青岛版数学初三上册教案第二章解直角三角形《解直角三角形的应用》教案
青岛版九年级数学上册《解直角三角形》教案
《解直角三角形》教案 一、学习目标 1.理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角比解直角三角形；2.通过解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；3.渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯.二、重点难点重点：1.直角三角形的解法.难点：1.三角比在解直角三角形中的灵活运用.疑点：1.学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边.三、自学指导（一）回顾总结1.在三角形中共有几个元素？2.在Rt ABC 中，90C ∠=，a b c ∠∠、、、A 、B 这五个元素间有哪些等量关系呢？① 角之间的关系： .② 边之间的关系： .③ 边角之间的关系：sin A = ，cos A = ，tan A = .说明：利用这些关系，如果知道直角三角形的两个元素（至少有 ），就可以求其他的元素了.3.解直角三角形的定义：叫做解直角三角形. 四、典型例题【例1】根据下列条件解直角三角形.① 在Rt ABC 中，90C ∠=，5,52a c ==；② 在Rt ABC 中，90C ∠= ，6,23a b ==； ③ 在Rt ABC 中，90C ∠= ，43,60c A =∠= ；④ 在Rt ABC 中，90C ∠= ，15,30b A =∠= .【例2】如图所示，在ABC 中，60,45,8A B AB ∠=∠== .求ABC 的面积（结果可保留根号）.【变式1】如图所示，在ABC 中，60,45,20A B AC ∠=∠== 厘米.求AB 的长.【变式2】请你画出一个以BC 为底边的等腰ABC ，使底边上的高AD BC =.① 求tan B 和sin B 的值；② 在你所画的等腰ABC 中，若5BC =，求腰上的高BE .五、对应训练1.在ABC 中，90C ∠=，已知A ∠和斜边c ，可用关系式 求出B ∠，可用关系式 求出a ，已知a 和c ，可用关系式 求出b .2.在ABC 中，90C ∠= ，30B ∠= ，23BC =,则AB 的长为 .3.如图，在ABC 中，90C ∠= ，410,sin 5AB cm A ==，则BC 的长为 cm . 4.已知Rt ABC 中，斜边AB 的长为m ，40B ∠= ，则直角边BC 的长是（ ）A .sin 40mB .cos 40mC .tan 40mD .tan 40m B A C5.在Rt ABC 中，90C ∠=，则下列各组等式中正确的是（ ） A .tan ,sin a a b B c B ==B .,tan cos b a a c B B ==C .,sin tan b a c a B B== D .tan ,cos A b B c a B == 6. 在Rt ABC 中，90,ACB CD AB ∠=⊥ 于点D ,已知5,2AC BC ==,那么sin ACD ∠的值为（ ）A .53B .23C .255D .527.等边三角形的高为a ，则它的边长为（ ）A .33aB .233aC .32a D .2a 8.如图所示，以直角坐标系的原点O 为圆心，以1为半径作圆，若点P 是该圆上第一象限内的一点，且OP 与x 轴正方向的夹角为α，则点P 的坐标是（ ）A .(cos ,1)αB .(1,cos )αC .(sin ,cos )ααD .(cos ,sin )αα9.在ABC 中，330,tan ,232A B AC ∠=== ，求AB 的长.10.如图，在Rt ABC 中，90C ∠= ，23,6AC BC ==,解这个直角三角形.六、当堂检测1.在ABC 中，30,1,3,2B AC BC AB ∠==== ,则A ∠为（ ）A .60B .45C .30D .无法求A ∠2.如图所示是教学用直角三角板，边330,90,tan 3AC cm C BAC =∠=∠= ，则边BC 的长为（ ） A . 303cm B .203cm C .103cm D .53cm3.如图所示，在等腰Rt ABC 中，若90C ∠= ，6,AC D =是AC 上一点，若1tan 5DBA ∠=，则AD 长为（ ） A .2 B .3 C .2 D .1第6题图4.如图所示，在梯形ABCD 中，458AD BC B AB ∠=∠= ∥，，C=120，，则CD 的长为（ ）A .863B .46C .823D .42 5.如图所示，两条宽度为1的纸条相交成α角，那么重叠部分（阴影部分）的面积是（ ） A .1 B .1sin α C .21cos α D .1cos α6. 在等腰ABC 中，一腰上的高线长为3，这条高与另一腰的夹角为30 ，则ABC 的面积为 .7.如图所示，在Rt ABC 中，90C ∠= ，8AC =,A ∠的平分线1633AD =,则BC = . 8.时代中学计划在如图所示的一块三角形空地上种植草皮，已知1502030A AB m AC m ∠=== ，，，每平方米草皮的售价为a 元.购买这种草皮至少需要多少元？第5题 第7题 第3题 第4题。
2019九年级数学上册第二章解直角三角形2.4《解直角三角形》教案(新版)青岛版
《解直角三角形》教学目标知识与技能1．理解直角三角形中5个元素的关系．2．会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．数学思考与问题解决经历解直角三角形的过程，概括出解直角三角形的方法，提高分析问题、解决问题的能力．情感与态度在教学活动中，激励学生积极参与，独立思考，能将自己的收获与同伴分享，培养互助合作的团队精神．重点难点重点：直角三角形的解法．难点：正确选用边、角关系求解．教学设计一、创设情境，引入新知出示问题：在直角三角形中，有3条边、3个角共6个元素，你能根据所学，谈谈它们之间的关系吗？教师提出间题，引起学生思考，然后小组内讨论回答．二、自主探究，合作交流1．回顾汇总．教师根据学生的回答归纳：(1)三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理)；(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；(3)边角之间的关系：正弦函数sin A=ac，余弦函数cos A=bc，正切函数tan A=ab．以上三点是解直角三角形的依据，熟知后运用．教师提出问题，学生思考回答(引问：边与边、角与角、边与角之间的关系)．学生尝试总结回答，教师讲评汇总．2．新知探索．探究：在Rt△ABC中，∠C=90°，教师提出问题引导学生思考分析，并作简要评价．教师引导学生归纳总结，理解解直角三角形的方法．(1)若∠A=30°，AB=10，你能求出这个三角形中的其他元素吗？⑵若AB=10，BC=5，你能求出这个三角形中的其他元素吗？(3)若∠A=30°，∠B=60°，你能求出这个三角形中的其他元素吗？(4)在直角三角形中知道几个元素就可以求出其他元素？学生思考回答，注意解题过程中方法的多样性．