工商管理硕士入学考试-数学机考-(二).doc
2020年年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题含答案
sin 3 t ⎰⎰⎰xt 2⎰⎰( )→ →→2020 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选选项前的字母填在答题纸指定的位置上.（1） 当 x → 0+下列无穷小的阶数最高的是（）.（A ） x(e t 2-1) dt（C ）sin xsin t 2 dt【答案】（D ）（B ） ⎰xln (1+ 1-cos x（D ）t3)dtdt解析： (A) (⎰0 (e x2-1)dt )' = e x -1 x 2(x → 0+ ) 3(B) (⎰ln(1 + t 3dt )'= ln(1 + x 3) x 2( x → 0 +)(C) ( sin xsin t 2dt )' = sin(sin 2 x ) cos x x 2 (x → 0+ )0 1-cos x(D) . (sin 3 tdt )' = sin 3 (1- cos x ) sin x cx 4 (x → 0+ )1 （2） 函数 f( x ) =的第二类间断点个数为（ ）.（A ）1 (B)2(C)3(D)4【答案】（C ）解析：间断点为 x = -1, 0,1, 2lim f x = ∞ 为无穷间断点， x →-1lim f ( x ) = - 1 x 0 2e为可去间断点 lim f ( x ) = ∞ 为无穷间断点，x 1lim f ( x ) = ∞ 为无穷间断点，x 21 arcsin （3）x = （ ） x (1- x )π2(A) 4π2(B) 8π(C)4π(D)8e x -1ln 1 + x(e x-1)( x - 2)⎰∂f ∂x0 2 n n n ⎨ ( ) ( ) ⎪ 【答案】（A ） 121 ⎛π⎫2π2解析：⎰ dx = 2⎰arcsin xd arcsin x = (arcsin =⎪ = ⎝ ⎭ 4（4）函数 f ( x ) = x 2ln (1- x ) ，当 n ≥ 3 时， f (n )(0) = （）.(A)- ! n - 2(B)n ! n - 2(C)(n - 2)! (D) n(n - 2)! n【答案】（A ） 解析： f (n )( x ) = ln (n ) (1- x ) x 2 + C 1 ln (n -1) (1- x )2x + C 2 ln(n -2 )(1- x )2 f (n ) (0) = C 2 ln(n -2) (1- x )2x =0 = n (n -1 )(-1 )n -3(-1 )n(n - 3 )! = -n ! n - 2⎧xy , xy ≠ 0 （5）对函数 f ( x , y ) = ⎪x , y = 0 ⎩y , x = 0 ，给出下列结论① (0,0) = 1 ② (0,0) = 1 ③ lim( x , y )→(0,0)f ( x , y ) = 0 ④ lim lim f x , y = 0y →0 x →0则正确的个数为（ ）.(A)4 (B)3(C)2 (D)1【答案】（B ）解析：= lim f (x , 0) - f (0, 0) = lim x - 0 = 1 ，①对；(0,0) x →0x - 0 x →0 x - 0 lim ( x , y )→(0,0)f ( x , y ) = lim (x , y )→(0,0 )xy = 0 ，则lim lim f x , y = 0 ，③与④对；y →0 x →0f (0, y ) - f (0, 0) f (0, y ) -1 = lim x x = lim x ≠ 1 ，②错. (0,0) y →0y - 0 y →0 y于是正确的个数为 3 个.（6）函数 f ( x ) 在[-2, 2]上可导，且 f '( x ) > f (x ) > 0 ，则().(A)f(-2)f(-1)> 1(B)f (0)1 0x (1- x ) x∂2 f ∂x ∂y ∂f∂x ∂2 f ∂x ∂y-)f(-1) >e (C)f (1)f(-1)<e2(D)f (2)f (-1)<e3【答案】（B）-112 1 34 解析：因为 f '( x ) > f (x ) > 0 ，所以 f '( x ) f ( x )f '( x ) - xf ( x )则 F '( x ) > 0 ，F (0) = f (0), F (-1) = ef (-1) ，因为 F ( x ) 单调增，所以 F (0) > F (-1) ，f (0)即 f (0) > ef (-1) ，即f (-1) > e（7） 已知四阶矩阵 A = a ij 不可逆，a 12 的代数余子式 A 12 ≠ 0 ，α1 ,α2 ,α3 ,α4 为矩阵A 的列 向量组， A * 为 A 的伴随矩阵，则方程组 A *x = 0 的通解为（ ）.(A) x = k 1α1 + k 2α2 + k 3α3 , 其中 k 1、k 2、k 3 为任意常数 (B) x = k 1α1 + k 2α2 + k 3α4 , 其中 k 1、k 2、k 3 为任意常数 (C) x = k 1α1 + k 2α3 + k 3α4 , 其中 k 1、k 2、k 3 为任意常数 (D) x = k 1α2 + k 2α3 + k 3α4 , 其中 k 1、k 2、k 3 为任意常数 【答案】（C ）解析： 因为 A 不可逆， 所以 r ( A ) < 4 ， 又因为 A 12 ≠ 0 ， 所以 r ( A ) ≥ 3 ， 所以r ( A ) =3，r ( A * )=1 ，又因为 A ≠ 0 ，所以α,α ,α 线性无关，又因为 AA * = O ，所以A * x = 0 的通解 x = k α + k α + k α , 其中 k 、k 、k 为任意常数.1 12 33 4123（8） 设 A 为三阶矩阵，α1 ,α2 为矩阵 A 的属于特征值 1 的两个线性无关的特征向量，α3 为⎡1 0 0⎤矩阵 A 的属于特征值-1的特征向量，则使得 P -1AP = ⎢0 -1 0⎥ 的可逆矩阵 P 为（ ）. ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 1⎥⎦(A) (α1 +α3 , (C) (α1 +α3 ,α2 , -α3 , -α3 )α2 )(B) (α1 +α2 , (D) (α1 +α2 ,α2 , -α3 , -α3 )α2 )【答案】（D ）解析：由题知 A α1 =α1 , A α2 =α2 , A α3 = -α3 ，所以A （α1 +α2）=α1 +α2 , A (-α3 )= - (-α3 ) ， > ，所以1d 2 ydx 22 d 2 y dx 2 2 1 1 (0,π)(0,π) ⎡1 0 0⎤ 令 P = (α +α , -α ,α ) ，则 P -1AP = ⎢0 -1 0⎥ .1 2 3 2 ⎢ ⎥⎢⎣0 0 1⎥⎦二、填空题：9～14 题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定的位置上.⎧⎪ x = （9） 设⎨，则 = . ⎪⎩ y = ln(t + 答案：应填- .dy t 2 +1)t =11 (1+ t) dy = dt= t + t 2 + 1 t 2+ 1 = 1解析：dx dx t t ，dtd 2y = d 1 d 1t = t ⋅ dt = - 1 ⋅ 1 = -，则= - . dx 2dx dt dx t 2t t 3 t =1（10）⎰0dy ⎰yx 3 +1dx = .答案：应填 2 (2 9-1) .解析：交换积分次序得，1 1 31x 2312 3⎰0dy ⎰yx +1dx = ⎰0 dx ⎰0 x +1dy = ⎰0 x x +1dx= 1 ⎰1 x 3 + 1d (x 3 + 1) = 2(2 2 - 1) .3 0 9（11） 设 z = arctan(xy + sin(x + y )) ，则 dz = .答案：应填(π-1)dx - dy .解析： dz = d arctan(xy + sin(x + y )) = 则 dz = (π-1)dx - d y .ydx + xdy + cos(x + y )(dx + dy )1+ (xy + sin(x + y ))2，（12） 斜边为 2a 的等腰直角三角形平板铅直地沉浸在水中，斜边与水平面齐平，重力加速度为 g ，水的密度为ρ，则该平板一侧受到的水压力为 .答案：应填 1ρga 3.3t 2 +1 t 2 +1 t 2 +1t 2+1 2aa⎰=- 解析：水压力为 F =⎰ρg (a - y ) ⋅ 2ydy = 2ρg ⎰0(a - y ) ⋅ ydy = 1ρga 3.3（13）设 y = y (x ) 满足 y ' + 2 y ' + y = 0 ，且 y (0) = 0 ， y '(0) = 1，则 +∞y (x ) d x = .答案：应填1.解析： y ' + 2 y ' + y = 0 的特征方程为 r 2+ 2r +1 = 0 ，则 r = -1 为二重根，微分方程的通解为 y = (C + C x ) e - x.12+∞+∞- x 由 y (0) = 0 ， y '(0) = 1得C = 0 ， C = 1 ，则 y = x e - x，y (x ) d x x e dx = 1. 12⎰⎰（14）行列式答案：应填 a 4 - 4a 2.a a a a=1 1 1 1 1 1 1 1 0解析：原式= a 1 -1 = a 0 a 1 -1 = a 0 a 1 -1 = a 4 - 4a 2-1 1 a 0 -1 1 a 0 0 2 a +11 1 -1 0 a1 -1 0 a 0 -2 -1a -1三、解答题：15～23 小题，共 94 分，请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 10 分）x 1+ x求曲线 y =(1+ x )x(x > 0) 的斜渐近线.解析：只考虑 x > 0 的情形yx x ⎛ x ⎫x1k = limx →+∞ x = limx →+∞ (1+ x ) = lim = ， x →+∞ ⎝1+ x ⎭ e ⎛ 1 ⎫⎡ x 1+ x x ⎤ ex 1+ x - x (1+ x )x b = lim y - x ⎪ = lim ⎢ x ⎥ = lim xx →+∞ ⎝ e ⎭ x →+∞ ⎣(1+ x ) e ⎦ x →+∞e (1+ x )1 ⎡ ⎛ x ⎫x ⎤ 1 ⎛ x ln x ⎫ 1 ⎛ 1 +x ln x ⎫= lim x ⎢e ⎪ -1⎥ = lim x e ⋅ e 1+ x -1 ⎪= lim x e 1+ x -1 ⎪e x →+∞ ⎣⎢ ⎝ 1+ x ⎭ ⎦⎥ ex →+∞⎝ ⎭ e x →+∞ ⎝ ⎭ a 0 -1 1 0 a 1-1 -1 1 a 01 -1 0 a⎨ ( ) ( ) + - 解析： 时， ⎰0 = x ⎰0 ， x2 ⎰0 x= 1 lim x ⎛1+ x lnx ⎫= 1 lim1+ x l n1 1+ 1 x = 1 lim1+ 1 ln t11+ t ex →+∞ 1+ x ⎪ e x →+∞1 e t →0+t⎝ ⎭x= 1lim t - ln(1+ t ) 1 = ， e t →0+ t 2 2e1 1于是，曲线的斜渐近线方程为 y = x + .e 2e（16）（本题满分 10 分）已知函数 f (x ) 连续，且lim f ( x )= 1, g ( x ) = ⎰1 f ( xt )dt ,求 g '( x ) ，并证明 g '( x ) 在 x = 0 连续.x →0x当 x ≠ 0 g ( x ) = 1f ( x t )dt u = x t1 f (u )du g '( x ) = - 1 xf ( u ) du + f ( x )当 x = 0 时1⎰xf (u ) d u - 0f (u ) dug '(0) = lim g ( x ) - g (0) = lim x 0 = lim ⎰0= lim f ( x ) = 1 ，x →0 x x →0 xx →0 x 2 x →0 2x 2 ⎧- 1 1 f (u ) du +f ( x ), x ≠ 0 所以g '( x ) = ⎪ x 2 ⎰0 x 1 ⎪ , x = 0 ⎪⎩ lim g '( x ) = lim[- 12f (u ) d u + f x 1 ] = lim -1 f ( x ) f u du lim = lim f ( x ) +1 = 1 =g '(0) x →0 x →0 x2 ⎰0 x x →0 x 2 ⎰0 x →0 xx →0 2x 2 所以 g '( x ) 在 x = 0 连续.（17）（本题满分 10 分）求函数 f ( x , y ) = x 3 + 8 y 3 - xy 的极值．⎧ ∂f ⎪ ∂x = 3x 2 - y = 0⎛ 1 1 ⎫解析：令⎨∂f得驻点(0, 0), , ⎪⎪ = 24 y 2 - x = 0 ⎪⎩ ∂y⎝ 6 12 ⎭∂2 f 且 ∂x 2= 6x , ∂2 f ∂x ∂y= -1, ∂2 f∂y 2= 48 y . x x1， ，3 3 3 3 2 3 3 ( x , y )∂2 f A =∂x2∂2 f B = ∂x ∂y∂2 f C = ∂y 2AC - B 2极值(0, 0)0 -1 0 < 0 无 ⎛ 1 1 ⎫ , ⎪ ⎝ 6 12 ⎭1-14> 0极小故 在⎛ 1 , 1 ⎫ 处取得极小值且极小值 ⎛ 1 , 1 ⎫= - 1 6 12 6 12 216⎝⎭⎝⎭.（18）（本题满分 10 分）2⎛ 1 ⎫x 2 + 2x设函数 f ( x ) 的定义域为（0，+∞）且满足 2 f ( x ) + x f ⎪ = ，求 f ( x ) ，并⎝ x ⎭ 1+ x 2求曲线 y =f ( x ), y = 1 , y = 3及 y 轴所围图形绕 x 轴旋转所成旋转体的体积. 2 21 +2 1 + 2 1 1 1t 2 tt 解析：令 x = ，得 2 f ( ) + f (t ) = =，即t t t 2 1+ 11+ t 2t221 2t2 + t 21 2 x 2 + x 2t f ( ) + f (t ) = ，即 2x f ( ) + f (x ) = ，t 1+ t 2 x 1+ x 22⎛ 1 ⎫ x 2+ 2xx 与题中的 2 f ( x ) + x f ⎪ = 联立得， f (x ) = ，⎝ x ⎭ 1+ x 2 1+ x 2由 y = f (x ) = 1, 得x = ，由 y = 得 x = . 