极坐标计算二重积分32725
极坐标计算二重积分
k k
k
k
r rk x
于是, 二重积分
f(x ,y )d x d y f(rc o s ,rs in )r d r d .
D
D
二、极坐标系下二重积分化为累次积分的
的三种情形
1、区域特征如图
r1()
D
r2()
D：
,
1 ()r 2 ().
o
A
f(x, y)dxdy
D
r1() DD r2()
f(rco,srsin )rdrd
原式 =
2
d
0
rcosrdr
4
2
4
8a3sin3cosd
3
8 a3 1 sin4 2
34
4
1 a 3. 2
y
D
O
2a x
2
例5 求 e x2 dx 的值. 0
解 考虑区域D: 0 x +, 0 y +, 记
I ex2dx 0
I2ex2dxey2dy
0
0
ex2y2dxdy
M X
如 : (2, )
一一对应
平面上任一点
（r，）
4
一、极坐标与直角坐标系的关系 两坐标系中变量间关系：
x r cos
y
r
sin
x 2 y 2 r 2
tan
y x
二、二重积分的极坐标转化及计算
1、二重积分的极坐标转化
二重积分中被积函数 fx ,y fr c, o r ss i n
D
o
A
f(rco,srsin )rdrd
D
0 2 d0 ( )f(r co ,r s si)r n d .r
利用极坐标系计算二重积分
利用极坐标系计算二重积分二重积分可以用极坐标系来计算。
极坐标是一种描述平面上点位置的坐标系统，其中点的位置由距离原点的距离和与正x轴的夹角表示。
极坐标与直角坐标系之间的转换关系如下：x = r * cosθy = r * sinθ其中，x和y是直角坐标系下的坐标，r是点到原点的距离，θ是点与正x轴的夹角。
对于二重积分∬f(x, y)dA，在极坐标下可以表示为∬g(r,θ)rdrdθ，其中，g(r, θ)是将f(x, y)用极坐标来表示。
下面我们将详细介绍如何利用极坐标系计算二重积分。
首先，将被积函数f(x,y)转换为极坐标形式g(r,θ)。
具体来说，我们将x和y替换为r和θ，然后利用极坐标与直角坐标的转换关系，将f(x,y)表示为g(r,θ)。
这个转换过程需要根据具体的被积函数进行分析和计算。
接下来，我们需要确定积分区域。
在极坐标系下，积分区域可以用极坐标表示。
通常情况下，我们将极坐标的范围确定为r的区间[a,b]和θ的区间[α,β]，其中a、b、α和β都是常数。
这样，二重积分就变成了在确定的极坐标区域上的积分。
然后，我们将二重积分∬f(x, y)dA 转换为极坐标下的二重积分∬g(r, θ)rdrdθ。
这个过程需要用到雅可比行列式的公式，即 dA = r dr dθ。
最后，我们按照以下步骤来计算极坐标下的二重积分：1.确定极坐标的范围[a,b]和[α,β]。
2.将被积函数f(x,y)转换为极坐标形式g(r,θ)。
3. 利用雅可比行列式的公式，将二重积分∬f(x, y)dA 转换为∬g(r, θ)rdrdθ。
4.根据极坐标下的积分区域，确定积分范围。
5.将极坐标下的二重积分分解成两个单重积分，先对θ进行积分，再对r进行积分。
6.依次进行积分计算，最后得到结果。
需要注意的是，在进行计算时，要注意被积函数的连续性和积分区域的对称性，以便简化计算。
综上所述，利用极坐标系计算二重积分的步骤包括确定被积函数的极坐标形式、确定积分区域、转换为极坐标下的二重积分、分解为两个单重积分、依次进行积分计算。
经济数学在极坐标系下二重积分的计算
f (r cos ,r sin )rdr ；
0
sec tan
5.
4 d
sin cos2
1
rdr ,
2 1.
0
0r
二、1. (2 ln 2 1)； 4
2. 14a4；
3. R3 ( 4)； 33
4. 5 . 2
三、I
2a
rdr
0
4
f (r cos ,r sin )d
4
2a
rdr
在极系下：
x
D：0 ，0 r 2acos , .