(只探讨方法，不解出结果)归纳：(1)在直角三角形的6个元素中，除直角外的5个元素，只要知道两个元素(其中至少有一条边)，就可以求出其余的三个元素；(2)在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形；(3)解直角三角形，只有下面两种情况．①已知两条边；②已知一条边和一个锐角．教师引导学生归纳总结，理解解直角三角形的方法．三、运用知识，体验成功1．例题精讲．例1 在Rt△ABC中，已知∠C=90°，a=17.5，c=62.5.解这个直角三角形.例2 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，a=5，解直角三角形．教师就学生分析简要评价，学生板演解题过程，注意规范性．分析：本题是解直角三角形的基本题型，即已知一边一锐角，根据“无斜选切”的原则，可先求出b，再利用∠A的正弦或勾股定理求出c．例3 如图，在△ABC中，AC=8，∠B=45°，∠A=30°．求AB．分析：因为△ABC不是直角三角形，因此，我们应设法构造直角三角形来解．教师分析，引导学生如何将一般三角形转化为直角三角形．在学生完成的基础上，教师板书解题过程，并归纳如何将斜三角形转化为直角三角形的方法——过三角形的一个顶点作高．四、总结提髙1．师生小结．本节学习了哪些内容？你有哪些认识和收获？。
2.5 解直角三角形的应用 教案- 2022-2023学年青岛版九年级数学上册
2.5 解直角三角形的应用教案- 2022-2023学年青岛版九年级数学上册一、教学目标1.理解直角三角形概念及性质；2.掌握利用三角比解各种实际问题的方法；3.能够解决与直角三角形相关的实际问题；4.培养学生分析和解决问题的能力。
二、教学重点1.理解直角三角形的定义及性质；2.掌握利用正弦定理、余弦定理和正切定理解决实际问题；3.培养学生分析和解决问题的能力。
三、教学内容1. 直角三角形的定义及性质直角三角形是指有一个角为直角（90度）的三角形。
直角三角形的性质包括：•斜边：直角三角形的斜边是直角的边；•直角边：直角三角形的直角边是和直角相邻的两条边；•定理：勾股定理，即“直角三角形的斜边的平方等于直角边的平方之和”。
2. 解直角三角形的方法解直角三角形的方法包括利用正弦定理、余弦定理和正切定理。
•正弦定理：在任意一个三角形中，三角形的三条边和与这些边对应的角的正弦之比是相等的。
•余弦定理：在任意一个三角形中，三角形的三条边和与这些边对应的角的余弦之比是相等的。
•正切定理：在任意一个直角三角形中，直角边和与这个直角边相邻的锐角的正切之比是相等的。
3. 利用直角三角形解决实际问题直角三角形的应用非常广泛，可以用于解决实际问题。
例如：•使用直角三角形解决测量问题：通过测量一个直角三角形的两个已知边长，可以计算出第三条边的长度；•使用直角三角形解决高度或距离问题：可以通过测量一个直角三角形中的某个角度和一条边的长度，来计算出另一条边的长度；•使用直角三角形解决斜面问题：可以通过计算斜面的倾斜角度和高度，来计算斜面的长度或高度。
四、教学步骤1.引入直角三角形的概念及性质，示例说明直角三角形的特点；2.介绍正弦定理、余弦定理和正切定理的原理和应用场景；3.示范教学：通过几个典型的直角三角形应用问题，演示解题步骤及方法；4.学生练习：将学到的知识应用到实际问题中，进行个别或小组练习；5.整理归纳：让学生总结直角三角形解题的方法和技巧；6.拓展练习：提供多个其他类型的直角三角形题目，让学生继续练习和巩固。
青岛版数学九年级上册2.5《解直角三角形的应用》教学设计
青岛版数学九年级上册2.5《解直角三角形的应用》教学设计一. 教材分析《解直角三角形的应用》是青岛版数学九年级上册第2.5节的内容。
本节主要让学生掌握解直角三角形的应用，会运用正弦、余弦、正切函数解决实际问题。
教材通过生活实例，引导学生运用数学知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本知识，对直角三角形有一定的了解。
但学生在解决实际问题时，往往不能将数学知识与实际问题相结合。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将数学知识运用到实际问题中，提高学生的数学应用能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握解直角三角形的应用，会运用正弦、余弦、正切函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过生活实例，引导学生运用数学知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极解决实际问题的意识。
四. 教学重难点1.重点：让学生掌握解直角三角形的应用。
2.难点：如何引导学生将数学知识与实际问题相结合，提高学生的数学应用能力。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生运用数学知识解决实际问题。
2.启发式教学法：教师提问，引导学生思考，激发学生的学习兴趣。
3.小组合作学习：让学生在小组内讨论问题，培养学生的合作意识。
六. 教学准备1.教师准备：备好相关的生活实例，制作PPT，准备讲解和解题示范。
2.学生准备：预习相关知识，了解直角三角形的基本概念。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个生活实例引入课题，如测量楼房的高度。
让学生思考如何运用数学知识解决这个问题。
2.呈现（10分钟）教师呈现一些实际问题，让学生尝试用解直角三角形的方法解决。
如给出一个直角三角形，其中一个锐角为30度，斜边为10米，求另一直角边的长度。
3.操练（10分钟）学生独立解决呈现的问题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）教师引导学生总结解直角三角形的步骤和方法，让学生加深对知识的理解。
九年级数学上册第2章解直角三角形2.5解直角三角形的应用教案3青岛版(最新整理)
解直角三角形的应用教学目标1.知道坡角、破比（坡度）的意义。
2.能将有关实际问题转化为解直角三角形的问题.3.培养严谨致学的学习态度。
教学重点与难点将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间关系进行解题.教学过程一、知识回顾解决直角三角形的应用思路。
1。
把实际问题转化为解直角三角形的问题，关键是找出实际问题中的＿＿＿＿＿＿＿＿，直角三角形＿＿＿＿＿＿＿之间的关系,是解决与直角三角形有关的实际问题的重要工具.2。
解答过程的思路：转化实际问题解直角三角形的问题问题答案求出有关的边或角二、探究新知（一)学习坡角和坡比（坡度）的定义.从爬山引入：有的山坡很陡，有的山坡比较缓，那么我们如何从数量上来描述山坡的陡的程度呢？比较上面两个斜坡，给出坡度的定义.定义：坡面的铅垂高度(h ）与水平宽度（L ）的比叫做坡面的坡度（或坡比),记作,i 即L h i =. 坡度通常写成1∶m 的形式。
定义:坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α。
坡度与坡角的关系：tg L h i ==α。
