【高考数学复习 解析几何专题】第6讲 定点与定线-解析版

第6讲 定点与定线知识与方法1 定点问题是指若干个参变量在变化过程中,曲线过定点及图形(点)在变化过程中存在不变量.2 定点问题的处理策略:(1)引参法.设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或者曲线系方程,而该方程与参数无关,得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点,即所求的定点. (2)从特殊到一般法.从特殊位置人手,找到定点,再证明该定点与变量无关.3 定线问题是指动点在运动变化过程中,其运动轨迹是一条直线,其本质是求动点的轨迹方程.典型例题【例1】已知抛物线2:4C x y =,过点()2,1P 引抛物线的两条弦,PA PB ,分别交抛物线于点,A B ,且AP BP ⊥,则直线AB 恒过定点A ()2,5- B.()2,2- C.()3,3-D.()3,5-【分析】对于直线AB 恒过定点,有两种思路可以考虑:一是设直线:AB y kx m =+,结合条件AP BP ⊥,转化为0AP BP ⋅=,得到,k m 的关系;二是设点()()1122,,,A x y B x y ,将直线AB 方程表示出来.【解析】（1）直线AB 的斜率必定存在,:AB y kx b =+,点()()1122,,,A x y B x y . 因为AP BP ⊥,则0PA PB ⋅=,则()()()()121222110x x y y --+--=,即()()2212122211044x x x x ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,则()1212240x x x x +++=, 则22,4404,y kx b x kx b x y =+⎧⇒-==⎨=⎩， 则12124,4x x k x x b +==-,代人()1212240x x x x +++=,解得25b k =+,则直线():2552AB y kx k y k x =++⇒-=+,过定点()2,5-.故选A. 【解析】（2）设点()()1122,,,A x y B x y ,因为AP BP ⊥,所以1222144AP BP x x k k ++⋅=⋅=-,所以()()122216x x ++=-,即()1212220x x x x ++=-. 又直线()()12111212:404x x AB y y x x x x x y x x +-=-⇒+--=. 所以()()()12245x x x y ++=-,过定点()2,5-.故选A.【点睛】本题是圆雉曲线中“张角为直径的弦”为背景的定点问题,对直线方程采用“设”与“求”两种思路.事实上,对于从圆锥曲线上一点P 引两条弦,PA PB ,若PA PB k k r ⋅=(定值),则必有直线AB 过定点.【例2】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:122x y C +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为为N ,点P 满足2NP NM =.(1)求点P 的轨迹方程;(2)设点Q 在直线3x =-上,且1OP PQ ⋅=,证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过椭圆C 的左焦点F .【分析】对于(1),直接将向量式2NP NM =坐标化,即可得两动点坐标之间的关系,运用“代入法”可以求得点的轨迹方程.对于(2),直接将1OP PQ ⋅=坐标化即可得. 答案(1)点P 的轨迹方程为222;x y +=(2)见【解析】.【解析】（1）设点()()00,,,P x y M x y ,则点()()()000,0,,,0,N x NP x x y NM y =-=.由2NP NM =得00,2x x y y ==. 因为点()00,M x y 在椭圆C 上,所以22122x y +=,点P 的轨迹方程为222x y +=.(2)由题意知点()1,0F -,设点()()3,,,Q t P m n -,则()()3,,1,OQ t PF m n =-=---.()()33,,,3,OQ PF m tn OP m n PQ m t n ⋅=+-==---.由1OP PQ ⋅=得2231m m tn n --+-=.又由(1)知222m n +=,故330m tn +-=,所以0OQ PF ⋅=,即OQ PF ⊥. 又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ,所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过椭圆C 的左焦点F .【点睛】本题(1)只需把例向量式翻译成坐标关系,再利用相关点法(代入法)求解动点轨迹方程即可;(2)则是直接翻译例的条件,再把条件式整体代入即可.【例3】已知椭圆22123422:1(0),(1,1),(0,1),, x y C a b P P P P a b ⎛⎛+=>>- ⎝⎭⎝⎭四点中恰有三个点在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程;(2)设直线l 不经过点2P 且与椭圆C 相交于,A B 两点,若直线2P A 与直线2P B 的斜率之和为1-,证明ll 过定点.【分析】对于()1,由对称性可知椭圆不经过点()11,1P ,于是利用点()230,1,(1P P -⎭,可求椭圆的方程;对于(2),可设直线:AB y kx m =+,利用直线22,P A P B 的斜率之和为1-,发现,k m 之间的关系.【解析】(1)由于34,P P 两点关于y 轴对称,故由题设知椭圆C 经过34,P P 两点.椭圆C 不经过点1P ,点2P 在椭圆C 上.所以22211,131,4b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得224,1a b ==.故椭圆C 的方程为2214x y +=. (2)设直线2P A 与直线2P B 的斜率分别为12,k k ,如果l 与x 轴垂直,设:l x t =,由题设知0t ≠且2t <,可得点,A B的坐标分别为,,t t ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭.则1222122k k t t+=-=-,解得2t =,不符合题设. 从而可设():1l y kx m m =+≠.