2
从而V 4 4a2 x2 y2 dxdy
D
2a cos
4 2 d
4a2 r 2 rdr
0
0
32 a3
2 (1 sin3 )d
30
32 a3( 2)
o
3 23
注意：被积函数和区域的对称性.
r 2a cos
D
2a
5. 将
1
dx
x
(x2
y
2
)
1 2
dy
化为极坐标形式的二次积
分
0
x2
为_______________,其值为_______________.
二、 计算下列二重积分:
1. ln(1 x2 y2 )d ,其中 D 是由圆周 x 2 y 2 1
D
及坐标轴所围成的在第一象限内的区域.
2. ( x2 y2 )d 其中 D 是由直线
一、直系与极系下的二重积分关系
（1）面积元素变换为极系下：
r ri ri r ri
i i
i
i
1 2 (ri
ri )2 i
极坐标下的二重积分
极坐标下的二重积分极坐标下的二重积分是求解极坐标下的二元函数在某个区域内的面积。
在进行极坐标下的二重积分时，需要考虑到极坐标系的特点，并根据具体情况进行相应的计算和变换。
在进行极坐标下的二重积分时，首先要确定积分区域。
在极坐标下，通常使用极角和极径来确定一个点的位置。
对于极坐标下的二重积分，积分区域可以是一个圆或者是一个扇形。
在求解极坐标下的二重积分时，需要使用极坐标下的面积元素。
在直角坐标系中，面积元素可表示为dA=dxdy，在极坐标系中，面积元素可表示为dA=rdrdθ。
其中，r是极径，θ是极角。
假设要求解的函数为f(r,θ)，则极坐标下的二重积分可以表示为：∬R f(r,θ)dA其中，R表示积分区域。
当积分区域为一个圆时，可以设定极径r的范围和极角θ的范围来确定积分区域。
例如，当极径r的范围为[r1,r2]，极角θ的范围为[θ1,θ2]时，可以将极坐标下的二重积分表示为：∫θ1 to θ2 ∫r1 to r2 f(r,θ)rdrdθ当积分区域为一个扇形时，可以设定极径r的范围和极角θ的范围来确定积分区域。
例如，当极径r的范围为[r1,r2]，极角θ的范围为[θ1,θ2]时，可以将极坐标下的二重积分表示为：∫θ1 to θ2 ∫r1 to r2 f(r,θ)rdrdθ在进行极坐标下的二重积分时，需要注意变量的替换和积分顺序的选择。
根据具体问题的要求，可以采用不同的积分顺序，对应不同的变换和计算。
总之，极坐标下的二重积分是求解极坐标下的二元函数在某个区域内的面积。
在进行极坐标下的二重积分时，需要考虑到极坐标系的特点，并根据具体情况进行相应的计算和变换。
通过合理选择积分顺序和变量替换，可以简化计算过程，得到准确的结果。
极坐标计算二重积分
3、区域特征如图
0 2 , 0 r ( ).
D
f ( x, y)dxdy
D
o
f (r cos , r sin )rdrd
D
2
0
d
0
(
)
f (r cos ,
r sin ) r
dr.
极坐标系下区域的面积 rdrd .
D
r ( ) A
M X
如 : (2, )
一一对应
平面上任一点
（r，）
4
一、极坐标与直角坐标系的关系 两坐标系中变量间关系：
x r cos
y
r
sin
x 2 y 2 r 2
tan
y x
二、二重积分的极坐标转化及计算
1、二重积分的极坐标转化
二重积分中被积函数 f x, y f r cos ,r sin
2
,
0 r 2.
f ( x, y) d
D
f (r cos , r sin ) r drd
D
0
2
d
2
0
f
(r
cos
,
r sin ) r
dr.
y
2
x2 y2 4
D
o 2x
r2
o
2A
2） 在极坐标系中，闭区域
D 可表示为
0 , 0 r 2.
r sin ) r
dr.
2、区域特征如图
D： ,
0 r ( ).
f ( x, y)dxdy
11.3 极坐标系下二重积分的计算法
在原点，半径为 a 的圆周所围成的闭区域.
