3-3-1 函数的单调性与导数
3.3.1函数的单调性与导数-题型分类讲解
4.(1)若函数f (x)=kx3-3(k+1)x2-k2+1(k >0)的单调递减区间为
(0,4)，求k的值. (2)若函数f(x)=ax3-x2+x-5在R上单调递增，求a的取值范围. (3)若函数 f (x)=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，求实数m的
取值范围. 1 (4)已知函数 f ( x ) 2ax 2 , x 0,1 ，若 f (x)在(0,1]上是增
) B．单调递减
1 1 C．在0，e上单调递减，在 e，5上单调递增 1 1 D．在0， e上单调递增，在 e，5上单调递减
解析：
函数的定义域为(0，＋∞)． 1 令 y′<0，得 x< . e
1 因为 y′＝ln x＋1，令 y′>0，得 x> ； e 所以函数 y＝xln x
1 (2)由于 f(x)＝4x＋ x，则函数的定义域是{x|x≠0}， 1 而 f′(x)＝4－x2，令 f′(x)＞0， 1 1 解得 x＞2或 x＜－2； 1 1 令 f′(x)＜0，解得 0＜x＜2或－2＜x＜0， 故函数
1 1 f(x)的单调递增区间是2，＋∞和－∞，－2；
3.3.1
函数的单调性与导数 题型
费县二中高二数学
侯庆东
1.用函数的导数判断函数单调性的法则 设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导， (1)如果在(a，b)内，f′(x)>0，则f(x)在此区间是增函数； (2)如果在(a，b)内，f′(x)<0，则f(x)在此区间是减函数．
即函数 f (x)在区间(a, b)内： f ( x ) 0 f(x)在(a, b)内单调递增
数学：3.3.1函数的单调性与导数课件
第一页，编辑于星期日：十二点 三十五分。
一、复习引入:
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时
1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是增函数；
2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是减函数；
的图象就“平缓”一些.
如图,函数 y f (x) 在 (0,b)或 (a,0)内的图 象“陡峭”,在(b,) 或(, a)
内的图象平缓.
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练习
函数 y f (x)的图象如图所示, 试画出导函数 f (x图) 象的
大致形状
第十三页，编辑于星期日：十二点 三十五分。
第二十页，编辑于星期日：十二点 三十五分。
• 解法二：(数形结合)
• 如图所示，f′(x)＝(x－1)[x－(a－1)]．若在 (1,4)内f′(x)≤0，(6，＋∞)内f′(x)≥0，且f′(x)＝0 有一根为1，则另一根在[4,6]上．
所以ff′′((46))≤≥00，， 即35((57－－aa))≤≥00，， 所以 5≤a≤7.
总结
在某个区间上，f '(x)>0(或<0) ，f（x）在这个区间上单调递增 （递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而仅 仅得到 f '(x)>0(或<0)是不够的。还有可能导数等于0也能使 f（x）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号的问题需要 单独验证。
数.
第十六页，编辑于星期日：十二点 三十五分。
练习
1.判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
导数与函数的单调性解析与归纳
导数与函数的单调性解析与归纳导数与函数的单调性在微积分中占据着重要的地位，它们能够帮助我们更深入地了解函数的性质。
本文将围绕导数与函数的单调性展开讨论，并对其中的解析与归纳进行详细阐述。
一、导数的定义与计算方法函数的导数可以理解为函数在某一点上的变化率。
导数的定义可以用极限来表达，即函数在某点处的导数等于该点附近的函数值变化量与自变量变化量的比值，在数学中可以表示为：\[ f'(x) = \lim_{{\Delta x\to 0}}\frac{{f(x+\Delta x)-f(x)}}{{\Delta x}} \]具体计算导数的方法有多种，如基本的导数运算法则、链式法则、高阶导数等。
这些计算方法能够帮助我们在具体问题中快速求得函数的导数。
二、导数与单调性的关系函数的单调性指的是函数在定义域上的增减性质。
导数与函数的单调性有着密切的联系，具体而言，函数在某一区间上单调递增的条件是其导函数大于零，而单调递减的条件是导函数小于零。
通过导数的符号变化，我们可以判断函数的单调性。
三、导数与函数单调性的解析和证明为了判断函数的单调性，我们需要分析函数的导数在定义域内的符号变化。
具体解析单调性的方法有以下几个步骤：1. 求得函数的导数；2. 找出导数的零点，即导数为零的点，这些点即为函数可能改变单调性的位置；3. 针对导函数的零点，作出符号变化表，利用导函数的符号变化可以得出函数的单调性。
举个例子，考虑函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$，我们可以按照上述步骤解析其单调性：1. 求导得到 $f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$；2. 根据 $f'(x) = 0$，我们可以解得导数的零点为 $x_1 = 1-\frac{{\sqrt{3}}}{{3}}$ 和 $x_2 = 1+\frac{{\sqrt{3}}}{{3}}$；3. 绘制导数的符号变化表：\[\begin{array}{ccccc}x & (-\infty, x_1) & x_1 & (x_1, x_2) & x_2 \\f'(x) & \text{负} & 0 & \text{正} & \text{负} \\\end{array}\]根据符号变化表可以得出函数在 $(-\infty, x_1)$ 单调递减，在 $(x_1, x_2)$ 单调递增，在 $(x_2, +\infty)$ 单调递减。
3.3.1 函数的单调性与导数
A.
π 2
,
3π 2
B.(π,2π)
C.
3π 2
,
5π 2
D.(2π,3π)
思路分析:只需判断在哪个区间上导函数的值大于零即可.
答案:B
解析:y'=cos x-xsin x-cos x=-xsin x,若 y=f(x)在某区间内是增
函数,只需在此区间内 y'恒大于零即可.
∴只有选项 B 符合题意,当 x∈(π,2π)时,y'>0 恒成立.
(2)求函数 f(x)=x2-ln x 的单调区间.
思路分析:求函数的单调区间,即求定义域上满足 f'(x)>0 或 f'(x)<0 的区间.
解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=2x-1������ = (
∴当 t<0 时,f(x)的递增区间为
-∞,
������ 2
,(-t,+∞),递减区间为
������ 2
,-t
;
当 t>0 时,f(x)的递增区间为(-∞,-t),
������ 2
,
+
∞
,递减区间为
-������,
������ 2
.
迁移与应用 已知函数 f(x)=12ax2+ln x(a∈R),求 f(x)的单调区间.
则(-9,0)是 3x2-2mx<0 的解集,
∴3×(-9)2-2×(-9)×m=0,m=-227.
∴a≤(2x3)min.∵x∈[2,+∞),y=2x3 是增函数,
高二数学选修1、3-3-1函数的单调性与导数
决问题的熟练程度，达到优化解题思路、简化解题过程的
目的． 2．利用导数的符号判断函数单调性的解题过程中，只 能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，判断函数的 单调区间．
第三章
导数及其应用
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第三章
导数及其应用
1．利用导数判断单调性，是比较好的解题思路其一般 步骤：(1)求导数f′(x)；(2)在函数f(x)的定义域内解不等式 f′(x)>0或f′(x)<0；(3)据(2)的结果确定函数f(x)的单调区间．
第三章
导数及其应用
3．3 导数在研究函数中的应用
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第三章
导数及其应用
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第三章
导数及其应用
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第三章
导数及其应用
1．知识与技能 结合实例，借助几何直观发现函数的单调性与导数的 关系． 2．过程与方法
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能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多
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∴函数f(x)＝x－sinx在(0，＋∞)上是单调增函数
又f(0)＝0∴f(x)＞0对x∈(0，＋∞)恒成立 即：x＞sinx (x＞0)．
第三章
导数及其应用
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第三章
导数及其应用
[例 3]
1 3 1 2 若函数 f(x)＝3x －2ax ＋(a－1)x＋1 在区间
2．如果函数y＝f(x)在x的某个开区间内，总有f′(x)＞0，
则f(x)在这个区间上严格增加，这时该函数在这个区间为 严格增函数；如果函数当自变量x在某区间上，总有f′(x) ＜0，则f(x)在这个区间为 严格减函数 ．
导数与函数的单调性
导数与函数的单调性导数与函数的单调性是微积分中的重要概念，它们能够帮助我们理解函数的变化趋势以及函数在不同区间的单调性。
在本文中，我们将探讨导数与函数的单调性之间的关系，并介绍如何通过导数来确定函数的单调性。
一、导数的定义与意义导数描述了函数在某一点的变化率。
对于函数f(x)来说，其导数可以用以下形式表示：f'(x) = lim┬(h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h 〗其中，h表示自变量x的增量。
导数的几何意义是函数曲线在某一点处的切线的斜率。
二、导数与函数的单调性导数在函数上的正负性与函数的单调性密切相关。
具体而言，当导数大于0时，函数是递增的；当导数小于0时，函数是递减的。
三、通过导数确定函数的单调性要通过导数确定函数的单调性，我们需要进行以下几个步骤：1. 求取函数的导数。
2. 解方程 f'(x) = 0，求得导数的零点。
3. 在导数的零点处画出数轴，将数轴分为小区间。
4. 取各个小区间上的代表点，代入原函数并求出函数值。
5. 通过函数值的正负确定函数在小区间上的单调性。
举例来说，我们考虑函数f(x) = x^2，进行上述步骤：1. 求取导数：f'(x) = 2x2. 解方程 f'(x) = 0：2x = 0解得 x = 0。
3. 在数轴上画出导数的零点x = 0，并将数轴分为三个小区间：(-∞，0)，(0，+∞)。
4. 取小区间上的代表点，例如取小区间 (-∞，0) 的代表点 x = -1，取小区间 (0，+∞) 的代表点 x = 1。
5. 分别代入原函数 f(x) = x^2，求出函数值：f(-1) = (-1)^2 = 1f(1) = (1)^2 = 1根据函数值的正负性，我们可以得出以下结论：在小区间 (-∞，0) 上，函数递增；在小区间 (0，+∞) 上，函数递增。
结论：函数f(x) = x^2 在整个定义域上都是递增的。
通过上述例子，我们可以看出导数与函数的单调性之间的联系。
3.1 函数的单调性和极值
1 2
图3-7
例4 3 2 解 函数 f ( x) (1 x) (3x 2) 的定义域为（ , ），
3 2 f ( x ) ( 1 x ) ( 3 x 2 ) 求函数 的单调区间.
