高一数苏教必修四讲义：第1章 1.1 1.1.1 任 意 角 Word含答案

任意角、弧度

1．1.1任意角

预习课本P5～7，思考并完成下列问题

1．在初中，角是怎样定义的？

2．如果角按旋转的方向来进行分类，可分为哪三类？

3．如果把角放入平面直角坐标系中，象限角和轴线角的规定是怎样的？

4．如何表示终边相同的角？

[新知初探]

1．任意角

(1)角的概念

一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边．

(2)角的分类

正角：按逆时针方向旋转所形成的角；

负角：按顺时针方向旋转所形成的角；

零角：射线没有作任何旋转所形成的角．

[点睛]对角的理解关键是抓住旋转二字

(1)要明确旋转的方向；

(2)要明确旋转量的大小；

(3)要明确旋转的开始位置．

2．象限角、轴线角

以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角．

[点睛](1)角的顶点要与坐标原点重合；

(2)角的始边要与x轴的正半轴重合.

3．终边相同的角

一般地，与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．

[点睛]终边相同的角与相等的角是两个不同的概念，两角相等，终边一定相同，但是两角终边相同时，两角不一定相等，它们相差360°的整数倍．

[小试身手]

1．下列命题正确的是____________(填序号)．

①－30°是第一象限角；

②750°是第四象限角；

③终边相同的角一定相等；

④－950°12′是第二象限的角．

★答案★：④

2．－1 120°角所在象限是____________．

★答案★：第四象限

3．与405°角终边相同的角的集合是____________．

★答案★：{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}

4．在－180°到360°范围内，与2 000°角终边相同的角为____________．

★答案★：－160°，200°

角的概念辨析

[典例]有下列说法：

①相差360°整数倍的两个角，其终边不一定相同；

②{α|α是锐角}{β|0°≤β<90°}；

③第一象限角都是锐角；

④小于180°的角是钝角、直角或锐角．

其中正确说法的序号是________．

[解析]①不正确．终边相同的两个角一定相差360°的整数倍，反之也成立；

②∵α是锐角，即0°<α<90°，

故{α|0°<α<90°}{β|0°≤β<90°}，故②正确；

③第一象限角不一定都是锐角，如380°是第一象限角，但它不是锐角，故③不正确；

④0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确．

[★答案★]②

有关角的概念辨析的解题策略

(1)正确理解象限角及锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．

(2)可通过举出反例来进行判断．

下列命题是真命题的序号是________．

①三角形的内角必是一、二象限内的角；

②第二象限角是钝角； ③不相等的角终边一定不同；

④{α|α＝k ·360°±90°，k ∈Z}＝{α|α＝k ·180°＋90°，k ∈Z}． 解析：①90°不是象限角；

②如－240°是第二象限角，但不是钝角； ③如0°和360°不相等，但终边相同；

④k ·360°±90°＝2k ·180°±90°＝2k ·180°＋90°或(2k －1)·180°＋90°，k ∈Z. ★答案★：④

象限角及终边相同的角

[典例] 在0°到360°的范围内，求出与下列各角终边相同的角，并判断是第几象限角． (1)－736°；(2)904°18′.

[解] (1)－736°＝－3×360°＋344°，344°是第四象限角． ∴344°与－736°是终边相同的角，且－736°为第四象限角． (2)904°18′＝2×360°＋184°18′，184°18′是第三象限角． ∴184°18′与904°18′是终边相同的角，且904°18′为第三象限角．

(1)把任意角化为α＋k ·360°(k ∈Z 且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k .可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行；负角除以360°，商是负数，其绝对值比被除数为其相反数时的商大1，使余数为正值．

(2)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k 的值．

[活学活用]

写出－720°到720°之间与－1 068°终边相同的角的集合为______________． 解析：与－1 068°终边相同的角为－1 068°＋k ·360°，要落在－720°到720°之间，则取k ＝1,2,3,4.

★答案★：{－708°，－348°，12°，372°}

已知角α所在象限，判断α

n 或nα(n ∈Z)所在象限

[解] ∵α是第二象限角，

∴90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°，k ∈Z. ∴180°＋2k ·360°＜2α＜360°＋2k ·360°，k ∈Z.

∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角． [一题多变]

1．[变设问]若本例条件不变，求α

2是第几象限角？

解：45°＋k 2 ·360°＜α2＜90°＋k

2·360°，k ∈Z.

当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ， 则45°＋n ·360°＜α

2＜90°＋n ·360°，

此时，α

2

为第一象限角；

当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ， 则225°＋n ·360°＜α

2

＜270°＋n ·360°，

此时，α2为第三象限角．∴α

2为第一或第三象限角．

2．[变设问]若本例条件不变，求α

3是第几象限角？

解：∵k ·120°＋30°<α

3

当k ＝3n (n ∈Z)时， n ·360°＋30°＜α

3＜n ·360°＋60°；

当k ＝3n ＋1(n ∈Z)时， n ·360°＋150°＜α

3＜n ·360°＋180°；

当k ＝3n ＋2(n ∈Z)时， n ·360°＋270°＜α

3＜n ·360°＋300°.

∴α

3

是第一或第二或第四象限的角. 3．[变条件]已知α是第二象限角，且8α与2α的终边相同，判断2α是第几象限角． 解：8α＝2α＋k ·360°(k ∈Z)， 所以α＝k ·60°(k ∈Z)， 所以，2α＝k ·120°(k ∈Z)，

当k 为偶数时， 2α的终边分别落在x 轴的正半轴和第二、第三象限． 当k 为奇数时，2α的终边分别落在x 轴的正半轴和第二、第三象限， 所以，2α为第二或第三象限角，或是终边落在x 轴正半轴上的角．

已知角α终边所在象限，