问：根据定义，你能用坡度来刻画斜坡的倾斜、即陡的程度吗？答：坡度越大，坡面越陡。
小练习：1.斜坡的坡度是31：，则坡角α=_____度。
2。
斜坡的坡角是450 ，则坡比是 _______。
3。
斜坡长是12米，坡高6米,则坡比是_______。
4.在一次军事训练中，有一辆坦克准备通过如图的一座小山，AC 为1000米，BC 为400米，如果这辆坦克能够爬300 的斜坡，试问：它能不能通过这座小山？hL α能爬过.那么反过来，你能利用我们今天学习的知识来阻止坦克爬过这个斜坡吗?（二)有关坡角与坡比（坡度）的实际应用学生分组讨论以下问题：梯形的常用辅助线的作法之一是作高，其目的是什么？找出题目中的已知量，未知量，并在图中标示出来。
（3）说一说坡度5.2:1,3:1==i i 在本题中的含义？（4）写出解答过程，同桌互查互纠.变式训练1.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m,坝高20m,斜坡AB 的坡度 i=1∶3 ，斜坡CD 的坡度i=1∶1。
最新青岛版九年级上册数学第2章解直角三角形全章教案
课题§2.1 锐角三角比课型 新授讲学 目标 1.通过实例明确并认识锐角三角比的概念； 2.正确理解三角比符号的含义，掌握锐角三角比的表示方法； 3.能根据定义求锐角的三角比。
教学 重点难点 1.帮助学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值、对边与邻边的比值都是定值这一事实．2.正弦、余弦、正切概念的建立及表示教学过程二次备课一． 学前准备1、 如图，在Rt △ABC 中，指出斜边是 ∠A 的对边是 ∠B 的邻边是 2.如图：Rt △ABC 中，∠C ＝90º，D 、M 为斜边AB 上两点，且DE ⊥AC 于E ，MF ⊥AC 于F ，如果ABBC＝K ，由三角形的相似可得：—＝—＝ABBC＝K 。
二． 合作探究1、自主学习课本38页试验与探究，认真完成（1）（2）（3）（4）中的每一个问题。
2、讨论：对于确定的锐角A 来说，比值K 与B ’在AB 边上的_______无关，只与锐角A 的_________有关。
3.结论：当锐角A 的大小确定后，不论以∠A 为内角的直角三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比值_________4.总结定义：（1）对于锐角A ： 叫做∠A 的____记作：_______=ac即sinA=（2）对于锐角A ： 叫做∠A 的_____记作：______ cosA=______=cb即（3）对于锐角A ：叫做∠A 的_____记作：______即tanA= =＿＿锐角A 的正弦、余弦、正切统称锐角A 的___________ 5.试一试，在上图中，你能分别用a 、b 、c 表示∠B 的正弦、余弦和正切吗？请写在下面。
三．尝试应用如图甲，在Rt △ABC 中，∠C=900, AC=4， BC=2，求∠A 的正弦，余弦，正切的值.四．巩固练习1.如果Rt △ABC ∽Rt △A ′B ′C ′,∠C=∠C ′=900 ,sinA 等于sinA ′吗？为什么？cosA 与cosA ′呢？2. 如图甲，在Rt △ABC 中，∠C=900, AB=3，BC=2，求∠A 的正弦，余弦，正切的值？五．当堂测试∠A 的对边斜边∠A 的对边 斜边∠A 的( )∠A 的( )∠A 的对边∠A 的邻边1．在Rt △ABC 中,各边的长度都扩大两倍,则锐角A 的四个三角函数值（ ）(A)都扩大两倍 (B)都缩小两倍 (C)不变 (D)不能确定 2. 如图甲，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，AC ＝2，则sinA ＝（ ）（A ）13 （B ）23 （C ）23 2 （D ）233. 如图甲，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，则tanB ＝4. 如图甲，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3a ＝ 3 b ，则sinA ＝5. 如图甲，在△ABC 中，∠B=90°，AB=4，BC=3，求sinA ， tanA,cosA.6. 如图甲，△ABC 中，∠C ＝90º，BC ＝4，sinA ＝32，求AC 的长。
解直角三角形-青岛版九年级数学上册教案
解直角三角形-青岛版九年级数学上册教案
一、教学目标
1.了解直角三角形的基本概念和定理；
2.掌握利用三角函数（正弦、余弦、正切）求解直角三角形的方法；
3.解决直角三角形的实际问题。
二、教学重难点
1.理解三角函数的概念和性质；
2.掌握求解应用题的方法。
三、教学内容和学生活动
1. 直角三角形的定义
学生通过PPT介绍、教师讲解及类比了解直角三角形是什么，并掌握直角三
角形的性质和基本概念；
•定义：一个三角形的其中一个角是90度，则称这个三角形为直角三角形；
•性质：直角三角形的对边为斜边，斜边的两个端点为直角和对角。
•基本概念：斜边、底边、高、角度符号等。
2. 特殊角的三角函数值
学生可以通过PPT演示、动画、练习等方式重点掌握以下角度的三角函数值：0度、30度、45度、60度、90度。
3. 三角函数的概念
•定义：在直角三角形中，正弦值、余弦值、正切值是一个角的三角比，分别表示为sin、cos、tan。
•性质：三角函数值的范围与特点。
4. 三角函数的计算方法
学生通过举例、练习等方式，使用计算器和三角函数表，掌握三角函数的计算方法。
5. 应用题例解
教师通过例题解析的方式，帮助学生理解掌握直角三角形应用题的解法，以确保学生可以应用所学知识解决实际问题。
四、教学方法
1.讲述
2.PPT演示
3.线上互动练习
五、学习评价
1.课堂小测验；
2.作业练习；
3.课后测试。
六、教学后记
通过互动形式将知识点梳理完整并同步，结合实际应用情景，丰富教学方式，激发学生的学习兴趣，提高教学效果。
青岛版数学九年级上册教案第二章解直角三角形2.5《解直角三角形的应用》教案
青岛版数学九年级上册教案第二章解直角三角形2教学目的1．使先生了解仰角、俯角、方位角、坡角的概念．2．逐渐培育先生剖析效果、处置效果的才干；浸透数形结合的数学思想和方法．3．稳固用三角函数有关知识处置效果，学会处置方位角效果．学习重点将某些实践效果中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而应用所学知识把实践效果处置．教学难点学会准确剖析效果并将实践效果转化成数学模型．教学进程一、寻疑之自主学习1．仰角：如图1，从低处观察高处时，视野与水平线所成的锐角叫做仰角．2．俯角：如图1，从高处观察低处时，视野与水平线所成的锐角叫做俯角．3．方向角：如图2，点A位于点O的北偏西30°方向；点B位于点O的南偏东60°方向．图1 图2 4．坡角：如图，坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α5．坡度：如图，坡面的铅垂高度h与水平宽度l的比叫做坡度，用i表示，即i＝tanα＝hl．