2021年全国高考数学猜题试卷(学生版+解析版)(理科)
2021年高考押题数学试题(全国II卷)(理)(终极押题卷)(解析版)
半径，从而可得球表面积． 【详解】
设圆锥母线为 l ，底面半径为 r ，
则
2
l
r
l
2
1 3
2 3
3
，解得
l r
3 1，
如图， ABC 是圆锥轴截面，外接圆 O 是球的大圆，设球半径为 R ，
cos ABC r 1 sin ABC 2 2
l 3，
3，
2R l 3 9 2
sin ABC 2 2 4 R 9 2
【答案】D
【解析】
根据函数解析式判断奇偶性，结合最小正周期即可得出结果．
【详解】
y=cos|2x|是偶函数，A 错；
y=|sinx|是偶函数，B 错；
(
2x)
y=sin 2
=cos2x 是偶函数，C 错；
(3 2x)
y=cos 2
=-sin2x 是奇函数，根据公式求得其最小正周期 T=π，D 正确．
，
T9
1
1 210 1
1022 1023
．
故选：C．
x2
8．设双曲线
y2 4
1的左、右焦点分别为 F1, F2 ，若点 P 在双曲线上，且△F1PF2 为锐角三角形，则
PF1 PF2 的取值范围是（ ）
A． (4 2,6)
【答案】D
B． (6,8)
C． (4 2,8)
D． (6,10)
【解析】
0
，
所以 5a 12a 13a ，即13b 13a ，
所以 b a .
综上所述， a b 2 .
故选：A.
12．若数列
an
的前
n
项和为
Sn
bn
，
2021年全国统一高考数学试卷(新高考全国Ⅱ卷)(学生版+解析版)
2021年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅱ）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）复数在复平面内对应点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩∁U B ＝（）A．{3}B．{1，6}C．{5，6}D．{1，3}3．（5分）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点到直线y＝x+1的距离为，则p＝（）A．1B．2C．2D．44．（5分）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨迹高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，该卫星信号覆盖地球表面的表面积S＝2πr2（1﹣cosα）（单位：km2），则S占地球表面积的百分比约为（）A．26%B．34%C．42%D．50%5．（5分）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A．20+12B．28C．D．6．（5分）某物理量的测量结果服从正态分布N（10，σ2），则下列结论中不正确的是（）A．σ越小，该物理量在一次测量中落在（9.9，10.1）内的概率越大B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C．σ越小，该物理量在一次测量中小于为9.99与大于10.01的概率相等D．σ越小，该物理量在一次测量中结果落在（9.9，10.2）与落在（10，10.3）的概率相等7．（5分）已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是（）A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c8．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（x+2）为偶函数，f（2x+1）为奇函数，则（）A．f（﹣）＝0B．f（﹣1）＝0C．f（2）＝0D．f（4）＝0二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年全国统一高考数学试卷(理科)(甲卷)(学生版+解析版)
2021年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设集合M ＝{x |0＜x ＜4}，N ＝{x |13≤x ≤5}，则M ∩N ＝（ ）A ．{x |0＜x ≤13}B ．{x |13≤x ＜4}C ．{x |4≤x ＜5}D ．{x |0＜x ≤5}2．（5分）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ） A ．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B ．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C ．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D ．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 3．（5分）已知（1﹣i ）2z ＝3+2i ，则z ＝（ ） A ．﹣1−32iB ．﹣1+32iC ．−32+iD ．−32−i4．（5分）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L ＝5+lgV ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（ ）（√1010≈1.259） A ．1.5B ．1.2C ．0.8D ．0.65．（5分）已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝3|PF 2|，则C 的离心率为（ ）A ．√72B ．√132C ．√7D ．√136．（5分）在一个正方体中，过顶点A 的三条棱的中点分别为E ，F ，G ．该正方体截去三棱锥A ﹣EFG 后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）A ．B ．C ．D ．7．（5分）等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ．设甲：q ＞0，乙：{S n }是递增数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．（5分）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影A '，B '，C '满足∠A 'C 'B '＝45°，∠A 'B 'C '＝60°．由C 点测得B 点的仰角为15°，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45°，则A ，C 两点到水平面A 'B 'C '的高度差AA '﹣CC '约为（ ）（√3≈1.732）A ．346B ．373C ．446D ．4739．（5分）若α∈（0，π2），tan2α=cosα2−sinα，则tan α＝（ ）A ．√1515B ．√55C ．√53D ．√15310．（5分）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A ．13B ．25C ．23D ．4511．（5分）已知A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝1，则三棱锥O ﹣ABC 的体积为（ ） A ．√212B ．√312C ．√24D ．√3412．（5分）设函数f （x ）的定义域为R ，f （x +1）为奇函数，f （x +2）为偶函数，当x ∈[1，2]时，f （x ）＝ax 2+b ．若f （0）+f （3）＝6，则f （92）＝（ ）A ．−94B ．−32C ．74D ．52二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高考理科数学实战猜题卷 全国卷版【答案】
2021年高考理科数学实战猜题卷全国卷版答案以及解析一、选择题 1.答案：B解析：由题意知集合{}2|1{1038}B x x n n A ==-∈=-，，，，，则{}03P A B ==，，所以P 的子集有224=(个)，故选B. 2.答案：D 解析：由222i (1i)z -=+，得22i 2i z -=⋅，得1i1i iz -==--，故选D. 3.答案：B解析：由题意，得30150015001000n=⨯+，解得50n =.故选B.4.答案：B解析：易得函数()f x 的定义域为(0)(0)-∞+∞，，，2e e ()()x xf x f x x ---==-，()f x ∴为奇函数，排除A ；1(1)e e 0f -=->，∴排除D ；()()24ee 2e )'e (xx x x x x f x x --+--=3(2)e (2)e x xx x x --++=，2x ∴>时，)'(0f x >，∴排除C.故选B. 5.答案：C解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分（包含边界）所示，目标函数3z x y =+可化为133z y x =-+，作出直线13y x =-并平移，由图可知当直线经过点(2,0)时，在y 轴上的截距最小，此时z 取得最小值2，无最大值.故选C.解析：若乙是第一名，则乙说的是真话，因此丙是第一名，矛盾；若丙是第一名，则乙说的是真话，因此乙是第一名，矛盾；若丁是第一名，则丙说的是真话，因此丙是第一名，矛盾；若甲是第一名，经验证符合题意，则第一名是甲.故选A. 7.答案：B解析：由三视图可得该几何体为如图所示的三棱锥P ABC -，易求得11111222ABC S AC BC =⋅=⨯⨯=△，11122APC S AC AP =⋅=⨯△，11122PBC S BC BP =⋅=⨯△，由AP BP ==，AB =1132222PABS AB ==△，所以该几何体的各个面中PAB △的面积最大，为32.8.答案：D解析：由题意得2艘驱逐舰和1艘攻击型核潜艇，3艘驱逐舰和2艘攻击型核潜艇的组建方法有122532C C A 60⋅=种，2艘驱逐舰和2艘攻击型核潜艇，3艘驱逐舰和1艘攻击型核潜艇的组建方法有222532C C A 60⋅=种，由分类加法计数原理可知共6060120+=种组建方法，故选D. 9.答案：A解析：因为偶函数()f x 在区间()1-∞-，上单调递增，所以()f x 在区间(1)+∞，上单调递减.因为33log e log 20>>，所以3311log e log 2<，2ln 3log 3<，即12a b <<-<，又112211log log 254c =>=，所以1a b c <<-<，又()2()()log 3f b f b f =-=，所以()()()f a f b f c >>.故选A.解析：如图所示，设线段AB 的中点为()00P x y ，，分别过A P B ，，三点作准线l 的垂线，垂足分别为''A Q B ，，，由题意得''4AA BB AB +==，'22'AA BB PQ +==.又018PQ y =+，0128y ∴+=，0158y ∴=.11.答案：B解析：对于①，()f x 的最小正周期为2π2π1T ==，故①正确；对于②，因为πππ1sin 12232f ⎛⎫⎛⎫=+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π2f ⎛⎫⎪⎝⎭不是()f x 的最大值，故②错误；对于③，把函数sin y x =的图象上所有点向左平移π3个单位长度，得到函数π()sin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故③正确.故选B. 12.答案：C解析：法一：如图，取点E ，F 分别满足13AE AB =，2AF AC =，连接EF ，则123AD AB AC AE AF αβαβ=+=+.因为1αβ+=，所以点D 在直线EF 上，当且仅当AD EF ⊥时，||AD 取得最小值，此时，设AC b =，因为sin 3sin C B =，所以由正弦定理得33AB AC b ==.又90A =︒，所以AF AE EF AD ⋅=⋅，即AE AF AD EF ⋅=，得FD ，所以1sin sin 21sin sin 2ABDACDAB AD BADS AB BAD S AC DAC AC AD DAC ⋅∠∠===∠⋅∠△△33sin 33cos 2AD AFD AD AF FD AFD FD AF ⋅∠====∠，故选C.法二：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系.由sin 3sin C B =，得||3||AB AC =，所以可设1(0)C ，，(30)B ，，()D x y ，，又123AD AB AC αβ=+，所以()(30)2(01)(2)3x y αβαβ=+=，，，，，所以2x y αβ=⎧⎨=⎩，又1αβ+=，所以220x y +-=，所以点D 为直线220x y +-=上的点.过点A 作直线220x y +-=的垂线，当垂足为D 时，||AD 取得最小值，此时直线AD 的方程为12y x =，由12220y xx y ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩，得4525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即4255D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，此时332ABD D ACD D S y S x ==△△. 二、填空题 13.答案：12解析：由题意得2(42)+=a b ，，因为(1)λ=c ，，(2)+c a b ，所以124λ⨯=，即12λ=. 14.答案：3解析：设AB 的中点为E ，连接1ED ，则易知11BE C D ，11BE C D =，∴四边形11EBC D 是平行四边形，11BC ED ∴，1AD E ∴∠为直线1AD 与1BC 所成的角.四边形ABCD 是正方形，BA AD ∴⊥，1DD ⊥底面ABCD ，1BA DD ∴⊥，又1AD DD D =，BA ∴⊥平面11AA D D ，1BA AD ∴⊥，1AED △是直角三角形.设11122DD AB A B a ===，则1AD，13ED a =，111cos AD AD E ED ∴∠==15.答案：1解析：不妨设点P 在双曲线右支上.由双曲线的定义可得12PF PF -=又12PF PF +=1PF =2PF =又124F F =， 所以2221212PF PF F F +=，即12PF F △为直角三角形，所以1212112PF F S PF PF ==△. 16.答案：(116)，解析：()af x x x=+，222'()1a x a f x x x -∴=-=.当0a 时，对任意的()14x ∈，，()0'f x >，此时，函数()y f x =在区间()14，上单调递增，函数()y f x =在区间()14，上没有最小值；当0a >时，令()22'0x af x x -==，可得x =当0x <<时，)'(0f x <，当x )'(0f x >，此时，在()0+∞，上函数()y f x =的最小值点为x由题意可得14<，解得116a <<.因此，实数a 的取值范围是(116)，. 三、解答题17.解析：(1)因为()122n n n n a a a +-=，所以12(1)n n n a a n++=， 得121n n a an n+=⋅+.…………………………………………………2分 设nn a b n=，则12n n b b +=. 因为0n a ≠，所以0n b ≠，所以12n nb b +=.…………………………………………………4分 又1111a b ==，所以数列{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列， 故12n nn a b n-==，()1*2n n a n n -=⋅∈N .…………………………………………………6分 (2)由(1)可知135235n na n n n-+-=+-，…………………………………………………8分 故()()()01123152325235n n S n -=+⨯-++⨯-+++-()0112223(12)5n n n -=+++++++-237212nn n -=+-.…………………………………………………12分18.解析：(1)在三棱锥D ABC -中， 因为CD BC ⊥，CD AC ⊥，AC BC C =，所以CD ⊥平面ABC .又AE ⊂平面ABC ，所以AE CD ⊥，…………………………………………………2分 因为AB AC =，E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥，又BC CD C =，所以AE ⊥平面BCD .又AE ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面BCD .………………………………………5分 (2)由(1)可知DEC ∠即为直线DE 与平面ABC 所成的角， 所以π4DEC ∠=，故1CD CE ==. 如图，作EFCD 交BD 于点F ，由(1)知EA EB EF ，，两两垂直，以E 为原点，EA EB EF，，所在直线分别为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，则()000E ，，，()100A ，，，()010B ，，，()011D -，，， 易知平面BCD 的一个法向量1(100)=n ，，，………………………………………………7分 又(110)AB =-，，，(111)AD =--，，， 设平面ABD 的法向量为2()x y z =n ，，， 则220AB x y AD x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩n n ， 令1x =，得2(112)=n ，，，…………………………………………………9分所以121212cos ⋅==⋅n n n n n n ，由图可知该二面角为锐角， 所以二面角A BD C --…………………………………………………12分19.解析：(1)由题意得451000450n =，解得100n =.………………………………………2分 (2)补充完整的22⨯列联表为…………………………………………………4分22100(45202510)8.1289 6.63555457030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有99%的把握认为选择科目与性别有关.………………………………………………6分 (3)从45名女生中按照分层抽样的方法随机抽取9名女生，所以这9名女生中有5人选择“物理”，4人选择“地理”.则X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，则4449C 1(0)C 126P X ===，135449C C 10(1)C 63P X ===，225449C C 10(2)C 21P X ===， 315449C C 20(3)C 63P X ===，4549C 5(4)C 126P X ===，…………………………………………9分所以X 的分布列为1101020520012341266321631269EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.……………………………………12分 20.解析：(1)由已知得，2c =，2b =，则2228a b c =+=，所以椭圆E 的方程为22184x y +=，…………………………………………………2分离心率c e a =…………………………………………………3分 (2)x 轴上存在定点()20M -，，使MP MQ ⊥.………………………………………4分 理由如下：将y kx m =+代入22184x y +=，得222()8x kx m ++=，化简得()222214280k x kmx m +++-=. 由()()222(4)421280km k m ∆=-+-=，得22840k m +-=，2284m k =+.…………………………………………………6分设()00P x y ，，则022821km kx k m-==-+，2200884k m k y kx m k m m m m --=+=⋅+==， 故84,k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭.设()14Q y -，，则14y k m =-+，所以(44)Q k m --+，.………………………………9分 设(0)M t ，，则()()200184(2)(2) 0kMP MQ x t y t y t t m⋅=-⋅--=+++=，，，得2t =-. 所以x 轴上存在定点(20)M -，，使MP MQ ⊥.………………………………………12分21.解析：(1)()f x 的定义域为(0)+∞，，22211()1a x ax f x x x x -+'=--+=-. (i)若2a，则()0f x '，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在(0)+∞，单调递减.…………………………………………………2分(ii)若2a >，令()0f x '=得，x =或x =当20a a x ⎛⎛⎫+∈+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<； 当x ⎝⎭时，()0f x '>. 所以()f x 在20aa ⎛⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减， 在⎝⎭单调递增.…………………………………………………5分 (2)由(1)知，()f x 存在两个极值点时，当且仅当2a >.由于()f x 的两个极值点12x x ，满足210x ax -+=，所以121x x =， 不妨设12x x <，则21x >.…………………………………………………7分 由于()()12121221212121222ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----， 所以()()12122f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<.……………………………………9分 设函数1()2ln g x x x x=-+，由(1)知，()g x 在(0)+∞，单调递减，又()10g =，从而当1()x ∈+∞，时，()0g x <.所以22212ln 0x x x -+<，即()()12122f x f x a x x -<--.……………………………………12分 22.解析：（1）直线l 的极坐标方程是π6θ=，化为直角坐标方程为y .…………………………………………………1分由2cos sin x t y t =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去参数t ，得曲线C的普通方程为22(2)(1x y -++=，即22460x y x +-++=，…………………………………………………3分 根据222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，得曲线C的极坐标方程为24cos sin 60ρρθθ-++=.………………………………5分 （2）因为直线10:l θθ=与直线l 垂直， 所以直线1l 的一个极坐标方程为5π()3θρ=∈R .……………………………………………7分 将5π3θ=代入曲线C的极坐标方程，得214602ρρ⎛-⨯+⨯+= ⎝⎭， 即2560ρρ-+=，解得12ρ=，23ρ=，因为||||OM ON >，所以||3OM =.…………………………………………………10分 23.解析：（1）令210x +=，得12x =-，令30x a +=，得3ax =-.易知当132a -=-时，不合题意.当132a -<-，即32a >，…………………………………1分当12x >-时，()1f x x a =-+-；当132a x --时，()51f x x a =---； 当3ax <-时，()1f x x a =-+.故当3a x =-时，()f x 取得最大值，且max 2()153f x a =-=，解得9a =.…………………………………………………3分若132a ->-，即32a <，当12x <-时，()1f x x a =-+；当123ax --时，()51f x x a =++； 当3ax >-时，()1f x x a =-+-.故当3a x =-时，()f x 取得最大值，且max 2()153f x a =-+=，解得6a =-.综上，a 的值为9或6-.…………………………………………………6分 （2）因为0a >，所以9a =， ()|21||39|f x x x =+-+， 831()51032182x x f x x xx x ⎧⎪+<-⎪⎪=----⎨⎪⎪-->-⎪⎩，，，，…………………………………………………8分 由|()|5f x >得|8|53x x +>⎧⎨<-⎩或|510|513 2x x -->⎧⎪⎨--⎪⎩或|8|512x x -->⎧⎪⎨>-⎪⎩， 解得13x <-或112x -<-或12x >-. 故不等式|()|5f x >的解集为(13)(1)-∞--+∞，，.………………………………10分。
2021年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标II卷)数学试题 (理科)解析版
注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一.选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ） （A ）(31)-， （B ）(13)-， （C ）(1,)∞+ （D ）(3)∞--， 【答案】A考点： 复数的几何意义.【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． 复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ .（2）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（ ）（A ）{1} （B ）{12}， （C ）{0123}，，， （D ）{10123}-，，，， 【答案】C 【解析】试题分析：集合B {x |1x 2,x Z}{0,1}=-<<∈=，而A {1,2,3}=，所以A B {0,1,2,3}=，故选C.考点： 集合的运算.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简在计算，常常借助数轴或韦恩图处理.（3）已知向量(1,)(3,2)a m a =-，=，且()a b b ⊥+，则m =（ ） （A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8 【答案】D 【解析】试题分析：向量a b (4,m 2)+=-，由(a b)b +⊥得43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=，解得m 8=，故选D. 考点： 平面向量的坐标运算、数量积.【名师点睛】已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)：结论 几何表示 坐标表示模 |a |＝a·a |a |＝x 21＋y 21夹角cos θ＝a·b|a||b|cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22a ⊥b 的充要条件a·b ＝0x 1x 2＋y 1y 2＝0（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（ ）（A ）43-（B ）34- （C ）3 （D ）2 【答案】A考点： 圆的方程、点到直线的距离公式. 【名师点睛】直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与半径长r 的大小关系来判断． 若d >r ，则直线与圆相离；若d＝r，则直线与圆相切；若d<r，则直线与圆相交．(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．如果Δ<0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；如果Δ＝0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切；如果Δ>0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交．提醒：直线与圆的位置关系的判断多用几何法．（5）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）（A）24 （B）18 （C）12 （D）9【答案】B考点：计数原理、组合.【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．（6）下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C 【解析】试题分析：由题意可知，圆柱的侧面积为122416S ππ=⋅⋅=，圆锥的侧面积为2122482S ππ=⋅⋅⋅=，圆柱的底面面积为2324S ππ=⋅=，故该几何体的表面积为12328S S S S π=++=，故选C. 考点： 三视图，空间几何体的体积. 【名师点睛】由三视图还原几何体的方法:（7）若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） （A ）()26k x k Z ππ=-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212k x k Z ππ=+∈ 【答案】B考点： 三角函数的图象变换与对称性.【名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2,2x n==，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）（A）7 （B）12 （C）17 （D）34【答案】C考点：程序框图，直到型循环结构.【名师点睛】直到型循环结构：在执行了一次循环体后，对条件进行判断，如果条件不满足，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环．当型循环结构：在每次执行循环体前，对条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环．（9）若3cos()45πα-=，则sin2α=（）（A）725（B）15（C）15-（D）725-【答案】D 【解析】试题分析：2237 cos22cos12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.考点：三角恒等变换.【名师点睛】三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示： (1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系．（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ）（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n【答案】C 【解析】试题分析：利用几何概型，圆形的面积和正方形的面积比为224S R mS R nπ==圆正方形，所以4m n π=.选C.考点： 几何概型.【名师点睛】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．（11）已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b -=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为（ ）（A ）2 （B ）32（C ）3 （D ）2【答案】A考点：双曲线的性质.