复变函数与场论简明教程 第一章
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复变函数课件第一章第4节
可微性
如果函数的导数在定义域内的任意一 点都存在，则称该函数是可微的。
周期性
如果存在一个非零实数p，使得对于定义域 内的任意点z，都有$f(z+p) = f(z)$，则称 该函数是周期的，p是它的周期。
03 复变函数的积分
复变函数的积分定义
实部和虚部积分
复变函数的积分定义为实部和虚 部的积分之和，即$int f(z) dz = int f(x, y) dx + i int f(x, y) dy$。
洛朗兹级数展开的收敛性
洛朗兹级数展开的收敛性取决于函数的性质和级数的收敛条件，例如在复平面上的区域内 的收敛性。
洛朗兹级数展开的应用
洛朗兹级数展开在复变函数的研究中有着广泛的应用，例如求解微分方程、积分方程等。 此外，它还可以用于近似计算和数值分析等领域。
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-1$。
复变函数
如果对于每个复数$z$，都存在一 个复数与它对应，那么这个复数就 是复变函数。
定义域
复变函数的定义域是所有输入值的 集合，这些输入值在实数轴上形成 一个区间或多个区间的集合。
复变函数的性质
连续性
如果对于定义域内的任意一点，函数 值都存在且连续，则称该函数是连续 的。
有界性
如果函数的值在定义域内有界，即存在一个正 数M，使得对于定义域内的任意点z，都有 $|f(z)| leq M$，则称该函数是有界的。
泰勒级数展开的应用
泰勒级数展开在复变函数的研究中有着广泛的应用，例如 求解微分方程、积分方程等。此外，它还可以用于近似计 算和数值分析等领域。
洛朗兹级数展开
洛朗兹级数展开的定义
洛朗兹级数展开是复变函数的一种表示方法，它将一个复数函数表示为无穷级数的形式， 其中每一项都是函数值的幂次方和阶乘的乘积，并且每一项都乘以一个特定的系数。
复变函数第一章
z1 z1 z2 z2
Arg(
z1 z2
)
Arg
z1
Arg
z2
1、 幂函数
非零复数 z 的 n 次幂
zn rnein rn (cos n i sin n )
其中
zn z n , Arg zn nArg z.
令 r = 1，则得棣莫弗公式
(cos i sin )n cos n i sin n
21
•连续曲线 若实函数 x(t) 和 y(t) 在闭区间[, ]
上连续，则方程组
x x(t),
y
y(t),
( t )
或复数方程 z z(t) x(t) iy(t) ( t )
代表一条平面曲线，称为 z 平面上的连续曲线.
进一步地，若在 t 上，x '(t) 及 y '(t) 存在、
E(C)
线 C 把 z 平面唯一地分成
C、I(C) 及 E(C) 三个点集，
I(C)
它们具有如下性质：
（1）彼此不交；
O
C
x
（2）I(C) 是一个有界区域（称为 C 的内部）；
（3）E(C) 是一个无界区域（称为 C 的外部）.
25
•单连通区域 设 z 平面上的区域 D， 若在 D 内 无论怎样画简单闭曲线，其内部仍全含于 D， 则称 D 为单连通区域. 非单连通的区域称为多 连通区域.
y
z
v
w
2 O 2 x
4 O 4 u
31
•反函数 假设函数 w=f(z) 的定义域是 z 平面上的 集合 G，值域是 w 平面上的集合 G*. 对 G* 中 的每一个点 w，在 G 中有一个（或至少两个） 点与之相对应，则在 G* 上确定了一个单值（或
复变函数第一章
内点: N (z0 ) E
边界点: N (z0 )既有E的点,也有不是E的点,
集E的全部边界点所组成的集合称为E的边界，
记为 E.
3.开集: 所有点为内点的集合；
闭集: 或者没有聚点，或者所有聚点都属于它；
E' E,
有界集:
M 0,z E, z M, 或M 0,使E NM (0)
例 E {z | z 1}
例3: 设 z 1 ,试证 (1 i)z3 iz 3 .
2
4
证明: (1 i)z3 iz z (1 i)z2 i
z (1i z 2 i )
1 (1 2 1) 1 (1 1) 3
24
22
4
例4: 求复数 1 z 的实部,虚部和模.(z 1)
1 z
解:
1 1
z z
(1 z)(1 1 z 2
由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为按段光滑曲线.
注:按段光滑曲线是可求长的,但简单曲线不一定可求长.
5 单连通区域
复平面上的一个区域D, 如果在其中任作 一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于D, 就称 为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称 为多连通域.