解
在极坐标系下
D： 0 r a ， 0 2 .
e
D
x2 y2
dxdy d e
0 0
a2
2
a
r 2
rdr
(1 e
).
上页 下页 返回
例7 计算I e
D
y x y
dxdy, 其中D是由直线
D1
sin( x 2 y 2 ) sin( x 2 y 2 ) dxdy 2 2 x 2 y 2 dxdy 4 x y D1 D
sin r 4 d rdr 4. 0 1 r
2
2
上页
下页
返回
D
2 f x , y d , f x , y f x , y ； f ( x , y )d D f x , y f x , y . 0,
x0
（2）设积分区域 D 关于 x 轴对称,则
D
2 f x , y d , f x , y f x , y ； D f ( x , y )d f x , y f x , y . 0,
x2 y2 1
1 直线方程为r , sin cos
所以圆方程为 r 1,
x y 1
f ( x, y )dxdy
D
2
0
d
1
1 sin cos
f ( r cos , r sin )rdr .
上页 下页 返回
练习 计算二重积分 y x 2 y 2 dxdy, 其中D为圆周
1 ( ) r 2 ( ).
二重积分极坐标的计算方法
二重积分极坐标的计算方法
嘿，朋友们！今天咱来聊聊二重积分极坐标的计算方法，这可真是个超有趣的玩意儿！
你看哈，就好比我们要计算一个圆形区域里的某种量。
比如说，咱要算这个圆形区域里糖果的总数（这里就是一个例子啦）。
用直角坐标去算，那可真是麻烦得很！但二重积分极坐标就不一样了，它就像是一把神奇的钥匙，能轻松打开这个难题的大门。
比如说，极坐标里的角度θ，就像是指南针一样，告诉我们在哪个方向上呢。
而那个极径 r 呢，就像是在测量距离，能确定我们在这个方向上走多远。
这不就简单清楚多了嘛！
然后呢，我们把被积函数也用极坐标表示出来，哇塞，一下子就感觉清晰明了。
就好比你知道了每个地方糖果的分布规律一样！
咱再想想，要是没有二重积分极坐标，那得费多大劲呀！它真的是数学世界里的大救星呢！
所以啊，二重积分极坐标的计算方法绝对是个超厉害的东西，大家可一定要好好掌握呀！。
极坐标求二重积分公式
极坐标求二重积分公式
极坐标系是一种曲面积分的特殊形式，也就是在极坐标系中求解二重积分。
极坐标系由一个极轴和一个极角组成，极轴表示离极点距离，极角表示极轴和x轴之间的夹角。
在极坐标系中，求二重积分就是求解沿极角方向极轴上离极点的距离，以及沿极轴方向极角夹角上离极点的距离之间的关系。
二、极坐标求二重积分公式
极坐标求二重积分的公式是：
∫∫f(ρ,θ)dρdθ =f(ρcosθ,sinθ)ρdρdθ
其中，ρ是极轴，θ是极角，f(ρ,θ)表示由极坐标系决定的被积函数，ρdρdθ表示极坐标系下的元素。
三、求二重积分的过程
（1）设定极坐标系中的被积函数f(ρ,θ)：
f(ρ,θ)=ρ^2sin^2θ
（2）根据极坐标求二重积分公式，求解二重积分：
∫∫f(ρ,θ)dρdθ =∫ρ2sin2θρdρdθ
=∫ρ3sin2θdρdθ
（3）确定积分的边界：
ρ的上下限分别为ρ1，ρ2；θ的上下限分别为θ1，θ2。
（4）求解二重积分：
∫∫ρ3sin2θdρdθ=ρ2[-cos2θ]ρ2ρ1dθ= -1/2∫(ρ
2^2-ρ1^2)cos2θdθ
= 1/4(ρ2^2-ρ1^2)[sin2θ2-sin2θ1]
四、总结
极坐标求二重积分公式是一种将曲面积分表示成在极坐标系中求解二重积分的方法。
求解时，首先设定被积函数，然后使用极坐标求二重积分公式，最后确定积分的边界，从而求解出结果。
极坐标求二重积分公式可以求解不同类型的曲面积分，是一项重要的数学解题方法。
极坐标求二重积分公式
极坐标求二重积分公式在数学中，积分（integral）是一种非常重要的操作，它可以用来解决很多复杂的数学问题。
