高等数学3单元(1)第2章导数教案

高等数学教案

第2章 导数与微分 §2.1 .1 导数的概念

一、导数的引入 1 瞬时速度

设有一质点作直线运动，运动规律为()s s t =．如果质点作匀速直线运动，则速度s v t =

，

如果质点作非匀速直线运动，则可用平均速度来描述质点的运动．

若0t 为某一时刻，t ∆为一时间段，s ∆为此时间段内质点的位移， 即

00()()s s t t s t ∆=+∆-，则平均速度为

00()()

s t t s t v t +∆-=

∆，如果0t ∆→时v 的极限存在，

则

000()()

lim

t s t t s t v t ∆→+∆-=∆称为质点在0t 时刻的瞬时速度．

2 切线斜率

设平面曲线由()y f x =给出，如图．()000,()P x f x 为曲线上一点，在曲线上另取一点P ，

作割线0P P ，割线斜率为 00()()

f x x f x k x +∆-=

∆．

当P 点沿曲线趋于0P 时，割线0P P

的极限位置0PT

存在，则称0PT 为曲线在 0P 点的切线．切线斜率为

000

()()

lim

x f x x f x k x ∆→+∆-=∆．

在前面讨论的几个例子中，我们得到了函数的改变量与自变量的改变量的比值极限，由

此而得导数的概念．

二、导数的定义

定义1 设函数()y f x =在0x 点的某邻域内有定义，给自变量以改变量x ∆，函数相应的改变量为00()()y f x x f x ∆=+∆-，

如果000()()

lim

x f x x f x x ∆→+∆-∆存在，则称()y f x =在0x 点可导，并称此极限为函数

()y f x =在0x 点的导数，记作0|x x y ='或0()f x '，即0000()()

()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆或

0000

()()

()lim

x x f x f x f x x x →-'=-，

如果极限不存在，则称函数()y f x =在0x 点不可导

例1 求函数2()f x x =在 x = 1 点的导数，并求曲线2

y x =在(1, 1)点的切线方程．

解： 200(1)(1)(1)1

(1)lim lim x x f x f x f x x ∆→∆→+∆-+∆-'==∆∆0lim(2)2x x ∆→=+∆=．

所以曲线在(1, 1)点的切线方程为y – 1 = 2 (x – 1)，即y = 2x – 1．． 三、单侧导数

定义2 左导数0000()()()lim x f x x f x f x x -

-∆→+∆-'=∆，

右导数0000()()

()lim x f x x f x f x x +

+∆→+∆-'=∆．

左导数与右导数统称为单侧导数

定理1 0()f x '存在⇔00(), ()f x f x -+''都存在，且00()()f x f x -+''=． 由单侧极限与极限的关系即知定理成立．

例2 设

1cos ()x x f x x x -≥⎧=⎨

⎩ 0 <0，求其在x = 0点的单侧导数． 解：0()(0)(0)lim 1x f x f f x -

-∆→∆-'==∆，01cos (0)lim 0

x x

f x ++∆→-∆'==∆．

因为左右导数不相等，所以此函数在 x = 0 点不可导

．

例3、

()f x x

=在 x = 0 点不可导．因为 0(0)lim 1x x f x --∆→∆'==-∆，0(0)lim 1

x x

f x ++∆→∆'==∆

四、导数与连续的关系

定理2 若函数()y f x =在0x 点可导，则()y f x =在0x 点连续． 证：设函数()y f x =在0x 点可导，则 0000

()()

()lim

x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆，

于是()000

lim ()()0

x f x x f x ∆→+∆-=，所以()y f x =在0x 点连续．

注意：定理的逆不成立，例如()f x x

=在x = 0 点连续，但在x = 0 点不可导．

．

五、导函数

定义 3 若函数()y f x =在区间I 上每一点都可导，则称()y f x =在区间I 上可导．, |()x I f x '∀∈∃与之对应，由此而确定的函数称为()y f x =的导函数，简称为导数，

记作, ()y f x ''或d d y x ，即0()()

()lim x f x x f x f

x x ∆→+∆-'=∆．

例5 求函数2

()f x x =的导数．

解：222

00()2()lim lim 2x x x x x x x x f x x

x x ∆→∆→+∆-∆-∆'===∆∆．

六、导数的几何解释

函数()y f x =在0x x =可导，则

()y f x =在点0x x =的切线斜率

0tan ()k f x α'==．

所以曲线()y f x =在0x x =点的切线方程为000()()y y f x x x '-=-．当0()0f x '≠时，

法线方程为

()00001

()()0()y y x x f x f x -'-=

-≠'．

例6 求曲线3

y x =在0x x =点的切线方程与法线方程．

解：23y x '=，0203|x y x '=，

切线方程为32

0003()y x x x x -=-，法线方程为3

0020

1()3y x x x x --=-

如图，因为

2

000

()33y f x x x '==

， 所以切线与x 轴的交点为02,03x ⎛⎫ ⎪

⎝

⎭． 知道了曲线与x 轴的交点，我们就可以用切点与交点的连线作出曲线的切线．

2.1.2 求导举例与变化率举例

一求导举例