离心率.【名师点睛】区分双曲线中a ，b ，c 的关系与椭圆中a ，b ，c 的关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0，1)．（12）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【答案】B考点： 函数图象的性质【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数的图象有对称中心.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13 ～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13) ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ． 【答案】2113【解析】试题分析：因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形内角，所以312sin ,sin 513A C ==，13sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65B AC A B A C A C π=-+=+=+=，又因为sin sin a b A B=，所以sin 21sin 13a Bb A ==.考点： 三角函数和差公式，正弦定理.【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(14) ,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥. （2）如果,//m n αα⊥，那么m n ⊥. （3）如果//,m αβα⊂，那么//m β.（4）如果//,//m n αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.【答案】②③④考点： 空间中的线面关系.【名师点睛】求解本题应注意在空间中考虑线、面关系.（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ． 【答案】1和3 【解析】试题分析：由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3，乙的卡片上数字为2和3，丙卡片上数字为1和2. 考点： 逻辑推理.【名师点睛】逻辑推理即演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程.演绎推理的逻辑形式对于理性的重要意义在于，它对人的思维保持严密性、一贯性有着不可替代的校正作用.逻辑推理包括演绎、归纳和溯因三种方式.（16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ． 【答案】1ln2-考点： 导数的几何意义.【名师点睛】函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的不同．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本题满分12分）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，．（Ⅰ）求111101b b b ，，；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和．【答案】（Ⅰ）10b =，111b =， 1012b =；（Ⅱ）1893. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先用等差数列的求和公式求公差d ，从而求得通项n a ，再根据已知条件[]x 表示不超过x 的最大整数，求111101b b b ，，；（Ⅱ）对n 分类讨论，再用分段函数表示n b ，再求数列{}n b 的前1 000项和． 试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，据已知有72128d +=，解得 1.d = 所以{}n a 的通项公式为.n a n =111101[lg1]0,[lg11]1,[lg101] 2.b b b ======考点：等差数列的的性质，前n 项和公式，对数的运算.【名师点睛】解答新颖性的数学题，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点.18.（本题满分12分）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数 0 1234≥5保费0.85aa1.25a 1.5a 1.75a 2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数1234≥5概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．【答案】（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）；（Ⅲ）1.23.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据互斥事件的概率公式求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）一续保人本年度的保费高于基本保费，当且仅当一年内出险次数大于3，由条件概率公式求解；（Ⅲ）记续保人本年度的保费为X ，求X 的分布列，再根据期望公式求解.试题解析：（Ⅰ）设A 表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，故()0.20.20.10.050.55.P A =+++=（Ⅱ）设B 表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3，故()0.10.050.15.P B =+=又()()P AB P B =，故()()0.153(|).()()0.5511P AB P B P B A P A P A ==== 因此所求概率为3.11考点： 条件概率，随机变量的分布列、期望.【名师点睛】条件概率的求法：(1)定义法：先求P (A )和P (AB )，再由P (B |A )＝P (AB )P (A )，求P (B |A )； (2)基本事件法：当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n (AB )n (A ). 求离散型随机变量均值的步骤：(1)理解随机变量X 的意义，写出X 可能取得的全部值；(2)求X 的每个值的概率；(3)写出X 的分布列；(4)由均值定义求出E (X )．19.（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ， 5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H ．将DEF ∆沿EF 折到D EF '∆位置，10OD '=．（Ⅰ）证明：D H '⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）29525.又D H EF '⊥，而OH EF H ⋂=，所以D H ABCD '⊥平面.B（II ）如图，以H 为坐标原点，HF 的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系H xyz -，则()0,0,0H ，()3,2,0A --，()0,5,0B -，()3,1,0C -，()0,0,3D '，(3,4,0)AB =-，()6,0,0AC =，()3,1,3AD '=.设()111,,m x y z =是平面ABD '的法向量，则00m AB m AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，即11111340330x y x y z -=⎧⎨++=⎩， 所以可以取()4,3,5m =-.设()222,,n x y z =是平面'ACD 的法向量，则00n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，即222260330x x y z =⎧⎨++=⎩，所以可以取()0,3,1n =-.于是cos ,||||50m n m n m n ⋅<>===⋅，295sin ,25m n <>=. 因此二面角B D A C '--. 考点：线面垂直的判定、二面角. 【名师点睛】证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；③α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；④面面垂直的性质．线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．20.（本小题满分12分）已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）()32,2.试题解析：（I ）设()11,M x y ，则由题意知10y >，当4t =时，E 的方程为22143x y +=，()2,0A -. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π.因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =，所以1127y =. 因此AMN ∆的面积11212144227749=⨯⨯⨯=.因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()232332132022k k k k k k k -+-+-=<--，即3202k k -<-.由此得32020k k ->⎧⎨-<⎩，或32020k k -<⎧⎨->⎩，解得322k <<. 因此k 的取值范围是()32,2. 考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解．（21）（本小题满分12分）(Ⅰ)讨论函数x x 2f (x)x 2-=+e 的单调性，并证明当0x >时，(2)20x x e x -++>； (Ⅱ)证明：当[0,1)a ∈时，函数2x =(0)x e ax a g x x -->（）有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）21(,].24e .（II ）22(2)(2)2()(()),x x e a x x g x f x a x x-+++==+ 由（I ）知，()f x a +单调递增，对任意[0,1),(0)10,(2)0,a f a a f a a ∈+=-<+=≥因此，存在唯一0(0,2],x ∈使得0()0,f x a +=即0'()0g x =，当00x x <<时，()0,'()0,()f x a g x g x +<<单调递减；当0x x >时，()0,'()0,()f x a g x g x +>>单调递增.因此()g x 在0x x =处取得最小值，最小值为000000022000(1)+()(1)().2x x x e a x e f x x e g x x x x -++===+考点： 函数的单调性、极值与最值.【名师点睛】求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求导数f ′(x )；(3)由f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)解出相应的x 的范围．当f ′(x )＞0时，f (x )在相应的区间上是增函数；当f ′(x )＜0时，f (x )在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间．注意：求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在正方形ABCD 中，,E G 分别在边,DA DC 上（不与端点重合），且DE DG =，过D 点作 DF CE ⊥，垂足为F ．(Ⅰ) 证明：,,,B C G F 四点共圆；(Ⅱ)若1AB =，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）12.（II ）由,,,B C G F 四点共圆，CG CB ⊥知FG FB ⊥，连结GB ，由G 为Rt DFC ∆斜边CD 的中点，知GF GC =,故,Rt BCG Rt BFG ∆~∆因此四边形BCGF 的面积S 是GCB ∆面积GCB S ∆的2倍，即111221.222GCB S S ∆==⨯⨯⨯=考点： 三角形相似、全等，四点共圆【名师点睛】判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等．（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B 两点，||10AB =，求l 的斜率．【答案】（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）15±.试题解析：（I ）由cos ,sin x y ρθρθ==可得C 的极坐标方程212cos 110.ρρθ++=（II ）在（I ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得 212cos 110.ρρα++=于是121212cos ,11,ρραρρ+=-=22121212||||()4144cos 44,AB ρρρρρρα=-=+-=-由||10AB =得2315cos ,tan 8αα==±， 所以l 的斜率为15或15-. 考点：圆的极坐标方程与普通方程互化， 直线的参数方程，点到直线的距离公式.【名师点睛】极坐标与直角坐标互化的注意点：在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性.（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数11()||||22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集． （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）证明：当,a b M ∈时，|||1|a b ab +<+．【答案】（Ⅰ）{|11}M x x =-<<；（Ⅱ）详见解析. 试题解析：（I ）12,,211()1,,2212,.2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩当12x ≤-时，由()2f x <得22,x -<解得1x >-； 当1122x -<<时， ()2f x <；当12x ≥时，由()2f x <得22,x <解得1x <. 所以()2f x <的解集{|11}M x x =-<<.（II ）由（I ）知，当,a b M ∈时，11,11a b -<<-<<，从而22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b +-+=+--=--<，因此|||1|.a b ab +<+考点：绝对值不等式，不等式的证明.【名师点睛】形如||||x a x b c -+-≥(或c ≤)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞ (此处设a b <)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)几何法：利用||||(0)x a x b c c -+->>的几何意义：数轴上到点1x a =和2x b =的距离之和大于c 的全体，|||||()|||x a x b x a x b a b -+-≥---=-.(3)图象法：作出函数1||||y x a x b =-+-和2y c =的图象，结合图象求解．。
精品解析：2021年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)(解析版)
2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分.2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则ðU( A ⋃B) =（）A. {−2，3}B. {−2，2，3}C. {−2，−1，0，3}D. {−2，−1，0，2，3} 【答案】A【解析】【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.【详解】由题意可得：A ⋃B ={-1, 0,1, 2}，则ðU(A B)={-2, 3}.故选：A.【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.2.若α为第四象限角，则（）A. cos2α>0B. cos2α<0C. sin2α>0D. sin2α<0【答案】D【解析】【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.【详解】当=-时，cos 2= cos ⎛-⎫> 0，选项B错误；6 3 ⎪ ⎝⎭当=-时，cos 2= cos ⎛-2⎫< 0，选项A错误；3 3 ⎪⎝⎭由在第四象限可得：sin< 0, cos> 0，则sin 2= 2 sin cos< 0，选项C错误，选项D正确；故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A. 10名B. 18名C. 24名D. 32名【答案】B【解析】【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.【详解】由题意，第二天新增订单数为500 + 1600 - 1200 = 900，故需要志愿者900= 18名. 50故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9 块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A. 3699块B. 3474块C. 3402块D. 3339块【答案】C【解析】【分析】第n环天石心块数为a n，第一层共有n环，则{a n }是以9为首项，9为公差的等差数列，设S n为{a n }的前n项和，由题意可得S3n -S2n =S2n -S n + 729，解方程即可得到n，进一步得到S3n. 【详解】设第n环天石心块数为a n，第一层共有n环，则{a n }是以9为首项，9为公差的等差数列，a n = 9 + (n - 1) ⨯ 9 = 9n，设S n为{a n }的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为S n , S2n -S n , S3n -S2n，因为下层比中层多729块，所以S3n -S2n =S2n -S n + 729，即3n(9 + 27n)-2n(9 +18n)=2n(9 +18n)-n(9 + 9n)+ 7292 2 2 2即9n2 = 729，解得n 9，所以S3n=S27=27(9 + 9 ⨯ 27)= 3402.2故选：C【点晴】本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.5.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x -y - 3 = 0的距离为（）A.55B.2 55C.3 55D.4 55【答案】B【解析】【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(a, a ), a > 0，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点(2,1)在圆上，求得实数a的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线2x -y - 3 = 0的距离.【详解】由于圆上的点(2,1)在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为(a, a)，则圆的半径为a，圆的标准方程为(x -a)2+(y -a)2=a2.-2 5n n 2 ⋅ (1- 2 ) n 1 m +n m n k +1 由题意可得(2 - a )2 + (1- a )2= a 2， 可得 a 2 - 6a + 5 = 0，解得 a = 1或 a = 5， 所以圆心的坐标为(1,1)或(5, 5)， 圆心到直线2x - y - 3 = 0的距离均为 d == 2 5； 5所以，圆心到直线2x - y - 3 = 0的距离为 2 5. 5故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.6.数列{a }中， a = 2， a = a a ，若a + a ++ a = 215 - 25，则 k =（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】取 m = 1，可得出数列{a n }是等比数列，求得数列{a n }的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于 k 的等式，由 k ∈ N *可求得 k 的值.【详解】在等式 a= a a 中，令 m = 1，可得a = a a = 2a ，∴ a n +1 = 2，m +n m n n +1 n 1 nn所以，数列{a }是以2为首项，以2为公比的等比数列，则a = 2 ⨯ 2n -1= 2n ，∴ a + a+ + a=a k +1 ⋅ (1- 210 ) k +110= = 2k +1 (210 -1) = 25 (210 -1)，k +1k +2k +101- 2 1- 2∴ 2k +1 = 25，则k +1 = 5，解得k = 4.故选：C.【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力， 属于中等题.7.如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为 M ，在俯视图中对应的点为 N ，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）k +2 k +10 aA.E【答案】A【解析】B.FC.GD.H【分析】根据三视图，画出多面体立体图形，即可求得M点在侧视图中对应的点.【详解】根据三视图，画出多面体立体图形，D1D4上的点在正视图中都对应点M,直线B3C4上的点在俯视图中对应的点为N,∴在正视图中对应M,在俯视图中对应N的点是D4,线段D3 D4,上的所有点在侧试图中都对应E,∴点D4在侧视图中对应的点为E.故选：A【点睛】本题主要考查了根据三视图判断点的位置，解题关键是掌握三视图的基础知识和根据三视图能还原立体图形的方法，考查了分析能力和空间想象，属于基础题.8.设O为坐标原点，直线x =a与双曲线C :x2-y2= 1(a > 0, b > 0)的两条渐近线分别交于D, E两点，若a2 b22ab 16 A ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ）A. 4B. 8C. 16D. 32【答案】B【解析】【分析】x 2 - y 2=> >y = ± b xx = a因为C :a21(a b 20, b 0)，可得双曲线的渐近线方程是a，与直线联立方程求得 D ， E 两点坐标，即可求得| ED |，根据A ODE 的面积为8，可得 ab 值，根据2c = 2，结合均值不等式，即可求得答案. x 2 y 2【详解】C : a 2 - b2 = 1(a > 0, b > 0)∴双曲线的渐近线方程是 y = ± bxa x = ax 2 - y 2 = > >直线与双曲线C : a2 1(a b20, b 0)的两条渐近线分别交于 D ， E 两点不妨设 D 为在第一象限， E 在第四象限⎧x = a⎪ ⎧x = a联立⎨ y = b x，解得⎨ y = b ⎩⎪a⎩故 D (a , b )⎧x = a⎪⎧x = a联立⎨ y = - b x，解得⎨ y = -b ⎪⎩a⎩故 E (a , -b )∴ | ED |= 2b∴ A ODE 面积为： S △ODE= 1a ⨯ 2b = ab = 82x 2 y 2双曲线C : a 2 - b2 = 1(a > 0, b > 0)∴其焦距为 2c = 2 ≥ 2 = 2 = 8当且仅当a = b = 2 取等号∴ C 的焦距的最小值： 8故选：B.a 2 +b 2a 2 +b 2 21 【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 9.设函数 f (x ) =ln | 2x +1- |ln | 2x -1| ，则f (x )（ ） A. 是偶函数，且在( , +∞)单调递增 B. 是奇函数，且在 21 1 , )单调递减2 2C. 是偶函数，且在(-∞, - 1)单调递增D. 是奇函数，且在(-∞, - 1)单调递减2 2【答案】D【解析】【分析】根据奇偶性的定义可判断出 f (x )为奇函数，排除AC ；当x ∈ ⎛ - 1 , 1 ⎫2 2 ⎪ ⎝ ⎭时，利用函数单调性的性质可判断出 f (x )单调递增，排除B ；当 x ∈ ⎛-∞, - ⎫2 ⎪ ⎝ ⎭时，利用复合函数单调性可判断出 f (x )单调递减，从而得到结果.【详解】由 f (x )= ln 2x +1 - ln 2x -1得 f (x )定义域为⎧x x ≠ ± 1 ⎫，关于坐标原点对称，⎨2 ⎬ ⎩⎭又 f (-x )= ln 1- 2x - ln -2x -1 = ln 2x -1 - ln 2x +1 = - f (x )， ∴ f (x )为定义域上的奇函数，可排除AC ；当 x ∈ ⎛ - 1 ,1 ⎫时， f (x ) = ln (2x +1)- ln (1- 2x )， 2 2 ⎪ ⎝ ⎭Q y = ln (2x +1)在⎛ - 1 , 1 ⎫上单调递增， y = ln (1- 2x )在⎛ - 1 , 1 ⎫上单调递减，2 2 ⎪ 2 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭∴ f (x )在⎛ - 1 , 1 ⎫上单调递增，排除B ；2 2 ⎪ ⎝ ⎭当 x ∈ ⎛ -∞, - 1 ⎫时， f (x ) = ln (-2x -1)- ln (1- 2x ) = ln 2x +1 = ln ⎛1+ 2 ⎫，2 ⎪2x -1 2x -1 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭= 1+ 2 在⎛ -∞, - 1 ⎫上单调递减， f () = ln 在定义域内单调递增， 2x -1 2 ⎪ ⎝ ⎭根据复合函数单调性可知： f (x )在⎛-∞, - 1 ⎫上单调递减，D 正确.(-2 ⎪ ⎝⎭3R 2 - r 23 9 3 a - 2 a 24 9 - 9 44 - 3 4故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据 f -(x ) 与 f (x )的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“ 同增异减”性得到结论. 10.已知△ABC 是面积为9 34 的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）3 A. B.2C. 1D.32【答案】C【解析】【分析】根据球O 的表面积和A ABC 的面积可求得球O 的半径 R 和A ABC 外接圆半径 r，由球的性质可知所求距离 d = .【详解】设球O 的半径为 R ，则4R 2 = 16，解得： R = 2. 设A ABC 外接圆半径为 r ，边长为 a ，A ABC 是面积为 9 3的等边三角形，1 22 2 ∴ a ⨯ =，解得：a = 3，∴ r = ⨯ = ⨯ 2 2 4∴球心O 到平面 ABC 的距离 d = 3 3= = 1.故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面. 11.若2x - 2y < 3- x - 3- y ，则（ ）A. ln( y - x +1) > 0B. ln( y - x +1) < 0C. ln | x - y |> 0D. ln | x - y |< 0【答案】A【解析】【分析】R 2- r 25 i =1 将不等式变为2x - 3- x < 2y - 3- y ，根据 f (t ) = 2t- 3-t的单调性知 x < y ，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2x - 2y < 3- x - 3- y 得： 2x - 3- x < 2y - 3- y ， 令f (t ) = 2t - 3-t ，y = 2x 为 R 上的增函数， y = 3- x 为 R 上的减函数，∴ f (t )为 R 上的增函数，∴ x < y ，Q y - x > 0，∴ y - x +1 > 1，∴ln ( y - x +1) > 0，则A 正确，B 错误；Q x - y 与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到 x , y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想. 12.0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列 a 1a 2 a n 满足 a i ∈{0,1}(i = 1, 2,)，且存在正整数 m，使得 a i +m = a i (i = 1, 2,)成立，则称其为0-1周期序列，并称满足 a i +m = a i (i = 1, 2,)的最小正整数 m m C (k ) = 1 ma a(k = 1, 2, , m - 1)为这个序列的周期.对于周期为 的0-1序列a 1a 2 a n ， ∑ i =1i i + k是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足C (k ) ≤ 1(k = 1, 2, 3, 4)的序列是（ ）5A. 11010 【答案】CB. 11011C. 10001D. 11001【解析】【详解】由a i +m = a i 知，序列 a i 的周期为m ，由已知， m = 5，1 5C (k ) =∑a i a i +k , k = 1, 2, 3, 4i =1对于选项A ，1 51 1 1 1C (1) = 5 ∑a i a i +1 = 5 (a 1a 2 + a 2a 3 + a 3a 4 + a 4a 5 + a 5a 6 ) = 5 (1 + 0 + 0 + 0 + 0) = ≤i =1 5 51 51 1 2C (2) = 5 ∑a i a i +2 = 5 (a 1a 3 + a 2a 4 + a 3a 5 + a 4a 6 + a 5a 7 ) = 5 (0 + 1 + 0 + 1 + 0) = 5，不满足；对于选项B ，m2 2 2i =1 i =1 1 51 1 3C (1) = 5 ∑a i a i +1 = 5 (a 1a 2 + a 2a 3 + a 3a 4 + a 4a 5 + a 5a 6 ) = 5 (1 + 0 + 0 + 1 + 1) = 5，不满足；对于选项D ，1 51 1 2C (1) = 5 ∑a i a i +1 = 5 (a 1a 2 + a 2a 3 + a 3a 4 + a 4a 5 + a 5a 6 ) = 5 (1 + 0 + 0 + 0 + 1) = 5，不满足；故选：C【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，是一道中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知单位向量a ，b 的夹角为45°，ka –b 与a 垂直，则k =.