它是采用数学中特定的函数把一个复杂的问题转化为求解单变量函数的问题，从而获得解决方法。
其中，极坐标求二重积分是一个重要的应用，它可以用于计算曲面或者曲线的体积和面积。
极坐标求二重积分是指将极坐标表示的二维函数的计算，例如，在极坐标中表示的二重积分公式：$$ int_0^{2pi} int_0^a f(r, theta) ,dr ,dtheta$$ 其中f(r,θ)是指极坐标下的函数，a是极坐标下的半径。
在极坐标求二重积分之前，我们需要将极坐标表示的函数进行变换，也就是把极坐标下的函数f(r,θ)转换为笛卡尔坐标下的函数g(x,y)。
其中，x = r cosθ，y = r sinθ，我们可以得到下面的变换公式：$$ g(x,y) = f(r, theta)cdot r $$根据这个公式，我们可以得到极坐标求二重积分的公式：$$ int_0^{2pi} int_0^a f(r,theta) cdot r ,dr ,dtheta $$ 该公式代表着从极坐标原点到半径a的圆上的积分，积分面积在极坐标系统中表示为ΔA，则ΔA=πa。
在实际应用中，可以用极坐标求二重积分公式来计算出某个曲面或者曲线上面积的数值。
例如，求解这样一个二重积分问题：设函数z=sinθ,θ介于0到2π，求该曲线上的极坐标下的面积：根据极坐标求二重积分公式，我们可以写出：$$ int_0^{2pi} int_0^1 sin theta cdot r ,dr ,dtheta $$ 由于我们只求解该曲线上的面积，而不是体积，所以半径的上限仍然设定为1，而上限设定为2π。
将上式积分之后，我们可以得到面积的数值：$$ S = int_0^{2pi} int_0^1 sin theta cdot r ,dr ,dtheta = pi$$可见，本题求解结果为π，也就是说，在极坐标下，该曲线的面积为π。
二重积分的变量变换公式用极坐标计算二重积分
D
o
x
则
D
f ( x, y) d x d y
D
f ( x( u, v ), y( u, v )) J ( u, v ) d u d v
证: 根据定理条件可知变换 T 可逆.
v
vk v
M4 M1
在 u ov坐标面上 , 用平行于坐标轴的
y
y x y x y 2 nx D y 2 mx
v
D
O
x
O m
n
u
二、用极坐标计算二重积分
当积分区域是圆域或圆域的一部分, 或者被积函数 含有 x2 + y2 时，采用极坐标变换往往能简化二重 积分的计算. 此时,
x r cos , y r sin ( x , y ) cos r sin J (r , ) sin r cos
1 v u v
u v
u v
1 1 1 e-e 1 1 v (ve ) |v dv 0 v (e - e ) dv 2 4 2 0
1
例2. 求抛物线 y2 = mx, y2 = nx 和直线 y x, y x 所围区域 D 的面积. (0 m n, 0 ) y2 y 解 令 u , v x x
R cos 0
R r rdr
2 2
z
y
r R cos
D
R
o x
4 3 2 R ( ) 3 2 3
y
x
例5. 计算 其中 解
rR
D: x y R .
2 2 2
r
2
极坐标系下二重积分的计算
三、试将对极坐标的二次积分
2a cos
I
4
d
0
f (r cos , r sin )rdr 交换积分次序.
4
四、设平面薄片所占的闭区域D 是由螺线r 2 上一段
弧(0 )与直线 所围成,它的面密度为
2
2
( x, y) x 2 y 2 ,求这薄片的质量.
2、 ( x 2 y 2 )d 其中D 是由直线y x ,
D
y x a, y a, y 3a(a 0)所围成的区域.
3、 R 2 x 2 y 2 d ,其中D 是由圆周
D
x 2 y 2 Rx 所围成的区域.
4、 x 2 y 2 2 d ,其中D :x 2 y 2 3 .