二、解惑之例题解析例1如图2-14〔课本第54页〕，一架飞机执行海上搜救义务，在空中A处发现海面上有一目的B，仪器显示这时飞机的高度为1.5km，飞机距目的4.5km.求飞机在A处观测目的B的俯角〔准确到1'〕.例2 2021年10月15日〝神舟〞5号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变轨后，就在离地球外表350 km的圆形轨道上运转．如图，当飞船运转到地球外表上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？〔地球半径约为6 400km，结果准确到0.1km〕解：在图中，FQ 是⊙O 的切线，△FOQ 是直角三角形．∴ PQ 的长为答： 当飞船在P 点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P 点约2020.6km 解析：从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视野与地球相切时的切点．例3 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m ，这栋高楼有多高〔结果准确到0.1m 〕解析： Rt △ABC 中，α =30°，AD ＝120，所以应用解直角三角形的知识求出BD ；相似地可以求出CD ，进而求出BC ．解：如图，α= 30°，β= 60°， AD ＝120．答：这栋楼高约为277.1m直角三角形边角之间的关系，是处置与直角三角形有关的实践效果的重要在工具.把实践效果转化为解直角三角形效果，关键是找出实践效果中的直角三角形.这一解答进程的思绪是：例4 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡AB 的坡度i=1∶3，斜坡CD 的坡度i=1∶2.5，求： ·O QF PαA BC Dα β〔1〕坝底AD与斜坡AB的长度.〔准确到0.1m〕〔2〕斜坡CD的坡角α.〔准确到1°〕例5 如图2-23〔课本第59页〕，要测量铁塔的高度AB，在空中上选取一个点C，在A、C两点间选取一点D，测得CD=14m，在C、D两点处区分用测角器测得铁塔顶端B的仰角为α＝30°和β=45°，测角仪支架的高度为1.2m，求铁塔的高度〔准确到0.1m).三、尝试之知识稳固1．数学实际探求课中，教员布置同窗们测量学校旗杆的高度．小民所在的学习小组在距离旗杆底部10米的中央，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°，那么旗杆的高度是____米．2．如图，楼房AB高为50m，铁塔塔基距楼房地基间的水平距离BD为100m，塔高CD为50)+m，那么下面结论中正确的选项是〔C 〕A．由楼顶望塔顶仰角为60°B．由楼顶望塔基俯角为60°C．由楼顶望塔顶仰角为30°D．由楼顶望塔基俯角为30°3．如图，在离铁塔BE 120m的A处，用测角仪测量塔顶的仰角为30°，测角仪高AD=1.5m，那么塔高BE=1.5)m+．4．如图，从空中上的C，D两点测得树顶A仰角区分是45°和30°，CD=200m，点C在BD上，那么树高AB等于1)m+〔根号保管〕．5．(2021·十堰)如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速飞行，1小时后抵达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，那么灯塔C与码头B的距离是24 海里．四、课堂小结：1．仰角、俯角当我们停止测量时，在视野与水平线所成的角中，视野在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．2．坡度与坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度〔或叫做坡比〕，普通用i表示。
最新青岛版五四制九年级数学上册《解直角三角形的应用》教学设计
课题 2.5 解直角三角形的应用（第一课时）课型新授内容九下教科书53---57页主备人学习目标1.明确仰角、俯角的概念，并能将之灵活应用于实际生活；2.能从实际问题中抽象出几何模型，并能借助计算器解决问题；3.运用三角比的有关知识来解决实际应用问题.重点运用三角比的有关知识来解决实际应用问题.难点从实际问题中抽象出恰当的几何模型，用三角比的有关知识来解决.学前预习案预习课本P53—P55 请完成下列问题①结合2—12示意图会画出铅垂线、仰角、俯角、水平线、视线的示意图；②根据例2的实际问题写出已知条件和结论。
运用学过的数学方法，画出适应的解直角三角形的模型。
③结合例1，写出已知和求解。
课堂学习案一、创设情境，导入新课东方明珠塔是上海市的一个标志性建筑. 为了测量东方明珠塔的高度，小亮和同学们在距离东方明珠塔 200 m 处的地面上，安放高 1.20 m 的测角仪支架，测得东方明珠塔顶的仰角为 60°48' . 根据测量的结果，小亮画了一张示意图（图 2-11），其中 AB 表示东方明珠塔，DC 为测角仪的支架，DC = 1.20 m，CB= 200 m，∠ADE = 60°48' .利用上述数据，你能求出 AB 的长吗？与同学交流.二、自主探究，归纳新知1.读一读课本54页小资料：在实际测量中，从低处观测高处的目标时，_________与_________所成的锐角叫做_________，从高处观测低处的目标时，_______与________所成的锐角叫做______.例1 如图 2-14，一架直升飞机执行海上搜救任务，在空中 A 处发现海面上有一目标 B，仪器显示这时飞机的高度为 1.5 km，飞机距目标 4.5 km.求飞机在 A 处观测目标 B 的俯角（精确到 1'）例2 武汉长江二桥为斜拉索桥（图2-15），AB 和 AC 分别是直立塔 AD 左右两边的两根最长的钢索. 已知 AB = AC， BC = 100 m，AB与 BC 的夹角为30°，求钢索 AB 的长及直立塔 AD的高（精确到 0.1 m）.三、合作交流，完善新知把实际问题转化为解直角三角形问题，关键是找出实际问题中的_____________，这一解答过程的思路是：有关实际问题转化_____________ ，求出有关的边或得出问题答案。
九年级数学上册 解直角三角形2.5解直角三角形的应用教案1青岛版
解直角三角形的应用教学目标1.掌握仰角、俯角概念；2.在用解直角三角形的知识解决实际问题的过程中，感受数学与生活的紧密联系，增强学数学、用数学的意识和能力.教学重点与难点将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间关系进行解题.教学过程一、知识回顾1.解直角三角形定义；2.解直角三角形用到哪些边角关系？3.如果知道直角三角形的几个元素就可以求其他的元素？有几种情况？二、探究新知（一）新课导入上海东方明珠塔于1994 年10 月1 日建成，在各国广播电视塔的排名榜中，当时其高度列亚洲第一、世界第三．与外滩的“万国建筑博览群”隔江相望．在塔顶俯瞰上海风景，美不胜收．为了测量东方明珠塔的高度，小亮和同学们在距离东方明珠塔200m处的地面上，安放高1.20米的测角仪支架，测得东方明珠塔顶的仰角为‘4860︒.根据测量的结果，小亮画出了一张示意图，其中AB表示东方明珠塔，DC为测角仪支架，DC=1.20m，CB=200m，‘4860︒=∠ADE.利用上述数据，能测出东方明珠塔的高度来吗？（二）概念学习视线︶铅坡度1．概念辨析在测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角.[说明] 在仰角和俯角这两个概念中，必须强调是视线与水平线所夹的角，而不是视线与铅垂线所成的角.小资料：简易测倾器制作为了测量仰角和俯角，如果没有专门的仪器，可以自制一个简易测倾器．如图所示，简易测倾器由铅锤、度盘、支杆和螺检四部分组成，你能与同学合作制作一个简易测倾器吗？试一试．（三）例题分析学生分组讨论以下问题：（1）找出题目中的已知量，未知量，并在图中标示出来。
