幂的大小比较

幂的大小比较

今天的数学课堂上，以新课改理念指导教学实践已成为广大一线教师的自觉行动。传统的“变式教学”、“双基教学”、“解题教学”等与新理念下的“启发式教学”、“素质教学”相结合，形成了新数学课。在教学实践中我们以确立学生主体地位为始终，竭尽手段来调动学生学习的积极性，尽可能地发挥学生的主体作用。同时我们作为课堂的设计者、引导者能轻驾课堂，引导学生探索新知，体验成功的喜悦，感受探索的乐趣，就得花费大量的精力来做些准备。幂的大小比较，是高中数学第一册（上）函数教学中的重点，也是难点内容，我们通常都是运用函数的单调性来比较它们的大小，但很多时候，因底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性．本文就幂的大小比较谈谈一些常用方法和特殊方法．

1．利用函数单调性比较幂的大小

1．1构造幂函数：如果要比较的两个幂满足指数相同，底数不同时，可以构造幂函数，根据幂函数的单调性进行比较它们的大小：

例1．比较0.30.2与0.50.2的大小。

显然这两个幂的指数相同，都是0.2= 1/5,因此由幂函数为单调递增函数，比较得出0.30.2< 0.50.2。

例2．比较0.7α与0.8α的大小。

这两个幂的指数虽相同，但没有具体给定数值，是个参变字母，因此在比较它们大小时要考虑指数α的取值对幂函数单调性的决定作用。当α>0时，幂函数y=xα在为单调递增函数，此时0.8α＞0.7α；当α<0时，幂函数在为单调递减函数，此时0.8α<0.7；特别的，若α=0，则0.8α=0.7=1。

需要注意的是幂函数单调性随着指数取值的不同，变化很多，情况比较复杂。教学中我总结了这样几句：（图象特征看指数正负）正似抛物过原点，负是双曲靠轴边；（奇偶性由指数中互质的m,n奇偶性确定）奇分之奇方为奇，奇分之偶正是偶，偶分之奇两不是；（单调性由奇偶性确定）奇在一三同增减，偶在一二对台戏。有了这些总结再加上第一象限图象分布规律总能很迅速画出幂函数的草图，进而利用其单调性解决问题。

1．2构造指数函数：如果要比较的两个幂底数相同，指数不同时，可以构造指数函数，根据指数函数的单调性进行比较它们的大小：

例3．比较下列各题中两个值的大小：（1）1.72.5和1.73；（2）0.8-0.1和0.8-0.2。

显然这两组幂底数相同，指数不同，因此分别构造指数函数y=1.7x，和指数函数y=0.8x，利用它们在上分别为单调递增函数和单调递减函数性质比较出大小。

例4．比较

咋看似乎无法比较，但细看两个幂，可以迅速得出它们的联系：由，所以，

，∴函数在定义域Ｒ上是减函数

通过本题我们可以看出在进行幂的大小比较时，若底数不同，可首先考虑能否化成同底数，若能实现同底转化，则根据指数函数的单调性进行判断．

2．图象法

例5．比较0.7α与0.8α的大小。

在例2中我们利用幂函数的单调性解决了它们的比较，当然我们还可以借助于指数函数的图象来比较它们的大小。设函数y=0.7x与y=0.8x，则两个函数的图象关系如图，当y=α＞0时，0.8α＞0.7α；当时y=α＜0，0.8α＜0.7α；特别的，y=α=0时，0.8α=0.7α。

通过本题新的研究我们不难得出对于不同底而同指数的幂的大小的比较，除了用幂函数单调性判断外，利用图象法判断更显快捷而准确．

3．媒介法

当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介）分别与要比较的幂比较大小，从而可间接地比较出要比较的幂的大小．

例6．比较下列各题中两个数值的大小：（1）0.8-0.3和4.9-0.1；（2）0.9

0.3和0.7

0.4

观察（1）中两个数的特点，它们的底数、指数都不相同，不便于利用幂函数和指数函数的单调性直接比较大小，但仔细观察分析我们很快会得出在0.8-0.3中，因为底数0.8∈（0.1），而指数-0.3＜0，由指数函数的性质可知0.8-0.3＞1，在4.9-0.1中，因为底数4.9＞1，而指数-0.1＜0，也可由指数函数的性质知4.9-0.1＜1，因此0.8-0.3＞4.9-0.1。

我们继续观察（2）中两个数发现在0.9 0.3中，0＜0.9＜1，0.3＞0，由指数函数性质知0.9 0.3＜1；在0.7 0.4中，0＜0.7＜1，0.4＞0，因此0.7 0.4＜1．它们均小于1，那怎么比较呢？这时我们可以取取0.70.3作为媒介数，由于0.9 0.3＞0.7 0.3，0.7 0.3＞0.7 0.4，因此0.9 0.3＞0.7

0.4．当然我们也可以取0.9 0.4作为媒介数，根据0.9 0.3＞0.9 0.4，0.9 0.4＞0.7 0.4，因此同样可得0.9 0.3＞0.7 0.4。

通过本题我们不难得到这样的经验：对于底数不同，指数不同的两个幂比较时常可考虑中间媒介数，通常可取“0”或“1”，必要时中间媒介数还可以取一个幂值的底为底，另一个幂值的指数为指数，如ab与cd的中间值可以考虑ad或者cb．

例7．比较的大小。容易想到，

因此：

4．比商法

有时我们遇到的不是单个幂的大小比较，而是幂经过乘法运算后产生了相关联的因式大小比较，这时我们一般采用商值比较法完成它们的大小比较。

例4．比较与的大小。因为，

通过本题的研究我们得到了这样的经验：当底数与指数都不同，中间量又不好找，可采用作商比较法，即对两值作商，看其值是大于1还是小于1．从而确定所比值的大小，当然一般情况下，这两个值最好都是正数．

5．比差法

当我们遇到的不是单个幂的大小比较，而是幂经过加减运算后产生了相关联的多项式大小比较时，一般采用差值比较法完成它们的大小比较。

例5设m＞n＞0，a＞0且a≠1，试比较a m+a-m与（a n+a-n）的大小．

由于（a m+a-m）－（a n+a-n）＝a m+a-m－a n-a-n＝（a m-a n）+（a-m-a-n）＝a n（a m-n-1）+a-m（1-am-n）＝（am-n-1）（an-a-m）．