【答案】22【解析】【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k 的值.→ →【详解】由题意可得： a ⋅ b = 1⨯1⨯ cos 45 =，2⎛ → → ⎫ →由向量垂直的充分必要条件可得： k a - b ⎪ ⋅ a = 0，⎝ ⎭→2即： k ⨯ a → →- a ⋅ b = k -= 0，解得： k =. 22故答案为：2．2【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种.【答案】36 【解析】【分析】根据题意，采用捆绑法，先取2名同学看作一组，现在可看成是3组同学分配到3个小区，即可求得答案.3 3 8 +4 3343 ⎨⎪2 (sin + sin ) = 1 【详解】 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学∴先取2名同学看作一组，选法有： C 2=6现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有： A 3= 6 根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6 ⨯ 6 = 36种故答案为： 36.【点睛】本题主要考查了计数原理的实际应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.15.设复数 z 1， z 2满足|z 1|=|z 2 |=2， z 1 + z 2 =+ i ，则| z 1 - z 2 |=.【答案】 2【解析】【分析】令 z 1 = 2 cos + 2 sin ⋅ i ， z 2 = 2 cos + 2 s in ⋅ i ，根据复数的相等可求得coscos + sin sin= - 1，代入复数模长的公式中即可得到结果. 2【详解】z 1 = z 2 = 2，可设 z 1 = 2 cos + 2 s in ⋅ i ， z 2 = 2 cos + 2 s in ⋅ i ，∴ z 1 + z 2 = 2 (cos + cos )+ 2 (sin + sin )⋅ i =+ i ，∴ ⎧⎪2 (cos + cos ) =⎩3，两式平方作和得： 4 (2 + 2 coscos + 2 sin sin) = 4，化简得： coscos + sin sin= - 12∴ z 1 - z 2= = 2 (cos - cos )+ 2 (sin- sin)⋅ i== = 2.故答案为： 2.【点睛】本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；关键是能够采用假设的方式，将问题转化为三角函数的运算问题. 16.设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.34 (cos - cos)2+ 4 (sin - sin )28 - 8(cos cos + sin sin)p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面. p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. p4：若直线l ⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l. 则下述命题中所有真命题的序号是.① p1 ∧p4② p1 ∧p2③⌝p2 ∨p3④⌝p3 ∨⌝p4【答案】①③④【解析】【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题p1的真假；利用三点共线可判断命题p2的真假；利用异面直线可判断命题p3的真假，利用线面垂直的定义可判断命题p4的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题p1，可设l1与l2相交，这两条直线确定的平面为；若l3与l1相交，则交点A在平面内，同理，l3与l2的交点B也在平面内，所以，AB ⊂，即l3 ⊂，命题p1为真命题；对于命题p2，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题p2为假命题；对于命题p3，空间中两条直线相交、平行或异面，命题p3为假命题；对于命题p4，若直线m ⊥平面，则m垂直于平面内所有直线，直线l ⊂平面，∴直线m ⊥直线l，3cos A == - ∈ ( )⎪ ⎪ 命题 p 4为真命题.综上可知， p 1 ∧ p 4为真命题， p 1 ∧ p 2为假命题，⌝p 2 ∨ p 3为真命题， ⌝p 3 ∨ ⌝p 4为真命题.故答案为：①③④.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力， 属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每 个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. A ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C. （1）求A ；（2）若BC =3，求A ABC 周长的最大值.2【答案】（1） 3；（2） 3 + 2. 【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得 A ；（2）利用余弦定理可得到( AC + AB )2- AC ⋅ AB = 9，利用基本不等式可求得 AC + AB的最大值，进而得到结果.【详解】（1）由正弦定理可得： BC 2 - AC 2 - AB 2 = AC ⋅ AB ，AC 2 + AB 2 - BC 21 ，2 A C ⋅ AB22A 0,，∴ A =. 3（2）由余弦定理得： BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC ⋅ AB cos A = AC 2 + AB 2 + AC ⋅ AB = 9， 即( AC + AB )2- AC ⋅ AB = 9.⎛ AC + AB ⎫2AC ⋅ AB ≤ （当且仅当 AC = AB 时取等号），2 ⎝ ⎭22⎛ AC + AB ⎫23 2 ∴9 = ( A C + AB ) - AC ⋅ AB ≥ ( A C + AB ) - = ( A C + AB )，24 ⎝ ⎭∴33 2 ∑ i = 12020( x - x ) ( y - y )2 i∑ 2ii =1∑ ∑ ∑ - x ) = 80， ∑（y ∑ ∑ 解得： AC + AB ≤ 2（当且仅当 AC = AB 时取等号），∴A ABC 周长 L = AC + AB + BC ≤ 3 + 2 ，∴AABC 周长的最大值为3 + 2.【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野 20生动物的数量，并计算得xii =120 = 60， y i i =120 = 1200， （x i i =1202i i =1- y )2= 9000，20（（x i- x ) i =1y i- y ) = 800.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；附：相关系数r =∑（ i =1i - x ) y i - y )=1.414.【答案】（1）12000；（2）0.94；（3）详见解析【解析】【分析】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；（2）利用公式 r =20( x i - x )( yi- y )i =1 计算即可；（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.n 3 ∑（ i =1ni - x ) 2∑ i ny - y ) 2i =12020 i i =1∑( y i- y )i =180 ⨯ 90002 2 i =1∑+= x y 1 201【详解】（1）样区野生动物平均数为20 ∑ y i= 20⨯1200 = 60， 地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为200 ⨯ 60 = 12000 （2）样本( x i , y i )的相关系数为20(x i- x )( y i- y ) r =i =1= = ≈ 0.943（3）由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样先将植物覆盖面积按优中差分成三层， 在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力， 是一道容易题. 19.已知椭圆C 1： xa 2y 2 b21(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B4两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |= 3|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.【答案】（1） 1；（2） C2 2 : + =， C : y 2 = 12x .2136 2712【解析】【分析】（1）求出 AB 、 CD ，利用 CD = 4 3AB 可得出关于 a 、c 的齐次等式，可解得椭圆C 1的离心率的值；Cx 2 y 2 CC（2）由（1）可得出 1的方程为4c2+ 3c2= 1，联立曲线 1与2的方程，求出点M的坐标，利用抛物线的定义结合 MF = 5可求得c 的值，进而可得出C 1与C 2的标准方程.2⎪ ⎪ ⎩⎩⎩【详解】（1）F (c , 0)， AB ⊥ x 轴且与椭圆C 1相交于 A 、 B 两点，则直线 AB 的方程为 x = c ，⎧x = c⎪ x 2 y 2 x =c 2联立⎪ + = 1，解得⎪ b 2， 则AB = 2b ，⎨ a 2b 2 ⎨ y = ±a⎪⎩a 2 = b 2 + c2 ⎩a抛物线C 2 2⎧x = c 的方程为 y = 4cx ，联立⎨ y 2 = 4cx ，⎧x = c 解得⎨ y = ±2c ，∴ CD = 4c ，CD = 4 3 AB ，即4c = 8b 2 3a， 2b 2 = 3ac ，即2c 2 + 3ac - 2a 2 = 0，即2e 2 + 3e - 2 = 0，Q 0 < e < 1，解得e = 1，因此，椭圆C 的离心率为 1；212 Cx 2y 2（2）由（1）知 a = 2c ， b = 3c ，椭圆 1的方程为+ = 1，4c 23c 2⎧ y 2 = 4cx 联立⎪ x 2y 2，消去 y 并整理得3x 2 +16cx -12c 2 = 0，⎨ + = 1 ⎪ 4c 23c 2解得 x = 2c 或 x = -6c （舍去），3由抛物线的定义可得 MF = 2 c + c = 5c = 5，解得c = 3. 3 3⎧yx2 2因此，曲线C1的标准方程为+=1，36 27曲线C2的标准方程为y2 = 12x.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程，考查计算能力，属于中等题.20.如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）10.10【解析】【分析】（1）由M , N分别为BC，B1C1的中点，MN //CC1，根据条件可得AA1 / / BB1，可证MN //AA1，要证平面EB1C1F ⊥平面A1 AMN，只需证明EF ⊥平面A1 AMN即可；（2）连接NP，先求证四边形ONPA是平行四边形，根据几何关系求得EP，在B1C1截取B1Q =EP ，由（1）BC ⊥平面A1AMN，可得∠QPN为B1E与平面A1AMN所成角，即可求得答案.【详解】（1）M , N分别为BC，B1C1的中点，∴MN //BB1又AA1 / / BB1∴MN //AA1在A ABC中，M为BC中点，则BC ⊥AM又侧面BB1C1C为矩形，∴BC ⊥BB1MN //BB1MN ⊥BC由MN ⋂AM =M，MN , AM ⊂平面A1 AMN∴BC ⊥平面A1AMN又B1C1 //BC，且B1C1 ⊄平面ABC，BC ⊂平面ABC，∴B1C1//平面ABC又B1C1 ⊂平面EB1C1F，且平面EB1C1F ⋂平面ABC =EF∴B1C1/ / EF∴EF //BC又BC ⊥平面A1AMN∴EF ⊥平面A1AMNEF ⊂平面EB1C1F∴平面EB1C1F ⊥平面A1 AMN （2）连接NP3 3 3AO //平面 EB 1C 1F ，平面 AONP ⋂平面 EB 1C 1F = NP ∴ AO //NP根据三棱柱上下底面平行，其面 A 1 NMA ⋂平面 ABC = AM ，面 A 1 NMA ⋂平面 A 1B 1C1 = A 1 N∴ ON //AP故：四边形ONPA 是平行四边形设A ABC 边长是6m ( m > 0)可得： ON = AP ， NP = AO = AB = 6mO 为△A 1B 1C 1的中心，且△A 1B 1C 1边长为6m∴ ON = 1⨯ 6 ⨯ sin 60︒ = 3m3故： ON = AP = 3mEF //BC∴ AP = EP AM BM∴= EP 3解得： EP = m在 B 1C 1截取 B 1Q = EP = m ，故QN = 2mB 1Q = EP 且 B 1Q //EPQN 2+ PN 22 10m10 3 3821 1∴四边形 B 1QPE 是平行四边形，∴ B 1E //PQ由（1）B 1C 1 ⊥平面 A 1 AMN 故∠QPN 为 B 1E 与平面 A 1 AMN 所成角在 Rt △QPN ，根据勾股定理可得： PQ = == 2 10m∴sin ∠QPN =QN= PQ 2m = 1010∴直线 B E 与平面 A AMN 所成角的正弦值： . 10【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其线面角，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和线面角的定义，考查了分析能力和空间想象能力，属于难题. 21.已知函数f (x )=sin 2x sin2x .（1）讨论f (x )在区间(0，π)的单调性；（2）证明： f (x ) ≤；3n （3）设n ∈N *，证明：sin 2x sin 22x sin 24x …sin 22n x ≤. 4n【答案】（1）当 x ∈ ⎛ 0,⎫时， f '(x )> 0, f (x )单调递增，当 x ∈ ⎛2⎫时， f '(x )< 0, f (x )⎪, ⎪ ⎝ 3 ⎭ ⎝ 3 3 ⎭单调递减，当 x ∈⎛ 2 ⎫时， f '(x )> 0, f (x )单调递增.（2）证明见解析；（3）证明见解析.3 , ⎪⎝ ⎭【解析】【分析】 (1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即 可 ； (2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的不等式； (3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得f (x ) = ⎡⎣sin x (sin 2 x sin 2x )(sin 22x sin 4x )(sin2 2n -1x sin 2n x )sin 2 2n x ⎤⎦ 3(2m )2+ (6m )23 3 3 3 33 3 8⎣ ⎦ ⨯ ，然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式.【详解】(1)由函数的解析式可得： f (x )= 2 s in 3x cos x ，则： f '(x ) = 2 (3sin 2 x cos 2 x - sin 4 x ) = 2 s in 2 x (3cos 2 x - sin 2 x ) = 2 sin 2 x (4 cos 2 x -1) = 2 sin 2 x (2 cos x +1)(2 cos x -1)， f '(x ) = 0在 x ∈ (0,)上的根为： x 13, x 2= 2， 3 当 x ∈ ⎛ 0,⎫时， f '(x ) > 0, f (x )单调递增，3 ⎪⎝ ⎭x ∈ ⎛2⎫当, ⎪时， f '(x ) < 0, f (x )单调递减， ⎝ 3 3 ⎭当 x ∈ ⎛ 2 ⎫时， f '(x ) > 0, f (x )单调递增.3 , ⎪ ⎝ ⎭(2)注意到 f (x +) = sin 2 (x +)sin ⎣⎡2 (x +)⎤⎦ = sin 2x sin 2x =故函数 f (x )是周期为的函数，f (x )，结合(1)的结论，计算可得： f (0) = f () = 0，⎛⎫ ⎛ 3 ⎫2⎛ 2⎫ ⎛ 3 ⎫2⎛ 3 ⎫ f 3 ⎪ = 2 ⎪ 2 = 8， f 3 ⎪ = 2 ⎪ ⨯ - 2 ⎪ = - 8， ⎝ ⎭ ⎝ ⎭据此可得： ⎡⎣ f (x )⎤⎦max= ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭， ⎡ f (x )⎤ = - 3 3， min8即 f (x ) ≤.(3)结合(2)的结论有：sin 2 x sin 2 2x sin 2 4x sin 2 2n x2= ⎡⎣sin 3 x sin 3 2x sin 34xsin 3 2nx ⎤⎦ 32= ⎣⎡sin x (sin 2 x sin 2x )(sin 2 2x sin 4x )(sin 2 2n -1 x sin 2n x )sin 2 2nx ⎤⎦3 2 ≤ ⎡sin x ⨯ 3 3 ⨯ 3 3 ⨯ ⨯ 3 3 ⨯ sin 2 2nx ⎤ 3⎢ 8 8 8 ⎥⎣ ⎦3 3 8 =⎪ ⎩ 2 2 2 ⎡⎛ 3 3 ⎫n⎤ 3⎛ 3 ⎫n≤ ⎢⎪ ⎥ = 4⎪ ⎢⎣⎝ 8 ⎭ ⎥⎦⎝ ⎭【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B 铅笔将所选题号涂黑， 多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4—4：坐标系与参数方程]⎧x = t + 1 ,⎧x = 4 c os 2 ⎪ t22.已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1： ⎨ y = 4 s in 2 （θ为参数），C 2： ⎨ 1（t 为参数）. ⎩ ⎪ y = t -⎩ t（1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.【答案】（1）C 1 : x + y = 4； C 2 : x 2 - y 2= 4；（2） = 17 cos . 5【解析】【分析】（1）分别消去参数和t 即可得到所求普通方程； （2）两方程联立求得点 P，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【详解】（1）由cos 2 + sin 2 = 1得C 1的普通方程为： x + y = 4；⎧x = t + 1 ⎧x 2 = t 2 + 1 + 2 ⎪ t ⎪ t 2C 2 2由⎨ 1得： ⎨ ，两式作差可得 1 2的普通方程为： x - y = 4. ⎪ y = t - ⎪ y 2 = t 2 + - 2⎩⎪ t ⎪⎩ t 2⎧x = 5⎧x + y = 4 ⎪ （2）由 得： 2，即 P ⎛ 5 , 3 ⎫； ⎨x 2 - y 2= 4 ⎨ ⎪ ⎪ y =3 ⎝ ⎭ ⎩ 2⎪2 2 22设所求圆圆心的直角坐标为(a , 0)，其中 a > 0，⎛ 5 ⎫2⎛ 3 ⎫217∴17则 a - 2 ⎪ + 0 - 2 ⎪ = a ，解得： a =， 所求圆的半径r =， 1010⎝⎭ ⎝⎭∴⎛ 17 ⎫2⎛ 17 ⎫22217所求圆的直角坐标方程为： x -10 ⎪ + y = 10 ⎪ ，即 x + y = x ，5 ⎝⎭ ⎝ ⎭∴所求圆的极坐标方程为= 17cos .5【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.[选修4—5：不等式选讲]23.已知函数 f (x ) = x - a 2+ | x - 2a +1|.（1）当 a = 2时，求不等式 f (x )… 4 的解集；（2）若 f (x )… 4，求a 的取值范围.【答案】（1） ⎧x x ≤ 3或 x ≥11⎫；（2） (-∞, -1] [3, +∞).⎨⎬ ⎩⎭【解析】【分析】（1）分别在 x ≤ 3、3 < x < 4和 x ≥ 4三种情况下解不等式求得结果； （2）利用绝对值三角不等式可得到 f (x ) ≥ (a -1)2，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当 a = 2时， f (x )= x - 4 + x - 3. 当 x ≤ 3时， f (x ) = 4 - x + 3 - x = 7 - 2x ≥ 4，解得： x ≤ 3；2当3 < x < 4时， f (x )= 4 - x + x - 3 = 1 ≥ 4，无解； 当 x ≥ 4时， f (x ) = x - 4 + x - 3 = 2x - 7 ≥ 4，解得： x11；2综上所述： f (x )≥ 4的解集为⎧x x ≤ 3或 x ≥ 11⎫.⎨⎬ ⎩⎭（2）f (x ) =x - a 2+ x - 2a +1 ≥ (x - a 2 )- (x - 2a +1) = -a 2 + 2a -1 = (a -1)2（当且仅当222a -1 ≤x ≤a2时取等号），∴(a-1)2≥4，解得：a≤-1或a≥3，∴a的取值范围为(-∞, -1][3, +∞).【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.。
2021年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标Ⅰ卷)数学试题 (理科)解析版
绝密★启封并使用完毕前试题类型：A（全国新课标1卷） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 设复数z 满足1+z1z-=i ，则|z|=（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2【答案】A考点：1.复数的运算；2.复数的模.（2）sin20°cos10°-con160°sin10°=（ ）（A ）3 （B 3 （C ）12- （D ）12【答案】D 【解析】试题分析：原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=12，故选D.考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式（3）设命题P ：∃n ∈N ，2n >2n ，则⌝P 为（ ） （A ）∀n ∈N, 2n >2n （B ）∃ n ∈N, 2n ≤2n （C ）∀n ∈N, 2n ≤2n （D ）∃ n ∈N, 2n =2n【答案】C【解析】试题分析：p ⌝:2,2n n N n ∀∈≤，故选C.考点：特称命题的否定（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。
已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）（A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312 【答案】A【解析】试题分析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为22330.60.40.6C ⨯+=0.648，故选A. 考点：独立重复试验；互斥事件和概率公式（5）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若1MF •2MF ＜0，则y 0的取值范围是（ ）（A ）（-33，33） （B ）（-36，36） （C ）（223-，223） （D ）（233-，233）【答案】A考点：向量数量积；双曲线的标准方程（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
2021年高考理科数学预测猜题卷 全国卷版 参考答案
2021年高考理科数学预测猜题卷 全国卷版答案以及解析一、选择题 1.答案：A解析：因为{}2|56032{|}A x x x x x x =−+>=><或，{}{}|10|1B x x x x =−<=<，所以{}|1A B x x =<I .故选A. 2.答案：C解析：由题意得32i z =−−，其在复平面内对应的点为(32)−−，，位于第三象限.故选C. 3.答案：B解析：设正方形ABCD 的边长为2，则其内切圆半径1212r =⨯=，外接圆半径12R ==22π1π2r P R ==.故选B. 4.答案：B解析：211log 1344f ⎛⎫=−= ⎪⎝⎭3=时，36x =.又()f x 在(02)，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数，所以使1()4f x f ⎛⎫< ⎪⎝⎭成立的x 的取值范围是1364⎛⎫ ⎪⎝⎭，.故选B. 5.答案：B解析：设数列{}n a 的公比为q ，若1q =，则22mmS S =，与题中条件矛盾，故1q ≠.()()2121111911m mm m m a q S q q S a q q−−==+=−−Q ，8m q ∴=.2121115181m m m m m a a q m q a a q m −−+====−Q ，3m ∴=，38q ∴=，2q ∴=.故选B. 6.答案：C解析：法一：如图，连接111A C BC ，，则F 是11A C 的中点，因为E 为1A B 的中点，所以1EFBC .连接1DC ，则Q 是1DC 的中点，又P 为1A D 的中点，所以11PQAC ，于是11A C B ∠或其补角是异面直线EF 与PQ 所成的角.易知11A C B 是正三角形，所以11π3A C B ∠=，所以异面直线EF 与PQ 所成角的大小是π3，故选C.法二：以D 为原点，1DA DC DD ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则(101)P ，，，(011)Q ，，，(211)E ，，，(112)F ，，，则(110)PQ =−，，，(101)EF =−，，.设异面直线EF 与PQ 所成的角为π02θθ⎛⎫⎛⎤∈ ⎪ ⎥⎝⎦⎝⎭，，则||11cos 2||||22EF PQ EF PQ θ⋅===⨯，所以π3θ=，故选C.7.答案：D解析：将函数2πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移ϕ个单位后，可得函数2πsin 223y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，再根据得到的图象关于y 轴对称，可得2ππ2π32k ϕ+=+，k ∈Z ，即ππ212k ϕ=−，k ∈Z ，令1k =，可得正数ϕ的最小值是5π12，故选D. 8.答案：B解析：模拟执行程序框图，01S i ==，，此时条件不成立，得到212S =⨯=，2i =；此时条件不成立，得到2226S =+⨯=，3i =；此时条件不成立，得到62312S =+⨯=，4i =；此时条件不成立，得到122420S =+⨯=，5i =；此时条件不成立，得到202530S =+⨯=，6i =；此时条件成立，输出30S =.结合选项可知判断框中可填“6i ？…”，故选B. 9.答案：D解析：法一：由题知14DP DC =uu u r uuu r，则()AP AB AB AD DP AB AD AB DP ⋅=⋅+=⋅+⋅=uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r uu u r uu u r2111||||cos60||431610424AB AD AB +=⨯⨯+⨯=︒uu u r uuu r uu u r .故选D.法二：如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，过点A 且垂直于AB 的直线为y 轴，建立直角坐标系，则(00)A ，，(40)B ，，32D ⎛ ⎝⎭，3CP PD =uu r uu u r Q ，1DP ∴=，522P ⎛∴ ⎝⎭，，522AP ⎛∴= ⎝⎭uu u r ，，(40)AB =uu u r ，，540102AP AB ∴⋅=⨯=uu u r uu u r .故选D.10.答案：C解析：24y x =Q ，∴焦点(10)F ，，准线:1l x =−，过焦点F1:1)l y x =−，将其与24y x =联立消去y ，解得3x =或13x =(舍去)，故(3A ，||4AK ∴=，142AKF S ∴=⨯⨯=V 故选C.11.答案：A解析：由已知可得13AB AB AB =⨯⨯，则6AB =，设球心为O ，O 到平面ABCD的距离为x ，球O 的半径为R ，则由OP OA =，得22222333)x x ++=+−，解得x =R ==34π3V R ==球.故选A. 12.答案：B解析：2()3'2f x x ax =+，令)'(0f x =，得0x =或23a x =−，003ax ∴=−>，0a ∴<. ∴当0x <或23a x >−时，)'(0f x >，当203ax <<−时，)'(0f x <. ∴()f x 在(0)−∞，上单调递增，在203a ⎛⎫− ⎪⎝⎭，上单调递减，在23a ⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增. ()f x ∴的极大值为(0)1f =，极小值为3241327a af ⎛⎫−=+ ⎪⎝⎭.()f x Q 有三个零点，341027a ∴+<，解得2a <−.故选B. 二、填空题 13.答案：3y x =解析：()()223(21)e 3e 331'e x x x y x x x x x =+++=++，所以曲线在点()00，处的切线的斜率为3，所以切线方程为3y x =. 14.答案：11解析：15(21)x +的展开式的通项公式为15115C (2)(01215)r r rT x r −+==L ，，，，，令155r −=，得10r =，所以含5x 的项是展开式的第11项. 15.答案：1231n n a −=⨯−解析：因为132n n a a +=+，所以()13n n a a λλ++=+，即132n n a a λ+=+，得到1λ=，所以()1131n n a a ++=+.又112a +=，所以{}1n a +是以2为首项，3为公比的等比数列，所以1123n n a −+=⨯，故1231n n a −=⨯−.16.答案：y = 解析：设()11A x y ，，()22B x y ，.由22x py =得02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，，抛物线的准线方程为2p y =−.由抛物线定义得12||||AF BF y y p +=++. ||2pOF =Q ，结合||||4||2AF BF OF p +==，得12y y p +=.将22x py =代入22221x y a b −=得22221py y a b −=，即222210y pyb a −+=，则221222221pb p a y y p a b +===，2221b a ∴=，222a b ∴=，∴双曲线22221x y a b −=的渐近线方程为2y x =. 三、解答题17.解析：(1)ABC QV 中，cos 2c b a C −=， ∴由正弦定理知，1sin sin cos sin 2B AC C −=，…………………………2分 πA B C ++=Q ，sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C ∴=+=+，…………………………4分 1sin cos cos sin sin cos sin 2A C A C A C C ∴+−=，1cos sin sin 2A C C ∴=，1cos 2A ∴=，π3A ∴=.