条件概率的条件概率

概率论中的条件概率与全概率公式

概率论中的条件概率与全概率公式概率论是数学中的一个分支，研究的是随机事件发生的概率及其规律。

在概率论中，条件概率和全概率公式是两个重要的概念和工具，用于计算复杂事件的概率。

本文将详细介绍条件概率与全概率公式的定义和应用。

一、条件概率的定义条件概率是指在某一事件发生的前提下，另一事件发生的概率。

用数学符号表示为P(A|B)，读作“事件B发生的条件下事件A发生的概率”。

条件概率的计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率， P(B)表示事件B发生的概率。

条件概率的计算可以通过实际观测数据或假设条件来进行推导。

例如，某班有30名男生和20名女生，现从中随机抽取一人，假设该人是男生，求其来自某个特定城市的概率。

根据条件概率的定义，我们有：P(来自某个特定城市|男生) = P(来自某个特定城市∩男生) / P(男生)假设该特定城市的男生人数为10，那么有：P(来自某个特定城市|男生) = 10 / 30 = 1/3二、全概率公式的定义和应用全概率公式是一种计算复杂事件概率的方法，它基于对样本空间的划分和对条件概率的累加。

全概率公式的定义如下：对于事件A，若存在一组互不相容的事件B1，B2，…，Bn，并且它们的并集覆盖了样本空间，即B1∪B2∪…∪Bn = S，则有：P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + … + P(A|Bn)P(Bn)其中，P(A|Bi)表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi发生的概率。

全概率公式的应用非常广泛，可以用于解决各种与条件发生相关的概率问题。

例如，在某人可能患有某种疾病的情况下，通过一系列检查可以得到以下信息：检查结果为阳性的人中，有80％实际患有该疾病；检查结果为阴性的人中，有10％实际患有该疾病。

现在假设某人检查结果为阳性，请问他实际上患有该疾病的概率是多少？根据题意，可以将该问题划分为两个互不相容的事件：实际患病（A）和不患病（A'），其中A'表示“不患有该疾病”。

条件概率公式

条件概率公式条件概率是指在给定一个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。

条件概率公式可以帮助我们计算这种概率。

首先，我们需要明确以下两个概念：1. 事件 A 在事件 B 发生的条件下发生的概率，称为事件 A 在事件 B 的条件下的概率，记为 P(A|B)。

2. 事件 A 与事件 B 同时发生的概率，称为事件 A 与事件 B 的交集的概率，记为 P(A∩B)。

那么，条件概率公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A∩B) 表示事件 A 与事件 B 的交集的概率，而 P(B) 表示事件 B发生的概率。

这个公式可以解释为：在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率等于事件 A 与事件 B 同时发生的概率除以事件 B 发生的概率。

例如，假设我们想要计算在一批学生中，男生与喜欢足球的学生的交集的概率。

假设这个批次的总人数为 N，其中男生的人数为 M，喜欢足球的人数为K。

那么，我们可以使用条件概率公式计算：P(男生且喜欢足球) = P(喜欢足球|男生) * P(男生)其中，P(喜欢足球|男生) 表示在已知这些学生是男生的情况下，喜欢足球的学生所占的比例。

而这个比例可以通过在这批学生中数一数同时满足这两个条件的学生数目，并将它除以男生的人数 M 来计算。

即：P(喜欢足球|男生) = K / MP(男生) 表示这些学生中男生所占的比例，即 M / N。

那么，根据条件概率公式，我们得到：P(男生且喜欢足球) = (K / M) * (M / N) = K / N这个结果表示，在这批学生中，男生与喜欢足球的学生的交集的概率等于喜欢足球的学生所占的比例（K / N）。

另外，条件概率公式还可以进一步推广到多个事件的情况。

例如，如果我们想要计算在事件 B 和事件 C 同时发生的条件下，事件 A 发生的概率，可以使用以下公式：P(A|B∩C) = P(A∩B∩C) / P(B∩C)其中，P(A∩B∩C) 表示事件 A、事件 B 和事件 C 的交集的概率，P(B∩C) 表示事件 B 和事件 C 同时发生的概率。

条件概率公式

条件概率公式条件概率（conditional probability）就是事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。

