用定义证明函数极限方法总结

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求极限的12种方法总结及例题

求极限的12种方法总结及例题求极限的12种方法总结及例题1. 引言在数学学习中，求极限是一个重要的概念，也是许多数学题解的基础。

在学习求极限的过程中，有许多不同的方法可以帮助我们理解和解决问题。

本文将总结12种方法，帮助我们更全面地理解求极限的概念，并提供相应的例题进行演示。

2. 利用极限的定义我们可以利用极限的定义来求解问题。

根据定义，当x趋向于a时，函数f(x)的极限为L，即对于任意的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε。

利用这个定义，可以求得一些简单的极限，如lim(x→0) sinx/x=1。

3. 利用夹逼准则夹逼准则是求极限常用的方法之一。

当我们无法直接求出某个函数的极限时，可以利用夹逼准则来找到该函数的极限值。

要求lim(x→0) xsin(1/x)的极限，可以通过夹逼准则来解决。

4. 利用极限的四则运算极限的四则运算法则是求解复杂函数极限的基本方法之一。

利用这个法则，我们可以将复杂的函数分解成简单的部分，再进行求解。

要求lim(x→0) (3x^2+2x-1)/(x+1)，可以利用极限的四则运算法则来求解。

5. 利用洛必达法则当我们遇到不定型的极限时，可以利用洛必达法则来求解。

洛必达法则可以帮助我们求出不定型极限的值，例如0/0、∞/∞、0*∞等形式。

通过洛必达法则，我们可以将求解不定型极限的过程转化为求解导数的问题，从而得到极限的值。

6. 利用泰勒展开泰勒展开是求解复杂函数极限的有效方法之一。

当我们遇到无法直接求解的函数极限时，可以利用泰勒展开将其转化为无穷级数的形式，然后再进行求解。

通过泰勒展开，我们可以将复杂函数近似为一个多项式，从而求得函数的极限值。

7. 利用换元法换元法是求解复杂函数极限的常用方法之一。

通过适当的变量替换，可以将复杂的函数转化为简单的形式，然后再进行求解。

对于lim(x→∞) (1+1/x)^x，可以通过换元法将其转化为e的极限形式来求解。

函数极限连续知识点总结

函数极限连续知识点总结一、函数极限的定义1.1 函数的极限概念首先，我们先来了解一下函数的极限概念。

对于给定的函数$f(x)$和实数$a$，如果当$x$趋于$a$时，函数$f(x)$的取值无限接近某个确定的实数$L$，那么我们称$L$为函数$f(x)$在$x$趋于$a$时的极限，记作$\lim_{x \to a}f(x) = L$，并称函数$f(x)$在$x$趋于$a$时收敛于$L$。

1.2 函数极限的定义根据上面的概念，我们可以得到函数极限的严格定义：设函数$f(x)$在点$a$的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在正数$\delta$，使得当$0 <|x - a| < \delta$时，就有$|f(x) - L| < \varepsilon$成立，那么就称函数$f(x)$在$x$趋于$a$时的极限为$L$，记作$\lim_{x \to a}f(x) = L$。

上述定义可以用符号表示为：对于任意给定的$\varepsilon > 0$，总存在$\delta > 0$，使得当$0 < |x - a| < \delta$时就有$|f(x) - L| < \varepsilon$成立。

1.3 函数极限的几何意义函数极限的定义反映了函数在某一点附近的变化趋势。

通过函数图像可以直观地理解函数极限的几何意义：当$x$在点$a$的邻域内时，函数$f(x)$的图像逐渐接近直线$y=L$，并且可以任意地靠近直线$y=L$。

这也就意味着函数在$x$趋于$a$时，其值可以无限接近于$L$。

1.4 函数极限存在的充分条件函数极限的存在需要满足一定的条件，下面给出函数极限存在的充分条件：（1）函数$f(x)$在点$a$的某个邻域内有定义；（2）存在实数$L$，使得对任意给定的$\varepsilon > 0$，总存在$\delta > 0$，使得当$0 < |x - a| < \delta$时就有$|f(x) - L| < \varepsilon$成立。