…………………………7分 (2)由(1)及3AB AC ⋅=uu u r uuu r得6bc =，222222cos 6266a b c bc A b c bc ∴=+−=+−−=…，…………………………10分当且仅当b c ==时取等号，故a…………………………12分 18.解析：(1)由已知得223AM AD ==. 取BP 的中点T ，连接AT TN ，. 由N 为PC 的中点知TN BC P ，122TN BC ==.…………………………2分 又AD BC P ，故TN AM P ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN AT P . 因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ， 所以MN P 平面PAB .…………………………5分 (2)取BC 的中点E ，连接AE .由AB AC =得AE BC ⊥， 从而AE AD ⊥，且AE ===.以A 为坐标原点，AE uu u r的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz −.由题意知，()0,0,4P ，()0,2,0M，C，N ⎫⎪⎪⎝⎭， (0,2,4)PM =−uuu r，2PN ⎫=−⎪⎪⎝⎭uuu r，AN ⎫=⎪⎪⎝⎭uuu r .…………………………8分设(,,)x y z =n 为平面PMN 的法向量，则0PM PN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n uuu ruuu r，即240202y z x y z −=⎧+−=⎩，可取(0,2,1)=n .…………………………10分于是|||cos ,|25||||AN AN AN ⋅〈〉==n n n uuu ruuu r uuu r ， 则直线AN 与平面PMN.…………………………12分 19.解析：(1)该社区内的成人每天晚上的平均学习时长为()550.1650.2750.4850.2950.175min ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，…………………………2分 而调查总时长为()150min ，故7511502p ==.…………………………4分 (2)①根据题意，1~100002X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.故1()1000050002E X np ==⨯=，11()(1)10000250022D X np p =−=⨯⨯=.…………………………7分②110050Z X ==−.当49505100X 剟时，12Z −剟，~1)(0Z N ，，…………………………9分0.9540.683(12)(2)0.9540.81852P ZP Zμσμσ−−=−+≈−=剟剟.故()()49505100120.8185P X P Z =−≈剟剟.…………………………10分()1500.8185123min ∴⨯≈，即该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时长约为123 min .…………………………12分 20.解析：(1)a =.因为右焦点F 的坐标为()1,0，所以1c =.…………………………2分 结合222a b c =+，得a =，1b =.所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=.…………………………4分(2)设()11,A x y ，()22,B x y .由221,2(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2222218820k x k x k +++−=. 则2122821k x x k −+=+，21228221k x x k −=+.…………………………6分因为线段AB 中点的横坐标为23−，所以2122422213x x k k +−==−+. 解得214k =，即12k =±，代入一元二次方程得0∆>，符合题意，所以直线 l 的方程为1(2)2y x =±+.…………………………9分因为||AB =. 点F 到直线l的距离d ==所以FAB V的面积112FAB S ==V .…………………………12分 21.解析：(1)当1a =时，21()2ln 3(0)2f x x x x x =+−>，所以223'2(2)(1)()3x x x x f x x x x x−+−−=+−==.…………………………2分令)'(0f x …，得01x <…或2x …，令)'(0f x <，得12x <<，所以()f x 的单调递增区间为(0,1]和[2,)+∞，单调递减区间为(1,2).……………………4分 (2)因为函数323414()()2ln 2929g x f x ax x x a x x x =++=+−+， 所以22'4()23a g x x x x =+−+.…………………………6分 要使函数()g x 在(0,)+∞上单调递增， 则(0,)x ∈+∞时，224()03'2a g x x x x =+−+…， 即3243660x x x a +−+…，(0,)x ∈+∞，即324366x x xa +−−…，(0,)x ∈+∞.令32436()6x x xh x +−=，(0,)x ∈+∞，则2)21(2(1')(1)h x x x x x =+−=−+，…………………………8分 所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，)'(0h x <，()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，)'(0h x >，()h x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以12x =是()h x 的极小值点，也是最小值点. …………………………10分 又17224h ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，所以324366x x x y +−=−在(0,)+∞上的最大值为724.所以a 的取值范围为7,24⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.…………………………12分22.解析（1）由2cos ,sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩消去参数θ，得曲线C 的普通方程为22(2)(1x y −+=，即22460x y x +−++=，…………………………2分 根据222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，得曲线C 的极坐标方程，为24cos sin 60ρρθθ−++=.…………………………4分 因为直线l 的极坐标方程是π()6θρ=∈R ，所以直线l 的直角坐标方程为y x =.…………………………5分（2）因为直线10:()l θθρ=∈R 与直线l 垂直， 所以直线1l 的一个极坐标方程为5π()3θρ=∈R ，…………………………7分 将其代入曲线C的极坐标方程，得214602ρρ⎛−⨯+⨯+= ⎝⎭， 即2560ρρ−+=，解得122,3ρρ==，因为||||OM ON >，所以||3OM =.…………………………10分 23.解析（1）当1a =时，()|1||21|2f x x x =−−+−.因为()1f x −…，所以|1||21|1x x −−+….…………………………1分 当12x <−时，1211x x −++…，得1x −…；当时，1(21)1x x −−+…，得113x −剟； 当1x >时，1(21)1x x −−+…，得1x >.综上，不等式()1f x −…的解集为1(,1],3⎡⎫−∞−⋃−+∞⎪⎢⎣⎭.…………………………4分（2）因为函数()f x 的图象上至少存在一点落在x 轴上方， 所以关于x 的不等式()0f x >有解，即关于x 的不等式|1||21||1|x x a −−+>+有解，即max (|1||21|)|1|x x a −−+>+.…………………………6分 设()|1||21|g x x x =−−+， 则12,,21()3,1,22,1,x x g x x x x x ⎧+<−⎪⎪⎪=−−⎨⎪−−>⎪⎪⎩剟 所以max 13()22g x g ⎛⎫=−= ⎪⎝⎭，…………………………8分所以3|1|2a +<，所以33122a −<+<，解得，故实数a 的取值范围是51,22⎛⎫− ⎪⎝⎭.…………………………10分112x −剟5122a −<<。
2021年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)
2021 年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）数学（理）一、选择题1.设2(z +z) + 3(z -z) = 4 + 6i ，则z =( ）A.1 - 2iB.1 + 2iC.1 +iD.1 -i答案：C解析：设z =a +bi ，则 z =a -bi ，2(z +z) + 3(z -z) = 4a + 6bi = 4 + 6i ，所以 a = 1 ，b = 1，所以 z = 1 +i .2.已知集合S = {s | s = 2n +1, n ∈Z} ，T = {t | t = 4n +1,n ∈Z}，则S T =()A. ∅B. SC. TD. Z答案：C解析：s = 2n +1，n ∈Z ；当n = 2k ，k ∈Z 时，S = {s | s = 4k +1, k ∈Z} ；当n = 2k +1，k ∈Z 时，T =TS = {s | s = 4k + 3, k ∈Z}.所以T Ü S ，S.故选 C.3.已知命题p : ∃x ∈R ﹐sin x < 1 ；命题q : ∀x ∈R,e|x| ≥1 ，则下列命题中为真命题的是（）A.p ∧qB.⌝p ∧qC.p ∧⌝qD.⌝( p ∨q)答案：A解析：根据正弦函数的值域sin x ∈[-1,1] ，故∃x ∈R ，sin x < 1 ，p 为真命题，而函数 y =y =e|x|为偶函数，且x ≥ 0 时，y =e|x| ≥1，故∀x ∈R ，y =e|x| ≥1恒成立.，则q 也为真命题，所以p ∧q 为真，选 A.4.设函数f ( x) =1-x，则下列函数中为奇函数的是（）1+xA.f ( x -1) -1B.f ( x -1) +1C.f ( x +1) -1D.f ( x +1) +1答案：B解析：1-x 2 2f (x) ==-1+1+x1+x ，f (x) 向右平移一个单位，向上平移一个单位得到g(x) =为奇x函数.5.在正方体ABCD -A1B1C1D1中，P为B1D1 的中点，则直线PB 与AD1所成的角为（）A. π2 B. π3 C. π4 D. π65 4答案：D解析：如图， ∠PBC 1 为直线 PB 与 AD 1 所成角的平面角.易知∆A 1BC 1 为正三角形，又 P 为 A 1C 1 中点，所以∠PBC=π.166. 将5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑､冰球和冰壶4 个项目进行培训，每名志愿者只分配到1 个项目，每个项目至少分配1 名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 60 种B. 120 种C. 240 种D. 480 种 答案：C解析：所求分配方案数为C2A 4 = 240 .7. 把函数 y = f ( x ) 图像上所有点的横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变，再把所得曲 2线向右平移 π 个单位长度，得到函数 y = sin( x - π) 的图像，则 f ( x ) = （）3 4 A. sin( x - 7π )2 12 B. sin( x + π )2 12C. sin(2x - 7π)12 D. sin(2x +π) 12答案：B解析：逆向：y= sin(x -π左移ππ) −−−3→y=sin(x +) −横−坐−标变−为原−来的−2倍−→y = sin(1x +π) .4 12 2 12故选 B.8.在区间(0,1) 与(1, 2) 中各随机取1 个数，则两数之和大于7的概率为（）4A.79B.2332 C.932 D.29答案：B解析：由题意记x ∈ (0,1)，y ∈ (1, 2) ，题目即求x +y >7的概率，绘图如下所示. 4S 1⨯1-1AM ⋅AN 1-1⨯3⨯3故P =阴= 2 = 2 4 4 =23.S正ABCD1⨯1 1 329.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作.其中第一题是测量海岛的高.如图，点E, H ,G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”. GC 与EH 的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB =（）A.表高⨯表距+表高表目距的差B.表高⨯表距-表高表目距的差C.表高⨯表距+表距表目距的差D.表高⨯表距-表距表目距的差答案：A解析：连接 DF 交 AB 于M ，则 AB =AM +BM .记∠BDM =α，∠BFM =β，则MBtan βMBtanα=MF -MD =DF .而tan β=FG，tanα=ED.所以GC EHMB-MB=MB(1-1) =MB ⋅(GC-EH) =MB ⋅GC -EH. tan β tanα tan β tanα FG ED ED故MB = ED ⋅DF =表高⨯表距，所以高AB =表高⨯表距+表高.GC -EH 表目距的差表目距的差-10.设a≠0 ，若x =a 为函数f(x)=a(x -a)2 (x -b)的极大值点，则A.a <bB.a >bC.ab <a2D.ab >a2答案：D解析：若a > 0 ，其图像如图（1），此时，0 <a <b ；若a < 0 ，时图像如图（2），此时，b <a < 0 . 综上， ab <a2.x2 +y2=>>11.设B 是椭圆C ：a2 b2 1(a b 0) 的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足，PB ≤ 2b ，则C 的离心率的取值范围是（）A.[2,1) 21[ ,1)2 B.2 1.04 C.(0, 2] 21 (0, ]2答案：C解析：x 2y2y 2由题意，点 B (0, b ) ，设 P (x , y ) ，则 0 + 0 = 1⇒ x 2 = a 2 (1- 0 ) ，故 0a 2b 22y 2b 2c 2 PB = x 2 + ( y - b )2 = a 2(1- 0) + y 2 - 2by + b 2 = - y 2 - 2by + a 2 + b 2 ，0 0y 0 ∈[-b ,b ] .b 2 0 0 b 3b 2 0c由题意，当 y = -b 时，PB 2最大，则- ≤ -b ，b 2 ≥ c 2 ，a 2 - c 2 ≥ c 2 ，c = ≤ ，c ∈(0, 0c 2a 22].212. 设a = 2 ln1.01，b = ln1.02 ，c = 1，则（）A. a < b < cB. b < c < aC. b < a < cD. c < a < b答案：B解析:设 f (x ) = ln(1+ x ) -+1，则b - c = f (0.02) ，易得f '(x ) =1 -1+ x当 x ≥ 0 时，1+ x =≥ ，故 f '(x ) ≤ 0 .所以 f (x ) 在[0, +∞) 上单调递减，所以 f (0.02) < f (0) = 0 ，故b < c .1+ 2x 2 1+ 2x = 1+ 2x - (1+ x ) (1+ x ) 1+ 2x(1+ x )2 1+ 2x D.1+ 4x 42 1+ 4x 1+ 4x - (1- x ) (1+ x ) 1+ 4x3y 再设 g (x ) = 2 l n(1+ x ) -+1，则a - c = g (0.01) ，易得g '(x ) =2 1+ x - = 2 ⋅.当0 ≤ x < 2 时， ≥ = 1+ x ，所以 g '(x ) 在[0.2) 上≥ 0 . 故 g (x ) 在[0.2) 上单调递增，所以 g (0.01) > g (0) = 0 ，故 a > c . 综上， a > c > b .二、填空题13. 已知双曲线 C ：x 2 - 2m= 1(m > 0) 的一条渐近线为 3x + my = 0 ， 则 C 的焦距为.答案：4解析：易知双曲线渐近线方程为 y = ± bx ，由题意得 a 2 = m ， b 2 = 1 ，且一条渐近线方程为 ay =- mx ，则有m = 0 （舍去）， m = 3 ，故焦距为 2c = 4 .14. 已知向量a = (1,3) ， b = (3, 4) ，若(a - λb ) ⊥ b ，则λ =.答案：3 5解析：由题意得(a - λb ) ⋅ b = 0 ，即15 - 25λ = 0 ，解得λ = 3.515. 记 ∆ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c，面积为a 2 + c 2 = 3ac ，则b =.， B = 60︒ ，答案：2解析：1+ 4x 1+ 2x + x 2 3 23 2 5 S= 1 ac sin B = 3ac = ，所以 ac = 4 ，∆ABC2 4由余弦定理， b 2 = a 2 + c 2 - ac = 3ac - ac = 2ac = 8 ，所以b = 2 .16. 以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.答案：②⑤或③④解析：由高度可知，侧视图只能为②或③.侧视图为②，如图（1），平面 PAC ⊥ 平面 ABC ，PA = PC =2 ，BA = BC =，AC = 2 ，俯视图为⑤.俯视图为③，如图（2）， PA ⊥ 平面 ABC ， PA = 1， AC = AB =5 ， BC = 2 ，俯视图为④.1三、解答题17. 某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10 件产品，得到产品该项指标数据如下：旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和 y ， 样本方差分别己为 s 2 和 S 2. 1 2（1）求x ， y ， s 2， s 2：12（ 2 ） 判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高 ( 如果y - x ≥ 2 ， 否则不认为有显著提高 ) 。
2021年高考终极猜题卷-理数答案
队有 C16C15C24
65
43 2
180 种选法，服务队中没有女生的选法有
C14C13C22 4 31 12 种，所以服务队中至少有 1 名女生的不同选法共有180 12 168 种，
故选 B.
7.答案：D
uuur uuur 解析：法一：如图所示，因为 DE EC ，所以 E 为 DC 的中点，易知△D△EF :
CC1 的中点 H，连接 DH，易知 DH FB1 ，则 HDB 即异面直线 B1F 与 TM 所成的角.连接
BH，因为 DH 62 32 3 5 ， BD 6 2 ， BH 3 5 ，所以
cos HDB DH 2 BD2 BH 2 10 ，故选 B.
2DH BD
5
法二：以 A 为坐标原点，直线 AD，，AB AA1 分别为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐
bx ay 0 交于 M ， N 两点.由 MAN 60 ，可得 A 到渐近线 bx ay 0 的距离为
b cos 30 3 b ，可得 | ab | 3 b ，即 a 3 ，可得 C 的离心率为 e 2 3 .故选 A.
2
a2 b2 2
c2
3
6.答案：B
解析：从 4 男 2 女共 6 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务
2
2
7
cos C 2 7 ，sin A sin(B C) sin B cos C cos B sin C 7
3 2
2
7 7
1 2
21 7
21 ，由正弦定理 b c ，得 b c sin B 2 3 7 ，
14
sin B sin C
4.答案：B
2021年高考理科数学全国卷模拟猜题卷试卷及答案
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.不透明的箱子中有形状、大小都相同的 5 个球，其中 2 个白球，3 个黄球，现从该箱子中
随机摸出 2 个球，则这 2 个球颜色不同的概率为( )
A. 3
B. 2
10
5
5.已知
a
=
ln
π
，
−
e
1 2
，则(
C. 3 5
)
A. a b c
（2）若关于 x 的不等式 f (x) …g(x −1) − 4 有解，求实数 a 的取值范围.
一、选择题 1.答案：C
2021 年高考理科数学核心猜题卷 全国卷版
答案以及解析
解析：由题意可得1 − 4 + m = 0 ，解得 m = 3 ，所以 B = x | x2 − 4x + 3 = 0 = 1，3 ，故选 C.
B. a c b
D. 7 10
C. b a c
D. c a b
6.若
2x2
−
1 x
n
展开式的所有二项式系数之和为
32，则该展开式的常数项为(
)
A.10
B. −10
C.5
D. −5
7.已知点 M 是抛物线 x2 = 4 y 上的一动点， F 为抛物线的焦点， A 是圆
C : (x −1)2 + ( y − 4) 2 = 1上一动点，则 | MA | + | MF | 的最小值为( )
3.答案：B
解析：如图，将平面 ， ， 视为一个三棱柱的三个侧面，设 I = a ， a，m，n 为三棱柱
三条侧棱所在的直线，则由 m P n 得不到 P . 若 P ，且 I = m ， I = n ，由
2021年高考理科数学实战猜题卷 全国卷版【答案】
2021年高考理科数学实战猜题卷 全国卷版答案以及解析一、选择题 1.答案：C解析：因为3A -∈，所以23a -=-或2253a a +=-，得1a =-或32a =-.当1a =-时，22253a a a -=+=-，与互异性矛盾，舍去；当32a =-时，集合73122A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，，，满足条件.故选C. 2.答案：B解析：12(23i)(i)(23)(32)i z z a b a b a b =++=-++，所以320a b +=，因为0b ≠，所以23a b =-，故选B. 3.答案：A 解析：()f x 是奇函数，()()222e e lne 2f f ∴=--=-=-，()()22e e 13g f ∴=-=-.故选A. 4.答案：A解析：圆1O 的圆心为(00)，，半径等于1，圆2O 的圆心为(34)-，，半径等于4，所以两圆5，恰好等于它们的半径之和，所以两个圆外切.故选A. 5.答案：C解析：由题意，得甲、乙两人买C 品牌口罩的概率都是0.3，所以甲、乙两人买相同品牌的N95口罩的概率为0.20.30.50.40.30.30.35P =⨯+⨯+⨯=.故选C. 6.答案：B解析：当1n =时，113a S r ==+，当2n时，()2123232133331n n n n n n a S S ----=-=-=-=23221188383393n n n ----⋅=⋅⋅=⋅，所以833r +=，即13r =-，故选B.7.答案：A 解析：非零向量a b ，满足()0⋅-=a a b ，2∴=⋅a a b ，由||||-=a b a 可得，2222-⋅+=a a b b a ，解得|||b a ，222()||cos ||||||||θ-⋅⋅-∴===-a b b a b b a b b a b=，135θ∴=︒，故选A. 8.答案：C解析：由题图得24A B A B +=⎧⎨-+=-⎩，得31A B =⎧⎨=-⎩，最小正周期2π4π2π2()4π33T ω==⨯+=，12ω∴=，又14ππ2π232k ϕ⨯+=+，k ∈Z ，π2π6k ϕ∴=-+，k ∈Z .又π||2ϕ<，所以π6ϕ=-.故选C.9.答案：C解析：四个篮球分成三组有24C 种分法，三组篮球进行全排列有33A 种排法，标号1，2的两个篮球分给同一个小朋友有33A 种分法，所以有233433C A A 36630-=-=种分法，故选C.10.答案：A解析：在Rt ASC △中，1AC =，90SAC ∠=︒，2SC =，所以SA =SB A 点作SC 的垂线交SC 于D 点，连接DB ，因为SAC SBC ≅△△，故BD SC ⊥，故SC ⊥平面ABD ，且ABD △为等腰三角形.因为30ASC ∠=︒，故12AD SA ==，则ABD △的面积为112⨯123=. 11.答案：C解析：由120PF PF ⋅=可得，22200x c y -+=，22222020b x c x b a -+-=，222202c x b c a=+，()222202a b c x c +=，因为05443x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以()2222222516169a b c a a c +<<，2297169b c <<，29171169e <-<，2217916e <<，216972e <<e <<故选C. 12.答案：D 解析：2()32'0f x x =+>，()f x ∴在定义域上单调递增，又(0)1f =，∴由()e 11(0)x f ax f -+>=，得e 10x ax -+>，1e x ax +>，令()1g x ax =+，()e x h x =，则当(0)x ∈+∞，时，存在()g x 的图象在()h x 的图象上方的情况.(0)1g =，(0)1h =，又)'(g x a =，)'(e x h x =，∴实数a 需满足(0)(0)1''g a h =>=.故选D.二、填空题 13.答案：1解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，由10220x y x y --=⎧⎨+-=⎩，得10x y =⎧⎨=⎩，故(10)A ，.作出直线70x y +=，平移可知，当直线过点A 时，7z x y =+取得最大值，为1.14.答案：30解析：从随机数表第2行第6列的数字开始，从左向右依次选取2个数字，符合题意的前10个编号依次为21，58，37，54，19，23，22，45，55，10，这些数据的中位数为30. 15.答案：16解析：法一：设等差数列{}n a 的公差为d ，则()()25811147a a a a d a d a d +=++++=221114570a d a d a d ++++=，9193627S a d =+=，解得15a =-，2d =，则81828405616S a d =+=-+=.法二：设等差数列{}n a 的公差为d ，()199599272a a S a +===，53a =，又2580a a a +=，则3(33)330d d -++=，得2d =，则()()18845844(13)162a a S a a +==+=+=.16.答案：28π解析：由题意可知ABD △，BCD △为等边三角形.如图所示，设外接球的球心为O ，等边三角形BCD 的中心为O '，取BD 的中点F ，连接AF CF OO OB O B OA ''，，，，，，由AB AD BC BD DC ====，得AF BD ⊥，CF BD ⊥，又AFCF F =，所以BD ⊥平面AFC ，且可求得AF =3CF =，而AC =，所以AFC ∠=120︒，在平面AFC 中过点A 作CF 的垂线，与CF 的延长线交于点E ，由BD ⊥平面AFC 得.BD AE ⊥又AE EC ⊥，BDEC F =，所以AE ⊥平面BCD ，过点O 作OG AE ⊥于点G ，则四边形O EGO '是矩形，又2sin6023O B BC ︒'=⨯=，所以112O F O B ''==，sin 60AE AF =︒=3sin302EF AF =︒=，设外接球的半径为R ，OO x '=，则由222OO O B OB ''+=，222OA AG GO =+，得2222x R +=，222312x R ⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭解得x =27R =，故三棱锥A BCD -外接球的表面积24π28π.S R ==三、解答题17.解析：(1)由cos b A c =，得sin cos sin B A A C =，sin cos sin()B A A A B +=+，sin cos sin cos cos sin B A A A B A B +=+，sin cos A A B =，…………………………………………4分 又sin 0A ≠，cos B ∴=，π4B ∴=.…………………………………………6分 (2)在ADC △中，7AC =，5AD =，3DC =，2222225371cos 22532AD DC AC ADC AD DC +-+-∴∠===-⋅⨯⨯，2π3ADC ∴∠=，…………………………………………9分 在ABD △中，由sin sin AB ADADB B=∠，得π5sin5sin 3πsin sin 4AD ADB AB B ⨯⋅∠====.……………………………………12分 18.解析：(1)因为4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以OP AC ⊥，且OP =连接OB .因为AB BC AC ==，所以ABC △为等腰直角三角形， 且OB AC ⊥，122OB AC ==.…………………………………………3分 由222OP OB PB +=知PO OB ⊥.由OP OB ⊥，OP AC ⊥知PO ⊥平面ABC .…………………………………………5分 (2)如图，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -.由已知得()000O ，，，()200B ，，，()020A -，，，()020C ，，，(00P ，，(02AP =.取平面PAC 的一个法向量()200OB =，，.设()20(02)M a a a -<，，，则(40)AM a a =-，，.…………………………………………7分 设平面PAM 的法向量为()x y z =n ，，. 由0AP ⋅=n ，0AM ⋅=n 得20(4)0y ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，可取4))a a =--n ，，………………………………………9分所以cos OB 〈〉n ，.由已知可得|cos |OB 〈〉=n ，，…………………………………………10分，解得4a =-(舍去)，43a =，所以43⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭n .又(02PC =-，，，所以cos PC 〈〉=n ，.所以PC 与平面PAM .…………………………………………12分 19.解析：(1)(47.572.5)0.0045(52.567.5)0.0265(57.562.5)μ=+⨯⨯++⨯⨯++0.070560⨯⨯=，…………………………………………2分22222(6047.5)(6072.5)0.02(6052.5)(6067.5)0.13σ⎡⎤⎡⎤=-+-⨯+-+-⨯+⎣⎦⎣⎦22(6057.5)(6062.5)0.3525⎡⎤-+-⨯≈⎣⎦.…………………………………………4分(2)由已知可得从全校学生中随机抽取1人，体重在[55)65，内的概率为0.7. 随机抽取3人，相当于3次独立重复试验，所以随机变量X 服从二项分布()30.7B ，，………………………………………5分 则0033(0)C 0.70.30.027P X ==⨯⨯=， 123(1)C 0.70.30.189P X ==⨯⨯=，223(2)C 0.70.30.441P X ==⨯⨯=，3303(3)C 0.70.30.343P X ==⨯⨯=，…………………………………………7分所以X 的分布列为数学期望30.7 2.1EX =⨯=.…………………………………………9分 (3)由题意知Y 近似服从正态分布5(602)N ，， 则(22)(5070)0.960.9545P Y P Y μσμσ-<+=<=>，所以可以认为该校学生的体重是正常的. …………………………………………12分 20.