f ' ( x) 3(1 x) 2 (3x 2) 2 6(1 x) 3 (3x 2)
故只能有 f ' ( x0 ) 0 . 我们称使 f ' ( x0 ) 0 的点 x0 为 f ( x) 的驻点.
定理3.7说明,可导的极值点一定是驻点,但是,驻点却不
一定是极值点,如图3-9中的点x3就是其一;而不可导点,也不
23 2 f ( x ) ( x 5 ) ( x 1 ) 一定不是极值点,如图3-7中, 在点 x
x 3 x 的单调区间. 2 f ' ( x ) 3 x 1 ＞0 x (,) 解 由于
例1 求函数 f ( x) =
， 因此 f ( x) 在（ , ）内是单调增加的，如图 3 5 .
图3-5
x 例2 求函数 f ( x) x e 的单调区间. x x 1 e 解 由于 f '( x) 1 e ，令 f ' ( x) 0 ，即 = 0， 得 x 0 .列表3-1讨论如下：
则 f ( x)在 x0 处不取极值.
证 ⑴根据单调性判别法,在( x0 , x0 )内 f ( x) 单调减少,在 ( x0 , x0 )内 f ( x) 单调增加,由 f ( x) 在 x0 处的连续性 ,
对 x ( x0 ) ( x0 , x0 ) 有 f ( x) ＞
在 x0 处 取得极小值. ⑵同理可证.
f ( x0 )
函数的单调性与极值
函数的单调性与极值在数学中，函数的单调性是指函数在定义域内的变化趋势。
它描述了函数图像是上升、下降还是具有其他类似的性质。
而函数的极值则表示函数在某个特定点上取得的最大值或最小值。
函数的单调性与极值是函数分析中常用的重要概念，可用于求解最优化问题、验证数学定理等。
一、函数的单调性函数的单调性分为递增和递减。
当函数随着自变量的增大而增大，或者随着自变量的减小而减小时，称为递增函数。
相反，当函数随着自变量的增大而减小，或者随着自变量的减小而增大时，称为递减函数。
我们以一些常见的函数类型为例，来说明函数的单调性：1. 线性函数：线性函数是指函数的表达式是一次方程的函数，即$f(x)=ax+b$，其中$a$和$b$是常数。
线性函数的单调性取决于斜率$a$的正负性。
当$a>0$时，函数递增；当$a<0$时，函数递减。
2. 幂函数：幂函数是指函数的表达式是$x$的幂次方，即$f(x)= x^n$，其中$n$是常数。
当$n>0$且$n$是奇数时，函数是递增的；当$n>0$且$n$是偶数时，函数是递减的。
3. 指数函数：指数函数是指函数的表达式是以常数为底数的指数函数，即$f(x)=a^x$，其中$a$是常数且$a>0$且$a\neq1$。
当$a>1$时，函数递增；当$0<a<1$时，函数递减。
4. 对数函数：对数函数是指函数的表达式是对数函数，即$f(x)=\log_a x$，其中$a$是常数且$a>0$且$a\neq1$。
当$a>1$时，函数递增；当$0<a<1$时，函数递减。
二、函数的极值函数的极值包括最大值和最小值。
当函数在某个点上取得最大值时，称为函数的最大值；当函数在某个点上取得最小值时，称为函数的最小值。
极值点也被称为驻点。
函数的极值可以通过求导数的方法来获得。
首先，求函数的导数，然后令导数等于零，解方程得到极值点的横坐标。
进一步，通过二阶导数的正负性来判断极值点的类型。
高考数学一轮复习全套课时作业3-3-1导数的应用--极值与最值
题组层级快练3.3.1导数的应用--极值与最值一、单项选择题1．(2021·辽宁沈阳一模)设函数f(x)＝xe x＋1，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点2．(2021·河北邯郸一中月考)若函数f(x)＝ae x－sinx在x＝0处有极值，则a的值为() A．－1B．0C．1D．e3．函数f(x)＝12x－sinx在0，π2上的最小值和最大值分别是()A.π6－32，0 B.π4－1，0 C.π6－32，π4－1D．－12，124．(2021·杭州学军中学模拟)函数f(x)＝xe－x，x∈[0，4]的最小值为()A．0 B.1e C.4e4D.2e25．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是()A．(－2，2)B．[－2，2]C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)6．若函数y＝ax3＋bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和13，则()A．a－2b＝0B．2a－b＝0C．2a＋b＝0D．a＋2b＝07．设二次函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是()二、多项选择题8．已知函数f(x)＝x3－ax－1，以下结论正确的是()A．当a＝0时，函数f(x)的图象的对称中心为(0，－1)B．当a≥3时，函数f(x)在(－1，1)上为单调递减函数C．若函数f(x)在(－1，1)上不单调，则0<a<3D．当a＝12时，f(x)在[－4，5]上的最大值为159．(2021·山东临沂期末)已知函数f(x)＝x＋sinx－xcosx的定义域为[－2π，2π)，则()A．f(x)为奇函数B．f(x)在[0，π)上单调递增C．f(x)恰有4个极大值点D．f(x)有且仅有4个极值点三、填空题与解答题10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则f(2)的值为________．11．(2021·内蒙古兴安盟模拟)已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)，在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为________．12．(2018·江苏)若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[－1，1]上的最大值与最小值的和为________．13．(2021·广东省高二期末)已知函数f(x)＝13x3－4x＋3.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在区间[－3，5]上的最大值与最小值．14．已知函数f(x)＝(x2－2x)e x(x∈R，e为自然对数的底数)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在区间[0，m]上的最大值和最小值．15．(2021·天水一中诊断)若函数f(x)＝ax22－(1＋2a)·x＋2lnx(a>0)a的取值范围是()B．(1，＋∞)C．(1，2)D．(2，＋∞)16．(2016·北京)设函数f(x)3－3x，x≤a，2x，x>a.(1)若a＝0，则f(x)的最大值为________；(2)若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是________．17．(2020·衡水中学调研卷)已知函数f(x)＝xlnx.(1)求函数f(x)的极值点；(2)设函数g(x)＝f(x)－a(x－1)，其中a∈R，求函数g(x)在区间[1，e]上的最小值．(其中e为自然对数的底数)．3.3.1导数的应用--极值与最值参考答案1．答案D解析由f(x)＝xe x ＋1，可得f ′(x)＝(x ＋1)e x ，令f ′(x)>0可得x>－1，即函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增；令f ′(x)<0可得x<－1，即函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减，所以x ＝－1为f(x)的极小值点．故选D.2．答案C解析f ′(x)＝ae x －cosx ，若函数f(x)＝ae x －sinx 在x ＝0处有极值，则f ′(0)＝a －1＝0，解得a ＝1，经检验a ＝1符合题意．故选C.3．答案A解析函数f(x)＝12x －sinx ，f ′(x)＝12－cosx ，令f ′(x)>0，解得π3＜x ≤π2，令f ′(x)<0，解得0≤x<π3，所以f(x)在0，π2上单调递增，所以f(x)min ＝＝π6－32，而f(0)＝0，＝π4－1<0，故f(x)在区间0，π2上的最小值和最大值分别是π6－32，0.故选A.4．答案A解析f ′(x)＝1－xe x，当x ∈[0，1)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，当x ∈(1，4]时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，因为f(0)＝0，f(4)＝4e 4>0，所以当x ＝0时，f(x)有最小值，且最小值为0.故选A.5．答案A解析f ′(x)＝3x 2－3，令f ′(x)＝0，得x ＝±1.三次方程f(x)＝0有3个根⇔f(x)极大值>0且f(x)极小值<0.∵x ＝－1为极大值点，x ＝1为极小值点，（－1）＝2＋a>0，（1）＝a －2<0，∴－2<a<2.故选A.6．答案D解析y ′＝3ax 2＋2bx ，据题意，0，13是方程3ax 2＋2bx ＝0的两根，∴－2b 3a ＝13，∴a ＋2b ＝0.故选D.7．答案C解析由f(x)在x ＝－2处取得极小值可知，当x<－2时，f ′(x)<0，则xf ′(x)>0；当－2<x<0时，f ′(x)>0，则xf ′(x)<0；当x ＞0时，f ′(x)＞0，则xf ′(x)＞0.故选C.8．答案ABC解析本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值．y ＝x 3为R 上的奇函数，其图象的对称中心为原点，当a ＝0时，根据平移知识，函数f(x)的图象的对称中心为(0，－1)，A 正确；由题意知f ′(x)＝3x 2－a ，因为当－1<x<1时，3x 2<3，又a ≥3，所以f ′(x)<0在(－1，1)上恒成立，所以函数f(x)在(－1，1)上为单调递减函数，B 正确；f ′(x)＝3x 2－a ，当a ≤0时，f ′(x)≥0，f ′(x)不恒等于0，此时f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，不符合题意，故a>0.