条件概率表示为P（A|B），读作“在B条件下A的概率”。

联合概率表示两个事件共同发生的概率。

A与B的联合概率表示为或者或者。

边缘概率是某个事件发生的概率。

边缘概率是这样得到的：在联合概率中，把最终结果中不需要的那些事件合并成其事件的全概率而消失（对离散随机变量用求和得全概率，对连续随机变量用积分得全概率）。

这称为边缘化（marginalization）。

A的边缘概率表示为P （A），B的边缘概率表示为P（B）。

需要注意的是，在这些定义中A与B之间不一定有因果或者时间序列关系。

A可能会先于B发生，也可能相反，也可能二者同时发生。

A可能会导致B的发生，也可能相反，也可能二者之间根本就没有因果关系。

例如考虑一些可能是新的信息的概率条件性可以通过贝叶斯定理实现。

（1）条件概率定义设A, B是两个事件，且P(A)>0 称P(B∣A)=P(AB)/P(A)为在条件A下发生的条件事件B发生的条件概率。

（2）乘法公式设P(A)>0 则有P(AB)=P(B∣A)P(A)（3）全概率公式和贝叶斯公式定义设S为试验E的样本空间，B1, B2, …Bn为E的一组事件，若BiBj≠Ф, i≠j, i, j=1, 2, …,n;B1∪B2∪…∪Bn=S则称B1, B2, …, Bn为样本空间的一个划分。

定理设试验E的样本空间为，A为E的事件，B1, B2, …,Bn为的一个划分，且P(Bi)>0 (i=1, 2, …n)，则P(A)=P(A∣B1)P(B1)+P(A∣B2)+ …+P(A∣Bn)P(Bn)称为全概率公式。

定理设试验俄E的样本空间为S，A为E的事件，B1, B2, …,Bn为的一个划分，则P(Bi∣A)=P(A∣Bi)P(Bi)/∑P(B｜Aj)P(Aj)=P(B｜Ai)P(Ai)/P(B)称为贝叶斯公式。

条件概率条件分布条件期望

（2）无放回抽样
YX
01
02
2
77
12
1
7
7
二、连续型随机变量旳条件分布
条件分布函数 FX Y (x y)
条件分布是指在一个随机变量取某个确定值的条件下,另一个随机变量的分布 , 即 FX Y ( x y) P{ X x Y y} .
由于P{Y y}可能为零(连续型时一定为零 ).故直接用条件概率来定义时 ,会出现分母为零 . 因此,在条件分布中,作为条件的随机变量的取值是确定的数.
y}.
定义设二维随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度为
f ( x, y),( X ,Y ) 关于 Y 的边缘概率密度为 fY ( y).若
对于固定的
y,
fY ( y) 0, 则称
f ( x, y) 为在Y fY ( y)
y
的条件下 X 的条件概率密度,记为
f (x, y)
f (x y)
.
XY
fY ( y)
条件分布函数与条件密度函数旳关系
x
x
FX Y ( x y)
fX Y ( x y)d x
[ f (x, y)
fY ( y)]d x.
y
y
FY X ( y x)
fY X ( y x)d y
[ f (x, y)
f X ( x)]d y.
阐明
联合分布、边沿分布、条件分布旳关系如下
联合分布
边沿分布条件分布
联合分布
例3 设( X ,Y ) 在区域 x2 y2 1 上服从均匀分布,求件概率密度 fX Y ( x y).
解由题意知随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度为

条件概率

全概率公式
设B1,B2,…,Bn是n个互不相容的事
n
件,且 P(Bi)>0 (i=1,2,…,n) ,若 A
则 P ( A) P ( Bi ) P ( A | Bi )
i 1 n

i1
Bi
A AB
1
AB
2
AB
B2
n
B1
A B3
P ( A)
P ( B ) P ( A| B
0 . 02 0 . 3 0 . 01 0 . 5 0 . 01 0 . 2 0 . 013 .
例6 两批相同种类的产品各有十二件和十件,每批产品中各有一件废品,现在先从第一批产品中任取一件放入第二批中,然后再从第二批中任取一件,求这时取到废品的概率解: A:“取到废品” B:“从第一批中取到的是废品” 有,
而且，前面对概率所证明的一些重要性质都适用于条件概率.
P ( A1 A 2
B ) P ( A1 B ) P ( A 2
B ) P ( A1 A 2
B)
P(A
B) 1 P(A B)
P ( A1 A 2
B ) P ( A1 B ) P ( A1 A 2
B)
4. 条件概率的计算 1) 用定义计算:
P ( A | B) P ( AB) P ( B) ,
P(B)>0
掷骰子 2)从加入条件后改变了的情况去算
例：A={掷出2点}， B={掷出偶数点} 1
P(A|B）=
3
B发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中A所含样本点个数
例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问 “掷出点数之和不小于10”的概率是多少? 解: 设A={掷出点数之和不小于10}

