定积分的定义法求极限

定积分的定义在求无穷和式极限中的应用

度、操作技能的掌握程度、收集整理资料的能力以及观察问题和分析解决问题的能力等，充分发挥学生的主观能动性。３实施方案
（１）根据素质教育要求和教育部“关于进一步深化本科教学改革全面提高教学质量的若干意见”，结合专业实际在充分调研的基础上调整好食品质量与安全专业实践教学体系。
（２）以学科与课程组为单位，编写实验教学大纲和实习实践教学大纲，在修订实验大纲以及实验教材时，增加综合性、设计性实验比重，并把学科发展的新成果充实到教学内容中去。
（６）对已建立协议的教学实习基地要不断加强联系与交流，建立牢固的长期合作关系，每学年邀请基地领导来我院共同研究实习基地建设问题，并做好年度实习基地建设工作总结。继续考察、遴选新的实习基地，加快建立满足新专业要求的实习基地。
（７）积极开展第二课堂活动，推进导师制，言传身教使学生在参加科技实践创新活动中，提高实践能力及创新能力。
在高等数学的教学中，介绍了很多求函数极限的方
法。但是当我们遇到极限为“无穷多个无穷小之和”的形
式（以下简称无穷和式），就不能用这些常规的方法了。
通常是先求出无穷数列前ｎ项的和，再求和式的极限。但当
数列的前ｎ项的和不易求出时，我们就可以考虑用定积分的
定义来求它的极限了。
学过定积分的定义，我们知道定积分是积分和的极
参考文献：［１］常庚哲等．数学分析教程（上）［Ｍ］．北京：高等教育出版
社，２００３：３００～３３１．［２］吉米多维奇．数学分析习题集题解（六）［Ｍ］．济南：山东科学技术
出版社，２００２：１０３～１４８．［３］上海财经大学应用数学系．高等数学［Ｍ］．上海：上海财经大学出
（３）出台相应的激励政策，鼓励教师参与实践教学的改革，并通过实践教学活动和科研有机结合起来，产学研相长，不断提高实践教学水平。

定积分的概念及性质

定积分的概念、微积分基本定理及其简单应用一．定积分的定义A ）定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点，把区间[a,b]分成n 个小区间，记},......,,max{,,......2,1,211n i i i x x x n i x x x ∆∆∆==-=∆-λ在[i i x x ,1-]上任意取一点i ξ，作和式：)1.......()(1ini ix f ∆∑=ξ 如果无论[a,b]作怎样分割，也无论i ξ在[i i x x ,1-]怎样选取，只要0→λ有→∆∑=ini ixf 1)(ξI （I 为一个确定的常数），则称极限I 是f(x)在[a,b]上的定积分，简称积分，记做⎰b adx x f )(即I=⎰badx x f )(其中f(x)为被积函数，f(x)dx 为积分表达式，a 为积分下限，b 为积分上限，x 称为积分变量，[a,b]称为积分区间。

例：求曲边图形面积：3x y =的图像在[]1,0∈x 间与1=x 及x 轴围成的图形面积。

注：1、有定义知道⎰ba dx x f )(表示一个具体的数，与函数f(x)以及区间[a,b]有关，而与积分变量x 无关，即⎰badx x f )(=⎰badu u f )(=⎰badt t f )(2、定义中的0→λ不能用∞→n 代替3、如果ini ix f Lim∆∑=→1)(ξλ存在，则它就是f(x)在[a,b]上的定积分，那么f(x)必须在[a,b]上满足什么条件f(x)在[a,b]上才可积分呢？经典反例：⎩⎨⎧=中的无理点，为，中的有理点，为]10[0]10[,1)(x x x f 在[0，1]上不可积。

可见函数f(x)在什么情况下可积分并不是一件容易的事情。

以下给出两个充分条件。

定理1 设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2 设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

