幂的大小比较

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人教版八年级数学上册比较幂(含整式)的大小的八种常用技巧

【点拨】本题将幂同时乘方化为同指数幂，计算幂的结果，比较幂的大小，从而比较底数的大小．
解：∵x63＝(x7)9＝29＝512，y63＝(y9)7＝37＝2 187，而 512<2 187， ∴x63＜y63. ∴x＜y.
பைடு நூலகம்
5．已知 P＝999999，Q＝191909，比较 P 与 Q 的大小．
【点拨】本题采用的是作商比较法．当 a＞0，b＞0 时，利用“若
ab＞1，则 a＞b；若ab＝1，则 a＝b；若ab＜1，则 a＜b”比较．解：∵QP＝999999×191909＝（9×91991）9×191909＝999×91919×191909＝1， ∴P＝Q.
6．设 M＝(x－3)(x－5)，N＝(x－2)(x－6)，试比较 M 与 N 的大小．
解：M＝(x－3)(x－5)＝x2－8x＋15，N＝(x－2)(x－6) ＝x2－8x＋12. ∵M－N＝(x2－8x＋15)－(x2－8x＋12)＝x2－8x＋15－ x2＋8x－12＝3＞0， ∴M＞N.
解：设 123 456 788＝a，则 x＝(a＋1)(a－2)＝a2－a－2， y＝a(a－1)＝a2－a. ∵x－y＝(a2－a－2)－(a2－a)＝a2－a－2－a2＋a＝－2＜0， ∴x＜y.
7．若 m 为任意实数，试比较(m－5)(m＋1)与－4m－5 的大小．
解：(m－5)(m＋1)＝m2－4m－5. ∵m2≥0， ∴m2－4m－5≥－4m－5，即(m－5)(m＋1)≥－4m－5.
8．若 x＝123 456 789×123 456 786，y＝123 456 788×123 456 787，试比较 x，y 的大小．
人教版八年级上
第十四章整式的乘法与因式分解

与幂有关的比较大小问题

与幂有关的比较大小问题江苏孙翠梅在幂的运算中，经常会遇到比较正整数指数幂的大小问题．对于一些幂的指数较小的问题，可以直接计算出幂进行比较；但当幂的指数较大时，若通过先计算出幂再比较大小，就会很繁琐甚至不可能，这时该如何比较呢？下面举例介绍几种常用的比较幂的大小的方法．一、比较幂的大小方法一：指数比较法利用乘方，将比较大小的各个幂的底数化为相同的底数，然后根据指数的大小关系确定出幂的大小．例1 已知3181a =，4127b =，619c =，则a 、b 、c 的大小关系是（）A a ＞b ＞cB a ＞c ＞bC a ＜b ＜cD b ＞c ＞a 解：因为3181a =＝431(3)＝1243，4127b =＝341(3)＝1233，619c =＝261(3)＝1223，因为124＞123＞122，所以1243＞1233＞1223，即a ＞b ＞c ，故选A ．方法二：底数比较法利用乘方，将比较大小的各个幂的指数化为相同的指数，然后根据底数的大小关系确定出幂的大小．例2 503、404、305的大小关系是（） A 503＜404＜305 B 305＜503＜404 C 305＜404＜503 D 404＜305＜503解：因为503＝510(3)＝10243，404＝410(4)＝10256，305＝310(5)＝10125，而125＜243＜256，所以10125＜10243＜10256，即305＜503＜404，故选B ．方法三：作商比较法当a ＞0，b ＞0时，利用“若a b ＞1，则a ＞b ；若a b ＝1，则a ＝b ；若a b＜1，则a ＜b ”比较．例3 已知P ＝999999，Q ＝990119，那么P 、Q 的大小关系是（） A P ＞Q B P ＝Q C P ＜Q D 无法比较解：因为P Q ＝999999×909911＝999(911)9⨯×909911＝99999119⨯×909911＝1，所以P ＝Q ，故选B ．二、比较指数大小例4 已知2a ＝3，2b ＝6，2c ＝12，那么a 、b 、c 间的大小关系是（）A a ＋b ＞cB 2b ＜a ＋cC 2b ＝a ＋cD 2a ＜b ＋c 解：因为2a ＝3，2b ＝6＝2×3，2c ＝12＝22×3，而2(23)⨯＝23(23)⨯⨯，所以2(2)b ＝22a c ⋅，即22b ＝2a c +．所以2b ＝a ＋c ，故选C ．三、比较底数大小例5 已知a 、b 、c 、d 均为正数，且2a ＝2，3b ＝3，4c ＝4，5d ＝5，那么a 、b 、c 、d 中最大的数是（）A aB bC cD d分析：直接比较四个数的大小较繁琐，可两个两个的比较确定最大的数．解：因为236()a a =＝32＝8，326()b b =＝23＝9，所以6a ＜6b ，于是a ＜b ．因为3412()b b =＝43＝81，4312()c c =＝34＝64，所以12b ＞12c ，于是b ＞c ．因为3515()b b =＝53＝243，5315()d d =＝35＝125，所以15b ＞15d ，于是b ＞d ．综合知，b 是最大的数，故选B ．。

2024年北师大版七年级下册数学第一章整式的乘除专项复习2 比较幂的大小的五种常用技巧

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技巧5
作商比较法比较两数的大小

5.已知P＝，Q＝，比较P与Q的大小.

（×） ×
解：因为＝ × ＝
× ＝ × ＝1，

所以P＝Q.பைடு நூலகம்
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即5333＜3555＜4444.
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技巧3
幂的比较法比较含指数的式子的大小
3.【2023·天津南开中学模拟】已知xa＝2，xb＝4，xc＝32
（x＞0且x≠1），试比较3b与a＋c的大小.
解：因为xa＝2，xb＝4，xc＝32，
而43＝2×32，
所以（xb）3＝xa·xc，即x3b＝xa＋c.
北师
七年级下
第一章
整式的乘除
素养集训
2.比较幂的大小的五种常用技巧
技巧1
指数比较法比较幂的大小
1.已知a＝8131，b＝2741，c＝961，试比较a，b，c的大小.
解：a＝8131＝（34）31＝3124，b＝2741＝（33）41＝3123，c
＝961＝（32）61＝3122.
因为124＞123＞122，
所以3124＞3123＞3122，即a＞b＞c.
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技巧2
底数比较法比较幂的大小
2.比较3555，4444，5333的大小.
解：3555＝（35）111＝243111，4444＝（44）111＝256111，
5333＝（53）111＝125111.

指、对、幂的大小比较-高考数学复习

命题点2 找中间值
例2
1
(2023·昆明模拟)设a＝e ，b＝ln
2－13ln
1
3 ，c＝e
，则a，b，c的大
小关系是
A.a>c>b
√B.c>a>b
C.c>b>a
D.a>b>c
8
因为 b＝ln
2－13ln
3＝ln22－ln33＝3ln
2－2ln 6
3＝ln69<ln61＝0，
1
1
而a＝e >0，c＝e >0，所以b最小.
(2)已知x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则
√A.3y<2x<5z
C.3y<5z<2x
B.2x<3y<5z D.5z<2x<3y
令2x＝3y＝5z＝k(k>1)，则x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，所以23xy＝32lloogg32kk＝2llgg2k·3llgg3k＝llgg 89>1，则 2x>3y， 25xz＝25lloogg25kk＝2lglg2k·5llgg5k＝llgg 3225<1，则 2x<5z. 所以3y<2x<5z.
23－llnn
34＝ln
2×ln 4－ln ln 3×ln 4
32，
因为 ln 2>0，ln 4>0，则 ln 2＋ln 4>2 ln 2×ln 4⇒ln 2×ln 4<14×
(ln 8)2<14×(ln 9)2＝(ln 3)2.
故a<b，综上，b>a>c.
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指数,对数,幂函数值的大小比较