条件概率知识点

条件概率知识点一、条件概率的定义。

1. 概念。

- 设A、B为两个事件，且P(A)>0，称P(BA)=(P(AB))/(P(A))为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。

- 例如，扔一个骰子，事件A为“骰子的点数为偶数”，P(A)=(3)/(6)=(1)/(2)，事件B为“骰子的点数小于4”，AB表示“骰子的点数为2”，P(AB)=(1)/(6)。

那么在A发生的条件下B发生的条件概率P(BA)=(P(AB))/(P(A))=(frac{1)/(6)}{(1)/(2)}=(1)/(3)。

2. 性质。

- 非负性：对于任意事件B，A（P(A)>0），有P(BA)≥slant0。

- 规范性：P(ΩA) = 1，这里Ω是样本空间。

- 可列可加性：如果B_1,B_2,·s是两两互不相容的事件，则P(bigcup_i =1^∞B_iA)=∑_i = 1^∞P(B_iA)。

二、条件概率的计算方法。

1. 公式法。

- 直接根据定义P(BA)=(P(AB))/(P(A))计算。

- 例如，有一批产品共100件，其中次品10件，从中不放回地抽取两次，每次取一件。

设事件A为“第一次取到次品”，P(A)=(10)/(100)=(1)/(10)；事件B为“第二次取到次品”。

AB表示“第一次和第二次都取到次品”，P(AB)=(10)/(100)×(9)/(99)=(1)/(110)。

那么P(BA)=(P(AB))/(P(A))=(frac{1)/(110)}{(1)/(10)}=(1)/(11)。

2. 缩减样本空间法。

- 当直接计算P(AB)和P(A)比较复杂时，可以考虑缩减样本空间。

- 还是以上面抽取产品的例子，在A发生的条件下，即第一次已经取到了次品，此时样本空间就缩减为99件产品，其中次品还有9件，所以P(BA)=(9)/(99)=(1)/(11)。

三、条件概率的乘法公式。

1. 公式。

- 由P(BA)=(P(AB))/(P(A))可得P(AB)=P(A)P(BA)（P(A)>0）。

概率论基础3——条件概率

一、条件概率生活中很多概率都是在某些特殊条件下的概率。

比如你想知道你在家感染新冠的概率，这是取决于很多方面的，比如，政策有没有放开、是否位于高风险区等等。

只有在这些条件的限制下，我们才能较为准确的求出你想知道的概率。

基本概念：设A，B是随机试验E的两个随机试验，且P(B)>0，称P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} 为在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率。

韦恩图：上面A、B分别有两个椭圆，代表了他们的事件范围。

我们想要求在B的条件下A发生的概率，那么直观上分母应该是P(B)，因为条件是事件B就相当于要以事件B作为基础；而由于事件B的限制，事件A中不属于B的部分应该被舍去，它们不在B的控制之下。

所以也很容易理解，分子是A和B的和事件（交集）的概率。

性质条件概率也属于概率，所以它也满足概率的基本性质，只不过会有所改变。

（1）对于每一事件A，0≤P(A|B)≤1（2） P(\Omega|B)=1（3）若A_1,A_2,……,A_n 互不相容，则P(\bigcup_{i=1}^{m} A_i|B)=\sum_{i=1}^mP(A_i|B) （4） P(A|B)+P(\overlineA|B)=1（5）容斥原理： P(A\bigcup B|B)=P(A|B)+P(B|B)-P(AB|B)二、乘法公式在上文我们知道条件概率的公式为： P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} 。

那如果我们此时知道P(B)和P(A|B)，相求P(AB)，可以通过移项转化成下列公式： P(A|B)P(B)=P(AB)同理，我们也可以得到： P(B|A)P(A)=P(AB) 这两个公式我们称其为乘法公式。