2323 2 1 2 ⎡ 3 x1 2 3 ⎤体积为V = π( 2 ) 3 -π( 2) 3 - ⎢⎰ 3π( ) d x -π( ) ( 3 - 1+ x 2 2 3 ) ⎥ ⎣ 3⎦π π2= π-π( - ) + π= . 2 3 6 6 6（19）（本题满分 10 分）⎰ ⎰ 1⎰ 0 ⎰4 π3 π 设平面区域 D 由直线 x = 1, x = 2, y = x 与 x 轴所围,计算⎰⎰Ddxdy .解析：令 I =⎰⎰Ddxdy = π1 0 cos θ π12 d θ cos θ rdr cos θ2r 2 cos θ= ⎰ 4 ()d θ 0 cos θ 2 1cos θ3 π1=⎰43d θ2 0 cos θ= 3 4 sec θd tan θ 2 0π= sec θtan θ 4 - 2 2π 4 tan 2θsec θd θ 0= 3 2 - 3 2 2 π4 (sec 2 θ-1) sec θd θ= 3 2 - 3 2 2 4 sec 3θ+ 3 0 2 π 4 sec θd θπ = 3 2 - I + 3ln(sec θ+ tan θ) 42 2 0 =3 2 - I + 3ln( 2 + 1)2 2I = 3[ 4 + ln(1+ 2)]（20）（本题满分 11 分） 设函数 f (x ) = xe t 2dt ；1（1）证明：存在ξ∈(1, 2) ，使得 f (ξ) = (2 -ξ) e ξ2.（2）证明：存在η∈(1, 2) ，使得 f (2) = ln 2 ⋅ηe η2.证明：(1)令F (x ) = (2 - x ) f (x ),由题意 f (1) = 0, F (1) = 0, F (2) = 0因为 F (x ) 在[1, 2]上连续，在(1, 2) 可导，所以由罗尔定理可知∃ξ∈(1, 2) 使 F '(ξ) = 0 ,即x 2 + y 2x 2 + y 22 ⎰ ⎰ ⎰ ⎰ 3x=f (ξ) = (2 -ξ)eξ2（2）令 g (x ) = ln x , f (x ), g (x ) 在[1,2]上连续，在(1,2)可导，且 g '(x ) ≠ 0, 所以由柯西中值定理可知存在η∈(1, 2) ,使得f '(η) =g '(η) f (2) - f (1) ，即 f (2) = ln 2 ⋅ηe η2 . g (2) - g (1)（21）（本题满分 11 分）设函数 f (x ) 可导，且 f '(x ) > 0 ，曲线 y =f (x ) （x > 0 ）经过坐标原点，其上任意一点 M 处的切线与 x 轴交于T ，又 MP 垂直 x 轴于点 P ，已知曲线 y = f (x ) ，直线 MP 以及 x 轴所围图形的面积与三角形 MPT 面积之比恒为3 : 2 ，求满足上述条件的曲线方程.解析：设所求曲线方程为 y = y (x ) ，任一点 M 坐标为(x , y ) ，由题意得 tan θ= y ' =MP，即TP = y，TP y '三角形 MPT 的面积为11 y y2 S = 2 MP ⨯ TP = 2 ⨯ y ⨯ y ' = 2 y' ，曲边三角形OMP 的面积 S =⎰y (x )dx ，y 22 x由两面积之比为常数得2 y ' = 3⎰0 y (x )dx ，两边关于 求导得 2 yy 'y ' - y 2 y ' 4 y (x ) ， 即 yy ' = 2 '2，xy '2 33 y令 p ( y ) = y ' ， 则 y '' = p dp，dy原方程化为 ypdp = 2 p 2 ， 即 p [ y dp - 2p ] = 0 。
全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
2020年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． 1.当0x +→时，下列无穷小量中最高阶的是（ ） A.2(1)xt e dt -⎰B.0ln(1xdt ⎰ C.sin 2sin xt dt ⎰D.1cos 0-⎰2.函数11ln(1)()(1)(2)x xe xf x e x -+=--的第二类间断点的个数为（ ） A.1 B.2 C. 3 D.4 3.( )=⎰A. 24π B.28π C.4π D.8π4.已知2()ln(1),f x x x =-当3n ≥时，()(0)( )nf =A. !2n n --B.!2n n - C. ()2!n n --D.()2!n n -5.关于,0,(,),0,,0,xy xy f x y x y y x ≠⎧⎪==⎨⎪=⎩给出下列结论：（1）(0,0)1f x ∂=∂ （2）2(0,0)1f x y ∂=∂∂ （3）()(),0,0lim (,)0x y f x y →=（4）00limlim (,)0y x f x y →→=。
其中正确的个数为（ ）A.4B. 3C. 2D. 16.设()f x 在[]2,2-上可导，且()()0f x f x '>>，则（ ）A. (2)1(1)f f ->-B.(0)(1)f e f >-C.2(1)(1)f e f <-D.3(2)(1)f e f <-7.四阶方阵A 不可逆，120A ≠，1234,,,αααα为矩阵A 的列向量组，则*0A X =的通解为（ ）A.112233x k k k ααα=++B.112234x k k k ααα=++C.112334x k k k ααα=++D.122334x k k k ααα=++8.A 为3阶方阵，12,αα为属于特征值1的线性无关的特征向量，3α为A 的属于-1的特征向量，满足1111P AP -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦的可逆矩阵P 为（ ）A. ()1323,,αααα+-B.()1223,,αααα+-B. ()1332,,αααα+- D.()1232,,αααα+-二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．9.设()⎪⎩⎪⎨⎧++=+=1ln 122t t y t x ，则==122d d t x y .10.求x x y yd 1d 1310⎰⎰+= .11.设()[],sin arctan y x xy z ++=则()=π,0d z .12.斜边长为a 2的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中, 且斜边与水面相齐，记重力加速度为g ，水密度为ρ，则三角形平板的一侧收到的压力为 .13.设()x y y =满足,02=+'+''y y y 且()00=y ，()10='y ，则()=⎰+∞x x y d 0.14.求=----aa a a 011011110110 .三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． 15.（本题满分10分）.求曲线()()011>+=+x x x y xx的斜渐近线。
硕士研究报告生入学考试数学二试题及答案解析
个人资料整理仅限学习使用2008 年考研数学二试卷剖析、详解和评注一，选择题：(此题共 8 小题，每题 4 分，共 32 分 . 每题给出的四个选项中，只有一项切合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内>(1>设，则的零点个数为【】．(A> 0.(B> 1.(C> 2.(D> ．3【答案】应选 (D>.【详解】．令，可得有三个零点．故应选(D>.(2>曲线方程为，函数在区间上有连续导数，则定积分在几何上表示【】．(A> 曲边梯形的面积．(B>梯形的面积．(C> 曲边三角形面积．(D>三角形面积．【答案】应选 (C>.【详解】，此中是矩形面积，为曲边梯形的面积，所以为曲边三角形ACD 的面积．故应选(C>.(3>在以下微分方程中，以<为随意的常数）为通解的是【】．(A>.(B>.(C>. (D>.【答案】应选 (D>.【详解】由，可知其特点根为，，故对应的特点值方程为所以所求微分方程为．应选 (D>.(4> 判断函数，中断点的状况【】．(A)有一个可去中断点，一个跳跃中断点．(B> 有一跳跃中断点，一个无量中断点．(C> 有两个无量中断点.(D>有两个跳跃中断点.【答案】应选 (A>.(5>设函数在内单一有界，为数列，以下命题正确的选项是【】．(A> 若收敛，则收敛(B>若单一，则收敛(C>若收敛，则收敛.(D> 若单一，则收敛.【答案】应选 (B>.【详解】若若单一，则由函数在内单一有界知，若单一有界，所以若收敛．故应选 (B>.(6>设函数连续，，，若，则【】．(A>(B>(C>(D>【答案】应选 (A>.【详解】利用极坐标，得，所以．故应选 (A>.(7>设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵．若，则以下结论正确的选项是【】．(A>不行逆，则不行逆.(B>不行逆，则可逆.(C>可逆，则可逆.(D>可逆，则不行逆.【答案】应选 (C>.【详解】，．故，均可逆．故应选(C>.(8> 设，则在实数域上，与 A 合同矩阵为【】．(A>. (B>.(C>.(D>.【答案】应选 (D>.【详解】则，记，则则，正负惯性指数同样.应选 D.二、填空题：(9－ 14 小题，每题 4 分，共 24 分 . 把答案填在题中横线上.>(9>已知函数连续，且，则【答案】应填．(10>微分方程的通解是.【答案】应填．(11>曲线在点的切线方程为.【答案】应填．【详解】(12>曲线的拐点坐标为.【答案】．【详解】(13>设，则.【答案】．(14>设3阶矩阵的特点值为．若队列式，则___________.【答案】应填．三、解答题 (15－ 23 小题，共94 分 >．(15>(此题满分9 分>求极限．【详解 1】＝(或，或>．【详解 2】＝<或）．(16>(此题满分10 分 >设函数由参数方程确立，此中是初值问题的解，求．【详解 1】由得，积分得．由条件，得，即，故．方程组两头同时对求导得．所以，进而．17<此题满分9 分）计算．【详解 1】因为，故是失常积分．令，有，．．【详解 2】令，有，．，所以．(18>(此题满分11 分 >计算，此中．【详解】将地区分红如下图得两个子地区和．于是．(19>(此题满分11分>设是区间上拥有连续导数的单一增加函数，且．对随意的，直线，曲线以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的 2 倍，求函数的表达式．【详解】依据题意，因为旋转体体积，侧面积．所以．上式两边同时对求导得．解得，．由，得．所以或．(20>(此题满分11 分 >(I)证明积分中值定理：若函数在闭区间上连续，则起码存在一点，使得；(II)若函数拥有二阶导数，且知足，，则起码存在一点，使得．【证法 1】若函数在闭区间上连续，则必存在最大值和最小值．即，于是有．即依据闭区间上连续函数的介值定理，在上起码存在一点，使得所以而的证．<II）存在，使得．由，知．由，利用微分中值定理，存在，使得．由，利用微分中值定理，存在，使得．存在存在，使得．<21） (此题满分 11 分 >求函数在拘束条件和下的最大值和最小值．【详解 1】作拉格朗日函数．令解之得故所求得最大值为72, 最小值为6．【详解2】由题意知，在条件下的最值．令解之得故所求得最大值为72, 最小值为6．(22> (此题满分12 分 >．设元线性方程组，此中，，．<I）证明队列式；<II）当为什么值时，该方程组有唯一解，并求．<III）当为什么值时，该方程组有无量多解，并求其通解．【详解】 <I）【证法1】数学概括法．记以下用数学概括法证明当时，，结论建立．．当时，假定结论对小于的状况建立．将，结论建立．按第一行睁开得个人资料整理仅限学习使用故．【注】本题<1）也可用递推法．由得，．于是<I）【证法2】消元法．记．<II）【详解】当时，方程组系数队列式，故方程组有唯一解．由克莱姆法则，将得第一列换成，得队列式为所以，．<III）【详解】当时，方程组为此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为，所以方程组有无量多组解，其通解为，此中为随意常数．(23> (此题满分10 分 >设为 3 阶矩阵，为的分别属于特点值的特点向量，向量知足，(I>证明线性没关；(II>令，求．【详解】 (I>【证明】设有一组数，使得．用左乘上式，得．因为,，，所以，即．因为是属于不一样特点值得特点向量，所以线性没关，所以，进而有．故线性没关．<II）由题意，．而由<I）知，线性没关，进而可逆．故．。
2020年工商管理硕士MBA考试真题(管理类考试——数学)
22. 已知甲、乙、丙三人共捐款3500元，则能确定每人捐款金额.
（1）三人的捐款金额各不相同.
（2）三人的捐款金额都是500的倍数.
设函数 23.
C7 8 7
187 48，则在 4左侧附近有C7 8 0
（ ）1
!%.
（2） 4.
24. 设 ， 为正实数，则@! D!存在最小值.
（1）已知 的值. （2）已知 ， 是方程 7 8 2 0的不同实根.
不同的分组方式有（ ）种.
A.4
B.6
C.9
D.12
E.15
二、条件充分性判断：第 16~25 小题，每小题 3 分，共 30 分.要求判断每题给出的条件（1）和条
件（2）能否充分支持题干所陈述的结论.A、B、C、D、E 五个选项为判断结果，请选件（2）不充分. CB：：条条件件（（21））充和分（2，）但单条独件都（不1）充不分充，分但.条件（1）和条件（2）联合起来充分. ED：：条条件件（（11））和充（分2，）条单件独（都2不）充也分充，分条. 件（1）和条件（2）联合起来也不充分.
与△ 1的面积之比为（ ）.
4
1
A.1
B.√2
C.2
D.√
E.√3
已知数列 满足 ， 且 ，则 （ ） 11.
$
!1
2 $6
$6! $7& 1,2,3, . . . . 8
!##
.
A.1
B. 1
C.2
D. 2
E.0
12. 如图，圆9的内接△ 1是等腰三角形，底边 1 6，顶角为:%，则圆9的面积为（ ）.
