯一最优解、多重最优解、无界解、无解。
其中，可行域无界，并不意味着目标函数值无界。
无界可行域对应着解的情况有：唯一最优解、多重最优解、无界解。
有界可行域对应唯一最优解和多重最优解两种情况。
线性规划解得基本性质有：满足线性规划约束条件的可行解集（可行域）构成一个凸多边形；凸多边形的顶点（极点）与基本可行解一一对应（即一个基本可行解对应一个顶点）；线性规划问题若有最优解，则最优解一定在凸多边形的某个顶点上取得。
单纯形法解决线性规划问题时，在换基迭代过程中，进基的非基变量的选择要利用比值法，这个方法是保证进基后的单纯型依然在解上可行。
换基迭代要求除了进基的非基变量外，其余非基变量全为零。
检验最优性的一个方法是在目标函数中，用非基变量表示基变量。
要求检验数全部小于等于零。
“当x1由0变到45/2时，x3首先变为0，故x3为退出基变量。
”这句话是最小比值法的一种通俗的说法，但是很有意义。
这里，x1为进基变量，x3为出基变量。
将约束方程化为每个方程只含一个基变量，目标函数表示成非基变量的函数。
单纯型原理的矩阵描述。
在单纯型原理的表格解法中，有一个有趣的现象就是，单纯型表中的某一列的组成的列向量等于它所在的单纯型矩阵的最初的基矩阵的m*m矩阵与其最初的那一列向量的乘积。
最初基变量对应的基矩阵的逆矩阵。
这个样子：'1222 1 0 -32580 1 010 0 158P B P -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦５１＝５所有的检验数均小于或等于零，有最优解。
但是如果出现非基变量的检验数为0，则有无穷多的最优解，这时应该继续迭代。
解的结果应该是：X *= a X 1*+(1-a)X 2* （0<=a<=1）说明：最优解有时不唯一，但最优值唯一；在实际应用中，有多种方案可供选择；当问题有两个不同的最优解时，问题有无穷多个最优解。
实验2 单纯形法求解线性规划
实验2 单纯形法求解线性规划一、实验目的1. 理解线性规划的概念和基本形式。
2. 熟悉单纯形法的步骤和实现过程。
3. 学会使用Matlab编程求解线性规划问题。
二、实验原理线性规划是一种优化问题，其目标是在一组约束条件下，使目标函数（通常是一个线性函数）最大或最小化。
线性规划具有以下一般形式：$$\begin{aligned}&\underset{x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}}{\max }\quadc_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots+c_{n}x_{n}\\&\text{s.t.}\quad a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}\leq b_{1}\\&\quad \quad \quad \,\,\,\quada_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}\leq b_{2}\\&\quad \quad \quad\quad \quad \quad \vdots \\&\quad \quad \quad \,\,\,\quada_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}\leq b_{m}\\&\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\geq 0\end{aligned}$$其中，$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$表示决策变量；$c_{1},c_{2},\cdots,c_{n}$是目标函数的系数；$a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in}$（$i$=1,2,...,m）是限制条件的系数，$b_{1},b_{2},\cdots,b_{m}$是限制条件右侧的常数。
运筹学第1章线性规划及单纯形法复习题
max (min)
Z = CX
AX ≤ ( = , ≥ ) b X ≥ 0
3、线性规划的标准形式 、
ma0
4、线性规划问题的解 、 （一）求解方法
一 般 有 两种方法 图 解 法 单纯形法 两个变量、 两个变量、直角坐标 三个变量、 三个变量、立体坐标
适用于任意多个变量、 适用于任意多个变量、但需将 一般形式变成标准形式
（二）线性规划问题的解
1、解的概念 可行解：满足约束条件② 的解为可行解。 ⑴ 可行解：满足约束条件②、③的解为可行解。 所有解的集合为可行解的集或可行域。 所有解的集合为可行解的集或可行域。 最优解： 达到最大值的可行解。 ⑵ 最优解：使目标函数①达到最大值的可行解。 ⑶ 基：B是矩阵A中m×m阶非奇异子矩阵 是矩阵A ≠0）， ），则 是一个基。 （∣B∣≠0），则B是一个基。
