第一节三角形常应变单元(DOC)

第三章平面问题的有限元法本章通过三角形常应变单元，介绍有限元法应用于弹性体应力分析的基本原理和方法：包括弹性体的离散化，单元特性的分析，刚度矩阵的建立，等效节点力的计算，解答的收敛性以及实施步骤和注意事项，同时对形函数的性质也作简要的叙述。

第一节三角形常应变单元

一、结构离散化

用有限元法分析弹性力学平面问题，第一步就是把原来的连续的弹性体离散化。

(a) (b)

图3.1 弹性体和有限元模型

将整个结构（平板）划分成有限个三角形。这样的三角形称为单元（三角形单元）。

三角形单元的顶点取为节点。3节点三角形单元用边界节点间的直线段来近似板的曲线边界。

这些三角形在其节点处相互连接，组成一个单元集合体，以代替原来的弹性体。

注：1. 全部节点和全部单元一般由1开始按自然顺序编号。2. 节点编码：

总码-----------用于整体分析，如1,2，…，按自然顺序编号局部码--------用于单元分析，i，j，m 要求按逆时针方向的顺序进行编码

每个单元的节点局部码i，j，m和节点总码有一一对应的关系

3. 单元间不能有重叠

4. 一个单元的任一顶点不许为另一单元任一边的内点

5. 所有作用在单元上的载荷，包括集中载荷、表面载荷和体积力，都按虚功等效的原则移置到节点上，成为等效节点载荷。

二、 位移模式

1. 单元节点位移列阵

i

u

图 3.2 平面三角形单元

设单元e 的节点号码为i ，j ，m 。由弹性力学平面可知，单元内任意一点有两个位移分量u ，v ，记为

{}T

f u v ⎡⎤⎣⎦=

故每个节点也有两个位移分量，因此称节点自由度为2。3个节点得位移分量分别是 ,,,,,m m i i j j u v u v u v ，用列阵表示为

{}

i e

i i e j j j m m m u v u v u v δδδδ⎧⎫

⎪⎪⎪⎪⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭

⎪⎪⎪⎪⎩⎭

== （3-1）

称单元自由度是6。其中任一子矩阵为

{}

T

i i

i u v δ⎡⎤⎢⎥⎣⎦

= （i ，j ，m 轮换）

2. 位移模式

结构承受载荷以后发生位移，但位移分布事先并不知道。位移法有限元采用节点位移为基本未知量。因此，在应用位移法有限元时，需要对单元内部的位移分布进行假定，使其满足节点的位移连续条件和单元边界的位移连续条件。

单元位移分布的假定一般选用代数多项式，多项式的系数待定。这是一种近似方法。代数多项式的次数可以选择很高，不过次数越高，分析越麻烦，但精确度越好。

这种假定的单元位移分布形式称为位移模式，它是坐标x 和y 的函数，所以也称为位移函数。

对于3节点三角形单元，选用的位移模式是把单元中任一点的位移u ，v 表示为坐标x 和y 的线性函数，即

123546u x y v x y αααααα⎧⎪⎨

⎪⎩

=++=++ （3-2）

式中512346,,,,,αααααα为待定常数

设各节点坐标为（x i ,y i ）,(x j ,y j ),(x m ,y m )，同时设各节点位移为（u i ,v i ）,(u j ,v j ),(u m ,v m )代入式（3-2）得

i i i y x u 321ααα++=

i i i y x v 654ααα++= j j j y x u 321ααα++=

j j j y x v 654ααα++=

m m m y x u 321ααα++= m m m y x u 654ααα++=

由上式左边的三个方程可以求得

112i i i j j j m m m u x y u x y u x y α=∆，211121i i

j j m m

u y u y u y α=∆，311121i i j j m m x y x y x x α=∆

其中

1211i i

j j m m

x y x y x y ∆=

式中∆为三角形面积，为了保证求得的面积为正值，三个节点i ，j ，m 必须按逆时针编排，如图3-2所示。

将321,,ααα代入式（3-2），经整理得

1[()()()]2m m m m i i i i j j j j u a b x c y u a b x c y u a b x c y u =++++++++∆

其中

m m i j j m

i j m i j a x y x y b y y c x x ⎧⎪⎪

⎨⎪

⎪⎩

=-=-=- （i ，j ，m 轮换） （3-3）

同理得

1[()()()]2m m m m i i i i j j j j v a b x c y v a b x c y v a b x c y v =++++++++∆

若令

1

()2i i i

i N a b x c y =

++∆ （i,j,m 轮换） （3-4） 则得位移模式为

m m i i j j m m i i j j u N u N u N u v N v N v N v ⎧⎪

⎨

⎪⎩

=++=++ （3-5）

也可写成矩阵形式

{}

{}00000

i i e

m i

j j i

j

j j m m u v N N N u u f N v N N N v u v δ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎡⎤

⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭⎢⎥

⎢⎥⎣

⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

=== （3-6）

式中,,m i j N N N 是坐标的线性函数，它们反映了单元的位移状态，所以称为形函数，且称

0000

00m i j m i j N

N N N N N N ⎡⎤

⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎢⎥

⎣

⎦

=

为形函数矩阵 。其中 {}

T

e

m m i i j j u v u v u v δ

⎡⎤⎢⎥⎣

⎦

= 例题1 图示单元，已知各 节点的坐标（单位: m ）， 计算 ：1. 形函数的表达 式；13边中点A 的形函数。

2. 已知各节点的位移：

1（0，-0.001），2（0.002,0），

3（0,0），计算13边中点A 的位移。 图3.3 例题1

y