将y kx m =+代人2214x y +=得 ()222418440kx kmx m +++-=.由题设可知()22Δ16410k m =-+>.设点()()1122,,,A x y B x y ,则2121222844,4141km m x x x x k k -+=-=++. 而()()1212121212121212211111kx x m x x y y kx m kx m k k x x x x x x +-+--+-+-+=+=+=.由题设121k k +=-,故()()()12122110k x x m x x ++-+=,即()()22244821104141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++. 解得12m k +=-.当且仅当1m >-时,Δ0>. 故1:2m l y x m +=-+,即()1122m y x ++=--,所以l 过定点()2,1-. 【点睛】本题为双斜率模型中AP BP k k +为定值,由AP BP k k +为定值得到k 与m 的一次关系式,再代入直线方程,得到定点.【例4】如图，过顶点在原点，对称轴为y 轴的抛物线E 上的点()2,1A 作斜率分别为12,k k 的直线,分别交抛物线E 于点,B C . (1)求抛物线E 的标准方程和准线方程;(2)若1212k k k k +=,证明:直线BC 恒过定点.【分析】由1212k k k k +=可得对应点的关系,然后设直线:BC y kx b =+得到变量,k b 的关系,从而发现直线过定点. 【解析】(1)24,1x y y ==-.(2)方法1设点()()2112112211224,,,,,244ABAC x x x B x y C x y k k x -++===-. 1212121212122222221204444x x x x k k k k x x x x +++++=⇒+=⋅⇒+-+=. 设:BC y kx b =+,与抛物线方程联立,得21212440,4,4x kx b x x k x x b --=+==-, 即()244120,230k b k b ⋅--+=++=,直线():3223BC y kx k k x =--=--过定点()2,3-.方法2设()111222121,21AB AC y k x k x k y k x k =-+=-+==-+.112111221,4840,44,A B y k x k x k x k x x k x y =-+⎧⇒-+-=+=⎨=⎩,即142B x k =-. 所以点()()21142,21B k k --.同理可得点()()22242,21C k k --.此时直线BC 的方程为()()()2112121142y k k k x k ⎡⎤⎡⎤--=+---⎣⎦⎣⎦.()()()()1212121221,21y k k x k k y k k x x =+--++=+---,直线BC 过定点()2,3-.【点睛】本题先设直线:AB y kx m =+,联立曲线方程得根与系数的关系,然后由题设条件1212k k k k +=,得参数之间的关系,()k f m =或者()m f k =;再将()k f m =或者()m f k =代入y kx m =+,即可得定点.【例5】已知等轴双曲线的顶点()()122,0,2,0F F -分别是椭圆C 的左右焦点，且x =椭圆与双曲线某个交点的横坐标. (1)求椭圆C 的方程;(2)设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点,以线段AB 为直径的圆过椭圆的上顶点M ,求证:直线l 恒过定点.【分析】(1)利用等轴双曲线的定义求出双曲线方程,令x =求出交点坐标.设椭圆的标准方程,由焦点坐标得到224a b =+,将交点坐标代入标准方程,得到22164133a b+=,求出,a b 的值,即可得到答案.(2)设直线l 的方程,与椭圆方程联立,由90AMB ∠=转化为韦达定理进行表示,化简整理,即可得到答案.【解析】(1)因为等轴双曲线的顶点()()122,0,2,0F F -,所以双曲线方程为22144x y -=.因为直线x =则直线与双曲线的交点为⎝⎭,因为()()122,0,2,0F F -分别是椭圆C 的左、右焦点,设椭圆C 的标准方程为22221x y a b+=,则224a b =+(1)将,33⎛±⎝⎭代人椭圆方程,可得22164133a b +=(2)由(1)(2)两式可得228,4a b ==.所以椭圆C 的方程为22184x y +=.(2)证明:由题意可知,直线l 与x 轴不垂直,设直线():2l y kx m m =+≠,与椭圆22:184x y C +=相交于点()()1122,,,A x y B x y . ()22222,2142801,84y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩, 所以2121222428,2121km m x x x x k k -+=-=++. 由90AMB ∠=得()()1122,2,20x y x y --=,即()()()()()1212121212220,240x x y y x x kx m kx m kx m kx m +--=+++-++++=,整理可得()()2222228412(2)02121m km k k m m k k --+⋅+-⋅+-=++. 因为2m ≠,所以()()()()22221242120k m k m k m ++-++-=,得2320,3m m +==-. 故直线l 恒过定点20,3⎛⎫-⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用.在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时,注意几何条件90AMB ∠=解析化的途径. 【例6】 已知抛物线2:2C x py =-经过点()2,1-(1)求抛物线C 的方程及其准线方程;(2)设O 为原点,过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于,M N 两点,直线1y =-分别交直线,OM ON 于点,A B ,求证:以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点.【分析】根据题设条件写出直线,OM ON 的方程,并解出交点,A B 的坐标,从而得到以AB 为直径的圆的方程.结合直线MN 过焦点F ,通过联立抛物线方程,运用韦达定理得到点,M N 的坐标关系,求出定点.