山东省诸城市桃林镇中考数学压轴题专项汇编 专题24 特殊平行四边形的存在性

专题24 特殊平行四边形的存在性

破解策略

在平行四边形的基础上增加一些条件，即可得到特殊的平行四边形

因而可以结合”等腰三角形的存在性”，”直角三角形的存在性”和”平行四边形的存在性”来解决这类问题． 例题讲解

例1：如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2

－2ax －3a （a ＜0）与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）．经过点A 的直线l ：y ＝ax ＋a 与抛物线的另一交点为C ，设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，那么以点A ，C ，P ，Q 为顶点是四边形能否成为矩形?若能，求出点P 的坐标;若不能，请说明理由．

解：以点A ，C ，P ，Q 为都顶点的四边形能成为矩形．

令ax 2

－2a －3a ＝ax ＋a ．解得x 1＝－1，x 2＝4， 所以点A 的坐标为（－1，0），C 的坐标为（4，5a ）．

因为y ＝ax 2

－2ax －3a ，所以抛物线的对称轴为x ＝1．则x P ＝1． ①若AC 是矩形的一条边，如图，

则x A ＋x P ＝x C ＋x Q ，可得x Q ＝－4，从而点Q 坐标为（－4，21a ）． 同样y A ＋y P ＝y C ＋y Q ，可得y P ＝26a ，从而点P 坐标为（1，26a ）．

因为AC ＝PQ ，所以有22＋（26a ）2＝82＋（16a ）2

， 解得)(77,7721舍去=-

=a a ，此时点P 的坐标为（1，7

726-）

②若AC 是矩形的一条对角线，如图．

则x A ＋x C ＝x P ＋x Q ，可得x Q ＝2，从而点Q 坐标为（2，－3a ）． 同样y A ＋y C ＝y P ＋y Q ，可得y P ＝8a ，从而点P 坐标为（1，8a ）．

因为AC ＝PQ ，所以有52＋（5a ）2＝12＋（11a ）2

， 算得)(2

1

,2143舍=-

=a a ，所以此时点P 的坐标为（1，－4） 综上可得，以点A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形能成为矩形，点P 的坐标为（1，7

7

26-

）或（1，－4）．

例2：如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的中心与原点重合，C ，D 两点的坐标分别为（4，0），（0，3）．现有两动点P ，Q 分别从A ，C 同时出发，点P 沿线段AD 向终点D 运动，点Q 沿折线CBA 向终点A 运动，设运动时间为t 秒．

（1）菱形ABCD 的边长是_____，面积是_____，高BE 的长是_____;

（2）若点P 的速度为每秒1个单位．点Q 的速度为每秒k 个单位．在运动过程中，任何时刻都有对应的k 值，使得△APQ 沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形．请探究当t ＝4秒时的情形，并求出k 的值．

解：（1）5，24，4．8．

（2）要使△APQ 沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，翻折前后两个图形是全等的，所以要满足四边形是菱形只需△APQ 为等腰三角形即可．当t ＝4时，AP ＝4．

①如图，当点Q 在线段BC 上时，PQ ≥BE ＞AP ，同理，AQ ＞AP ，所以只存在QA ＝QP 的等腰三角形．

过点Q 作QH ⊥AP 于点H ，交AC 于点F ，则AH ＝PH ＝2

1

AP ＝2 易证：△AFH ∽△CFQ ∽△ADO ， 所以4

3===AO

DO CQ

FQ AH

FH

可得5

22

,1033,23===CQ FQ FH

从而k ＝

10

114=CQ ②当Q 在BA 上时，有两种情况的等腰三角形存在：

（i ）如图1，当AP ＝AQ 时，此时点P ，Q 关于x 轴对称，BQ ＝PD ＝1 所以，k ＝

2

3

4=+BQ CB （ⅱ）如图3，当PA ＝PQ 时，过点P 作PH ⊥AB 于点H ．

易证△AHP ∽△AEB ，所以AH AP AE AB

=

，其中AE ＝227

.5AB BE -= 所以AH ＝2825，AQ ＝2AH ＝5625，所以k ＝97

450

CB BQ +=

． （ⅲ）由①可得，AP 的垂直平分线与BC 相交，所以点Q 在线段AB 上时，不存在AQ ＝PQ 这种情况．

综上所得，满足条件的k 值为32，1110，97

50

．

y x

P Q

H

E A C

B D

O

例3 如图，二次函数2

12

y x x c =

-+的图象与x 轴分别交于A ，B 两点，顶点M 关于x 轴的对称点是M ′．问：是否存在抛物线2

12

y x x c =

-+使得四边形AMBM ′为正方形？若存在，请求出抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．

x

y

B

M′

M

A

O

解：存在

易得AMBM ’是菱彤，所以当AB ＝MM ′时，四边彤AMBM ′是正方形 设点A 的坐标为（x 1，0），B 的坐标为（x 2，0）．

令21

02

x x c -+=

所以x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝2c 所以AB ＝

()

2

12124x x x x +-＝48.c -

点M 的纵坐标为2421

.42

ac b c a --=

若四边形AMBM ’为正方形，

则有21

4822

c c --=⨯．

解得1213

,.22

c c ==-

又因为已知抛物线与x 轴有两个交点， 所以()2

214140.2b ac c ∆=-=--⨯>

解得c ＜

12

， 所以c 的值为3

.2-．

所以存在抛物线213

22

y x x =--，使得四边彤AMBM '为正方形． 进阶训练

1．已知抛物线C 1： y ＝－2x 2

＋8x －6与抛物线C 关于原点对称，抛物线C 2与x 轴分别交于点A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），顶点为M ，抛物线C 2与x 轴分别交于C ，D 两点（点C 在点D 的左侧）顶点为N ． （1）求抛物线C 2的表达式；

（2）若抛物线C 1与抛物线C 2同时以每秒1 个单位的速度沿x 轴方向分别向左、向右运动，此时记A ，B ，C ，D ，M ，N 在某一时刻的新位置分别为A'，B'，C'，D'，M'，N'，当点A'与点D'重合时运动停止，在运动过程中，四边形B'，M'，C'，N'能否形成矩形？ 若能，求出此时运动时间t （秒）的值；若不能，请说明理由．