解析：(1)当2a =时，()2e 1ex x xf x =--， 1()2e 'e x xxf x -∴=-，(0')211f ∴=-=.…………………………………………2分 又()0211f =-=，∴曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程为1y x -=，即10x y -+=.…………………………………………4分 (2)原问题等价于关于x 的方程11e e x xx a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有唯一的解时，求a 的值. 令1()1e e x x x g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则212e ()e 'x x x g x --=.令()12e x h x x =--，则()'2e 0x h x =--<，()h x ∴在()-∞+∞，上单调递减. …………………………………………6分 又(0)0h =，∴当(0)x ∈-∞，时，()0h x >，即)'(0g x >， ()g x ∴在()0-∞，上单调递增；…………………………………………8分 当()0x ∈+∞，时，()0h x <，即)'(0g x <，()g x ∴在(0)+∞，上单调递减， ()g x ∴的极大值为(0)1g =.…………………………………………10分 ∴当(0]x ∈-∞，时，()(1]g x ∈-∞，；当(0)x ∈+∞，时，()(01)g x ∈，. 又0a >，∴当关于x 的方程11e e xx x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有唯一的解时，1a =， 即当函数()f x 有唯一零点时，a 的值为1. ……………………………………12分21.解析：(1)由题意可得2212227a b a b ⎧⨯⨯=⎪⎨⎪+=⎩，解得2a =，b故椭圆C 的标准方程为22143x y +=.…………………………………………3分(2)显然直线l 的斜率存在且不为0，设直线:(0)l y kx t kt =+≠，联立得223412y kx tx y =+⎧⎨+=⎩，得()2223484120k x ktx t +++-=，……………………………5分 则()()2222644344120k t k t ∆=-+-=，得2243t k =+， 所以()284234A kt kx t k -==-+.…………………………………………7分 由OM l ⊥，得直线OM 的方程为1y x k=-，联立得1y xk y kx t ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，得21M kt x k =-+，所以2||||1kt OM k ==+9分又()3222444||11k kt k k kt AM t k t k --+=-+==++，所以2111||111||||1222124||||AMOk SAM OM kk k =⋅==⋅=⋅++， 当且仅当1k =±时等号成立， 所以AMO △面积的最大值为14.…………………………………………12分 22.解析：（1）由题意，知π14π34a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得02a b =⎧⎨=⎩，所以曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，…………………………………………2分 所以曲线C 的直角坐标方程为224x y y +=，即22(2)4x y +-=，所以曲线C 的圆心为(02)，，其极坐标为π22⎛⎫⎪⎝⎭，.…………………………………………4分 （2）由（1）知直线l 的参数方程为cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩，则直线l 过点()02，， 即直线l 过圆C 的圆心，则π2MON ∠=. 不妨设()1N ρθ，，2π2M ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，其中π02θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，， 则14sin ρθ=，2π4sin 4cos 2ρθθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，…………………………………………6分所以222222121||2||||||216cos 32sin OM OM ON ON ρρρρθθ+-=+-=+⋅ 2πcos 16sin 16sin 216cos 224θθθθθ⎛⎫-=+=+ ⎪⎝⎭.………………………………8分由π02θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，知ππ5π2444θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，所以当ππ242θ+=，即π8θ=时， 22||2||||||OM OM ON ON +-取得最大值………………………………………10分23.解析：（1）函数211()|1||21|312122x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+--=-<⎨⎪⎪-+⎪⎩，，，，……………………………3分作出()y f x=的图象如图所示.…………………………………………5分（2）()()|1||22||21|3g x f x x x x=++=+--，即3t=，……………………………7分又114141()14(54)3333a ba b a ba b b a⎛⎫⎛⎫+=++=+++⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当2b a=时取等号，所以a b t+.…………………………………………10分。
2021年高考理科数学核心猜题卷 全国卷版【答案】
2021年高考理科数学核心猜题卷 全国卷版答案以及解析一、选择题 1.答案：C解析：由题意可得140m -+=，解得3m =，所以{}{}2|43013B x x x =-+==，，故选C. 2.答案：B解析：因为(12i)2i z a -=+，所以2i (2i)(12i)22(4)i12i (12i)(12i)5a a a a z +++-++===--+.又z 是纯虚数，所以220a -=，40a +≠，所以1a =.故选B. 3.答案：B解析：如图，将平面αβγ，，视为一个三棱柱的三个侧面，设a αβ=，a m n ，，为三棱柱三条侧棱所在的直线，则由m n 得不到αβ. 若αβ，且m αγ=，n βγ=，由面面平行的性质定理可得出m n .所以由αβ可得mn ，因此“m n ”是“αβ”的必要不充分条件.故选B.4.答案：C解析：所求概率为112325C C 63C 105==，故选C.5.答案：B 解析：ln π1>，50log 21<<，120e1-<<，a ∴最大，又51log 2log 2<=，121e 2-=>=，c b ∴>，a c b ∴>>.故选B. 6.答案：A解析：由二项式系数之和为32，即232n=，可得5n =，522x⎛⎝展开式的通项()5105252155C 2(1)2C rrrr rr r r T xx---+⎛==-⋅ ⎝. 令51002r -=，得4r =. 所以常数项为4145(1)2C 10-⨯⨯=，故选A.7.答案：B解析：设抛物线的准线为l ，如图所示，利用抛物线的定义知||||MP MF =，当M A P ，，三点共线时，||||MA MF +的值最小，且最小值为||||1CP r CP -=-.因为抛物线的准线方程为1y =-，(14)C ，，所以||415CP =+=.于是min (||||)514MA MF +=-=.故选B.8.答案：A解析：运行程序，输入3a =，此时0S =，1i =，执行下一步，3S =，2i =，i m >不成立，4a =，16S =，3i =；i m >不成立，5a =，85S =，4i =；i m >不成立，6a =，516S =，5i =；i m >不成立，7a =，36192020S =>，6i =；i m >成立. 所以满足题意的整数m 最小为5.故选A. 9.答案：B 解析：1(0)sin 2f θ==-，且π||2θ<，π6θ∴=-，π()sin π6f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，π1()sin π62f m m ⎛⎫∴=-=- ⎪⎝⎭，π7ππ2π66m k ∴-=+，k ∈Z ，423m k ∴=+，k ∈Z .又函数()f x 的最小正周期2T =，02m ∴<<，43m ∴=.10.答案：C解析：如图，分别取111DD AA BB ，，的中点N P Q ，，，连接MN NP PQ QM ，，，，则MNPQ CDAB -为直四棱柱，该直四棱柱的八个顶点均在球O 的球面上.设球半径为R ，则219(2)1144R =++=，所以34R =，则球O 的表面积为29π4π4R =，故选C.11.答案：A 解析：设sin sin sin a b c k A B C===，则由22sin cos sin cos 4sin c A A a C C B +=，得2sin sin (sin cos sin cos )4sin k A C C A A C B +=，即2sin sin sin()4sin k A C C A B +=，所以2sin sin 4k A C =，即4ac =.又cos B =3sin 4B =，所以13sin 22ABC S ac B ==△，所以519ABD BCD ABC ABC S S AD AC S S ==-=△△△△，故选A. 12.答案：D解析：易得()'32sin 0f x x =->，所以在(0]-∞，上，()f x 为增函数，()max (02)f x f ==.令()e 0x t t =>，设()()()()2150h t t t t =-->，则()()'1(5)3h t t t =+-，当503t <<时，()'0h t <，()h t 单调递减；当53t >时，)'(0h t >，()h t 单调递增.故min552540()1533927h t h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而min 40()27g x =-.依题意可得40227a +-，9427a ∴-，故a 的取值范围为9427⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，.二、填空题 13.答案：2解析：由向量a 与b 共线得24x -=-，所以2x =±.又向量a 与b 同向，所以2x =. 14.答案：8解析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线20x y +=并平移，由图知，当平移后的直线经过点(23)A ，时，z 取得最大值，max 2238z =+⨯=.15.答案：1和3解析：丙说他的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字要么是1和2，要么是1和3.又乙说他与丙的卡片上相同数字不是1，所以卡片2和3必定在乙手里.因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以甲的卡片上的数字只能是1和3. 16.答案：2y x =±解析：双曲线2222:1(00)x y C a b a b -=>>，的渐近线方程为by x a=±.连接2PF ，由点P 是以12F F 为直径的圆与C 在第一象限内的交点，可得12PF PF ⊥.由线段1PF 的中点Q 在C 的渐近线上，可得2OQ PF ，则1PF OQ ⊥，直线OQ 的方程为0bx ay +=，可得1(0)F c -，到OQb =，得||OQ a =，12PF b =，22||2PF OQ a ==.由双曲线的定义可得12222PF PF b a a -=-=，即2b a =，所以双曲线的渐近线方程为2y x =±. 三、解答题17.解析：(1)由题设得()()1142n n n n a b a b +++=+， 即()1112n n n n a b a b +++=+.…………………………………2分 又因为111a b +=，所以{}n n a b +是首项为1，公比为12的等比数列. …………………………………4分 由题设得()()11448n n n n a b a b ++-=-+，即112n n n n a b a b ++-=-+. 又因为111a b -=，所以{}n n a b -是首项为1，公差为2的等差数列. …………………………………6分 (2)由(1)知，112n n n a b -+=，21n n a b n -=-. 所以()()111222n n n n n n a a b a b n ⎡⎤=++-=+-⎣⎦，…………………………………10分 ()()111222n n n n n n b a b a b n ⎡⎤=+--=-+⎣⎦.…………………………………12分 18.解析：（1）通过茎叶图可以看出，B 校学生的考核成绩的平均值高于A 校学生的考核成绩的平均值；B 校学生的考核成绩比较集中，而A 校学生的考核成绩比较分散. ………………………3分 （2）①由茎叶图可知，A 校学生的考核等级为良的概率的估计值为1920P =， B 校学生的考核等级为良的概率的估计值为21120P =. 因为12P P <，所以估计B 校学生的考核等级为良的概率大. …………………………………6分 ②记事件M 为“从样本中任取2名学生的考核成绩，考核等级为良或优秀”，事件N 为“这2名学生来自同一所大学”，则233240C ()C P M =，221617240C C ()C P MN +=，…………………………………9分所以在考核等级为良或优秀的情况下，这2名学生来自同一所大学的概率221617222401617223333240C C C C C ()16(|)C ()C 33C P MN P N M P M ++====.…………………………………12分 19.解析：(1)连接1AB 交1A B 于点Q ，连接OQ ，易知Q 为1AB 的中点，O 为AC 的中点，∴在1AB C △中，112OQB C ，…………………………………2分 OQ ⊂平面1A BD ，1B C ⊂/平面1A BD ， 1B C∴平面1A BD .…………………………………4分(2)连接1A O ，AO ⊥平面1A BD ，1AO AO ∴⊥， 11A B A D =且O 为BD 的中点，1AO BD ∴⊥， AO ，BD ⊂平面ABCD 且AO BD O =，1A O ∴⊥平面ABCD .…………………………………6分如图，以O 为坐标原点，1OA OB OA ，，所在直线分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系O xyz -.易得00)A ，，(010)B ，，，(010)D -，，，1(001)A ，，，1(01)AA ∴=，，(10)AB =，…………………………………8分设平面1A AB 的法向量为()x y z =n ，，， 则100AA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，00z y ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩，令1x =，得y z ==，(1∴=n .同理可得平面1A AD的一个法向量为(1=-m ，，……………………………10分 1cos ||||7⋅∴〈〉==m n m n m n ，，结合图形知，二面角1B AA D --为钝二面角，∴二面角1B AA D --的余弦值为17-.…………………………………12分 20.解析：(1)由题意可得2b =b 1分c e a ===a =，所以椭圆C 的标准方程为22182x y +=.…………………………………3分(2)由于直线l 平行于直线b y x a =，即12y x =，设直线l 在y 轴上的截距为n ，所以直线l 的方程为1(0)2y x n n =+≠.…………………………………5分 由2212182y x n x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得222240x nx n ++-=， 因为直线l 与椭圆C 交于A B ，两个不同的点，所以()22(2)4240n n ∆=-->，解得22n -<<.…………………………………7分设()11A x y ，，()22B x y ，，则122x x n +=-，21224x x n =-. AOB ∠为钝角等价于0OA OB ⋅<，且0n ≠，所以121212121122OA OB x x y y x x x n x n ⎛⎫⎛⎫⋅=+=+++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()22212125524(2)04242n nx x x x n n n n +++=-+-+<，………………………………10分 得22n <，且0n ≠，所以直线l 在y 轴上的截距n的取值范围为(0)(02)，.所以直线l 在x 轴上的截距m的取值范围为(0)(022)-，.……………………12分21.解析：(1)当4a =时，()22()24ln 4f x x x x x x =--+，所以2(e)e f =，且()4(1n ')l f x x x =-，则(e)4'(e 1)f =-.………………………………2分 所以()f x 的图象在e x =处的切线方程为2e 4(e 1)(e)y x -=--， 即24(e 1)3e 4e 0x y ---+=.…………………………………4分(2)设切点为()3t ，，则0t >， 因为()22()2ln f x x ax x x ax =--+，所以()(4)n 'l f x x a x =-， 令)'(0f t =，则ln 0t =或40t a -=，解得1t =或4at =.………………………………6分 ② 若1t =，则()113f a =-=，解得4a =，满足6a <.②若4a t =，由6a <可得302t <<，…………………………………8分()2222()2ln 32ln 3f t t at t t at t t t =--+=-=，令22()32ln 3g t t t t =--，302t <<， 则()44ln 4(1l )0'n g t t t t t t =-=->，…………………………………10分 所以函数()y g t =在302⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增.又()10g =，所以1t =为方程()3f t =在302⎛⎫⎪⎝⎭，上的唯一解，故14a =，解得4a =.综上可知，4a =.…………………………………12分22.解析：（1）由2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩可得曲线1C 的普通方程为2214x y +=，…………………1分由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线1C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+.……………………………3分 由221613cos ρθ=+得2223cos 16ρρθ+=，2222sin 4cos 16ρθρθ+=， 又cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以22416x y +=， 即2C 的直角坐标方程为221416x y +=.…………………………………5分（2）将π(0)4θρ=代入22413sin ρθ=+得到2248π513sin 4ρ==+，所以M ρ=，…………………………………7分 将π(0)4θρ=代入221613cos ρθ=+得到221632π513cos 4ρ==+，所以N ρ=9分所以||N M NM ρρ=-.…………………………………10分 23.解析：（1）当53a =-时，不等式|(1)|()f x g x ->即|23||31|x x +>+，两边同时平方，得224129961x x x x ++>++，…………………………………2分 即25680x x --<，解得425x -<<.故原不等式的解集为425⎛⎫- ⎪⎝⎭，.…………………………………4分（2）法一：关于x 的不等式()(1)4f x g x --有解，即不等式234|32|x a x -+-有解，得324|32|ax x +--有解. …………………………………5分设()24|32|h x x x =+--，当23x时，()24326h x x x x =+-+=-+， 此时()h x 在23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递减，所以max 2216()6333h x h ⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭，所以1633a ，即169a .…………………………………7分 当23x <时，()243252h x x x x =++-=+， 此时()h x 在23⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，216()5233h x <⨯+=，…………………………………9分所以1633a <，即169a <. 综上，实数a 的取值范围为169⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，.…………………………………10分法二：不等式()(1)4f x g x --有解，即不等式()4(1)f x g x +-有解.令()()4234h x f x x a =+=-+，()(1)|32|H x g x x =-=-.…………………………………5分 在同一坐标系中分别画出函数()234h x x a =-+与()|32|H x x =-的图象，如图所示，若()234h x x a =-+的图象上存在点不在()|32|H x x =-的图象的下方， 则2233h H ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭，…………………………………8分 即222343233a ⨯-+⨯-，解得169a. 所以实数a 的取值范围为169⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，.…………………………………10分。
2021年高三下学期猜题卷数学(理) 含答案
2021年高三下学期猜题卷数学（理）含答案一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1.“”是“复数（其中是虚数单位）为纯虚数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2.设全集，函数的定义域为，集合，则的元素个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43.若点在角的终边上，则的值为（）A． B． C． D．4.如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的为茎叶图中的学生成绩，则输出的分别是（）A． B． C． D．5.如图所示的是函数和函数的部分图象，则函数的解析式是（）A． B．C． D．6.若函数的图象如图所示，则的范围为（）A． B． C． D．7.某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（）A．1 B． C． D．8.已知数列的首项为，且满足对任意的，都有成立，则（）A． B． C． D．9.已知非零向量满足，若对每个确定的的最大值和最小值分别为，则的值为（）A．随增大而增大 B．随增大而减小 C．是2 D．是410.已知在三棱锥中，，平面平面，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A． B． C． D．11.已知双曲线的右顶点为为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点.若，且，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．12.已知函数，则关于的方程的实根个数不可能为（）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知展开式的常数项为15，则____________.14.设，关于的不等式和无公共解，则的取值范围是__________.15.设抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过点作它的弦，若，则________．16.已知数列满足，则_____________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）如图，在中，已知点在边上，且，.（1）求长；（2）求.18.（本小题满分12分）已知矩形，点是的中点，将沿折起到的位置，使二面角是直二面角.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.19.(本小题满分12分)2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元.距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[](](](](]0,2000,2000,4000,4000,6000,6000,8000,8000,10000五组，并作出如下频率分布直方图：（1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款，现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为户，求的分布列和数学期望；（3）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如图，根据图表格中所给数据，分别求的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元捐款不超过500元合计0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828附：临界值表参考公式：()()()()()22,n ad bcK n a b c da b c d a c b d-==+++ ++++.20.（本小题满分12分）已知椭圆的两个焦点，且椭圆过点，且是椭圆上位于第一象限的点，且的面积.（1）求点的坐标；（2）过点的直线与椭圆相交于点，直线，与轴相交于两点，点，则是否为定值，如果是定值，求出这个定值，如果不是请说明理由. 21.(本小题满分12分)已知函数()()()()221122,2xf x ax bx a b e x x x a R =++---++∈，且曲线与轴切于原点. （1）求实数的值； （2）若恒成立，求的值.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，为四边形外接圆的切线，的延长线交于点，与相交于点，且.（1）求证：； （2）若，求的长.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，已知点，直线（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线和曲线的交点为. （1）求直线和曲线的普通方程； （2）求.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()()21,2,,f x x a g x x m a m R =--=-+∈，若关于的不等式的整数解有且仅有一个值为-2. （1）求整数的值；（2）若函数的图象恒在函数的上方，求实数的取值范围.参考答案一．选择题1. B2. C3. A4. B5. C6. D7. C8. A9.D 10. B 11. C 12. A 二．填空题13. 14. 15. 16. -463 三．解答题17. 解：（1）因为，则， 所以sin sin cos 2BAC BAD BAD π⎛⎫∠=+∠=∠⎪⎝⎭， 即.在中，由余弦定理，可知2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-∠. 即， 解得，或.因为，所以………………………………………6分 （2）在中，由正弦定理， 可知. 又由，可知， 所以. 因为，所以………………………………………………………12分 18.解（1）∵，是的中点， ∴是等腰直角三角形， ，即.又∵平面平面， 平面平面，∴平面，∴……………………………………………5分 （2）法一：设是线段的中点， 过点作，垂足为，连接，如图，则，∵平面平面，∴平面. ∴是在平面上的射影， 由三垂线定理，得， ∴是二面角的平面角. 在中，，11,tan 222D MMF AB D FM MF''==∠==， .∴二面角的余弦值为………………………………………12分法二：如图，以为轴、轴，过点且垂直于平面的射线为轴，建立空间直角坐标系.则)(),,0,22BC D ⎛' ⎝⎭.易知平面的一个法向量为； 设平面的一个法向量为， ，，则，即，取， 得，∴，∴二面角的余弦值为………………………………………………12分 19.解：（1）记每户居民的平均损失为元， 则()10000.0001530000.000250000.0000970000.0000390000.0000320003360x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=……………………………………………………4分 （2）由频率分布直方图，可得超过4000元的居民共有()0.000090.000030.0000320005015++⨯⨯=户，损失超过8000元的居民共有户，因此，的可能值为0，1，2.()()()2122151131221523215220,35121351235C P C C C P C C P C ξξξ=========的分布列为 0 1 2………………………………………8分（3）解得9,5,39,11,35,15,50b c a b c d a c b d a b c d ==+=+=+=+=+++=，()225030695 4.046 3.84139113515K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯.所以有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关…………12元 20．解：（1）∵椭圆.∴222223312b a b c ab ⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪+=⎩，计算得. ∴椭圆的方程为. ∵的面积， ∴，∴，代入椭圆方程. ∵，∴，∴.（2）法一：设直线的方程为. 直线的方程为， 可得，即. 直线的方程为， 可得，即.联立，消去，整理， 得. 由，可得. ，()()()()()()()()()()()()12121212212121212222222222323552121121121212112121413612121223641223121261224362m y m y CM CN y y m y m y y y m y y m y y y y y y m m m m m m m m m m m m m m ----⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭++++=--+++++=-++⎡⎤⎣⎦⎛⎫+++-+ ⎪++⎝⎭=⎛⎫++ ⎪++⎝⎭++--++=+++()()2226514465m m m m m ++==++∴为定值，且…………………………………………………………12分 法二：设，直线的斜率分别为，由，得，，可得， ，()()()()()()12121212121212121222222222223131112222251124241861225112412121861224121244222k x k x y y k k x x x x kx x k x x k x x x x k k k k k k k k k k kk k ------+=+=+-----++++=-++--+++++=--+++-+==--由，令，得， 即， 同理得， 即，则1212121212121212125151222211112211111421114211211424CM CN k k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=++⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭-=+⨯+=∴为定值，该定值为.21.解：（1）()()()()()()22221222122212322x x f x ax bx a b ax b e x x x x ax a b x a e x x '⎡⎤=++-++-+++-+⎣⎦⎡⎤=+++-+⎣⎦ ∴，又，∴…………………………………………………………4分（2）不等式，即，或，令，()()()()1,1x x h x g x e x h x e ''==-+=-，当时，；当时，.∴在区间内单调递减，在区间内单调递增，∴.即，∴在上单调递增，而，∴；.∴当或时，，同理可得，当时，.∴由恒成立可知，，和是方程的两根.∴.∴…………………………………………………12分22.解：（1）由为切线，得，又，所以.所以…………………………………………………4分（2）由切割线定理，得.由，得，又，所以，所以.又知，所以.又，所以，所以…………………………………………10分23.解：（1）直线的普通方程是，曲线的普通方程是…………………………………………………4分（2）将直线的标准参数方程（为参数）代入曲线，可得，所以…………………………………………10分24.解：（1）由，即，得.因为不等式的整数解为-2，所以，解得.又不等式仅有一个整数解-2，所以…………………………………4分（2）函数的图象恒在函数的上方，故.所以对任意恒成立.设，则则在区间上是减函数，在区间上是增函数，所以当时，取得最小值3，故，所以实数的取值范围是.（或者因为()212112133h x x x x x x x =-++=-+-++≥-+≥，故.）………………10分D 35546 8ADA 諚 31081 7969 祩23490 5BC2 寂 F36439 8E57 蹗35461 8A85 誅25361 6311 挑24914 6152 慒+RL。