单连通域
多连通域
例 (1) 满足下列条件的点集是什么, 如果是区 域, 指出是单连通域还是多连通域?
E的每一点及圆周 z 1上点都是E的聚点, 圆周 z 1为E的边界,
E为开集.
4.聚点(极限点)的等价说法
(1) z0 E', (2) N (z0 ) E有无穷多点, (3) N (z0 )存在异于z0属于E的点, (4) N (z0 )含属于E的两个不同的点,
(5)
{zn}
E, lim n
边界点: N (z0 )既有E的点,也有不是E的点,
集E的全部边界点所组成的集合称为E的边界，
记为 E.
3.开集: 所有点为内点的集合；
闭集: 或者没有聚点，或者所有聚点都属于它；
E' E,
有界集:
M 0,z E, z M, 或M 0,使E NM (0)
例 E {z | z 1}
例3: 设 z 1 ,试证 (1 i)z3 iz 3 .
2
4
证明: (1 i)z3 iz z (1 i)z2 i
z (1i z 2 i )
1 (1 2 1) 1 (1 1) 3
24
22
4
例4: 求复数 1 z 的实部,虚部和模.(z 1)
1 z
解:
1 1
z z
(1 z)(1 1 z 2
由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为按段光滑曲线.
注:按段光滑曲线是可求长的,但简单曲线不一定可求长.
5 单连通区域
复平面上的一个区域D, 如果在其中任作 一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于D, 就称 为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称 为多连通域.
单连通域
多连通域
例 (1) 满足下列条件的点集是什么, 如果是区 域, 指出是单连通域还是多连通域?
E的每一点及圆周 z 1上点都是E的聚点, 圆周 z 1为E的边界,
E为开集.
4.聚点(极限点)的等价说法
(1) z0 E', (2) N (z0 ) E有无穷多点, (3) N (z0 )存在异于z0属于E的点, (4) N (z0 )含属于E的两个不同的点,
(5)
{zn}
E, lim n
复变函数第一章讲义
引言复数理论的产生、发展经历了漫长而又艰难的岁月。
复数是16世纪人们在解代数方程时引入的。
1545年意大利数学物理学家H Cardan ⋅在所著《重要的艺术》一书中列出并解出将10分成两部分，使其积为40的问题,即求方程(10)40x x -=的根。
他求出形式的根为55，积为25(15)40--=。
但由于这只是单纯从形式上推广而引进，并且人们原先就已断言负数开平方是没有意义的.因而复数在历史上长期不能为人们所接受。
“虚数"这一名词就恰好反映了这一点。
直到十八世纪，J R D Alembert '⋅⋅,L Euler ⋅等人逐步阐明了复数的几何意义与物理意义,建立了系统的复数理论,从而使人们缍接受并理解了复数。
复数函数和理论基础是在十九世纪奠定的，主要是围绕Cauchy 、Weierstrass 和Riemann 三人的工作进行的。
到本世纪,复数函数论是数学的重要分支之一，随着它的领域不断扩大而发展成庞大的一门学科，在自然科学其它学科及数学的其它分支中,复数函数论都有着重要应用。
第一章 复数与复变函数教学重点： 复变函数的极限和连续性 教学难点： 复平面上点集的n 个概念教学基本要求:1、了解复数定义及其几何意义，熟练掌握复数运算 ２、知道无穷远点邻域3、了解单连通区域与复连通区域 ４、理解复变函数、极限与连续§１复数1、复数域形如z x iy =+或z x yi =+的数,称为复数,其中x 和y 均是实数，分别称为z 的实部和虚部，记作Re x z =，Im y z =；i =称为虚单位.两个复数111z x iy =+，222z x iy =+，12z z =1212,x x y y ⇔==.虚部为零的复数可看作实数。
因此，全体实数是全体复数的一部分.x iy +和x iy -称为互为共轭复数，记为x iy x iy +=-或x iy x iy -=+．复数四则运算规定为：121212()()z z x x i y y ±=+±+ 1212121221()()z z x x y y i x y x y =-++ 1121212122222222222(0)z x x y y y x x y i z z x y x y +-=+≠++易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律。
第一章 复变函数
(2)与 (3)为二维Laplace ,满足此方程的函数为调和函数 . 方程
初等函数的重要性质： 初等函数在定义域内连续可导,由 此我们也可知道对初等函数其不可 导处一定是不在定义域内. 函数不可导的点称为函数的奇点. . 初等函数的奇点一定在定义域不存 在的点.例如对有理分式,其分母为零 处为奇点. 1 例2 f ( z ) = z − a 奇点在z=a.除了 z=a点外,f(z)在整个复平面上解析.