求函数极限的方法与技巧

求函数极限的方法与技巧《数学分析》是以函数为研究对象，以极限理论和极限方法为基本方法，以微积分学为主要内容的一门学科.极限理论和极限方法在这门课程中占有极其重要的地位.灵活、快捷、准确地求出所给函数的极限，除了对于函数极限的本质有较清楚地认识外，还要注意归纳总结求函数极限的方法，本文对技巧性强、方法灵活的例题进行研究，进一步完善求函数极限的方法与技巧，有利于微积分以及后继课程的学习.1基本方法1.1利用定义法求极限从定义出发验证极限，是极限问题的一个难点.做这类题目的关键是对任意给定的正数ε，如何找出定义中所说的δ.一般地，证明0lim ()x x f x A →=的方法为：0ε∀>，放大不等式0()f x A x x αε-<<-<(α为某一个常数)解出,0αε<-x x 取αεδ=. 例[1](45)1P 证明32121lim 221=---→x x x x .证 0ε∀>，若221112122132133213x x x x x x x x ε---+-=-=<<--++. (限制x ：011x <-<，则211)x +>，取=min{3,1}δε，则当01x δ<-<时，便有221123321x x x x ε---<<--. 定义中的正数δ依赖于ε，但不是由ε所唯一确定.一般来说，ε愈小，δ也愈小.用定义证明极限存在，有一先决条件，即事先要猜测极限值A ，然后再证明，这一般不太容易，所以对于其它方法的研究是十分必要的.1.2 利用左、右极限求极限lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==. 例2 设tan 3,0()3cos ,0xx f x x x x ⎧<⎪=⎨⎪>⎩ 求0lim ()x f x →.解因为00tan 3tan 3lim ()lim lim 333x x x x xf x x x---→→→==⋅=，00lim ()lim 3cos 3x x f x x ++→→==. 得到0lim ()lim ()3x x f x f x -+→→==，所以0lim ()3x f x →=. 例3 求函数1()11x f x x +=++在1x =-处的左右极限，并说明在1x =-处是否有极限.解 111lim ()lim (1)21x x x f x x ++→-→-+=+=+，11(1)lim ()lim (1)01x x x f x x --→-→--+=+=+.因为11lim ()lim ()x x f x f x +-→-→-≠，所以)(x f 在1x =处的极限不存在.例4 若,0(),0xax b x f x e x +>⎧=⎨<⎩，求分段点0处的极限. 解因为0lim ()lim()x x f x ax b b ++→→=+=，00lim ()lim 1xx x f x e --→→==.所以当1b =时，0lim ()1x f x →=；当1b ≠时，0lim ()x f x →不存在.可见，利用左右极限是证明分段函数在其分段点处是否有极限的主要方法.1.3 利用函数的连续性求极限初等函数在其定义的区间I 内都连续.若I x ∈0，初等函数()f x 当0x x →时的极限就等于其在0x x =时的函数值，即0lim ()()x x f x f x →=.特别地，若[()]f x ϕ是复合函数，又0lim ()x x x a ϕ→=，且()f u 在u a =处连续，则lim [()][lim ()]()x x x x f x f x f a ϕϕ→→==.例5 求21cos 2arcsin 0lim xx x e -→.解由于201cos 1lim2arcsin 4x x x →-=及函数ue uf =)(在14u =处连续，所以2201cos 1cos 1lim2arcsin 2arcsin 4lim x xxx x x e e e →--→==.例[]()21196P 求4x →解4443lim4x x x x →→→==-413x →=== 在4x =连续).例[1](84)7P 求0ln(1)limx x x→+.分析由1ln(1)ln(1)xx x x+=+，设ln y u =，1(1)x u x =+.因为10lim(1)x x x e →+=，且ln y u =在e u =点连续，故可利用函数的连续性求此极限.解 11000ln(1)limlimln(1)ln[lim(1)]ln 1xx x x x x x x e x→→→+=+=+==. 1.4 利用函数极限的四则运算法则求极限若lim ()f x ，lim ()g x 存在，则有:（1）lim[()()]lim ()lim ()cf x bg x c f x b g x ±=±(,c b 为任意常数); （2）lim[()()]lim ()lim ()f x g x f x g x ⋅=⋅;（3）()lim ()lim[]()lim ()f x f xg x g x =(其中lim ()0)g x ≠; （4）lim[()][lim ()]nnf x f x =;（5）若lim ()f x A =，对正整数n ==．注以上每个等式中的“lim ”均指x 的同一趋向．例8 1225lim(2)1x x x x→∞+-. 分析该函数可以看作是两个函数的和.而对于函数2251x x -是分式函数，分子、分母都是多项式函数，并且当自变量x →∞时，归于前面介绍的第四种类型.对于函数12x，当x →∞时，01→x，故121x→．因此，只须再利用和的运算法则即可求得此极限．解 11222255lim(2)lim lim 251411x x x x x x xx x →∞→∞→∞+=+=-+=---． 1.5 利用重要极限求极限 1.5.1 0sin lim1x x x→=可推出0lim 1sin x x x →=，2000tan arctan 1cos 1lim 1,lim 1,lim 2x x x x x x x x x →→→-===.推广:0sin ()lim1()x x x φφ→=或0()lim 1sin ()x x x φφ→= 0(lim ()0)x x φ→=利用此重要极限公式求函数的极限，通常需要利用恒等变换将函数的某一组成部分变成形如sin ()()x x φφ或()sin ()x x φφ的形式.特别注意的是sin ()x φ这个复合函数的内函数()x φ要和分母或分子的函数相同，并且保证()0x φ→ (0)x →，则此部分的极限就为1.例9 求0sin 3limsin 2x xx→.分析设sin 3()sin 2xf x x=，当0x →时，30x →，20x →故可利用恒等变换将()f x 化为sin 3()sin 2x f x x =sin 3233sin 22x x x x =⋅⋅，利用此重要极限公式即可求得.解 0000sin 3sin 323sin 3233lim lim lim lim sin 23sin 223sin 222x x x x x x x x x x x x x x →→→→=⋅⋅=⋅⋅=.1.5.2 1lim(1)xx e x→∞+=或10lim(1)x x x e →+=推广:1lim(1)x x e x φφ→∞+=（）（） (lim ())x x φ→∞=∞或0lim 1x e φφ→+=1(x)（（x)) 0(lim ()0)x x φ→= 对于函数1()(1)x f x x φφ=+（）（）或()1f x φφ=+1(x)（（x))，由于函数的底数和指数位置均含有变量，因此称为幂指函数.此重要极限公式解决的是1∞型幂指函数的极限问题，对于给定的函数，一般情况下也需要利用恒等变形后方可利用此公式.例10 求3lim(1)xx x→∞+.分析设函数3()(1)xf x x=+是幂指函数，当x 趋于无穷大时，底3(1)1x+→，指数x →∞，是1∞型幂指函数，需利用此重要极限公式推广形式，将函数变形为3331()(1)((1))3xx f x x x=+=+，其中()3x x φ=，且当x →∞时，3x→∞，故有31lim(1)3x x e x →∞+=.解 3333311lim(1)lim(1)lim((1))33x xx x x x e x x x→∞→∞→∞+=+=+=.1.6 利用洛必达法则求极限在解决未定式的极限时，最简单的方法是约去分子、分母中趋于零的公因子.洛必达法则正是以求导的方法解决了这个问题.洛必达法则: 设)(),(x g x f 满足①在点0x 的领域内(点0x 可以除外)有定义，且0lim ()0x x f x →=，lim ()0x x g x →=.②在该领域内可导，且0)(≠'x g .③A x g x f x x =''→)()(lim 0. (A 可为实数，也可为∞±或∞)则A x g x f x g x f x x x x =''=→→)()(lim )()(lim00.如果()()f x g x ''在0x x →时，仍为00或∞∞型，且这时()f x '与()g x '仍满足定理中的条件，则可继续使用洛必达法则.例11 求22230sin cos lim sin x x x x x x→-.解 2223400sin cos (sin cos )(sin cos )lim lim sin x x x x x x x x x x x x x x→→-+-= 320000sin cos sin cos cos cos sin 2sin 2limlim 2lim lim 333x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→+--+=⋅===. 