令f ′(x)＝0，解得x ＝±3a3.因为f(x)在(－1，1)上不单调，所以f ′(x)＝0在(－1，1)上有解，所以0<3a3<1，解得0<a<3，C 正确；令f ′(x)＝3x 2－12＝0，得x ＝±2.根据函数的单调性，f(x)在[－4，5]上的最大值只可能为f(－2)或f(5)．因为f(－2)＝15，f(5)＝64，所以最大值为64，D 错误．故选ABC.9．答案ABD解析A 显然正确；∵f(x)＝x ＋sinx －xcosx ，∴f ′(x)＝1＋cosx －(cosx －xsinx)＝1＋xsinx.当x ∈[0，π)时，f ′(x)>0，则f(x)在[0，π)上单调递增．显然f ′(0)≠0，令f ′(x)＝0，得sinx ＝－1x ，分别作出函数y＝sinx ，y ＝－1x的图象如图．由图可知，这两个函数的图象在区间[－2π，2π)上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故f(x)在区间[－2π，2π)上有4个极值点，且只有2个极大值点．10．答案18解析f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b 1）＝10，1）＝0，2＋a ＋b ＋1＝10，＋b ＋3＝0，＝4，＝－11＝－3，＝3.当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x)＝3(x －1)2≥0，f(x)无极值，故舍去．当a ＝4，b ＝－11时，令f ′(x)＝0，得x 1＝1，x 2＝－113.当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：∴f(x)＝x 3＋4x 2－11x ＋16，f(2)＝18.11．答案－37解析由已知可得，f ′(x)＝6x 2－12x ，由6x 2－12x ≥0得x ≥2或x ≤0，因此当x ∈[2，＋∞)，(－∞，0]时f(x)单调递增，当x ∈[0，2]时f(x)单调递减，又因为x ∈[－2，2]，所以当x ∈[－2，0]时f(x)单调递增，当x ∈[0，2]时f(x)单调递减，所以f(x)max ＝f(0)＝m ＝3，故有f(x)＝2x 3－6x 2＋3，所以f(－2)＝－37，f(2)＝－5.因为f(－2)＝－37＜f(2)＝－5，所以函数f(x)的最小值为f(－2)＝－37.12．答案－3解析令f(x)＝2x 3－ax 2＋1＝0⇒a ＝2x ＋1x2.令g(x)＝2x ＋1x 2(x>0)，g ′(x)＝2－2x 3>0⇒x>1⇒g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．∵有唯一零点，∴a ＝g(1)＝2＋1＝3⇒f(x)＝2x 3－3x 2＋1.求导可知在[－1，1]上，f(x)min ＝f(－1)＝－4，f(x)max ＝f(0)＝1，∴f(x)min ＋f(x)max ＝－3.13．答案(1)函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调递减区间为(－2，2)(2)函数f(x)在区间[－3，5]上的最大值为743，最小值为－73思路(1)求导后，利用导数的符号可得函数的单调区间；(2)由(1)知，函数f(x)在[－3，－2)上单调递增，在[－2，2]上单调递减，在(2，5]上单调递增，根据单调性可得最大最小值．解析(1)f ′(x)＝x 2－4，由f ′(x)>0，得x>2或x<－2；由f ′(x)<0，得－2<x<2，所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调递减区间为(－2，2)．(2)由(1)知，函数f(x)在[－3，－2)上单调递增，在(－2，2)上单调递减，在(2，5]上单调递增，因为f(－3)＝13×(－3)3－4×(－3)＋3＝6，f(2)＝13×23－4×2＋3＝－73，f(－2)＝13×(－2)3－4×(－2)＋3＝253，f(5)＝13×53－4×5＋3＝743，所以函数f(x)在区间[－3，5]上的最大值为743，最小值为－73.14．答案略解析(1)f(x)＝(x 2－2x)e x ，求导得f ′(x)＝e x (x 2－2)．因为e x >0，令f ′(x)＝e x (x 2－2)>0，即x 2－2>0，解得x<－2或x> 2.令f ′(x)＝e x (x 2－2)<0，即x 2－2<0，解得－2<x< 2.所以函数f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上单调递增，在(－2，2)上单调递减．即函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调递减区间为(－2，2)．(2)①当0<m ≤2时，因为f(x)在(－2，2)上单调递减，所以f(x)在区间[0，m]上的最大值为f(0)＝0，f(x)在区间[0，m]上的最小值为f(m)＝(m 2－2m)e m .②当2<m ≤2时，因为f(x)在(－2，2)上单调递减，f(x)在(2，＋∞)上单调递增，且f(0)＝f(2)＝0，所以f(x)在[0，m]上的最大值为f(0)＝0，f(x)在区间[0，m]上的最小值为f(2)＝(2－22)e 2.③当m>2时，因为f(x)在(－2，2)上单调递减，f(x)在(2，＋∞)上单调递增，且f(m)>0＝f(0)，所以f(x)在[0，m]上的最大值为f(m)＝(m 2－2m)·e m ，f(x)在区间[0，m]上的最小值为f(2)＝(2－22)e 2.15．思路把函数f(x)题，然后再通过分离参数的方法求出参数a 的取值范围．答案C 解析由f(x)＝ax 22－(1＋2a)x ＋2lnx(a>0，x ＞0)，得导数f ′(x)＝ax －(1＋2a)＋2x(x ＞0)，∵函数f(x)＝ax 22－(1＋2a)x ＋2lnx(a>0)∴方程ax －(1＋2a)＋2x＝0∴a ＝1x 在区间故a ＝1x∈(1，2)，则a 的取值范围是(1，2)．故选C.评说涉及函数的极值问题，往往要使用导数这个解题的工具，在解题时要注意运用等价转化的解题思想．16．答案(1)2(2)(－∞，－1)解析(1)若a ＝0，则f(x)3－3x ，x ≤0，2x ，x>0，当x>0时，－2x<0；当x ≤0时，f ′(x)＝3x 2－3＝3(x ＋1)·(x－1)，令f ′(x)>0，得x<－1，令f ′(x)<0，得－1<x ≤0，所以函数f(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，0]上单调递减，所以函数f(x)在(－∞，0]上的最大值为f(－1)＝2.综上可得，函数f(x)的最大值为2.(2)函数y ＝x 3－3x 与y ＝－2x 的大致图象如图所示，由图可知当f(x)无最大值时，a ∈(－∞，－1)．17．答案(1)极小值点为x ＝1e，无极大值点(2)当a ≤1时，g(x)min ＝0，当1<a<2时，g(x)min ＝a －e a －1，当a ≥2时，g(x)min ＝a ＋e －ae 解析(1)f ′(x)＝lnx ＋1，x>0，由f ′(x)＝0，得x ＝1e .所以f(x)所以x ＝1e 是函数f(x)的极小值点，极大值点不存在．(2)g(x)＝xlnx －a(x －1)，则g ′(x)＝lnx ＋1－a ，由g ′(x)＝0，得x ＝e a －1.所以在区间(0，e a －1)上，g(x)单调递减，在区间(e a －1，＋∞)上，g(x)单调递增．当e a －1≤1，即a ≤1时，在区间[1，e]上，g(x)单调递增，所以g(x)的最小值为g(1)＝0.当1<e a－1<e，即1<a<2时，g(x)的最小值为g(e a－1)＝a－e a－1.当e a－1≥e，即a≥2时，在区间[1，e]上，g(x)单调递减，所以g(x)的最小值为g(e)＝a＋e－ae.综上，当a≤1时，g(x)的最小值为0；当1<a<2时，g(x)的最小值为a－e a－1；当a≥2时，g(x)的最小值为a＋e－ae.。
函数的单调性与极值点的判定
函数的单调性与极值点的判定一、函数的单调性函数的单调性指的是函数在定义域上的增减性质。
通过对函数的导数进行研究可以判断函数的单调性。
1.1 函数递增与递减的定义（1）递增函数：若对于定义域上的任意两个实数x1和x2，当x1 < x2时有f(x1) ≤ f(x2)，则称函数f(x)在定义域上递增。
（2）递减函数：若对于定义域上的任意两个实数x1和x2，当x1 < x2时有f(x1) ≥ f(x2)，则称函数f(x)在定义域上递减。
1.2 寻找函数的单调区间函数的单调区间是指函数在这个区间上具有递增或递减的性质。
寻找函数的单调区间可以通过该函数的导数符号来确定。
（1）当函数的导数大于0时，函数在该区间上递增。
（2）当函数的导数小于0时，函数在该区间上递减。
通过求解函数的导数并进行符号判断，可以找到函数的单调区间。
二、函数的极值点的判定函数的极值点是指函数在该点处取得的最大值或最小值。
2.1 临界点的求解临界点是指函数在该点处的导数等于0或者导数不存在。
通过求解函数的导数，可以找到函数的临界点。
2.2 极值点的判定（1）当函数在临界点处的导数由负数变为正数时，该点为极小值点。
（2）当函数在临界点处的导数由正数变为负数时，该点为极大值点。
（3）当函数在临界点处的导数符号不变时，该点不是极值点。
通过求解函数的导数并研究导数的符号变化，可以判断函数的极值点。
综上所述，函数的单调性和极值点的判定是通过对函数的导数进行研究来完成的。
通过求解导数，并通过导数符号的变化来判断函数的单调性和极值点的性质。
在实际问题中，掌握函数的单调性和极值点的判定方法，可以帮助我们更好地理解函数的性质，进而解决相关的数学问题。
函数的单调性与极值点
函数的单调性与极值点函数的单调性是指函数在定义域内的某个区间上的取值是递增或递减的性质。
而极值点则是函数在定义域内取得最大值或最小值的点。