第一章 复变函数
• 1.1复数定义与复数运算 • (一)复数的定义: z=x+iy (1) ,其中x,y为实数,i 为 虚数单位,i2=-1 • 上式为复数的代数式(也是其直角坐标式), • x和y 分别为复数的实部与虚部,记为Rez 和Imz . • 理解上复数可看成是复数平面上的一点或一个向 量. • 复数的极坐标与指数表示:z=ρ(cosφ+isinφ) (2), • z=ρe iφ (3)(其中ρ为复数的模, φ为幅角记为Argz) • (二)复数的运算 • 设两个复数z1= x1 + iy1 , z2= x2 + iy2 , • z1 + z2的定义为: (a)z1 + z2 =(x1 + x2)+i(y1+y2)(3)
所以满足上述两条件的区域是开区域,不包括 境界线.由此我们知道区域是一类特殊的点集. 当 需要考虑境界线时(即闭区域问题) , 函数的定义 域大于该闭区域. 用复数表示区域: 例1: | z-a | <R 表示以a点 : 1: a 为圆心,半径为R的圆内的所有点. (三) 初等函数 (1)多项式 : a0+a1z+a2z2+a3z3＋……＋ anzn… (2)有理分式:
1.5 平面标量场
复变函数第一章第1讲
复变函数与积分变换 西安文理学院物电学院
第 一 章 复 数 与 复 变 函 数
z1 z1 例4 设 z1 5 5i , z2 3 4i , 求 与 . z2 z2
解
z1 5 5i (5 5i )( 3 4i ) z2 3 4i ( 3 4i )( 3 4i )
记为 z r x 2 y 2 .
显然下列各式成立
y y
r
o
2
Pz x iy
x z, z x y,
y z,
z z z z2 .
x
x
复变函数与积分变换
西安文理学院物电学院
第 一 章 复 数 与 复 变 函 数
3. 复数的辐角
在 z 0 的情况下, 以正实轴为始边 , 以表示 z 的向量OP 为终边的角的弧度数 称为 z 的辐角, 记作 Argz .
计算共轭复数yi的积是一个实数两个共轭复数西安文理学院物电学院复变函数与积分变换西安文理学院物电学院复变函数与积分变换的形式将下列复数表示为iy西安文理学院物电学院复变函数与积分变换20152015西安文理学院物电学院复变函数与积分变换西安文理学院物电学院复变函数与积分变换西安文理学院物电学院复变函数与积分变换叫虚轴或纵轴通常把横轴叫实轴或用来表示复数的平面可以一个建立了直角坐标系因此对应成一一与有序实数对复数表示面上的点可以用复平复数西安文理学院物电学院复变函数与积分变换的模或绝对值向量的长度称为z表示可以用复平面上的向量复数opiy西安文理学院物电学院复变函数与积分变换称为为终边的角的弧度数的向量以表示说明0有有无穷有无穷多是其中一个辐角如果特殊地的全部辐角为那么西安文理学院物电学院复变函数与积分变换辐角主值的定义
第 一 章 复 数 与 复 变 函 数
z1 z1 例4 设 z1 5 5i , z2 3 4i , 求 与 . z2 z2
解
z1 5 5i (5 5i )( 3 4i ) z2 3 4i ( 3 4i )( 3 4i )
记为 z r x 2 y 2 .
显然下列各式成立
y y
r
o
2
Pz x iy
x z, z x y,
y z,
z z z z2 .
x
x
复变函数与积分变换
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第 一 章 复 数 与 复 变 函 数
3. 复数的辐角
在 z 0 的情况下, 以正实轴为始边 , 以表示 z 的向量OP 为终边的角的弧度数 称为 z 的辐角, 记作 Argz .