的边角关系。
（2）列出能求出俯角的ABC（3）写出解答过程，同桌互查互纠。
学生分组讨论以下问题：（1）找出题目中的已知量，未知量，并画图中标示出来。
（2）列出能求出AD.AB 的ABC ∆的边角关系。
（3）写出解答过程，同桌互查互纠。
青岛版九年级数学上册《第2章解直角三角形》教案设计
-8-
教学目标
【知识与能力】 了解仰角、俯角、方位角、坡角的概念． 【过程与方法】 能根据题意及测量术语绘出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力． 【情感态度价值观】 认识数学与生产生活的联系，培养数学的应用意识，激发学习的兴趣和求知欲望．
教学重难点
【教学重点】 将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实 际问题解决． 【教学难点】 学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型．
-2-
注意：1、sinA不是sin与A的乘积，而是一个整体；
2、正弦的三种表示方式：sinA、sin56°、sin∠DEF
3、sinA是线段之间的一个比值；sinA没有单位.其他类同.
讨论：∠B的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？
3、尝试练习：
B
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求．∠A、∠B的三个三角比值
教学重难点
【教学重点】 了解直角三角形中锐角三角比的概念. 【教学难点】 会求直角三角形中锐角的三角比.
课前准备
பைடு நூலகம்多媒体课件
教学过程
一、新课导入：
操场里有一个旗杆，小明去测量旗杆高度.小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部， 视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了.你想知道 小明怎样算出的吗？
课前准备
多媒体课件
教学过程
一、寻疑之自主学习 1．仰角：如图 1，从低处观察高处时，视线与水平线所成的锐角叫做仰角． 2．俯角：如图 1，从高处观察低处时，视线与水平线所成的锐角叫做俯角． 3．方向角：如图 2，点 A 位于点 O 的北偏西 30°方向；点 B 位于点 O 的南偏东 60°方向．
九年级数学上册第2章解直角三角形2.5解直角三角形的应用教案3(新版)青岛版
解直角三角形的应用教学目标1.知道坡角、破比（坡度）的意义.2.能将有关实际问题转化为解直角三角形的问题.3.培养严谨致学的学习态度.教学重点与难点将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间关系进行解题.教学过程一、知识回顾解决直角三角形的应用思路。
1.把实际问题转化为解直角三角形的问题，关键是找出实际问题中的＿＿＿＿＿＿＿＿ ，直角三角形＿＿＿＿＿＿＿之间的关系，是解决与直角三角形有关的实际问题的重要工具。
2.解答过程的思路：实际问题 解直角三角形的问题二、探究新知（一）学习坡角和坡比（坡度）的定义.从爬山引入：有的山坡很陡，有的山坡比较缓，那么我们如何从数量上来描述山坡的陡的程度呢？转化 问题答案 求出有关的边或角比较上面两个斜坡，给出坡度的定义. 定义：坡面的铅垂高度（h ）与水平宽度（L ）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作,i 即L h i =.坡度通常写成1∶m 的形式.定义：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α. 坡度与坡角的关系：tg L h i ==α.问：根据定义，你能用坡度来刻画斜坡的倾斜、即陡的程度吗？答：坡度越大，坡面越陡.小练习：1.斜坡的坡度是31：，则坡角α=_____度。
2.斜坡的坡角是450 ，则坡比是 _______。
3.斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______。
4.在一次军事训练中，有一辆坦克准备通过如图的一座小山，AC 为1000米，BC 为400米，如果这辆坦克能够爬300 的斜坡，试问：它能不能通过这座小山？能爬过。
那么反过来，你能利用我们今天学习的知识来阻止坦克爬过这个斜坡吗？ AhL α（二）有关坡角与坡比（坡度）的实际应用学生分组讨论以下问题：梯形的常用辅助线的作法之一是作高，其目的是什么？找出题目中的已知量，未知量，并在图中标示出来。
（3）说一说坡度5.2:1,3:1==ii在本题中的含义？（4）写出解答过程，同桌互查互纠。
变式训练1.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高20m，斜坡AB的坡度 i=1∶3 ，斜坡CD的坡度i=1∶1.求：（1）坝底AD的长度。
青岛版数学九年级上册2.4解直角三角形教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握直角三角形的定义及特点，掌握直角三角形的三个内角分别为90度、锐角和钝角。
2.学会使用解直角三角形的四种基本方法：正弦、余弦、正切和勾股定理，并能熟练运用这些方法解决实际问题。
3.能够运用解直角三角形的原理和方法，解决平面几何中与直角三角形有关的问题，如求边长、角度等。
难点：在实际问题中，如何选择合适的方法求解直角三角形，以及如何避免计算错误。
2.重点：运用勾股定理及其变形公式解决直角三角形相关问题。
难点：理解并运用勾股定理解决非直角三角形问题，以及将实际问题转化为数学模型。
3.重点：掌握三角函数的定义和性质，运用三角函数求解直角三角形。
难点：在实际问Βιβλιοθήκη 中，如何选择合适的三角函数，以及如何正确运用三角函数进行计算。
1.学生对直角三角形定义的理解程度，以及能否正确区分直角三角形的三个内角。
2.学生对勾股定理的掌握情况，以及能否运用该定理解决实际问题。
3.学生对三角函数（正弦、余弦、正切）的认知程度，以及在实际问题中运用这些函数求解的能力。
4.学生在解决实际问题时，可能遇到的困难和挑战，如计算错误、思路不清晰等。
（2）学生分享自己在解题过程中的心得体会，教师点评并总结。
（3）教师强调解直角三角形在实际生活中的应用，激发学生学习数学的兴趣和热情。
五、作业布置
