高等数学3单元(1)第2章导数教案

高等数学教案第2章 导数与微分 §2.1 .1 导数的概念一、导数的引入 1 瞬时速度设有一质点作直线运动，运动规律为()s s t =．如果质点作匀速直线运动，则速度s v t =，如果质点作非匀速直线运动，则可用平均速度来描述质点的运动．若0t 为某一时刻，t ∆为一时间段，s ∆为此时间段内质点的位移， 即00()()s s t t s t ∆=+∆-，则平均速度为00()()s t t s t v t +∆-=∆，如果0t ∆→时v 的极限存在，则000()()limt s t t s t v t ∆→+∆-=∆称为质点在0t 时刻的瞬时速度．2 切线斜率设平面曲线由()y f x =给出，如图．()000,()P x f x 为曲线上一点，在曲线上另取一点P ，作割线0P P ，割线斜率为 00()()f x x f x k x +∆-=∆．当P 点沿曲线趋于0P 时，割线0P P的极限位置0PT存在，则称0PT 为曲线在 0P 点的切线．切线斜率为000()()limx f x x f x k x ∆→+∆-=∆．在前面讨论的几个例子中，我们得到了函数的改变量与自变量的改变量的比值极限，由此而得导数的概念．二、导数的定义定义1 设函数()y f x =在0x 点的某邻域内有定义，给自变量以改变量x ∆，函数相应的改变量为00()()y f x x f x ∆=+∆-，如果000()()limx f x x f x x ∆→+∆-∆存在，则称()y f x =在0x 点可导，并称此极限为函数()y f x =在0x 点的导数，记作0|x x y ='或0()f x '，即0000()()()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆或0000()()()limx x f x f x f x x x →-'=-，如果极限不存在，则称函数()y f x =在0x 点不可导例1 求函数2()f x x =在 x = 1 点的导数，并求曲线2y x =在(1, 1)点的切线方程．解： 200(1)(1)(1)1(1)lim lim x x f x f x f x x ∆→∆→+∆-+∆-'==∆∆0lim(2)2x x ∆→=+∆=．所以曲线在(1, 1)点的切线方程为y – 1 = 2 (x – 1)，即y = 2x – 1．． 三、单侧导数定义2 左导数0000()()()lim x f x x f x f x x --∆→+∆-'=∆，右导数0000()()()lim x f x x f x f x x ++∆→+∆-'=∆．左导数与右导数统称为单侧导数定理1 0()f x '存在⇔00(), ()f x f x -+''都存在，且00()()f x f x -+''=． 由单侧极限与极限的关系即知定理成立．例2 设1cos ()x x f x x x -≥⎧=⎨⎩ 0 <0，求其在x = 0点的单侧导数． 解：0()(0)(0)lim 1x f x f f x --∆→∆-'==∆，01cos (0)lim 0x xf x ++∆→-∆'==∆．因为左右导数不相等，所以此函数在 x = 0 点不可导．例3、()f x x=在 x = 0 点不可导．因为 0(0)lim 1x x f x --∆→∆'==-∆，0(0)lim 1x xf x ++∆→∆'==∆四、导数与连续的关系定理2 若函数()y f x =在0x 点可导，则()y f x =在0x 点连续． 证：设函数()y f x =在0x 点可导，则 0000()()()limx f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆，于是()000lim ()()0x f x x f x ∆→+∆-=，所以()y f x =在0x 点连续．注意：定理的逆不成立，例如()f x x=在x = 0 点连续，但在x = 0 点不可导．．五、导函数定义 3 若函数()y f x =在区间I 上每一点都可导，则称()y f x =在区间I 上可导．, |()x I f x '∀∈∃与之对应，由此而确定的函数称为()y f x =的导函数，简称为导数，记作, ()y f x ''或d d y x ，即0()()()lim x f x x f x fx x ∆→+∆-'=∆．例5 求函数2()f x x =的导数．解：22200()2()lim lim 2x x x x x x x x f x xx x ∆→∆→+∆-∆-∆'===∆∆．六、导数的几何解释函数()y f x =在0x x =可导，则()y f x =在点0x x =的切线斜率0tan ()k f x α'==．所以曲线()y f x =在0x x =点的切线方程为000()()y y f x x x '-=-．当0()0f x '≠时，法线方程为()00001()()0()y y x x f x f x -'-=-≠'．例6 求曲线3y x =在0x x =点的切线方程与法线方程．解：23y x '=，0203|x y x '=，切线方程为320003()y x x x x -=-，法线方程为300201()3y x x x x --=-如图，因为2000()33y f x x x '==， 所以切线与x 轴的交点为02,03x ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 知道了曲线与x 轴的交点，我们就可以用切点与交点的连线作出曲线的切线．