在比较指数、对数、幂函数值的大小时，我们需要根据函数的特性来进行分析。

首先，指数函数的值随着自变量的增加而增加，对数函数的值随着自变量的增加而增加，幂函数的值则取决于幂的符号和自变量的值。

其次，对于两个自变量相同的函数值比较，一般来说，如果底数相同，那么指数函数值最大，对数函数次之，幂函数最小；如果底数不同，则需要通过计算来进行比较。

此外，对于两个自变量不同的函数值比较，一般来说，如果底数相同，那么自变量较大的函数值较大；如果底数不同，则需要通过计算来进行比较。

最后，需要注意的是，对于一些特殊的函数值，例如0或负数，需要根据具体情况来进行判断。

综上所述，在比较指数、对数、幂函数值的大小时，需要根据函数的特性、自变量的值以及底数等因素来进行综合考虑。

指、对、幂的大小比较

指、对、幂的大小比较【考试提醒】指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置．【核心题型】题型一　直接法比较大小利用特殊值作“中间量”在指数、对数中通常可优先选择“-1,0，12，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log 23，可知1=log 22<log 23<log 24=2，进而可估计log 23是一个1~2之间的小数，从而便于比较．命题点1　利用函数的性质1(2024·全国·模拟预测)已知a =30.6，b =log 25，c =log 323，则实数a ，b ，c 的大小关系是()A.b >a >cB.a >b >cC.b >c >aD.a >c >b【答案】A【分析】利用指数函数单调性可得32<a =30.6<2、对数函数的单调性可得b =log 25>2，c =log 323<32，从而可得结果.【详解】由y =3x 在R 上单调递增，可得30.6>30.5=3>32，又30.6 5=27<25=32，则32<a =30.6<2．由y =log 2x 在0,+∞ 上单调递增，可得b =log 25>log 24=2．由y =log 3x 在0,+∞ 上单调递增，可得c =log 323<log 333=32．所以b >a >c ，故选：A 【变式训练】1(2024·四川德阳·二模)已知a =4ln3π,b =3π,c =4lnπ3，则a ,b ,c 的大小关系是()A.c <b <aB.b <c <aC.b <a <cD.a 0,f (x )单调递增，当x ∈(e ,+∞)时，f (x )<0,f (x )单调递减，因为π>3>e ，所以f (π)<f (3)，即lnππ<ln33，所以3lnπ<πln3，即4×3lnπ<4πln3，即c <a ；又lnπ>ln e =1，所以3π<3×4<4×3lnπ，即b <c ；综上，b <c <a .故选：B .2(2023·甘肃平凉·模拟预测)已知幂函数f x =mx n 的图象过点2,22 ，设a =f m ,b =f n ,c =f ln2 ，则a 、b 、c 的大小用小于号连接为．【答案】c <a <b【分析】首先求出幂函数的解析式，再利用其单调性即可比较大小.【详解】幂函数f x =mx n 的图象过点2,22 ，则m =1m (2n )=22⇒m =1,n =3，所以幂函数的解析式为f x =x 3，且函数f x 为单调递增函数，又ln2<1<3，所以f (ln2)<f (1)<f (3)，即c <a 2，再利用导数探讨单调性比较大小作答.【详解】依题意，c =32+23=log 222+log 222，而a =log 23+log 32,b =log 2e +ln2，令函数f x =log 2x +log x 2=ln x ln2+ln2ln x ,x >2，求导得f(x )=1x ln2-ln2x (ln x )2=(ln x )2-(ln2)2(x ln2)(ln x )2>0，因此函数f (x )在(2,+∞)上单调递增，而2<e <22<3，于是f (e )<f (22)<f (3)，又a =f (3),b =f (e ),c =f (22)，所以b <c <a .故答案为：b ；c ；a 命题点2　找中间值1(2024·陕西西安·模拟预测)已知a =ln5，b =log 35，c =5-0.3，则()A.b <c <aB.c <a <bC.c b =log 35>1，c =5-0.3<1，所以c log 34>1，利用换底公式可判断a 1，进而得出结果.【详解】由题得a =log 53=1log 35,b =log 43=1log 34，而log 35>log 34>1，所以a 0.40=1，所以a 20=1，sin 32<1，log 213=-log 23<0.所以213最大.故选：B3(2024·北京石景山·一模)设a =20.3，b =sin π12，c =ln2，则()A.c 20=1，b =sin π12<sin π6=12，而e <2<e ，则12<ln2<1，即12<c <1，所以b <c <a .故选：B 命题点3　特殊值法1(2024·全国·模拟预测)若log a b >1，则下列不等式一定成立的是()A.a >b B.ab <a +b -1C.a +1b>b +1a D.a -1b1，分类讨论0<a <1和a >1可判断A ，B ；取特值可判断C ；根据y =x +1x的单调性可判断D .【详解】因为log a b >1，所以log a b >log a a ，当0<a <1时，解得01时，解得1<a 0，即ab >a +b -1，A ，B 错误.当a =2,b =3时，a +1bab >b 2B.若a cb D.若0<a 2ab【答案】AC【分析】对A 和C 利用不等式性质即可判断，对B 和D 举反例即可反驳.【详解】对A ，因为a ab ，两边同乘b 得ab >b 2，则a 2>ab >b 2，故A 正确；对B ，当c =0时，ac 2=bc 2，故B 错误；对C ，因为0<a 1b ，又因为c >0，所以c a >cb，故C 正确；对D ，举例a =2,b =8，则2a +b 2=2×2+82=8，而2ab =22×8=8，此时两者相等，故D 错误.故选：AC .2(多选)(2023·全国·模拟预测)下列说法正确的有()A.若0<a <1，则ln a +1ln a≤-2 B.若lg a <lg b ，则a 20D.若2a <2b a ,b ∈N * ，则a -b ≤-1【答案】ABD【分析】运用基本不等式，结合特例法、不等式的性质、指数函数的单调性逐一判断即可.【详解】选项A ：当0<a <1时，ln a <0,-ln a +1-ln a≥2，所以ln a +1ln a ≤-2，当且仅当ln a =1ln a ，即a =1e时等号成立，故选项A 正确；选项B ：由lg a <lg b 得0<a 0不成立，故选项C 错误；选项D ：由2a <2b 得a <b ，因为a ,b ∈N *，所以a +1≤b ，所以a -b ≤-1，故选项D 正确．故选：ABD .3(2024·上海静安·二模)在下列关于实数a 、b 的四个不等式中，恒成立的是．(请填入全部正确的序号)①a +b ≥2ab ；②a +b 22≥ab ；③|a |-|b |≤|a -b |；④a 2+b 2≥2b -1．【答案】②③④【分析】取特值可判断①；作差法可判断②④；要证|a |-|b |≤|a -b |即证2a b ≥2ab 可判断③.【详解】对于①，取a =-1,b =1，故①错误；对于②，a +b 2 2-ab =a 2+b 2+2ab -4ab 4=a 2+b 2-2ab 4=a -b 2 2≥0，故②正确；对于③，当a ≥b ，要证|a |-|b |≤|a -b |，即证a -b 2≤a -b 2，即a |2+ b |2-2a b ≤a 2+b 2-2ab ，即证2a b ≥2ab ，而2a b ≥2ab 恒成立，当a <b 时，a -b 0,a -b 0，所以|a |-|b |≤|a -b |，故③正确.对于④，a 2+b 2-2b +1=a 2+b -1 2≥0，所以a 2+b 2≥2b -1，故④正确.故答案为：②③④.题型二　利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小求同存异法比较大小如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况．1(2024·天津·一模)已知a=30.3，b=log43，c=12-0.3，则a，b，c的大小关系为()A.b<a<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b【答案】B【分析】由幂函数和对数函数的单调性即可得出答案.【详解】因为0=log41<b=log43<log44=1，c=12-0.3=20.3>1，a=30.3>1，因为y=x0.3在0,+∞上单调递增，所以20.3<30.3，所以b<c<a.故选：B【变式训练】1(2024·陕西西安·模拟预测)已知a=π-0.2,b=log3π,c=sin π5，则()A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a【答案】C【分析】根据指数函数的性质判断a的范围，利用指数函数、幂函数以及正弦函数的单调性可比较a,c的大小关系，结合b的范围，即可判断出答案.【详解】由题意得a=π-0.2<π0=1，且a=π-0.2>4-0.2=2-0.4>2-0.5=22=sinπ4>sinπ5=c，又b=log3π>1，故c<a<b，故选：C2(2024·广东肇庆·模拟预测)已知a=1.013.2,b=0.523.2,c=log0.523.2，则() A.a>b>c B.c>b>a C.c>a>b D.b>a>c 【答案】A【分析】利用幂函数和对数函数的性质来判断即可.【详解】幂函数y=x3.2在0,+∞上单调递增，故a=1.013.2>0.523.2=b>0，又c=log0.523.2<log0.521=0，所以a>b>c.故选：A.3(2024·四川攀枝花·二模)若a=323,b=log3e,c=1e-13，则()A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.c>b>a 【答案】A【分析】利用幂函数、指数函数与对数函数的单调性比较大小即可.【详解】易知y =x 13在0,+∞ 上单调递增，则3 23=313>e 13=1e-13，即a >c ，而由y =a xa >1 单调递增，得313>30=1,e 13>e 0=1，即a >c >1，又y =log 3x 单调递增，故1=log 33>b =log 3e ,则a >c >1>b .故选：A题型三　构造函数比较大小某些数或式子的大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小．