D.19
E.20
6. 某网站对单价为55元，75元，80元的三种商品进行促销，促销策略是每单满200元减(元，
2009工商管理硕士MBA数学模拟试题二
2009工商管理硕士MBA数学模拟试题二1、已知f(xy)=f(x)f(y)且f’(1)=a,x≠0，求f’(x)=?(答案为a/x) 【思路1】原方程两边对Y进行求偏导xf’(xy)=f’(y)其中f’(xy)与f’(y)都是对y偏导数xf’(x*1)=f’(1)=a得f’(x)=a/x 【思路2】当⊿x→0时，令x⊿x=xz则z=(1⊿x/x) 由f’(x)=[f(x⊿x)-f(x)]/⊿x ={f[x(1⊿x/x)]-f(x)}/⊿x =[f(x)f(1⊿x/x)-f(x)]/⊿x =f(1⊿x/x)/⊿x=f’(1)/x=a/x2、已知函数f(xy,x-y) =x2-y2,则f对x的偏导数加f对y的偏导数等于?(a)2x-2y(b)xy 【思路1】设U=xy,v=x-y f(u,v)=uv f’x=f’u*u’xf’v*v’x=v*1u*1=uv f’y=f’u*u’yf’v*v’y=v-u f’xf’y=uvv-u=2v=2(x-y)=2x-2y选A 【思路2】由已知f(xy,x-y)=(xy)(x-y), 令u=xy,v=x-y,则f(u,v)=uv,于是f(x,y)=xy,故答案为(b). 结论：b应该是对的，复合函数是相对与自变量而言的，自变量与字母形式无关，参见陈文灯的考研书。
3、已知方程7x2-(k13)xk2-k-2=0的两个实根分别在区间（0，1）和（1，2）内，则k的取值范围是什幺？答案为（-2，-1）U（3，4）【思路】画图可得f(0)0,f(1)0，f(2)0代入计算即可4、A,B是一次随机实验的两个事件，则 A.A-(B-A)=A-BB.A-(B-A)=A 【思路】b,利用定义可得5、已知随机变量X的密度的函数是：f(x)= 其中m0，A为常数，则概率P{m0)的值一定是：____ A、与a无关，随着m的增大而增大B、与m无关，随着a的增大而增大C、与a无关，随着m 的增大而减少D、与m无关，随着a的增大而减少【思路】P{m0) =dx=Ae-m=1A=em,P{m==Ae-m[1-e-a]=1-e-aa0答案为B1、已知f(xy)=f(x)f(y)且f’(1)=a,x≠0，求f’(x)=?(答案为a/x) 【思路1】原方程两边对Y进行求偏导xf’(xy)=f’(y)其中f’(xy)与f’(y)都是对y偏导数xf’(x*1)=f’(1) =a得f’(x)=a/x 【思路2】当⊿x→0时，令x⊿x=xz则z=(1⊿x/x) 由f’。
2010年1月全国攻读工商管理硕士学位研究生入学考试数学真题解析
内部资料 请勿外传 版权所有 侵权必究2010年1月全国硕士研究生入学统一考试——管理类专业学位联考综合能力试题一、问题求解：第1～15小题，每小题3分，共45分。
下列每题给出的A 、B 、C 、D 、E 五个选项中，只有一项是符合试题要求的，请在答题卡上将所选项的字母涂黑。
1．电影开演时观众中女士与男士人数之比为5：4，开演后无观众入场，放映一小时后，女士的20%， 男士的15%离场，则此时在场的女士与男士人数之比为A.4：5B.1：1C.5：4D.20：17E.85：64 【考点】：比和比例。
【解析】：设女士有x 5人，男士有x 4人，由题意列比例式：172020174545%)151(4%)201(5=⋅⋅=--x x x x 。
【参考答案】：D2．某商品的成本为240元，若按该商品标价的8折出售，利润率是15％，则该商品的标价为A. 276元B. 331元C. 345元D. 360元E. 400元 【考点】：利润问题。
【解析】：设标价为x 元，则可列方程如下：8.0%)151(240⋅=+x ⇒345=x 。
【参考答案】：C3．三名小孩中有一名学龄前儿童（年龄不足6岁），他们的年龄都是质数（素数），且依次相差6岁， 他们的年龄之和为A. 21B. 27C.33D. 39E. 51 【考点】：质数。
【解析】：小于6的质数有5,3,2；由题意，若其中的一个小孩的年龄是2岁，则另外两个小孩分别是8和14，但不是质数，不合题意，若其中的一个小孩的年龄是3岁，则另外两个小孩分别是9和15，但不是质数，不合题意， 若其中的一个小孩的年龄是5岁，则另外两个小孩分别是11和17， 满足题设条件，故年龄之和为3317115=++。
【参考答案】：C4．在右边的表格中，每行为等差数列，每列为等比数列，x+y+z=A.2B.25 C.3 D. 27E.4【考点】：等差数列和等比数列。
【解析】：由第二行成等差知1=x ，由第二列成等比知85=y ，由第三列成等比知z 83=，∴2=++z y x 。
2005-2019历年研究生入学考试试题-数学(二)真题解析汇编
2005-2019历年研究生入学考试试题-数学（二）真题解析汇编目录考研数学历年真题——数学（二）2005年全国硕士研究生入学统一考试 (1)一、填空题. (3)二、选择题. (3)三、解答题. (5)2006年全国硕士研究生入学统一考试 (8)一、填空题. (8)二、选择题 (8)三、解答题 (10)2007年全国硕士研究生入学统一考试 (13)一、选择题. (13)二、填空题. (15)三、解答题. (15)2008年全国硕士研究生入学统一考试 (18)一、选择题 (18)二、填空题 (20)三、解答题 (20)2009年全国硕士研究生入学统一考试 (23)1一、选择题 (23)二、填空题. (25)三、解答题. (25)2010年全国硕士研究生入学统一考试 (28)一、选择题 (28)二、填空题. (29)三、解答题 (30)2011年全国硕士研究生入学统一考试 (32)一、选择题 (32)二、填空题 (33)三、解答题 (34)2012年全国硕士研究生入学统一考试 (36)一、选择题. (36)二、填空题. (37)三、解答题. (38)2013年全国硕士研究生入学统一考试 (40)一、选择题 (40)二、填空题. (41)三、解答题 (42)22014年全国硕士研究生入学统一考试 (44)一、选择题. (44)二、填空题. (45)三、解答题. (46)2015年全国硕士研究生入学统一考试 (48)一、选择题. (48)二、填空题. (50)三、解答题. (50)2016年全国硕士研究生入学统一考试 (52)一、选择题 (52)二、填空题 (53)三、解答题. (54)2017年全国硕士研究生入学统一考试 (56)一、选择题 (56)二、填空题. (58)三、解答题. (58)2018年全国硕士研究生入学统一考试 (60)一、选择题. (60)二、填空题. (61)3三、解答题. (62)2019年全国硕士研究生入学统一考试 (64)一、选择题 (64)二、填空题 (65)三、解答题 (65)考研数学历年真题解析——数学（二）2005年全国硕士研究生入学统一考试 (71)一、填空题. (71)二、选择题 (73)三、解答题. (77)2006年全国硕士研究生入学统一考试 (84)一、填空题. (84)二、选择题. (86)三、解答题 (90)2007年全国硕士研究生入学统一考试 (98)一、选择题. (98)二、填空题. (103)三、解答题. (106)2008年全国硕士研究生入学统一考试 (113)4一、选择题 (113)二、填空题 (115)三、解答题． (118)2009年全国硕士研究生入学统一考试 (126)一、选择题. (126)二、填空题. (130)三、解答题. (132)2010年全国硕士研究生入学统一考试 (140)一、选择题. (140)二、填空题 (144)三、解答题 (147)2011年全国硕士研究生入学统一考试 (154)一、选择题 (154)二、填空题. (157)三、解答题 (159)2012年全国硕士研究生入学统一考试 (167)一、选择题 (167)二、填空题. (170)三、解答题 (173)52013年全国硕士研究生入学统一考试 (181)一、选择题 (181)二、填空题. (184)三、解答题 (186)2014年全国硕士研究生入学统一考试 (191)一、选择题. (191)二、填空题. (194)三、解答题. (195)2015年全国硕士研究生入学统一考试 (202)一、选择题. (202)二、填空题. (204)三、解答题 (205)2016年全国硕士研究生入学统一考试 (214)一、选择题. (214)二、填空题 (216)三、解答题 (218)2017全国硕士研究生入学统一考试 (227)一、选择题 (227)二、填空题. (228)6三、解答题. (231)2018全国硕士研究生入学统一考试 (237)一、选择题. (237)二、填空题 (239)三、解答题 (242)2019全国硕士研究生入学统一考试 (251)一、选择题 (251)二、填空题 (253)三、解答题 (255)7考研数学历年真题——数学（二）欢迎使用高教考试在线电子教材32005年全国硕士研究生入学统一考试一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分，请把答案填在题中横线上.1.设(1sin )xy x =+，则x dy π== .2.曲线32)y =的斜渐近线方程为 .3.10=⎰.4.微分方程2ln xy y x x '+=满足1(1)9y =−的解为. 5.当0x →时，2()x kx α=与()x β=则k = .6.设123,,ααα均为3维列向量，记矩阵123(,,)A ααα=，123123123(,24,39)B ααααααααα=++++++，如果||1A =，那么||B =.二、选择题：7~14小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内.7.设函数()n f x =()f x 在(,)−∞+∞内( )（A ）处处可导. （B ）恰有一个不可导点.（C ）恰有两个不可导点.（D ）至少有三个不可导点.4 8.设函数()F x 是连续函数()f x 的一个原函数，“M N ⇔”表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有( )（A ）()()F x f x ⇔是偶函数是奇函数.（B ）()()F x f x ⇔是奇函数是偶函数．（C ）()()F x f x ⇔是周期函数是周期函数.（D ）()()F x f x ⇔是单调函数是单调函数. 9.设函数()y y x =由参数方程22ln(1)x t t y t ⎧=+⎨=+⎩确定，则曲线()y y x =在3x =处的法线与x 轴交点的横坐标是( ) （A ）1ln 238+.（B ）1ln 238−+.（C ）8ln 23−+.（D ）8ln 23+. 10.设区域22{(,)|4,0,0}D x y x y x y =+≤≥≥，()f x 为D 上的正值连续函数，,a b为常数，则D σ=( ) （A ）ab π.（B ）2ab π. （C ）()a b π+. （D ）()2a b π+.11.设函数(,)()()()x y x y u x y x y x y t dt ϕϕψ+−=++−+⎰，其中函数具ϕ有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有 ( )（A ）2222u u x y∂∂=−∂∂. （B ）2222u u x y ∂∂=∂∂. （C ）222u u x y y∂∂=∂∂∂. （D ）222u u x y x ∂∂=∂∂∂.12.设函数11()1x x f x e−=−，则 ( )（A ）0,1x x ==都是()f x 的第一类间断点. （B ）0,1x x ==都是()f x 的第二类间断点.（C ）0x =都是()f x 的第一类间断点，1x =都是()f x 的第二类间断点. （D ）0x =都是()f x 的第二类间断点，1x =都是()f x 的第一类间断点. 13.设12,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为12,αα，则112,()A ααα+线性无关的充分必要条件是 ( )（A ）10λ≠. （B ）20λ≠. （C ）10λ=.（D ）20λ=.14.设A 为(2)n n ≥阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，,A B **分别为,A B 的伴随矩阵，则( )（A ）交换A *的第1列与第2列得到B *. （B ）交换A *的第1行与第2行得到B *. （C ）交换A *的第1列与第2列得到B *−. （D ）交换A *的第1行与第2行得到B *−.三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分11分)设函数()f x 连续，且(0)0f ≠，求极限0()()lim()xx x x t f t dtx f x t dt→−−⎰⎰.16.(本题满分12分) 如图，1C 和2C 分别是1(1)2x y e =+和x y e =的图像，过点(0,1)的曲线3C 是一单调增函数的图像，过2C 上任一点(,)M x y 分别作垂直于x 轴和y 轴的直线x l 和y l .记12,C C 与x l 所围成的面积为1()S x ；23,C C 与y l 所围成的图形的面积为2()S y .如果12()()S x S y =，求曲线3C 的方程()x y ϕ=. 17.(本题满分11分)如图，曲线C 的方程为()y f x =，点(3,2)是它的一个 拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4).设函数()f x 具有三阶连续导数， 计算定积分320()()x x f x dx '''+⎰.18.(本题满分12分)用变量代换cos (0)x t t π=<<化简微分方程2(1)0x y xy y '''−−+=，并求其满足01x y ==，02x y ='=的特解.19.(本题满分12分)已知函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0f =，(1)1f =.证明：(Ⅰ)存在(0,1)ξ∈，使得(=1f ξξ−）；(Ⅱ)存在两个不同的点,(0,1)ηζ∈，使得()()1f f ηζ''=. 20.(本题满分10分)已知函数(,)z f x y =的全微分22dz xdx ydy =−，并且(1,1)2f =，求(,)f x y 在椭圆域22{(,)|1}4y D x y x =+≤上的最大值和最小值.21.(本题满分9分) 计算二重积分22|1|Dxy d σ+−⎰⎰，其中{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤．22.(本题满分9分)确定常数a ，使向量组1(1,1,)T a α=，2(1,,1)T a α=，3(,1,1)T a α=可由向量组1(1,1,)T a β=，2(2,,4)T a β=−，3(2,,)T a a β=−线性表出，但向量组123,,βββ不能由向量组123,,ααα线性表出.23.(本题满分9分)已知3阶矩阵A 的第一行是(,,)a b c ，,,a b c 不全为零，矩阵12324636B k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且AB O =，求线性方程组0Ax =的通解．2006年全国硕士研究生入学统一考试一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分，请把答案填在题中横线上. 1.曲线4sin 52cos x xy x x+=−的水平渐近线方程为.2.设函数231sin ,0(),0xt dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰在0x =处连续，则a =.3.广义积分22(1)xdxx +∞=+⎰.4.微分方程(1)y x y x−'=的通解是 .5.设函数()y y x =由方程1yy xe =−确定，则x dy dx==.6.设矩阵2112A ⎛⎫=⎪−⎝⎭，E 为2阶单位阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则||B =.二、选择题：7~14小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内. 7.设函数()y f x =具有二阶导数，且()0f x '>，()0f x ''>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处的增量与微分，若0x ∆>，则( )（A ）0dy y <<∆. （B ）0y dy <∆<. （C ）.（D ）0dy y <∆<.0y dy ∆<<8.设函数()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是第一类间断点，则()xf t dt ⎰是( )（A ）连续的奇函数. （B ）连续的偶函数．（C ）在0x =间断的奇函数. （D ）在0x =间断的偶函数.9.设函数()g x 可微，1()(),(1)1,(1)2g x h x e h g +''===，则(1)g 等于( )（A ）ln31−. （B ）ln31−−. （C ）ln 21−−.（D ）ln 21−.10.函数212x x x y C e C e xe −=++满足的一个微分方程是( )（A ）23xy y y xe '''−−=. （B ）23xy y y e '''−−=. （C ）23x y y y xe'''+−= （D ）23xy y y e '''+−=.11.设(,)f x y 为连续函数，则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ=⎰⎰( )（A ）(,)xdx f x y d y（B ）(,)f x y d y .（C ）(,)ydy f x y dx . （D ）0(,)f x y dx .12.设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠.已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是( )（A ）若(,)0x f x y '=，则(,)0y f x y '=（B ）若(,)0x f x y '=，则(,)0y f x y '≠ （C ）若(,)0x f x y '≠，则(,)0y f x y '= （D ）若(,)0x f x y '≠，则(,)0y f x y '≠. 13.设12,,,s ααα均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是( )（A ）若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性相关. （B ）若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性无关. （C ）若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性相关. （D ）若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性无关.14.设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得到B ，再将B 的第1列的1−倍加到第2列得C ，记110010001P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则( )（A ）1C P AP −=（B ）1C PAP−=（C ）T C P AP =.（D ）TC PAP =.三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分10分)试确定常数A B C 、、的值，使得.其中3()o x 是当0x →时比3x 高阶的无穷小.16.(本题满分10分)求arcsin xxe dx e⎰.17.(本题满分10分)设区域22{(,)|1,0}D x y x y x =+≤≥，计算二重积分2211DxyI dxdy x y+=++⎰⎰. 23(1)1()xeBx Cx Ax o x ++=++18.(本题满分12分)设数列{}n x 满足10x π<<，1sin (1,2,)n n x x n +==．（I ）证明lim n n x →∞存在，并求该极限；（Ⅱ）计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 19.