上面两个式子在实际计算中要根据问题灵活选择。

我们也可以将其拓展到n个事件中：P(A_1A_2…A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_2A_1)…P(A_n|A_n…A_2A_1) 我们可以这样理解：$P(A_1)$是假设A1正确，$P(A_2|A_1)$是假设A1正确的情况下A2正确，以此类推三、全概率公式有限划分基本概念：设 \Omega 为随机试验E的样本空间，B1，B2 ，…，Bn为E的一组事件，若(1) Bi∩Bj =f ,i ≠ j(2) B_1∪B_2 ∪…∪B_n=\Omega则称B1，B2，…，Bn 为 \emptyset 的一个有限划分，或称完备事件组。

《条件概率》课件

在机器学习中的应用
01
分类器设例如，朴素贝
叶斯分类器就是基于条件概率的分类器之一，它可以根据已知特征的概
率分布来预测未知样本的类别。
02
聚类分析
在聚类分析中，条件概率可以帮助我们确定不同数据点之间的相似性或
差异性。例如，基于密度的聚类算法可以利用条件概率密度函数来评估
数据点之间的相似性或差异性。
03
强化学习
在强化学习中，条件概率可以帮助我们确定在不同状态下采取不同行动
的概率。例如，Q-learning算法可以利用条件概率来评估在不同状态下
采取不同行动的期望回报。
04 条件概率的实例分析
抛硬币实验的条件概率分析
总结词：直观理解
详细描述：通过抛硬币实验，理解条件概率的概念。假设硬币是均匀的，那么正面朝上的概率是0.5。在硬币已经连续出现几次正面朝上的情况下，下一次抛掷仍然是正面朝上的概率仍然是0.5，即条件概率不变。
全概率公式与贝叶斯公式
总结词
全概率公式和贝叶斯公式是条件概率的两个重要公式，全概率公式用于计算一个事件的概率，而贝叶斯公式则用于更新一个事件的概率。
VS
详细描述
全概率公式将一个事件的概率分解为若干个互斥事件的概率之和，而贝叶斯公式则是在已知先验概率和新信息的情况下，更新一个事件的概率。这两个公式在统计学、机器学习和数据分析等领域有着广泛的应用。
B
题目2答案与解析
出现一个正面和一个反面的概率为0.75。解析：出现一个正面和一个反面意味着出现 HH、HT、TH、TT四种情况中的三种，其
D
概率为C(2,1) / C(2,2) * C(2,1) / C(2,2) =
3/4。

条件概率及全概率公式

求解如下: 设B={飞机被击落} Ai={飞机被i人击中}, i=1,2,3
则 B=A1B+A2B+A3B
由全概率公式 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)
+ P(A3)P(B |A3)
依题意，
P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1
为求P(Ai ) , 设 Hi={飞机被第i人击中}, i=1,2,3 可求得:
而且每一原因对结果的影响程度已知，
即 PB An 已知
则我们可用全概率公式计算结果发生的概率．
即求 PB
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例1 有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的. 其中甲厂产品占50%,乙厂产品占30%,丙厂产品占 20%,甲厂产品中正品率为95%,乙厂产品正品率为 90%,丙厂产品正品率为85%,如果从这批产品中随机抽取一件,试计算该产品是正品的概率多大?
有可能结果构成的集合就是B，
B中共有3个元素，它们的出现是等可能的，其中只有1个在集A中，
于是P(A|B)= 1/3. 容易看到
P(A|B) 1 1 6 P( AB) 3 3 6 P(B)
又如，10件产品中有7件正品，3件次品， 7件正品中有3件一等品，4件二等品. 现从这 10件中任取一件，记
例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点, 问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少解? : 设A={掷出点数之和不小于10}
B={第一颗掷出6点}
应用定义
解法1: P( A | B) P( AB) 3 36 1 P(B) 6 36 2
解法2: P( A | B) 3 1 62
PAnB PAn PB An

条件概率有关条件概率的三个重要计算公式

第二周条件概率和独立性2.2条件概率有关条件概率的三个重要计算公式上一讲中我们引入了条件概率，有了这一概念，我们对事件的表达就有了更丰富的工具。

下面我们就希望能够有效地计算条件概率，得到我们想要的概率结果。

对于条件概率而言呢，主要有三个计算公式，分别是乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式。

这三个计算公式的应用贯穿概率论的始终，是非常基本和重要的计算工具。

下面我们看第一个乘法公式。

*********************************************************乘法公式（1）设B A ,是两个事件，()0>B P ，则()()()B A P B P AB P |=证明：()()()()()()||P AB P A B P AB P B P A B P B =⇒=（2）设n A A A ,,,21 为n 个事件，且()0121>-n A A A P ，则()()()()()12121312121|||-⋅⋅=n n n A A A A P A A A P A A P A P A A A P 。