本文将深入探讨函数的单调性与极值点。
一、函数的单调性函数的单调性分为递增和递减两种情况。
1. 递增函数当函数在定义域内的任意两个数x1、x2满足x1 < x2时，若对应的函数值f(x1) < f(x2)，则称该函数在该区间内是递增的。
简言之，函数的值随着自变量的增大而增大。
举例来说，对于函数f(x) = x2，当x1 = 2，x2 = 3时，f(x1) = 4，f(x2) = 9，由于4 < 9，所以该函数在区间[2, 3]上是递增的。
2. 递减函数当函数在定义域内的任意两个数x1、x2满足x1 < x2时，若对应的函数值f(x1) > f(x2)，则称该函数在该区间内是递减的。
简言之，函数的值随着自变量的增大而减小。
举例来说，对于函数f(x) = -x，当x1 = 2，x2 = 3时，f(x1) = -2，f(x2) = -3，由于-2 > -3，所以该函数在区间[2, 3]上是递减的。
二、极值点极值点是函数在定义域内取得最大值或最小值的点。
1. 极大值点当函数在某点x0的邻近区间内，对于任意的x，有f(x) ≤ f(x0)时，则称该点为函数的极大值点。
例如，对于函数f(x) = x3 - 3x2 + 4，当x0 = 1时，f(x0) = 2。
在x0附近的区间内，对于任意的x，都有f(x) ≤ 2，因此该函数在点x0 = 1处取得极大值。
2. 极小值点当函数在某点x0的邻近区间内，对于任意的x，有f(x) ≥ f(x0)时，则称该点为函数的极小值点。
例如，对于函数f(x) = -x3 + 2x2 - 3，当x0 = 0时，f(x0) = 0。
在x0附近的区间内，对于任意的x，都有f(x) ≥ 0，因此该函数在点x0 = 0处取得极小值。
导数与函数的单调性、极值、最值
[变式训练] (2017·北京卷)已知函数 f(x)＝excos x－x. (1)求曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)求函数 f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值．
解：(1)因为 f(x)＝excos x－x，所以 f(0)＝1， f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，所以 f′(0)＝0， 所以 y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为 y＝1. (2)f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，令 g(x)＝f′(x)，
考点 2 利用导数求函数的最值(讲练互动) 【例】 (2019·广东五校联考)已知函数 f(x)＝ax＋ln x，其中 a 为常数． (1)当 a＝－1 时，求 f(x)的最大值； (2)若 f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求 a 的值． 解：(1)易知 f(x)的定义域为(0，＋∞)， 当 a＝－1 时，f(x)＝－x＋ln x，f′(x)＝－1＋1x＝1－x x， 令 f′(x)＝0，得 x＝1. 当 0<x<1 时，f′(x)>0；当 x>1 时，f′(x)<0.
由题设知 f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得 a＝1. 此时 f(1)＝3e≠0. 所以 a 的值为 1. (2)f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex ＝(ax－1)(x－2)ex. 若 a>12，则当 x∈(1a，2)时，f′(x)<0； 当 x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.
②当 a>0 时，令 f′(x)＝0，得 ex＝a，即 x＝ln a， 当 x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
当 x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0， 所以 f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞) 上单调递增，故 f(x)在 x＝ln a 处取得极小值且极小值为 f(ln a)＝ln a，无极大值． 综上，当 a≤0 时，函数 f(x)无极值； 当 a>0 时，f(x)在 x＝ln a 处取得极小值 ln a，无极大 值．
导数与函数的单调性
导数与函数的单调性函数是数学中的重要概念，而导数是研究函数变化率的工具。
在本文中，我们将探讨导数与函数的单调性之间的关系。
一、导数的定义与计算方法导数描述了函数在某一点的变化率。
对于函数f(x)，其在点x处的导数可以用以下公式表示：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h导数可以理解为函数在某一点的瞬时变化率，也即函数的切线斜率。
二、导数与函数的单调性函数的单调性指的是函数递增或递减的性质。
导数与函数的单调性之间有如下关系：1. 若在某一区间上，函数的导数恒大于零（即导数大于零），则该函数在该区间上是递增的。
这是因为导数大于零意味着函数的变化率始终为正，即函数逐渐增大。
2. 若在某一区间上，函数的导数恒小于零（即导数小于零），则该函数在该区间上是递减的。
这是因为导数小于零意味着函数的变化率始终为负，即函数逐渐减小。
3. 若在某一区间上，函数的导数恒为零（即导数等于零），则该函数在该区间上是常数函数。
这是因为导数为零意味着函数的变化率为零，即函数在该区间上不变化。
基于以上关系，我们可以通过计算函数的导数来确定其在某一区间上的单调性。
三、示例考虑函数f(x) = x^2，我们将通过求导的方式来分析其单调性。
1. 计算导数：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h= lim(h→0) [(x+h)^2 - x^2] / h= lim(h→0) (x^2 + 2xh + h^2 - x^2) / h= lim(h→0) (2xh + h^2) / h= lim(h→0) 2x + h= 2x2. 根据导数的计算结果，得知当2x > 0时，即x > 0时，函数f(x)的导数大于零，即函数递增；当2x < 0时，即x < 0时，函数f(x)的导数小于零，即函数递减。
综上所述，对于函数f(x) = x^2，其在负无穷到0的区间上递减，在0到正无穷的区间上递增。
高二数学选修1、3-3-1函数的单调性与导数
3.3.1函数的单调性与导数一、选择题1．设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ＞0)，则f (x )为增函数的一个充分条件是( )A ．b 2－4ac ＞0B ．b ＞0，c ＞0C ．b ＝0，c ＞0D ．b 2－3ac ＞0[答案] C2．函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调递增区间是( )A ．(0，12)B ．(0，24)C ．(12，＋∞) D ．(－12，0)及(0，12)[答案] C[解析] 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ，令f ′(x )>0，得x >12，∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增．3．(2009·广东文，8)函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是() A ．(－∞，2) B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)[答案] D[解析] 考查导数的简单应用．f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )>0，解得x >2，故选D.4．函数y ＝x sin x ＋cos x ，x ∈(－π，π)的单调增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2B.⎝⎛⎭⎫－π2，0和⎝⎛⎭⎫0，π2C.⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫π2，πD.⎝⎛⎭⎫－π2，0和⎝⎛⎭⎫π2，π[答案] A[解析] y ′＝x cos x ，当－π<x <－π2时，cos x <0，∴y ′＝x cos x >0，当－π2<x<0时，cos x>0，∴y′＝x cos x<0.当0<x<π2cos x>0，∴y′＝x cos x>0.5．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则() A．a≤0 B．a<1C．a<2 D．a≤1 3[答案] A[解析]f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，即a≤0.6．已知a>0，函数f(x)＝－x3＋ax在[1，＋∞)上是单调减函数，则a的最大值为() A．1B．2C．3D．4[答案] C[解析]f′(x)＝－3x2＋a≤0，∴a≤3x2.∴a≤3.7．设f(x)在(a，b)内可导，则f′(x)<0是f(x)在(a，b)上单调递减的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A8．若函数y＝x2－2bx＋6在(2,8)内是增函数，则()A．b≤2 B．b＜2C．b≥2 D．b＞2[答案] A[解析]函数y＝x2－2bx＋6的对称轴为x＝b，要使函数在(2,8)内是增函数，应有b≤2成立．9．(2009·湖南文，7)若函数y＝f(x)的导函数．．．