(本题满分10分)证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++． 20.(本题满分12分)设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶连续导数，z f =且满足等式22220z z x y∂∂+=∂∂. （I ）验证()()0f u f u u '''+=； （Ⅱ）若(1)0f =，(1)1f '=，求函数()f u 的表达式. 21.(本题满分12分)已知曲线L 的方程为221(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=−⎩． （I ）讨论L 的凹凸性；（Ⅱ）过点(1,0)−引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程； （Ⅲ）求此切线与L (对应于0x x ≤的部分)及x 轴所围成的平面图形的面积.22.(本题满分9分)已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=−⎧⎪++−=−⎨⎪+++=⎩，有3个线性无关解．（I ）证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =（Ⅱ）求,a b的值，及方程组的通解.23.(本题满分9分)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量1(1,2,1)Tα=−−，2(0,1,1)Tα=−是线性方程组0Ax=的两个解．（I）求A的特征值与特征向量；（Ⅱ）求正交变换Q和对角阵Λ，使得TQ AQ=Λ.2007年全国硕士研究生入学统一考试一、选择题：1~10小题，每小题4分，共40分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1.当0x +→时，与x 等价的无穷小量是( )（A ）1xe− （B ）ln1x−.（C ）11x +−（D ）1cos x −.2.函数11()tan ()()xxe e xf x x e e +=−在[,]ππ−上的第一类间断点是x =( )（A ）0（B ）1． （C ）2π−. （D ）2π. 3.如图，连续函数()y f x =在区间[3,2]−−，[2,3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[2,0]−，[0,2]上的图形分别是直径为2的上、下半圆周.设0()()xF x f t dt =⎰，则下列结论正确的是( )（A ）3(3)(2)4F F =−−.（B ）5(3)(2)4F F =. （C ）3(3)(2)4F F −= （D ）5(3)(2)4F F −=−−.4.设函数()f x 在0x =处连续，则下列命题错误．．的是( )（A ）若0()limx f x x→存在，则(0)0f =.（B ）若0()()lim x f x f x x→+−存在，则(0)0f =.（C ）若0()lim x f x x→存在，则(0)f '存在.（D ）若0()()lim x f x f x x →−−存在，则(0)f '存在.5.曲线1ln(1)xy e x=++的渐近线的条数为( )（A ）0.（B ）1．（C ）2.（D ）3.6.设()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数，且()0f x ''>，设()(1,2,,)n u f n n ==，则下列结论正确的是( )（A ）若12u u >，则{}n u 必收敛. （B ）若12u u >，则{}n u 必发散. （C ）若12u u <，则{}n u 必收敛（D ）若12u u <，则{}n u 必发散.7.二元函数(,)f x y 在(0,0)点可微的一个充分条件是( )（A ）(,)(0,0)lim [(,)(0,0)]0x y f x y f →−=.（B ）0[(,0)(0,0)]lim0x f x f x →−=，0[(0,)(0,0)]lim 0y f y f y →−=.（C ）(,)lim0x y →=.（D ）0lim[(,0)(0,0)]0x x x f x f →''−=，0lim[(0,)(0,0)]0y y y f y f →''−=.8.设函数(,)f x y 连续，则二重积分1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰等于( )（A ）10arcsin (,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰.（B ）10arcsin (,)ydy f x y dx ππ−⎰⎰.（C ）1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰.（D ）1arcsin 02(,)ydy f x y dxππ−⎰⎰9.设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关．．．．的是( )（A ）122331,,αααααα−−−. （B ）122331,,αααααα+++.（C ）1223312,2,2αααααα−−−. （D ）1223312,2,2αααααα+++. 10.设矩阵211121112A −−⎛⎫ ⎪=−− ⎪ ⎪−−⎝⎭，100010000B ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，则A 与B ( )（A ）合同且相似. （B ）合同但不相似.（C ）不合同但相似.（D ）既不合同也不相似.二、填空题：11~16小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 11.30arctan sin limx x xx→−= .12.曲线2cos cos 1sin x t t y t⎧=+⎨=+⎩上对于4t π=的点处的法线斜率为.13.设函数123y x =+，则()(0)n y = .14.二阶常系数非齐次线性微分方程2432xy y y e '''−+=的通解为y = . 15.设(,)f u v 为二元可微函数，(,)y x z f x y =，则z z xy x y∂∂−=∂∂ .16.设矩阵0100001000010000A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则3A 的秩为 .三、解答题：17~24小题，共86分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本题满分11分)设()f x 是区间[0,]4π上的单调、可导函数，且满足()100cos sin ()sin cos f x x t tf t dt t dt t t−−=+⎰⎰，其中1f −是f 的反函数，求()f x .18.(本题满分10分) 设D是位于曲线2x ay −=(1,0)a x >≤<+∞下方、x 轴上方的无界区域.(Ⅰ)求区域D 绕x 轴旋转一所成旋转体的体积为()V a ； (Ⅱ)求a 为何值时，()V a 最小？并求此最小值. 19.(本题满分11分)求满足微分方程2()y x y y ''''+=满足初始条件(1)(1)1y y '==的特解.20.(本题满分10分)已知函数()f u 具有二阶导数，且(0)1f '=，函数()y y x =由方程11y y xe−−=确定.设(ln sin )z f y x =−，求x dzdx=，22x d z dx =21.(本题满分11分)设函数()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶连续导数且存在相等的最大值，()()f a g a =，()()f b g b =证明：存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=.22.(本题满分11分).设二元函数2 ,||||1(,)||||2x x y f x y x y ⎧+≤⎪=<+≤，计算二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰，其中{(,)|||||2}D x y x y =+≤.23.(本题满分11分)设线性方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321x x x a ++=−有公共解，求a 的值及所有公共解．24.(本题满分11分)设3阶实对称矩阵A 的特征值11λ=，22λ=，32λ=−，且1(1,1,1)T α=−是A 的属于1λ 的一个特征向量.记534B A A E =−+，其中E 为3阶单位阵.(Ⅰ)验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值和特征向量； (Ⅱ)求矩阵B .2008年全国硕士研究生入学统一考试一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．1.设2()(1)(2)f x x x x =−−，则()f x '的零点个数为 ( )（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3．2.如图，曲线段方程为()y f x =，函数()f x 在区间[0,]a 上有连续的导数，则定积分()axf x dx '⎰等于( )（A ）曲边梯形ABOD 面积． （B ）梯形ABOD 面积． （C ）曲边三角形ACD 面积． （D ）三角形ACD 面积．3.在下列微分方程中，以123cos 2sin 2x y C e C x C x =++(123,,C C C 为任意的常数)为通解的是( )（A ）440y y y y ''''''+−−=（B ）440y y y y ''''''+++=． （C ）440y y y y ''''''−−+=（D ）440y y y y ''''''−+−=．4.判定函数ln ||()sin |1|x f x x x =−，则()f x 间断点的情况 ( )（A ）有一个可去间断点，一个跳跃间断点． （B ）有一跳跃间断点，一个无穷间断点．（C ）有两个无穷间断点． （D ）有两个跳跃间断点．5.设函数()f x 在(,)−∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的( ) （A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛． （B ）若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛． （C ）若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛 （D ）若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛．6.设函数f 连续，若2222(,)uvD F u v dxdy x y=+⎰⎰，其中uv D 为图中阴影部分，则Fu∂=∂()（A ）2()vf u （B ）()vf u ． （C ） 2()vf u u ． （D ）()vf u u． 7.设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵若3A O =，则( )（A ）E A −不可逆，E A +不可逆． （B ）E A −不可逆，E A +可逆．（C ）E A −可逆，E A +可逆． （D ）E A −可逆，E A +不可逆．8.设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭则在实数域上与A 合同矩阵为 ( )（A ）2112−⎛⎫⎪−⎝⎭（B ）2112−⎛⎫⎪−⎝⎭．（C ）2112⎛⎫⎪⎝⎭ （D ）1221−⎛⎫⎪−⎝⎭．二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．9.已知函数()f x 连续，且21cos[()]lim1(1)()x x xf x e f x →−=−，则(0)f = ．10.微分方程2()0xy x e dx xdy −+−=的通解是y = ．11.曲线sin()ln()xy y x x +−=在点(0,1)处的切线方程是．12.曲线23(5)y x x =−的拐点坐标为． 13.设xyy z x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则(1,2)z x ∂=∂．14.设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ，若行列式|2|48A =−，则λ= ． 三、解答题：15~23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本题满分9分)求极限40[sin sin(sin )]sin limx x x xx→−． 16.(本题满分10分)设函数()y y x =由参数方程确定，其中()x x t =是初值问题020xt dx te dt x −=⎧−=⎪⎨⎪=⎩的解，求22d y dx ．17.(本题满分9分)20()ln(1)t x x t y u du =⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰计算21⎰．18.(本题满分11分) 计算，其中．19.(本题满分11分)设是区间上具有连续导数的单调增加函数，且．对任意的，直线，曲线以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数的表达式． 20.(本题满分11分)（I ）证明积分中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b η∈，使得()()()baf x dx f b a η=−⎰；（II ）若函数()x ϕ具有二阶导数，且满足(2)(1)ϕϕ>，32(2)()x dx ϕϕ>⎰，则至少存在一点(1,3)ξ∈，使得()0ϕξ''<． 21.(本题满分11分)求函数222u x y z =++在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大值和最小值． 22.(本题满分12分)设n 元线性方程组Ax b =，其中2222212121212a a a a a A a a a a ⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，12n x xx x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，max{,1}Dxy dxdy ⎰⎰{}(,),02,02D x y x y =≤≤≤≤()f x [0,)+∞(0)1f =[0,)t ∈+∞0,x x t ==()y f x =x x ()f xb 100⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．（I ）证明行列式||(1)n A n a =+；（II ）当a 为何值时，该方程组有唯一解，并求1x ． (III)当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解． 23.(本题满分10分)设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1−的特征向量，向量3α满足A ααα323=+，（I ）证明123,,ααα线性无关； （II ）令123(,,)P ααα=，求1P AP −．2009年全国硕士研究生入学统一考试一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1.函数3()sin x x f x xπ−=的可去间断点的个数为( )（A ）1.（B ）2.（C ）3.（D ）无穷多个.2.当0x →时，()sin f x x ax =−与2()ln(1)g x x bx =−是等价无穷小则( ) （A ）1,1/6a b ==−. （B ）1,1/6a b ==. （C ）1,1/6a b =−=−.（D ）1,1/6a b =−=.3.设函数(,)z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点(0,0) ( )（A ）不是(,)f x y 的连续点. （B ）不是(,)f x y 的极值点.（C ）是(,)f x y 的极大值点. （D ）是(,)f x y 的极小值点.4.设函数(,)f x y 连续，则222411(,)(,)y xydx f x y dy dy f x y dx −+=⎰⎰⎰⎰( )（A ）2411(,)xdx f x y dy −⎰⎰.（B ）241(,)xxdx f x y dy −⎰⎰.（C ）2411(,)ydy f x y dx−⎰⎰（D ）221(,)ydy f x y dx ⎰⎰.5.若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点(1,1)处的曲率圆为222x y +=，则函数()f x 在区间(1,2)内( )（A ）有极值点，无零点. （B ）无极值点，有零点.（C ）有极值点，有零点.（D ）无极值点，无零点.6.设函数()y f x =在区间[1,3]−上的图形为则函数0()()xF x f t dt =⎰的图形为( )（A ） （B ）（C ） （D ）7.设,A B 均为2阶矩阵，**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若||2,||3A B ==，则分块矩阵O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭的伴随矩阵为( )（A ）**32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭.（B ）**23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭. （C ）**32O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭.（D ）**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭. 8.设,A P 均为3阶矩阵,T P 为P 的转置矩阵,且100010002T P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若123(,,)P ααα=,1223(,,)Q αααα=+,则T Q AQ 为 ( )（A ）210110002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.（B ）110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.25（C ）200010002⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ （D ）100020002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.9.曲线21022ln(2)t u x e duy t t −−⎧=⎪⎨⎪=−⎩⎰在点(0,0)处的切线方程为.10.已知||1k x e dx +∞−∞=⎰，则k =. 11.1limsin x n e nxdx −→∞=⎰.12.设()y y x =是由方程1yxy e x +=+确定的隐函数，则202x d y dx==.13.函数2xy x =在区间(0,1]上的最小值为.14.设,αβ为3维列向量,T β为β的转置.若矩阵Tβα相似于200000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则Tβα=.三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分9分)求极限40(1cos )[ln(1tan )]limsin x x x x x→−−+.16.(本题满分10分)计算不定积分ln(1(0)dx x +>⎰.2617.(本题满分10分)设(,,)z f x y x y xy =+−,其中f 具有二阶连续偏导数.求dz 与2zx y∂∂∂.18.(本题满分10分)设非负函数()(0)y y x x =≥满足微分方程20xy y '''−+=.