1.7 利用无穷小求极限1.7.1 利用无穷小量的性质求函数的极限性质1 有限个无穷小量的代数和是无穷小量. 性质2 有限个无穷小量之积是无穷小量. 性质3 任一常数与无穷小量之积是无穷小量. 性质4 无穷小量与有界变量之积是无穷小量. 例12 求1lim()cosx x x πππ→--. 解 0)(lim =-→ππx x ，而1cos1x π≤-,所以1lim()cos 0x x x πππ→-=-.1.7.2 利用等价无穷小量替换求函数的极限若11()~(),()~()x x x x ααββ且11()lim()x x αβ存在，则()lim ()x x αβ也存在，并且11()()limlim ()()x x x x ααββ= 注 1. 常用的几对等价无穷小量.(当0x →时)2sin ~,tan ~,ln(1)~,1~,1cos ~2xx x x x x x x e x x +--.2. 等价无穷小量替换，来源于分数的约分，只能对乘除式里的因子进行代换，在分子（分母）多项式里的单项式通常不可作等价代换.例13求0lim x +→.分析函数经过变形可化为00lim lim x x ++→→0x +→时，利用21cos ~,1~22x xx --等价无穷小来计算极限.解原式00lim lim x x ++→→==2000112lim lim lim222x x x x x x +++→→→==⋅=⋅. 例14 求0ln(1sin )lim x x x α+→-(α是实数).解当0x →时，ln(1sin )~sin ~x x x --- 1000,1ln(1sin )lim lim()1,1,1x x x x x ααααα++-→→<⎧-⎪=-=-=⎨⎪-∞>⎩. 1.8 利用降幂法求极限 1.8.1 分子分母为有理式()lim()x P x Q x →∞，其中()P x ，()Q x 均为多项式函数方法:将分子、分母同除以x 的最高次幂.例15 求2256lim 2x x x x x →∞+++-.分析该函数是分式函数，分子2()56P x x x =++，分母2()2Q x x x =+-均为二次多项式函数，且自变量x 趋近于∞时均趋近于∞，故采取将分子、分母同除以最高次幂2x ，即消去2x ，有22562x x x x +++-22561121x x x x++=+-而1lim 0x x →∞=，21lim 0x x →∞=，再利用极限的运算法则，即可求出函数的极限. 解 222256156100lim lim 11221001x x x x x x x x x x→∞→∞++++++===+-+-+-. 一般地，对于()lim()x P x Q x →∞(其中()P x ，()Q x 均为多项式函数)，当分子的次数高于分母次数，该函数极限不存在; 当分子的次数等于分母次数，该函数极限等于分子、分母的最高次项的系数之比;当分子的次数低于分母次数，该函数极限为0.即11101110lim 0nmn n n n m m x m m a n m b a x a x a x a n m b x b xb x b n m---→∞-⎧=⎪⎪++++⎪=∞>⎨++++⎪<⎪⎪⎩ ．1.8.2 分子分母为无理式(1)当x →∞时，将分子、分母同除以x 的最高方次. 例16求limlimx x →+∞．解lim lim lim 1x x x ===. limlim 021x x x x→+∞→+∞==++. (2)当0x x →时，若 1) 0()0Q x ≠，则000()()lim()()x x P x P x Q x Q x →=；2) 00()0,()0Q x P x =≠，则0()lim()x x P x Q x →=∞；3) 00()()0Q x P x ==可利用有理化分子(或分母)的方法求极限. 例17求2x → 分析该函数是分式函数，并且含有根式，当0x →时，分子、分母均趋近于0，故将分子、22221)x x ==1而当0x →12→，故可求得此极限.解220x x →→=22001)lim 12x x x x→→+==+=. 1.9 利用中值定理求极限例18 求xx e e x x x sin lim sin 0--→.解设xe xf =)(，对它的应用微分中值定理得：[]sin ()(sin )(sin )sin (sin )(01)x x e e f x f x x x f x x x θθ'-=-=-+-<< ，即sin [sin (sin )](01).sin x xe ef x x x x xθθ-'=+-<<- 因为 ()x f x e '=连续，所以0lim [sin (sin )](0) 1.x f x x x f e θ→''+-===从而有 sin 0lim1sin x xx e e x x→-=-. 例19 设函数()f x 在0x =处连续，又设函数102()11sin 02x x x x x xϕ⎧+≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩ ，求220()()cos lim()xx xf x x t dtx x ϕϕ→+⎰．解利用积分中值定理有，2220cos 2cos 02xt dt x x ξξ=<<⎰，因为001lim 0lim ()2x x x ξϕ→→==，，,所以2220()()cos ()()2cos limlim ()()xx x xf x x t dtxf x x x x x x x ϕϕξϕϕ→→++⋅=⎰ 200()()2cos lim lim 2(0)2()()x x xf x x x f x x x x ϕξϕϕ→→⋅=+=+. 1.10 利用泰勒公式求极限若一个函数的表达式比较复杂时，我们可以将它展成泰勒公式，使其化成一个多项式和一个无穷小量的和，而多项式的计算是比较简单的，从而此方法能简化求极限的运算.例20 计算0()sin(sin )limsin x tg tgx x tgx x→--.分析此题虽是型，但使用洛必达法则求极限太复杂.而分母无穷小的最低阶数为3，故写出诸函数三阶泰勒公式，便可求得结果.解 33sin ()3!x x x x ο=-+ 331()()3tgx x x x ο=++． 3333111sin ()()()33!2tgx x x x x x οο-=++=+．又33333331sin(sin )sin(())(()())3!3!3!3!x x x x x x x x x x οοο=-+=---++ 333331()()3!3!3x x x x x x x οο=--+=-+． 333331111()(())(())3333tg tgx tg x x x x x x x x οο=++=++++ 3333312()()33x x x x x x x οο=+++=++．所以33()sin(sin )()tg tgx x x x ο-=+．330033()sin(sin )()lim lim 21sin ()2x x tg tgx x x x tgx x x x οο→→-+==-+. 例21 求21lim(cos sin )x x x x x →+.解应用cos ,sin ,ln(1)x x x +的泰勒展式有2232311cos sin 1()1()22x x x x x x x x οο+=-++=++23331ln(cos sin )ln(1())()22x x x x x x x οο+=++=+因此，232200111lim ln(cos sin )lim [()]22x x x x x x x x x ο→→+=+=于是，原式211ln(cos sin )20lim x x x xx e e +→==. 例22 设()f x 在点0x =处二阶可导，且320sin 3()lim[]0x x f x x x→+=，求(0),(0),(0)f f f '''并计算极限2203()lim()x f x x x→+. 解由已知条件，并利用麦克劳林公式，有320sin 3()0lim[]x x f x x x →=+33223201(0)3(3)()(0)(0)()3!2lim[]x f x x x f f x x x x x οο→'''-++++=+ 233301(0)9lim [(3(0))(0)()()]22x f f x f x x x x ο→'''=+++-+. 得(0)3,(0)0,(0)9f f f '''=-==. 于是2203()lim[]x f x x x →+222011lim [3(0)(0)(0)()]2x f f x f x x x ο→'''=++++ 2220199lim [33()]22x x x x ο→=-++=. 