计算共轭复数yi的积是一个实数两个共轭复数西安文理学院物电学院复变函数与积分变换西安文理学院物电学院复变函数与积分变换的形式将下列复数表示为iy西安文理学院物电学院复变函数与积分变换20152015西安文理学院物电学院复变函数与积分变换西安文理学院物电学院复变函数与积分变换西安文理学院物电学院复变函数与积分变换叫虚轴或纵轴通常把横轴叫实轴或用来表示复数的平面可以一个建立了直角坐标系因此对应成一一与有序实数对复数表示面上的点可以用复平复数西安文理学院物电学院复变函数与积分变换的模或绝对值向量的长度称为z表示可以用复平面上的向量复数opiy西安文理学院物电学院复变函数与积分变换称为为终边的角的弧度数的向量以表示说明0有有无穷有无穷多是其中一个辐角如果特殊地的全部辐角为那么西安文理学院物电学院复变函数与积分变换辐角主值的定义
复变函数第一章
2 y2
z1 x1 iy1 x1 x2 y1 y 2 x 1 y x2 i y22y x121 2 (* 2 0) 1 1 2 z 2 2 z 2 B x2 iy 2 x2 y 2 x2 y 2 B
1
2）复数的方幂运算
为了讨论复数的乘幂和方根，先考虑复数三角形式的积和商。 设有两个非零的复数 z r1 (cos 1 i sin 1 ), z 2 r 2 (cos 2 i sin 2 )
z x iy
z1 x1 iy1
z 2 x2 iy 2
x x1 y y 1
y1 x2 x1 A y x1 y 2 1
2 x2
y1 z Az2 x1 z Bz
• 例4 求 Arg(2 2i) 和 Arg(3. 4i)
Arg(2 2i) arg(2 2i) 2k
2 arctan 2k 2 2k (k 0, 1, 2, ) 4
4 Arg(3 4i) arg(3 4i) 2k arctan 2k 3
复数z与其共轭复数 z的几何表示
共 轭 复 数 具 有 下 列 运性 质 算
y
z
ห้องสมุดไป่ตู้
zz
z1 z 2 z1 z 2
x
O
z1 z 2 z1 z 2
z1 z 2 z1 z ( z 2 0) 2
z
z与其共轭复数 z的模相等，幅角值相反 .
zz [Re z]2 [Im z]2
2、复数的几何表示及向量表示
由复数的定义可知，复数是由一对有序实数惟一确定的,
z1 x1 iy1 x1 x2 y1 y 2 x 1 y x2 i y22y x121 2 (* 2 0) 1 1 2 z 2 2 z 2 B x2 iy 2 x2 y 2 x2 y 2 B
1
2）复数的方幂运算
为了讨论复数的乘幂和方根，先考虑复数三角形式的积和商。 设有两个非零的复数 z r1 (cos 1 i sin 1 ), z 2 r 2 (cos 2 i sin 2 )
z x iy
z1 x1 iy1
z 2 x2 iy 2
x x1 y y 1
y1 x2 x1 A y x1 y 2 1
2 x2
y1 z Az2 x1 z Bz
• 例4 求 Arg(2 2i) 和 Arg(3. 4i)
Arg(2 2i) arg(2 2i) 2k
2 arctan 2k 2 2k (k 0, 1, 2, ) 4
4 Arg(3 4i) arg(3 4i) 2k arctan 2k 3
复数z与其共轭复数 z的几何表示
共 轭 复 数 具 有 下 列 运性 质 算
y
z
ห้องสมุดไป่ตู้
zz
z1 z 2 z1 z 2
x
O
z1 z 2 z1 z 2
z1 z 2 z1 z ( z 2 0) 2
z
z与其共轭复数 z的模相等，幅角值相反 .
zz [Re z]2 [Im z]2
2、复数的几何表示及向量表示
由复数的定义可知，复数是由一对有序实数惟一确定的,
复变函数 第一章
复数 z x iy 可以用复平 面上的点( x , y ) 表示.
o
x
x
35
2. 复数的模(或绝对值)
复数 z x iy 可以用复平面上的向量 OP 表示,
向量的长度称为z 的模或绝对值,
记为 z r x y .
2 2
y y
显然下列各式成立
r
Pz x iy
x z, z x y,
2 2
(4) z z 2 Re( z ), z z 2i Im( z ).
以上各式证明略.