当曲线()y y x =过原点时,其与直线1x =及0y =围成的平面区域D 的面积为2,求D 绕y 轴旋转所得旋转体的体积. 19.(本题满分10) 计算二重积分()Dx y dxdy −⎰⎰,其中22{(,)|(1)(1)2,}D x y x y y x =−+−≤≥. 20.(本题满分12分)设()y y x =是区间(,)ππ−内过点(的光滑曲线.当0x π−<<时,曲线上任一点处的法线都过原点；当0x π≤<时,函数()y x 满足0y y x ''++=.求函数()y x 的表达式.21.(本题满分11分)(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理:若函数()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,则存在(,)a b ξ∈,使得()()()()f b f a f b a ξ'−=−.(Ⅱ)证明:若函数()f x 在0x =处连续,在(0,)(0)δδ>内可导,且0lim ()x f x A +→'=,则(0)f +'存在,且(0)f A +'=.22.(本题满分11分)设2711111111,10422A ξ−−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−⎝⎭⎝⎭.(Ⅰ)求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ； (Ⅱ)对（I ）中的任意向量23,ξξ,证明123,,ξξξ线性无关. 23.(本题满分11分) 设二次型2221231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++−+−.(Ⅰ)求二次型f 的所有特征值；(Ⅱ)若二次型f 的规范形为2212y y +,求a 的值.282010年全国硕士研究生入学统一考试一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1.若( )（A ）0（B ）1（C ）2（D ）32.设12,y y 是一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解，若常数μλ,使12y y λμ+是该方程的解,12y y λμ−是该方程对应的齐次方程的解，则( )（A ）21,21==μλ． （B ）21,21−=−=μλ． （C ）31,32==μλ．（D ）32,32==μλ． 3.设曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切，则a = ( )（A ）4e ．（B ）3e .（C ）2e .（D ）e .4.设m ，n 均是正整数，则反常积分0⎰的收敛性 ( )（A ）仅与m 的取值有关． （B ）仅与n 的取值有关.（C ）与,m n 的取值有关. （D ）与,m n 的取值无关.5.设函数(,)z z x y =是由方程,0y z F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭确定，其中F 为可微函数，且 20F '≠，则z z xy x y∂∂+=∂∂ ( )（A ）x（B ）z（C ）x− （D ）z −()f x =296.2211lim()()n nn i j nn i n j →∞===++∑∑ ( )（A ）1201(1)(1)xdx dy x y ++⎰⎰． （B ）1001(1)(1)x dx dy x y ++⎰⎰． （C ）1101(1)(1)dx dy x y ++⎰⎰．（D ）112001(1)(1)dx dy x y ++⎰⎰．7.设向量组Ⅰ：12,,,r ααα可由向量组Ⅱ：12,,,s βββ线性表示.则下列命题正确的是( )（A ）若向量组I 线性无关，则s r ≤ （B ）若向量组I 线性相关，则r s > （C ）若向量组II 线性无关，则s r ≤ （D ）若向量组II 线性相关，则r s > 8.设A 为4阶实对称矩阵，且02=+A A ，若A 的秩为3，则A 相似于( )（A ）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0111（B ）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−0111（C ）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−0111（D ）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−0111二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.9.3阶常系数线性齐次微分方程220y y y y ''''''−+−=的通解为y =.10.曲线3221x y x =+的渐近线方程为.11.函数ln(12)y x =−在0x =处的n 阶导数()(0)n y =.3012.当0θπ≤≤时，对数螺线r e θ=的弧长为.13.已知一个长方形的长l 以2/cm s 的速率增加，宽ω以3/cm s 的速率增加．则当12l cm =，5cm ω=时，他的对角线的增加速率为.14.设,A B 为3阶矩阵，且||3A =，||2B =，1||2A B −+=，则1||A B −+=.三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分10分) 求函数2221()()x t f x x t e dt −=−⎰的单调区间与极值．16.(本题满分10分) (Ⅰ)比较[]⎰⎰⋯=+11),2,1(ln )1ln(ln n dt t t dt t t n n与的大小，说明理由；(Ⅱ)记[]⎰⋯=+=1),2,1()1ln(ln n dt t t u nn ,求极限lim n n u →∞.17.(本题满分11分)设函数由参数方程22()x t t y t ψ⎧=+⎨=⎩(1)t >−所确定，其中()t ψ具有2阶导数，且5(1)2ψ=，(1)6ψ'=，已知2234(1)d y dx t =+，求函数()t ψ. 18.(本题满分10分)一个高为l 的柱体形贮油罐，底面 是长轴为2a ，短轴为2b 的椭圆． 32b 时现将贮油罐平放，当油罐中油的高度为(如图)，计算油的质量．(长度单位为m ，质量单位为kg ，油的密度为常数3/kg m ρ)3119.(本题满分11分)设函数(,)u f x y =具有二阶连续偏导数，且满足等式2222241250u u ux x y y ∂∂∂++=∂∂∂∂.确定,a b 的值，使等式在变换x ay ξ=+，x by η=+下简化为20uξη∂=∂∂． 20.(本题满分10分)计算2sin DI r θ=⎰⎰，其中(,)|0sec ,04D r r πθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭． 21.(本题满分10分)设函数()f x 闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且(0)0f =，1(1)3f =．证明：存在1(0,)2ξ∈，1(,1)2η∈，使得22()()f f ξηξη''+=+． 22.(本题满分11分)设矩阵1101011A λλλ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭，11a b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，已知线性方程组Ax b =存在2个不同的解，(Ⅰ)求λ，a ；(Ⅱ)求方程组Ax b =的通解． 23.(本题满分11分)设0141340A a a −⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦，正交矩阵Q 使得TQ AQ 为对角矩阵．若Q 的第2,1)T ，求,a Q ．322011年全国硕士研究生入学统一考试一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1.已知当0x →时，函数()3sin sin3f x x x =−与kcx 是等价无穷小( ) （A ）1,4k c == （B ）1,4k c ==− （C ）3,4k c == （D ）3,4k c ==−．2.()0(0)0,f x x f ==已知在处可导，且则，2330()2()lim x x f x f x x→−=( ) （A ）)0(2f '− （B ）)0(f '− （C ）)0(f '（D ）03.函数)3)(2)(1(ln )(−−−=x x x x f 的驻点个数为 ( )（A ）0（B ）1（C ）2（D ）34.微分方程2(0)xx y y e e λλλλ−''−=+>的特解形式为( )（A ） （B ）（C ） （D ）5.设函数)(x f ，()g x 均具有二阶连续导数，且满足(0)0f >，(0)0g <，且(0)(0)0f g ''==.则函数()()z f x g y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是 ( )（A ）(0)0(0)0f ''''<>,g （B ）(0)0(0)0f ''''<<,g ． （C ）(0)0(0)0f ''''>>,g （D ）(0)0(0)0f ''''><,g ．)(x xe ea λλ−+()xx ax e e λλ−+()xx x aebe λλ−+2()x x xae be λλ−+336.设4440ln sin ,ln cot ,ln cos I xdx J xdx K xdx πππ===⎰⎰⎰，则,,I J K 的大小关系是 ( )（A ）I J K<<（B ）I K J<<（C ）J I K<<（D ）K J I<<7.设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第三行得单位矩阵.记1100110001P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,2100001010P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则A =( ) （A ）12PP （B ）112P P − （C ）21P P （D ）121P P −．8.设()4321,,,ααααA =是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若()T0,1,0,1是方程组0=x A 的一个基础解系，则0=*x A 基础解系可为 ( )（A ）13,αα （B ）12αα,（C ）123ααα,, （D ）234ααα,,．二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.9.=+→x x x 10)221(lim ___________. 10.微分方程cos xy y e x −'+=满足条件(0)0y =的解y =___________.11.曲线)40(tan 0⎰≤≤=xx tdt y π的弧长s =____________.12.设函数,0(),00,0x e x f x x λλλ−⎧>=>⎨≤⎩，则=⎰+∞∞−dx x xf )(____________.13.设平面区域D 由y x =，圆y y x 222=+及y 轴所组成，则二重积分__Dxyd σ=⎰⎰．3414.二次型3231212322213212223),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=，则f 的正惯性指数为___.三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题满分10分）已知函数αx dt t x F x⎰+=2)1ln()(，设0)(lim )(lim 0==+→+∞→x F x F x x ，试求α的取值范围.16.（本题满分11分）设函数()y y x =有参数方程3311331133x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=−+⎪⎩确定，求()y y x =的极值和曲线()y y x =的凹凸区间及拐点.17.（本题满分9分）设))(,(x yg xy f z =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导，且在1x =处取得极值(1)1g =,求211x y zx y==∂∂∂．18.（本题满分10分）设函数()y y x =具有二阶导数，且曲线:()l y y x =与直线y x =相切于原点，记α是曲线l 在点(,)x y 处切线的倾角，若dxdydx d =α，求()y x 的表达式. 19.（本题满分10分）（Ⅰ）证明：对任意正整数n ，都有nn n 1)11ln(11<+<+； （Ⅱ）设111ln (1,2,)2n a n n n=++⋯+−=⋯,证明数列}{n a 收敛. 20.（本题满分11分）一容器的内侧是由图中曲线绕y 旋转一周而成的曲面，该曲线由2212()2x y y y +=≥与2211()2x y y +=≤连接而成.（Ⅰ）求容器的容积.（Ⅱ）若从容器内将容器的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？（长度单位：m ；重力加速度为2/s gm ；水的密度为33/10m kg ）．21.（本题满分11分）已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0f y =，(,1)0f x =，⎰⎰=Da dxdy y x f ),(，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D ，计算二重积分(,)xyDI xy f x y dxdy ''=⎰⎰.22.（本题满分11分）设向量组()11,0,1Tα=，()20,1,1Tα=，()31,3,5Tα=不能由向量组()11,1,1T β=，()21,2,3T β=，()33,4,Ta β=线性表示．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）将123,,βββ用123,,ααα线性表示. 23.（本题满分11分）设矩阵A 为三阶实对称矩阵，且()2R A =，111100001111A −⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭．(Ⅰ)求A 的所有特征值与特征向量； (Ⅱ)求矩阵A .2012年全国硕士研究生入学统一考试一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1.曲线221x x y x +=−渐近线的条数为( )（A ）0（B ）1（C ）2（D ）32.设函数2()(1)(2)()xxnx f x e e e n =−−−，其中n 为正整数，则(0)f '=( )（A ）1(1)(1)!n n −−− （B ）(1)(1)!n n −− （C ）1(1)!n n −− （D ）(1)!n n −3.设0n a >(1)n =，2，，12n n S a a a =+++，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( )（A ）充分必要条件 （B ）充分非必要条件. （C ）必要非充分条件 （D ）即非充分又非必要条件.4.设2sin (1,2,3)k xk I e xdx k π==⎰，则有( )（A ）123I I I <<（B ）321I I I <<（C ）231I I I <<（D ）213I I I <<5.设函数(,)f x y 可微，且对任意的,x y 都有(,)(,)0,0f x y f x y x y∂∂><∂∂，则使不等式1122(,)(,)f x y f x y <成立的一个充分条件是( )（A ）1212,x x y y ><（B ）1212,x x y y >>.（C ）1212,x x y y << （D ）1212,x x y y <>6.设区域D 由曲线sin ,,12y x x y π==±=围成，则5(1)Dxy dxdy −=⎰⎰( ) （A ）π（B ）2（C ）2− （D ）π−7.设1234123400110,1,1,1c c c c αααα−⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪===−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量线性相关的为( )（A ）123,,ααα （B ）124,,ααα（C ）134,,ααα（D ）234,,ααα.8.设A 为三阶矩阵，P 为三阶可逆矩阵，且1100010002P AP −⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若123(,,)P ααα=，1223(,,)Q αααα=+，则1Q AQ −=( )（A ）100020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（B ）100010002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（C ）200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（D ）200020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.9.设()y y x =是由方程21yx y e −+=所确定的隐函数，则22x d ydx==.10.22222111lim ()12n n n nn n→∞+++=+++ .11.设1(ln )z f x y =+，其中函数()f u 可微，则2z z x y x y∂∂+=∂∂ .12.微分方程2(3)0ydx x y dy +−=满足条件1|1x y ==的解为y = .13.曲线2(0)y x x x =+<上的曲率为2的点的坐标是 .14.设A 为3阶矩阵，||3A =，A *为A 的伴随矩阵，若交换A 的第一行与第二行得到矩阵B ，则||BA *=.三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题满分10分） 已知函数11()sin x f x x x+=−，记0lim ()x a f x →=（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若当0x →时，()f x a −与kx 是同阶无穷小，求常数k 的值.16.（本题满分10分） 求函数222(,)x y f x y xe+−=的极值．17.（本题满分12分）过点(0,1)作曲线:ln L y x =的切线，切点为A ，又L 与x 轴交于B 点，区域D 由L 与直线AB 及x 轴围成，求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 18.（本题满分10分） 计算二重积分Dxyd σ⎰⎰，其中区域D 由曲线1cos (0)r θθπ=+≤≤与极轴围成.19.（本题满分10分）若函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+−=及()()2xf x f x e ''+=，（Ⅰ）求()f x 的表达式；（Ⅱ）求曲线220()()xy f x f t dt =−⎰的拐点．20.（本题满分10分）证明：21ln cos 1(11)12x x x x x x ++≥+−<<−．21.（本题满分10分） （Ⅰ）证明方程11n n x x x −+++=（n 为大于1的整数）在区间1(,1)2内有且仅有一个实根；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的实根为n x ，证明lim n n x →∞存在，并求此极限．22.（本题满分11分）设100010001001a a A a a⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，1100β⎛⎫ ⎪− ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，（Ⅰ）计算||A ；（Ⅱ）当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解.23.（本题满分11分）已知1010111001A a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪− ⎪−⎝⎭，二次型123(,,)()T T f x x x x A A x =的秩为2．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求正交变换x Qy =将二次型f 化成标准形.2013年全国硕士研究生入学统一考试一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1.设cos 1sin ()x x x α−=,其中()2x πα<,则当0x →时,()x α是 ( )（A ）比x 高阶的无穷小（B ）比x 低阶的无穷小. （C ）与x 同阶但不等价的无穷小（D ）与x 等阶的无穷小.2.设函数()y f x =由方程cos()ln 1xy y x +−=确定,则2lim 1n n f n →∞⎡⎤⎛⎫−= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ）（A ）2（B ）1（C ）1− （D ）2−.3.设函数sin ,0()2,2x x f x x πππ≤≤⎧=⎨<≤⎩,0()()x F x f t dt =⎰,则( )（A ）x π=是函数()F x 的跳跃间断点.（B ）x π=是函数()F x 的可去间断点. （C ）()F x 在x π=处连续但不可导. （D ）()F x 在x π=处可导.4.设函数111,1(1)()1,ln x e x f x x e x xαα−+⎧<<⎪−⎪=⎨⎪≥⎪⎩,若反常积分1()f x dx +∞⎰收敛,则( )（A ）2α<−（B ） （C ） （D ）2α>20α−<<02α<<。