在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()[答案] A[解析] 考查导函数的基本概念及导数的几何意义．∵导函数f ′(x )是增函数，∴切线的斜率随着切点横坐标的增大，逐渐增大，故选A.[点评] B 图中切线斜率逐渐减小，C 图中f ′(x )为常数，D 图中切线斜率先增大后减小．10．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能为( )[答案] D[解析] 函数y ＝f (x )在区间(－∞，0)上单调增，则导函数y ＝f ′(x )在区间(－∞，0)上函数值为正，排除A 、C ，原函数y ＝f (x )在区间(0，＋∞)上先增，再减，最后再增，其导函数y ＝f ′(x )在区间(0，＋∞)上函数值先正，再负，再正，排除B ，故选D.二、填空题11．函数y ＝x 3－x 2－x 的单调递增区间为________．[答案] (－∞，－13)，(1，＋∞) [解析] ∵y ′＝3x 2－2x －1＝(3x ＋1)(x －1)，∴由y ′>0得，x >1或x <－13. 12．若函数y ＝x 3－ax 2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围是____________．[答案] [3，＋∞)[解析] y ′＝3x 2－2ax ，由题意知3x 2－2ax ≤0在区间(0,2)内恒成立，即a ≥32在区间(0,2)上恒成立，∴a ≥3. 13．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则m 的取值范围是________．[答案] m ≥13[解析] 因为f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1在R 上单调，所以f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，由题意可知f (x )在R 上只能递增，∴Δ＝4－12m ≤0.∴m ≥13. 14．若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围________． [答案] a >0[解析] y ′＝－4x 2＋a ，若y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则方程－4x 2＋a ＝0应有两个不等实根，故a >0.三、解答题15．讨论函数f (x )＝bx x 2－1(－1＜x ＜1，b ≠0)的单调性． [解析] ∵f (x )＝bx x 2－1(－1<x <1，b ≠0) ∴f ′(x )＝(bx )′(x 2－1)－bx (x 2－1)′(x 2－1)2＝bx 2－b －2bx 2(x 2－1)2＝－b (1＋x 2)(x 2－1)2∵－1<x <1，∴1－x 2>0，(x 2－1)2>0，①当b >0时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－1,1)上单调递减．②当b <0时，f ′(x )>0，∴函数f (x )在(－1,1)上单调递增．16．已知曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10，点P (x ，y )在该曲线上移动，在P 点处的切线设为l .(1)求证：此函数在R 上单调递增；(2)求l 的斜率的范围．[解析] (1)证明：y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x 2＋2x ＋1)＋3＝3(x ＋1)2＋3>0恒成立，∴此函数在R 上递增．(2)解：由(1)知f ′(x )＝3(x ＋1)2＋3≥3，∴l 的斜率的范围是k ≥3.17．已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )，若函数f (x )＝a ·b 在区间(－1,1)上是增函数，求t 的取值范围．[解析] f (x )＝a ·b ＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋tf ′(x )＝－3x 2＋2x ＋t∵函数f (x )在(－1,1)上是增函数∴f ′(x )≥0对x ∈(－1,1)恒成立∴－3x 2＋2x ＋t ≥0在(－1,1)上恒成立即t ≥3x 2－2x 在(－1,1)上恒成立令g (x )＝3x 2－2，x ∈(－1,1)∴g (x )∈(－13，5) 故要使t ≥3x 2－2x 在区间(－1,1)上恒成立，只需t ≥5即：所求t 的取值范围为：t ≥518．设函数f (x )＝(ax 2－bx )e x (e 为自然对数的底数)的图象与直线ex ＋y ＝0相切于点A ，且点A 的横坐标为1.(1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出在每个区间上的增减性．[解析] (1)f ′(x )＝(2ax －b )e x ＋(ax 2－bx )·e x＝[ax 2＋(2a －b )x －b ]e x ，由于f (x )的图象与直线ex ＋y ＝0相切于点A ，点A 的横坐标为1，则A (1，－e )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝－e f ′(1)＝－e 即⎩⎪⎨⎪⎧(a －b )e ＝－e (3a －2b )e ＝－e ， 解得a ＝1，b ＝2.(2)由a ＝1，b ＝2得f (x )＝(x 2－2x )e x ，定义域为(－∞，＋∞)．f ′(x )＝(x 2－2)e x ＝(x －2)(x ＋2)e x ，令f ′(x )>0，解得x <－2或x > 2.令f ′(x )<0，解得－2<x < 2.故函数f (x )在区间(－∞，－2)和(2，＋∞)上分别单调递增，在区间(－2，2)上单调递减．。
第三节 函数的单调性与导数(知识梳理)
第三节函数的单调性与导数复习目标学法指导了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次). 1.正确对函数求导是研究函数单调性的基础.2.利用函数的单调性与导数符号的关系是解决函数单调性问题的突破口.函数的单调性与导数1.函数y=f(x)在某个区间内可导(1)若f′(x)>0,则f(x)在这个区间内单调递增;(2)若f′(x)<0,则f(x)在这个区间内单调递减;(3)如果在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为常函数.2.单调性的应用若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调,则y=f′(x)在该区间上不变号.1.概念理解(1)利用导数研究函数的单调性,要在函数的定义域内讨论导数的符号;(2)判断函数的单调性时,个别导数等于零的点不影响所在区间内的单调性;(3)对函数划分单调区间时,需确定导数等于零的点、函数的不连续点和不可导点.2.与函数单调性相关的结论(1)f ′(x)>0(f ′(x)<0)⇒f(x)为增(减)函数;f(x)为增(减)函数⇒f ′(x)≥0(f ′(x)≤0)(f ′(x)=0不恒成立). (2)可导函数f(x)在某区间(a,b)内,①若f ′(x)g(x)+f(x)g ′(x)>0,则函数F(x)=f(x)g(x)在(a,b)内递增;②若f ′(x)g(x)-f(x)g ′(x)>0,则函数F(x)=()()f xg x 在(a,b)内递增;③若f ′(x)-f(x)>0,则函数F(x)=()e xf x 在(a,b)内递增;④若f ′(x)+f(x)>0,则函数F(x)=e x f(x)在(a,b)内递增.1.函数y=4x 2+1x 的单调增区间为( B ) (A)(0,+∞) (B)(12,+∞) (C)(-∞,-1) (D)(-∞,-12) 2.函数f(x)=e x -x 的单调递增区间是( D ) (A)(-∞,1] (B)[1,+∞) (C)(-∞,0] (D)(0,+∞) 解析:因为f(x)=e x -x, 所以f ′(x)=e x -1,由f ′(x)>0,得e x -1>0,即x>0.所以函数f(x)=e x -x 的单调递增区间是(0,+∞), 故选D.3.已知f(x)为R 上的可导函数,且∀x ∈R,均有f(x)>f ′(x),则以下判断正确的是( B ) (A)f(2 020)>e 2 020f(0) (B)f(2 020)<e 2 020f(0) (C)f(2 020)=e 2 020f(0)(D)f(2020)与e 2 020f(0)大小无法确定 解析:设函数h(x)=()e xf x ,因为∀x ∈R,均有f(x)>f ′(x), 则h ′(x)=()()2e e (e )'-x xx f x f x <0,所以h(x)在R 上单调递减, 所以h(2 020)<h(0),即()20202020e f <()00e f ,即f(2 020)<e 2020f(0),故选B.4.已知函数f(x)=ax-x 3在区间[1,+∞)上单调递减,则a 的最大值是( D )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解析:因为f(x)=ax-x 3, 所以f ′(x)=a-3x 2.因为函数f(x)=ax-x 3在区间[1,+∞)上单调递减, 所以f ′(x)=a-3x 2≤0在区间[1,+∞)上恒成立,所以a ≤3x 2在区间[1,+∞)上恒成立, 所以a ≤3.故选D.5.若函数f(x)=x 2+ax+1x在(12,+∞)上是增函数,则a 的取值范围是( D )(A)[-1,0] (B)[-1,+∞) (C)[0,3] (D)[3,+∞) 解析:由f(x)=x2+ax+1x,得f ′(x)=2x+a-21x =32221x ax x +-,令g(x)=2x 3+ax 2-1,要使函数f(x)=x 2+ax+1x 在(12,+∞)是增函数,则g(x)=2x 3+ax 2-1在x ∈(12,+∞)大于等于0恒成立,g ′(x)=6x 2+2ax=2x(3x+a),当a=0时,g ′(x)≥0,g(x)在R 上为增函数,则有g(12)≥0,解得14+4a -1≥0,a ≥3(舍); 当a>0时,g(x)在(0,+∞)上为增函数,则g(12)≥0,解得14+4a -1≥0,a ≥3;当a<0时,同理分析可知,满足函数f(x)=x 2+ax+1x 在(12,+∞)是增函数的a 的取值范围是a ≥3(舍). 