2 典型方法2.1 重要极限的再推广定理设lim ()1,lim ()f x g x ==∞，则()lim[(()1)()]lim[()]g x f x g x f x e -=证明 1(()1)()()()1lim[()]lim[1(()1)]f xg x g x f x f x f x --=+-1lim(()1)()lim[(()1)()]()1{lim[1(()1)]}f xg x f x g x f x f x e ---=+-=例1 求211lim(1)xx x x→∞++解这是1∞型极限，2211111()1,(),(()1)()()1f x g x x f x g x x x x x x x=++=-=+=+, 所以2111lim [(11)]lim (1)211lim(1)x x x x x x xx ee e x x→∞→∞++-⋅+→∞++==. 另解对211lim(1)x x x x →∞++令211(1)x y x x =++取对数得211ln ln(1)y x x x=++于是有211ln(1)lim ln lim1x x x x y x→∞→∞++= (00型，可洛必达法则)232221212211lim lim 11121x x x x x x x x x x →∞→∞--+++===-++ 所以1212lim lim(1)x x x y e e x x→∞→∞=++==显然这样解要复杂的多.例2 求21lim(cos 2)x x x →.解 21()cos 2,()f x x g x x ==因为2001limcos 21,lim x x x x →→==∞所以是1∞型极限，有2222112sin limlim (cos21)20lim(cos 2)x x x x x x x x x e e e →→---→===.例3 求1222234lim()238x x x x x x -→+--+. 解 1222234lim()238x x x x x x -→+--+222341exp{lim(1)}2382x x x x x x →+-=-⋅-+- 425222241216exp(lim )exp(lim )2382238x x x x x e x x x x x →→+-+=⋅==-+--+.2.2 洛必达法则的应用例4 计算极限2[(1)]lim(1cos )xx x arctg t dt dx x x →+-⎰⎰.分析对0,0∞∞等未定式的极限，常可用洛必达法则来计算. 解原式22000(1)(1)2lim lim(1cos )sin 2sin cos x x x arctg t dtarctg x xx x x x x x→→++⋅==-+⋅+⋅⎰222042(1)1lim 3cos sin 6x x arctg x x x x x π→+++==-⋅. 3 一题多解举例每一个题目并非只能用一种方法进行求解，通常可采用多种途经去解决它. 例1 求1lim(12)xx x →-.[解法一] 利用重要极限10lim(1)xx x e →+=112220lim(12)lim[(12)]xx x x x x e ---→→-=-=.[解法二] 用取对数法令1(12)xy x =-，两边取对数，得1ln ln(12)y x x=- 由0002112limln lim[ln(12)]lim 21x x x x y x x →→→--=-==-，所以1200lim lim(12)x x x y x e -→→=-=.[解法三] 用换元法令2x t -=，则12x t-=所以112200lim(12)lim[(1)]xt x x x t e --→→-=+=.[解法四] 利用对数式的性质001112ln(12)lim ln(12)lim2120lim(12)lim x x x x x xxx x x x eeee →→-----→→-====.例2 求22201cos lim sin x x x x →-.[解法一] 用洛必达法则和重要极限0sin lim1x xx→=原式2222222222200022sin 2sin sin 1lim lim lim sin 2sin 2cos sin cos 2cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→====+⋅++.[解法二] 三角函数公式及洛必达法则原式2222222220002232(sin )sin cos222lim lim lim 2sin cos cos 2cos sin22222x x x x x x x x x x x xx x x x →→→===- 22202cos12lim 22cos sin22x x x x x →==-. [解法三] 三角函数恒等变换和重要极限0sin lim1x xx→= 原式2222222220022(sin )sin sin11222lim lim sin sin 2222x x x x x x x x x x x →→==⋅⋅=⋅. [解法四] 分子分母同除以4x 用重要极限和洛必达法则原式222440224002201cos 1cos lim 1cos lim lim sin sin lim x x x x x x x x x x x x x x →→→→---===2232002sin 1sin 1lim lim 224x x x x x x x →→==⋅=. [解法五] 分子分母同乘21cos x +原式2222222222222000(1cos )(1cos )sin sin lim lim lim sin (1cos )sin (1cos )(1cos )x x x x x x x x x x x x x x x →→→-+===+++22200sin 11lim lim 1cos 2x x x x x →→==+. [解法六] 变换替换后用洛必达法则令2u x = 原式0001cos sin cos 1limlim lim sin sin cos 2cos sin 2u u u u u u u u u u u u u u →→→-====+-又00sin 11lim sin cos 2lim(1cos )sin u u u uu u u u u→→==++⋅. [解法七] 用等价无穷小来代替原式222242222400012sin 2()1222lim lim lim 2sin x x x x x xx x x x x →→→⋅====⋅. 原式22430001cos 2sin 21lim lim lim 424x x x x x x x x x x→→→-====. [解法八] 级数解法因为462cos 12!4!x x x =-+- 622sin 3!x x x =-+所以4682822048()1cos 12!4!lim sin 2()3!x x x x x x x x x x οο→-+-==-+. [解法九] 连续使用两次洛必达法则原式22222222002sin sin lim lim 2cos 2sin cos sin x x x x x x x x x x x x x →→==⋅++222222222002cos cos 1lim lim 2cos 2sin 2cos 2cos sin 2x x x x x x x x x x x x x x x →→===-⋅+-. 例3[]()728P 设()x ϕ连续，0()lim2sin t t t t t ϕ→=-，求0()lim sin t t xt t tϕ→-.[解法一] 从0()lim2sin t t t t t ϕ→=- 可得0()lim 2sin 1t t ttϕ→=-所以0lim ()0t t ϕ→=.又()x ϕ连续，因此(0)0ϕ=这样可以得到:当0x =时，00()(0)lim lim 0sin sin t t t xt t t t t tϕϕ→→==--;当0x ≠时，作变量代换xt u =，有000()()()lim lim lim sin sin sin t u u uu t xt u u x u u ut t u x x x xϕϕϕ→→→==--- 00()sin lim limsin sinu u u u u u uu u u x xϕ→→-=⋅--以下利用已知极限，以及两次洛必达法则，即可求出极限为22x ，所以，原式22,00,0x x x ⎧≠=⎨=⎩.[解法二] 利用等价无穷小求解，注意到31sin ~(0)6t t t t -→这样，从0()limsin t t t t t ϕ→- 03()lim 216t t t tϕ→==可知21()~(0)3t t t ϕ→于是220031()()3lim lim 2(0)1sin 6t t t xt t xt x x t t t ϕ→→⋅==≠-；当0x =时，根据法一可得结果.综上所述，原式22,00,0x x x ⎧≠=⎨=⎩.例4 求2lim lnx x ax x a→∞++. [解法一] 原式221()(2)12ln2()lim lim 11x x x a x a x a x a x a x a x a x x→∞→∞+⋅+-+⋅+⋅+++==-222limlim 12()(2)(1)(1)x x ax ax x a a a ax a x a x x→∞→∞===⋅=++++. [解法二] 因为(2)lnln(1)()x a a x a x a +=+++ 又所以x →∞时，0ax a→+，所以ln(1)~a a x a x a +++则2lim ln lim lim 1x x x x a a a x x a a x a x a x→∞→∞→∞+⋅=⋅==+++.总之，极限的解题方法很多，这就要求我们多做练习，学会总结归纳，学会举一反三.这对拓展我们的思维，进一步学好数学是有帮助的。

