三角函数所有公式及基本性质

三角函数所有公式及基本性质整理————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2一、任意角的三角比（一）诱导公式ααπsin )2sin(=+k ααπcos )2cos(=+k ααπtg k tg =+)2( ααπctg k ctg =+)2( ααsin )sin(-=- ααcos )cos(=-ααtg tg -=-)(ααctg ctg -=-)( ααπsin )sin(-=+ ααπcos )cos(-=+ ααπtg tg =+)( ααπctg ctg =+)( ααπsin )sin(=-ααπcos )cos(-=-ααπtg tg -=-)(ααπctg ctg -=-)(ααπsin )2sin(-=- ααπcos )2cos(=- ααπtg tg -=-)2( ααπctg ctg -=-)2(ααπcos )2sin(=-ααπsin )2cos(=-ααπctg tg =-)2(ααπtg ctg =-)2(ααπcos )2sin(=+ααπsin )2cos(-=+ ααπctg tg -=+)2( ααπtg ctg -=+)2(ααπcos )23sin(-=- ααπsin )23cos(-=- ααπctg tg =-)23( ααπtg ctg =-)23(ααπcos )23sin(-=+ ααπsin )23cos(=+ ααπctg tg -=+)23( ααπtg ctg -=+)23(（二）关系结构图（三）三角比符号αsin αsec αtg αctg αcos αcsc 1+ + __ cos α&sec α sin α&csc α+ + __ ++ _ _tg α&ctg α1.同角三角比的关系 倒数关系 1csc sin =αα 1sec cos =αα 1=ααctg tg商数关系 αααcos sin =tg αααsin cos =ctg平方关系 1cos sin 22=+αα αα22sec 1=+tg αα22csc 1=+ctg2.两角和与差的三角比两角差的余弦公式 βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- 两角和的余弦公式 βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ 两角差的正弦公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- 两角和的正弦公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ 两角差的正切公式 βαβαβαtg tg tg tg tg +-=-1)(两角和的正切公式 βαβαβαtg tg tg tg tg -+=+1)(形式)sin(ϕα+Aπϕϕϕϕααα20,sin ,cos )sin(cos sin 222222<≤+=+=++=+ba bb a a b a b a 3.二倍角的三角比ααααααααααα22222122sin 211cos 2sin cos 2cos cos sin 22sin tg tg tg -=-=-=-==4.半角的三角比αααααααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=+-±=+±=-±=tg5.万能置换公式21222121cos 2122sin 2222αααααααααtg tgtg tg tg tg tg-=+-=+=_1. 三角形的面积C ab Bca A bc S sin 21sin 21sin 21===∆ 2. 正弦定理)2(sin sin sin R Cc B b A a ===3. 余弦定理abc b a C ca b a c B bc a c b A C ab b a c B ca c a b A bc c b a 2cos 2cos 2cos cos 2cos 2cos 2222222222222222222-+=⇔-+=⇔-+=-+=⇔-+=⇔-+=或三角比补充概念或公式一、 有关sin α与cos α，tg α与tg α，|sin α|与|cos α|，|tg α|与|ctg α|大小比较1.sin α与cos α（下左图）当α的终边在第一、第三象限的角平分线上时，sin α=cos α 当α的终边在此角平分线的上方，即图中区域①时，sin α>cos α 当α的终边在此角平分线的下方，即图中区域②时，sin α<cos α2.tg α与ctg α（上右图）当α的终边在第一、第三象限，或第二、第四象限的角平分线上时，tg α=ctg α 当α的终边在图中区域①、或③、或⑤、或⑦时（不包括坐标轴），tg α>ctg α 当α的终边在图中区域②、或④、或⑥、或⑧时（不包括坐标轴），tg α<ctg α3. |sin α|与|cos α|（下左图）当α的终边在第一、第三象限，或第二、第四象限的角平分线上时，|sin α|=|cos α| 当α的终边在图中区域①或③时，|sin α|>|cos α| 当α的终边在图中区域②或④时，|sin α|<|cos α|4. |tg α|与|ctg α|（上右图）当α的终边在第一、第三象限，或第二、第四象限的角平分线上时，|tg α|=|ctg α| 当α的终边在图中区域①或③时（不包括坐标轴），|tg α|>|ctg α| 当α的终边在图中区域②或④时（不包括坐标轴），|tg α|<|ctg α| 二、三角中常用的手法（sin α+sin β）与（cos α+cos β）分别平方后相加，可以产生cos(α-β) （sin α+sin β）与（cos α+cos β）分别平方后相加，可以产生sin(α+β) 三、1.在非直角ΔABC 中，有tgAtgBtgC tgC tgB tgA =++2.在tgA ，tgB ，tgC 存在的前提下，A+B+C=k π（k 属于整数）是tgAtgBtgC tgC tgB tgA =++的充要条件。