故选D.考点一 利用导数研究函数的单调性[例1] 设函数f(x)=aln x+11x x -+,其中a 为常数,讨论函数f(x)的单调性.解:函数f(x)的定义域为(0,+∞).f ′(x)=ax+()221x +=()()22221ax a x ax x ++++,当a ≥0时,f ′(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增. 当a<0时,令g(x)=ax 2+(2a+2)x+a, 由于Δ=(2a+2)2-4a 2=4(2a+1). ①当a=-12时,Δ=0,f ′(x)=()()221121x x x --+≤0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减; ②当a<-12时,Δ<0,g(x)<0,f ′(x)<0, 函数f(x)在(0,+∞)上单调递减; ③当-12<a<0时,Δ>0, 设x 1,x 2(x 1<x 2)是函数g(x)的两个零点, 则x 1=()121a a -+++,x 2=()121a a -+-+. 由x 1=()121a a +-+=22121a a a ++-+>0.所以x ∈(0,x 1)时,g(x)<0,f ′(x)<0,函数f(x)单调递减; x ∈(x 1,x 2)时,g(x)>0,f ′(x)>0,函数f(x)单调递增; x ∈(x 2,+∞)时,g(x)<0,f ′(x)<0,函数f(x)单调递减. 综上可得,当a ≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当a ≤-12时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减; 当-12<a<0时,f(x)在(0,()121a a a -+++),(()121a a a-+-+,+∞)上单调递减. 在(()121a a -+++,()121a a -+-+)上单调递增.(1)利用导数求函数单调区间的基本步骤①确定函数f(x)的定义域;②求导数f′(x);③由f′(x)>0(或<0)解出相应的x的取值范围.当f′(x)>0时,f(x)在相应的区间内是单调递增函数;当f′(x)<0时,f(x)在相应的区间内是单调递减函数.(2)一般需要通过列表,写出函数的单调区间,研究含参函数的单调性时,需注意依据参数取值对导数符号的影响进行分类讨论.考点二由函数的单调性确定参数的取值范围[例2] 已知函数f(x)=(ax3+4b)·e-x,则( )(A)当a>b>0时,f(x)在(-∞,0)单调递减(B)当b>a>0时,f(x)在(-∞,0)单调递减(C)当a<b<0时,f(x)在(0,+∞)单调递增(D)当b<a<0时,f(x)在(0,+∞)单调递增解析:f′(x)=(-ax3+3ax2-4b)·e-x=-a·e-x·(x3-3x2+4ba),当b<a<0时,ba >1,x3-3x2+4ba>x3-3x2+4,令h(x)=x3-3x2+4(x>0),则h′(x)=3x2-6x=3x(x-2),所以h(x)在(0,2)递减,(2,+∞)递增,h(x)的最小值是h(2)=0,所以h(x)≥0,则f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)单调递增,故选D.由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在某一区间上单调,实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(f′(x)在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立,然后分离参数,转化为求函数的最值问题,从而获得参数的取值范围.(2)若已知f(x)在区间I上的单调性,区间I中含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,令I是其单调区间的子集,从而可求出参数的取值范围.1.已知f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是单调增函数,则a的取值范围是( A )(A)(-∞,3] (B)(1,3)(C)(-∞,3) (D)[3,+∞)解析:因为f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是单调增函数,由f(x)=x3-ax可得f′(x)=3x2-a≥0在[1,+∞)上恒成立,所以f′(1)=3-a≥0,所以a≤3.故选A.2.已知函数 f(x)=(x-1)e x-aln x在[12,3]上单调递减,则a的取值范围是( A )(A)[9e3,+∞) (B)(-∞,9e3](C)[4e2,+∞) (D)(-∞,4e2]解析:f′(x)=xe x-ax ≤0在[12,3]上恒成立,则a≥x2e x在[12,3]上恒成立,令g(x)=x2e x,g′(x)=(x2+2x)e x>0,所以g(x)在[12,3]上单调递增,故g(x)的最大值为g(3)=9e3.故a ≥9e 3. 故选A.考点三 单调性的应用[例3] (1)已知函数f(x)与其导函数f ′(x)满足f(x)+xf ′(x)>0,则有( )(A)f(1)>2f(2) (B)f(1)<2f(2) (C)2f(1)>f(2) (D)2f(1)<f(2) (2)已知函数f(x)=ln x x ,则( ) (A)f(x)在x=e 处取得最小值1e (B)f(x)有两个零点(C)y=f(x)的图象关于点(1,0)对称 (D)f(4)<f(π)<f(3)解析:(1)设F(x)=xf(x),则F ′(x)=f(x)+xf ′(x)>0,所以函数F(x)=xf(x)为增函数,所以F(2)>F(1),即2f(2)>f(1).故选B. (2)因为函数f(x)=ln x x ,所以函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f ′(x)=21ln x x .令f ′(x)>0,得0<x<e,即函数f(x)在(0,e)上为增函数; 令f ′(x)<0,得x>e,即函数f(x)在(e,+∞)上为减函数. 所以当x=e 时,函数f(x)max =1e,故排除A; 当x →0+时,f(x)→-∞,当x →+∞时,f(x)→0+,故排除B;因为f(12)+f(32)=1ln212+3ln232=2ln 12+23ln 32=ln[14×2332⎛⎫ ⎪⎝⎭]≠0; 所以y=f(x)的图象不关于点(1,0)对称,故排除C; 因为e<3<π<4;所以f(4)<f(π)<f(3).故选D.利用单调性比较两数大小或证明不等式要恰当的构造函数,然后求导,利用单调性求解.1.设函数f ′(x)是奇函数f(x)(x ∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf ′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是( A ) (A)(-∞,-1)∪(0,1) (B)(-1,0)∪(1,+∞) (C)(-∞,-1)∪(-1,0) (D)(0,1)∪(1,+∞) 解析:令g(x)=()f x x ,则g ′(x)=()()2xf x f x x '-,由题意知,当x>0时,g ′(x)<0, 所以g(x)在(0,+∞)上是减函数. 因为f(x)是奇函数,f(-1)=0, 所以f(1)=-f(-1)=0,所以g(1)=()11f =0,所以当x ∈(0,1)时,g(x)>0,从而f(x)>0; 当x ∈(1,+∞)时,g(x)<0,从而f(x)<0. 又因为g(-x)=()f x x --=()f x x --=()f x x =g(x), 所以g(x)是偶函数,所以当x ∈(-∞,-1)时,g(x)<0,从而f(x)>0; 当x ∈(-1,0)时,g(x)>0,从而f(x)<0. 综上,所求x 的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1). 故选A.2.(2019·宁波市高考模拟)若关于x 的不等式(1x )λx≤127有正整数解,则实数λ的最小值为( A ) (A)9 (B)8 (C)7 (D)6解析:本题考查导数在研究函数中的应用.由(1x)λx≤127,则两边取对数, 得λxln x ≥3ln 3存在正整数解, 则λ>0,故ln x x ≥3ln 3λ. 记函数f(x)=ln x x , 则由f ′(x)= 21ln -x x 知,函数f(x)在(0,e)上单调递增, 在(e,+∞)上单调递减,注意到2<e<3,故只需考虑f(2),f(3)的大小关系, 因为f(2)=ln 22=f(4)<f(3),故f(3)=ln 33≥3ln 3λ,即λ≥9,故选A.函数单调性的讨论与证明[例题] (2015·四川卷节选)已知函数f(x)=-2(x+a)ln x+x 2-2ax-2a 2+a,其中a>0.设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性. 解:由已知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),① g(x)=f ′(x)=2(x-a)-2ln x-2(1+a x),②所以g ′(x)=2-2x +22a x =22112224x a x⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.③ 当0<a<14时, g(x)在区间(0,114a -- ),(114a +-,+∞)上单调递增,在区间(114a--,114a +-)上单调递减;当a ≥14时,g(x)在区间(0,+∞)上单调递增.