2021届高考押题样卷全国版-理数(含答案解析)
绝密 ★ 启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合(){}22,2,,M x y xy x y =+≤∈∈Z Z ，则集合M 的真子集的个数为（ ）A ．921- B ．821- C ．52D ．421+【答案】A 【解析】集合()()()()()()()()(){}1,0,1,1,1,1,0,1,0,0,0,1,1,1,1,0,1,1M =------，故其真子集的个数为921-个，故选A ． 2．已知复数2i12im z -=-，若z 在复平面内对应的点位于第三象限，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(),6-∞- B ．(),4-∞-C ．()4,+∞D ．()6,+∞【答案】B 【解析】()()()()()2i 12i 22i 12i 12i 5545422i m m z m m m +-+-===+-++-+，此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号因为复数z 在复平面内对应的点位于第三象限，则0505422m m +⎧<⎪⎨<-⎪⎪⎪⎩，解得4m <-，故选B ．3．双曲线22221(0,0)a b a by x -=>>的一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的离心率为（ ） A．3B．7C．2D【答案】A【解析】由题意，双曲线22221(0,0)a b a by x -=>>的一条渐近线方程为y x =，可得2a b =，所以::2a b c =e =A ．4．已知向量()1,0=a，=b ()⊥+a a b ，则2+=a b （ ） A ．2 BCD ．3【答案】D【解析】由2()()00⊥+⇒⋅+=⇒+⋅=a a b a a b a a b ，因为1=a ，所以1⋅=-a b ，所以23+===a b ，故选D ． 5．函数()()2221sin 12x x xf x x x+++=-+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】()()2222221sin 21sin 2sin 11112x x xx x x x xf x x x x x+++++++===+++-+， 令()22sin 1x x g x x +=+，则()()22sin 1x xg x g x x ---==-+，故()g x 为R 上的奇函数， 故()f x 的图象关于()0,1对称，故排除C ；又当0x >时，令()2sin h x x x =+，则()2cos 0h x x '=+>， 故()()00h x h >=，故当0x >时，()1f x >，故排除D ； 而()sin1102f -=-<，故排除A ， 故选B ．6．已知x ，y ∈R ，则“13x y +≤”是“2291x y +≤”的（ ）条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充分必要D ．既不充分也不必要【答案】A【解析】2291x y +≤表示顶点分别为()()()()3,0,3,0,0,1,0,1--的椭圆上及椭圆内部区域内的点，13xy +≤表示顶点()()()()3,0,3,0,0,1,0,1--的菱形上以及菱形内部区域内的点， 故可得13x y +≤是2291x y +≤的充分不必要条件，故选A ． 7．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若m n ∥，n α⊂，则m α∥B ．若m α⊂，n α⊂且//m β，βn//，则//αβC ．若m α⊥，βn//且//αβ，则m n ⊥D ．若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥ 【答案】C【解析】A 选项，当m n ∥，n α⊂，m α⊂时，不能得出m α∥，故该选项不正确； B 选项，由题得//αβ或,αβ相交，所以该选项错误；C 选项，由题得m β⊥，又βn//，所以m n ⊥，所以该选项正确；D 选项，l αβ=，l γ⊥时，αγ⊥，βγ⊥，不能得出αβ∥，故该选项错误，故选C ．8．已知直线y kx =与圆22680x y x y +++=相交于两点，且这两点关于直线20x y b -+=对称，则,k b 的值分别为（ ）A ．2,5k b ==-B ．2,5k b =-=-C ．2,5k b =-=D ．2,5k b ==【答案】B【解析】∵直线y kx =与圆22680x y x y +++=的两个交点关于直线20x y b -+=对称， ∴直线20x y b -+=经过圆心()3,4--且直线y kx =与直线20x y b -+=垂直，∴()3240112b k ⎧--⨯-+=⎪⎨=-⎪⎩，解得52b k =-⎧⎨=-⎩，故选B ．9．任何一个函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和或差的形式，若已知函数()2x f x e =，若将()f x 表示成一个偶函数()g x 和一个奇函数()h x 的差，且()()21h x ag x +≥⎡⎤⎣⎦对x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)1,+∞ C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】由()()()2xf xg xh x e =-=，有()()()()()2xf xg xh x g x h x e --=---=+=，解得()xxg x e e -=+，()xx h x ee -=-，()()21h x ag x +≥⎡⎤⎣⎦，可化为()()21xx x x e e a e e ---++≥，有()()2221x x x x e e a e e --+-++≥，有()()250xx x x e ea e e --+-++≥，得()5x xx xa e e e e --≥-++，又由2x xe e-+≥，有51222a ≥-=，故选C ．10．在体积为8的正方体1111ABCD A B C D -内部任意取一点P ，能使四棱锥P ABCD -，11P ABB A -，11P BB C C -，11P CC D D -，11P DD A A -，1111P A B C D -的体积大于23的概率为（ ） A ．13B ．16C ．19D ．18【答案】D【解析】作与正方体每个面平行且距离为12的截面，从而可以在正方体内部得到一个小的正方体，由题意可得当P 点落在小正方体内部时，能使四棱锥P ABCD -，11P ABB A -，11P BB C C -，11P CC D D -，11P DD A A -，1111P A B C D -的体积大于23， 根据几何概型概率公式知()31818=P =，故选D ． 11．已知函数34()sin cos 55f x x x ωω=+（0π4x ≤≤）的值域为4,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦，其中0ω>，则πcos()4ω的取值范围是（ ）A ．73,255⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．7,125⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．71,25⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．74,255⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】因为()()sin f x x ωϕ=+（其中43sin ,cos ,0552πϕϕϕ==<<）． 令t x ωϕ=+，()sin g t t =，因为π0,04x ω>≤≤，所以π4t ϕωϕ≤≤+． 因为()45g ϕ=，且π02ϕ<<，所以()4π5g ϕ-=，1π2g ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 故ππ4π2ωϕϕ≤+≤-，即ππ4π22ϕωϕ-≤≤-． 当0πππ22x ϕϕ<-≤≤-<时，cos y x =单调递减， 因为4cos sin 25πϕϕ⎛⎫-==⎪⎝⎭，()221697cos π2cos2sin cos 252525ϕϕϕϕ-=-=-=-=，所以74cos ,25π45ω⎛⎫⎡⎤∈⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选D ． 12．已知椭圆2221(10)y x b b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，点M 是椭圆上一点，点A 是线段12F F 上一点，且1212π23M F F F MA ∠=∠=，32MA =，则该椭圆的离心率为（ ）A B ．12 C ．3D ．3【答案】B【解析】设11MF r =，22MF r =，则1222r r a ==+， 由余弦定理得2221212122π2cos3F F MF MF MF MF =+-， 即()2222121212121244c r r rr r r rr rr =++==-+-，所以21244r r c =-，因为1212F F F M MA AMF S S S =+△△△，所以121211π1πsin sin sin 22332π32r r r MA r MA ⋅⋅+⋅⋅=， 整理得()1212rr r r MA =+⋅，即234422c -=⨯，整理得214c =， 所以12c =，1a =，12c e a ==，故选B ．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．()41133x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为________． 【答案】27【解析】由()()24243441C 3C 3273x x x x x ⎛⎫⋅-+-⋅-= ⎪⎝⎭，所以3x 的系数为27， 故答案为27． 14．若函数233xx y e e =-+的值域为[]1,7，试确定x 的取值范围是_________．【答案】(][],0ln 2,ln 4-∞【解析】令xe t =，则233y t t =-+；令21337t t ≤-+≤，解得11t -≤≤或24t ≤≤， 即11xe -≤≤或24xe ≤≤，解得0x ≤或ln 2ln 4x ≤≤， 故x 的取值范围是(][],0ln 2,ln 4-∞．15．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()sin sin A C a -⋅=()()sin sin b c B C +-，2b =，则ABC △的周长的最大值是_________．【答案】6【解析】因为()()()sin sin sin sin A C a b c B C -⋅=+-， 所以()()()a c a b c b c -⋅=+-，即222a cb ac +-=，所以可得()234a c ac +-=，所以()22342a c a c +⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，解得4a c +≤，当且仅当2a c ==时等号成立，故()max 4a c +=，所以ABC △的周长的最大值为6． 16．已知函数())lgsin 2f x x x x =-++，若(22)0xf ax e -+<在(0,)x ∈+∞上恒成立，则正实数a 的取值范围为________． 【答案】02a <≤ 【解析】因为())lgsin 2lg sin 2f x x x x x x ⎛⎫=-++=++； 易得()f x 为奇函数，且()f x 为增函数； 又因为()0lg10200f =++⨯=，所以(22)0xf ax e -+<在()0,∞+上恒成立()()220x f ax e f ⇔-+<在()0,∞+上恒成立，所以220x ax e -+<在()0,∞+上恒成立，所以220x e ax -->在()0,∞+上恒成立， 设()22xh x e ax =--，所以()2xh x e a '=-，且22x e >，当2a ≤时，()20xh x e a '=->，所以()h x 在()0,∞+上递增，所以()()00h x h >=，满足；当2a >时，令()20xh x e a '=-=，所以ln2a x =， 所以()h x 在0,ln2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在ln ,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()ln002a h h ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，这与()0h x >矛盾，所以不满足， 综上可知02a <≤，故答案为02a <≤．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知{}n a 数列满足13a =，21393n n n a a ++-=． （1）证明：数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （2）求数列{}2n n a +的前n 项和n S ． 【答案】（1）证明见解析；（2）()112135244n n nn S ++-⋅=+-．【解析】（1）依题，在21393n n n a a ++-=两边同时除以23n +，得11133n n n n a a ++-=，1113a =， 故数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列． （2）由（1）得()113nn a n n =+-=，可得3n n a n =⋅， 所以232nnnn a n +=⋅+，则数列{}2n n a +的前n 项和12133213232222333n n n S n =⨯+⨯++++⨯+⨯++，所以()()12312313233332222n n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯+++++，令1231323333n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯①， 则234131323333n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯②，由①—②可得()12311313233333 313n n n n n T n n ++⨯--=++++-⨯=-⨯-，所以1133342n n n n T ++-⨯=+， 所以()()111121221333352421244n n n n n n n n S ++++--⋅-⨯=++=+--．18．（12分）某市为提高市民的安全意识，组织了一场知识竞赛，已知比赛共有2000位市民报名参加，其中男性1200人，现从参赛的市民当中采取分层抽样的方法随机抽取了100位市民进行调查，根据调查结果发现分数分布在450~950分之间，将结果绘制的市民分数频率分布直方图如图所示：将分数不低于750分的得分者称为“高分选手”．（1）求a 的值，并估计该市市民分数的平均数、中位数和众数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现采用分层抽样的方式从分数落在[)550,650，[)750,850内的两组市民中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名市民中属于“高分选手”的市民人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望；（3）若样本中属于“高分选手”的女性有15人，完成下列22⨯列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该市市民属于“高分选手”与“性别”有关？（参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，期中n a b c d =+++）【答案】（1）0.0035a =，平均数670，中位数650，众数600；（2）分布列见解析，期望为910；（3）填表见解析，有97.5%的把握认为． 【解析】（1）由题意知()1000.00150.00250.00150.0011a ⨯++++=，解得0.0035a =，样本平均数为5000.156000.357000.258000.159000.10670x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 中位数650，众数600．（2）由题意，从[)550,650中抽取7人，从[)750,850中抽取3人， 随机变量x 的所有可能取值有0，1，2，3．()()337310C C 0,1,2,3C k k P x k k -===， 所以随机变量X 的分布列为：随机变量X 的数学期望()6321192312012012010E X =+⨯+⨯=． （3）由题可知，样本中男性60人，女性40人，属于“高分选手”的25人，其中女姓15人；得出以下22⨯列联表；()()()()()()2221001025155050 5.556 5.024*********n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯，所以有97.5%的把握认为该市市名属于“高分选手”与性别有关．19．（12分）如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AD AB ⊥，222BC AB AD ===，四边形EDCF 为矩形，2CF =，平面EDCF ⊥平面ABCD ．（1）求证：BDF ⊥平面DCF ；（2）求二面角A BE F --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】证明：连接BD ，依题可得BD =CD =∴222BD CD BC +=，∴BD CD ⊥，又四边形EDCF 为矩形，平面EDCF ⊥平面ABCD ， ∴CF ⊥平面ABCD ，∴CF BD ⊥， ∵CFDC C =，∴BD ⊥平面CDF ，∴平面BDF ⊥平面DCF ．（2）取BC 中点G ，连接DG ．如图，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DG 所在直线为y 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，()0,0,2E ，()1,1,2F -，()1,1,2BE =--，(0,1,0)AB =，()2,0,2BF =-，设平面ABE 的一个法向量为(),,x y z =n ，20x y z y --+=⎧∴⎨=⎩，不妨设2x =，0y =，则1z =， ()2,0,1=n ∴；设平面BEF 的一个法向量为()111,,x y z =m ，1111120220x y z x z --+=⎧∴⎨-+=⎩，不妨设11x =，则11y =，11z =， ()1,1,1=m ，设向量m 与n 的夹角为θ，则cos θ⋅=⋅⋅m n m n ，cos θ==∴， ∴二面角A BE F --的余弦值为． 20．（12分）椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，过椭圆左焦点1F 且垂直于x 轴的直线在第二象限与椭圆相交于点P ，椭圆的右焦点为2F，已知21tan 12PF F ∠=，椭圆过点12A ⎫⎪⎭．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点2F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若12MA AF λ=，22MB BF λ=，求证：12λλ+为定值．【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析． 【解析】依题可知21b PF a =，22221tan 22b a c a PF F c ac -∠===，所以221212a c -=，即2660c c a a ⎛⎫⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎭，解得2c a =① 又椭圆C过点12A ⎫⎪⎭，223114a b ∴+=②， 联立①②可得24a =，21b =，椭圆C 的标准方程为2214x y +=． （2）设点()11,A x y 、()22,B x y，)F，由题意可知，直线l 的斜率存在，可设直线l的方程为(y k x =，联立(2214y k x xy ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，可得()2222411240k x x k +-+-=，由于点2F 在椭圆C 的内部，直线l 与椭圆C 必有两个交点，由韦达定理可得212241x x k +=+，212212441k x x k -⋅=+，12MA AF λ=，22MB BF λ=，()00,M y ，得())110111,,x y y x y λ-=-，())220222,,x y y x y λ-=-，1λ∴=，2λ=，()()22212222242124241812424341k k x x x x k k k k λλ--+-+∴+====---++． 21．（12分）已知函数()2ln xf x a x=+． （1）试讨论函数()f x 的零点个数；（2）设()()2g x x f x =-，12,x x 为函数()g x 的两个零点，证明：121x x <．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．【解析】()()221ln x f x x -'=，当0x e <<时，()0f x '>；当x e >时，()0f x '<， 所以()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减， 当0x →时，()f x →-∞； 当x e =时，()2f x a e=+； 当x →+∞时，()f x a →， 所以当0a >时，()f x 有一个零点； 当20a e-<<时，()f x 有两个零点； 当2a e=-时，()f x 有一个零点； 当2a e<-时，()f x 没有零点． （2）由题意可得函数22ln ()xg x x a x=--的定义域为(0,)+∞， ()3222ln 12(1ln )()2x x x g x x x x +--'=-=， 设3()ln 1r x x x =+-，所以21()30r x x x'=+>， 所以函数3()ln 1r x x x =+-在(0,)+∞上单调递增， 又(1)0r =，列表如下：所以函数()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 设12x x <，可得1201x x <<<，2101x <<， 因为()()120g x g x ==，所以()()22222221222212ln 2ln 1111x x x a a x g x g g x g x x x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪=----- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭22222112ln x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，设函数1()2ln (1)h x x x x x=-->，则22212(1)()10(1)x h x x x x x -'=+-=>>， 函数()h x 在(1,)+∞上单调递增， 所以()222212ln (1)0h x x x h x =-->=， 所以()1210g x g x ⎛⎫->⎪⎝⎭，即()121g x g x ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 又函数22ln ()xg x x a x=--在(0,1)上单调递减， 所以12101x x <<<，所以121x x <．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系xOy 中，已知曲线C的参数方程为2cos 12sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（ϕ为参数），直线l 的方程为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程和直线l 的普通方程； （2）过点()3,0P，倾斜角为π3的直线与曲线C 交于,A B 两点，求PA PB -的值．【答案】（1）π4cos :6C ρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，:330l x y --=；（2）3． 【解析】（1）由曲线C 的参数方程，得曲线C 的普通方程为()()2222314cos 4sin 4x y ϕϕ-+-=+=， 即()()22314x y -+-=，由极坐标与直角坐标的互化公式cos x ρθ=，sin y ρθ=， 得曲线C 的极坐标方程为π4cos 6ρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 直线l 的极坐标方程为330x y --=． （2）设11133,22A t t ⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭，22133,22B t t ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭， 将直线l 的方程为13232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的方程：()()22314x y -+-=，得2330t t --=， 所以123t t +=，所以123PA PB t t -=+=． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()2622f x x x =-++．（1）求不等式()12f x ≤的解集；（2）若a ，b ，c 为正实数，函数()f x 的最小值为t ，且满足2a b c t ++=，求222a b c ++的最小值．【答案】（1）[]2,4-；（2）16．【解析】（1）由()2622f x x x =-++，所以①()()121262212x x x x ≤-⎧⇒-≤≤-⎨---+≤⎩；②()()1313262212x x x x -<<⎧⇒-<<⎨--++≤⎩； ③()()334262212x x x x ≥⎧⇒≤≤⎨-++≤⎩，综上所述[]2,4x ∈-，所以不等式()12f x ≤的解集为[]2,4-．（2）因为()()262226228x x x x -++≥--+=， 所以函数()f x 的最小值为8，即8t =8b c ++=， 由a ，b ，c 为正实数，则()))2222222111644ab cb c a b c ++++++++=≥=，所以22216a b c ++≥11b c==时，取等号， 故222a b c ++的最小值为16．坚持希望一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。
2021届全国卷Ⅰ高考猜题卷 数学(理)解析
A． B．
C． D．
12．已知数列 的前 项和 ，且满足 ，则 （）
A．1013B．1022C．2036D．2037
第II卷（非选择题）
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13．在 中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知 ，则 ______.
A． B． C． D．
6．等差数列 前 项和为 ， ，则 （）
A． B． C． D．
7．设 是空间中两条不同的直线， 是空间中三个不同的平面，给出下列四个命题：
（1）若 ，则 ；
（2）若 ，的序号是（）
A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）
三、解答题（共70分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.地17-21为必做题，每个试题都必须作答.第22、23题为选做题，考生按要求作答）
(一).必做题
17．已知 中，角 、 、 的对边分别是 、 、 ，已知 .
（1）求角 的大小；
（2）若 的面积为 ，若 的周长为6，求三角形的边长 .
18．如图1，在直角 中， ， ， ， ， 分别为 ， 的中点，连结 并延长交 于点 ，将△ 沿 折起，使平面 平面 ，如图2所示.
2021新课标Ⅰ高考压轴卷数学word版参考答案
1．答案：D
解：因为集合 ，集合 ，因此， .
故选：D.