高等数学极限求法总结

高等数学极限求法总结高等数学极限求法总结极限的判断定义是:单调递增有上界则有极限,单调递减有下界则有极限。

下面是小编整理的高等数学极限求法总结，希望对你有帮助！函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知的极极限值的证明题中。

掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。

限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x时的极限。

1.利用极限的四则运算法则：极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。

方能利用极限四则运算法则进行求之。

不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。

但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。

而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。

例 1 求 lim( x 2 3x + 5).x→ 2解： lim( x 2 3x + 5) = lim x 2 lim 3x + lim 5= (lim x) 2 3 lim x + lim 5= 2 2 3 2 + 5 = 3.x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →22.利用洛必达法则洛必达(L Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。

一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。

利用洛必达求极限应注意以下几点：设函数f(x)和F(x)满足下列条件：（1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0;（2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0;（3）x→a时,lim(f(x)/F(x))存在或为无穷大则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f(x)/F(x))例1：1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2)原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x对分子分母同时求导（洛必达法则）(tgx) = 1 / (cosx)^2(x) = 1原式 = lim 1/(cosx)^2当 x --> 0 时,cosx ---> 1原式 = 13.利用两个重要极限：应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件：① 分子、分母为无穷小，即极限为 0 ；② 分子上取正弦的角必须与分母一样。

函数极限相关知识点总结

函数极限相关知识点总结一、函数极限的定义1. 函数极限的定义在数学中，函数极限是描述函数在某一点附近的行为的概念。

具体来说，对于给定的函数f(x)，当自变量x趋于某一点a时，如果函数值f(x)无限接近某个确定的数L，那么我们就称函数f(x)在点a处的极限为L，记作lim_{x→a}f(x) = L。

换句话说，当x在逼近a时，f(x)的取值会趋于L。

这一定义可以用数学符号严格表述为：对于任意正数ε，存在一个正数δ，使得当0＜ |x-a| ＜δ时，都有 |f(x)-L| ＜ε成立。

2. 函数极限的右极限和左极限如果函数f(x)在点a的左侧和右侧分别有极限，则称这两个极限为函数f(x)在点a处的左极限和右极限。

左极限记作lim_{x→a^-}f(x)，右极限记作lim_{x→a^+}f(x)。

当左极限、右极限和函数值在点a处都存在且相等时，我们称函数f(x)在点a处存在极限，且极限为此值。

3. 函数极限的无穷极限当自变量x趋于无穷大时，函数f(x)的极限称为无穷极限。

具体来说，若对于任意正数M，存在一个正数N，使得当|x|＞N时，都有|f(x)|＞M成立，则我们称lim_{x→∞}f(x) = ∞。

类似地，若对于任意正数M，存在一个正数N，使得当|x|＞N时，都有|f(x)|＜M成立，则我们称lim_{x→∞}f(x) = -∞。

4. 函数极限的存在性函数极限在很多情况下是存在的，但也有一些特殊的函数，它们在某些点处的极限并不一定存在。

比如，当函数在某一点的左右极限不相等时，该点处的极限可能不存在；当函数在某一点的极限为无穷大时，该点处的极限也可能不存在。

因此，在研究函数极限时，我们需要考虑函数在极限点处的性质，以确定函数极限是否存在。

二、函数极限的求解方法1. 用极限的定义求解函数极限函数极限的定义是要求对任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)-L|<ε成立。

求函数极限的方法总结

求函数极限的方法总结在数学中，求函数极限是一个非常重要的概念，它在微积分、数学分析等领域都有着广泛的应用。

对于很多学生来说，求函数极限可能是一个比较困难的问题，因此，我们有必要总结一下求函数极限的方法，希望能够对大家有所帮助。

首先，我们需要了解函数极限的定义。

对于一个函数 f(x)，当 x 趋向于某个数a 时，如果 f(x) 的取值趋向于一个确定的数 L，那么我们就说函数 f(x) 在 x 趋向于a 时的极限为 L，记作 lim┬(x→a)⁡〖f(x)=L〗。