2020全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案解析
kx
x1x
lim
x
1
x
x
1 e
x
lim
x
x
1
1 1
x
x
1
e
令t
1 lim
x t0
1
e 1t t
1
et 1 t t
1 e2
1ln(1t )
et lim
t 0
t
e
1 lim
e t0
1ln(1t )1
et
1
t
1 lim
1ln(1t )1 t
1 lim ln(1 t) t
.
答案： 1 ga3 3
【解析】 F
a
2 g(a y) ydy 2 g
a (ay y2 )dy 2 g(1 a3 1 a3) 1 ga3
0
0
23 3
13.设 y yx满足 y 2y y 0,
且
y0
0
，
y0
1
，则
0
yx
dx
.
答案：1
【解析】 y 2y y 0, 所以特解方程： 2 +2+1=0，（+1）2 =0 1=2 =-1； y通 =(C1 C2x)ex ； y通' ex (C2 C1 C2x) ；又 y(0) 0，y' (0) 1 ；
三、解答题：15～23 小题，共 94 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答． 题．纸．指定位置上．
15.（本题满分 10 分）.
求曲线
y
x1 x
1 xx
x
0 的斜渐近线。
x1 x
【解析】：斜率 k
lim x
2020年全国硕士研究生入学统一考试数学二答案及解析
2020年全国硕士研究生招生考试 数学（二）试题参考答案及解析一、选择题1-8题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的4个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上。
1. 当0x +®时，下列无穷小量中最高阶的是 ( ). （A ）2(1)-⎰xt e dt （B）0ln(1+⎰x dt （C ）sin 20sin ⎰xt dt （D）1cos 0-⎰【答案】（D ）【解析】22320(e 1)11lim lim ,33++→→--==⎰xt x x x dte x x可知2301(e 1),0;3+-→⎰:x t dt x x5022ln(12limlim ,52++→→==⎰xx x dtxx可知5202ln(1,0;5+→⎰:xdt x xsin 22032000sin sin(sin x)cosx cos 1limlim lim ,333+++→→→⋅===⎰xx x x t dtx x x可知sin 2301sin ,0;3x t dt x x +→⎰:1cos 0500limlim lim x x x x +++-→→→===⎰可知1cos 50,0,-+→⎰:xx x对比可知1cos 0-⎰的阶数最高，故选（D ）.2....第二类间断点的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】（C ）【解析】()f x 可能的间断点有1,0,1,2x x x x =-===，由于1lim ln |1|x x ?+=-?，111lim0(1)(2)x x x ee x -?¹--，可知-1lim ()x f x ®=?，则1x =-为()f x 的第二类（无穷）间断点；111lim ()lim(2)2x x x e x f x x x e-==--，又由于()f x 在0x =处无定义，可知0x =为()f x 的第一类（可去）间断点；1111ln(1)lim ,lim 0(1)(2)x x x x x e e x ++-+=+ス--，则1lim ()x f x +®=?，则1x =为()f x 的第二类（无穷）间断点；11221ln(1)lim,lim021x x xx e x x e -+=ス--，则2lim ()x f x ®=?，则2x =为()f x 的第二类（无穷）间断点.综上所述，()f x 的第二类间断点有3个，故选（C ）.3.1=ò（ ）.（A ）24p （B ）28p （C ）4p （D ）8p【答案】（A ）【解析】11002=2112002(arcsin (arcsin 4p ===ò，故选（A ）.4.设2()()ln(1),...,(0)n f x x x f =-=（ ）.（A ）!2n n --（B ）!2n n -（C ）(2)!n n --（D ）(2)!n n -【答案】（A ）.【解析】由ln(1)x -的麦克劳林公式可知242232()()()22n n n n x x x x f x x x o x x o x n n ++骣骣鼢珑鼢=----+=-++++珑鼢鼢珑桫桫L Ln x 的系数为12n --，则()!(0)2n n f n =--，故选（A ）.5.关于函数...给出以下结论①(0,0)1fx ¶=¶①2(0,0)1f x y ¶=抖①(,)(0,0)lim (,)0x y f x y ®=①00limlim (,)0y x f x y =正确的个数是（ ）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 【答案】（B ）【解析】(,0)f x x =可知(0,0)1fx ¶=¶，故①正确.不论0,0xy x?还是0y =时，都有(,)(0,0)lim (,)0x y f x y ®=，故①正确.lim (,)0x f x y ®=，进而00limlim (,)0yxf x y =，可知①正确，当0y =时，00(,0)(,0)(,0)lim lim 1x x x f x x f x x x xf x x x D 瓺?+D -+D -¢===D D当0,0y x 构时，00(,)(,)()(,)lim lim x x x f x x y f x y x x y xyf x y yx x D 瓺?+D -+D -¢===D D当0,0y x?时，00(,)(0,)(0,)lim limx x x f x y f y x y yf y x x D 瓺?D -D ?¢==D D 不存在，则(0,)(0,0)(0,0)limx x xy y f y f f y®ⅱ-ⅱ=不存在，故①错误，故正确的有3个，选（B ）6.设函数()f x 在区间[2,2]-上可导，。
(完整word)2020年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)考试大纲
2020年全国硕士研究生入学统一考试数学(二）考试大纲考试科目:高等数学、线性代数考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分,考试时间为180分钟．二、答题方式答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构高等数学约78%线性代数约22%四、试卷题型结构单项选择题 8小题，每小题4分，共32分填空题 6小题，每小题4分，共24分解答题（包括证明题） 9小题,共94分►高等数学一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系。
了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念。
5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系.6。
掌握极限的性质及四则运算法则。
7.掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法.8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限.9。
理解函数连续性的概念(含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质.二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线、导数和微分的四则运算、基本初等函数的导数、复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法、高阶导数、一阶微分形式的不变性、微分中值定理洛必达（L'Hospital)法则、函数单调性的判别、函数的极值、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线、函数图形的描绘、函数的最大值与最小值、弧微分、曲率的概念、曲率圆与曲率半径考试要求1。
2020年全国硕士研究生入学统一考试(高等数学二)真题及答案解析
x = −1: lim f (x) = ∞ ，则 x = −1 为第二类间断点； x→−1
1
1
x=
0 : lim x→0
f (x) =
lim
x→0
e1− (ex
x ln(1+ x) −1)(x − 2)
=
lim e1−x ⋅ x x→0 x(x − 2)
=
−1 2e
，则 x = 0 为可 = ∞ ，则 x = 1 为第二类间断点； x→1+
1
2 arcsin
xd arcsin
x
0 x(1− x)
0 1− ( x)2
0
=
(arcsin
x= )2 |10
(= π )2 2
π2 4
故应选(A)
(4)已知函数= f (x) x2 ln(1− x) ，当 n ≥ 3 时， f (n) (0) = ( )
(A) − n! n−2
【答案】A 【解析】
(D)
sin3 tdt= , m
3= , n
2 ，则 n(m +1) =5
0
2
故应选(D)
1
(2)函数
f
(x)
=
e x−1 ln |1+ x | (ex −1)(x − 2)
的第二类间断点的个数为(
)
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
【答案】C
【解析】由 f (x) 的表达式可知， f (x) 共有四个间断点，分别为
(B) n! n−2
(C) − (n − 2)! n
(D) (n − 2)! n
由 ln(1+ x) =x − x2 + x3 − + (−1)n−1 xn + ο (xn ) 2 3 n
2023年全国硕士研究生招生考试试题及答案解析(数学二)
2023年全国硕士研究生招生考试数学试题（数学二）一、选择题:1～10小题,每小题5分,共50分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置．(1)1ln 1y x e x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭的斜渐近线方程是()(A)y x e =+(B)1y x e =+(C)yx=(D)1y x e=-(2)函数0()(1)cos ,0x f x x x x≤=+>⎩的原函数为()(A))ln ,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x⎧-≤⎪=⎨⎪+->⎩(B))ln 1,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x⎧+≤⎪=⎨⎪+->⎩(C))ln ,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x⎧≤⎪=⎨⎪++>⎩(D))ln 1,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩(3)设数列{}n x ,{}n y 满足211111,sin ,2n n n n x y x x y y ++====,当n →∞时()(A)n x 是n y 的高阶无穷小(B)n y 是n x 的高阶无穷小(C)n x 是n y 的等价无穷小(D)n x 是n y 的同阶但非等价无穷小(4)已知微分方程0y ay by '''++=的解在(,)-∞+∞上有界，则,a b 的取值范围为()(A)0,0a b <>(B)0,0a b >>(C)0,0a b =>(D)0,0a b =<(5)设函数()y f x =由2sin x t ty t t⎧=+⎪⎨=⎪⎩确定，则()(A)()f x 连续，'(0)f 不存在(B)'(0)f 不存在，()f x 在0x =处不连续(C)'()f x 连续，(0)f "不存在(D)(0)f "存在，()f x "在0x =处不连续(6)若函数121()(ln )αα+∞+=⎰f dx x x 在0=αα处取得最小值，则0=α()(A)1ln(ln 2)-(B)ln(ln 2)-(C)1ln 2-(D)ln 2(7)设函数2()()xf x x a e =+，若()f x 没有极值点，但曲线()y f x =有拐点，则a 的取值范围是()(A)[)0,1(B)[)1,+∞(C)[)1,2(D)[)2,+∞(8)设,A B 为n 阶可逆矩阵，E 为n 阶单位矩阵，*M 为矩阵M 的伴随矩阵，则*A E OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭()(A)*****0A B B A A B ⎛⎫-⎪⎝⎭(B)****0A B A B B A ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭(C)****0B A B A A B ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭(D)****0B A A B A B ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭(9)二次型222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--的规范形为()(A)2212y y +(B)2212y y -(C)2221234y y y +-(D)222123y y y +-(10)已知向量12121221=2=1=5=03191ααββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，若γ既可由12αα，线性表示，也可由12ββ，线性表示，则γ=()(A)33,4k k R ⎛⎫⎪∈ ⎪⎪⎝⎭(B)35,10k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭(C)11,2k k R -⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭(D)15,8k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭二、填空题:11～16小题，每小题5分，共30分．(11)当0x →时，函数2()ln(1)=+++f x ax bx x 与2()cos x g x ex =-是等价无穷小，则ab =_______.(12)曲线y =⎰的弧长为________.(13)设函数(,)=z z x y 由2ze xz x y +=-确定，则22(1,1)zx ∂=∂________.(14)曲线35332=+x y y 在1x =对应点处的法线斜率为________.(15)设连续函数()f x 满足：(2)()f x f x x +-=，2()0f x dx =⎰，则31()f x dx =⎰________.(16)已知线性方程组13123123121202ax x x ax x x x ax ax bx +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩有解，其,a b 为常数，若0111412a a a=则，11120a a ab =________.三、解答题:17～22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本题满分10分)设曲线L ：()()y x x e y =>经过点2(,0)e ，L 上任一点(,)P x y 到y 轴的距离等于该点处的切线在y 轴上的截距，(Ⅰ)求()y x .(Ⅱ)在L 上求一点，使该点的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，并求此最小面积.(18)(本题满分12分)求函数2cos (,)2yx f x y xe=+的极值.(19)(本题满分12分)已知平面区域(,)01D x y y x ⎧⎫=≤≤≥⎨⎬⎩⎭，(Ⅰ)求D 的面积.(Ⅱ)求D 绕x 轴旋转所成旋转体的体积.(20)(本题满分12分)设平面有界区域D 位于第一象限，由曲线221x y xy +-=，222x y xy +-=与直线y =，0y =围成，计算2213Ddxdy x y +⎰⎰.(21)(本题满分12分)设函数()f x 在[],a a -上具有2阶连续导数，证明：(Ⅰ)若(0)0f =，则存在(,)a a ξ∈-，使得[]21()()()ξ''=+-f f a f a a .(Ⅱ)若()f x 在(,)a a -内取得极值，则存在(,)a a η∈-使得21()()()2f f a f a aη''≥--.(22)(本题满分12分)设矩阵A 满足：对任意123,,x x x 均有112321233232x x x x A x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)求可逆矩阵P 与对角矩阵Λ，使得1-=ΛP AP .2023年答案及解析（数学二）一、选择题:1～10小题,每小题5分,共50分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置．(1)【答案】(B)【解析】1ln()11limlim limln()11→∞→∞→∞+-===+=-x x x x e yx k e x x x 11lim()lim[ln()]lim [ln()1]11→∞→∞→∞=-=+-=+---x x x b y kx x e x x e x x 11lim ln[1lim .(1)(1)→∞→∞=+==--x x x x e x e x e所以斜渐近线方程为1.=+y x e(2)【答案】(D)【解析】当0≤x 时，1()ln(==++⎰f x dx x C当0>x时，()(1)cos(1)sin(1)sin sin=+=+=+-⎰⎰⎰⎰f x dx x xdx x d x x x xdx2(1)sin cos=+++x x x C原函数在(,)-∞+∞内连续，则在0=x处11lim ln(-→+=xx C C，22lim(1)sin cos1+→+++=+xx x x C C所以121=+C C，令2=C C，则11=+C C，故ln(1,0()(1)sin cos,0⎧⎪++≤=⎨+++>⎪⎩⎰x C xf x dxx x x C x，结合选项，令=C，则()f x的一个原函数为)1,0().