证明：数学归纳法，设()()()()111211||-⋅⋅=k k k A A A P A A P A P A A P ，()()()1112112|k k k kP A A P A A A P A A A A ++=⋅ ()()()121112||.k k P A P A A P A A A A +=⋅⋅ 直接验证：()()()()121312121|||n n P A P A A P A A A P A A A A -⋅⋅ ()()()()()()()12312121112121n n P A A A P A A A P A A P A P A P A A P A A A -= ()12.n P A A A =*********************************************************例2.2.1设箱子内有a 个白球，b 个黑球，在其中不放回地连取3次，问前2次取到白球而第3次取到黑球的概率。

条件概率

§ 1.4 条件概率一、条件概率条件概率的直观定义：设有事件A ，B ，P （A ）>0，在事件A 发生的条件下，B 发生的概率称为条件概率。

记为P （B|A ）条件概率的性质i i j i i i 1i 11P(|A)12P(|)13i=12,i j,P(|)P(|)B S A B B A B A φ∞∞==≤≤=≠=∑（）非负性：0；（）规范性： =；（）可列可加性；若B ，，，....，且B 则有；以上是三条基本性质，象前面一般概率一样也可推出以下性质：(1)P(|)0A φ=i i j nn i i i 1i 1i=12,i j,P(|)P(|)B B A B A φ===≠=∑（2）有限可加性；若B ，，，....，且B 则有；(3)P(|A)1P(|)()B B A =-重要公式(4)A B P{(B-A)|C}P(B|C)P(A|C)⊂=-（减法公式）若，则(5)P{(A+B)|C}P(A|C)P(B|C)P(AB|C)=+-（一般加法公式）n ni i i j i=1i 11i j n n 1i j k 12n 1i j k n (6)(P(A |B)P(A |B)P(A A |B)P(A A A |B)...........(1)P(A A .......A |B)=≤<≤-≤<<≤=-+-+-∑∑∑∑多除少补原理）二、乘法公式将条件概率公式 P (A B )P (A |B )P (B )= 改写 P(AB)P(B)P(A|B)=称为乘法公式利用结合律推出多个事件的乘法公式：三个事件积的乘法公式 123P (A A A )12312P (A A )P (A |A A )= 312=P()P()P(A |A A )１２１ＡＡ｜Ａn 个事件积的乘法公式123n 1213123123n 123n-1P(A A A .........A )(A )(A |A )(A |A A )(A |A A A )......(A |A A A .........A )P P P P P =⋅三、全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用。

高中概率公式

高中概率公式
高中概率公式主要有：
1. 概率的基本性质：
P(A)+P(B)=1-P(AB)。

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。

P(A)P(B)=P(AB)。

2. 互斥事件的概率：
两个事件不可能同时发生，则称这两个事件为互斥事件。

两个互斥事件的概率满足：P(A∪B)=P(A)+P(B)。

3. 条件概率：
条件概率是指在某个条件C发生的情况下，另一个事件A发生的概率，记作P(AC)。

条件概率的计算公式为：P(AC)=P(AC)/P(C)。

4. 独立事件的概率：
两个事件相互独立是指一个事件的发生与另一个事件是否发生无关。

独立事件的概率乘法公式为：P(A∩B)=P(A)×P(B)。

5. 二项分布概率：
二项分布是一种离散概率分布，描述了在n次独立的是/非试验中成功的次数的概率分布。

二项分布的概率计算公式为：P(X=k)=C(n,k)p^k×(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)表示组合数，即从n个不同元素中选取k个元素的组合方式数。

