黎曼几何与黎曼时空
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目录
黎曼几何与黎曼时空..................................................................................................................... - 1 -
1.流形中的坐标变换.......................................................................................................................................- 1 2.标量............................................................................................................................................................... - 1 -
目录
22.黎曼空间的曲率张量...............................................................................................................................- 22 （1）曲率张量的对称性......................................................................................................................- 22 （3）三个派生的重要张量..................................................................................................................- 23 （3）曲率张量的独立分量..................................................................................................................- 23 （4）空间的平坦性..............................................................................................................................- 23 （5）毕安基恒等式..............................................................................................................................- 24 -
14.挠率的几何意义.......................................................................................................................................- 14 15.曲率的几何意义.......................................................................................................................................- 14 16.空间的平直性...........................................................................................................................................- 17 17.曲率张量的两点性质...............................................................................................................................- 17 18.度规张量...................................................................................................................................................- 17 -
（1）标量场的协变微商........................................................................................................................- 8 （2）协变矢量场的协变微分................................................................................................................- 8 10.协变微商的莱布尼茨法则.........................................................................................................................- 9 11.几个重要的协变微分.................................................................................................................................- 9 （1）逆变矢量场的协变微分................................................................................................................- 9 （2）二阶协变张量的协变微分........................................................................................................... - 9 -
20.等效原理的数学基础...............................................................................................................................- 20 21.短程线.......................................................................................................................................................- 20 -
（1）距离与度规..................................................................................................................................- 17 （2）度规的正则形式与幺正基......................................................................................................... - 18 （3）时空与号差..................................................................................................................................- 18 （4）张量指标的升降..........................................................................................................................- 18 19.克里斯多菲符号.......................................................................................................................................- 19 -
12.测地线方程...............................................................................................................................................- 10 13.曲率和挠率...............................................................................................................................................- 13 -
6.列维-西维塔平移......................................................................................................................................... - 2 7.协变矢量的平移研究...................................................................................................................................- 3 8.逆变矢量的平移研究...................................................................................................................................- 6 9.协变微商.......................................................................................................................................................- 8 -
4.证明
v u
为二阶张量.....................................................................................................................................
-
2
-
Βιβλιοθήκη Baidu5.二阶张量.......................................................................................................................................................- 2 -
（3）二阶逆变张量的协变微分........................................................................................................... - 9 （4）二阶混合张量的协变微分......................................................................................................... - 10 （5）一、三阶张量的协变微分......................................................................................................... - 10 -
3.矢量............................................................................................................................................................... - 1 -
黎曼几何与黎曼时空..................................................................................................................... - 1 -
1.流形中的坐标变换.......................................................................................................................................- 1 2.标量............................................................................................................................................................... - 1 -
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22.黎曼空间的曲率张量...............................................................................................................................- 22 （1）曲率张量的对称性......................................................................................................................- 22 （3）三个派生的重要张量..................................................................................................................- 23 （3）曲率张量的独立分量..................................................................................................................- 23 （4）空间的平坦性..............................................................................................................................- 23 （5）毕安基恒等式..............................................................................................................................- 24 -
14.挠率的几何意义.......................................................................................................................................- 14 15.曲率的几何意义.......................................................................................................................................- 14 16.空间的平直性...........................................................................................................................................- 17 17.曲率张量的两点性质...............................................................................................................................- 17 18.度规张量...................................................................................................................................................- 17 -
（1）标量场的协变微商........................................................................................................................- 8 （2）协变矢量场的协变微分................................................................................................................- 8 10.协变微商的莱布尼茨法则.........................................................................................................................- 9 11.几个重要的协变微分.................................................................................................................................- 9 （1）逆变矢量场的协变微分................................................................................................................- 9 （2）二阶协变张量的协变微分........................................................................................................... - 9 -
20.等效原理的数学基础...............................................................................................................................- 20 21.短程线.......................................................................................................................................................- 20 -
（1）距离与度规..................................................................................................................................- 17 （2）度规的正则形式与幺正基......................................................................................................... - 18 （3）时空与号差..................................................................................................................................- 18 （4）张量指标的升降..........................................................................................................................- 18 19.克里斯多菲符号.......................................................................................................................................- 19 -
12.测地线方程...............................................................................................................................................- 10 13.曲率和挠率...............................................................................................................................................- 13 -
6.列维-西维塔平移......................................................................................................................................... - 2 7.协变矢量的平移研究...................................................................................................................................- 3 8.逆变矢量的平移研究...................................................................................................................................- 6 9.协变微商.......................................................................................................................................................- 8 -
4.证明
v u
为二阶张量.....................................................................................................................................
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（3）二阶逆变张量的协变微分........................................................................................................... - 9 （4）二阶混合张量的协变微分......................................................................................................... - 10 （5）一、三阶张量的协变微分......................................................................................................... - 10 -
3.矢量............................................................................................................................................................... - 1 -