(1)sin cos,0⎧⎪+≤=⎨++>⎪⎩x xF xx x x x(3)【答案】(B)【解析】在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭中，2sinx xπ<故12sinn n nx x xπ+=>112n ny y+<1111122444n nn n nn n ny y y yx x x xππππ++⎛⎫⎛⎫⇒<⋅=⋅===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Llim0nnnyx→∞⇒=.故n y是n x的高阶无穷小.(4)【答案】(C)【解析】微分方程0'''++=y ay by的特征方程为20++=a bλλ，当240∆=->a b时，特征方程有两个不同的实根12,λλ，则12,λλ至少有一个不等于零，若12,C C都不为零，则微分方程的解1212--=+x xy C e C eλλ在(,)-∞+∞无界；当240∆=-=a b时，特征方程有两个相同的实根，1,22=-aλ，若20≠C ，则微分方程的解2212--=+a x a x y C eC xe 在(,)-∞+∞无界；当240∆=-<a b 时，特征方程的根为1,222=-±a b a i λ，则通解为212(cos sin )22-=+ax y eC x C x ，此时，要使微分方程的解在(,)-∞+∞有界，则0=a ，再由240∆=-<a b ，知0.>b (5)【答案】(C)【解析】1)当0t >时，3sin cos ,sin 3x t dy t t ty t t dx =⎧+=⎨=⎩；当0t <时，sin cos ,sin 1x t dy t t ty t t dx =⎧--=⎨=-⎩；当0t =时，因为()()()000sin '0lim lim 03x t f x f t tf x t+++→→-===；()()()000sin '0lim lim 0x t f x f t tf x t---→→--===所以()'00f =.2)()()()()000sin cos sin cos lim 'lim 0'0;lim 'lim 0'0;33x t x t t t t t t t f x f f x f ++--→→→→+--======所以()()0lim ''00x f x f →==，即()'f x 在0x =连续.3)当0t =时，因为()()()00''0sin cos 2''0lim lim 339x t f x f t t t f x t +++→→-+===⋅；()()()00''0sin cos ''0lim lim 2x t f x f t t tf x t---→→---===-所以()''0f 不存在.(6)【答案】(A)【解析】当0α>时()()()12211111()ln ln ln 2f dx x x x αααααα+∞+∞+==-⋅=⋅⎰所以()()()211ln ln 21111'()ln ln 20ln 2ln 2ln 2f αααααααα⎛⎫=-⋅-⋅=-⋅+= ⎪⎝⎭，即01ln ln 2α=-.(7)【答案】(C)【解析】()()()222(),'()2'()42xxxf x x a e f x x a x e f x x x a e =+=++=+++，，由于()f x 无极值点，所以440a -≤，即1a ≥；由于()f x 有拐点，所以()16420a -+>，即2a <；综上所述[)1,2a ∈.(8)【答案】(D)【解析】结合伴随矩阵的核心公式，代入(D)计算知*********A EB A A B B AA AA B A B O B OA B O A BB ⎛⎫⎛⎫--+⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭**2⎛⎫⎛⎫-+=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n B A EOB A E A B A B A B E OA B E O A B E ，故(D)正确.(9)【答案】(B)【解析】由已知()222123123121323,,233228f x x x x x x x x x x x x =--+++，则其对应的矩阵211134143A ⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭由()()211134730143E A λλλλλλλ----=-+-=+-=--+,得A 的特征值为3,7,0-故选(B).(10)【答案】(D)【解析】设11221122r x x y y ααββ=+=+则112211220x x y y ααββ+--=又()121212211003,,,2150010131910011ααββ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--=-→- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭故()()1212,,,3,1,1,1,TTx x y y c c R=--∈所以()()()121,5,81,5,81,5,8,TTTr c c c c k k R ββ=-+=---=-=∈.二、填空题:11～16小题，每小题5分，共30分．(11)【答案】2-【解析】由2200()ln(1)lim lim ()cos x x x f x ax bx x g x e x →→+++=-22222221()211()1()2ax bx x x x x x x x οοο++-+=⎡⎤++--+⎢⎥⎣⎦1=可得10a +=，1322b -=，即1,2a b =-=,2ab =-.(12)43π【解析】y '=由弧长公式可得l ==2sin x t =23024cos tdtπ⎰30441cos 23ππ=+=⎰tdt .(13)【答案】23-【解析】两边同时对x 求导得：02e z-=∂∂⋅++∂∂⋅xzx z x z ①两边再同时对x 求导得：2222e e 0zz z z z z z z x x x x x x x∂∂∂∂∂∂⋅⋅+⋅+++⋅=∂∂∂∂∂∂②将1,1x y ==代入原方程得10ze z z +=⇒=，代入①式得1200=∂∂⇒=∂∂++∂∂⋅xz x z x z e .代入②式得2301112222220-=∂∂⇒=∂∂+++∂∂⋅+⋅x z x z x z e e .(14)【答案】119-【解析】两边对x 求导：242956''=⋅+⋅x y y y y ①当1=x 时，代入原方程得12335=⇒+=y y y 将1,1==x y 代入①式得(1,1)995y 6y y |11'''=+⇒=,所以曲线在1=x 处的法线斜率为119-.(15)【答案】21【解析】⎰⎰⎰+=312132)()()(dxx f dx x f dx x f ⎰⎰++=211)2()(dxx f dx x f⎰⎰++=211])([)(dxx x f dx x f ⎰⎰⎰++=21101)()(xdxdx x f dx x f ⎰⎰+=201)(xdxdx x f 210+=21=(16)【答案】8【解析】由已知()(),34r A r A b =≤<，故,0A b =即()()1444011110111110,1112211112240120012002a a a a a Ab a a a a a baa ba b++==⋅-+⋅-=-+⋅=故111280a a a b=.三、解答题:17～22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)【解析】(Ⅰ)曲线L 在点(,)P x y 处的切线方程为()Y y y X x '-=-，令0X =，则切线在y 轴上的截距为Y y xy '=-，则x y xy '=-，即11y y x'-=-，解得()(ln )y x x C x =-，其中C 为任意常数.又2()0y e =，则2C =，故()(2ln )y x x x =-.(Ⅱ)设曲线L 在点(,(2ln ))x x x -处的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，此时切线方程为(2ln )(1ln )()Y x x x X x --=--.令0Y =，则ln 1xX x =-；令0X =，则Y x =.故切线与两坐标轴所围三角形面积为211()22ln 12(ln 1)x x S x XY x x x ==⋅⋅=--，则2(2ln 3)()2(ln 1)x x S x x -'=-.令()0S x '=，得驻点32x e =.当32e x e <<时，()0S x '<；当32x e >时，()0S x '>，故()S x 在32x e =处取得极小值，同时也取最小值，且最小值为332()S e e =.(18)【解析】cos cos 0(sin )0y x yy f e x f xe y '⎧=+=⎪⎨'=-=⎪⎩，得驻点为：1(,)e k π--，其中k 为奇数；(,)e k π-，其中k 为偶数.则cos cos 2cos 1(sin )sin (cos )xxy xyy y yy f f e y f xe y xe y ''⎧=⎪''=-⎨⎪''=+-⎩代入1(,)e k π--，其中k 为奇数，得210xxxyyyA fB fC f e -''⎧==⎪''==⎨⎪''==-⎩，20AC B -<，故1(,)e k π--不是极值点；代入(,)e k π-，其中k 为偶数，得210xxxyyy A f B f C f e ''⎧==⎪''==⎨⎪''==⎩，20AC B ->且0A >，故(,)e k π-是极小值点，2(,)2e f e k π-=-为极小值.(19)【解析】(Ⅰ)由题设条件可知：+++2111=1)(1)2tt S dt t t ∞∞∞===+-⎰⎰；(Ⅱ)旋转体体积22222111111(1(1)(1)4πππππ+∞+∞+∞⎡⎤====-⎢⎥++⎣⎦⎰⎰⎰V y dx dx dx x x x x .(20)【解析】本题目采用极坐标进行计算2ln 383tan arctan 312ln 21tan )ta 3(12ln cos )ta 3(12ln 212ln )sin cos 3(1ln )sin cos 3(11)sin cos 3(1)sin cos 3(131303023022302230cos sin 12cos sin 1122cos sin 12cos sin 112230cos sin 12cos sin 112223022πθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθσπππππθθθθθθθθπθθθθπ=⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅+=⋅+=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰------d n d n d d r d r d rd r d d y x D(21)【解析】(Ⅰ)证明:22()()()(0)(0)(0),02!2!f f f x f f x x f x x x ηηη''''''=++=+介于与之间，则211()()(0),02!f f a f a a a ηη'''=+<<①()222()()(0),02!f f a f a a a ηη'''-=-+-<<②①+②得：[]212()()()()2a f a f a f f ηη''''+-=+③又()f x ''在[]21,ηη上连续，则必有最大值M 与最小值m ，即()()12;;m f M m f M ηη''''≤≤≤≤从而()()12;2f f m M ηη''''+≤≤由介值定理得：存在[]()21,,ξηη∈⊂-a a ，有()()()122f f f ηηξ''''+''=，代入③得：()()22()()()(),f a f a f a f a a f f a ξξ+-''''+-==即(Ⅱ)证明：设()0(),f x x x a a =∈-在取极值，且0()f x x x =在可导，则0()0f x '=.又()()()22000000()()()()()(),02!2!f f f x f x f x x x x x f x x x x γγγ'''''=+-+-=+-介于与之间，则()21001()()(),02!f f a f x a x a γγ''-=+---<<()22002()()(),02!f f a f x a x a γγ''=+-<<从而()()()()22020111()()22f a f a a x f a x f γγ''''--=--+()()()()2202011122a x f a x f γγ''''≤-++又()f x ''连续，设(){}()12max,M f f γγ''''=，则()()()222200011()()22f a f a M a x M a x M a x --≤++-=+又()0,x a a ∈-，则()2220()()2f a f a M a x Ma --≤+≤，则21()()2M f a f a a ≥--，即存在()12,a a ηγηγ==∈-或，有()21()()2f f a f a aη''≥--(22)【解析】(I)因为112312123232331112211011x x x x x A x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭对任意的1x ，2x ，3x 均成立，所以111211011A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭(II)1111111211(1)21111011E A λλλλλλλλ---+----=-+-=-⋅+⋅-+-+-+2(1)(2)2(2)(2)(2)(1)0λλλλλλλ=-+-+=+-+=.所以A 的特征值为1232,2,1λλλ=-==-.12λ=-时，1311100211011011000E A λ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=---→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，可得特征向量1(0,1,1)T α=-；22λ=时，2111104231013013000E A λ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，可得特征向量2(4,3,1)T α=；31λ=-时，3211201201010010000E A λ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，可得特征向量3(1,0,2)T α=-；令123041(,,)130112P ααα⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭，则1200020001P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.。
2024研究生入学考试数学二
有关研究生入学考试“数学二”的考试内容
有关研究生入学考试“数学二”的考试内容如下：
研究生入学考试数学二主要包括高等数学和线性代数两部分内容。
具体来说，高等数学部分主要涉及函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分学等方面的知识和能力。
线性代数部分主要涉及行列式、矩阵、向量、线性方程组、特征值和特征向量等方面的知识和能力。
在考试形式和题型上，数学二一般为填空题和解答题两种题型，其中填空题主要考察基本概念和基础知识的掌握程度，而解答题则主要考察考生对知识点的综合运用能力和解题技巧。
总体来说，研究生入学考试数学二的难度较大，需要考生具备扎实的数学基础和较强的分析能力。
同时，考生还需要掌握各种题型的解题方法和技巧，以便在考试中灵活应对各种题目。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
工商管理硕士入学考试-数学机考-(二)(总分：250.00，做题时间：90分钟)一、问题求解题(总题数：50，分数：250.00)1.In a certain company, the ratio of the number of women employees to the number of men employees is 3 to2. If the total number of employees is 240, then how many of the employees are men?(A) 40 (B) 48 (C) 96(D) 144 (E) 160（分数：5.00）A.B.C.D.E.2.Which of the following can be expressed as the sum of three consecutive integers?(A) 17 (B) 23 (C) 25(D) 30 (E) 40（分数：5.00）A.B.C.D.E.3.If n is a positive integer and n2 is divisible by 72, then the largest positive integer that must divide n is(A) 6 (B) 12 (C) 24(D) 36 (E) 48（分数：5.00）A.B.C.D.E.4.In a certain population, 40 percent of all people have biological characteristic X; the others do not. If 8,000 people have characteristic X, how many people do not have X?(A) 3200 (B) 4800 (C) 12,000(D) 16,000 (E) 20,000（分数：5.00）A.B.C.D.E.5.00）A.B.C.D.E.6.If cylinder P has a height twice that of cylinder Q and a radius half that of cylinder Q, what is the ratio between the volume of cylinder P and the volume of cylinder Q?(A) 1:8 (B) 1:4 (C) 1:2(D) 1:1 (E) 2:1（分数：5.00）A.B.C.D.E.7.During a sale at an office supply store, for every box of paper clips purchased for 15 cents,a second box can be purchased for 4 cents. How many boxes of paper clips did Paul buy if he spent91 cents on boxes of paper clips?(A) 6 (B) 7 (C) 8(D) 9 (E) 10（分数：5.00）A.B.C.D.E.8.A prize of $240 is divided between two persons. If one person receives $180, then what is the difference between the amounts received by the persons?(A) $30 (B) $60 (C) $120(D) $210 (E) $420（分数：5.00）A.B.C.D.E.9.the higher total number of votes from the five districts was declared the winner. Which district had the greatest number of votes for the winner?(A) 1 (B) 2 (C) 3(D) 4 (E) 5（分数：5.00）A.B.C.D.E.10.airline. A passenger bought a ticket at this airline for$1,050. The ticket agent informed her that, had she purchased the ticket one day later, she would have paid $210 more. How many days before her departure did she purchase her ticket?