为了巩固学生对解直角三角形知识点的掌握，提高学生的实际应用能力，特布置以下作业：
1.基础巩固题：完成课本练习题第2题、第4题，要求学生熟练运用勾股定理及其变形公式解决直角三角形相关问题。
5.思考题：布置一道思考题，如“解直角三角形在现实生活中的应用有哪些？”要求学生结合自己的生活经验，思考并总结解直角三角形的应用场景。
九年级数学上册第2章解直角三角形2.5解直角三角形的应用教案2(新版)青岛版
九年级数学上册第2章解直角三角形2.5解直角三角形的应用教案2（新版）青岛版教学目标1.能将有关实际问题转化为解直角三角形的问题，掌握这类问题的基本解决思路.2.在用解直角三角形的知识解决实际问题的过程中，感受数学与生活的紧密联系，增强学数学、用数学的意识和能力.教学重点与难点将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间关系进行解题.教学过程一、知识回顾1.从下往上看，视线与水平线的夹角叫做______；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做______．2．在解决实际问题时，可以直接或通过作辅助线，构造出直角三角形，化归为解__________的问题来解决．二、探究新知（一）练习导入练习1.某施工人员在离地面高度为5米的C处引拉电线杆，若固定点离电线杆3米，如图所示，则至少需要多长的缆线AC才能拉住电线杆？（结果保留两位小数）练习2. 如图，上午8时，小明从电视转播塔C的正北方向B处以15千米/时的速度沿着笔直的公路出发，2小时后到达A处，测得电视转播塔在他的南偏东50°的方向，试求出发前小明与电视转播塔之间的距离，并求出此时距电视转播塔有多远？（精确到1千米）答案：练习1.解：在Rt△ABC 中，50BDC AAC=22BC AB +=2235+=34≈5.83（米）答：至少需要5.83米的缆线AC 才能拉住电线杆。
练习2.解：在RtABC 中，∠CAB=90°－50°=40°，AB=15×2=30（千米），∵tan ∠CAB=AB BC，∴︒=∠⋅=40tan 30tan CAB AB BC ≈25（千米），∵cos ∠CAB=AC AB ，∴AC=︒40cos AB≈39（千米）答：出发前小明与电视转播塔的距离约25千米，此时距电视塔39千米。
（二）例题分析小知识：采光权建筑物的采光应保证冬至日午间满窗日照时间不少于1小时，或者全天有效日照时间累计不少于2小时。
(青岛版)九年级上册数学第二章《解直角三角形》教案：解直角三角形
教学顺序
能用锐角三角函数解直角三角形 直接存在直角三角形的解法 三角函数在解直角三角形中的灵敏运用 指点探求、协作交流 教具 学具 三角板
教员活动
先生活动
激
1、三角比的表示方法
情
导
入
认
出示学习目的
定
目
标
先生口答
终身口述目的， 其他生静听、体会
自学导航
快速高效阅读
派代表说明应用那 两个量可求另外三 个量。
师生互动
1、 在 Rt△ABC 中，∠C＝900,a＝12，c＝24，
解这个直角三角形。
1 题 5 号生板演完
成
拓
2〔1〕题 4 号生板
展
2 在 Rt△ABC 中，∠C＝900，
演完成
应
（1） c＝15，∠B＝600，求 a；
2〔2〕题 3 号生板
用
（2） ∠A＝300，a＝24，求 b，c
演完成
1、2 号生点评、互
改
各组针对出现效果
讨论、剖析
小结：指点生小结
生回忆浅谈收获
板书 课题 设计
2.4 解直角三角形 自学导航
教学 反思
板演
板演
板演
知识单一先生掌握的较好，能灵敏运用。但是边角之间转化先生灵
敏运用不太好。
自
1、在 Rt△ABC 中，共有六个量，三条边
主
a，b，c，三个角∠A，∠B，∠C，其中∠C 是 思索
探
的，其它的五个量都是未知的。
究
（1） ∠A，∠B，能求出其它的三个量 a，b， 探求
c 吗？
（2） 两条边的长，能求出其它的三个量吗？ 试写出解答格式
（3） 一角和一边，能求出其它的三个量吗？
青岛版数学九年级上册《解直角三角形》教学设计2
青岛版数学九年级上册《解直角三角形》教学设计2一. 教材分析青岛版数学九年级上册《解直角三角形》是学生在掌握了锐角三角函数的基础上进行学习的。
本节内容主要包括了解直角三角形的概念、性质以及解直角三角形的方法。
通过本节内容的学习，学生能够进一步理解直角三角形的性质，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了锐角三角函数的知识，对三角函数有一定的理解。
但解直角三角形这一部分内容，对于学生来说较为抽象，需要通过实例分析和练习来进一步理解和掌握。
三. 教学目标1.理解直角三角形的概念和性质。
2.学会解直角三角形的方法，并能应用于实际问题中。
3.培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.直角三角形的概念和性质的理解。
2.解直角三角形方法的掌握。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等，引导学生通过自主学习、合作交流，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学PPT。
2.直角三角形的相关案例和练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式复习锐角三角函数的知识，引出本节课的主题——解直角三角形。
2.呈现（10分钟）利用PPT展示直角三角形的概念和性质，让学生直观地了解直角三角形的特点。
同时，通过案例分析，让学生了解解直角三角形的方法及其应用。
3.操练（10分钟）让学生分组进行合作交流，运用所学方法解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）针对所学内容，设计一些练习题让学生进行巩固。
教师及时批改，给予反馈，提高学生的解题能力。
5.拓展（5分钟）引导学生思考：如何利用解直角三角形的方法解决实际生活中的问题？让学生联系生活，提高解决问题的能力。
6.小结（5分钟）对本节课的主要内容进行总结，强调直角三角形的概念、性质和解直角三角形的方法。
7.家庭作业（5分钟）布置一些有关解直角三角形的练习题，让学生课后巩固所学知识。
8.板书（5分钟）板书本节课的主要内容和关键步骤，方便学生回顾和复习。
青岛版九年级上册数学《解直角三角形的应用》