1(2024高三·全国·专题练习)若a =1.1,b =ln1110e ，c =e 0.1，则a ,b ,c 的大小关系为()A.b <a <cB.a 1时,m (x )=1x -1<0,m x 在1,+∞ 单调递减，当0<x <1时，m(x )>0,m x 在0,1 单调递增，故当m (x )≤m 1 =0，故ln x ≤x -1,当且仅当x =1时取等号，当x >0,n x =e x -1>0⇒x >0,n x 在0,+∞ 单调递增，当n x =e x -1<0⇒x <0,n x 在-∞,0 单调递减，所以n (x )≥n (0)=0，故e x ≥x +1，当且仅当x =0时取等号，所以b =ln 1110e =ln 1110+1<1.1，故b <a ．e 0.1>1.1，故a <c 因此b <a <c ，故选：A【点睛】方法点睛：比较大小问题，常常根据：(1)结合函数性质进行比较；(2)利用特殊值进行估计，再进行间接比较；(3)根据结构特征构造函数，利用导数分析单调性，进而判断大小【变式训练】1(2024·辽宁·二模)若a =1.01+sin0.01,b =1+ln1.01,c =e 0.01，则()A.b >c >aB.a >c >bC.c >b >aD.c >a >b【答案】B【分析】通过构造函数f (x )=1+x +sin x -e x ，利用导数与函数单调性间的关系，得到f (x )=1+x +sin x-e x 在区间0,12上单调递增，从而得出c <a ，构造函数G (x )=e x -ln (x +1)-1，利用导数与函数单调性间的关系，得到G (x )=e x -ln (x +1)-1在区间0,1 上单调递增，从而得出b <c ，即可得出结果.【详解】令f (x )=1+x +sin x -e x ，则f (x )=1+cos x -e x ，令h (x )=1+cos x -e x ，则h (x )=-sin x -e x <0在区间0,12上恒成立，即f(x )在区间0,12 上单调递减，又f 12 =1+cos 12-e 12>1+cos π6-e 12=1+32-e 12，而1+32 2=1+34+3>e ，所以f 12 =1+32-e 12>0，即f (x )=1+x +sin x -e x 在区间0,12上单调递增，所以f (0)<f (0.01)，得到0<1.01+sin0.01-e 0.01，即e 0.01<1.01+sin0.01，所以c <a ，令G (x )=e x -ln (x +1)-1，则G (x )=e x -1x +1，当x ∈(0,1)时，G (x )>0，即G (x )=e x -ln (x +1)-1在区间0,1 上单调递增，所以G (0)<G (0.01)，得到0<e 0.01-ln1.01-1，即1+ln1.01<e 0.01，所以b <c ，综上所述，b <c <a ，故选：B .【点睛】关键点点晴：通过构造函数f (x )=1+x +sin x -e x 和G (x )=e x -ln (x +1)-1，将问题转化成比较函数值的大小，再利用导数与函数单调性间的关系，即可解决问题.2(2023·辽宁·模拟预测)已知a =1e1e,b =ln22 ln22,c =ln33ln33，试比较a ,b ,c 的大小关系()A.a 0 ⇒fx =1-ln x x 2，当x >e 时，f x <0，f x 单调递减，所以有f e >f 3 >f 4 ，因为1e =ln e e ,ln22=2ln24=ln44，所以1e >ln33>ln44，设g x =x x (x >0)⇒ln g x =x ln x ，设y =x ln x ⇒y =ln x +1，当0<x <1e 时，y <0，函数y =x ln x 单调递减，因为1e >ln33>ln44>0，所以ln g 1e <ln g ln33 <ln g ln44，因为函数y =ln x 是正实数集上的增函数，故g 1e <g ln33 <g ln44，即1e 1e <ln33 ln33<ln44 ln44=ln22 ln22，所以a <c <b ，故选：C【点睛】关键点睛：根据所给指数的底数和指数的形式，构造函数，利用导数的性质是解题的关键3(2023·湖南·模拟预测)设a =52-ln5 e2，b =1e ，c =ln44，则a ，b ，c 的大小顺序为()A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c 【答案】A【分析】根据a、b、c的结构，构造函数f x =ln xx，利用导数判断单调性，即可比较出a、b、c的大小，从而可得到正确答案．【详解】因为a=5(2-ln5)e2=ln e25e25，b=1e=ln ee，c=ln44故构造函数f x =ln xx，则fx =1-ln xx2，令f x =1-ln xx2=0，解得x=e，当x∈0，e时，f x >0，f x 在0，e上单调递增，当x∈e，+∞时，f x <0，f x 在e，+∞上单调递减，又因为a=fe25，b=f e ，c=f4所以a<b，c<b．因为c=f4 =ln44=ln22=f2 ，又e25<2<e，所以fe25<f2 ，即c>a，故a<c<b，故选：A．【课后强化】基础保分练一、单选题1(2024·天津·二模)若a=log131.9，b=log215.8，c=22.01，则a，b，c的大小关系为()A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c【答案】B【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法求解即可.【详解】a=log131.9<log131=0，0=log21<b=log215.8<log216=4，c=22.01>22=4，所以c>b>a.故选：B.2(2024·北京顺义·二模)已知a=log42，b=12e，c=π12，则()A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b 【答案】D【分析】利用换底公式计算a，利用指数函数单调性判断b，c即可得答案.【详解】因为a=log42=log22log24=12，b=12e<12 2=14，c=π12>π0=1，所以c>a>b.故选：D3(2024·全国·模拟预测)若a =2π2，b =π2 2，c =log π2cos π5，则()A.a >b >cB.b >a >cC.a >c >bD.b >c >a【答案】A【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性比较大小．【详解】由0<cos π5<1，则c =log π2cos π5<0，又a =2π2>232=2 3=22>2.828，且0b >c ．故选：A ．4(2024·全国·模拟预测)若a =log 83,b =0.132,c =ln cos 22023 ，则下列大小关系正确的是()A.b <a <cB.c <a <bC.a <b <cD.c <b <a【答案】D【分析】利用指数函数，对数函数及幂函数的单调性可比较a 与1和12，b 与0和12的大小，后利用0<cos 22023<1结合对数函数单调性，可比较c 与0的大小，即可得答案.【详解】因对数函数y =log 8x 在0,+∞ 上单调递增，则log 88=12<log 83<log 88=1，即12<a <1．因指数函数y =110x 在R 上单调递减，幂函数y =x 13在R 上单调递增，则0<0.132=110 32<110 13<18 13=12，即0bB.a -12>b-12C.log 1ea <log 1ebD.e 1a>e1b【答案】AC【分析】利用导数证明sin x <x ,x >0，利用不等式的性质，结合函数y =x +ln x 的单调性可得b <a ，再逐项判断即可得解.【详解】令函数f (x )=x -sin x ,x >0，求导得f x =1-cos x ≥0，函数f (x )在(0,+∞)上递增，f (x )>f (0)=0，即当x >0时，sin x <x ，则当a >0时，sin a <a ，于是b +ln b =sin a +ln a <a +ln a ，而函数y =x +ln x 在(0,+∞)上递增，因此a >b >0，对于A ，2a >a >b ，A 正确；对于B ，函数y =x-12在(0,+∞)上递减，则a -120，b>0，且a+b=2，则()A.a2+b2≥2B.14<2a-b<4 C.log2a+log2b≥0 D.a2-b>0【答案】AB【分析】根据基本不等式可判定A，根据指数函数的单调性可判定B，根据基本不等式、对数运算及对数函数单调性可判断C，根据二次函数的性质可判断D.【详解】∵a>0，b>0，且a+b=2，∴a2+b2≥a+b22=2，当且仅当a=b=1时取等号，故A正确.∵a>0，b>0，且a+b=2，∴0<a<2，0<b<2，∴-2<a-b<2，∴14<2a-b<4，故B正确.由2=a+b≥2ab，得0<ab≤1，当且仅当a=b=1时取等号，∴log2a+log2b=log2ab≤log21=0，故C错误.∵a2-b=a2-2-a=a+1 22-94，又0<a<2，∴-2<a2-b<4，故D错误.故选：AB.三、填空题7(2023·吉林长春·模拟预测)已知a=log3322，b=22-33，c=ln1e，则a，b，c的大小关系为．【答案】c<a<b【分析】由对数函数及指数函数单调性得到a∈0,1，b>1，c=-12，从而得到大小关系.【详解】因为y=log33x在0,+∞上单调递减，1>22>33，故a=log3322<log3333=1且a=log3322>log331=0，所以a∈0,1，因为y=22x在R上单调递减，-33<0，所以b=22-33>22 0=1，c=ln1e=ln e-12=-12，故c<a<b.故答案为：c<a<b8(2023·全国·模拟预测)已知a=ln3，b=log113，现有如下说法：①a<2b；②a+b>3ab；③b-a<-ab.则正确的说法有.(横线上填写正确命题的序号)【答案】②③【分析】根据对数的运算法则及对数函数的性质判断即可.【详解】因为a=ln3>0，b=log113>0，所以a=ln3=log e3，2b=2log113=log113<log e3=a，所以a>2b，故①错误；1 a +1b=log3e+log311=log311e>log327=3，所以a+b>3ab，故②正确；1a -1b=log 3e -log 311=log 3e 11<log 313=-1，所以b -a <-ab ，故③正确.故答案为：②③四、解答题9(22-23高三·全国·对口高考)(1)比较a a b b 与b a a b (a >0,b >0)的大小；(2)已知a >2，比较log (a -1)a 与log a (a +1)大小【答案】(1)a a b b ≥b a a b ；(2)log (a -1)a >log a (a +1)【分析】(1)利用作商法，分类讨论即可；(2)利用做差法、换底公式以及不等式的性质分析即可.