(A) 6 days(B) 7days(C) 13 days(D) 14 days(E) 29days（分数：5.00）A.B.C.D.E.11.$ 2000 is deposited into a savings account that earns interest at the rate of 10 percent per year, compounded semiannually. How much money will there be in the account at the end of one year?(A) $2105 (B) $2200 (C) $2205(D) $2400 (E) $2600（分数：5.00）A.B.C.D.E.5.00）A.B.C.D.E.13.If the value of a piece of property decreases by 10 percent while the tax rate on the property increases by 10 percent, what is the effect on the taxes?(A) Taxes increase by 10 percent.(B) Taxes increase by 1 percent.(C) There is no change in taxes.(D) Taxes decrease by 1 percent.(E) Taxes decrease by 10 percent.（分数：5.00）A.B.C.D.E.14.A clothing supplier stores 800 coats in a warehouse, of which 15 percent are full-length coats. If 500 of the shorter length coats are removed from the warehouse, what percent of the remaining coats are full length?(A) 5.62% (B) 9.37% (C)35%(D)40% (E) 48%（分数：5.00）A.B.C.D.E.15.A person is standing on a staircase. He walks clown 4 steps, up 3 steps, down 6 steps, up 2 steps, up 9 steps, and down 2 steps. Where is he standing in relation to the step on which he started?(A) 2 steps above(B) 1 step above(C) the same place(D) 1 step below(E) 2 steps below（分数：5.00）A.B.C.D.E.16.It takes 10 people 16 hours to complete a certain job. How many hours would it take 8 people,5.00）A.B.C.D.E.17.If x, y, and z are positive integers such that x is a factor of y, and x is a multiple of z, which of the following is NOT necessarily an integer?5.00）A.B.C.D.E.5.00）A.B.C.D.E.19.After his biology homework on Monday night, Bernie his remaining homework on Tuesday night. What fraction of his original homework would Bernie have to read on Wednesday night to complete his biology assignment?5.00）A.B.C.D.E.20.Machines A and B always operate independently and at their respective constant rates. When working alone, machine A can fill a production lot in 5 hours, and machine B can fill the same lot in x hours. When the two machines operate simultaneously to fill the production lot, it takes them 2 hours to complete the job. What is the value of x?5.00）A.B.C.E.（分数：5.00）A.B.C.D.E.22.A survey of 100 persons revealed that 72 of them had eaten at restaurant P and that 52 of them had eaten at restaurant Q. Which of the following could not be the number of persons in the surveyed group who had eaten at both P and Q?(A) 20 (B) 24 (C) 30(D) 50 (E) 52（分数：5.00）A.B.C.D.E.23.Candy hearts were marked down from 30% to 50% on Valentine's Day. The following day, candy hearts were marked down an additional 25%. What was the lowest cost of a candy heart that originally sold for $ 28?(A) $7 (B) $12.60 (C) $14(D) $15.40 (E) $21（分数：5.00）A.B.C.D.E.24.A square countertop has a square tile inlay in the center, leaving an untiled strip of uniform width around the tile. If the ratio of the tiled area to the untiled area is 25 to 39, which of the following could be the width, in inches, of tile strip?Ⅰ.1Ⅱ.3Ⅲ.4(A) Ⅰ only(B) Ⅱ only(C) Ⅰ and Ⅱ only(D) Ⅰ and Ⅲ only(E) Ⅰ, Ⅱ, and Ⅲ（分数：5.00）B.C.D.E.25.Tom reads at an average rate of 30 pages per hour, while Jan reads at an average rate of 40 pages per hour. If Tom starts reading a novel at 4: 30, and Jan begins reading an identical copy of the same book at 5: 20, at what time will they be reading the same page?(A) 9:30 (B) 9:00 (C) 8:40(D) 7:50 (E) 7:00（分数：5.00）A.B.C.D.E.26.A recipe for soda requires ωliters of water for every liter of syrup. If soda is made according to this recipe using rn liters of syrup, and sold for j dollars a litter, what will be the gross profit if syrup costs k dollars a liter and water costs nothing?(A) m(ω+k)(C) m(jω-k)(D) (j-k)m(E) jm(1+ω)-km（分数：5.00）A.B.C.D.E.27.(A) 28 (B) 112 (C) 336(D) 448 (E) 784（分数：5.00）A.B.C.D.28.In a certain group of the people are men, the men have brown eyes.have brown eyes, then what fraction of the group are women who do not have brown eyes?5.00）A.B.C.D.E.29.3, k, 2, 8, m, 3The arithmetic mean of the list of numbers above is 4. If k and m are integers and k≠m, what is the median of the list?(A) 2 (B) 2.5 (C) 3(D) 3.5 (E) 4（分数：5.00）A.B.C.D.E.30.A figure that can be folded over along a straight line so that the result is two equal halves which are then lying on top of one another with no overlap is said to have a line of symmetry. Which of the following figures has only one line of symmetry?(A) Square(B) Circle(C) Equilateral triangle(D) Isosceles triangle(E) Rectangle（分数：5.00）A.B.C.D.E.31.A computer is programmed to generate a list of multiples of prime numbers 2, 3, and 5, as shown below：Program 1-List multiples of 2Program 2-List multiples of 3Program 3-list multiples of 5How many integers between 1 and 100 will appear on all three of the lists of the programs produced above?(A) None (B) 1(C) 3 (D) 5(E) An infinite number of integers（分数：5.00）A.B.C.D.E.32.One number will be chosen randomly from each of the sets above. If x represents the chosenwill be an integer?5.00）A.B.C.D.E.33.The arithmetic mean of a data set is 46 and the standard deviation of the set is 4. Which value is exactly 1.5 standard deviations from the arithmetic mean of the set?(A) 42 (B) 44.5 (C) 47.5(D) 50 (E) 52（分数：5.00）A.B.C.D.E.34.The average (arithmetic mean) of five number is 26. After one of the numbers is removed, the average (arithmetic mean) of the remaining numbers is 25. What number has been removed? (A) 20 (B) 25 (C) 26(D) 30 (E) 32（分数：5.00）A.B.C.D.E.35.A truck departed from Newton at 11:53 a.m. and arrived in Far City, 240 miles away, at 4:41 p.m. on the same day. What was the approximate average speed of the truck on this trip?5.00）A.B.C.D.E.36.In 1960, the number of students enrolled at a college was 500. In 1980, the number of students5.00）A.B.C.D.E.37.The diagonal of the floor of a rectangular closet The shorter side of the closet5.00）A.B.C.D.E.38.How many two-digit numbers can be written using digits 0 through 6 if no digit can be repeated and 0 cannot be the first digit?(A) 49 (B) 42 (C) 36(D) 30 (E) 25（分数：5.00）A.B.C.D.E.39.To meet a government requirement, a bottler must test 5 percent of its spring water and 10 percent of its sparkling water for purity. If a customer ordered 120 cases of spring water and 80 cases of sparkling water, what percent of all the cases must the bottler test before he can send it out?(A) 6.5% (B) 7.0% (C) 7.5%(D) 8.0% (E) 8.5%（分数：5.00）A.B.C.D.E.40.The people eating in a certain cafeteria are either faculty members or students, and the number of faculty members is 15 percent of the total number of people in the cafeteria. After some of the students leave, the total number of persons remaining in the cafeteria is 50 percent of the original total. The number of students who left is what fractional part of the original numberof students?5.00）A.B.C.D.E.41.Exactly three years before the year in which Anna was born, the year was 1980 x. In terms of x, on Anna's twentieth birthday, the year will be(A) 1977+x (B) 1997+x (C) 2003-x(D) 2003+x (E) 2006+x（分数：5.00）A.B.C.D.E.（分数：5.00）A.B.C.D.E.43.If the width of a rectangle is increased by 25% while the length remains constant, the resulting area is what percent of the original area?(A) 25% (B) 75% (C) 125%(D) 225%(E) Cannot be determined from the information given.（分数：5.00）A.B.C.D.E.44.Steve gets on the elevator at the 11th floor of a building and rides up at a rate of 57 floors per minute. At the same time Joyce gets on an elevator on the 51st floor of the same building and rides down at a rate of 63 floors per minute. If they continue traveling at these rates, at which floor will their paths cross?(A) 19 (B) 28 (C) 30(D) 32 (E) 44（分数：5.00）A.B.C.D.E.45.A car dealer who gives a customer a 20 percent discount on the list price of a car still realizesa net profit of 25 percent of cost. If the dealer's cost is $4800, what is the usual list price of the car?(A) $6000 (B) $6180 (C) $7200(D) $7500 (E) $8001（分数：5.00）A.B.C.D.E.5.00）A.B.C.D.E.47.A grocer is storing small cereal boxes in large cartons that measure 25 inches by 42 inches by 60 inches. If the measurement of each small cereal box is 7 inches by 6 inches by 5 inches, then what is the maximum number of small cereal boxes that can be placed in each large carton?(A) 25 (B) 210 (C) 252(D) 300 (E) 420（分数：5.00）A.B.C.D.E.the decimal PQ, where P is the tenths' digit and Q is the hundredths' digit?5.00）A.B.C.D.E.49.A department store receives a shipment of 1,000 shirts, for which it pays $9,000. The store sells the shirts at a price 80 percent above cost for one month, after which it reduces the price of the shirts to 20 percent above cost. The store sells 75 percent of the shirts during the first month and 50 percent of the remaining shirts afterward. How much gross income did sales of the shirts generate?(A) $10,o00 (B) $10,800(C) $12,150 (D) $13,500(E) $16,200（分数：5.00）A.B.C.D.E.50.If a certain chemical costs $50 for 30 gallons, then how many gallons of the chemical can be purchased for $625?(A) 12.5 (B) 24 (C) 325(D) 375 (E) 425（分数：5.00）A.B.C.D.E.。