解： x 3 y 0
1
6
x2 y2 4 y r 4sin
y
3x 0
2
3
x2 y2 2 y r 2sin
r 4sin
r 2sin
3
6
( x2 y2 )dxdy r 2 rdrd
D
D
( x2 y2 )dxdy r 2 rdrd
3
6
例 5 求广义积分 ex2dx. 0
解： D1 {( x, y) | x2 y2 R2 }
D2 {( x, y) | x2 y2 2R2 }
D2
S
DSD1 2
S {( x, y) | 0 x R,0 y R}
R 2R
{ x 0, y 0} 显然有 D1 S D2
二重积分在极坐标系下的计算
dxdy 4 e
D1
x2 y2
dxdt
y
x2+y2 = a2
D1
且D1 :
0 r a, 0
2
0
D
a
r=a
x
e
D1
x y
2
2
dxdy d e
2 0 0
r 2
rdr
2
1
2 2 0 a2 (1 e ) 4
a
e
r 2
d (r )
4
a
(e
r 2
)
0
从而，原式 (1 e
a 2
)
x2
注：本题若用直角函标计算，会遇到 e dx ,
而这个积分是“积不出”的。
方法二
例1. 计算 e
D x2 y2
dxdy , 其中D 是中心在原点, 半径
y
x2+y2 = a2
D1
为 a 的圆域 x 2 y 2 a 2 .
d d
d
d
d
O
d
极坐标系中的面积元素 d dd
dxdy dd
x cos y sin
二重积分的变量从直角 坐标到极坐标的变换公式
d
d
d
f ( x , y )dxdy D
2 2 2
S {( x , y ) | 0 x R,0 y R}
D1
D2 S D
S
R
2R
{ x 0, y 0}
显然 D1 S D2
极坐标系下二重积分的计算
的三种情形
r 1( )
r 2( )
1、区域特征如图
D
,
D：
1( ) r 2( ).
f ( x, y)dxdy
D
o r 1( )
A
DD r 2( )
f (r cos , r sin )rdrd
D
o
A
d 2( )
1( )
f (r cos ,
r sin ) r
dr.
2、区域特征如图
2
2
d
15(
4
3 8
).
r 4sin
r 2sin
3
6
例 5 求广义积分 ex2dx. 0
解： D1 {( x, y) | x2 y2 R2 }
D2 {( x, y) | x2 y2 2R2 }
D2
S
DSD1 2
S {( x, y) | 0 x R,0 y R}
R 2R
极坐标系下二重积分的计算
一、极坐标系下二重积分的一般公式
1、面积元素
d r drd . 或 dxdy r drd .
r ri ri r ri
2、一般公式
f ( x, y)dxdy
o
D
f (r cos , r sin )rdrd .
D
i i
i D
i A
二、极坐标系下二重积分化为累次积分的
D
2 2
d
4 cos
0
f (r cos ,
r sin ) r
dr.