【详解】(1)因为a >0,b >0，所以a a b b b a ab =a b a -b，所以①当a =b >0时，a a b b b a ab =a b a -b=1，所以a a b b =b a a b ，②当a >b >0时，ab>1,a -b >0，即a ba -b>1，所以a a b b >b a a b ，③当b >a >0时，0<ab<1,a -b <0，即a ba -b>1，所以a a b b >b a a b ，综上所述：当a >0,b >0，a a b b ≥b a a b .(2)log (a -1)a -log a (a +1)=lg alg a -1-lg a +1 lg a =lg 2a -lg a +1 lg a -1 lg a lg a -1 ，因为a >2，所以lg a +1 >0,lg a -1 >0,lg a >0，所以lg a lg a -1 >0，由lg a +1 lg a -1 <lg a -1 +lg a +1 22=lg a 2-1 22<lg a 222=lg 2a ，所以lg 2a -lg a +1 lg a -1 >0，所以lg 2a -lg a +1 lg a -1 lg a lg a -1 >0，即log (a -1)a -log a (a +1)>0，故log (a -1)a >log a (a +1).10(2020高三·上海·专题练习)设a >5-12，且a ≠1，记x =log a 2 ,y =log a +12,z =log a +22，试比较x ,y ,z 的大小.【答案】x>y>z【分析】根据对数函数的性质，由1<5+12<a+1<a+2，先得到log a+12>log a+22；再分别讨论5-12<a<1，a>1两种情况，得到x>y，即可得出结果.【详解】因为a>5-12，所以1<5+12<a+1<a+2，根据对数函数的性质可得：log a+12>log a+22，即y>z；又a≠1，当5-12<a<1时，1a<25-1=5+12，所以x=log a2=-log a2=log1a 2>log5+122>log a+12，即x>y，因此x>y>z；当a>1时，由a<a+1，得x=log a2=log a2>log a+12，即x>y，因此x>y>z；综上，x>y>z.【点睛】本题主要考查比较对数式的大小，熟记对数函数的性质即可，属于常考题型.综合提升练一、单选题1(2024·天津河东·一模)设a=23,b=log23,c=log33，则a,b,c的大小关系为()A.b<c<aB.b<a<cC.c<b<aD.a<b<c【答案】A【分析】根据对数的单调性以及指数的单调性即可利用中间值求解.【详解】a=23>21=2,b=log23<log24=2,c=log33=2，故b<c<a,故选：A2(2024·河南·模拟预测)设a=log32,b=log333,c=log222,d=20.49，则()A.a<b=c<dB.d<c=b<aC.a<d<b=cD.c<a<d<b【答案】C【分析】根据指数幂与对数的运算性质，分别求得a,b,c,d的取值范围，即可求解.【详解】由a=log32<log33=1,b=log333=32,c=log222=32,1=20<d<20.5=2，即1<d<2<32，所以a<d<b=c．故选：C．3(2024·陕西安康·模拟预测)若a=11232,b=ln20232024,c=log2738，则()A.b<c<aB.a<c<bC.b<a<cD.c<b<a 【答案】C【分析】根据对数运算以及对数函数单调性可得c>16,b<0，结合分数指数幂运算分析可得0<a<c，即可得结果.【详解】因为c=log2738=13log32>13log33=16>0，a=11232=112 3=1243>0，因为16>1243>0，可知c>a>0，又因为b=ln 20232024<ln1=0，所以b<a<c.故选：C.4(2024·四川·模拟预测)已知a=ln 32,b=13,c=e-2，则a,b,c的大小关系为()A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a 【答案】A【分析】利用当x>0时，ln x≤x-1判断a>b，通过函数y=1x在是减函数判断b>c.【详解】当x>0时，设f x =ln x-x+1，则f x =1x-1，当0<x<1时，f x >0，f x 单调递增，当x>1时，f x <0，f x 单调递减，所以f x ≤f1 =0，也就是说当x>0时，ln x≤x-1，用1x代替x，可得ln1x≤1x-1，即ln x≥1-1x，所以ln 32>1-23=13，即a>b．又知13>1e2=e-2，所以b>c，所以a>b>c．故选：A5(2023·天津河北·一模)若a=37-38,b=log1737,c=log1838，则a,b,c的大小关系为()A.b<a<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a 【答案】D【分析】首先化简a=37-38=73 38>1，b=log773=1-log73<1，c=log883=1-log83<1，再根据log73>log83即可得解.【详解】a=37-38=73 38>73 0=1，即a>1，b=log1737=log773=1-log73<1，c=log1838=log883=1-log83<1，又log73>log83，所以c>b，所以a>c>b，故选：D6(2024·全国·模拟预测)已知a>b>1，则下列各式一定成立的是()A.log a b>1B.ln a-b>0 C.2ab+1<2a+b D.b⋅a b<a⋅b a【答案】D【分析】根据对数函数的单调性即可判断AB；根据指数函数的单调性即可判断C；构造函数f x =ln x x-1x>1，利用导数判断出函数的单调性即可判断D.【详解】对于AB，因为a>b>1，所以log a b<log a a=1，故A错误；因为a>b>1，所以a-b>0，但a-b不一定大于1，故ln a-b不一定大于0，故B错误；对于C，因为ab+1-a+b=a-1b-1>0，则ab+1>a+b，所以2ab+1>2a+b，故C错误；对于D，不等式b⋅a b<a⋅b a等价于a b-1b>1,a-1>0,b-1>0，所以原不等式等价于ln aa-1<ln bb-1，设函数f x =ln xx-1x>1，则f x =1-1x-ln xx-12，令g x =1-1x-ln x x>1，则g x =1x2-1x=1-xx2，当x>1时，g x <0，所以g x 在1,+∞上单调递减，故当x>1时，g x <g1 =0，所以f x <0，故f x 在1,+∞上单调递减，所以f a <f b ，即ln aa-1<ln bb-1，故D正确．故选：D．7(2024·宁夏银川·二模)定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)为偶函数，且当x1<x2<2时，[f(x2 )-f(x1)](x2-x1)>0恒成立，若a=f(1)，b=f(ln10)，c=f354，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.c<a<b【答案】D【分析】根据条件先得到函数的对称性和单调性，再根据单调性比较大小.【详解】当x1<x2<2时，[f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0恒成立，即当x1<x2<2时，f(x2)>f(x1)，函数f(x)在-∞,2上单调递增，又f(x+2)为偶函数，即f(x+2)=f(-x+2)，所以函数f(x)关于x=2对称，则函数f(x)在2,+∞上单调递减，所以a=f(1)=f(3)因为10<523<e3，所以10<52 3<e3所以2<ln10<ln e3=3<35 4，所以f ln10>f3 >f35 4，即c<a<b，故选：D.8(2024·全国·模拟预测)已知a=e π10，b=1+sin9π10，c=1.16，则a，b，c的大小关系为()A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a【答案】C【分析】先利用常见不等式放缩得到a，b的大小关系，再利用幂函数的单调性比较a，c的大小关系即可得到答案.【详解】令f x =e x-x-1x≥0，则f x =e x-1≥0恒成立，所以f x 在0,+∞单调递增，所以当x>0时，f x >f0 =0，即e x>x+1x>0；令g x =x-sin x x≥0，则g x =1-cos x≥0恒成立，所以g x 在0,+∞ 单调递增，所以当x >0时，g x >g 0 =0，即sin x <x (x >0)；由诱导公式得b =1+sin 9π10=1+sin π10，所以b =1+sin π10<1+π10<e π10，因此a >b ；因为a =e π10<e 410=e 0.4，c =1.16= 1.115 0.4，故只需比较e 与1.115的大小，由二项式定理得，1.115=(1+0.1)15>1+C 115×(0.1)1+C 215×(0.1)2>3>e ，所以c >a ．综上，c >a >b .故选：C【点睛】方法点睛：本题考查比较大小问题，此类问题常见的处理方法为：(1)中间值法：通过与特殊的中间值比较大小，进而判断两个数的大小关系；(2)构造函数法：通过观察两个数形式的相似之处，构造函数，利用导数研究函数单调性与极值等性质进而比较大小；(3)放缩法：利用常见的不等式进行数的放缩进而快速比较大小.二、多选题9(2023·广东广州·模拟预测)下列是a >b >c (a ，b ，c ≠0)的必要条件的是()A.ac >bcB.ac 2>bc 2C.2a -c >2a -bD.7a +b >7b +c【答案】CD【分析】AB 选项，可举出反例；CD 选项，利用指数函数单调性可进行判断.【详解】A 选项，若c <0，则A 错误，B 选项，等价为a 2>b 2，当a >0>-a >b 时不成立，故B 错误，C 选项，因为y =2x 在R 上单调递增，而a -c >a -b ，所以2a -c >2a -b ，C 正确；D 选项，因为y =7x 在R 上单调递增，而a +b >b +c ，所以7a +b >7b +c ，D 正确.故选：CD10(2024·全国·模拟预测)已知实数a ,b ,c ，其中a ,c c >a >0 是函数f x =e xx-m m >e 的两个零点．