32
例2 将下列复数表示为x iy 的形式. 7 1 i i 1 i (1) ( 2) . ; 1 i i 1 i (1 i )2 (1 i )2 1 i i , 解 (1) 2 1 i (1 i )(1 i )
3．复数域还能扩张吗？
• 我们知道，应客观需要以及为了克服某 种运算在某一数系内不能畅通的矛盾， 人们在从自然数到复数的认识过程中共 经历了4次扩张：
17
扩张原则
• (1)扩张的目的：使在旧数系中不能总进 行的某种运算在扩张后的新数系中总能 进行。 • (2)扩张的范围：进行每一次扩张总是要 从一个较小的旧数系扩充到一个较大的 新数系，且使得旧数系是新数系的一部 分。
5
二．复数发展史
• 为了建立解析函数论的理论基础，由它 所研究的对象易知，我们应该首先讨论 复数与复变函数，显然应该首先关注复 数的有关问题。 • 复数理论的产生和发展经历了漫长而又 艰难的岁月。
பைடு நூலகம்
6
7
8
9
• 1777年，数学家欧拉系统地建立了复数 理论，发现了复指数函数和三角函数间 的关系，创立了复变函数论的一些基本 定理，他首创的用i作为虚数单位的符号 一直沿用到今天。
复变函数第一章1.2
≤ z1 + z2 + 2 z1 z2 = z1 + z2 + 2 z1 z2
2 2 2 2
即 z1 + z2 ≤ z1 + z2
= ( z1 + z2 ) 2
例 8 : 求下列方程所表示的曲 线 (1) z + i = 2 ( 2) z − 2i = z + 2 ( 3) I m ( i + z ) = 4
通过点( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )的直线方程是
x − x1 = ( x2 − x1 )t 则 y − y1 = ( y2 − y1 )t 即 z − z1 = ( z2 − z1 )t 也即 z = z1 + ( z2 − z1 )t
点的表示： 点的表示：z = x + iy ↔ 复平面上的点 P ( x， y )
֠
同义. 数z与点z同义.
2. 向量表示法
∵ z = x + iy ↔ 点 P ( x ， y ) ↔ OP = { x , y } ∴ 可用向量 OP 表示 z = x + iy .
称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值； 的 称向量的长度为复数 绝对值； 为始边, 向量 OP 为终边的角的 以正实轴 为始边, 以 称为复数z=x+iy的辐角 ≠0时) 弧度数 称为复数 的辐角.(z 时
例3. 求 (1) 1 + i ( 2) i ( 3) − 3 (4) − 1 − 3i 的模 , 辐角及辐角主值 .
−π2Leabharlann 例4. 求 (1) e ( 2) 3e ( 3) e
2i
−i
2
的模 , 辐角.
例5. 将z = sin
2 2 2 2
即 z1 + z2 ≤ z1 + z2
= ( z1 + z2 ) 2
例 8 : 求下列方程所表示的曲 线 (1) z + i = 2 ( 2) z − 2i = z + 2 ( 3) I m ( i + z ) = 4
通过点( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )的直线方程是
x − x1 = ( x2 − x1 )t 则 y − y1 = ( y2 − y1 )t 即 z − z1 = ( z2 − z1 )t 也即 z = z1 + ( z2 − z1 )t
点的表示： 点的表示：z = x + iy ↔ 复平面上的点 P ( x， y )
֠
同义. 数z与点z同义.
2. 向量表示法
∵ z = x + iy ↔ 点 P ( x ， y ) ↔ OP = { x , y } ∴ 可用向量 OP 表示 z = x + iy .
称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值； 的 称向量的长度为复数 绝对值； 为始边, 向量 OP 为终边的角的 以正实轴 为始边, 以 称为复数z=x+iy的辐角 ≠0时) 弧度数 称为复数 的辐角.(z 时
例3. 求 (1) 1 + i ( 2) i ( 3) − 3 (4) − 1 − 3i 的模 , 辐角及辐角主值 .
−π2Leabharlann 例4. 求 (1) e ( 2) 3e ( 3) e
2i
−i
2
的模 , 辐角.
例5. 将z = sin
复变函数第一章1.4
若x' (t )、y' ( t ) C[a, b]且[ x' (t )]2 [ y' ( t )]2 0 则称该曲线为光滑的 . 有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线。
重点 设连续曲线C：z=z(t)，a≤t≤b， 对于t1∈(a，b), t2 ∈[a, b],当t1≠t2时，若z(t1)=z(t2)， 称z(t1)为曲线C的重点。 定义 称没有重点的连续曲线C为简单曲线或 Jardan曲线;若简单曲线C 满足z(a)=z(b)时，则称 此曲线C是简单闭曲线或Jordan闭曲线 。
外部 边界
单连通域 例如
多连通域
|z|<R（R>0）是单连通的； 0≤r<|z|≤R是多连通的。
单连通域
多连通域
2. 简单曲线（或Jardan曲线)
平 面 上 一 条 连 续 曲 线表 可示 为 ： x x( t ) (a t b),实 变 函 数 x( t )、y( t ) C[a , b] y y( t )
令z(t)=x(t)+iy(t)
Байду номын сангаас
a ≤t ≤b ;
则曲线方程可记为：z=z(t)， a≤t≤b
r1 z z0 r2 表示一个圆环 ,而 且 是 有 界 的 .