2.1.2 求导举例与变化率举例一求导举例例1 求函数()f x x α=的导数．解：0011()()lim lim x x x x x x x f x x x x αααα∆→∆→∆⎛⎫+- ⎪+∆-⎝⎭'==⋅∆∆11011lim x x x x x x x αααα--∆→∆⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⋅=∆，由此可得 3y x =时，23y x '=；y时，11221()2y x x -''===． 例2 求函数()xf x a =的导数．解： 001()lim lim x x x xx x x a a a f x a x x +∆∆∆→∆→--'==⋅∆∆ln x a a =，由此可得 x y e =时，x y e '=．例3 求函数()log a f x x =的导数．解：00log (1)log ()log ()lim lima a a x x xx x xx f x xx∆→∆→∆++∆-'==∆∆01lln x xaax x e xxxx a ∆∆→∆=+==．由此可得 ln y x =时，1y x '=．例4 求函数()sin f x x =的导数． 解：0s i ()x x x f x x ∆→+∆-'=∆0222limx x x x+x∆→∆∆⎛⎫ ⎪⎝⎭=∆0s2l 22x xx x+x ∆→∆∆⎛⎫= ⎪∆⎝⎭c x =， 由此可得 sin y x =时，cos y x '=．同理 cos y x =时，sin y x '=-． 二 变化率举例例5. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为140 m/min,当气球高度为 500 m 时, 观察员视线的仰角增加率是多少?解: (详见课件2-5隐函数的求导)例 6. 有一底半径为 R cm , 高为 h cm 的圆锥容器 ,今以 25立方厘米/s自顶部向容器内注水 ,试求当容器内水位等于锥高的一半时水面上升的速度.（思考）解: (详见课件2-5隐函数的求导) 小结：本节讲了导数的概念及变化率举例 作业P54 1 22.2 导数的四则运算法则一、导数的四则运算定理1 若函数() ()u x v x ,在0x 点可导，则()()u x v x ±、()()u x v x ⋅、0()(()0)()v x u x u x ≠在0x 点可导，且(1) []000()()()()|x x u x v x u x v x ='''±=±；(2)[]00000()()()()()()|x xu x v x u x v x u x v x ='''⋅=⋅+⋅；(3)[]0000020()()()()() (()0)()()x x u x v x u x v x v x u x u x u x ='''⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦．(1)式称为和差的导数等于导数的和差，简记为 ()u v u v ''±=±'．(2)式简记为 ()u v u v u v '''⋅=⋅+⋅．注意：可不能得出乘积的导数等于导数的乘积． 推广：()uvw u vw uv w uvw ''''=++．(3)式简记为 2v uv u v u u '''-⎛⎫=⎪⎝⎭．例1 设32()23ln ,f x x x x =++求()f x '． 解：23()34f x x x x '=++． 例2 设cos ln ,y x x =⋅求x y π='．解： 1s i n l n c o s y x x x x '=-+，1x y ππ='=-．例3 求(tan )x '，(cot )x '．解：2222sin cos sin 1(tan )cos cos cos x x x x x x x '+⎛⎫'=== ⎪⎝⎭，2222cos cos sin 1(cot )sin sin sin x x x x x x x '--⎛⎫'===- ⎪⎝⎭． 例4 求(sec )x '，(csc )x '．解：21sin (sec )sec tan cos cos xx x x x x '⎛⎫'=== ⎪⎝⎭，21cos (csc )csc cot sin sin xx x x x x '-⎛⎫'===- ⎪⎝⎭．二 基本导数公式(1) ,0y C y '== (C 为常数)；(2) 1,y x y x ααα-'== (α为任意实数)；(3),ln x xy a y a a '==； (4) ,x xy e y e '==；(5)1log ,ln a y x y x a '==；(6)1ln ,y x y x '==； (7) sin ,cos y x y x '==；(8) cos ,sin y x y x '==-；(9)221tan ,sec cos y x y x x '===； (10)221cot ,csc sin y x y x x -'==-=；(11)arcsin ,y x y '=；(12)arccos ,y x y '==； (13)21arctan ,1y x y x '==+； (14)21arccot ,1y x y x -'==+． 2.3.1 复合函数求导法一 复合函数求导法定理3(复合函数求导法) 设函数()y f u =在0u 点可导，()u g x =在0x 点可导，则复合函数fg 在0x 点可导，且()00000()()()(())()f g x f u g x f g x g x '''''==．函数()y f u =，()u g x =的复合函数()()y f g x =的导数公式可表为d d d d d d y y u x u x =⋅．