2．答案：A
解：解： ，
，
化为 ，
，
故选： ．
3．答案：C
解：第一次循环， ， ，否， ，否，
第二次循环， ， ，是， ，否，
第三次循环， ， ，否， ，否，
第四次循环， ， ，是， ，是，输出 ，
2021年普通高等学校招生全国统一考试(猜想卷)数学(理)答案
(３)２＋１２ｘ７))７. ０(２ｃ)２＋－ｎ３４３理科数学( 答案全解全析)一、选择题:本题共１２小题ꎬ每小题５分ꎬ共６０分.１.Ｂ【命题意图】本题考查不等式及其运算等知识.６５｜ａ｜｜ｂ｜ｃｏｓθ＝２ꎬ所以｜ｍ｜＝２.故选Ａ.９.Ｃ【命题意图】本题考查二项式定理、通项公式及运算能力.【解题思路】由１ｘ<１可得ꎬｘ<０或ｘ>１ꎬ由｜ｘ＋１｜<１可得ꎬ【解题思路】ｘ＋ｂ７的通项公式为Ｔｒ＋１＝Ｃｒｘ７－ｒｂｒｘ－２<ｘ<０ꎬ所以Ｍ∩Ｎ＝{ｘ｜－２<ｘ<０}.故选Ｂ.Ｃｒｂｒｘ７－２ｒꎬ其中ｘ３的系数为ｂ２Ｃ２ꎬ展开式中没有含ｘ４的项ꎬ所２.Ｃ【命题意图】本题考查复数的概念及其运算能力.７以(２ｘ＋ａ)ｘ＋ｂ７ｘ７中ｘ４的系数为２ｂ２Ｃ２＝４２ꎬ所以ｂ＝【解题思路】设ｚ＝ｘ＋ｙｉꎬ由｜ｚ－３－ｉ｜＝１可得(ｘ－３)２＋(ｙ－１)２＝１ꎬ即复数ｚ在复平面上对应的点的轨迹是以(３ꎬ１)为圆心ꎬ１为半径的圆ꎬ由数形结合知ꎬ｜ｚ｜的最大值为＋１＝３.故选Ｃ.３.Ａ【命题意图】本题考查三角函数、对数、指数等知识.±１ꎬ而ａ∈Ｒ.故选Ｃ.１０.Ｄ【命题意图】本题考查椭圆、离心率等知识及运算能力.【解题思路】设椭圆Ｃ的焦点坐标Ｆ１(－ｃꎬ０)ꎬＦ２(ｃꎬ０)ꎬ则｜Ｆ１Ｆ２｜＝２ｃꎬ｜ＡＢ｜＝｜Ｆ１Ｆ２｜＝２ｃꎬ由｜Ｆ１Ａ｜＋｜Ｆ２Ａ｜＝２ａꎬ｜Ｆ１Ｂ｜＋｜Ｆ２Ｂ｜＝２ａꎬ｜ＡＢ｜＝｜Ｆ１Ｆ２｜ꎬ｜Ｆ１Ａ｜＝１｜Ｆ１Ｂ｜ꎬ容易【解题思路】ａ＝ｔａｎ２π０１>ｔａｎ２π＝１ꎬｂ＝ｌｏｇ２∈(０ꎬ８ａ－４ｃ４ａ－２ｃ２２ａ＋２ｃ５５３求得｜Ｆ１Ｂ｜＝３ꎬ｜Ｆ１Ａ｜＝３ꎬ｜Ｆ２Ａ｜＝３ꎬ１)ꎬｃ＝ｌｏｇ２ｃｏｓ３π<ｌｏｇ２１＝０.故选Ａ.｜Ｆ２Ｂ｜＝４ｃ－２ａ.７４.Ｂ【命题意图】本题以数学文化为背景ꎬ考查数列知识及运算能力.【解题思路】“三角形数”的通项公式ａｎ＝ｎ(ｎ＋１)ꎬ前ｎ项和在△ＡＦ１Ｆ２和△ＢＦ１Ｆ２中ꎬ由余弦定理的推论得ꎬ２ａ＋２ｃ２４ａ－２ｃ２ｃｏｓ∠Ｆ１Ｆ２Ａ＝３３＝３－ａꎬＳｎ＝１＋３＋６＋＋ｎ(ｎ＋１)＝１２＋２２＋＋２２＋１＋２＋＋ｎ２×２ｃ×２ａ＋２ｃ２ｃｎ(ｎ＋１)(２ｎ＋１)２ｎ(ｎ＋１)２２(２ｃ)２＋４ｃ－２ａ２－８ａ－４ｃ２＝１２＋４. ｃｏｓ∠Ｆ１Ｆ２Ｂ＝３２×２４ｃ－２ａ３当ｎ＝１０时ꎬＳ１０＝５.Ａ１０(１０＋１)(２０＋１)１２１０(１０＋１)＝２２０.故选Ｂ.＋(＝＝.５ ｃ×３ ３ｃ２＋４ａｃ － ５ａ２ ２ｃ(２ｃ － ａ)【命题意图】 本题考查函数图象及函数单调性等知识.因为∠ＡＦ２ Ｆ１ ＋ ∠ＢＦ２ Ｆ１ ＝ πꎬ所以３ｃ － ａ ＋ ３ｃ２ ＋ ４ａｃ － ５ａ２ ＝ ０ꎬ【解题思路】 函数 ｆ( ｘ) ＝ ( ｅｘ ＋ ｅ － ｘ ) ｓｉｎ( ｘ ＋ φ) (０ ≤φ≤π) 为非单调函数ꎬ排除 ＢꎬＣꎬＤ. 故选 Ａ. 化简得 ９ｃ２ － ａｃ － ４ａ２ ＝ ０.２ｃ２ｃ(２ｃ － ａ)６. Ｃ【命题意图】 本题以数学文化为背景ꎬ考查数学阅读理解能力等.【解题思路】 对照图 １ꎬ可知图 ３ 中的数字从上到下依次为 １ꎬ２８６ꎬ １ ７４３. 又“ 元” 在２８６ 旁ꎬ故２８６ 为一次项系数ꎬ１ ７４３ 为二次项系数ꎬ１ 为常数项. 故选 Ｃ. ７. Ｄ【命题意图】 本题考查程序框图及运算能力.【解题思路】 输出 Ｓ 时ꎬｉ ＝ １０ ＋ １ ＝ １１ꎬ所以 Ｓ ＝ － １ ( １ ＋ １ ) ＋ ２(２ ＋ １) － ３(３ ＋ １) ＋ ４(４ ＋ １) － ５ (５ ＋ １) ＋ ６ (６ ＋ １) － ７ (７ ＋１) ＋ ８(８ ＋ １) － ９ (９ ＋ １) ＋ １０ (１０ ＋ １) ＝ － １２ ＋ ２２ － ３２ ＋ ４２ － ５２ ＋ ６２ － ７２ ＋ ８２ － ９２ ＋ １０２ ＋ ( － １ ＋ ２ － ３ ＋ ４ － ５ ＋ ６ － ７ ＋ ８ －９ ＋ １０) ＝ (２ ＋ １) (２ － １) ＋ (４ ＋ ３) (４ － ３) ＋ ＋ (１０ ＋ ９) × (１０ － ９) ＋ ５ ＝ ６０. 故选 Ｄ. 设椭圆 Ｃ 的离心率为 ｅꎬ则 ９ｅ２ － ｅ － ４ ＝ ０ꎬ解得 ｅ ＝ １ ＋ １８１４５或ｅ ＝ １ － １８１４５(舍去)ꎬ即椭圆 Ｃ 的离心率 ｅ ＝ １ ＋ １８１４５. 故选 Ｄ.１１. Ｂ【命题意图】 本题考查多项式函数与数列、递推关系等知识及运算求解能力. 【解题思路】 由 ｆ( ｘ) ＝ ｘ( ｘ － １) ( ｘ － ２) ( ｘ － ｎ ＋ １) ＝ ａ１ ｘ ＋８. Ａ【命题意图】 本题考查向量及运算能力.１ａ２ ｘ２ ＋ ＋ ａｎ ｘｎ ꎬ当 ｎ≥２ 时ꎬ令 ｘ ＝ １ 得 ａ１ ＋ ａ２ ＋ ＋ ａｎ ＝ ０ꎬ由 ｇ( ｘ) ＝ ｆ( ｘ) ( ｘ － ｎ) ＝ ｂ１ ｘ ＋ ｂ２ｘ２ ＋ ＋ ｂｎ ＋ １ ｘｎ ＋ １ ꎬ令 ｘ ＝ １ 得【解题思路】 由 ｔａｎ θ ＝ ２ ꎬθ 为 ａꎬｂ 的夹角ꎬ故 θ 为锐角ꎬ所以求得 ｃｏｓ θ ＝ ２ ５ . ｜ ｍ ｜ ２ ＝ ( ５ａ － ３ｂ) ２＝ １４ － ６ ５ ａ ｂ ＝ １４ －ｂ１ ＋ ｂ２ ＋ ＋ ｂｎ ＋ ｂｎ ＋ １ ＝ ０ꎬ而 ｂｎ ＋ １ ＝ １ꎬ所以 ｂ１ ＋ ｂ２ ＋ ＋ ｂｎ ＝ － １ꎬ故①错误ꎻｇ(ｘ) ＝ ｆ( ｘ) ( ｘ － ｎ) ＝ ( ａ１ ｘ ＋ ａ２ ｘ２ ＋ ＋ ａｉ － １ ｘｉ － １＋ ａｉ ｘｉ ＋ ＋３ ２ ２ ３ ３４６４ ４４９ ４９ａｎ ｘｎ )(ｘ － ｎ) ＝ － ｎａ１ ｘ ＋ (ａ１ － ｎａ２ )ｘ２ ＋ ＋ (ａｉ － １ －ｎａｉ )ｘｉ ＋ ＋ ( ａｎ － １ － ｎａｎ ) ｘｎ ＋ ａｎ ｘｎ ＋ １ ＝ ｂ１ ｘ ＋ ｂ２ ｘ２ ＋ ＋ ｂｎ ＋ １ ｘｎ ＋ １ ꎬ 所以ꎬｂ１ ＝ － ｎａ１ ꎬ (１) ｂ２ ＝ ａ１ － ｎａ２ ꎬ (２)ｂｉ ＝ ａｉ － １ － ｎａｉ ꎬ ( ｉ)ｂｎ ＝ ａｎ － １ － ｎａｎ ꎬ ( ｎ) ｂｎ ＋ １ ＝ ａｎ ꎬ( ｎ ＋ １)而 ａ１ ＝ ( － １) × ( － ２) × × [ － ( ｎ － １) ]＝ ( － １) ｎ － １ ( ｎ － １) !ꎬ所以 ｂ１ ＝ ( － １) ｎ ｎ!ꎬ故②③正确ꎻ 域内部(不包括边界). 由几何概型知ꎬ所求的概率为π × １２ ＝ ８π.１５. １３ ８ ５４【命题意图】 本题考查计数原理及分类讨论思想. 【解题思路】 甲以 ３∶ ２ 获胜ꎬ则第 ５ 局甲获胜ꎬ前四局为平局ꎬ甲两胜两负. 根据规则ꎬ甲执红棋开局ꎬ则前四局甲执棋顺序是“ 红黑红黑” ꎬ第 ５ 局甲执红棋. 前四局甲取胜可能的情况是 ①甲 ２ 次执红棋取胜ꎻ②甲 ２ 次执黑棋取胜ꎻ③甲 １ 次执红棋和 １ 次执黑棋取胜.将第(２) 式两边同时乘 ｎꎬ第(３) 式两边同时乘 ｎ２ꎬꎬ第( ｎ)式两边同时乘 ｎｎ － １ ꎬ再将(１) 到( ｎ) 这 ｎ 个等式累加得 ｂ１ ＋故概率为 ２ ３ １ － １ ２ ＋ １ ２ １ － ２ ２ × ２ ＋ ｎｂ２ ＋ ｎ２ ｂ３ ＋ ＋ ｎｎ － １ ｂｎ ＝ － ｎｎ ａｎ ＝ － ｎｎ. 故④正确. Ｃ１ ２ １ － ２ Ｃ１ １ １ － １× ２＝ １３ .故选 Ｂ.２ ３ ３ ２ ２ ２ ３ ５４ １２. Ｂ【命题意图】本题考查函数的零点、不等式、变换等知识及数形结合思想的应用.【解题思路】 由已知 ｆ ( ｘ) ＝ ２ｆ ( ｘ ＋ １ ) ꎬ当 ｘ ∈ [ － １ꎬ０ ) 时ꎬ ｆ( ｘ) ＝ － ｘ( ｘ ＋ １) 可得ꎬ 当 ｘ∈[ － ２ꎬ － １) 时ꎬｆ( ｘ) ＝ ２ｆ( ｘ ＋ １) ＝ － ２( ｘ ＋ １) ( ｘ ＋ ２) ꎻ当 ｘ∈[ － ３ꎬ － ２) 时ꎬｆ( ｘ) ＝ ２ｆ( ｘ ＋ １) ＝ － ４( ｘ ＋ ２) ( ｘ ＋ ３) ꎻ画出函数草图ꎬ令 － ４ ( ｘ ＋ ２ )( ｘ ＋ ３ ) ＝ ３ ꎬ化简得 １６ｘ２ ＋１６. ３ꎬ １ ( ＡＢ ＋ ＣＤ ＋ ＥＦ) ｈ１ ｈ２【命题意图】 本题以数学文化为背景ꎬ考查几何体的体积.【解题思路】在平面 ＡＢＣＤ 内ꎬ过 ＡꎬＢ 两点分别作 ＣＤ 的垂线ꎬ垂足分别为 ＧꎬＨꎬ在平面 ＣＤＥＦ 内ꎬ过 ＧꎬＨ 两点分别作 ＥＦ 的垂线ꎬ垂足分别为 ＭꎬＮ. 由平面ＡＢＣＤ 与 平 面 ＣＤＥＦ 相 互 垂 直 知ꎬＡＧ⊥ＭＧꎬＢＨ⊥ＨＮꎬ又 ＡＢ∥ＣＤ∥ＥＦꎬ易 ８０ｘ ＋ ９９ ＝ ０ꎬ解得 ｘ１ ＝ － ９ ꎬｘ２ ＝ － １１ ꎬ由图可知ꎬ当 λ ≥ － ９ 时ꎬ不等式ｆ( ｘ) ≤ ３ 恒成立. 故选 Ｂ. 证平面 ＡＧＭ∥平面 ＢＨＮꎬ且 ＧＨ⊥平面ＡＧＭꎬ所以几何体 ＡＧＭ￣ＢＨＮ 为直棱柱 . 将羡除 ＡＢＣＤＥＦ 分割为两个四棱锥 Ａ￣ＤＥＭＧꎬＢ￣ＨＮＦＣ 和一个４４直棱柱 ＡＧＭ￣ＢＨＮ. 所以所求几何体体积ＶＡＢＣＤＥＦ ＝ Ｖ直棱柱ＡＧＭ￣ＢＨＮ ＋ Ｖ四棱锥Ａ￣ＤＥＭＧ ＋ Ｖ四棱锥Ｂ￣ＨＮＦＣ ＝ Ｓ△ＡＧＭ ＧＨ ＋ １ Ｓ ＡＧ ＋ １ Ｓ ＢＨ３ ＝ １ ＡＧＧＭＧＨ ＋ １ ３× ＤＧ ＋ ＥＭ × ＧＭ × ＡＧ＋ ＨＣ ＋ ＮＦ ×２ ３ ２ ２四边形ＤＥＭＧ四边形ＨＮＦＣ６６１ ＨＮ × ＢＨ二、填空题:本题共 ４ 小题ꎬ每小题 ５ 分ꎬ共 ２０ 分.＝ １ ＡＧＧＭＧＨ ＋ １ × ＤＧ ＋ ＥＭ ×ＧＭ × ＡＧ ＋ ＨＣ ＋ ＮＦ ×１３. ４【命题意图】 本题考查数列递推公式、数列及其求和等运算能力. 【解题思路】 由 Ｓ１１ ＝ １１ａ６ ＝ ２２ꎬ得 ａ６ ＝ ２. 又 ａ３ ａ６ ＋ ａ９ ＝ ３ꎬ即 ２ ＧＭ × ＡＧ３ ２ ２ ( ａ６ － ３ｄ) ａ６ ＋ ａ６ ＋ ３ｄ ＝ ３ꎬ解得 ｄ ＝ １. 所以 ａ８ ＝ ａ６ ＋ ２ｄ ＝ ４. １４. ８π ４９【命题意图】 本题考查简单线性规划、几何概型等知识及数形 ＝ １ ＡＧＧＭ(３ＧＨ ＋ ＤＧ ＋ ＥＭ ＋ ＨＣ ＋ ＮＦ)＝ １ ＡＧＧＭ[ ( ＤＧ ＋ ＧＨ ＋ ＨＣ) ＋ ( ＥＭ ＋ ＧＨ ＋ＮＦ) ＋ ＧＨ]结合思想.＝ １ ｈ ｈ ( ＤＣ ＋ ＥＦ ＋ ＡＢ) ＝ １ × ３ × １ × (３ ＋ ２ ＋ １)＝ ３. 【解题思路】 不等式组表示的平面区域为如图所示的△ＡＢＣ 的内部及边 界ꎬ Ａ ( ２ꎬ ５ ) ꎬ Ｂ ( － ３ ꎬ６ １ ２６从以上求解过程可归纳出求羡除体积的一般公式为 Ｖ ＝ １ ( ＡＢ ＋ ＣＤ ＋ ＥＦ) ｈ１ ｈ２ .－ １) ꎬＣ(２ꎬ－ １ ２ ) ꎬ则 ２Ｓ△ＡＢＣ ＝ ２ × ６三、解答题:共 ７０ 分. ７ ７ ４９( 一) 必考题:共 ６０ 分. ２ × ２ ＝ ８ ꎬ而二次函数ｆ(ｘ) ＝ ａｘ２ ＋ ２ｂｘ － ａ ＋ ２ 在 Ｒ 上无零点ꎬ则 ａ≠０ꎬ(２ｂ) ２ － ４ａ( － ａ ＋ ２) < ０ꎬ即( ａ － １) ２ ＋ ｂ２ < １ꎬ可得对应的平面区域如图中圆形区１７. 【命题意图】 本题考查正弦定理、余弦定理、三角变换、三角形面积等有关知识.【解题思路】( Ⅰ) 由 ２ａｓｉｎ Ａｃｏｓ Ｃ ＋ ｃｓｉｎ ２Ａ ＝ ａｂ 得ꎬ２ｓｉｎ Ａ( ａｃｏｓ Ｃ ＋ ｃｃｏｓ Ａ) ＝ ａｂꎬ３４ ３ ２２７ ２ ２ ２ ２ ４ 由射影定理可知 ａｃｏｓ Ｃ ＋ ｃｃｏｓ Ａ ＝ ｂꎬ 所以 ２ｓｉｎ Ａ ＝ ａ.Ａ１ ＤＥ 所成的二面角为 π ꎬ λ由正弦定理可知 ａ ＝ ２Ｒ( Ｒ 为△ＡＢＣ 外接圆的半径) ꎬπ ｜ｎ１ ｎ２ ｜ λ － １ １ ｓｉｎ Ａ所以 ｃｏｓ ３ ＝ ｜ ｎ ｜ ｜ ｎ ｜ ＝ ＝ ２ ꎬ 所以 Ｒ ＝ １. …………………………………………… (４ 分) １ ２( Ⅱ) 当 ａ ＝ ３时ꎬｓｉｎ Ａ ＝ ３ ꎬ所以 Ａ ＝ π 或 Ａ ＝ ２π.所以 ２λ２ ＋ ２λ － １ ＝ ０ꎬ ２ ３ ３ (１) 当 Ａ ＝ π 时ꎬ由余弦定理的推论 ｃｏｓ Ａ ＝ ｂ２ ＋ ｃ２ － ａ２ ＝ １ 得ꎬ所以 λ ＝ － １ ＋ ３或 λ ＝ － １ － ３( 舍去) . 所以 λ ＝ ３ － １. …３ ２ｂｃ ２ ２ ２ ２ｂ２ ＋ ｃ２ ＝ ３ ＋ ｂｃ≥２ｂｃꎬ所以 ｂｃ≤３ꎬ …………………………………………………… (１２ 分)所以 Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ｂｃｓｉｎ Ａ≤ １ × ３ × ３ ＝３ ３ꎬ此时ꎬ三角形 ＡＢＣ的面积 Ｓ 的最大值为３３. …………………………… (８ 分)() 当 Ａ ＝ ２π 时ꎬ由余弦定理的推论 ｃｏｓ Ａ ＝ ｂ２ ＋ ｃ２ － ａ２ ＝１９. 【命题意图】 本题考查概率、随机变量分布列、数学期望、二项分布、超几何分布等知识.【解题思路】 ( Ⅰ) 设每次比赛甲在第一赛道的概率为 ｐꎬ则 ３次比赛中ꎬ甲恰有 ２ 次在第一赛道的概率为 ｆ( ｐ) ＝ Ｃ２ ｐ２ (１ － ｐ) ＝ － ３ｐ３ ＋ ３ｐ２ (０≤ｐ≤１) ꎬ则 ｆ ′( ｐ) ＝ － ３ｐ(３ｐ － ２) . 当 ３ ２ｂｃ １ｐ∈ ０ꎬ ２ 时ꎬｆ ′( ｐ) > ０ꎬｆ( ｐ) 单调递增ꎻ当 ｐ∈ ２ ꎬ１ 时ꎬ－ ２ 得. ｂ２ ＋ ｃ２ ＝ ３ － ｂｃ≥２ｂｃꎬ所以 ｂｃ≤１ꎬ３ ３１ １ ３ ３ｆ ′( ｐ) < ０ꎬｆ( ｐ) 单调递减. 所以当 ｐ ＝ ３ 时ꎬｆ( ｐ)取得最大值.所以 Ｓ△ＡＢＣ ＝ ２ ｂｃｓｉｎ Ａ≤ ２ × １ × ２ ＝ ４ ꎬ此时ꎬ三角形 ＡＢＣＣ１ Ｃ１ ４ｎ ２的面积 Ｓ 的最大值为 ３ .…………………………… (１２ 分) 而由摸球的规则知ꎬｐ ＝ｎ Ｃ２ｎ＋ ２ ２ ＝ ( ｎ ＋ １) ( ｎ ＋ ２) ＝３ ꎬ解得 ４１８. 【命题意图】本题主要考查平面垂直、直线与平面垂直、二面角等知识以及直观想象能力与运算能力. 【解题思路】( Ⅰ) 证明:当 λ ＝ １ 时ꎬＤꎬＥ 分别是ＡＢꎬＡＣ 的中点ꎬ△ＡＤＥ 沿 ＤＥ 折起为△Ａ１ ＤＥꎬ所以｜ Ａ１ Ｄ ｜ ＝ ｜ ＡＤ ｜ ＝ ｜ ＢＤ ｜ . ｎ ＝ １ 或 ｎ ＝ ２. 故当口袋中放入一个红球或两个红球时ꎬ３ 次比赛中甲恰有 ２ 次分在第一赛道的概率最大. ……… (４ 分)( Ⅱ) 设甲在每次比赛中胜出的概率为 λ(０≤λ≤１)ꎬ由已知甲在比赛中最终获胜的概率为 ７ ꎬ即甲在 ３ 次比赛中有 ２ 次胜出或 ３ 次胜出的概率为 ７ ꎬ所以 λ３ ＋ Ｃ２ λ２ (１ － λ) ＝ ７ .所以∠ＡＡ１ Ｂ ＝ ９０°ꎬ所以 ＡＡ１ ⊥Ａ１ Ｂ.２７ ３ ２７ 又｜ Ａ１ Ｅ ｜ ＝ ｜ ＡＥ ｜ ＝ ｜ ＥＣ ｜ ꎬ同理有 ＡＡ１ ⊥Ａ１ Ｃ. 而 Ａ１ Ｂ∩Ａ１ Ｃ ＝ Ａ１ ꎬＡ１ ＢꎬＡ１ Ｃ ⊂ 平面 Ａ１ ＢＣꎬ所以 ＡＡ１ ⊥ 平面 化简得 ５４λ３ － ８１λ２ ＋ ７ ＝ ０ꎬ即 ５４λ３ － １８λ２ － ６３λ２ ＋ ７ ＝ ０ꎬ所以(３λ － １) (１８λ２ － ２１λ － ７) ＝ ０ꎬ解得 λ ＝ １ 或 λ ＝ ７ ± １０５Ａ１ ＢＣ.３ １２ １( λ )２ ＋ １ λ － １３２７２７ － １３３ 又 ＢＣ⊂平面 Ａ１ ＢＣꎬ所以 ＡＡ１ ⊥ＢＣ.因为 ＤＥ∥ＢＣꎬＢＣ⊂平面 Ａ１ ＢＣꎬＤＥ⊄平面 Ａ１ ＢＣꎬ所以 ＤＥ∥平 ( 舍去) ꎬ所以甲在每次比赛中胜出的概率为３ . …… (８ 分) 由题意知ꎬ甲得分 Ｘ 的所有可能取值为 － ３ꎬ － １ꎬ１ꎬ３. 面 Ａ１ ＢＣ. 又 ｌ 为平面 Ａ１ ＢＣ 与平面 Ａ１ ＤＥ 的交线ꎬ所以 ＤＥ∥ｌꎬ １ ３ ８ １ ２ 所以 ＢＣ∥ｌꎬ所以 ｌ⊥ＡＡ１ . …………………………… (４ 分)Ｐ(Ｘ ＝ － ３) ＝ １ － ３ ＝ ２７ ꎬＰ( Ｘ ＝ － １) ＝ Ｃ２ １ － ３ ×( Ⅱ) 因为∠ＡＢＣ ＝ ９０°ꎬＤＥ ⊥ ＡＢꎬ所以以 Ｄ 为原点ꎬＤＥ 为 ｘ１ ＝ ４ ꎬＰ(Ｘ ＝ １) ＝ Ｃ１ １ － １ × １ ２ ＝ ２ ꎬＰ( Ｘ ＝ ３) ＝轴ꎬＤＡ 为 ｙ 轴ꎬＤＡ１ 为 ｚ 轴建立如图所示空间直角坐标系ꎬ设 ３ ９ ３ ３ ３ ９｜ ＡＢ ｜ ＝ １ꎬ｜ ＢＣ ｜ ＝ ２ａꎬ则｜ ＡＤ ｜ ＝ λꎬ所以 Ｄ(０ꎬ０ꎬ０) ꎬＡ(０ꎬλꎬ０) ꎬ Ｂ(０ꎬλ － １ꎬ０) ꎬＣ(２ａꎬλ － １ꎬ０) ꎬＥ(２ａλꎬ０ꎬ０) ꎬＡ１(０ꎬ０ꎬλ) . １ ３ ＝ １ . 故甲得分 Ｘ 的分布列为:Ｘ － ３－ １ １ ３ Ｐ８ ２７４ ９２ ９１ ２７所以随机变量 Ｘ 的数学期望 Ｅ( Ｘ) ＝ ( － ３) × ８ ＋ ( － １)×Ｂ→Ｃ ＝ (２ａꎬ０ꎬ０)ꎬＡ→Ｃ ＝ (２ａꎬλ － １ꎬ － λ) ꎬ设平面 Ａ ＢＣ 的一个 ４ ＋ １ × ２ ＋ ３ × １ ＝ － １. ………………………… (１２ 分) １ ｎ Ｂ→Ｃ ＝ ０ꎬ １９９２７法向量 ｎ１ ＝ ( ｘ１ ꎬｙ１ ꎬｚ１ ) ꎬ则ｎ１Ａ→Ｃ ＝ ０ꎬ２０. 【命题意图】 本题主要考查双曲线方程、直线方程等综合知识以及逻辑思维能力与运算能力. ２ａｘ １ １＝ ０ꎬ【解题思路】( Ⅰ) 由题设可得 ｃ －ａ２ ＝ １ ꎬｃ ＝ ２ꎬ所以 ａ２ ＝ ３ꎬ所以 １ ２ａｘ１ ＋ ( λ － １) ｙ１ － λｚ１ ＝ ０ꎬｃ ２ｂ２ ＝ ｃ２ － ａ２ ＝ １. 所以 ｎ１ ＝ ０ꎬλ λ ꎬ１ .…………………………… (８ 分)所以双曲线的标准方程为ｘ２ － ｙ２ ＝ １. ……………… (４ 分)平面 Ａ１ ＤＥ 的一个法向量 ｎ２ ＝ (０ꎬ１ꎬ０ ) ꎬ平面 Ａ１ ＢＣ 与平面( Ⅱ) 证明:点 Ｆ 坐标为(２ꎬ０) ꎬ设过点 Ｆ 的弦 ＡＢ 所在的直线(( ｔ′１ － ｔ′２ ) ２ ５ ０方程为 ｘ ＝ ｋｙ ＋ ２ꎬＡ( ｘ１ ꎬｙ１ ) ꎬＢ( ｘ２ ꎬｙ２ ) ꎬ则有Ｍ ｋ( ｙ１ ＋ ｙ２ ) ＋φ(２ｘ０ ) ＝ φｌｎ ｘ１ꎬ所以 ２ｘ０ ＝ ｌｎ ｘ１ ꎬ于是有 ｅ２ｘ０ ＝ ｘ１ ꎬ所以２ꎬ ２ . 联立３２得( ｋ２ － ３) ｙ２ ＋ ４ｋｙ ＋ １ ＝ ０.０ ｇ(ｘ)≥ｇ(ｘ０ ) ＝ ｅ２ｘ０ － ｌｎ ｘ０ ＋１ ＝ １００ － ｌｎ ｘ０ ＋１ ＝－ ｌｎｘ０ ＝ｘ０＝ ｙ１ ＋ ｙ２ｘ２ － ｙ２ ＝ １ꎬｘ ＝ ｋｙ ＋ ２ꎬｌｎ１ｘ０ ｘ０ ｘ０ ｘ０ ｘ０因为弦 ＡＢ 与双曲线 Ｃ 有两个交点ꎬ所以 ｋ２ － ３≠０ꎬ所以 ｙ１ ＋２ｘ０＝ ２ꎬ所以ａ≤２.………………………………… (１２ 分)ｙ ＝４ｋ . 所以 Ｍ ６ ꎬ ２ｋ . ｘ ………………… (８ 分) ２ ３ － ｋ２ ３ － ｋ２ ３ － ｋ２( 二) 选考题:共 １０ 分. (１) 当 ｋ ＝ ０ 时ꎬＭ 点即是 Ｆ 点ꎬ此时ꎬ直线 ＭＮ为 ｘ 轴. (２) 当 ｋ≠０ 时ꎬ将上式 Ｍ 点坐标中的 ｋ 换成 － １ｋꎬ同理可得 ２２. 【命题意图】 本题考查极坐标与参数方程的有关知识. 【解题思路】 ( Ⅰ) 若 ｍ ＝ １ꎬｌ 的参数方程为ｘ ＝ １ － ２ｔꎬ( ｔ 为 ６ｋ２ ２ｋｙ ＝ １ ＋ ｔꎬ Ｎ ３ｋ２ － １ꎬ － ３ｋ２ － １ .参数) .①当直线 ＭＮ 不垂直于 ｘ 轴时ꎬ２ｋ ＋ ２ｋｘ ＝ １ － ２ ５ｔ′ꎬ 即( ｔ′为参数) ꎬ与曲线 Ｃ 联立得ꎬ 直线 ＭＮ 的斜率 ｋ＝ ３ － ｋ２ ３ｋ２ － １ ＝ ２ｋꎬ将点 Ｍ代 ｙ ＝ １ ＋ ５ ｔ′ＭＮ ６ － ６ｋ２ ３( ｋ２ － １) ５３ － ｋ２ ３ｋ２ － １ｔ′１ ＋ ｔ′２ ＝ ５ ꎬ２ｋ２ｋ６１６ ｔ′２ － ４ ５ｔ′ － ５ ＝ ０ꎬ则４入方程得 ｙ － ３ － ｋ２ ＝ ３( ｋ２ － １) ｘ － ３ － ｋ２ꎬ化简得ｙ ＝ ５ ５ｔ′ ｔ′ ＝ － ２５ ꎬ２ｋ ( ｘ － ３) ꎬ所以直线 ＭＮ 过定点 Ｐ(３ꎬ０) ꎻ１ ２ １６ ３( ｋ２ － １)所以 曲 线 Ｃ 与 直 线 ｌ 的 两 交 点 间 的 距 离 为 ｜ ｔ′１ － ｔ′２ ｜ ＝②当直线 ＭＮ 垂直 ｘ 轴时ꎬ ６ ｋ２ ＝ ３ｋ６２ｋ２ꎬ此时ꎬｋ ＝ ± １ꎬ直 ＝ ＝ １０５. …… (４ 分)⎨( ｔ′１ ＋ ｔ′２ ) ２ － ４ｔ′１ ｔ′２４ｓｉｎ (θ ＋ π)－ ｍ － ２６５ ５ ｘ ｘ ｘ２ {{２１. 【命题意图】本题考查导数的应用、零点、不等式等知识以及转线 ＭＮ 也过定点 Ｐ(３ꎬ０) . ３ －－１４( Ⅱ) 直线 ｌ 的普通方程为 ｘ ＋ ２ｙ － ｍ － ２ ＝ ０ꎬ故曲线 Ｃ 上的点综上所述ꎬ直线 ＭＮ 必过定点 Ｐ(３ꎬ０) . …………… (１２ 分) (２ｃｏｓ θꎬ ３ｓｉｎ θ)到直线 ｌ 的距离化与化归思想.【解题思路】( Ⅰ) 证明: ｆ( ｘ) ＝ ２ｘ２ ｅ２ｘ ＋ ｌｎ ｘ( ｘ > ０) ꎬ ｄ ＝ ｜２ｃｏｓ θ ＋ ２ ３ｓｉｎ θ － ｍ － ２ ｜ ＝ .则 ｆ ′( ｘ) ＝ ４( ｘ２ ＋ ｘ) ｅ２ｘ ＋ １ｘ > ０ꎬ 所以 ｆ( ｘ) ＝ ２ｘ２ ｅ２ｘ ＋ ｌｎ ｘ 在(０ꎬ ＋ ∞ ) 上单调递增.……………………………………………………… (６ 分)当 ｍ≥ － ２ 时ꎬｄ 的最大值为４ ＋ ｍ ＋ ２ꎬ因为 ｆ(１) ＝ ２ｅ２ > ０ꎬ ｆ １ ＝ ｅ － ２ｌｎ ２ < ０ꎬ５４ ＋ ｍ ＋ ２４ ８由题设得 ＝ ２ ５ꎬ解得 ｍ ＝ ４ꎻ５所以存在 ｘ０ ∈ １ ꎬ１ ꎬ使 ｆ( ｘ０ ) ＝ ０. 当 ｍ < － ２ 时ꎬｄ 的最大值为４ － ｍ － ２ꎬ４ 所以 ｆ(ｘ) 在(０ꎬ ) 上有唯一零点. ……………… (４ 分) ５ ( Ⅱ) ＋ ∞ｘ∈ ＋ ) ꎬｅ２ｘ － ａ － ｌｎ ｘ ≥ １ ꎬ由题设得４ － ｍ － ２ ＝ ２ ５ꎬ所以 ｍ ＝ － ８.对任意 (０ꎬｘ ｘ 恒成立 等价于 ５ ａ≤ｘｅ２ｘ － ｌｎ ｘ － １对任意 ｘ∈(０ꎬ ＋ ∞) 恒成立. 令 ｇ( ｘ) ＝ ｘｅ２ｘ － ｌｎ ｘ － １( ｘ > ０) ꎬ综上ꎬｍ ＝ ４ 或 ｍ ＝ － ８. ……………………………… (１０ 分)２３. 【命题意图】 本题考查绝对值不等式及均值不等式的有关知识. 【解题思路】 ( Ⅰ) 当 ｔ ＝ １ 时ꎬｆ( ｘ) ＝ ｜ ｘ ＋ １ ｜ ＋ ｜ ｘ－ １ ｜ － ２ ＝ 则 ｇ′( ｘ)＝ ２ｘ２ ｅ２ｘ ＋ ｌｎ ｘ ＝ｆ( ｘ) ｘ２ － ｘ － １ ＋ １ － ｘ － ２ꎬｘ≤ － １ꎬｘ ＋ １ ＋ １ － ｘ － ２ꎬ － １ < ｘ < １ꎬ化简为 ｆ(ｘ) ＝－ ２ｘ － ２ꎬｘ≤ － １ꎬ０ꎬ － １ < ｘ < １ꎬ 由( Ⅰ) 知ꎬｆ( ｘ) 在(０ꎬ ＋ ∞ ) 上单调递增ꎬ且有唯一零点 ｘ０ .ｘ ＋ １ ＋ ｘ － １ － ２ꎬｘ≥１ꎬ２ｘ － ２ꎬｘ≥１.所以ꎬ当 ０ < ｘ < ｘ０ 时ꎬｆ( ｘ) < ０ꎻ当 ｘ > ｘ０ 时ꎬｆ( ｘ) > ０. 因此ꎬ当 ０ < ｘ < ｘ０ 时ꎬｇ′( ｘ) < ０ꎬ当 ｘ > ｘ０ 时ꎬｇ′( ｘ) > ０ꎬ所以 ｇ( ｘ) 在 (０ꎬｘ０ ) 上单调递减ꎬ在( ｘ０ ꎬ ＋ ∞ ) 上单调递增ꎬ ……………………………………………………… (３ 分)由 ｆ( ｘ) ≥２ 得ꎬｘ≥２ 或 ｘ≤ － ２. ……………………… (５ 分) ( Ⅱ) ｆ( ｘ) ＝ ｜ ｘ ＋ ｔ ｜ ＋ ｜ ｘ － １ ｜ － ２ ≥ ｜ ( ｘ ＋ ｔ) － ( ｘ － １) ｜ － ２ ＝所以 ｇ( ｘ) ≥ｇ( ｘ０ ). …………………………………… (８ 分) ｜ ｔ ＋ １ ｜ － ２ꎬ …………………………………………… (７ 分).０ ０(０ꎬ ＋ ) 上单调递增ꎬ 由于 ２ｘ ｅ２ｘ０＝ ｅｌｎｘ１ ｌｎ ｘ１ 等价于 － ∞ ꎬ － ５ 由 ｆ( ｘ０ ) ＝ ２ｘ２ ｅ２ｘ０ ＋ ｌｎｘ０ ＝ ０ꎬ得 ２ｘ０ ｅ２ｘ０ ＝ － ｌｘｎ ｘ０ ＝ ｅｌｎ ｘ１ ｌｎ ｘ１ .所以不等式 ｆ( ｘ) － ｔ － ２≥０ 恒成立ꎬ只要｜ ｔ ＋ １ ｜ ≥ｔ ＋ ４ 即可ꎬ当 ｔ≥ － １ 时ꎬｔ ＋ １≥ｔ ＋ ４ꎬ该不等式无解ꎻ ｘ ０ ０ｘ当 ｔ < － １ 时ꎬ － ｔ － １≥ｔ ＋ ４ꎬ解得 ｔ≤ － ５ . 令 φ( ｘ) ＝ ｘｅ ( ｘ > ０) ꎬ则 φ′( ｘ) ＝ ( ｘ ＋ １) ｅ > ０ꎬ所以 φ( ｘ) 在２ ０ ０ ０综上２ ꎬ实数 ｔ 的取值范围是 . ……… (１０ 分)。