它的边界由两个圆周 z z0 r2 , z z0 r1组 成, 如 果 在 其 中 去 掉 一 个几 或个 点 ,它 仍 然 是 区 域 , 只 是 边 界 增 加 了 一 个几 或个 点 .
如点集z r1 z z0 r2 是一有界区域, 其边界由 两个圆周 z z0 r1 , z z0 r2 构成.此域称为圆环域 如在圆环内去掉若干个点, 它仍是区域, 但边界有变 化, 是两个圆周及其若干个孤立点所构成
重点 设连续曲线C：z=z(t)，a≤t≤b， 对于t1∈(a，b), t2 ∈[a, b],当t1≠t2时，若z(t1)=z(t2)， 称z(t1)为曲线C的重点。 定义 称没有重点的连续曲线C为简单曲线或 Jardan曲线;若简单曲线C 满足z(a)=z(b)时，则称 此曲线C是简单闭曲线或Jordan闭曲线 。
外部 边界
单连通域 例如
多连通域
|z|<R（R>0）是单连通的； 0≤r<|z|≤R是多连通的。
单连通域
多连通域
2. 简单曲线（或Jardan曲线)
平 面 上 一 条 连 续 曲 线表 可示 为 ： x x( t ) (a t b),实 变 函 数 x( t )、y( t ) C[a , b] y y( t )
令z(t)=x(t)+iy(t)
Байду номын сангаас
a ≤t ≤b ;
则曲线方程可记为：z=z(t)， a≤t≤b
r1 z z0 r2 表示一个圆环 ,而 且 是 有 界 的 .
它的边界由两个圆周 z z0 r2 , z z0 r1组 成, 如 果 在 其 中 去 掉 一 个几 或个 点 ,它 仍 然 是 区 域 , 只 是 边 界 增 加 了 一 个几 或个 点 .
如点集z r1 z z0 r2 是一有界区域, 其边界由 两个圆周 z z0 r1 , z z0 r2 构成.此域称为圆环域 如在圆环内去掉若干个点, 它仍是区域, 但边界有变 化, 是两个圆周及其若干个孤立点所构成
复变函数第一章-2
20
【例1.17】证明函数 f z [证] 令 z x iy 则 f z
由此得 u x, y
Re z z
x
当 z 0 时的极限不存在
x2 y2 x x y
2 2
v x, y 0
令z沿直线y=kx趋于零，则有
x 0 y kx
lim u x, y lim
x x2 y 2
x 0 y kx
lim
x 0
x
1 k x
2
2
1
1 k
2
显然，它随k的不同而不同，所以 lim u x, y 不存在 x 0
y 0
虽然 lim v x, y 0，但根据定理一， lim f z 不存在
则存在，按照这一法则，对于集合G中的每一个复数z， 就有一个或几个复数w=u+iv与之对应，那么称复变数 w是复变数z的函数(简称复变函数)，记作
w f (z )
如果对每个zG，有唯一的w同它对应，则称w=f(z)为 单值函数. 否则称为多值函数 .
集合G称为f(z)的定义集合，即定义域；对应于G中所 有z的一切w值所成的集合G*，称为函数值集合，也称 为值域 .
没有重点的连续曲线C，称为简单曲线或Jordan曲线.
如果简单曲线C的起点与终点重合，即z(a)=z(b)，那么曲 线C称为简单闭曲线.
若尔当曲线定理 任意一条简单闭曲线将平面分为两个区域。它们都
以该曲线为边界。其中一个为有界区域，称为该简 单闭曲线的内部；另一个为无界区域，称为外部.
8
定义 复平面上的一个区域D，如果在其中任作一条简单闭曲
复变函数论第1章第2节
1 平面点集的基本概念
定义1.1 平面上以 பைடு நூலகம்0 为心，为半径的圆内部
| z z0 | ρ 点的全体, 称作点 z0 的 ρ 邻域 , 记作
Nρ ( z0 );
称点集 0 | z z0 | ρ 为点 z0 的去心 ρ
邻域， 记作 N ( z0 ) { z0 }.
若平面上一点z0 的任意邻 定义1.2 对于点集E，
1 3
1 3
(4) z 1 z 1 4 z 1 z 1 4
表示到1, –1的距离之 和为定值4的点的轨迹,
是椭圆,
z 1 z 1 4表示该椭圆内部,
有界的单连通域. 作业： P42 6 (2)(3)(4)(5)(8)
Re( z ) 1 x y 1,
2 2 2
无界的单连通域.
( 2) arg z 3 arg z arg z , 3 3 3
是角形域, 无界的单连通域.