r 4cos
2
2
o
2A
例 2 写出积分 f ( x, y)dxdy 的极坐标二次积分形式，
D
mathematics 极坐标法计算二重积分
mathematics 极坐标法计算二重积分
极坐标法是一种常用的方法来计算二重积分，特别适用于具有环形对称性的问题。
下面我将简要介绍如何使用极坐标法计算二重积分。
首先，我们将被积函数转换成极坐标下的表示形式。
极坐标下，平面上的点可以用极径 r 和极角θ 来表示，其中 r 表示点到原点的距离，θ 表示该点与正 x 轴的夹角。
然后，我们需要确定积分区域在极坐标下的表示形式。
对于一个矩形区域，其在极坐标下的表示形式为r1 ≤ r ≤ r2，α ≤ θ ≤ β，其中 r1 和 r2 分别为内外半径，α 和β 分别为起始和结束的极角。
接下来，我们可以进行坐标变换，将二重积分转化为极坐标下的单一变量积分。
根据坐标变换公式，可得到面积元素 dx dy 在极坐标下的表示形式为r dr dθ。
同时，被积函数也需要用极坐标下的表示形式进行表示。
最后，我们可以根据变换后的积分区域及被积函数，在极坐标下进行积分计算。
具体过程为先对极角θ 进行积分，再对极径 r 进行积分。
最终得到的结果即为二重积分的值。
需要注意的是，在使用极坐标法计算二重积分时，要仔细确定积分区域的边界和被积函数的极坐标表示形式，并正确设置积分限。
另外，对于非常规的积分区域，可能需要进行适当的变量替换或分割成多个子区域进行计算。
极坐标方程二重积分
极坐标方程二重积分
本文将介绍极坐标方程在二重积分中的应用。
极坐标是一种二维坐标系，其中一个点的位置由极径和极角两个参数确定。
在极坐标中，一般用$r$表示极径，用$theta$表示极角。
极坐标的转换公式为
$x=rcostheta$，$y=rsintheta$。
对于一个二元函数$f(x,y)$，我们可以将其转换为极坐标下的形式$f(rcostheta,rsintheta)$。
那么在极坐标系下，二重积分的形式为：
$iint_Df(x,y)dxdy=iint_Df(rcostheta,rsintheta)rdrdtheta$ 其中，$D$表示积分区域，$r$表示极径在$0$到$infty$之间变化，$theta$表示极角在$0$到$2pi$之间变化。
在进行极坐标二重积分时，需要注意积分区域的变化，一般需要将其转换为极坐标下的形式。
极坐标方程在二重积分中的应用广泛，特别是在计算极坐标下的圆形、环形、心形等特殊图形的面积时非常方便。
同时，极坐标方程也可以用于求解一些具有极坐标对称性的问题，如计算极坐标下的质心、转动惯量等。
总之，极坐标方程在二重积分中的应用非常重要，掌握好它的使用方法对于解决一些特殊问题非常有帮助。
- 1 -。
极坐标求二重积分公式
极坐标求二重积分公式以《极坐标求二重积分公式》为标题，本文旨在介绍极坐标下如何求解二重积分，以及此积分公式的应用。
首先，介绍极坐标系以及其在求解积分问题中的应用，然后，介绍在极坐标系下求解二重积分的方法，最后，分析极坐标求二重积分公式的应用。
一、极坐标系极坐标系是常用的一种空间坐标系，它由一个原点和两个独立的轴组成，分别为极轴和角轴。
极轴是指从原点出发的线段，其方向和长度分别由极角和极径来表示。
角轴是指以原点为极轴，逆时针方向夹角为角轴上的角度值，其以一定单位长度增加的弧线形成的圆形范围。
极坐标系由于取消了以直角坐标系的笛卡尔直线，而以圆弧和圆面来代替，所以极坐标系可以很好地解决直角坐标系难以解决的微分、积分及其他数学的解析问题。
二、极坐标求二重积分二重积分就是在三维空间中求解积分，然而，在极坐标系中求解二重积分，具体操作如下：步骤一：将三维空间中的函数转换为极坐标系中的函数，其中函数可以表示为：f(x,y,z)=f(r,θ)其中，r表示极径，θ表示极角。
步骤二：将函数转换为极坐标系中求积分的形式，即：∫∫f(r,θ)r drdθ以此为基础，极坐标求二重积分的公式如下：∫∫f(r,θ)r drdθ=∫R（r最大值）∫0（θ最小值）2π（θ最大值）f(r,θ)r drdθ由此可见，极坐标求二重积分的公式是以极径和极角为参数，求解三维函数在极坐标系中积分值的公式。
三、极坐标求二重积分公式的应用极坐标求二重积分公式在求解三维函数的积分问题中扮演着重要的角色。
例如，由于该公式可以将三维空间的函数转换为极坐标形式，可以将一些复杂的函数转换为更容易计算的极坐标表达式，从而解决积分问题。
在此基础上，极坐标求二重积分公式还可以用于圆环、圆锥或圆柱体等求解体积或面积系数等涉及三维极坐标的相关计算问题。
综上所述，极坐标求二重积分公式是十分重要的数学计算方法，它不仅可以将复杂的函数转换为更容易计算的极坐标表达式，而且在求解三维极坐标的相关计算问题上也发挥着不可替代的作用。
极坐标计算二重积分
CH21-重积分
例 4 求曲线 ( x 2 y 2 )2 2a 2 ( x 2 y 2 ) 和 x 2 y 2 a 2 所围成的图形的面积.