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2021年全国高考数学猜题试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合{|(1)(2)2}A x x x =--<，{|10}B x x a =++>，且(2,3)A B =，则实数a 的值为( ) A ．1-B ．1C ．3-D ．32．（5分）若复数z 满足421iz i+=+，则(z = ) A ．3i +B ．13i -C ．13i +D ．3i -3．（5分）命题“0(0,)x ∃∈+∞，002sin 0x x +<”的否定是( ) A ．(,0)x ∀∈-∞，2sin 0x x + B ．(0,)x ∀∈+∞，2sin 0x x +C ．0(0,)x ∃∈+∞，002sin 0x x +D ．0(,0)x ∃∈-∞，002sin 0x x +>4．（5分）为了解大学生对体育锻炼的兴趣，某高校从在校的大学生中随机抽取了男、女生各200名进行了调查，得到如下统计图：对比两图中信息并进行分析，下列说法错误的是( )A ．大量出汗并感到很疲乏的男生人数比女生人数的2倍还要多B ．男生中运动时间超过1小时的超过70%C ．男生的平均运动强度高于女生的平均运动强度D ．运动时间在0.5~1小时内的男生人数与运动时间在1~2小时内的女生人数相同5．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若60MAN ∠=︒，则双曲线C 的离心率为( ) A ．23B ．322C ．3D ．26．（5分）从4男2女共6名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，不同选法共有( ) A ．156种B ．168种C ．180种D ．240种7．（5分）在平行四边形ABCD 中，若DE EC =，AE 交BD 于F 点，则(AF = ) A ．2133AB AD + B ．2133AB AD -C ．1233AB AD -D ．1233AB AD +8．（5分）若1x =是函数3221()(1)(3)3f x x a x a a x =++-+-的极值点，则a 的值为( )A ．2-B ．3C ．2-或3D ．3-或29．（5分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为6，点F 是棱1AA 的中点，AC 与BD 的交点为O ，点M 在棱BC 上，且2BM MC =，动点T （不同于点)M 在四边形ABCD 内部及其边界上运动，且TM OF ⊥，则直线1B F 与TM 所成角的余弦值为( )A 10B 10C 5D 510．（5分）ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若120B =︒，21sin C =，2c =，则ABC ∆的面积等于( )A 3B ．23C 3D 311．（5分）已知0x >，0y >，1a ，若3281()log log 28y x a x y -⋅+=+，则( )A ．|13|0ln x y +-<B ．|13|0ln x y +-C ．(13)0ln y x +->D ．(13)0ln y x +- 12．（5分）设抛物线24y x =的焦点为F ，过点(1,0)M -的直线在第一象限交抛物线于A 、B ，使0AF BF ⋅=，则直线AB 的斜率(k = )A ．2B ．2 C ．3 D ．3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）设函数22,(0)()(3),(0)x x x f x f x x ⎧-=⎨->⎩，则f （5）的值为 ．14．（5分）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是 ．15．（5分）如图，已知长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，P 为棱11A D 的中点，且6PA AB ==，则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为 ．16．（5分）已知函数()sin()(03)4f x x πωω=+<的图象的一条对称轴为直线8x π=，()f x '为函数()f x 的导函数，函数()()()g x f x f x '=+，则下列说法正确的是 ． ①直线8x π=是()g x 图象的一条对称轴；②()g x 的最小正周期为π；③点(8π，0)是()g x 图象的一个对称中心；④()g x 5三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为32的等差数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，数列{}n b的前n 项和为n T ，求证：13n T <． 18．（12分）高三学生为了迎接高考，要经常进行模拟考试，锻炼应试能力，某学生从升入高三到高考要参加10次模拟考试，下面是高三第一学期某学生参加5次模拟考试的数学成绩表：模拟考试第x 次 1 2 3 4 5 考试成绩y 分90100105105100（Ⅰ）已知该考生的模拟考试成绩y 与模拟考试的次数x 满足回归直线方程ˆˆˆy bx a =+，若高考看作第11次模拟考试，试估计该考生的高考数学成绩；（Ⅱ）把这5次模拟考试的数学成绩单放在5个相同的信封中，从中随机抽取3份试卷的成绩单进行研究，设抽取考试成绩不等于平均值y 的个数为ξ，求出ξ的分布列与数学期望．参考公式：1122211()()ˆ()nni iii i i nniii i x ynx yxx y y bxnx xx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． 19．（12分）如图，已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为平行四边形，122AA AB ==，2BD BC ==，M 为棱1CC 的中点． （1）求证：BM ⊥平面1A BD ； （2）求二面角11A BD C --的余弦值．20．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，点(0,1)P 在椭圆上，且122PF PF ⋅=-． （1）求椭圆的标准方程；（2）过点(2,1)Q -且不过点P 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，求证：直线PA 与PB 的斜率之和为定值．21．（12分）已知函数()()x f x e ax a a R =++∈．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程； （2）若存在[1x ∈，2]，使得不等式2()(21)2xx f x alnx e a x -+-++成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为x ty kt =⎧⎨=⎩（其中t 为参数，)k R ∈．以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=． （1）试写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，曲线C 与x 轴正半轴交于点M ，若PQM ∆的面积是1，求||PM ．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知()|23|||f x x x a =-++． （1）当5a =-时，解不等式()15f x ；（2）若3[2x ∈，)a -时，()3f x 恒成立，求实数a 的取值范围．2021年全国高考数学猜题试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合{|(1)(2)2}A x x x =--<，{|10}B x x a =++>，且(2,3)A B =，则实数a 的值为( ) A ．1- B ．1C ．3-D ．3【解答】解：2{|30}{|03}A x x x x x =-<=<<，{|1}B x x a =>--，(2,3)AB =， 12a ∴--=，解得3a =-．故选：C ．2．（5分）若复数z 满足421iz i+=+，则(z = ) A ．3i + B ．13i -C ．13i +D ．3i -【解答】解：42(42)(1)6231(1)(1)2i i i iz i i i i ++--====-++-， ∴3z i =+，故选：A ．3．（5分）命题“0(0,)x ∃∈+∞，002sin 0x x +<”的否定是( ) A ．(,0)x ∀∈-∞，2sin 0x x + B ．(0,)x ∀∈+∞，2sin 0x x +C ．0(0,)x ∃∈+∞，002sin 0x x +D ．0(,0)x ∃∈-∞，002sin 0x x +>【解答】解：命题“0(0,)x ∃∈+∞，002sin 0x x +<”的否定是“(0,)x ∀∈+∞，2sin 0x x +”． 故选：B ．4．（5分）为了解大学生对体育锻炼的兴趣，某高校从在校的大学生中随机抽取了男、女生各200名进行了调查，得到如下统计图：对比两图中信息并进行分析，下列说法错误的是()A．大量出汗并感到很疲乏的男生人数比女生人数的2倍还要多B．男生中运动时间超过1小时的超过70%C．男生的平均运动强度高于女生的平均运动强度D．运动时间在0.5~1小时内的男生人数与运动时间在1~2小时内的女生人数相同【解答】解：对于A，大量出汗并感到很疲乏的男生超过110人，而女生约50人，因此大量出汗并感到很疲乏的男生人数比女生人数的2倍还要多，故A正确；对于B，男生中运动时间在0~1小时内的超过70人，占所有男生的比例超过70100%35%200⨯=，因此男生中运动时间超过1小时的占比没达到70%，故B不正确；对于C，由图易知男生的平均运动强度高于女生的平均运动强度，故C正确；对于D，运动时间在0.5~1小时内的男生人数有50人，运动时间在1~2小时内的女生人数也有50人，故D正确．故选：B．5．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若60MAN∠=︒，则双曲线C的离心率为()A 23B322C3D．2【解答】解：双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的右顶点为(,0)A a，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若60MAN ∠=︒，可得A 到渐近线0bx ay +=的距离为：3cos30b b ︒=， 可得：223b a b =+，即3a c =，可得离心率为：23e =． 故选：A ．6．（5分）从4男2女共6名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，不同选法共有( ) A ．156种B ．168种C ．180种D ．240种【解答】解：根据题意，从4男2女共6名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队有11265443651802C C C ⨯=⨯⨯=种选法， 服务队中没有女生的选法有11243243112C C C =⨯⨯=种， 则服务队中至少有1名女生的选法共有18012168-=种； 故选：B ．7．（5分）在平行四边形ABCD 中，若DE EC =，AE 交BD 于F 点，则(AF = ) A ．2133AB AD + B ．2133AB AD -C ．1233AB AD -D ．1233AB AD +【解答】解：如图，DE EC =，E ∴为CD 的中点，设11()()222AF AE AB BC CD AB AD AB AB AD λλλλλ==++=+-=+，且B ，F ，D 三点共线， ∴12λλ+=，解得23λ=， ∴1233AF AB AD =+． 故选：D ．8．（5分）若1x =是函数3221()(1)(3)3f x x a x a a x =++-+-的极值点，则a 的值为( )A ．2-B ．3C ．2-或3D ．3-或2【解答】解：根据题意，322221()(1)(3)()2(1)(3)3f x x a x a a x f x x a x a a '=++-+-⇒=++-+-，由题意可知f '（1）0=，f ⇒'（1）21(1)(3)03a a a a =++-+-=⇒=或2a =- 当3a =时，222()2(1)(3)89(9)(1)f x x a x a a x x x x '=++-+-=+-=+-，当1x >，9x <-时，()0f x '>，函数单调递增；当91x -<<时，()0f x '<，函数单调递减，显然1x =是函数()f x 的极值点；当2a =-时，2222()2(1)(3)21(1)0f x x a x a a x x x '=++-+-=-+=-，所以函数是R 上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去， 故选：B ．9．（5分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为6，点F 是棱1AA 的中点，AC 与BD 的交点为O ，点M 在棱BC 上，且2BM MC =，动点T （不同于点)M 在四边形ABCD 内部及其边界上运动，且TM OF ⊥，则直线1B F 与TM 所成角的余弦值为( )A 10B 10C 5D 5【解答】解：法一：易知BD AC ⊥．因为AF ⊥平面ABCD ，所以AF BD ⊥，所以BD ⊥平面AFO ，又OF ⊂平面AFO ，所以BD OF ⊥，在棱DC 上取一点N ，且2DN NC =，连接NM ，则//NM BD ，所以NM OF ⊥，所以动点T 的轨迹为线段MN （不包括)M ． 取棱1CC 的中点H ，连接DH ，易知1//DH FB ， 则HDB ∠即异面直线1B F 与TM 所成的角．连接BH ，因为226335DH +62BD =35BH =， 所以22210cos 2DH BD BH HDB DH BD +-∠==⨯，故选：B ．法二：以A 为坐标原点，直线AD ，AB ，1AA 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，易知1(0B ，6，6)，(0F ，0，3)，(4M ，6，0)，(3O ，3，0)，设(T x ，y ，0)，则(4,6,0)TM x y =--，1(0,6,3)B F =--，(3,3,3)OF =--． 由题意知3(4)3(6)0TM OF x y ⋅=----=，得10y x =-， 所以(4,4,0)TM x x =--， 则122|cos ,|||369(4)(4)B F TM x x 〈〉=+⨯-+-，又T 不与点M 重合，所以40x -≠，所以110|cos ,|B F TM 〈〉=， 所以直线1B F 与TM 所成角的余弦值为10， 故选：B ．10．（5分）ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若120B =︒，21sin C =，2c =，则ABC ∆的面积等于( )A 3B ．23C 3D 3【解答】解：120B =︒，21sin C =，2c =， ∴由正弦定理sin sin b c B C =，可得sin 7sin c Bb C==，∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得217422()2a a =+-⨯⨯⨯-，可得2230a a +-=，解得1a =，或3-（舍去）， 11213sin 1722ABC S ab C ∆∴==⨯=．故选：A ．11．（5分）已知0x >，0y >，1a ，若3281()log log 28y x a x y -⋅+=+，则( )A ．|13|0ln x y +-<B ．|13|0ln x y +-C ．(13)0ln y x +->D ．(13)0ln y x +- 【解答】解：由题意可知，32211()log log ()22y x a x y ⋅+=+，∴33322221111()()(3)()(3)()2222x y y y log x log y a log y a log y -=-⋅<-⋅-，令21()()2x f x log x =-，则()(3)f x f y <，易知()f x 在(0,)+∞上为增函数， 由()(3)f x f y <得：3x y <， 30y x ∴->，131y x ∴+->， (13)10ln y x ln ∴+->=，故选：C ．12．（5分）设抛物线24y x =的焦点为F ，过点(1,0)M -的直线在第一象限交抛物线于A 、B ，使0AF BF ⋅=，则直线AB 的斜率(k = )A B C D 【解答】解：抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，直线AB 的方程0y k -=(1)x +，0k >． 代入抛物线24y x =化简可得2222(24)0k x k x k +-+=，2122(24)k x x k--∴+=，121x x ⋅=． 212122(24)(1)(1)24k ky y k x k x k k k --∴+=+++=⨯+=， 2121212(1)4y y k x x x x ⋅=++⋅+=．又10(1AF BF x ⋅==-，12)(1y x ⋅-，212121224)()18y x x x x y y k =⋅-+++⋅=-，k ∴=故选：B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。