在实际应用中，我们常常需要通过一些方法来求解函数的极限。

一、代数运算法。

代数运算法是求函数极限中最基本的方法之一。

它包括了直接代入法、分式有理化法、有理分式的分解法等。

其中，直接代入法是最简单的一种方法，只需要将x 的值代入函数中，然后计算得到极限值。

分式有理化法则是将分式进行有理化处理，通过分子有理化、分母有理化，简化分式来求解极限。

有理分式的分解法则是将有理分式进行分解，分解成更简单的分式，然后再求解极限。

二、夹逼定理。

夹逼定理也是一个常用的方法，它适用于一些复杂的函数极限求解。

夹逼定理的核心思想是通过构造两个函数，这两个函数的极限值相等，然后利用夹逼原理来求解原函数的极限。

这种方法在一些特殊的函数极限求解中有着重要的应用。

三、洛必达法则。

洛必达法则是求解不定型极限的常用方法。

当我们在求解函数极限时遇到 0/0 或者∞/∞的形式时，可以尝试使用洛必达法则。

洛必达法则的核心思想是将函数转化成一个分数形式，然后求导，通过求导后的函数极限来求解原函数的极限。

四、级数展开法。

级数展开法适用于一些复杂的函数极限求解。

它的核心思想是将函数展开成一个级数形式，然后通过级数的性质来求解函数的极限。

这种方法在一些特殊的函数极限求解中有着重要的应用。

五、泰勒展开法。

泰勒展开法是一种比较高级的方法，适用于一些复杂的函数极限求解。

它的核心思想是将函数在某一点进行泰勒展开，然后通过泰勒展开式来求解函数的极限。

函数与极限知识总结

函数与极限知识总结1、定义极限（Limit）又称微积分的基本概念，它是指当函数f(x)的一些变量x逐渐靠近但又不等于一些特定的常数a时，函数f(x)的值一定要逐渐接近于一个特定的实数L，而接近的程度可以任意接近，即变量x靠近常数a时，函数f(x)的值即靠近常数L，记作$$\lim_{x \to a}f(x)=L$$这就是极限的定义，a称作极限点，L称作极限值。

2、性质（1）不等式极限性质若$f(x)≥0,a>0$,当x靠近$a^{+}$时，则有$$f(x)≥\lim_{x \to a^{+}}f(x)≥0$$当x靠近$a^{-}$时，则有$$f(x)≤\lim_{x \to a^{-}}f(x)≤0$$（2）加法极限性质设$\lim_{x \to a}f(x)=A,\lim_{x \to a}g(x)=B$当x靠近a时，有$$\lim_{x \to a}[f(x)+g(x)]=A+B$$（3）乘法极限性质设$\lim_{x \to a}f(x)=A,\lim_{x \to a}g(x)=B$,当x靠近a时，有$$\lim_{x \to a}[f(x)g(x)]=AB$$（4）恒等式极限性质设$\lim_{x \to a}f(x)=A,\lim_{x \to a}g(x)=B,f(a)=B,g(a)=A $当x靠近a时，有$$\lim_{x \to a}[f(x)=g(x)]=A=B$$（5）极限连续性设$\lim_{x \to a}f(x)=L$当x靠近a时，有$$f(a)=L$$这就是极限连续性性质。

3、极限的计算（1）无穷小除以无穷大当$\frac{1}{x}\to 0$时，有$$\lim_{x\to \infty}\frac{1}{x}=0$$（2）无穷大除以无穷大当$\frac{x}{y}\to 0$时，有。

函数极限的知识点总结

函数极限的知识点总结一、函数极限的定义在介绍函数极限的定义之前，我们先来了解一下“极限”的概念。

在数学中，极限是指当自变量趋于某一特定的值时，函数的取值趋于的值。

如果函数f(x)在x趋于a的过程中，它的取值趋于一个确定的常数L，那么我们就称L是函数f(x)在点x=a处的极限，记作lim （x→a）f(x)=L。

这个定义可以用符号来表示为：对于任意的ε>0，存在一个δ>0，当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，那么我们就称lim（x→a）f(x)=L。

根据极限的定义，我们可以得到一些结论：1. 如果一个函数在点x=a处的极限存在，那么它只有一个极限值。

2. 如果一个函数在点x=a处的极限不存在，那么它没有极限值。

3. 如果一个函数在点x=a处的极限存在且等于L，那么在点x=a的邻域内，函数的取值都趋于L。

函数极限的定义为我们提供了计算函数在某一点处的极限的依据，下面我们将介绍一些常见的计算方法。

二、函数极限的计算方法1. 代入法代入法是最直接的计算函数极限的方法，当函数的极限存在时，我们可以直接将自变量的值代入函数中计算即可。

例如，计算lim（x→2）（3x+1），我们只需要将x=2代入函数中得到lim（x→2）（3x+1）=3*2+1=7。

2. 分式的极限对于分式函数的极限计算，我们通常采用有理化或者分子分母同除等方法，将分式转化为更简单的形式进行计算。

例如，计算lim（x→1）（x^2-1）/（x+1），我们可以将分式有理化为（x-1）（x+1）/（x+1），然后可以进行约分化简得到lim（x→1）（x-1）=0。

3. 夹逼定理夹逼定理也是一种常见的计算函数极限的方法，它适用于一些复杂函数的极限计算。

夹逼定理的原理是，如果函数f(x)在x=a的邻域内被另外两个函数g(x)和h(x)夹在中间，并且lim（x→a）g(x)=lim（x→a）h(x)=L，那么函数f(x)在x=a处的极限也存在且等于L。

求极限的几种常用方法

求极限的几种常用方法求极限的计算方法总结（转）极限定义.运算注则和一瞬果1.定义：（各种类型的根限的严格定义参见《高等数学》因援教材，这里不一一叙述人说明：（！）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以.用上面的极限严格定义证明，例如:limA = 0 ©占为常数且门工0） , lim （3x-1） = 5«-#«■ 口旳 x-*2⑴ 在后面求极限时（O 中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。