《解直角三角形的应用》（第2课时）教案探究版教学目标知识与技能1．能将有关实际问题转化为解直角三角形的问题，掌握这类问题的基本解决思路．2．在用解直角三角形的知识解决实际问题的过程中，感受数学与生活的紧密联系，增强学数学、用数学的意识和能力．过程与方法1．运用转化思想，学会把实际问题转化为数学问题来解决．2．经历解直角三角形的实际应用，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．情感与态度1．渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识．2．现实中的数学无所不在，它既能锻炼我们的思维，又能用来解决实际问题，从而使学生热爱数学，学好数学．教学重点将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识解决实际问题．教学难点将实际问题转化成数学模型．教学过程一、复习导入1．仰角和俯角是如何定义的？2．利用解直角三角形的知识，解决实际问题的一般原则是什么？师生活动：师引导学生回顾上一课时所学内容，对于问题2可让学生分组讨论交流，对学生给出的各种答案，教师要给予指导．分组讨论交流后，师生分享讨论的结果．1．在测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角．2．在解决实际问题时，可以直接或通过作辅助线，构造出直角三角形，化归为解直角三角形的问题来解决．设计意图：通过复习上一课时的有关知识，为本节继续学习利用解直角三角形解决实际问题做好知识上的铺垫．二、探究新知1．某施工人员在离地面高度为5米的C 处引拉电线杆，若固定点离电线杆3米，如图所示，则至少需要多长的缆线AC 才能拉住电线杆？（结果保留两位小数）．师生活动：师引导学生分组讨论求解，然后师生共同分享讨论的结果．在Rt △ABC 中，AC≈5.83（米）．答：至少需要5.83米的缆线AC 才能拉住电线杆．2．如图，上午8时，小明从电视转播塔C 的正北方向B 处以15千米/时的速度沿着笔直的公路向正西出发，2小时后到达A 处，测得电视转播塔在他的南偏东50°的方向，试求出发前小明与电视转播塔之间的距离，并求出此时距电视转播塔有多远？（精确到1千米）．50°D CB A师生活动：师可以先引导学生回顾方向角的有关概念，后引导学生分组讨论解决此问题． 在Rt △ABC 中，∠CAB =90°－50°=40°，AB =15×2=30（千米），∵tan ∠CAB =BC AB ，∴BC =AB ·tan ∠CAB =30·tan40°≈25（千米）， ∵cos ∠CAB =AB AC ，∴AC=cos 40AB ︒≈39（千米）． 答：出发前小明与电视转播塔的距离约25千米，此时距电视塔39千米．设计意图：通过两个实际问题的解决，让学生体会建立模型，并解决实际问题的过程，同时进一步让学生明确，直角三角形边角之间的关系，是解决与直角三角形有关的实际问题的重要工具．三、例题精讲例 3 住宅的采光权是建楼和购房时人们所关心的问题之一．如图，住宅小区南、北两栋楼房的高度均为16.8m．已知当地冬至这天中午12时太阳光线与地面所成的角是35°．（1）要使这时南楼的影子恰好落在北楼的墙脚，两楼间的距离应为多少米（精确到0.1m）？（2）如果两栋楼房之间的距离为20m，那么这时南楼的影子是否会影响北楼一楼的采光？师生活动：（1）师引导学生弄清题意，根据题意画出示意图，师解释为什么题中指明“冬至这天中午12时”是因为此时南楼在地面上的影子最长．（2）题目解答完后，应让学生反思本题的解答过程，并让学生讨论：数据12时在解题中参与计算了吗？北楼的高度16.8米参与计算了吗？在此基础上提醒学生，在解答应用问题时，应注意从题目的条件中，提取对于解决问题直接有用的信息，而不受题目中其他一些多余条件的干扰．解：（1）如图，南楼的高为AB，北楼的高为CD，B，D分别为南、北楼的墙脚，根据题意，AD为冬至这天中午12时的太阳光线，BD为南楼的影子．?35°DCBA则AB⊥BD，CD⊥BD，∠ADB=35°．在Rt△ABD中，已知AB=16.8m．由tan∠ADB=ABBD，得BD=16.824.0tan35tan35AB=≈（m）．所以，两楼间的距离应为24.0m ．（2）如图，AE 为冬至这天中午12时的太阳光线，AE 交CD 于点E ，ED 为南楼落在北楼的影子．作EF ⊥AB ，垂足为点F ，则∠AEF =35°．已知AB =CD =16.8m ，BD =20m ．FE D CBA 由tan ∠AEF =AF EF，EF =BD =20m ，∠AEF =35°，得 AF =EF ·tan ∠AEF =20·tan35°≈14.0（m ）．所以ED =FB =AB －AF =16.8－14.0=2.8（m ）．所以，这时南楼的影子落在北楼上的高度约为2.8m ，会影响到北楼一楼的采光． 归纳总结：将实际问题转化为解直角三角形问题的基本思路：设计意图：通过例3的解题体验，引导学生概括将实际问题转化为解直角三角形问题的基本思路，让学生体会这是建立和求解数学模型的过程，是数学与外部世界联系的基本途径，在数学应用中具有普遍的意义．例4 如图所示，一块长52cm ，宽32cm 的长方形木板PQRS 靠在一面墙上，它的一边PS 与墙所成的角为18°，求P 点距地面的高度（精确到1cm ）．师生活动：师引导学生根据实物图画出示意图，并明确要求的量，可让学生分组讨论． 解：作PC 垂直地面，垂足为C ，作SD ⊥PC ，垂足为D ．则CD =OS ．OD C18°SRQ P 在Rt △SRO 中，CD =OS =52cos72°≈16（cm ），在Rt △PDS 中，PD =32cos18°≈30（cm ）．所以PC =PD ＋CD =46（cm ）．所以P 点距地面的高度为46cm ． 设计意图:通过例4使学生进一步体会将实际问题转化为解直角三角形问题的基本思路，进一步加深对数学建模的理解．四、课堂练习1．如图，沿AC 方向开山修隧道，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC 上取一点B 使∠ABD =145°，BD =500米，∠D =55°，要使A ，B ，C ，E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ）．A ．500sin55°米B ．500cos55°米C ．500tan55°米D ．500cos55米 2．如图，当太阳光与地面上的树影成45°角时，树影投射在墙上的影高CD 等于2米，若树根到墙的距离BC 等于8米，则树高AB 等于______米．3．如图，一根竹竿垂直插在水中，露出水面部分长0.5米，若竹竿顶部偏离原地2米，此时竹竿顶恰好与水面齐平，那么水深______米，竹竿偏离角α≈______（精确到1°）．4．如图，在宿舍楼的C，D两点观测对面的建筑物AB，从点D观测建筑物的底部A 的俯角是27°，从点C观测建筑物的顶端B的仰角是50°，已知宿舍楼CD的高度是20m，求建筑物AB的高（精确到1m）．5．如图，一艘游轮从A码头出发，沿北偏东40°方向航行12海里到达B岛，然后又沿南偏东50°方向航行16海里到达C岛，那么从C岛再航行多远才能直接返回出发地A （精确到0.1海里）？参考答案：1．B．2．10．3．154，28°．4．在Rt△ACD中，AC=2039.3tan tan27CDDAC=≈∠（m），在Rt△BAC中，AB=AC·tan∠BCA=39.3tan50°≈47（m）．5．因为∠ABC=90°，所以AC20（海里）．设计意图：通过练习提高建模能力，增强利用解直角三角形解决实际问题的能力．五、课堂小结1．能将有关实际问题转化为解直角三角形的问题，掌握这类问题的基本解决思路．2．进一步感受数学与生活的紧密联系，增强学数学、用数学的意识和能力．设计意图：通过课题小结，使学生加深对建模思想的理解，增强学生学习的目标性．六、目标检测1．