6. 正态分布概率：
正态分布是一种连续概率分布，描述了随机变量的分布情况。

正态分布的概率密度函数为f(x)=1/(σ√2π)e^(-(x-μ)^2/2σ^2)，其中μ是均值，σ是标准差。

7. 贝叶斯公式：
贝叶斯公式用于计算在已知某些证据的情况下，某个事件发生的概率。

贝叶斯公式为：P(AB)=P(BA)×P(A)/P(B)。

条件概率和全概率公式

高二第11讲条件概率和全概率公式【知识要点】1．事件A 与事件B 互斥：()()()P A B P A P B +=+2．事件A 与事件B 对立：()()()1P A B P A P B +=+=3．事件A 与事件B 相互独立：()()()P AB P A P B =4．条件概率：在事件A 发生的条件下事件B 发生的概率()(/)()P AB P B A P A =；5．全概率公式：设12,n A A A ⋅⋅⋅，,为一组两两互斥的事件，12n A A A ⋃⋃⋅⋅⋅⋃=Ω，且()0i P A >，(1,2,,i n =⋅⋅⋅)，则对任意事件B ⊆Ω，有1()()()ni i i P B P A P B A ==∑；6．若事件12,,,n A A A ⋅⋅⋅彼此互斥，它们至少有一个发生的概率1212()()()()n n P A A A P A P A P A ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+.【古典概型】1．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(“”表示一根阳线，“”表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为（）1313. . . . 771414A B C D 2．某路公交在某段路上有4个站点(如图)，分别记为0123,,,A A A A ，现有甲、乙两人同时从0A 站点上车，且他们中的每个人在站点i A (1,2,3i =)下车是等可能的，则甲、乙两人不在同一站点下车的概率为()2331. . . . 3452A B C D 3．某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连，不管人的顺序），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为（）1111. . . . 102040120A B C D 4．如图，电路从A 到B 上共连接着6个灯泡，每个灯泡断路的概率是13，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从A 到B 连通的概率是()1044810040. . . . 2772924381A B C D【条件概率】5．从装有2个白球和2个黑球的口袋中任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）.A “至少有一个黑球”和“都是黑球”.B “至少有一个黑球”与“至少有一个白球”.C “恰好有一个黑球”和“恰好有两个黑球”..D “至少有一个黑球”和“都是白球”6．（2021新高考1卷8）有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和为8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为7”，则（）.A 甲与丙相互独立.B 甲与丁相互独立..C 乙与丙相互独立.D 丙与丁相互独立7．（多选题）设,A B 是两个随机事件，则正确的是（）.A 若,A B 是互斥事件，1()3P A =，1()2P B =，则1()6P A B ⋃=.B 若,A B 是对立事件，则()1P A B ⋃=..C 若,A B 是独立事件，1()3P A =，2()3P B =，则1()9P AB =..D 若1(3P A =，1(4P B =，则1()4P AB =，则,A B 是独立事件.8．根据历年气象统计资料，某市5月份吹南风的概率是1031，下雨的概率是1231，既吹南风又下雨的概率是731，则在吹南风的条件下，下雨的概率是()57710. . . . 6101231A B C D 9．先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别有1,2,3,4,5,6六个点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为,x y ，记事件A 为“x y +为偶数”，事件B 为“,x y 中有偶数且x y ≠”，则概率(/)P B A =()1112. . . . 2345A B C D10．某篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为34，若他前一球没投进则后一球投进的概率为14，若他第一球投进的概率为34，则他第二球投进的概率为()3579. . . . 481616A B C D 11．已知事件,,A B C 相互独立，()()()P A P B P C ==，26()27P A B C ⋃⋃=，则()P A =；12．盒中有a 个红球，b 个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c 个，再从盒中第二次抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是；13．人群中患肺癌的概率是0.1%，在人群中有15%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.5%，则不吸烟者中患肺癌的概率是；（用分数表示）（202304湖南名校联盟13）14．证明：(|)(|)(|)(|)(|)(|)(|)(|)P B A P B A P A B P A B P B A P A B P A B P B A ⋅=⋅ ；（2022高考卷20（2））15．在三棱锥A BCD -中，, BCD ACD ∆∆都是边长为2的正三角形，侧棱3AB =，对其四个顶点随机贴上写有数字1—8的8个标签中的4个，记对应的标号为()f η，（η的取值为,,,A B C D ），E 为侧棱AB 上一点。