求定积分的四种方法

定积分的四种求法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例题分析定积分计算的几种常用方法．一、定义法例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n．（2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222nnni i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑.（4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦L ＝224(21)lim n n n n →∞++=＝4．∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++．所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193．评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法例3 求定积分11dx -⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：11dx -⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S π=半圆，又在x 轴上方．所以11dx -⎰＝2π．评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分： ⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x xdx x ππ-+⎰．分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x xx +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．所以⑴44tan xdx ππ-⎰＝0；⑵22sin 1x xdx x ππ-+⎰＝0．评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()aaf x dx -⎰＝20()af x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()aaf x dx -⎰＝0．小结通过这几个例题分析，让我明白并牢固记住了如何求定积分的方法，懂得在什么情况该用何种方法解决问题；它有非常重要的意义，并且应用也非常广泛，因此掌握此四种方法可以为学好其他比如物理学应用打下良好的基础。

8定积分应用(求极限,变上限求导,面积,体积,不等式)

y
o
x
4.设 y ax与 y x 2 围成图形的面积为s1 , 它们与x 1 围成图形的面积为s2 , 且 0 a 1 (1) 求 a , 使 s1 s2 最小
(2) 求此最小值对应的平面图形绕 x 轴旋转而得的旋转体体积. 解 (1) 0 a 1 时, s s1 s2
例
x sin( xt ) f ( x) . lim 2 ，其中 f ( x) 2 dt x x 0 x t
例 : 设f ( x )连续, 且f ( 0 ) 0
求 lim
x0
x
0
( x t ) f (t )dt
x 0
x f ( x t )dt
1 ( ) 2
例.
例
3
设隐函数y y( x )由
o
x
1 3 1 2 （） (1 y 2 y) dy ( y y y ) . 1 S 0 3 3 0 2 2 1 2 2 （2） V ( x) dx ( x 1) dx 0 1 6 2
1 2
1
(3)绕直线 x 2 旋转所得旋转体的体积.
例
.设f ( x)为奇函数，且当 0时，f ( x) 0 x
sin( xt ) f ( x) 0, 其中 f ( x) 2 dt，令 x t
x
F ( x) f ( xt)dt tf (t 2 x 2 )dt,
1 0
1
x
判别F (x)在，上的凹凸性
3 2 2
2 f ( ) f ( ) 0
(2).设f ( x)在2,4上可导, 且
f (2) ( x 1) f ( x)dx 。

