6 第6讲 空间向量的运算及应用

第6讲 空间向量的运算及应用

1．空间向量的有关定理

(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a ＝λb ．

(2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b ．

(3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底． 2．两个向量的数量积(与平面向量基本相同)

(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a ，b ，在空间中任取一点O ，作OA →＝a ，OB →

＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉．通常规定0≤〈a ，b 〉≤π．若〈a ，b 〉＝π

2，

则称向量a ，b 互相垂直，记作a ⊥b . (2)两向量的数量积

两个非零向量a ，b 的数量积a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． (3)向量的数量积的性质

①a ·e ＝|a |cos 〈a ，e 〉(其中e 为单位向量)； ②a ⊥b ⇔a ·b ＝0； ③|a |2＝a ·a ＝a 2； ④|a ·b |≤|a ||b |.

(4)向量的数量积满足如下运算律 ①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②a ·b ＝b ·a (交换律)；

③a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c (分配律)． 3．空间向量的坐标运算

(1)设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)． a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)， a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)，

λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)，a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3，

a ⊥

b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0，

a ∥

b ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )，

cos 〈a ，b 〉＝a ·b

|a |·|b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23 . (2)设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)， 则AB →＝OB →－OA →

＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)． 4．直线的方向向量与平面的法向量的确定

(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB →

为直线l 的方向向量，与AB →平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．

(2)平面的法向量

①定义：与平面垂直的向量，称做平面的法向量．一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量．

②确定：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为

⎩⎪⎨⎪⎧n·a ＝0，n·

b ＝0. 5．空间位置关系的向量表示

位置关系

向量表示 直线l 1，l 2的方向向量分别为n 1，n 2

l 1∥l 2

n 1∥n 2⇔n 1＝λn 2

l 1⊥l 2 n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0 直线l 的方向向量为n ，平面α的法向量为m

l ∥α n ⊥m ⇔n ·m ＝0 l ⊥α n ∥m ⇔n ＝λm 平面α，β的法向量分别为n ，m

α∥β n ∥m ⇔n ＝λm α⊥β n ⊥m ⇔n ·m ＝0

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间中任意两非零向量a ，b 共面．( ) (2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( ) (3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .( )

(4)若{a ，b ，c }是空间的一个基底，则a ，b ，c 中至多有一个零向量．( ) (5)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( )

(6)若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →

＝0.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√

在空间直角坐标系中，已知A (1，－2，1)，B (2，2，2)，点P 在z 轴上，且满足|P A |＝|PB |，则P 点坐标为( )

A ．(3，0，0)

B ．(0，3，0)

C ．(0，0，3)

D ．(0，0，－3)

解析：选C.设P (0，0，z )，则有

（1－0）2＋（－2－0）2＋（1－z ）2

＝（2－0）2＋（2－0）2＋（2－z ）2，解得z ＝3.

(教材习题改编)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →

＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →

相等的向量是( )

A ．－12a ＋1

2b ＋c

B ．12a ＋1

2b ＋c

C ．－12a －1

2

b ＋c

D.12a －1

2

b ＋

c 解析：选A.由题意，根据向量运算的几何运算法则，BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →

)

＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋1

2

b ＋

c .

(教材习题改编)已知a ＝(2，4，x )，b ＝(2，y ，2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值为________． 解析：因为a ＝(2，4，x )，|a |＝6，则x ＝±4， 又b ＝(2，y ，2)，a ⊥b ， 当x ＝4时，y ＝－3，x ＋y ＝1. 当x ＝－4时，y ＝1，x ＋y ＝－3. 答案：1或－3

若平面α的一个法向量为u 1＝(－3，y ，2)，平面β的一个法向量为u 2＝(6，－2，z )，且α∥β，则y ＋z ＝________．

解析：因为α∥β，所以u 1∥u 2，所以－36＝y －2＝2z ，

所以y ＝1，z ＝－4，所以y ＋z ＝－3. 答案：－3

空间向量的线性运算

[典例引领]