第三章 内积空间,正规矩阵,Hermite矩阵

复矩阵(向量)的4个一元运算
()∀A=(a ij )∈C m ×n ,
复矩阵(向量)的一元运算的性质
11221122k A k A k A k A +=+ ;
T
T T A k A k A k A k 22112211)(+=+方阵A=(a ij )∈C n ×n 的迹定义为其所有对角元之和:
行列式的性质
方阵乘积的行列式公式
重要特殊矩阵
A=(a ij )∈C n ×n 称为对角矩阵,如果∀i ≠j,a ij =0;
A称为上(下)三角矩阵,如果∀i>(<)j,a =0.
特征值,特征向量
λ∈C称为A=(a
ij
)∈C n×n的一个特征值,如果存在0≠x∈C n,使得Ax=λx.此时,x称为A的特征向量.
特征值、特征向量续
三角矩阵A的所有对角元组成A的谱:
σ(A)={a,…,a}.
线性相关与线性无关
定义1.1.3 (p.5): F上线性空间V中的向量组{α,…,α}是线性相关的充要条件是:在数域F
线性映射与线性变换
关于线性映射与线性变换的定义,请看教本第24页§3.1: 欧式空间,酉空间
§3.2: 标准正交基,Schmidt方法
第三章内积空间,正规矩阵,Hermite矩阵
§3.1: 欧式空间,酉空间
从解析几何知二平面向量
内积的概念
定义3.1.1：设V是实数域R 上的n维线性空间,对V 中的任意两个向量α,β,按照某一确定法则对应着欧式空间的概念
例3.1.1：∀α=(a 1,…,a n )T ,β=(b 1,…,b n )T ∈R n ,定义标准内积:(α,β)=a b +…+a b ,
欧氏空间例1
例3.1.2：∀α=(a 1,a 2)T ,β=(b 1,b 2)T ∈R 2,定义内积(R 2×R 2到R的映射):
欧氏空间例2
在R 2中至少可定义两个不同的内积.
今后讨论R n 时都用例3.1.1中定义的内积.
关于例1和例2的注
例3.1.3:R m ×n ={(a ij )|a ij ∈R,i=1,…m,j=1,…,n}中任取A,B,定义内积:(A,B)=tr(A T B)=ΣΣa b .欧氏空间例3
定义3.1.1：设V是复数域C 上的n维线性空间,对V 中的任意两个向量α,β,按照某一确定法则对应着酉空间的概念
欧氏空间是酉空间的特例.
关于欧式空间和酉空间的注
酉空间例1
例3.1.6：∀α=(a 1,…,a n )T ,β=(b 1,…,b n )T ∈C n ,酉空间例2
例3.1.7：C m ×n ={(a ij )|a ij ∈C,i=1,…,m,j=1,…,n}
§3.2: 标准正交基,Schmidt 方法
欧氏空间中的C-S不等式推出:-1 ≤(α,β)/‖α‖‖β‖≤1
正交的概念
(,)
1αβαβ≤
§3.3: 酉变换,正交变换
§3.6: 正规矩阵,Schur引理
§3.8: Hermite矩阵,Hermite二次齐式
§3.9: 正定二次齐式,正定Hermite矩阵
证:设A∈H n×n,A(i
1,…,i
k
)为A的第i
1
,…,i
k
行,列组成
的k阶主子矩阵,易见:A(i,…,i)∈H n×n.
(半)正定矩阵的任何主子矩阵仍为(半)正定
证:因为
(半)正定矩阵A的任何主子式都是(0或)正的
定理:A ∈H n ×n 为正定⇔A的n个顺序主子式全为正:
用主子式刻画(半)正定矩阵
命题:A ∈H n ×n 为负定⇔-A为正定
定理3.9.1:对任意A ∈H n ×n ,下列各条相互等价:定理3.9.3:对任意A ∈H n ×n ,下列各条相互等价:
(1) A半正定:∀x ∈C n ,x *Ax ≥0半正定矩阵的基本定理
命题:A ∈H n ×n 为半正定⇔∀ε>0,A+εE 为正定半正定矩阵是正定矩阵序列的极限
命题:对任意A ∈H n ×n ,下列两条相互等价:半正定矩阵是正定矩阵序列的极限(续)
(1) A ∈C n ×n 为(半)正定
(半)正定矩阵的补充结果
定理(3.9.4):每个(半)正定Hermite矩阵A都有唯下证唯一性.
如果还有正定矩阵M=Wdiag(µ,…,µ)W *,使
∀i,j,(√λi v ij )=(√λj v ij ) 每个(半)正定矩阵有唯一(半)正定平方根续
再证与A可交换的矩阵X(XA=AX)必与B可交换.若XUdiag(λ,…,λ)U *=Udiag(λ,…,λ)U *X 每个(半)正定矩阵有唯一(半)正定平方根续
试证:A,B ∈H n ×n 且A为正定⇒AB的特征值全为实数.应用举例
例3.9.1:若A,B为同阶正定Hermite矩阵,
应用举例
命题:A,B ∈H n ×n 且B正定,则det(λB-A)=0的根全为实数.证明: B正定⇒有可逆矩阵P使P *BP=E;
定理3.10.1:若A,B ∈H n ×n 且B为正定,则有T ∈C n n ×n 使二矩阵经复相合变换同时对角化
易见: µ1,…,µn 是det(λE-T 1*AT 1)=0的根.二矩阵经复相合变换同时对角化
定理3.10.4:若A,B ∈H n ×n 且B为正定,则有行列式等二矩阵经复相合变换同时对角化续
定义3.11.1:由Hermite矩阵A定义的从C n –{0}到R 的下列函数:R(x)=x *Ax/x *x 称为矩阵A的Rayleigh商.§3.11: Rayleigh商
(1)R(x)为x的齐次函数:∀0≠k ∈R ,R(kx)=R(x)
(3)min x ≠0R(x)=λ1=min{λ1, …,λn };
max R(x)=λ=max{λ, …,λ}.注:由(1)和(3)推出min x ≠0R(x)=min ‖x‖=1x *Ax,
Rayleigh 商性质的注
设M ∈H n ×n ,用λmin ,λmax 分别记M的最小,大特征值,则λ=min x *Ax,λ=max x *Ax.一个推论。