定积分的定义公式分割近似求和取极限

定积分的定义公式分割近似求和取极限定积分这玩意儿，在数学里那可是个相当重要的角色。

它的定义公式——分割近似求和取极限，听起来好像挺复杂，但咱们慢慢捋捋，其实也没那么可怕。

我记得有一次，我在课堂上讲定积分的时候，有个学生一脸迷茫地看着我，那小眼神仿佛在说：“老师，这都是啥呀？”我就跟他说：“别着急，咱们一步一步来。

”咱先说分割。

这就好比你有一块大蛋糕，你要把它切成好多小块。

比如说，一个函数的区间[a,b] ，咱把它分成 n 个小区间，这就是分割。

每个小区间的长度不一定相等，但加起来就是整个区间的长度。

然后是近似。

这就像你切完蛋糕，要估计每一小块的大小。

对于每个小区间里的函数值，咱找个简单的数来近似代替，比如说区间里某一点的函数值。

再说说求和。

把每个小区间里近似的函数值乘以小区间的长度，然后加起来，这就是求和。

最后是取极限。

当把区间分得越来越细，小区间的数量越来越多，每个小区间的长度越来越小，这个求和的结果就会越来越接近一个确定的值，这个值就是定积分的值。

比如说，你要计算从 0 到 1 区间上 x²的定积分。

咱先把这个区间分成 n 个小区间，每个小区间的长度就是 1/n 。

然后在每个小区间里，咱用区间中点的函数值来近似代替。

比如第 i 个小区间的中点是 i/n ，那这个小区间里的函数值就近似为 (i/n)²。

把每个小区间的近似值乘以小区间长度 1/n 再加起来，得到一个式子。

最后让 n 趋向于无穷大，取这个式子的极限，就能得到定积分的值 1/3 。

在实际生活中，定积分也有很多用处呢。

就像你要计算一个不规则图形的面积，或者计算一个物体在一段时间内移动的路程，都能用到定积分。

还记得有一次我装修房子，要计算一面墙的不规则形状的面积，来确定需要多少壁纸。

我就用定积分的思路，把那面墙的形状分割成好多小部分，近似计算每一部分的面积，最后求和取极限，算出了差不多准确的面积，成功买到了合适数量的壁纸。

考研高数中求极限的几种特殊方法

考研高数中求极限的几种特殊方法在数学分析中，极限是研究函数的重要工具。

通过极限，我们可以研究函数的性质，进行函数的计算，以及解决与函数相关的问题。

求函数极限的方法有很多种，以下是几种常见的方法。

对于一些简单的初等函数，我们可以直接根据函数的定义代入特定的x值来求得极限。

例如，求lim (x→2) (x-2)，我们可以直接代入x=2，得到极限为0。

当函数在某一点处的极限存在时，如果从该点趋近的数列是无穷小量，则此函数在该点处的极限就等于该数列的极限。

例如，求lim (x→0) (1/x)，我们可以令x=1/t，当t→∞时，x→0，而t=1/x趋近于无穷小量，所以lim (x→0) (1/x) = lim (t→∞) (t) = ∞。

洛必达法则是求未定式极限的重要方法。

如果一个极限的形式是0/0或者∞/∞，那么我们可以通过对函数同时取微分的方式来找到极限的值。

例如，求lim (x→+∞) (x^2+3)/(2x^2+1)，分子分母同时求导，得到lim (x→+∞) (2x/4x) = lim (x→+∞) (1/2) = 1/2。

对于一些复杂的函数，我们可以通过泰勒展开的方式将其表示为无限多项多项式之和的形式。

通过选取适当的x值，我们可以使得多项式的和尽可能接近真实的函数值。

例如，求lim (x→0) ((1+x)^m-1)/x，我们可以使用泰勒展开得到lim (x→0) ((1+x)^m-1)/x = lim (x→0) m(1+x)^(m-1) = m。

夹逼定理是一种通过构造两个有界序列来找到一个数列的极限的方法。

如果一个数列的项可以划分为三部分，而每一部分都分别被两个有界序列所夹逼，那么这个数列的极限就等于这两个有界序列的极限的平均值。

例如，求lim (n→∞) (n!/(n^n))^(1/n)，令a_n=(n!/(n^n))^(1/n)，则a_n ≤ a_{n+1}且a_n ≥ a_{n-1}，因此由夹逼定理可知lim a_n=lim a_{n+1}=lim a_{n-1}=1。

求定积分的四种方法

求定积分的四种方法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法．一、定义法例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n．（2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222n n n i i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++．所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193．评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法例3 求定积分11dx -⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：11dx -⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S π=半圆，又在x 轴上方．所以11dx -⎰＝2π．评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分： ⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰．分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x x x +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．所以⑴ 44tan xdx ππ-⎰＝0；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰＝0．评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()a a f x dx -⎰＝20()a f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()a a f x dx -⎰＝0．。

求定积分的四种方法

定积分的四种求法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例题分析定积分计算的几种常用方法．一、定义法例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n．（2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222n n n i i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++．所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193．评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法例3 求定积分1211)x dx --⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：1211x dx --⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S π=半圆，又在x 轴上方．所以1211x dx --⎰＝2π．评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分：⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰．分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x x x +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．x y o 1-11所以⑴ 44tan xdx ππ-⎰＝0； ⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰＝0．评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()a a f x dx -⎰＝20()a f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()aa f x dx -⎰＝0．小结通过这几个例题分析，让我明白并牢固记住了如何求定积分的方法，懂得在什么情况该用何种方法解决问题；它有非常重要的意义，并且应用也非常广泛，因此掌握此四种方法可以为学好其他比如物理学应用打下良好的基础。

求定积分的四种方法

定积分的四种求法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例题分析定积分计算的几种常用方法．一、定义法例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n．（2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222n n n i i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++．所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193．评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法例3 求定积分11dx -⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：11dx -⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S π=半圆，又在x 轴上方．所以11dx -⎰＝2π．评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分： ⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰．分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x x x +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．所以⑴ 44tan xdx ππ-⎰＝0； ⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰＝0．评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()a a f x dx -⎰＝20()a f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()a a f x dx -⎰＝0．小结通过这几个例题分析，让我明白并牢固记住了如何求定积分的方法，懂得在什么情况该用何种方法解决问题；它有非常重要的意义，并且应用也非常广泛，因此掌握此四种方法可以为学好其他比如物理学应用打下良好的基础。