亠2- 极限运算法则主理1已知曲/（%）,曲巩血都存在，极限值分别为禺则下面极限都存在且有(1) hn[f(x)±s(x)] = A±B^(2) Em /(x)-g^x) - A⑶曲.理二窕（此时需月J 成立” 胃（巧 B说明：极限号下面的极限过程是一致的」同时注意法则成立的条件，当条件不満足时不能用。

a3- 两个重要极眼1-fC V1(2) lim (1+ x)工二 gHTO说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们破形形式，*d 当|小1时 “亠J 不存在，当⑷空时定理2无穷小与有界函数的乗积仍然罡无穷小(即极限是0). P定理3当XT O 时，下歹愜1数都是无穷小(即极限是0〉，且相互等价，即有：• X~sinx~tan x 〜arcsinx 〜arctanx 〜ln(l + x)〜訂 -1说明：当上面毎个函数中的自变量X 换成g(x)时(g(x)TO ),仍有上面的等价“3'关系成立.例如当XT0时，e'x -1〜3x , ln(l-x 2)〜一AT"定理4如果函数/(x),g(x)j](x),gi (x)都是X-> Y o 时的无穷小，且/(X )〜力(x) , g(x)〜g](x),则当1曲牟¥存在时，lim 》^ 也存在且等于 7gl (X ) *7g(x)f(x) lim -,即 iim 竺・lim 公°。

定义法求极限

定义法求极限极限是微积分中最重要的概念之一，它是描述函数在某一点附近的变化趋势的工具。

在微积分中，我们需要使用极限来定义导数和积分，因此理解极限的概念和方法是学习微积分的关键。

极限的定义法是求解极限的基本方法之一。

它通过对函数在某一点附近的变化进行分析，来确定函数在该点的极限值。

这种方法对于一些特殊的函数，比如三角函数、指数函数和对数函数等，可以非常有效地求解极限。

定义法求极限的基本思路是：首先确定函数在某一点的极限值，然后根据这个值来确定函数在其他点的极限值。

具体来说，我们可以通过以下步骤来进行定义法求极限：步骤一：确定函数在某一点的极限值首先，我们需要确定函数在某一点的极限值。

这个点通常是函数的极限点，也就是函数在这个点处的值趋近于无穷大或无穷小。

我们可以通过对函数在这个点附近进行分析，来确定函数在这个点的极限值。

步骤二：确定函数在其他点的极限值确定了函数在某一点的极限值之后，我们就可以根据这个值来确定函数在其他点的极限值。

具体来说，我们可以利用函数的连续性和单调性来确定函数在其他点的极限值。

如果函数在某个区间内是单调递增或递减的，那么它在这个区间内的极限值就可以通过这个点的极限值来确定。

步骤三：检验结果最后，我们需要检验我们求解的极限值是否正确。

我们可以通过利用函数的性质和极限的定义来检验结果。

如果我们求解的极限值符合函数的性质和极限的定义，那么我们就可以认为它是正确的。

总结定义法求极限是一种非常重要的方法，它可以帮助我们求解一些特殊函数的极限值。

通过对函数在某一点附近的变化进行分析，我们可以确定函数在这个点的极限值，并根据这个值来确定函数在其他点的极限值。

在求解极限时，我们需要注意函数的连续性和单调性，并检验结果的正确性。

理解并掌握定义法求极限的方法，对于学习微积分和数学分析等相关学科都是非常有帮助的。

极限的概念和计算方法

极限的概念和计算方法极限是微积分中的核心概念之一，它可以描述一个函数在某一点附近的行为特征。

本文将介绍极限的基本概念，并探讨一些常见的计算方法。

一、极限的概念在数学中，极限可以理解为一个函数在某一点趋于某个值（通常为无穷大或无穷小）。

为了准确定义极限，我们引入以下定义：设函数f(x)在x=a的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在另一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，则称函数f(x)当x趋于a时的极限为L，记作：lim(x→a) f(x) = L这个定义可以形象地理解为：当自变量x足够靠近a时，函数f(x)的取值趋近于L。

二、极限的计算方法1. 代入法最简单的计算极限的方法就是利用代入法。

当函数在某一点a的确有定义时，我们可以直接将a带入表达式中计算函数的值。

例如，要计算函数f(x)=2x^2+3x-1在x=2处的极限，我们可以代入x=2，得到：f(2) = 2(2)^2 +3(2)-1 = 15因此，lim(x→2) f(x) = 15。

2. 分解因式法有时候我们可以通过分解因式的方法来简化极限的计算。

例如，要计算函数f(x)=(x^2-4)/(x-2)，我们可以将分子因式分解得到：f(x) = (x+2)(x-2)/(x-2)若x≠2，则可以化简为：f(x) = (x+2)因此，lim(x→2) f(x) = 4。

3. 极限的性质极限满足一些基本的性质，利用这些性质可以简化计算过程。

以下是一些常见的性质：a) 常数性质：lim(x→a) c = c，其中c为常数。

b) 乘法性质：lim(x→a) cf(x) = c·lim(x→a) f(x)，其中c为常数。

c) 和差性质：lim(x→a) [f(x)±g(x)] = lim(x→a) f(x) ± lim(x→a)g(x)。

d) 乘积性质：lim(x→a) [f(x)·g(x)] = lim(x→a) f(x) · lim(x→a)g(x)。

用定义证明函数极限方法总结[1]

用定义证明函数极限方法总结:用定义来证明函数极限式lim ()x af x c →=，方法与用定义证明数列极限式类似，只是细节不同。

方法1：从不等式()f x c ε-<中直接解出(或找出其充分条件)()x a h ε-<，从而得()h δε=。

方法2：将()f x c -放大成()x a ϕ-，解()x a ϕε-<，得()x a h ε-<，从而得()h δε=。

部分放大法：当()f x c -不易放大时，限定10x a δ<-<，得()()f x c x a ϕ-≤-，解()x a ϕε-<，得：()x a h ε-<，取{}1min ,()h δδε=。

用定义来证明函数极限式lim ()x f x c →∞=，方法：方法1：从不等式()f x c ε-<中直接解出(或找出其充分条件)()x h ε>，从而得()A h ε=。

方法2：将()f x c -放大成()x a ϕ-，解()x a ϕε-<，得()x h ε>，从而得()A h ε=。

部分放大法：当()f x c -不易放大时，限定1x A >，得()()f x c x a ϕ-≤-，解()x a ϕε-<，得：()x h ε>，取{}1max ,()A A h ε=。