1 ( 3) 3 z
1 1 3 z , z 3 1 是以原点为中心 , 半径为 3 的圆的外部, 无界的多连通域.
而半径充分小的圆. 在 Nε ( z ) 内可作以 z0 为圆心，
在此圆内属于E 的点和不属E 这时由 z0 E 知，
的点都存在，于是，在 Nε ( z ) 内属于 E 的点和不属
故 z E , 因此 E 是闭集. 于 E 的点都存在，
2 区域与若尔当（Jondan)曲线
定义1.5 具备下列性质的非空点 集 D 称为区域 ：
点 z 都满足 | z | M , 则称 E 为有界集; 否则 , 称
E 为无界集.
以下五种说法彼此等价：
(1) z0 为 E 的聚点或极限点；
定义1.1 平面上以 பைடு நூலகம்0 为心，为半径的圆内部
| z z0 | ρ 点的全体, 称作点 z0 的 ρ 邻域 , 记作
Nρ ( z0 );
称点集 0 | z z0 | ρ 为点 z0 的去心 ρ
邻域， 记作 N ( z0 ) { z0 }.
若平面上一点z0 的任意邻 定义1.2 对于点集E，
1 3
1 3
(4) z 1 z 1 4 z 1 z 1 4
表示到1, –1的距离之 和为定值4的点的轨迹,
是椭圆,
z 1 z 1 4表示该椭圆内部,
有界的单连通域. 作业： P42 6 (2)(3)(4)(5)(8)
Re( z ) 1 x y 1,
2 2 2
无界的单连通域.
( 2) arg z 3 arg z arg z , 3 3 3
是角形域, 无界的单连通域.
1 ( 3) 3 z
1 1 3 z , z 3 1 是以原点为中心 , 半径为 3 的圆的外部, 无界的多连通域.
而半径充分小的圆. 在 Nε ( z ) 内可作以 z0 为圆心，
在此圆内属于E 的点和不属E 这时由 z0 E 知，
的点都存在，于是，在 Nε ( z ) 内属于 E 的点和不属
故 z E , 因此 E 是闭集. 于 E 的点都存在，
2 区域与若尔当（Jondan)曲线
定义1.5 具备下列性质的非空点 集 D 称为区域 ：
点 z 都满足 | z | M , 则称 E 为有界集; 否则 , 称
E 为无界集.
以下五种说法彼此等价：
(1) z0 为 E 的聚点或极限点；
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argz=arctg
y x
arctg
cos1 1 sin1
arctg
sin
π 2
1
cos
1
π 2
1
arctg
2
sin
π 4
1 2
cos
2
cos2
π 4
π 4 1 2
1 2
π 4
1 2
于是z的三角表示式为
z
2
cos
π 4
1 2
cos
π 4
1 2
i
sin
在z(≠0)的辐角中， 我们把满足－π<θ0≤π的θ0称为辐角
Arg z的主值， 记作arg z=θ0， 即
Arg z=arg z+2kπ （k为任意整数）
（1.1.4）
当z=0， 即|z|=0时， 其辐角是不确定的。
图1.2
辐角的主值arg z(z≠0)可以由z在不同的象限由反正切
y arc tg
当虚部为数字时， 习惯上把虚数i放在数字后， 如2+3i； 当虚部为字母时， 习惯上把虚数i放在字母前， 如a+ib。
当x=0， y≠0时， z=0+iy=iy， 被称为纯虚数； 当y=0时， z=x+0i=x， 我们把它看做是实数x。
2. 由于一个复数z=x+iy由一对有序实数(x, y)唯一确定， 如果在二维平面给定的直角坐标系上来描述复数， 则全体 复数集合与该平面上点的全体集合构成一一对应的关系， 因此我们把复数z=x+iy用该平面上坐标为(x, y)的点来表示， 这是复数的一个常用的几何表示式。
第一章 复数与复变函数
1.1 复数及其表示式 1.2 复数的运算 1.3 复平面上的区域 1.4 1.5 复变函数的极限和连续性
1.1
1. 复数的概念 我们已经知道在实数范围内， 方程x2=－1是无解的。 由于解方程的需要， 人们引进了一个虚数单位i（或j）， 并且规定i2=－1， 从而得出i是方程x2=－1 对于任意两个实数x和y， 我们称z=x+iy（或写成z=x+yi 形式）为复数， 其中， x， y分别称为z的实部和虚部， 记 作x=Re(z)， y=Im(z)。