定积分的定义在求无穷和式极限中的应用

而应该用定积分的定义来求。如能找到函数ｆｘ和区间（）
极限可以通过定积分的定义来计算。下面举例说明含有三角函数数列的ｎ之和的极限的求法。项
例：极，ｐｎｓ＋ｓｎ。５求限ｉ（Ｉｎ－ｊ－ｍｓ＋一ｎ）ｉｉ十２
喜』 …ａ；。忐１扣叫＝
例：极［Ｉ＋＋击）４求ｎ－。限－＋
分析：此题所研究的极限为ｎ和的形式，可看成函数项，ｘ＝（）
解：
ｆ
、
限，也是无穷和式的极限，即Ｉ（，
ｌｉｍ
）。故对
积分。
解：
ｎ＋ｎＩ。－２－ｎ］ｎ－
原式＝ｉ）＝ｌｍｅ， ’ 』，
例３求极限ｌ一：ｉ（ｍ＋
分析：此题所研究的是三角函数的ｎ和的形式，可看项成函数ｓｎ在区间［，］的一个积分和式，又由于ｓｎ是ｉｘ０１上ｉｘ
［，］ａｂ，构成ｔ，的形式，则可化为定积分去求值。Ｒ）
某些无穷和式的极限，只要能将此和式写成某个函数在某个区间上的积分和的形式，其关键是函数ｆＸ和区间（）［，］ａｂ的确定，这样就可以利用定积分求此极限。下面就通过若干实例来进行说明。例１：求极限１（＋－．＋）。ｉ＋－ｍ２ ’