§2 图 解 法
例一、 例一、 max
Z = 2 x 2 x 2 x 4 x
2 2 1
+ 3 x
2
2 x1 + x + 1 4 x1 x1 ≥
≤ 12 ≤ 8 ≤ 16 ≤ 12
2
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
2
0, x
≥ 0
max
Z = 2 x1 + 3 x 2 x 2 x
2 2
当xj=0时, 必有 j=zj=0, 因此 时 必有y
∑P x = ∑P y = ∑P z
j =1
r
r
r
r
j
j
j =1
j
j
j =1
j
j
=b
∑(y
j =1
j
− z j ) Pj = 0
运筹学第一章线性规划及其单纯形法习
x6
x7
-M
-M
6 3 2 0 0 -1 0 1
2 3
Cj
比值
CB
XB
b
检验数j
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
-2 -3 -1 0 0 -M -M
x2
x7
-3
-M
2 1/4 1 1/2 -1/4 0 1/4 0
2 5/2 0 -1 1/2 -1 -1/2 1
8 4/5
Cj
0.03
B1
6
8
4000
0.06
B2
4
11
7000
0.11
B3
7
4000
0.05
原料费
0.25
0.35
0.50
售价
1.25
2.00
2.80
设备
产品
设备有效台时
设备加工费
I
II
III
A1
5
10
6000
0.05
A2
7
9
12
10000
0.03
B1
6
8
4000
0.06
B2
4
11
7000
0.11
B3
7
4000
i=5, j=5, k=-3/2, l=0
01
02
综上所述：
设 是线性规划问题 的最优解。若目标函数中用 代替 C后，问题的最 优解变为
求证：
证明：因为
将（2）－（1）有
设备
产品
设备有效台时
设备加工费
I
II
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单纯形法解线性规划
问题
一、用单纯形第Ⅰ阶段和第Ⅱ阶段解下列问题
s.t.
解：1)、将该线性问题转为标准线性问题
一、第一阶段求解初始可行点
2)、引入人工变量修改约束集合
取人工变量为状态变量，问题变量和松弛变量为决策变量，得到如下单纯形表，并是所有决策变量的值为零，得到人工变量的非负值。
2 -2 -1 1 2
1 1 -1 -1 1
2 -1 -2 1 2
5 -2 -4 1 -1 1 5
0 0 0 0 0
3)、对上述单纯形表进行计算，是目标函数进一步减小，选为要改变的决策变量，计算改变的限值。
2 -2 -1 1 2 1
1 1 -1 -1 1 0
2 -1 -2 1 2 0
5 -2 -4 1 -1 1 5 1
0 0 0 0 0
0 1 0 0 0
4)、由于，为人工变量，当其到达零值时，将其从问题中拿掉保证其值不会再变。
同时将以改变的决策变量转换为状态变量。
增加的值使目标函数值更小。
1 -3 1 1 1 0
1 1 -1 1
1 -3 1 1 1 0
0 0 0 0
0 0 0
5）使所有人工变量为零的问题变量的值记为所求目标函数的初始可行点，本例为，
二、第二阶段用单纯形法求解最优解
6）由1）中的标准线性问题方程式组得到单纯形表如下表，采用5）中的初始可行点计算。
-2 2 1 0
1 1 -1 0
-2 1 2 1
5 1 3
要使目标函数继续减小，需要减小或的值，由以上计算，已经有两个松弛变量为零，因此或不能再减小了，故该初始可行点即为最优解。
2、求解问题
s.t.
如果目标函数变成，确定使原解仍保持最优的c值范围，并把目标函数最大值变达成c的函数。
解：先采用单纯形法求解最优解，再对保持最优解时C值的范围进行讨论。
1）将问题华为标准线性问题
s.t.
2）用单纯形表表示约束条件，同时在不引入人工变量的前提下，取松弛变量得初始值为零值，求解初始解和最优解
10 -1 -1 -1 10
-20 1 5 1 -20
-2 -1 -1 0
0 0 0
要使目标函数继续减小，可以增大，增大的限值是10。
10 -1 -1 -1 10 0
-20 1 5 1 -20 -10
-2 -1 -1 0 -20
0 0 0
10 0 0
3）转轴。
将为零的松弛变量和决策变量交换进行转轴
10 -1 -1 -1 10
-10 4 0 -1 -10 0
-20 1 1 2 -20
0 0 0
0 0
由目标函数，增加时会继续减小。
4）由上图可得和都为0，问题变量不能继续减小，所以已到达最优解。
，，时，
目标函数。
5）如果目标函数为，由最后一次变形得
，，得
+（c-1）
-5/2 -5/2 决策变量都为零，要使最优解保持不变，则系数为正：
解得。