概率1-3

三、全概率公式与贝叶斯公式
定义2 Ω 为试验 E 的样本空间,B ,B2 ,…,Bn 是 E 的一组事件 ,若 1 (1) BBj = φ ( i ≠ j ) ( 2) B1 U B2 U…U Bn =Ω i 则称 B ,B2 ,…,Bn 为 Ω的一个划分 1
概率论
定理 2(全概率公式) 设试验 E 的样本空间为 Ω ,B ,B2 ,…,Bn 1 为 Ω 的个分 ,且 P( Bi ) > 0 ( i =1,2,…, n) ,则一划 P ( A) = P ( B1 ) P ( A | B1 ) + P ( B2 ) P ( A | B2 ) +L+ P ( Bn ) P ( A | Bn )
(1)
非性 : P( B | A) ≥ 0 负
( 2) ( 3)
∞ ∞ 可可性 : 设 B , B2 ,…两互 , 有P U Bi A = ∑P( Bi A) 列加两斥则 1 i=1 i=1
规性 : P( Ω A) =1 范
计算条件概率P(B|A)的两种方法：的两种方法：计算条件概率的两种方法（1）在新样本空间ΩA= A中计算）在新样本空间Ω 中计算
P( AB) 计算（2）在原样本空间Ω中，按 P(B | A) = ）在原样本空间Ω P( A)
概率论
例 2 3 例掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出点,问“掷出点数之和不掷两颗均匀骰子已知第一颗掷出6点问已知第一颗掷出小于10”的概率是多少的概率是多少? 小于的概率是多少现有甲乙丙三个犯人，随机选择一个处决，释放两个人，例现有甲乙丙三个犯人，随机选择一个处决，释放两个人，典狱长认为甲乙至少有一个被释放，狱长认为甲乙至少有一个被释放，从而先释放了甲乙中一你认为典狱长的做法对三个犯人公平吗？人，你认为典狱长的做法对三个犯人公平吗？袋中有2n-1个白球，2n个黑球，随机取个，发现是同一个白球，个黑球随机取n个个黑球，例袋中有个白球种颜色，问这种颜色是黑色的概率？种颜色，问这种颜色是黑色的概率？

条件概率知识点总结归纳

条件概率知识点总结归纳一、条件概率的基本概念1.1 条件概率的定义条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

它的数学表示为P(A|B)，读作“A在B条件下发生的概率”，其计算公式为P(A|B) = P(A∩B)/P(B)。

1.2 条件概率的意义条件概率是描述事件之间关联性的重要工具，能够揭示一个事件在另一事件发生的条件下的概率，反映了事件之间的相互依存关系。

在实际问题中，许多事件不是独立发生的，而是受到其他事件的影响，这时需要用到条件概率来进行分析和计算。

1.3 条件概率的性质条件概率具有以下性质：（1）非负性：条件概率始终大于等于0，即P(A|B) ≥ 0；（2）归一性：当总体空间Ω为有限集合时，有P(Ω|B) = 1；（3）加法公式：当事件A与B互斥时，有P(A∪B|C)=P(A|C)+P(B|C)；（4）乘法公式：当事件A与B独立时，有P(A∩B|C) = P(A|C) * P(B|C)。

二、条件概率的计算方法2.1 全概率公式全概率公式是指当事件B的发生是由于多个互斥事件引起时，可以利用这些事件与事件A的交集来计算事件A的概率。

全概率公式的表达式为P(A) = P(A|B1) * P(B1) + P(A|B2) *P(B2) + … + P(A|Bn) * P(Bn)，其中B1、B2、…、Bn为互斥事件，且并集为样本空间。

2.2 贝叶斯定理贝叶斯定理是用来计算在得到某一新信息后，原有的主观概率应该如何进行修正的方法。

2.3 独立性的条件概率当事件A与事件B相互独立时，有P(A|B) = P(A)，即事件B的发生并不影响事件A的发生概率。

条件概率解释

条件概率解释
条件概率是指在某一条件（或事件）发生的情况下，另一个事件发生的概率。

通常表示为 P(A|B)，其中 A 是事件，B 是条件。

条件概率的计算公式为：P(A|B) = P(AB) / P(B)。

其中，P(AB) 是事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(B) 是事件 B 发生的概率。

条件概率是一种概率推理，即通过已知的条件来推断另一个事件发生的可能性。

例如，在赌博中，已知某个玩家的手牌和赌场的规定，可以计算出该玩家赢的概率。

在自然语言处理中，条件概率也经常被使用。

例如，在自然语言生成中，给定前一个词或短语，计算下一个词或短语的概率；在文本分类中，给定某个特征，计算文本属于某个类别的概率等。