定积分计算的方法与技巧

定积分计算的方法与技巧摘要：定积分是积分学的重要组成部分，其概念抽象、难以理解、解题方法灵活多变。

本文讨论了定积分计算的各种方法与技巧。

关键词：定积分换元积分法分部积分法计算方法定积分与不定积分是积分学的两个组成部分，定积分不仅是积分学的基础，而且是概率统计、复变函数等课程的重要知识工具.定积分概念抽象、定理较多，学生不仅在理论学习中难以理解掌握，在定积分计算中难度也很大，往往面对一个题目，不知如何下手.因此，本文通过对各种题型、各种解题方法的分析研究，讨论了定积分计算的方法与技巧，希望对初学者有所帮助.一、利用定积分定义计算定积分定积分的思想方法是：“分割、取近似、求和、求极限”，实质是在连续区间上求和，我们通过例子来说明定积分定义的含义.例1.用定积分定义计算：edx.解：将区间［0，1］n等分，分成n个小区间［，］，则每个小区间的长为Δx=，并取ξ=为右端点（i=1，2，…，n），得到：原式=f（ξ）Δx=e•==e-1.注：一般来说，用定义计算定积分是十分麻烦的，实际计算中，并不用上述方法.二、利用定积分性质估算定积分的值例2.估算定积分（1+sinx）dx的值解：f（x）=1+sinx在［，π］上的最大值为f（）=2，最小值为f（π）=1，即：1≤1+sinx≤2，所以：π=1×（-）≤（1+sinx）dx≤2×（-）=2π.三、利用Newton-Leibniz公式计算定积分设f（x）在［a，b］上连续，且F′（x）=f（x），则f（x）dx=F（b）-F（a），这就是Newton-Leibniz公式.由此看出：Newton-Leibniz公式刻画了定积分与不定积分的紧密联系，它使得计算定积分时，只要找到被积函数f（x）的某个原函数F（x），F（x）在b，a两点的函数值的差就是所求的定积分.Newton-Le ibniz公式是最基本的定积分计算公式，而找到f（x）的原函数F（x）是应用这个公式的关键，所以，熟练使用Newton-Leibniz公式的关键是对不定积分的计算相当熟练.例3.计算定积分：（1）dx；（2）dx.解：（1）原式=（3x+）dx=［x+arctanx］=1+（2）原式=dx=tanx|=1四、利用定积分对积分区间的可加性计算定积分如果被积函数含有绝对值或平方根时，应按绝对值内或被开方式子的正负号将积分区间分段求定积分的代数和.同样，对分段函数的定积分，也应该按分段情况逐段积分.例4.计算定积分：（1）；（2）f（x）dx，其中f（x）=x+1，x≤1x，x＞1解：（1）原式==（cosx-sinx）dx+（sinx-cosx）dx=［sinx+cosx］+［-cosx-sinx］=2（-1）（2）f（x）dx=（x+1）dx+xdx=［x+x］+［x］=五、利用换元积分法计算定积分不定积分的换元积分法有两种类型，同样定积分的换元积分法也有两种类型：当用第一类换元积分法求定积分时，若未引进新的积分变量，则积分上、下限不变；当用第二类换元积分法求定积分时，由于引入了新的积分变量，因此，积分上、下限要作相应改变.例5.计算定积分：（1）（1-sinθ）dθ；（2）dx；（3）dx；（4）已知dx=，求a.解：（1）原式=dθ+（1-cosθ）dcosθ=π+［cosθ-cosθ］=π-（2）原式=d（x-1）=［（x-1）+arcsin（x-1）］=（3）令x=π-t，则原式=（-dt）=dt-dt所以，原式=dt=-［arctan（cost）］=.（4）令=t，即x=ln（t+1），dx=dt，则:原式=•dt=2arctant|=π-2arctan，由-2arctan=得：arctan=，所以a=ln2.六、利用分部积分法计算定积分分部积分法的公式为：uv′dx=［uv］-u′vdx，而如何确定恰当的u，v与不定积分的思想完全相同，当u，v选择不恰当时，很难算出定积分，具体求解时，有时须先换元，再分部积分.例6.计算定积分：dx解：令x=sint，dx=costdt，则：原式=costdt=-（cott）′tdt=-tcott|+cottdt=π+ln3.七、对称区间上的定积分的计算由公式f（x）dx=［f（x）+f（-x）］dx=2f（x）dx，f（x）为偶函数0，f（x）为奇函数，可计算对称区间上的定积分或者可化为对称区间上的定积分.例7.计算定积分：（1）I=sin（lnx）dx；（2）I=dx解：（1）令t=lnx，则I=esintdt=sint（e+e）dt=（e-e）（2）令t=lnx并应用得arctanu+arctan=得：I=（arctane+arctane）sintdt=sintdt=.注：从上例看出：对积分上限、下限互为倒数的区间［，a］上的定积分f（x）dx，可引入变换t=lnx，化为对称区间［-lna，lna］上的定积分f（x）dx=ef （e）dt.定积分的计算方法很多，除上面介绍的方法外，还有周期函数的定积分计算，建立递推公式计算定积分，等等，同时定积分的各计算方法不是孤立的，很多题目都可能是几种计算方法联合使用，只有多练习才能熟能生巧.。

定积分及其计算方法

= 2( 2 −1 )
π
4
4
0
2 +[−cos x−sin x] π 4
π
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例11. 选择一个常数 c , 使
解: 令 t = x +c, 则
=∫
b+c
a+c
t cos t dt
99
因为被积函数为奇函数 , 故选择 c 使即
a +c = −(b+c) a +b c =− 2
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(03考研)
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f (2x −a) 存 , ∴ lim f (2x −a) = 0, 在证: (1) Q lim x −a x→ + a x→ + a 由 f (x)在[a, b]上连续, 知 f (a) = 0. 又f ′(x) > 0 所以f (x) ，在(a, b)内单调增, 因此
π
π
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n n n +L+ 2 2 ). 求极限 lim ( 2 + 2 2 n→ n +1 n + 2 ∞ n +n 练习: 练习: 1. 1 1 1 1 n π = dx= 解：原式 = lim ∑ 2 ∫0 2 n→ n i= 1+( i ) ∞ 4 1+ x 1 n
2 2 2 + 1 +L + 1 ). 2. 求极限 lim ( n→ ∞ n +1 n + n+ n 2 i i 1 n n 1 n n lim 提示：提示 lim ∑2 ≤ 原式 ≤ n→∞n ∑2 n→ n +1 ∞ i= 1 i= 1

求极限的13种方法

求极限的13种方法（简叙）龘龖龙极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，极限思想亦是高等数学的核心与基础，因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。