④规范要求:步骤①②③④要准确齐全.温馨提示:(1)研究函数单调性只能在定义域内研究,故步骤①不可缺少;(2)第③步判断导数的符号时,对a 的分类标准要准确,并且单调区间不能出错.[规范训练1] (2015·天津卷节选)已知函数f(x)=nx-x n ,x ∈R,其中n ∈N *,且n ≥2.讨论f(x)的单调性.解:由f(x)=nx-x n ,可得f ′(x)=n-nx n-1=n(1-x n-1),其中n ∈N *,且n ≥2. 下面分两种情况讨论:①当n 为奇数时,令f ′(x)=0,解得x=1或x=-1. 当x 变化时,f ′(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-1)(-1,1)(1,+∞)所以,f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递减, 在(-1,1)上单调递增. ②当n 为偶数时,当f ′(x)>0,即x<1时,函数f(x)单调递增; 当f ′(x)<0,即x>1时,函数f(x)单调递减. 所以,f(x)在(-∞,1)上单调递增, 在(1,+∞)上单调递减.[规范训练2] 已知函数f(x)=ax 2-ln x,a ∈R. (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)当n ∈N *时,证明:2221+2232+2243+…+()221+n n>2eln(n+1).解:(1)因为f ′(x)=2ax-1x (x>0), ①当a ≤0时,总有f ′(x)<0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,无增区间;②当a>0时,令2ax-1x >0,解得.故时,f ′(x)>0,所以f(x)在,+∞)上单调递增.同理f(x)在上单调递减.(2)由(1)知当a>0时,f(x)min 2)=12-12ln(12a ), 若f(x)min =0,则12-12ln(12a )=0,此时,a=12e , 因为f(x)≥f(x)min =0,所以f(x)=12e x 2-ln x ≥0,当n ∈N *时,取x=1+n n ,有()221+n n>2eln(1+n n ),所以2221+2232+2243+…+()221+n n>2e[(ln 2-ln 1)+(ln 3-ln 2)+…+(ln(n+1)-ln n)]故2221+2232+2243+…+()221+n n>2eln(n+1).类型一 求单调区间1.函数y=12x 2-ln x 的单调递减区间为( B ) (A)(-1,1] (B)(0,1] (C)[1,+∞) (D)(0,+∞)解析:由题意知函数的定义域为(0,+∞), 又由y ′=x-1x≤0,解得0<x ≤1.故选B. 2.已知函数f(x)=-x 3-3x+2sin x,设a=20.3,b=0.32,c=log 20.3,则( D )(A)f(b)<f(a)<f(c) (B)f(b)<f(c)<f(a) (C)f(c)<f(b)<f(a) (D)f(a)<f(b)<f(c) 解析:因为f(x)=-x 3-3x+2sin x,所以f ′(x)=-3x 2-3+2cos x ≤-3x 2-3+2=-3x 2-1<0, 所以,函数y=f(x)在R 上单调递减, 因为a=20.3>20=1,0<0.32<0.30,即0<b<1,c=log 20.3<log 21=0,则a>b>c, 因为函数y=f(x)在R 上单调递减, 因此,f(a)<f(b)<f(c),故选D.3.设函数f(x)=13x 3-2a x 2+bx+c(a>0),曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1,则函数f(x)的单调减区间为 . 解析:f ′(x)=x 2-ax+b,由题意得()()01,00,f f ⎧=⎪⎨'=⎪⎩即1,0.c b =⎧⎨=⎩ 则f ′(x)=x 2-ax=x(x-a)(a>0), 由f ′(x)<0得,0<x<a,所以函数f(x)的单调减区间为(0,a). 答案:(0,a)类型二 由导数求单调区间的应用4.定义在R 上的函数f(x)的导函数为f ′(x),f(0)=0.若对任意x ∈R,都有f(x)>f ′(x)+1,则使得f(x)+e x <1成立的x 的取值范围为( D )(A)(-∞,0) (B)(-∞,1) (C)(-1,+∞) (D)(0,+∞)解析:构造函数:g(x)=()1e xf x -,g(0)=()001ef -=-1. 因为对任意x ∈R,都有f(x)>f ′(x)+1,所以g ′(x)=()()1e xf x f x '+-<0,所以函数g(x)在R 上单调递减,由f(x)+e x <1化为g(x)=()1e xf x -<-1=g(0),所以x>0.所以使得f(x)+e x <1成立的x 的取值范围为(0,+∞). 故选D.5.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足x2f′(x)+1>0,f(2)=92,则不等式f(lg x)<1lg x+4的解集为( D )(A)(10,100) (B)(0,100)(C)(100,+∞) (D)(1,100)解析:令g(x)=f(x)-1x ,则g′(x)=f′(x)+21x>0,g(x)在(0,+∞)上递增,而g(2)=f(2)-12=4,故由f(lg x)<1lg x+4,得g(lg x)<g(2),故0<lg x<2,解得1<x<100,故选D.6.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为( B )(A)(-1,1) (B)(-1,+∞)(C)(-∞,-1) (D)(-∞,+∞)解析:设m(x)=f(x)-(2x+4),因为m′(x)=f′(x)-2>0,所以m(x)在R上是增函数.因为m(-1)=f(-1)-(-2+4)=0,所以m(x)>0的解集为{x|x>-1},即f(x)>2x+4的解集为(-1,+∞).故选B.7.如图所示是函数y=f(x)的导数y=f′(x)的图象,下列四个结论:①f(x)在区间(-3,1)上是增函数;②f(x)在区间(2,4)上是减函数,在区间(-1,2)上是增函数;③x=1是f(x)的极大值点;④x=-1是f(x)的极小值点.其中正确的结论是( D )(A)①③(B)②③(C)②③④(D)②④解析:由题意,-3<x<-1和2<x<4 时,f′(x)<0;-1<x<2和x>4时,f′(x)>0,故函数y=f(x)在(-3,-1)和(2,4)上单调递减,在(-1,2)和(4,+∞)上单调递增,x=-1是f(x)的极小值点,x=2是f(x)的极大值点,故②④正确,故选D.8.设函数f(x)=1x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的2取值范围是( A )(A)(1,2] (B)[4,+∞)(C)(-∞,2] (D)(0,3](x>0),解析:f′(x)=x-9x当x-9≤0时,有0<x≤3,x即f(x)在(0,3]上是减函数.由题意知10,13,a a ->⎧⎨+≤⎩解得1<a ≤2.故选A. 9.若函数f(x)=13x 3-32x 2+ax+4恰在[-1,4]上单调递减,则实数a 的值为 .解析:因为f(x)=13x 3-32x 2+ax+4,所以f ′(x)=x 2-3x+a,又函数f(x)恰在[-1,4]上单调递减, 所以-1,4是f ′(x)=0的两根, 所以a=(-1)×4=-4. 答案:-410.若函数f(x)=12ax 2+xln x-x 存在单调递增区间,则a 的取值范围是 .解析:因为f(x)=12ax 2+xln x-x,其中x>0, 则f ′(x)=ax+ln x.由于函数y=f(x)存在单调递增区间,则∃x>0, 使得f ′(x)>0,即∃x>0,a>-ln x x ,构造函数g(x)=- ln x x , 则a>g(x)min .g ′(x)=2ln 1-x x ,令g ′(x)=0,得x=e.当0<x<e 时,g ′(x)<0;当x>e 时,g ′(x)>0.所以,函数y=g(x)在x=e 处取得极小值,亦即最小值,则g(x)min =g(e)=-1e , 所以,a>-1e.答案:(-1e,+∞) 11.已知函数f(x)=x 3+3x 对任意的m ∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)<0恒成立,则x ∈ .解析:由题意得,函数的定义域是R,且f(-x)=(-x)3+3(-x)=-(x 3+3x)=-f(x), 所以f(x)是奇函数,又f ′(x)=3x 2+3>0,所以f(x)在R 上单调递增, 所以f(mx-2)+f(x)<0可化为f(mx-2)<-f(x)=f(-x), 由f(x)递增知:mx-2<-x,即mx+x-2<0,则对任意的m ∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)<0恒成立, 等价于对任意的m ∈[-2,2],mx+x-2<0恒成立,所以220,220,x x x x -+-<⎧⎨+-<⎩解得-2<x<23, 即x 的取值范围是(-2,23). 答案:(-2,23)。
导数与函数单调性的关系
一、利用导数判断函数的单调性
函数 y＝f(x)在某个区间内可导，则 (1)若 f′(x)>0，则 f(x)在这个区间内单调递增． (2)若 f′(x)<0，则 f(x)在这个区间内单调递减． (3)若 f′(x)＝0，则 f(x)在这个区间内是常数函数．
例1、已知函数f(x)=x-kln x，常数k>0. (1)若x=1是函数f(x)的一个极值点，求f(x)的单调区间； (2)若函数g(x)=xf(x)在区间(1,2)上是增函数，求k的取 值范围.
值点,f'(1)=0⇒k=1,经检验k=1为所求,∴f'(x)=1- 1 .令f'(x)>0⇒x∈(1,+
x
∞),再令f'(x)<0⇒x∈(0,1),∴函数f(x)的单调递增区间是(1,+∞),单调 递减区间是(0,1).