实数b 满足b =log 73a +22c b >1 ，则下列不等式一定成立的有()A.a +c b -1C.ca>b D.ac <b【答案】BCD【分析】设g x =e x xx >0 ，利用导数研究其性质，画出大致图象，a ,c c >a >0 是直线y =m 与函数g x 的图象交点的横坐标，数形结合可得0<a <1<c ，又由条件得7b =3a +4c ，可推出7b -c <1，得b <c ，即可判断ABC ；由e a a =e c c 0<a <1<c ，取对数后可得c -aln c -ln a=1，设t =c a ,t >1，令h (t )=2ln t -t +1t ,t >1，利用导数可证得ln c -ln a <c -a ac，进而可判断D .【详解】设g x =e x x x >0 ，gx =e x x -1 x2，当x ∈0,1 时，gx <0，当x ∈1,+∞ 时，g x >0，所以g x 在0,1 上单调递减，在1,+∞ 上单调递增，所以，当x =1时，g x 取极小值g 1 =e.a ,c c >a >0 是函数f x =e xx-m m >e 的两个零点，即直线y =m 与函数g x 的图象交点的横坐标，如图，由图可知，0<a <1<c ，由b =log 73a +22c b >1 ，得7b =3a +4c ，所以7b -c=47 c +3a 7c <47 c +37 c <47+37=1，所以b <c ，所以0<a <11，令h (t )=2ln t -t +1t ,t >1，则h(t )=2t -1-1t 2=-(t -1)2t 2<0，所以h (t )在(1,+∞)上单调递减，则h (t )<h (1)=0，所以ln c -ln a -c -a ac=ln ca -c a +a c <0，即ln c -ln a <c -a ac，从而可得ac <c -aln c -ln a ，所以ac <1lg bB.a +b =abC.12a>12bD.a +b >4【答案】ABD【分析】根据指对互化与运算以及指数函数、对数函数单调性即可判断ABC ，利用基本不等式即可判断D .【详解】由题意得a =log 315>log 31>0，b =log 515>log 51=0，0<1a =log 153，0<1b =log 155，则0<1a <1b ，则a >b >0，对A ，根据对数函数y =lg x 在0,+∞ 上单调递增，则lg a >lg b ，故A 正确；对B ，因为1a +1b =log 153+log 155=1，即a +bab=1，则a +b =ab ，故B 正确；对C ，因为a >b >0，根据指数函数y =12 x 在R 上单调递减，则12 a <12b，故C 错误；对D ，因为a >b >0，1a +1b =1，a +b =a +b 1a +1b =2+b a +ab≥2+2b a ⋅a b =4，当且仅当a =b 时等号成立，而显然a ≠b ，则a +b >4，故D 正确；故选：ABD .三、填空题12(23-24高三上·北京昌平·阶段练习)①在△ABC 中，b =2，c =3，B =30°，则a =；②已知a =90.1，b =30.4，c =log 40.3，则a 、b 、c 的大小关系是【答案】 3+132c <a <b【分析】对于①：利用余弦定理运算求解即可；对于②：根据指、对数函数单调性分析判断.【详解】对于①：利用余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，即4=a 2+3-3a ，而a >0，解得a =3+132；对于②：因为a =90.1=30.2，且y =3x 在定义域内单调递增，可得30<30.2<30.4，即1<a <b ，又因为c =log 40.3<log 41=0，所以c <a <b .故答案为：3+132；c <a <b .13(22-23高三上·陕西咸阳·阶段练习)已知a =log 372,b =1413,c =log 135，则a ，b ，c 的大小关系为.【答案】c 1，则log n n +1 与log n +1n +2 的大小关系为.(用“<”连接)【答案】log n +1n +2 <log n n +1【分析】利用作商法以及基本不等式可得出两个对数式的大小关系.【详解】log n +1n +2 log n n +1=log n +1n ⋅log n +1n +2 <log n +1n +log n +1n +2 2 2=log n +1n 2+2n 2 2<log n +1n 2+2n +1 2 2=1，因为n ∈N *，n >1，则log n n +1 >log n 1=0，log n +1n +2 >log n +11=0，所以log n +1n +2 <log n n +1 .故答案为：log n +1n +2 <log n n +1 .四、解答题15(22-23高三上·甘肃兰州·阶段练习)比较下列两组数的大小(写出详细理由)．(1)a =0.40.3，b =0.30.3，c =0.30.4(2)a =log 26，b =log 312，c =log 515【答案】(1)a >b >c (2)c 0.3，则0.40.3>0.30.3；由函数y =0.3x ，且0.4>0.3，则0.30.3>0.30.4；则0.40.3>0.30.3>0.30.4，即a >b >c .(2)a =log 22×3 =log 22+log 23=1+log 23，b =log 34×3 =log 34+log 33=1+log 34，c =log 55×3 =log 55+log 53=1+log 53，则log 53<1<log 34<32<log 23，故c 5.26-1>5.26-2；②log 30.5<0.53<30.5；③log 0.76<0.76<60.7．【解析】(1)构造相应的函数，依据其单调性比较函数值的大小，如：y =x -1在(0,+∞)上递减有5.25-1>5.26-1，y =5.26x 是增函数有5.26-1>5.26-2，即可得大小关系；(2)将0.53，30.5，log 30.5与0和1比较大小，即可确定它们的大小关系；(3)利用同底的指数、对数以0、1作为界值，比较log 0.76，0.76，60.7的大小【详解】①∵y =x -1在(0,+∞)上递减，5.25<5.26∴5.25-1>5.26-1，∵y =5.26x 是增函数，-1>-2∴5.26-1>5.26-2综上，5.25-1>5.26-1>5.26-2；②∵0<0.53<1，30.5>1，log 30.5<0∴log 30.5<0.53<30.5；③log 0.76<log 0.71<0，0<0.76<0.70=1，60.7>60=1，则log 0.76<0.76<60.7【点睛】本题考查了比较指数式、对数式的大小，结合相应的指数或对数函数，利用其单调性比较函数值的大小，或以0、1作为界值，结合同底的指数函数或对数函数的单调性比较大小17(2022高三·全国·专题练习)已知a ,b 均为正实数，且a ≠1．(1)比较a b 2+b a2与1a +1b 的大小；(2)比较log a b 3+1 和log a b 2+1 的大小．【答案】(1)a b 2+b a2≥1a +1b (2)答案见解析【分析】(1)利用作差法比较大小，即得答案；(2)结合指数函数以及对数函数的单调性，分类讨论a ,b 的取值范围，即可得答案.【详解】(1)a b 2+b a 2-1a +1b =a -b b 2+b -aa 2=a +b (a -b )2a 2b 2，a ,b 均为正实数，∴a +b >0,(a -b )2≥0，∴a +b (a -b )2a 2b 2≥0,∴a b 2+b a 2≥1a +1b ；(2)当a >1时，函数y =log a x 为增函数；当0<a <1时，函数y =log a x 为减函数．①当b >1时，b 3>b 2，则b 3+1>b 2+1，若a >1，则log a b 3+1 >log a b 2+1 ；若0<a <1，则log a b 3+1 <log a b 2+1 ；②当b =1时，log a b 3+1 =log a b 2+1 ；③当01，则log a b 3+1 <log a b 2+1 ；若0<a <1，则log a b 3+1 >log a b 2+1 ．综上所述，当a >1b >1 或0<a <10log a b 2+1 ；当a ≠1b =1时，log a b 3+1 =log a b 2+1 ；当a >101时，log a b 3+1 <log a b 2+1 .18(22-23高三下·全国·开学考试)已知函数f x =e x -ax -1a ∈R 的最小值为0．(1)求实数a 的值；(2)设m 1=1.1+ln0.1，m 2=0.1e 0.1，m 3=19，判断m 1，m 2，m 3的大小．【答案】(1)a =1(2)m 1<m 2<m 3【分析】(1)求出函数的导函数，分a ≤0、a >0两种情况讨论，分别求出函数的单调区间，即可得到函数的最小值为f ln a =e ln a -a ln a -1，从而得到ln a +1a -1=0，再令φa =ln a +1a-1，利用导数说明函数的单调性，即可得到a 值，从而得解；(2)由(1)可得e x ≥x +1，当x >-1时两边取对数得到ln x ≤x -1，当x ∈0,1 时，设F x =xe x -1+x-ln x ，根据函数值的情况判断m 2>m 1，当x ∈0,1 时，设G x =x +ln x -ln x1-x，即可判断m 2<m 3，从而得解.【详解】(1)解：由题意得f x =e x -a ．当a ≤0时，f x =e x -a >0，f x 单调递增，无最小值，不满足题意．当a >0时，令f x =0，得x =ln a ．当x ∈-∞,ln a 时，f x <0；当x ∈ln a ,+∞ 时，f x >0．所以f x 在-∞,ln a 上单调递减，在ln a ,+∞ 上单调递增．所以f x 的最小值为f ln a =e ln a -a ln a -1=0，即ln a +1a-1=0．设φa =ln a +1a -1，则φ a =a -1a 2．令φ a =0，得a =1．当a ∈0,1 时，φ a <0；当a ∈1,+∞ 时，φ a >0，所以φa 在0,1 上单调递减，在1,+∞ 上单调递增，即φa min =φ1 =0．故ln a +1a-1=0的解只有a =1，综上所述，a =1．(2)解：由(1)可得f x =e x -x -1≥0，所以e x ≥x +1，当且仅当x =0时等号成立．当x >-1时，不等式两边取对数，得x ≥ln (x +1)，所以ln x ≤x -1，当且仅当x =1时等号成立．当x ∈0,1 时，设F x =xe x -1+x -ln x ，则F x =e x +ln x -1+x -ln x ≥x +ln x +1-1+x -ln x =0，当且仅当x +ln x =0时，等号成立．因为0.1+ln0.1≠0，所以0.1e 0.1-1.1-ln0.1>0，所以m 2>m 1．当x ∈0,1 时，设G x =x +ln x -ln x1-x，因为0<1-x <1，所以G x =x +ln x -ln x +ln 1-x =x +ln 1-x <x +1-x -1=0，。