本篇较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。

一、利用恒等变形求极限利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多变，令人难以琢磨。

常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。

例1、求极限)1...()1)(1(22lim na aa n +++∞→ ，其中1<a分析由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立，因此，应先对其进行恒等变形。

解因为)1...()1)(1(22na a a +++ =)1...()1)(1)(1(1122na a a a a +++-- =)1...()1)(1(11222na a a a ++-- =)1(1112+--n a a当∞→n 时，,21∞→+n 而1<a ，故从而,012→+n a)1...()1)(1(22lim naa a n +++∞→=a-11 二、利用变量代换求极限利用变量代换求极限的主要目的是化简原表达式，从而减少运算量，提高运算效率。

常用的变量代换有倒代换、整体代换、三角代换等。

例2、求极限11lim 1--→nmx x x ，其中m,n 为正整数。

分析这是含根式的（00）型未定式，应先将其利用变量代换进行化简，再进一步计算极限。

解令11,1→→=t x x t mn时，则当原式=mnt t t t t t t t t t t t m m n n m m n n t m n t =++++++=+++-+++-=----------→→1...1...)1...)(1()1...)(1(lim 11lim 2121212111 三、利用对数转换求极限利用对数转换求极限主要是通过公式,ln v u v e u ⋅=进行恒等变形，特别的情形，在（∞1）型未定式时可直接运用v u v e u ⋅-=)1( 例3、求极限ox →lim xx 2csc )(cos解原式=ox →lim 21sin sin 21lim csc )1(cos 2202---==→ee e xx xx x四、利用夹逼准则求极限利用夹逼准则求极限主要应用于表达式易于放缩的情形。

用定积分定义求极限的n次方

用定积分定义求极限的n次方在数学分析领域中是一个非常重要且常见的问题。

在研究这个问题之前，我们首先需要了解定积分的定义和性质。

定积分是微积分的一个重要概念，它描述了函数在一定区间上的面积或曲线下的面积。

而求极限则是计算函数在某一点或趋于某一点时的取值。

在本文中，我们将探讨如何利用定积分的定义求极限的n次方，并深入研究这个问题的数学原理和推导过程。

# 定积分的定义和性质定积分是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在一定区间上的面积或曲线下的面积。

在数学上，定积分可以定义为函数在一个区间上的面积，它可以被用来描述曲线下的面积、求函数的平均值等。

定积分的定义如下所示：\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{n→∞}\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)Δx其中，a和b是积分区间的上下限，f(x)是被积函数，dx表示积分变量，n 表示将区间分成的小区间的个数，x_i^*是每个小区间的取样点，Δx表示每个小区间的长度。

定积分具有一些重要的性质，如线性性、可加性等，这些性质在求解极限的n次方问题中发挥着重要作用。

# 求极限的n次方的定义求极限的n次方是一个常见且重要的数学问题，在实际问题中也经常遇到。

当我们要计算一个函数在某一点或趋于某一点时的取值时，就需要求该函数的极限。

求极限的n次方问题可以表示为：\lim_{x→a}(f(x))^n其中，f(x)是一个函数，n是一个正整数，a是函数的极限点。

当n为奇数时，求解这个极限问题比较简单，但当n为偶数时，就需要一些特殊的技巧和方法来求解。

在本文中，我们将重点讨论求极限的n次方问题中n为偶数的情况，并探讨如何利用定积分的定义来求解这个问题。

# 利用定积分定义求极限的n次方在求解极限的n次方问题中，当n为偶数时，我们可以利用定积分的定义来求解这个问题。

具体的推导过程如下：首先，我们将求解的问题转化为求解函数f(x)在区间[a,b]上的平均值的n 次方的极限。

定积分的定义与计算技巧

定积分的定义与计算技巧定积分是微积分中的重要概念之一，常用于计算曲线下的面积、求解物体的质量和质心等问题。

本文将介绍定积分的定义以及一些常用的计算技巧。

一、定积分的定义定积分的定义基于Riemann和，其一维形式可以表示为以下形式：∫[a,b] f(x) dx = lim(n→∞) ∑[i=1 to n] f(xi) Δx其中，∫表示定积分符号，[a,b]为积分区间，f(x)为需要积分的函数，dx表示自变量的微小增量，lim表示极限，Σ表示求和，n表示分割区间的个数，xi表示选取的每个子区间中的任意一点，Δx表示子区间的长度。