解
根据对称性有 D 4 D1
在极坐标系下
D1
x y a r a,
2 2 2
( x 2 y 2 )2 2a 2 ( x 2 y 2 ) r a 2 cos 2 ,
解题步骤：
的二重积分，需依下列步骤进行：
(1) 将
CH21-重积分
1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下
x r cos , y r sin 代入被积函数.
(2) 将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式， 确定相应的积分限-------做题关键 (3) 将面积元dxdy换为rdrdθ.
2.将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的
二重积分步骤与1相似，只需依反方向进行.
例3
计算 ( x y )dxdy，其 D 为由圆
2 2 D
CH21-重积分
x 2 y 2 2 y ， x 2 y 2 4 y 及直线 x 3 y 0， y 3x 0 所围成的平面闭区域.
D
d
c
dy
2 ( y )
1 ( y )
f ( x , y )dx. ［Y－型］
关键
确定累次积分限 直角坐标系下的面积元素
知识点回顾
(2) 交换二次积分的积分次序 画出积分区域形状， 确定新的二次积分限
y[1 xf ( x y )]dxdy 计算I dx e dy
0
f r cos , r sin rdr
r 2 cos
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
D
f (r cos ,r sin )rdrd
D
o
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
r ( )
A
极点在区域 D 的边界 上
CH21-重积分
二重积分化为二次积分的公式（３）
区域特征（三）如图
0 2,
r ( )
D
0 r ( ).
f (r cos ,r sin )rdrd
o
A
D 2
( )
极点在区域D内部
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
0
CH21-重积分
思考: 下列各图中区域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,
试问 的变化范围是什么?
解 由对称性，可只考虑第一象限部分，
sin( x2 y2 ) dxdy
D
x2 y2
D 4D1
0
2
D1
4 sin( x2 y2 ) dxdy 1 r 2
D1
x2 y2
4
2 d
0
2 sin r 1r
rdr
4.
印象
考研—填空题
2
o
2a
y
D
2a cos
4 2 d
4a2 r 2 rdr
0
0
x
32 a 3
2 (1 sin3 )d
3
0
32 a3(
2 )
3 23
小结
二重积分在极坐标下的计算公式
CH21-重积分
f (r cos ,r sin )rdrd
D
d
2( ) f (r cos , r sin )rdr.
例3
计算
(x2
y2 )dxdy，其
D
CH21-重积分
为由圆
D
x2 y2 2 y， x2 y2 4 y及直线 x 3y 0，
y 3x 0 所围成的平面闭区域.
解
y
3x 0
2
3
x2 y2 4 y r 4sin
x
3y
0
1
CH21-重积分
1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下 的二重积分，需依下列步骤进行：
(1) 将 x r cos , y r sin 代入被积函数.
(2) 将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式， 确定相应的积分限-------做题关键
(3) 将面积元dxdy换为rdrdθ.
2.将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的 二重积分步骤与1相似，只需依反方向进行.
1
小结
如果积分区域D为圆、
CH21-重积分
半圆、圆环、扇形域等，或被积函数
f (x2+y2) 形式，利用极坐标常能简化计算.
通常出现下面两类问题：
1.将直角坐标系下的二重积分转化为 极坐标系下的二重积分，
2.将极坐标系下的二重积分转化为直角 坐标系下的二重积分
解题步骤：
CH21-重积分
1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下 的二重积分，需依下列步骤进行：
r 2()
A
极点在积分区域外
o
A
f (r cos ,r sin )rdrd
D
d
2( ) f (r cos , r sin )rdr.
1 ( )
CH21-重积分
二重积分化为二次积分的公式（２）
区域特征（二）如图
,
0 r ( ).
直线方程为r
1
,
x y1
sin cos
f ( x, y)dxdy
D
2 d
1
1
f (r cos ,r sin )rdr.
0
sin cos
CH21-重积分
练习 化二重积分 f (x, y)d .为极坐标下的二次积分.