上式称为链式法则，其可以推广，即d d d d d d d d y y u v x u v x =⋅⋅．例7设2sin y x =，求y '．解：设2y u =，sin u x =，则d 2d yuu =，d cos d u x x =， 所以2sin cos sin2y =x x =x '．例8 设sin3y x =，求y '． 解：cos3(3)=3cos3y =x x x ''．例9设y ，求y '．解：)22y a x ''=+=例10设(ln y x =，求y '．解：y x ''=+1⎛⎫=．习 题1 已知直线运动方程为2105s t t =+，给出改变量分别为1, 0.1, 0.01t ∆=，求从t = 4至4t t =+∆这一段时间内运动的平均速度及t = 4时的瞬时速度．2 试确定曲线在指定点P 的切线方程与法线方程：(1) 21, (2,1)4y x P =； (2) cos , (0,1)y x P =．3设1sin 0() 0 =0 mx x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪⎩(m 为正数函数)， 试问： (1) m 等于何值时，()f x 在x = 0连续；4 设有一吊桥，其铁链成抛物线型，两端系于相距100m 高度相同的支柱上，铁链的最低点在悬点下10m 处，求铁索与支柱所成的角．二、反函数求导法．例5 求(arcsin )x '，(arccos )x '．解：设arcsin x y =，则sin x y =，于是11(arcsin )(sin )cos x y y '=='=同理可证11(arccos )(cos )sin x y y '=='-=例6 求(arctan )x '，(arccot )x '．解：设arctan x y =，则tan x y =，于是21(arctan )cos (tan )x y y '=='211x =+． 同理可证21(arccot )sin (cot )x y y '==-'211x -=+． 三、基本求导法则与求导公式１ 基本求导法则(1) ()u v u v '''±=±；(2) ()u v u v uv '''⋅=±；(3) ()Cu Cu ''= (C 为常数)；(4) 221,v uv u v u u u u u '''''-⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(5) 反函数的导数 d 1d d d y x x y =； (6) 复合函数的导数d d d d d d y y u x u x =⋅． 习 题1 求下列函数在指定点的导数(1) 设43()325f x x x =++，求(0)f '，(1)f '；(2) 设()cos xf x x =，求(0)f '，()f π'；(3)设()f x =，求(0)f '，(1)f '，(4)f '． 2 求下列函数的导数(1) 232y x =+； (2)2211x y x x -=++；(3) ny x nx =+； (4)x m y m x =++；(5) 33log y x x =； (6) cos xy e x =； (7) 23(1)(31)(1)y x x x =+--； (8)tan x y x =； (9) 1cos x y x =-； (10) 1ln 1ln x y x +=-； (11)1)arctan y x =； (12)21sin cos x y x x +=+． 3 求下列函数的导函数(1)y = (2) 23(1)y x =-；(3)3211x y x ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭； (4) ln(ln )y x =；节 (5) ln(sin )y x =； (6)2lg(1)y x x =++；(7)(ln y x =+；(8)y =； (9) 3(sin cos )y x x =+；(10) 3cos 4y x =； (11)y =； (12) 23(sin )y x =(13)1arcsiny x =； (14) 32(arctan )y x =； (15) 1arccot 1xy x +=-；(16) 2a r c s i n (si n )y x =；(17) 1x y e +=； 小结：1求导公式及求导法则2搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导作业： P57 2 (5)(8)(9)(12)(13)(14) 4 7 P66 1 (7)_(15) 2授课单元教案一、隐函数的概念形如21,(sin cos ln )xy x y e x x x =+=++等的函数称为显函数．由方程或方程组给出对应关系的函数就称为隐函数．例如方程10xy y +-=能确定一个x 与y 的函数关系1(1)1y x x =≠-+．定义 就二元方程(,)0F x y =, 如果,|,x I y G ∀∈∃∈(,)0F x y ∍=“”，由此而确定的函数称为隐函数．二、隐函数求导法对于隐函数的存在性、唯一性、 可导性等，我们将在第18章中介绍．今约定二元方程(,)0F x y =都能确定一个连续可导的隐函数()y f x =，其满足[,()]0F x f x =．求导法则：就二元方程(,)0F x y =, 两端关于x 求导，其中视y 为x 的函数即可．例1 已知0x yxy e e --=，求y '．