按照这个定义，我们可以逐步将区间[a,b]等分为n个小区间，并在每个小区间内选择一个xi，然后将每个小区间内的函数值乘以Δx（子区间长度）并相加，最后取极限，即可得到定积分的解。

二、定积分的计算技巧1. 基本积分表在计算定积分时，我们通常会遇到一些常见函数的积分。

这些积分可以通过积分表得到，包括幂函数、三角函数、指数函数等。

熟练掌握这些基本积分表可以大大简化计算过程。

2. 分部积分法当被积函数是两个函数的乘积时，可采用分部积分法进行化简。

分部积分法的公式为：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx通过不断地应用分部积分法，可以将原始的积分化简成更为简单的形式。

3. 替换变量法有时我们可以通过变量替换将不易计算的定积分转化为更为简单的形式。

常见的变量替换包括三角替换、指数替换等。

通过巧妙地选择替换变量，可以将积分问题转化为更易处理的形式。

4. 利用对称性在某些情况下，函数具有对称性，可以利用对称性简化定积分计算。

例如，当被积函数是奇函数时，其积分结果一定为0；当被积函数是偶函数时，积分结果可以通过将积分区间取两倍再除以2来计算。

5. 切割法对于一些具有不连续性的函数，可以通过切割法将定积分问题转化为多个简单的积分问题。

将原始积分区间切割为多个子区间，在每个子区间上分别计算积分，最后将结果相加即可得到原始问题的解。

关于利用定积分定义去解决数列极限问题总结(最新整理)

n1
f
k 0
k
n
1 n
第一项是f
0
n
=f
0
, 第二项是f
n- 1
n
,
n- 1 n
0 n
n- 1 n
n
f
k 1
k
n
1 n
第一项是f
1 n
,
第二项是f
n n
,
n n
1 n
n- 1 n
n- 1 我们发现这两种方法选取的第一个点和最后的一个点自变量相减都是，
n
n
1
1
n
1
2
AAA
1 2n
=
1 n
n
n
1
n
n
2
AAA
n
2n
现在问题又来了，
1
感觉括号里面还是找不到对应的规律啊，因为要出来 f 0
n
x dx =l i m f n k 1
k 1
n
n
也就是说要出来 k ，说的更详细点也就是每一项要出现 0 , 1 , 2 , 3 之类的，
n
nnnn
分析：因为每一项xnk
1 k 1含有n, 所以想到定积分，但是每一项并没有 n2
出来
1 n
,
所以转化一下xnk
1 k n2
1=
1 n
n
1 k n2
1
下面我要让式子中出现 k 这个整体有关的东西，不然没法利用定积分去做 n
xnk
1 n
n
1 k n2
1
=
1 n
n
k n2
1 n n
n 1
2n

求极限的13种方法

求极限的13种方法（简叙）龘龖龍极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，极限思想亦是高等数学的核心与基础，因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。

本篇较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。

一、利用恒等变形求极限利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多变，令人难以琢磨。

常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。

例1、求极限)1...()1)(1(22lim na aa n +++∞→ ，其中1<a分析由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立，因此，应先对其进行恒等变形。

解因为)1...()1)(1(22na a a +++ =)1...()1)(1)(1(1122na a a a a +++-- =)1...()1)(1(11222na a a a ++-- =)1(1112+--n a a当∞→n 时，,21∞→+n 而1<a ，故从而,012→+n a)1...()1)(1(22lim na a a n +++∞→=a-11 二、利用变量代换求极限利用变量代换求极限的主要目的是化简原表达式，从而减少运算量，提高运算效率。

常用的变量代换有倒代换、整体代换、三角代换等。

例2、求极限11lim 1--→nmx x x ，其中m,n 为正整数。

分析这是含根式的（00）型未定式，应先将其利用变量代换进行化简，再进一步计算极限。

解令11,1→→=t x x t mn时，则当原式=mnt t t t t t t t t t t t m m n n m m n n t m n t =++++++=+++-+++-=----------→→1...1...)1...)(1()1...)(1(lim 11lim 2121212111 三、利用对数转换求极限利用对数转换求极限主要是通过公式,ln v u v e u ⋅=进行恒等变形，特别的情形，在（∞1）型未定式时可直接运用v u v e u ⋅-=)1( 例3、求极限ox →lim xx 2csc )(cos解原式=ox →lim 21sin sin 21lim csc )1(cos 2202---==→ee e xx xx x四、利用夹逼准则求极限利用夹逼准则求极限主要应用于表达式易于放缩的情形。