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(2)∵函数g(x)=xf(x)在区间(1,2)上是增函数,∴g'(x)=2x-k(1+ln x)≥0
三、解答题
17.已知函数f(x)=x-kln x,常数k>0. (1)若x=1是函数f(x)的一个极值点,求f(x)的单调区间;
(2)若函数g(x)=xf(x)在区间(1,2)上是增函数,求k的取值范围.
【解析】(1)定义域为(0,+∞),f'(x)=1- k ,因为x=1是函数f(x)的一个极
x
变式训练 2、(2014·兰州模拟)已知函数 f(x)＝－x2＋ax－ln x(a∈R)． (1)当 a＝3 时，求函数 f(x)在21，2上的最大值和最小值； (2)当函数 f(x)在21，2上单调时，求 a 的取值范围．
高中数学选修1课件1-3.3.1函数的单调性与导数
解析：方法一：f′(x)＝x2－ax＋a－1，由 f′(x)＝0 得 x＝1 或 x＝a－1.
当 a－1≤1，即 a≤2 时，对于任意的 x∈(1，＋∞)，f′(x)＞0， 即函数 f(x)在[1，＋∞)上单调递增，不符合题意； 当 a－1＞1，即 a＞2 时，函数 f(x)在(－∞，1]和[a－1，＋∞) 上单调递增，在[1，a－1]上单调递减， 依题意[1,4]⊆[1，a－1]且[6，＋∞)⊆[a－1，＋∞)，从而 4≤a －1≤6，故 5≤a≤7. 综上，实数 a 的取值范围为[5,7]．
(3)要特别注意函数的定义域．
跟踪训练 2 求下列函数的单调区间． (1)y＝(1－x)ex； (2)y＝x3－2x2＋x；
(3)y＝12x＋sin x，x∈(0，π)．
解析：(1)∵y＝(1－x)ex， ∴y′＝－xex，∴y′＞0 时 x＜0，y′＜0 时 x＞0， ∴函数 y＝(1－x)ex 的增区间为(－∞，0)，减区间为(0，＋∞)． (2)∵y＝x3－2x2＋x，∴y′＝3x2－4x＋1，x∈R， ①令 3x2－4x＋1＞0，得 x＞1 或 x＜13. ②令 3x2－4x＋1＜0，得13＜x＜1.
状元随笔
如图，函数 y＝f(x)的图象在(0，a)内“陡峭”，在(a，＋∞)内 “平缓”．
说明：通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出 函数增减的快慢．从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢 后，我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象，反之也可行．
[小试身手]
1．已知函数 f(x)＝x3－3x2－9x，则函数 f(x)的单调递增区间是
状元随笔 先求导数，再利用二次函数知识求 a.
3．函数 f(x)＝2x－sin x 在(－∞，＋∞)上( ) A．是增函数 B．是减函数 C．有最大值 D．有最小值
3-3-1 函数的单调性与导数
1．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案] C[解析]由题意可设f(x)＝ax2＋bx，f′(x)＝2ax＋b，由于f′(x)图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a>0，b>0，则f(x)＝a(x＋b2a)2－b24a，顶点(－b2a，－b24a)在第三象限，故选C.2．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是()[答案] C[分析] 由导函数f ′(x )的图象位于x 轴上方(下方)，确定f (x )的单调性，对比f (x )的图象，用排除法求解．[解析] 由f ′(x )的图象知，x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．只有C 符合题意，故选C.3．函数y ＝x 3＋ax ＋b 在(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝1，b ∈RC ．a ＝－3，b ＝3D ．a ＝－3，b ∈R[答案] D[解析] f ′(x )＝3x 2＋a ，由条件f ′(1)＝0，∴a ＝－3，b ∈R .4．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程为y ＝12x＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.[答案] 3[解析] ∵切点M 在切线y ＝12x ＋2上，∴f (1)＝12×1＋2＝52，又切线斜率k ＝12，∴f ′(1)＝12，∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.5．若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围________．[答案] a >0[解析] y ′＝－4x 2＋a ，若y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则方程－4x 2＋a ＝0应有两个不等实根，故a >0.6．已知f (x )＝13x 3＋12ax 2＋ax －2(a ∈R )．若函数f (x )在(－∞，＋∞)上为单调递增函数，求a 的取值范围．[解析] 因为f ′(x )＝x 2＋ax ＋a (a ∈R )，由题意知：f ′(x )≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，所以Δ＝a 2－4a ≤0，所以0≤a ≤4.故当0≤a ≤4时，f (x )在R 上单调递增．。
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基础巩固强化
一、选择题
1．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的是( )
A ．y ＝2－3x 2
B ．y ＝ln x
C ．y ＝1x －2
D ．y ＝sin x
[答案] C
[解析] A 中，y ′＝－6x ，当－1<x <0时，y ′>0，当0<x <1时，y ′<0，故函数y ＝2－3x 2在区间(－1,1)上不是减函数，B 中，y ＝ln x
在x ＝0处无意义；C 中，y ′＝－1(x －2)2
<0对x ∈(－1,1)恒成立，∴函数y ＝1x －2
在区间(－1,1)上是减函数；D 中，y ′＝cos x >0对x ∈(－1,1)恒成立，∴函数y ＝sin x 在(－1,1)上是增函数．
2．函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是( )
A ．单调增函数
B ．单调减函数
C ．在(0，1e )上是减函数，在(1e ，6)上是增函数
D ．在(0，1e )上是增函数，在(1e ，6)上是减函数
[答案] A
[解析] ∵f ′(x )＝1＋1x >0，
∴函数在(0,6)上单调递增．
3．已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且当x >0，
有f ′(x )>0，g ′(x )>0，则当x <0时，有( )
A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0
B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0
C ．f ′(x )<0′，g ′(x )>0
D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0
[答案] B
[解析] 由已知f (x )为奇函数，g (x )为偶函数．∵x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，
∴f (x )，g (x )在(0，＋∞)上递增．
∴x <0时，f (x )递增，g (x )递减．
∴x <0时f ′(x )>0，g ′(x )<0.
4．(2012·辽宁文，8)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递区间为( )
A ．(－1,1]
B ．(0,1]
C ．[1，＋∞)
D ．(0，＋∞) [答案] B
[解析] 本题考查利用导数求函数的单调区间．
∵y ＝12x 2－ln x ，∴y ′＝x －1x ＝x 2－1x (x >0)，
令⎩⎨⎧
x 2－1x ≤0x >0，得0<x ≤1.
∴函数的单调递减区间为(0,1]．
需要熟记基本初等函数的求导公式，同时注意区间的端点．
5．函数y ＝x sin x ＋cos x ，x ∈(－π，π)的单调增区间是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0和⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0和⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π [答案] A
[解析] y ′＝x cos x ，当－π<x <－π2时，
cos x <0，∴y ′＝x cos x >0，
当－π2<x <0时，cos x >0，∴y ′＝x cos x <0.
当0<x <π2时，cos x >0，∴y ′＝x cos x >0.
当π2<x <π时，cos x <0，∴y ′＝x cos x <0，故选A.
6．已知二次函数f (x )的图象如图所示，则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( )
[答案] B
[解析] 因为二次函数在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递减，所以其导函数在(－∞，0)上大于0，在(0，＋∞)上小于0，故选B.
二、填空题
7．函数y ＝x 3－x 2－x 的单调递增区间为________．
[答案] (－∞，－13)，(1，＋∞)
[解析] ∵y ′＝3x 2－2x －1＝(3x ＋1)(x －1)，
∴由y ′>0得，x >1或x <－13.
8．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为(－1,3)，则b ＝________，c ＝________.
[答案] －3 －9
[解析] f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，
由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0f ′(3)＝9，即⎩⎪⎨⎪⎧
3－2b ＋c ＝027＋6b ＋c ＝0， 解得b ＝－3，c ＝－9.
9．若函数y ＝x 3－ax 2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围是____________．
[答案] [3，＋∞)
[解析] y ′＝3x 2－2ax ，由题意知3x 2－2ax ≤0在区间(0,2)内恒成立，
即a ≥32x 在区间(0,2)上恒成立，∴a ≥3.
三、解答题
10．讨论函数f (x )＝bx x 2－1
(－1＜x ＜1，b ≠0)的单调性． [解析] ∵f (x )＝bx x 2－1
(－1<x <1，b ≠0)， ∴f ′(x )＝(bx )′(x 2－1)－bx (x 2－1)′(x 2－1)2
＝bx 2－b －2bx 2(x 2－1)2＝－b (1＋x 2)(x 2－1)2
∵－1<x <1，∴1＋x 2>0，(x 2－1)2>0，
①当b >0时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－1,1)上单调递减． ②当b <0时，f ′(x )>0，∴函数f (x )在(－1,1)上单调递增.。