这时， 有
tg(Argz) y x
（1.1.2）
我们知道， 对于任何一个不为零的复数来讲， 有无穷
多个辐角（见图1.2）， 即Arg z是一个多值函数， 并且辐角
之间满足： 如果θ1是其中的一个辐角， 那么
Arg z=θ1+2kπ （k为任意整数）
（1.1.3）
上式给出了z的全部辐角之间的关系。
图1.3
由向量平行法则知， 边|z1|、 边|z2|和边|z1－z2|构成一个 三角形， 其中|z1－z2|表示向量P2P1的长， 也就是复平面上 点z1、 z2之间的距离。 事实上，
| z1 z2 || x1 x2 iy1 y2 | x1 x2 2 y1 y2 2
这正是平面上两点之间的距离公式。
按下列关系来确定：
x
(1.1.5)
［例1］ 求复数1+i与 1 i与-3 3-3i 的辐角及其辐角 主值。
解 对于z=1+i， z在第一象限， 辐角主值
arg
z
arctg
y x
arctg1
π 4
，
辐角
Argz arg z 2kπ= π 2kπ 4
(k为任意整数)。
对于 3 3 3i ， z在第三象限， 辐角主值
边|z1|、 边|z2|和边|z1+z2|也构成一个三角形。 由几何知识解释知下面两个不等式成立：
|z1+z2|≤|z1|+|z2|, |z1－z2|≥||z1|－|z2|| 两个复数z1=x1+iy1， z2=x2+iy2的乘法、 除法定义如下：
θ为辐角Arg z。
将欧拉（Euler）公式eiθ=cosθ+i sinθ代入复数的三 角表示式， 我们又可以得到：
z=reiθ
(1.1.7)
这种表示形式称为复数的指数表示式。 由于辐角的多值
性， 复数z的三角表示式和指数表示式并不是唯一的。 复数 的各种表示法可以互相转换， 以适应在讨论不同问题时的
arg
z
arctg
y x
π
arctg
3 3 3
π
5 6
π
辐角
Argz arg z 2kπ= 5 π 2kπ 6
(k为任意整数)。
根据直角坐标与极坐标的转换关系式： x=r cosθ，
y=r sinθ， 还可以把z表示成下面的形式：
z=r(cosθ+i sinθ)
（1.1.6）
上式称为复数的三角（极坐标）表示式。 其中， r为z的模，
需要。
［例2］ 将复数z=1+sin1+icos1化为三角表示式与指数 解 先求出z的模r和辐角主值arg z:
r2 1 sin12 cos2 1 21 sin1
2
1
cos
π 2
1
4
cos2
π 4
1 2
r
2
cos
π 4
1 2
0
因为1+sin1>0； cos1>0, 所以z在第一象限。
π 4
1 2
z的指数表示式为
z
2
cos
π 4
1 2
ei
π 4
1 2
一般我们把z化为三角或指数形式时θ用辐角主值代替即可。
1.2
1. 复数的四则运算
两个复数z1=x1+iy1， z2=x2+iy2的加、 减法定义如下：
(x1+iy1)±(x2+iy2)=(x1±x2)+i(y1±y2)
(1.2.1)
不难看出， 复数与复平面上的点是一一对应的， 即每 一个复数z=x+iy确定复平面上一个坐标为(x, y)的点， 反之 亦然。 这样一方面使我们能借助于几何语言和方法研究复 变函数的问题， 另一方面也为复变函数应用于实际奠定了 基础。
在复平面上， 复数z不止与点(x, y)一一对应， 它还与从
原点O指向点z=x+iy的平面向量一一对应， 因此复数z也能
Hale Waihona Puke 用向量 OP 来表示（见图1.1）， 即复数的向量表示方式。
向量的长度称为复数z的模或绝对值， 记作
z r x2 y2
(1.1.1)
图1.1
显然， 下列各式是成立的： |x|≤|z|， |y|≤|z|， |z|≤|x|+|y|
当z≠0时， 以正实轴为始边， 以表示z的向量 OP 为终 边所确定的角θ称为z的辐角， 记为Arg z=θ。
上式表明两个复数相加减是实部与实部相加减， 虚部与虚
部相加减。 显然， 当z1与z2为实数（即当y1=y2=0）时， 上 式与实数的运算法则一致。
设复数z1、 z2分别用对应的向量OP1、 OP2表示， 则 复数的加减法与向量的加减法一致， 于是在平面上以OP1、 OP2为邻边的平行四边形的对角线OP就表示了复数z1+z2 （见图1.3）， 对角线P2P1就表示了复数z1－z2。