利用定积分求极限的方法

利用定积分求极限的方法
用定积分定义求极限的基本方法:
根据定积分的定义:若f(x)在[a,b]上可积，则lim f()x;=(x)dx ，其中
2-30
A=max{Ax}，若取Ax =b-a,5=a+b-a)k~，则得lsisnnhlimfla+-a);p-a=f()dx，特别是，当a=0,b=1时,onkelim- f(一)=f(x)dx。

如果所求极限可以转化为这些和式的极限形式，则可以运用定积-0012
分定义计算极限。

适用情形:
利用定积分定义计算极限，主要用于n 项和式(或可以化为n 项和式)的极限计算，n 项和式中的每项须具有同样的表示形式(是某个函数f(x)的函数值)，如果是分式，则分子的次数须相同，分母的次数须相同，且分母的次数须比分子的次数高1 次。

一般求解步骤:
r白)这fla+-akb-a1)先对和式进行恒等变形化简，使之符合-的表示n1
形式;
2)利用定积分的性质计算出积分值:
3)由定积分值得出原和式的值(有时结合使用夹逼准则)。

求极限是考研数学中的一个重要考点，每年都考，因此，各位考生应该学会如何熟练地求极限。

求极限的方法很多，包括: 利用四则运算、两个准则、两个重要公式、变量代换、等价代换、恒等变形(指数化，有理化，三角变换等)、洛必达法则、泰勒公式、导数定义、定积分定义、中值定理和无穷级数。

为了帮助各位考生掌握好求极限的各种方法，文都考研辅导老师会向大家逐步地介绍这些方法，今天将向大家介绍如何用定积分定义求极限的方法。

数列极限定积分求法

数列极限定积分求法摘要：一、引言二、数列极限与定积分的概念1.数列极限的定义2.定积分的定义三、数列极限求解方法1.单调有界定理2.夹逼定理3.收敛准则四、定积分求解方法1.不定积分法2.分部积分法3.替换变量法五、数列极限与定积分的联系1.牛顿- 莱布尼茨公式2.定积分的几何意义六、案例分析1.求解数列极限2.求解定积分七、总结正文：一、引言在数学中，数列极限和定积分是两个重要的概念。

数列极限用于描述数列的收敛性，而定积分则用于描述函数在一定区间内的累积效应。

本文将阐述数列极限与定积分之间的关系，并介绍求解数列极限和定积分的方法。

二、数列极限与定积分的概念1.数列极限的定义数列极限是指当数列的项数趋于无穷时，数列各项的某个性质（如和、积、商等）的极限值。

设{a_n}为数列，若存在常数L，当n→∞时，有lim(a_n) = L，则称数列{a_n}收敛于L，并记作lim(a_n) = L。

2.定积分的定义给定一个函数f(x)，在区间[a, b] 上求解定积分，即求解以下极限：∫[a, b]f(x)dx = lim(n→∞) Σ[i=1 to n] f(xi) * Δx，其中Δx = (b - a) / n。

三、数列极限求解方法1.单调有界定理若数列{a_n}单调有界，即存在常数M > 0，使得|a_n| ≤ M，对于任意n，则数列{a_n}收敛。

2.夹逼定理若存在两个数列{a_n}和{b_n}，满足：① lim(a_n) = lim(b_n)；② 对于任意n，有|a_n| ≤ |b_n|，则数列{a_n}收敛。

3.收敛准则若数列{a_n}满足以下条件：① lim(a_n) = L；② 对于任意ε > 0，存在N，当n > N 时，有|a_n - L| < ε，则数列{a_n}收敛。

四、定积分求解方法1.不定积分法求解定积分时，可以将被积函数f(x) 分解为基本初等函数的和、差、积、商等形式，然后利用不定积分公式求解。