如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）位于她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（）．O BAA．250m. B．250.3m. C．500.33m. D．2．某落地钟钟摆的摆长为0.5m，来回摆动的最大夹角为20°．已知在钟摆的摆动过程中摆锤离地面的最低高度为a m，最大高度为b m,则b－a＝____m(不取近似值)．3．如图，已知测速站P到公路L的距离PO为40米，一辆汽车在公路L上行驶，测得此车从点A行驶到点B的所用的时间为2秒，并测得∠APO=60°，∠BPO=30°，计算此车从A到B的平均速度，并判断此车是否超过了每小时70千米的限制速度．4．为缓解“停车难”问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图（如图）．按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE．（精确到0.1 m）．参考答案：1．A．2．12(1-cos10°)．3．约83千米/时，超速．4．解：在Rt△ABD中，AB=9，∠BAD=18°，∴BD≈2.9(m)．∴CD=BD－BC=2.9－0.5=2.4（m）．在Rt△CDE中,∠DCE=18°，∴CE=CD·cos18°≈2.3(m)．设计意图：通过练习进一步巩固利用解直角三角形解决实际问题的能力．。
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青岛版数学初三上册教案第二章解直角三角形
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教学目标
1．使学生了解仰角、俯角、方位角、坡角的概念．
2．逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．
3．巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．
学习重点
将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
教学难点
学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型．
教学过程
一、寻疑之自主学习
1．仰角：如图1，从低处观看高处时，视线与水平线所成的锐角叫做仰角．
2．俯角：如图1，从高处观看低处时，视线与水平线所成的锐角叫做俯角．
3．方向角：如图2，点A位于点O的北偏西30°方向；点B位于点O的南偏东60°方向．
图1 图2
4．坡角：如图，坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α
坡度：如图，坡面的铅垂高度h与水平宽度l的比叫做坡度，用i表
示，即i＝tanα＝h
l
．
解惑之例题解析
例1如图2-14（课本第54页），一架飞机执行海上搜救任务，在空中A处发觉海面上有一目标B，仪器显示这时飞机的高度为1.5km，飞机距目标4.5km.求飞机在A处观测目标B的俯角（精确到1'）.
例2 2021年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．当飞船
完成变轨后，就在离地球表面350 km 的圆形轨道上运行．如图，当飞船运
行到地球表面上P 点的正上方时，从飞船上最远能直截了当看到地球上的点在什么位置？如此的最远点与P 点的距离是多少？（地球半径约为6 400km ，结果精确到0.1km ）
解：在图中，FQ 是⊙O 的切线，△FOQ 是直角三角形．
∴ PQ 的长为
答： 当飞船在P 点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P 点约2009.6km
解析：从飞船上能最远直截了当看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点．
例3 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，
看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m ，这栋
高楼有多高（结果精确到0.1m ）
解析： Rt △ABC 中，α =30°，AD ＝120，因此利用解直角三角形的知识求出BD ；类似地能够求出CD ，进而求出BC ．
解：如图，α= 30°，β= 60°， AD ＝120．
答：这栋楼高约为277.1m
直角三角形边角之间的关系，是解决与直角三角形有关的实际问题的重要在工具.把实际问题转化为解直角三角形问题，关键是找出实际问题中的直角三角形.这一解答过程的思路是：
例4 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡AB 的坡度i=1∶3，斜坡CD 的坡度i=1∶2.5，求：
（1）坝底AD 与斜坡AB 的长度.（精确到0.1m ）
（2）斜坡CD 的坡角α.（精确到1°）
例5 如图2-23（课本第59页），要测量铁塔的高度AB ，在地面上选取一个点C ，在A 、C 两点间选取一点D ，测得CD=14m ，在C 、D 两点处·
O
Q F
P α
A B C D α β
分别用测角器测得铁塔顶端B的仰角为α＝30°和β=45°，测角仪支架的高度为1.2m，求铁塔的高度（精确到0.1m).
三、尝试之知识巩固
1．数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度．小民所在的学习小组在距离旗杆底部10米的地点，用测角仪测得旗杆顶端的仰角
为60°，则旗杆的高度是___ _米．
2．如图，已知楼房AB高为50m，铁塔塔基距楼房地基间的水平距离BD为100m，塔高CD为
50)
m，则下面结论中正确的是（C ）A．由楼顶望塔顶仰角为60°
B．由楼顶望塔基俯角为60°
C．由楼顶望塔顶仰角为30°
D．由楼顶望塔基俯角为30°
3．如图，在离铁塔BE 120m的A处，用测角仪测量塔顶的仰角为30°，已知测角仪高AD=1.5m，则塔高BE=
1.5)m
．
4．如图，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是45°和30°，已知CD=200m，点C在BD上，则树高AB等于
1)m
+（根号保留）．5．(2021·十堰)如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，现在，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是24 海里．
四、课堂小结：
1．仰角、俯角
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．
2．坡度与坡角
坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），
一样用i表示。
即i＝h
l ，常写成i=1∶m的形式如i=1∶2.5
把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．。