分式不等式、高次不等式

高次不等式、分式不等式
一、高次不等式
1.高次不等式的基本解法是：穿根法；
2.穿根法的基本思想：
1)画草图；
2)因式正负个数的影响。

3.穿根法步骤：
1)求根；能否求根是关键；
2)确定最高次系数的正负；
3)穿根：奇穿偶不穿。

二、分式不等式
1.分式不等式的解法基本思想：因式正负个数的影响；
2.基本方法：把分式不等式转化为整式不等式；
3.转化细节：注意同解变形：分母不能为0。

基本题型解法及易错点
一、高次不等式
1.因式已经分解好的，直接用穿根法；
2.未分解因式的：先分解因式，特别理解下面的分解方法：
1)猜根；
2)代数式相除。

二、分式不等式的几种类型
1.
()
()
f x
g x
>⇒()g()0
f x x
⋅>；
2.
()
()
f x
g x
≥⇒()g()0
f x x
⋅≥且()0
g x≠；
3.
()
()
()
f x
h x
g x
>（含()
h x k
=）⇒：
)
(
)]
(
)
(
)
(
[
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
>
-
⇒
>
-
⇒
>
-x
g
x
h
x
g
x
f
x
g
x
h
x
g
x
f
x
h
x
g
x
f
4.
()
()
()
f x
h x
g x
≥（含()
h x k
=）⇒：
)
(
)]
(
)
(
)
(
[
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
≥
-
⇒
≥
-
⇒
≥
-x
g
x
h
x
g
x
f
x
g
x
h
x
g
x
f
x
h
x
g
x
f
且0
)
(≠
x
g
三、含参的高次、分式不等式
1.解含参的不等式：
1）参数影响最高次的系数
①参数为零优先考虑
②参数为正
③参数为负
2）参数影响几个根之间的大小关系：
①解不等式，分情况比出各根的大小关系；
②结合参数对最高次系数的影响；
③参数出现根的分母中，切记分母不为0。

2.不等式的解确定：
1）最高次的系数的正负；
2）对应方程的根确定。

例题讲解
一、 高次不等式
例1：解(1)(2)(3)0x x x --->
解：
1） 对应方程的根为：1231,2,3x x x ===
2） 最高次的系数为：正
所以不等式的解为：3x >或12x <<。

例2：解23(2)(3)(1)0x x x ---<
解：
1） 对应方程的根：1231,2,3x x x ===
2） 方程根的重数：22x =二重根，33x =三重根
3） 最高次前的系数为：负
所以不等式的解为：1x <或3x > 。

1. 解下列不等式：
1） 2(2)(1)0x x +-+≤
2） 32(3)(24)(35)0x x x +-+≥
3） (1)(5)(1)0x x x -++-≤
4） 0)1()3()2(332≤+-+-x x x
5） 0)1)(23(3
22>-+-x x x x
例3：求不等式3
430x x -+≤的解
解：
1） 根据对应方程的系数关系知：1x =是方程的根；
2） 代数除法：233(1)43x x x x x +---+ 即：方程的根为123111,22
x x x --=== 3） 根的重数都为1
所以不等式的解为：x < 或1x << 2. 解下列不等式：
1） 32
2120x x -+≥
2） 37220x x ++<
3） 432330x x x +--≤ 二、 分式不等式
例1：求104
x x -<-的解 解：10(1)(4)04
x x x x -<⇒--<-，所以不等式的解为：14x << 例2：
11x ≥ 解：1110(0)(1)0(0)x x x x x x x
-≥⇒≥≠⇒-⋅≥≠ ，所以不等式解：01x <≤。

1. 解下列不等式
1） x
x 212> 2）
1023x x
-≤-
3） 0231<-x
4） 323x x
-> 5） 225
x x ≤-- 6） 221
x x ->-+ 例3：求解：
(23)(1)0(3)(4)x x x x -+≥-- 解：(23)(1)0(23)(1)(3)(4)0(3,4)(3)(4)
x x x x x x x x x x -+≥⇒-+--≥≠≠-- 不等式的解为：312
x -<<或34x << 例4：22230253
x x x x --≤-+ 解：222231(1)(3)(21)0(3,)2532
x x x x x x x x x --⇒+-+≤≠≠--- 不等式的解为：1x ≤-或12
x >- 且3x ≠ 注意：约分一定要跟上x 取值范围的变化，不然不是恒等变形。

2. 解下列不等式
1） (23)(34)0(2)(21)
x x x x -->-- 2） 222310372
x x x x ++>-+ 3） 224132
x x x x -≥+-+ 4）
1230123x x x +->---
三、 含参的高次、分式不等
例1：若不等式0(3)(1)
x a x x +>++的解是31x -<<-或2x > ,则a 的值为__ 解：由题意可知：0x a +=的根为2，所以2a =。

例2： 求解：1a x
≥ 解：10(0)()0(0)a a x x a x x x x x
-≥⇒≥≠⇒-⋅≤≠，对应方程两根：120,x x a == 则： 当0a >时，不等式的解为：0x <或x a ≥；
当0a =时，不等式无解；
当0a <时，不等式的解为：x a ≤或0x >。

例3：解22102
ax x x -+≤+(0)a ≥ 解：22210(2)(21)02
ax x x ax x x -+≤⇒+-+≤+ 当0a =时：(2)(12)0x x +-≤，解为：2x ≤-或12
x ≥
当0a ≠时，=44a ∆-
1） 当1a >时，=440a ∆-<，2210ax x -+>恒成立，原不等式的解：2x ≤-；
2） 当1a =时，=440a ∆-=，原不等式的解：2x ≤-或1x =
3） 当01a << 时，2210ax x -+=的两根为：12x x == 1212120,0x x x x a a
=>+=>，所以122x x -<<，即原不等式的解为：
2x ≤-或
11x a a
+≤≤ 。

1. 若不等式(1)(2)0(3)
a x x x --≤-的解为12x ≤≤或3x >，求a 的取值范围。

2. 若不等式()(2)(1)0x a x bx +++<的解为2x <-或01x <<，求,a
b 的值。

3. 解下列不等式：
1）21
()10x a x a -++≥
2）2(1)1
(0)1a x x a ax +->>+
3）(1)
102k x x -+<-
课后练习
1. 求解下列不等式
2）23(34)(1)(2)0x x x ++-≤
3）22(1)(23)(1)(2)0x x x x x x -++-+->
4) 3210x x -+≤
5) 43223510x x x x ++--≥
2. 求解下列不等式
1) 2431
x x +>- 2) 130234
x x +<+- 3) 22410234
x x x x -+≤+- 4)
2223043x x x x -->++ 3. 已知不等式(1)(2)(3)0ax x x ++->的解为2x <-或3x >，则a =
4. 已知不等式2(1)(1)0ax x x +++>的解为1x >-，求a 的取值范围。

5. 解下列不等式
1) 10(3)(1)
ax x x ->+- 2) 22301ax x a x -+
<+
3) 22
2101(1)(1)x ax a ax x a
-+--≤+--。