解：设由方程确定的隐函数为()y f x =，则()()0x f x xf x e e--=， 两端对x 求导得()()()()0x f x f x xf x e ef x ''+--=，所以()()()x f x e f x f x e x -'=+． 在运算熟悉时，直接视y 为x 的函数，对方程两端关于x 求导亦得0x y y xy e e y ''+--=，即x ye y y e x -'=+为所求．例2 给定曲线方程222x y a +=，求其过00(,)x y 点的切线方程．解：由隐函数求导得220x y y '+⋅=，从而xy y '=-，所以当00y ≠时，过00(,)x y 点的切线方程为0000()xy y x x y -=--，即220000x x y y x y +=+．而00(,)x y 在曲线上，故200x x y y a +=为所求．三、对数求导法（了解内容） 下面用实例给出求导方法．例3 设32(1) (1)(1)x y x x x +=>-，求y '．解：取对数得 l n 3l n (1)l n 2l n (y x x x =+---．两边对x 求导得213121511(1)x y y x x x x x -'=--=+--， 所以222315(1)(15)(1)(1)x x x y y x x x x -+-'=⋅=--为所求． 例4设y =y '． 解：取对数得[]1ln ln(1)ln(2)ln(3)ln(4)2y x x x x =+++-+-+，两边对x 求导得11111121234y y x x x x ⎛⎫'=+-- ⎪++++⎝⎭， 故1111121234y x x x x ⎛'=+-- ++++⎝ 例5 设xy x =，求y '．解：取对数得ln ln y x x =，两边对x 求导得1ln 1y x y '=+，故(ln 1)xy x x '=+为所求．例6 设xxy x =，求y '．解：取对数得 ln ln xy x x =， 两边对x 求导得11(ln 1)ln x x y x x x x y x '=++⋅， 故为所求21ln ln x x x y x x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭．四、参变量函数的求导平面曲线 C 有一种表达方式，即由参变量方程 ()()x t t y t ϕαβψ=⎧≤≤⎨=⎩ ()给出．000((),())P t t ϕψ点在曲线C 上， 切线的斜率可由割线的斜率取极限而得，而割线斜率为0000()()()()t t t y x t t t ψψϕϕ+∆-∆=∆+∆-， 于是切线斜率为0limx y x ∆→∆∆0000000()()()lim ()()()t t t t t t t t t t t ψψψϕϕϕ∆→+∆-'∆==+∆-'∆，即00()d tan d ()t y x t ψαϕ'=='．在上面的推导中，要求00(),()t t ϕψ''存在．如果[][]22()()0t t ϕψ''+≠，此时称曲线C为光滑曲线，且d ()d ()y t x t ψϕ'='． 例7 求椭圆cos sin x a t t y b t π=⎧≤≤⎨=⎩ ( 02)的斜率为b a -的切线方程.解：d (sin )cot d (cos )y b t b =t x a t a '=-'，由cot b b t =aa --得5,44t t ππ==，切点坐标为,,⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，切线方程为,,b b y x y x a a ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即ay bx +=或ay bx +=为所求．七、高阶导数1 高阶导数的定义定义 1 若函数()y f x =的导函数()f x '在0x数，记作0()f x ''．即0000()()()limx f x x f x f x x ∆→''+∆-''=∆．若函数()y f x =在区间I 上二阶可导，则可得到I 或f y ''''，等．一般地，函数()y f x =在I 上n 阶导数的导数称为n+1阶导数，n 阶导数记作()()d (), d n n n nyfx y x 或．2 二阶导数的物理解释物体作直线运动，运动规律为()s s t =，其瞬时速度为()v s t '=，而瞬时速度对时间的变化率为0()()limt s t t s t t ∆→''+∆-∆，这就是加速度a ，即 0()()lim t s t t s t a t ∆→''+∆-=∆．如自由落体运动，运动规律为212h gt =，瞬时速度为v h gt '==，加速度为a v h g '''===．3 高阶导数的计算 例7 求ny x =的各阶导数．解： 1n y nx -'=，2(1)n y n n x -''=-，3(1)(2)n y n n n x -'''=--，(4)4(1)(2)(3)n y n n n n x -=---，L L(1)(1)(2)(3)32n yn n n n x -=---⋅⋅，()!n y n =，≤O(1)0n y +=．例8 设sin xy e x =，求y ''． 解：sin cos (sin cos )x x xy e x e x e x x '=+=+；(sin cos )(cos sin )x x y e x x e x x ''=++-2cos x e x =．小结：本节通过案例引入导数的概念，并给出了左导数与右导数的概念、高阶导数的概念，要理解导数的几何意义，并能用几何意义求切线方程。