2023年新高考数学大一轮复习专题15 三角形中的范围与最值问题(原卷版)

专题15 三角形中的范围与最值问题

【方法技巧与总结】

1.在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点。解决这类问题，通常有下列五种解题技巧:

(1)利用基本不等式求范围或最值；

(2)利用三角函数求范围或最值；

(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值；

(4)根据三角形解的个数求范围或最值；

(5)利用二次函数求范围或最值.

要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大.

2.解三角形中的范围与最值问题常见题型：

(1)求角的最值；

(2)求边和周长的最值及范围；

(3)求面积的最值和范围.

【题型归纳目录】

题型一：周长问题

题型二：面积问题

题型三：长度问题

题型四：转化为角范围问题

题型五：倍角问题

题型六：角平分线问题

题型七：中线问题

题型八：四心问题

题型九：坐标法

题型十：隐圆问题

题型十一：两边夹问题

题型十二：与正切有关的最值问题

题型十三：最大角问题

题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题

题型十五：托勒密定理及旋转相似

题型十六：三角形中的平方问题

题型十七：等面积法、张角定理

【典例例题】 题型一：周长问题

例1．（2022·云南·昆明市第三中学高一期中）设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设

sin cos()6

a C c A π

=-．

(1)求A ；

(2)从三个条件：①ABC

b =a =ABC 周长的取值范围．

例2．（2022·重庆·高一阶段练习）已知向量(3sin ,cos )a x x =，(1,1)b =，函数()f x a b =⋅． (1)求函数()f x 在[]0,π上的值域；

(2)若ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且()2f A =，1a =，求ABC 的周长的取值范围．

例3．（2022·浙江·高三专题练习）锐角ABC 的内切圆的圆心为O ，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，

c .()222tan b c a A =+-，且ABC 的外接圆半径为1，则BOC 周长的取值范围为___________.

例4．（2022·浙江省新昌中学模拟预测）已知函数21

()cos sin 2

f x x x x ωωω=-+

，其中0>ω，若实数12,x x 满足()()122f x f x -=时，12x x -的最小值为2

π． (1)求ω的值及()f x 的对称中心；

(2)在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若()1,f A a =-=ABC 周长的取值范围．

题型二：面积问题

例5．（2022·贵州黔东南·高一期中）在面积为S 的△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()22sin sin 2sin sin sin C A S a b A B C ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭

. (1)求C 的值；

(2)若ABC 为锐角三角形，记2

S

m a =，求m 的取值范围.

例6．（2022·浙江·高二阶段练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,,cos 2a b c A A =． (1)求角A ；

(2)若点D 满足3

4

AD AC =，且2BC =，求BCD △面积的取值范围．

例7．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）在ABC 中，D 的边BC 的中点，3

2,2cos cos2()2

AD C A B =-+=． (1)求角C ；

(2)求ABC 面积的取值范围．

例8．（2022·江苏省天一中学高一期中）在ABC 中，角A ､B ､C 所对应的边分别为a ､b ､c ，若2cos 24

a c

b C ==-，

.ABC 是锐角三角形，则ABC 面积的取值范围是___________.

题型三：长度问题

例9．（2022·辽宁·模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且

()()sin sin sin 3sin c a b C A B a B +--+=．

(1)求角C 的大小；

(2)设1m ，若ABC 的外接圆半径为4，且2a mb +有最大值，求m 的取值范围．

例10．（2022·河南·模拟预测（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．22cos 22C C =，

4c =，

a b +=．

(1)求ABC

S ；

(2)求11

a b

-的取值范围．

例11．（2022·江苏·高三专题练习）已知ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2A+C =B ，ABC

的面积S . (1)求边c ；

(2)若ABC 为锐角三角形，求a 的取值范围.

例12．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（文））已知()(

)

cos ,cos ,3sin ,cos a x x b x x ==-，()f x a b =⋅，

(1)求()f x 的单调递增区间；

(2)设ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()1

2

f A =，且a =22b c +的取值范围.