D
(1)D : a2 x2 y2 b2
z y
S
x y
Dxy
x
CH21-重积分
例5 求球体x2 y2 z2 4a2被圆柱面x2 y2 2ax(a 0)
所截得的（含在圆柱面内的部分）立体z 的体积.
252-4
解 由对称性 体积微元
V 4 4a2 x2 y2 dxdy
y
D
其 中D为 半 圆 周
y 2ax x2 及x轴
(1) y r ( )
D
ox
答: (1) 0 ;
(2) y r ( )
D
o
x
(2)
2
2
CH21-重积分
例 题 分 析
例 1 计算二重积分 sin( x2 y2 ) dxdy,
D
x2 y2
其中积分区域为D {( x, y) | 1 x2 y2 4}.
知识点回顾
CH21-重积分
f ( x, y)d f ( x, y)dxdy
D
D
(1)直角坐标下累次积分的计算公式
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy. ［X－型］
D
a
1( x)
f ( x, y)d
d
dy
2 ( y) f ( x, y)dx. ［Y－型］
6
x2 y2 2 y r 2sinபைடு நூலகம்
( x2 y2 )dxdy
3 d
4sin r 2 rdr 15(
3).
D
6
2sin
2
CH21-重积分
例 4 求曲线 ( x2 y2 )2 2a2( x2 y2 ) 和 x2 y2 a2所围成的图形的面积.
利用极坐标计算二重积分---249页
主要内容 极坐标系下的面积元素的确定
二重积分转化为极坐标形式表达式
极坐标系下的二重积分化为累次积分
本节重点 极坐标系下二重积分的 ----计算方法
本节关键
如 极
何 坐
将二 标形
重 式
积分 累次
化 积
为
分
确定积分限是关
键
f ( x, y)d f ( x, y)dxdy
函
数
x r cos
y
r
sin
rdrd x2 y2 r 2
f (r cos , r sin )
f ( x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd .
D
D
应用范围：积分区域为圆域(或一部分)，被积
函数含 ( x2 y2 )的用此简便.
解 根据对称性有 D 4D1
在极坐标系下
D1
x2 y2 a2 r a,
( x2 y2 )2 2a2( x2 y2 ) r a 2cos2 ,
伯努利双曲线
CH21-重积分
由r
a r
2cos a
2
,
得交点 A (a, ), 6
所求面积 dxdy
f
(x,
y)dxdy
2
D1
f
( x,
y)dxdy,
f关于D上关于x为偶函数
D
0 f在D上关于x为奇函数
f
( x,
y)dxdy
4
D1
f
( x,
y)dxdy,
f关于 x 且关于 y为偶函数
D
0 f关于 x 且关于 y为奇函数
知识点回顾
CH21-重积分
(4) 应用问题
i
ri ri i ,
r dr d o
面积元素 d rdrd
D
i
利用扇形的 A
面积公式
极坐标系下区域的面积 rdrd . D
2. 二重积分转化为极坐标形式的表达式
CH21-重积分
关键
Dr
f ( x, y)dxdy.
D
化
被
积
CH21-重积分
例 例 2 写出积分 f ( x, y)dxdy的极坐标二次积分形
题
D
分 式，其中积分区域
析 D {( x, y) | 1 x y 1 x2 , 0 x 1}.
解
在极坐标系下
x y
r r
cos sin
x2 y2 1
所以圆方程为 r 1,
D
4 dxdy
D1
4
6 d
a
2 cos 2
rdr
0
a
a2 ( 3 ). 3
CH21-重积分
例5求球面x2+y2+z2=a2含在圆柱面x2+y2=ax(a>0)内 部的那部分面积.
解：A=4A1
z
S : z a2 x2 y2
Dxy: x2+y2≤ax, y≥0.
CH21-重积分
休息一会儿
CH21-重积分
如果积分区域D为圆、半圆、圆环、扇形域等， 或被积函数 f (x2+y2) 形式， 利用极坐标常能简化计算.
通常出现下面两类问题： 1.将直角坐标系下的二重积分转化为 极坐标系下的二重积分，