【解析】(1)将点()2,1-代人抛物线方程,有()2221p =⨯-,可得2p =,故抛物线方程为24x y =-,其准线方程为1y =.(2)很明显,直线l 的斜率存在,焦点坐标为()0,1-,设直线l 的方程为1y kx =-,与抛物线方程24x y =-联立,可得2440x kx +-=.故12124,4x x k x x +=-=-.设点221212,,,44x x M x N x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则12,44OM ON x x k k =-=-,直线OM 的方程为14x y x =-,与直线方程1y =-联立,可得点14,1A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.同理可得点24,1B x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为1222,1x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭,圆的半径为1222x x -, 且()12121212222222,2x x k x x x x x x ++==-==,则圆的方程为()222(2)(1)41x k y k -++=+. 令0x =整理可得2230y y +-=,解得123,1y y =-=,即以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点()()0,3,0,1-.【点睛】对于曲线或直线过定点,首先将曲线或直线方程表示为只含一个参量的方程,然后根据代数形式,确定曲线或直线过定点.【例7】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点),. (1)求椭圆的方程;(2)过点()4,0M 的直线交椭圆于,A B 两点,若AM MB λ=,在线段AB 上取点D ,使AD DB λ=-,求证:点D 在定直线上.【分析】由AM MB λ=知()12M M y y y y λ-=-.由AD DB λ=-知()12D D y y y y λ-=--, 得到12y y λ=-,从而求出D y . 【解析】(1)由已知条件知22::311,a b c a b⎧==⎪⎨+=⎪⎩解得a b ==即椭圆的方程为22162x y +=. (2)由于点()4,0M 在椭圆外,记点()()1122,,,A x y B x y .设直线:4AB x my =+.22224,(4)3601,62x my my y x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩,即()2238100m y my +++=,其中Δ0>, 所以121222810,33m y y y y m m +=-=++.由AM MB λ=知()12M M y y y y λ-=-, 即1201M y y y λλ+==+.故12y y λ=-.由AD DB λ=-知()12D D y y y y λ-=--, 即121112112222051821D y y y y y y y y y y m m y λλ-+=====--+-+. 由于点D 在直线AB 上,则534422D D x my =+=-+=,故点D 在定直线32x =上. 【点睛】本题是椭圆中向量背景下的动点在定直线上的问题.由于参数λ作为中间变量沟通了,,,A B M D 四点关系,故将参数λ用12,y y 表示,然后再将目标点D 用参数λ和1y ,2y 表示.在解题过程中,坐标关系的转化是本题的易错点.【例8】如图,已知过点()1,0M 的直线l 与抛物线22(0)y px p =>交于,A B 两点,且OAOB ⊥(1)求抛物线的方程;(2)在平面直角坐标系xOy 中,是否存在与点M 不同的定点N ,使得NA MA NBMB=恒成立?若存在，求出点N 的坐标;若不存在，请说明理由.【分析】(1)设直线:1,0A B A Bl x ty OA OBx x y y ,联立直线方程与抛物线方程,运用韦达定理即得. (2)先假设存在点,M m n ，使NA MA NBMB得恒成立，将等式对应线段坐标化,通过代数变形得到某个变量的恒等式;也可考虑由NA MA NBMB得NM 平分ANB ,于是转化为0NA NBk k 进行分析求解.【解析】解法1：(1)设点1122,,,A x y B x y ,直线:1lx ty .222,2201,y px y pty p x ty .故12122,2y y pt y y p .因为OAOB ,所以12120x x y y ,即221212204y y y y p ,即22(2)204p p p ,可得12p. 抛物线的方程为2y x .(2)假设存在点,N m n 使得NA MANBMB∣恒成立, 2211122222m x n y y y m x n y 恒成立.两边平方,去分母,把11221,1x ty x ty 代人,化简整理得222222221212121212(1)2120m n y y m t y y y y n y y y y .又由(1)得1212,1y y t y y ,代人可得 22122121(1)2120m n t y y m t y y n y y ,即22(1)2120m n t m t n (1)由于(1)式对于t R 恒成立,所以22(1)210,20,m n m n 解得1,m n 或1,0.m n (舍去)综上所述,存在点1,0N使得NA MANBMB∣恒成立. 解法2：(1)设直线:1AB mx ny ,代人22y px ,得22222y px mx nypmx pnxy ,两边同除以2x ,得2220yy pnpm xx.因为OAOB ,所以21OA OBk k pm ,解得12mp .所以直线1:12AB x ny p过定点2,0p ,所以21p ,解得12p,所以抛物线的方程为2y x .（2）假设存在点N 满足条件,由对称性可设点,0N t . 由NA MA NBMB可得NM 平分ANB ,所以0NA NBk k .设点1122,,,A x y B x y ,则121212121222221212120NA NBy y y y t y y y y y y k k x tx ty t ytyt yt,即12120y y y y t.由2,1y x xny 得210y ny ,故121y y .因为12120y y y y t恒成立, 所以1t.所以存在点1,0N满足条件.【点睛】本题的背景是极点极线问题,即直线AB 的极点为1,0N.。