四、增补公式βαβαβαβαβαβααααcos cos )sin(cos cos )sin(2sin 12-=-+=+=-tg tg tg tg ctg ctg三角比的积化和差公式)]cos()[cos(21sin sin )]cos()[cos(21cos cos )]sin()[sin(21sin cos )]sin()[sin(21cos sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα--+-=-++=--+=-++=三角比的和差化积公式2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+-=--+=+-+=--+=+三角函数的性质函数xy sin=xy cos=tgxy=ctgxy=定义域R R ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈+≠∈ZkkxRxx,2|ππ且⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≠∈ZkkxRxx,|π且值域[]1,1-[]1,1-R R最值()()122;122minmax-=∈-==∈+=yZkkxyZkkx时当时当ππππ()()12;12minmax-=∈+==∈=yZkkxyZkkx时当时当πππ无最大值、最小值无最大值、最小值周期性周期是()Zkk∈π2最小正周期是π2周期是()Zkk∈π2最小正周期是π2周期是()Zkk∈π最小正周期是π周期是()Zkk∈π最小正周期是π奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数对称性对称轴()Zkkx∈+=2ππ()Zkkx∈=π对称点()()Zkk∈0,π()Zkk∈⎪⎭⎫⎝⎛+0,2ππ()()Zkk∈0,π()Zkk∈⎪⎭⎫⎝⎛+0,2ππ单调性递增区间()Zkkk∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππ递减区间()Zkkk∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++232,22ππππ递增区间[]()Zkkk∈-πππ2,2递减区间[]()Zkkk∈+πππ2,2递增区间()Zkkk∈⎪⎭⎫⎝⎛+-2,2ππππ递减区间()()Zkkk∈+πππ,图象x y sin =x y cos =反三角函数性质函数x y arcsin =x y arccos =arctgx y =定义x y sin =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππx 的反函数叫反正弦函数，记作x y arcsin =，[]1,1-∈xx y cos =在[]π,0∈x 的反函数叫反余弦函数，记作x y arccos =，[]1,1-∈xtgx y =在⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2ππx 的反函数叫反正切函数，记作arctgx y =，R x ∈意义 ① 表示一个角的弧度数② 这个角的范围是[]⎪⎭⎫⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2202,2πππππ，或，或 ③这个角的正弦（或余弦或正切）等于x定义域 []1,1-[]1,1- R值域 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ []π,0⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ 单调性 增函数 减函数 增函数 奇偶性 奇函数非奇非偶函数奇函数常用等式x x arcsin )arcsin(-=- x x arccos )arccos(-=-π arctgx x arctg -=-)(2arccos arcsin π=+x x图像反三角函数其它常用等式xy arcsin =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=--=--=-arcctgx x arcctg arctgx x arctg x x xx ππ)()(arccos )arccos(arcsin )arcsin(1）（ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≤=≤=x arcctgx ctg x arctgx tg x x x x x x )()()1()cos(arccos)1()sin(arcsin 2）（ [][][]()()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧'=∈∉'∈=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈'⎪⎭⎫ ⎝⎛-∉'⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈=⎩⎨⎧'=∈∉'∈=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈'⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∉'⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=x ctg ctgx x x x x x ctgx arcctg x tg tgx x x x x x tgx arctg x x x x x x x x x x x x x x x x ,,0,,0,,0,)(,2,2,2,2,2,2,)(cos cos ,,0,,0,,0,)arccos(cos sin sin ,2,2,2,2,2,2,)arcsin(sin )3(ππππππππππππππππππ时当时当时当时，当时当时当时当时，当最简三角方程方程解集a x =sin1>aΦ1=a {}Z k a k x x ∈+=,arcsin 2|π1<a{}Z k a k x x k∈-+=,arcsin )1(|πa x =cos1>aΦ1=a {}Z k a k x x ∈+=,arccos 2|π 1<a{}Z k a k x x ∈±=,arccos 2|π a tgx ={}Z k arctga k x x ∈+=,|π解最简三角方程补充公式)()4()()3()(2)2(2cos cos )2()(2)(2sin sin )1(Z k k a x ctga ctgx Z k k a x tga tgx Z k k a x k a x a x Z k k a x k a x a x ∈+=⇒=∈+=⇒=∈+-=+=⇒=∈+-=+=⇒=ππππππππ或或。