幂的大小比较技巧

幂的大小比较技巧在幂的运算中，我们经常会遇到幂的大小比较问题，其常用的方法有如下几种：一、化为指数相同的幂后比较例1 、、的大小关系是（）.A ．<< B. C. D.析解：因为，，，又因为125<243<256，所以，故选B.二、化为底数相同的幂后比较例2 已知，则的大小关系是（）.Ａ. B. C. D.析解：因为，，. 显然，有，故选Ａ.三、利用中间量作比较例３与的大小关系是:_____.（填“>”、“<”或“=”）（２００２年希望杯赛题）析解：因为，而，即<. 故填“<”.四、乘方后作比较例４设，则的大小关系是（）. Ａ. B. C. D.析解：因为，所以，此时；又因为，所以，此时. 503404305503404305305040534<<504030543<<403050453<<()105051033243==()104041044256==()103031055125==305040534<<31416181,27,9a b c ===,,a b c a b c >>a c b >>c b a >>b c a >>()313141248133a ===()414131232733b ===()61612122933c ===a b c >>1615133316151333()131313565643332222>==>()166441616221615==>16151333111534111,,345m n p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,,m n p m n p <<m p n <<n p m <m p >3412121111,51254256p n ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1212p n >p n >综上可知，,故选C.五、求商后作比较例５已知，则的大小关系是（）. Ａ. B. C. D. 析解：因为，即；，即；，即. 综上可得，，故选A.n p m <<5544332222,33,55,66a b c d ====,,,a b c d a b c d >>>a b d c >>>b a c d >>>a d b c >>>()()()()11115551155544444421121122211352133381311311a b ⎡⎤⨯⨯⎛⎫⨯⎛⎫=====>⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⨯⨯⎢⎥⎝⎭⎣⎦a b >()()()()1111444114443333333113113331138911555125511511b c ⎡⎤⨯⨯⎛⎫⨯⎛⎫=====>⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⨯⨯⎢⎥⎝⎭⎣⎦b c >()()()()111133311333222222511511555111375166636611611c d ⎡⎤⨯⨯⎛⎫⨯⎛⎫=====>⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⨯⨯⎢⎥⎝⎭⎣⎦c d >a b c d >>>。

幂函数的应用

【考点精讲】（2）函数y ＝35x 在(0，+∞)上增函数且0＜0.88＜0.89 ∴3588.0＜3589.0，3588.0-）（ 3589.0-）（点评：本题考查的知识点是幂函数单调性的应用，其中根据指数与0的关系，分析出幂函数的单调性，是解答本题的关键。

例题2 利用幂函数图象，画出下列函数的图象（写清步骤）（1）53(2)1y x -=--；（2）222221x x y x x ++=++。

思路导航：本题考查幂函数的图象及图象的平移变换，（1）函数53(2)1y x -=--的图象可以由53y x-=的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位而得到。

（2）函数1)1(1112112222222++=+++=++++=x x x x x x x y ，把函数21x y =的图象向左平答案：（答题时间：15分钟）x 0≥A.（－∞，－3） B.（1，＋∞） C.（－3，1） D.（－∞，－3）∪（1，＋∞）2. 设α∈{－2，－1，－12，13，12，1，2，3}，则使f （x ）＝x α为奇函数且在（0，＋∞）上单调递减的α的值的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3. 已知幂函数f （x ）＝ 12x -，若f （a ＋1）＜f （10－2a ），则a 的取值范围是_______。

4. 已知幂函数31)(a xx f -=在（－∞，0）上是增函数，在（0，＋∞）上是减函数，那么最小的正整数a ＝________。

5. 当0<x<1时，f （x ）＝x 1.1，g （x ）＝x 0.9，h （x ）＝x －2的大小关系是_______________。

6. 已知点（2，2）在幂函数y ＝f （x ）的图象上，点⎝⎛⎭⎫－2，12在幂函数y ＝g （x ）的图象上，若f （x ）＝g （x ），则x ＝________。

7. 已知函数f （x ）＝x m －2x 且f （4）＝72，1. C解析：分a ＜0，a≥0两种情况求解。

幂的大小比较：八年级数学整数指数幂授课案例

幂的大小比较：八年级数学整数指数幂授课案例八年级数学整数指数幂授课案例一、引言整数指数幂是初中数学中的一个重要内容。

学生初步学习整数指数幂的有关知识之后，还要掌握如何比较不同幂的大小。

本文旨在介绍如何在八年级数学教学中讲授如何比较幂的大小。

二、教学目标通过本课程的教学，学生应该能：1.了解幂的定义及其特性；2.掌握判断幂的大小的方法；3.通过实例训练，提高学生对幂大小比较的理解能力和应用能力。

三、教学内容1.幂的概念幂是数学中常见的概念之一，指同一个数作为底数，指数不同而表现出来的不同程度的幂。

比如，2的3次方等于8，2的4次方等于16，2的5次方等于32，以此类推。

2.判断幂的大小在判断幂的大小时，需要注意以下几点：（1）当两个数的底数相等时，幂的大小取决于指数的大小。

指数越大，幂越大。

例如，2的6次方大于2的5次方，2的5次方大于2的4次方。

（2）当底数一样的情况下，指数是负数，它的幂就会是小数或者分数。

为了比较这些幂的大小，我们需要将其转化成分数再作比较，分数中分子越小、分母越大，数越小。

例如，2的-4次方等于1/16，2的-5次方等于1/32，因为1/16小于1/32，所以2的-4次方大于2的-5次方。

（3）当底数不等时，在绝对值大的情况下，幂就越大。

如：-3的4次方大于-3的3次方，因为|-3| = 3，而3的4次方大于3的3次方。

4的3次方大于3的4次方，因为4的3次方等于64，小于3的4次方等于81。

四、教学方法教学方法不应该仅限于讲述幂大小比较的规则，而需要提供大量练习，激发学生的实践能力。

推荐的方法是使用教师讲授、学生问答、小组讨论和作业等形式。

1.讲述幂大小比较的规则教师可以首先讲解幂的定义及其特性，并解释如何比较不同幂的大小。

这可以启发学生对幂的理解，增强幂大小比较的思维能力。

2.学生问答教师可以提出一些幂大小比较的问题，让学生思考并回答。

这可以帮助学生进一步理解幂的大小关系，并促进课堂互动和探究。

幂的大小比较的方法 2

幂的大小比较比较幂的大小除了要灵活运用幂的运算性质外，还要掌握一定的技巧和方法，以下通过举例介绍几种常用的比较幂的大小的方法．一、差值比较法例1 比较621710与42173大小此法的依据是：若0a b ->，则a b >；若0a b -<，则a b <．二、商值比较法例2 已知999999P =，990119Q =，那么P ，Q 的大小关系是（） A ．P ＞Q B ．P ＝Q C ．P ＜Q D ．无法确定此法的依据是：已知0a >，0b >，若1a b >，则a b >；若1a b=，则a b =；若1a b <，则a b <．三、底数比较法例3 数5553、4444、3335的大小关系是（）A ．5553＜4444＜3335B ．4444＜5553＜3335C ．3335＜4444＜5553D ．3335＜5553＜4444四、指数比较法：例4 若3181a =，4127b =，619c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．a ＜b ＜cD ．b ＞c ＞a在例3和例4中，都采取了逆用幂的乘方的方法，逆用公式常可以使问题得到巧妙的解决，望大家引起重视．五、乘方比较法例5 已知：44a =，33b =，比较a 和b 的大小．六、倒数比较法例6 比较10012与7513的大小七、中间数比较法例7 比较212与163的大小通过上述列举方法可知，比较幂的大小方法较多，而且比较灵活，但只要在学习中善于探索，认真总结，比较幂的大小问题是不难解决的．八找出相同的质因数,再比较不同质因数的大小例8比较216 × 310与210 × 315的大小练习1比较218与1631的大小2比较2100与375的的大小3已知a=255,,b=3 44 ,,C=5 33 D= 622则a,b,C,D 的大小顺序是。

比较指数幂大小例题讲解

比较指数幂大小例题讲解指数幂大小比较，听上去好像是数学中的“高大上”话题，但其实也没那么难。

说白了，就是要弄清楚，像 ( 2^3 ) 和 ( 3^2 ) 这样看似复杂的数字，谁大谁小。

你是不是也常常在这类题目上晃来晃去，不知道该咋办？别急，今天就带你一起轻松搞定这些指数幂的大小比较，告诉你怎么在考试里把这些问题给玩转了。

咱们得搞清楚指数幂的概念。

你看啊，指数幂其实就是一种特殊的乘法。

比如( 2^3 )，你就把 2 自己乘 3 次，也就是 ( 2 times 2 times 2 = 8 )。

而 ( 3^2 ) 则是 ( 3 times 3 = 9 )。

你是不是觉得，“啊，原来是这样，挺简单的嘛！”但是！如果你遇到两个底数和指数都不一样的情况，问题就变得复杂了。

比如， ( 2^4 ) 和 ( 3^3 ) 比较，谁大谁小？这就不是那么直接能看出来了。

咱们来试试它们的数值。

先计算 ( 2^4 )，也就是 ( 2 times 2 times 2 times 2 = 16 )。

再来看 ( 3^3 )，就是 ( 3 times 3 times 3 = 27 )。

哇，发现没，虽然 2 和 3 看起来差不多，但 ( 3^3 ) 明显比 ( 2^4 ) 大。

通过这种方法，咱们能一步步明确到底哪个指数幂更大。

但是问题来了，万一遇到像 ( 5^2 ) 和 ( 4^3 ) 这样的组合，你该咋办？好嘛，咱们再来细细研究一下。

计算 ( 5^2 )，就是 ( 5 times 5 = 25 )。

然后算算 ( 4^3 )，也就是( 4 times 4 times 4 = 64 )。

你瞧， ( 4^3 ) 居然比 ( 5^2 ) 大得多。

这种情况，底数和指数的变化让人感觉眼花缭乱。

不过，只要你理清了这个逻辑，数值一算出来，答案就能非常明确。

但咱们得注意，这可不是说指数大的就一定会比指数小的结果大。

比如， ( 10^2 ) 和 ( 2^{10 ) 来比一下。

指对幂比较大小课堂总结

指对幂比较大小课堂总结
在今天的课堂上，我们学习了幂的比较大小。

幂运算是数学中常见的运
算方式，它涉及到基数和指数的概念。

我们回顾了幂的定义。

幂表示为一个数的基数与指数的乘积。

例如，a
的n次幂表示为a^n，其中a是基数，n是指数。

我们注意到当n为正整数时，幂表示了连乘的操作，而当n为负整数时，幂表示了连除的操作。

当n为零时，任何数的零次幂都等于1。

我们学习了如何比较幂的大小。

当两个幂具有相同的基数时，我们只需
要比较它们的指数大小即可。

如果指数相同，那么两个幂相等。

如果其中一
个指数大于另一个指数，那么对应的幂也会更大。

当两个幂具有不同的基数时，我们需要借助对数的概念来比较它们的大小。

对数可以将幂运算转化为乘法运算。

通过计算对数，我们可以将幂转化
为普通的数值，从而更方便地比较它们的大小。

在比较幂的大小时，我们还要注意负数的幂。

负数的幂会得到小于1的
结果。

因此，当基数为负数时，指数为正的幂会比指数为负的幂更大。

我们解决了一些例题来巩固对幂比较大小的理解。

通过实际计算，我们
能更好地掌握这一概念。

通过今天的课堂学习，我们对幂比较大小有了更深入的理解。

我们学习
了幂的定义，学会了比较幂的大小，并通过例题来强化了这一概念。

幂比较
大小是数学中重要的基础知识，在日常生活和实际问题中都有广泛的应用。

我们需要不断练习，以提高自己的能力。

幂的大小比较七法

幂的大小比较七法
冯忠
幂的大小比较是《整式的乘除》一章的一个难点，为了帮助同学们更好地进行学习，这里归纳出七种方法，供大家学习时参考。

一. 计算比较法
此法是先通过幂的计算，然后根据结果的大小，来进行比较的。

例1. 比较与的大小。

解：因为
所以
二. 底数比较法
此方法是在指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小。

例2. 比较和的大小。

解：因为，且
所以
三. 指数比较法
此方法是在底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小。

例3. 比较和的大小。

解：因为，且
所以
四. 求差比较法
此方法是将两个幂相减，根据其差与0的比较情况，来确定两个幂的大小。

例4. 比较和的大小。

解：因为
所以
五. 求商比较法
此方法是将两个幂相除，然后通过商与1的大小关系，比较两个幂的大小。

例5. 比较和的大小。

解：因为
所以
六. 乘方比较法
此方法是将两个幂乘方后化为同指数幂，通过进行比较结果，来确定两个幂的大小。

例6. 已知，比较a、b的大小。

解：因为
，即
所以
七. 定值比较法
此方法是通过选一个与两个幂中一个幂相接近的幂作定值，然后用两个幂与所选取的定值相比较，由此来确定两个幂的大小。

例7. 比较与的大小。

解：取与相接近的幂做定值
因为
又，所以。

指数幂比较大小的规律

指数幂比较大小的规律指数幂比较大小的规律是数学中非常重要的一个概念，它可以帮助我们快速比较不同指数幂的大小关系。

在本文中，我们将深入探讨这个规律，并且介绍一些实际应用。

我们需要了解指数幂的定义。

指数幂是指一个数的底数被乘以自身多次的结果。

例如，2的3次方等于8，表示为2³=8。

在这个例子中，2是底数，3是指数，8是指数幂。

现在，让我们来看一下指数幂比较大小的规律。

当底数相同时，指数越大，指数幂就越大。

例如，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，2⁶=64，2⁷=128，2⁸=256，2⁹=512，2¹⁰=1024。

在这个例子中，我们可以看到，当底数为2时，指数越大，指数幂就越大。

另一方面，当指数相同时，底数越大，指数幂就越大。

例如，3³=27，4³=64，5³=125，6³=216，7³=343，8³=512，9³=729，10³=1000。

在这个例子中，我们可以看到，当指数为3时，底数越大，指数幂就越大。

这个规律在实际应用中非常有用。

例如，在计算机科学中，我们经常需要比较不同算法的时间复杂度。

时间复杂度是指算法执行所需的时间，通常用指数幂表示。

如果我们知道两个算法的时间复杂度，我们可以使用指数幂比较大小的规律来判断哪个算法更快。

另一个实际应用是在金融领域。

在投资中，我们经常需要比较不同投资方案的收益率。

收益率通常用指数幂表示。

如果我们知道两个投资方案的收益率，我们可以使用指数幂比较大小的规律来判断哪个方案更有利。

指数幂比较大小的规律是数学中非常重要的一个概念。

它可以帮助我们快速比较不同指数幂的大小关系，并且在实际应用中有广泛的用途。

幂的乘方与积的乘方帮你比较幂的大小

帮你比较幂的大小在学习幂的运算中，我们经常会遇到幂的大小比较问题，不少同学感到无从下手，下面介绍几种常用方法，供同学们参考．一、化幂的底数为相同后，通过比较指数的大小来确定幂的大小例1若a=8131，b=2741，c=961，则a，b，c大小关系是（）A．a>c>b B．a>b>c C．a<b<c D．b>c>a分析：由于幂比较大，直接计算很不现实，观察发现，其底数都可以转化为3，这样只需要比较其指数即可．解：因为8131=(34)31=3124，2741=(33)41=3123，961=(33)61=3122，而124>123>122,所以a>b>c，故选B．二、化幂的指数为相同后，通过比较底数的大小来确定幂的大小例2 已知a=2444，b=3333，c=5222，则a，b，c大小关系是（）A．a>b>c B．c>b>a C．a<ca>c分析：无法直接计算，又不能把底数化为相同，可考虑先找出其指数的最大公约数，逆用幂的乘方运算性质，把它们的指数化为相同，这样只需比较其底数即可．解：因为444，333，222的最大公约数为111，所以a=2444=(24)111=16111，b=3333=(33)111=27111，c=5222=(52)111=25111．而16<25<27，所以16111<25111<27111，即a<c<b，故选C．三、将幂乘方后，通过比较乘方所得数的大小来确定幂的大小例3已知a3=3，b5=4，比较a、b的大小．分析：显然不能直接求出a、b值再比较，可先将它们各自乘方，使乘方后幂的指数为原各指数的最小公倍数，然后再比较所得数的大小．解：因为(a3)5= a15=35=243，(b5)3= b15=43=64，而243>64，所以a15> b15，所以a>b．四、利用中间量传递来确定幂的大小例4 比较1516和3313的大小．分析：既不能化为同底，又无法化为同指数，因此不能上面介绍的方法比较它们的大小．观察两个底数，15接近16，33接近32，而16与32都可以表示为以2为底的幂的形式，可通过比较中间量的大小来确定幂的大小．解：因为1516<1616=(24)16=264，3313>3213=(25)13=265，而265>264，所以3313>1516．练习：1．已知a=1631，b=841，c=461，则a，b，c的大小（）A．a>b>c B．a>c>b C．c>b> a D．b>c>a2．比较255，344，533，622的四个数的大小．3．已知m3=2，n5=3，比较m、n的大小．4．比较2616和8213的大小．参考答案：1．A．2．533>344>622>255．3．m>n．4．2616<8213．。

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幂的大小比较
今天的数学课堂上，以新课改理念指导教学实践已成为广大一线教师的自觉行动。

传统的“变式教学”、“双基教学”、“解题教学”等与新理念下的“启发式教学”、“素质教学”相结合，形成了新数学课。

在教学实践中我们以确立学生主体地位为始终，竭尽手段来调动学生学习的积极性，尽可能地发挥学生的主体作用。

同时我们作为课堂的设计者、引导者能轻驾课堂，引导学生探索新知，体验成功的喜悦，感受探索的乐趣，就得花费大量的精力来做些准备。

幂的大小比较，是高中数学第一册（上）函数教学中的重点，也是难点内容，我们通常都是运用函数的单调性来比较它们的大小，但很多时候，因底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性．本文就幂的大小比较谈谈一些常用方法和特殊方法．
1．利用函数单调性比较幂的大小
1．1构造幂函数：如果要比较的两个幂满足指数相同，底数不同时，可以构造幂函数，根据幂函数的单调性进行比较它们的大小：
例1．比较0.30.2与0.50.2的大小。

显然这两个幂的指数相同，都是0.2= 1/5,因此由幂函数为单调递增函数，比较得出0.30.2< 0.50.2。

例2．比较0.7α与0.8α的大小。

这两个幂的指数虽相同，但没有具体给定数值，是个参变字母，因此在比较它们大小时要考虑指数α的取值对幂函数单调性的决定作用。

当α>0时，幂函数y=xα在为单调递增函数，此时0.8α＞0.7α；当α<0时，幂函数在为单调递减函数，此时0.8α<0.7；特别的，若α=0，则0.8α=0.7=1。

需要注意的是幂函数单调性随着指数取值的不同，变化很多，情况比较复杂。

教学中我总结了这样几句：（图象特征看指数正负）正似抛物过原点，负是双曲靠轴边；（奇偶性由指数中互质的m,n奇偶性确定）奇分之奇方为奇，奇分之偶正是偶，偶分之奇两不是；（单调性由奇偶性确定）奇在一三同增减，偶在一二对台戏。

有了这些总结再加上第一象限图象分布规律总能很迅速画出幂函数的草图，进而利用其单调性解决问题。

1．2构造指数函数：如果要比较的两个幂底数相同，指数不同时，可以构造指数函数，根据指数函数的单调性进行比较它们的大小：
例3．比较下列各题中两个值的大小：（1）1.72.5和1.73；（2）0.8-0.1和0.8-0.2。

显然这两组幂底数相同，指数不同，因此分别构造指数函数y=1.7x，和指数函数y=0.8x，利用它们在上分别为单调递增函数和单调递减函数性质比较出大小。

例4．比较
咋看似乎无法比较，但细看两个幂，可以迅速得出它们的联系：由，所以，
，∴函数在定义域Ｒ上是减函数
通过本题我们可以看出在进行幂的大小比较时，若底数不同，可首先考虑能否化成同底数，若能实现同底转化，则根据指数函数的单调性进行判断．
2．图象法
例5．比较0.7α与0.8α的大小。

在例2中我们利用幂函数的单调性解决了它们的比较，当然我们还可以借助于指数函数的图象来比较它们的大小。

设函数y=0.7x与y=0.8x，则两个函数的图象关系如图，当y=α＞0时，0.8α＞0.7α；当时y=α＜0，0.8α＜0.7α；特别的，y=α=0时，0.8α=0.7α。

通过本题新的研究我们不难得出对于不同底而同指数的幂的大小的比较，除了用幂函数单调性判断外，利用图象法判断更显快捷而准确．
3．媒介法
当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介）分别与要比较的幂比较大小，从而可间接地比较出要比较的幂的大小．
例6．比较下列各题中两个数值的大小：（1）0.8-0.3和4.9-0.1；（2）0.9
0.3和0.7
0.4
观察（1）中两个数的特点，它们的底数、指数都不相同，不便于利用幂函数和指数函数的单调性直接比较大小，但仔细观察分析我们很快会得出在0.8-0.3中，因为底数0.8∈（0.1），而指数-0.3＜0，由指数函数的性质可知0.8-0.3＞1，在4.9-0.1中，因为底数4.9＞1，而指数-0.1＜0，也可由指数函数的性质知4.9-0.1＜1，因此0.8-0.3＞4.9-0.1。

我们继续观察（2）中两个数发现在0.9 0.3中，0＜0.9＜1，0.3＞0，由指数函数性质知0.9 0.3＜1；在0.7 0.4中，0＜0.7＜1，0.4＞0，因此0.7 0.4＜1．它们均小于1，那怎么比较呢？这时我们可以取取0.70.3作为媒介数，由于0.9 0.3＞0.7 0.3，0.7 0.3＞0.7 0.4，因此0.9 0.3＞0.7
0.4．当然我们也可以取0.9 0.4作为媒介数，根据0.9 0.3＞0.9 0.4，0.9 0.4＞0.7 0.4，因此同样可得0.9 0.3＞0.7 0.4。

通过本题我们不难得到这样的经验：对于底数不同，指数不同的两个幂比较时常可考虑中间媒介数，通常可取“0”或“1”，必要时中间媒介数还可以取一个幂值的底为底，另一个幂值的指数为指数，如ab与cd的中间值可以考虑ad或者cb．
例7．比较的大小。

容易想到，
因此：
4．比商法
有时我们遇到的不是单个幂的大小比较，而是幂经过乘法运算后产生了相关联的因式大小比较，这时我们一般采用商值比较法完成它们的大小比较。

例4．比较与的大小。

因为，
通过本题的研究我们得到了这样的经验：当底数与指数都不同，中间量又不好找，可采用作商比较法，即对两值作商，看其值是大于1还是小于1．从而确定所比值的大小，当然一般情况下，这两个值最好都是正数．
5．比差法
当我们遇到的不是单个幂的大小比较，而是幂经过加减运算后产生了相关联的多项式大小比较时，一般采用差值比较法完成它们的大小比较。

例5设m＞n＞0，a＞0且a≠1，试比较a m+a-m与（a n+a-n）的大小．
由于（a m+a-m）－（a n+a-n）＝a m+a-m－a n-a-n＝（a m-a n）+（a-m-a-n）＝a n（a m-n-1）+a-m（1-am-n）＝（am-n-1）（an-a-m）．
（i）当a＞1时，∵m-n＞0，∴am-n-1＞0 ．
又m＞n＞0，∴a n＞1，a m＞1故a-m＜1 ，从而a n-a-m＞0，
∴（am-n-1）（an-a-m）＞0，∴am+a-m＞（an+a-n）．
（ii）当0＜a＜1时，
∵m-n＞0，∴am-n＜1，即am-n-1＜0．
又m＞n＞0，∴an＜1，a-m＞1故an-a-m＜0．
∴（am-n-1）（an-a-m）＞0．综上所述am+a-m＞（an+a-n）．
事实上作差比较法是比较两个数值大小的最常用的方法，即对两值作差，看其值是正还是负，从而确定所比值的大小．
总之，关于两个幂的大小比较，我们有了下面几种方法：
（1）同指数的两幂值比大小时，利用幂函数的单调性可以直接比大小，
（2）同底数的两幂值比大小时，利用指数函数的单调性可以直接比大小；
（3）底、指都不同的两幂值比大小时，可借用中间值间接比大小，也可以利用图象的位置
关系来比大小．
（4）对于由幂构成的两个因式或两个多项式在比较大小时，可利用作商比较法或作差比较
法进行比大小，一般商跟“1”比较（注意分母正负），差跟“0”比较。