平行地，可以写出证明其它四种形式的极限的方法。

例1 证明：2lim(23)7x x →+=。

证明：0ε∀>，要使：(23)722x x ε+-=-<，只要 22x ε-<，即022x ε<-<，取2εδ=，即可。

例2 证明：22112lim 213x x x x →-=--。

分析：因为，2211212213213321x x x x x x x --+-=-=--++放大时，只有限制011x <-<，即02x <<，才容易放大。

极限的求法与技巧

极限的求法与技巧姓名：印溪学号：B09060503函数极限的计算是数学分析的基础，那么如何根据表达式求出极限值呢?对于这一问题只能针对小同体型采取相应的求法。

下面概括了常用的若干求极限的方法，更多方法，有赖于人们去总结和发现。

1.运用极限的定义例：用极限定义证明:1223lim 22=-+-→x x x x 证: 由244122322-+-=--+-x x x x x x ()2222-=--=x x x0>∀ε取εδ= 则当δ<-<20x 时,就有ε<--+-12232x x x由函数极限δε-定义有:1223lim 22=-+-→x x x x 2. 利用等价无穷小替换常用的等价无穷小关系：,~arctan ~arcsin ,~tan ,~sin ,0x x xx x x x x x →等价无穷小代换法,~1x e x -,ln ~1a x a x -,~)1ln(x x +,ln ~)1(log a x x a +,21~11x x -+,1~11x n x n -+,~1)1(x x αα-+设'',,,ββαα 都是同一极限过程中的无穷小量，且有： ''~,~ββαα，''lim βα 存在，则 βαlim 也存在，且有βαlim = ''lim βα例:求极限2220sin cos 1lim x x x x -→解: ,~sin 22x x 2)(~cos 1222x x -∴ 2220sin cos 1lim x x x x -→=212)(2222=xx x 注：在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数” 3．利用极限的四则运算法则极限的四则运算法则叙述如下：若 A x f x x =→)(lim 0B x g x x =→)(lim 0(I)[]=±→)()(lim 0x g x f x x )(lim 0x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0(II)[]B A x g x f x g x f x x x x x x ⋅=⋅=⋅→→→)(lim )(lim )()(lim 0(III)若 B ≠0 则：BAx g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )(lim )()(lim 000（IV ）cA x f c x f c x x x x =⋅=⋅→→)(lim )(lim 0（c 为常数）上述性质对于时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,,总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。

用极限定义证明极限的几种方法

文章编号:1004-3888(2002)02-0170-03用极限定义证明极限的几种方法X郑文杰(湖北民族学院预科部,湖北恩施445000)摘要:在微积分中,极限是最重要的概念之一,而且微分、积分、级数等概念都是由极限来定义的。

因此,掌握好用极限定义证明部分极限问题的方法大有必要,从极限定义证明极限的方法的特点加以分析,可归纳总结出放大法、乘方法、取点法、夹逼法和反证法等5种方法。

关键词:极限;定义;证明方法中图分类号:O172文献标识码:A1极限的定义定义1:设X n是一个数列,A是一个确定的数,若对任给的正数E,总存在某一个自然数N,使得当n>N时,都有X n-A<E,则称数列X n收敛于A,A称为它的极限。

并记作limn y] X n=A.定义2:设f(x)为定义在(-],+])上的函数,A是一个定数,若对任给正数E,总存在正数X,使得适合x>X的一切x对应的函数值f(x)恒有不等式f(x)-A<E,成立则常数A 就叫函数y=f(x),当x y]时的极限,记作limx y] f(x)=A定义3:设f(x)在点x0的某个空心领域内有定义,如果P E>0,总存在D>0,对于适合不等式0<x-x0<D的一切x所对应的函数值恒有不等式f(x)-A<E成立,则常数A就叫做函数y=f(x),当x y x0时的极限,记作limx y xf (x)=A2用极限定义证明极限问题的方法2.1放大法放大法是将定义中的绝对值不等式X n-A<E或f(x)-A<E适当放大,转化为X n-A<m<n<,,<E或f(x)-A<a<b<,,<E的形式,然后在放大化简的不等式的基础上再讨论极限证明问题。

此类方法主要取决于绝对值不等式放大的程度,放大放小都不易得出结果,只有适度放大才能使解题化繁为简。

在各类型的极限证明中此类方法较常见。

极限的几种计算方法的注记

学术论坛科技创新导报 Science and Technology Innovation Herald2271 运用极限的定义证明极限的值（用ε，Nε，N 定义，找到N）在利用数列极限定义证明A 为数列{}n y 的极限时，重要的是对0ε∀> ，要能够指出定义中所说的这种正整数N 确实存在，但没有必要去求最小的N ，故在解决具体问题时，可用放大方法。

2 运用极限的四则运算求极限极限的四则运算只适用于每个式子极限存在且分母极限不为0的情况，且只限于“有限个”，“有限个”很关键；若无限个，四则运算不再适用。

3 约去零因子例如我们考虑到1x → 时函数3211x x -- 的变化趋势，在这一变化过程中10x -→ 但10x -≠ ，因此我们可以先约去分子分母极限为零的公因式，一般“0”的未定式，我们首先考虑约去零因子。

4 分子分母同除以变量最高次幂此种方法适用于变量趋于无穷，且分子分母是变量的幂函数的分式，首先考虑分子分母同除以变量的最高次幂的方法。

5 应用两个重要极限求极限应用两个重要极限解题时要注意两公式特点，一定构造出公式的形式后方可应用。

公式0sin lim 1x x x →= 的特点：（1）sin ⊗⊗ 中⊗ 部分要相同；（2）0⊗→ 。

公式1lim(1x x e x→∞+= 的特点：（1）1(1)⊗+⊗中⊗ 部分要相同；(2)⊗→∞ 。

6 用等价无穷小代换求极限应用等价无穷小代换，需要注意的是，等价无穷小代换只适用与积与商，且只能代换乘积或商式中分子或分母的某个因式而不能代替其中加、减式的某一项。

7 利用无穷小量的性质求极限当应用“有界函数与无穷小量之积仍为无穷小量”的性质时，一定有一个函数极限是0即是无穷小量。

8 运用无穷小与无穷大关系求极限应用无穷大与无穷小互为倒数关系，可以求极限。

9 用迫敛性求极限应用迫敛性求极限时，找到的一个比其大的函数和一个比其小的函数，这两个函数的极限值要存在且相等。

求函数极限的方法与技巧

求函数极限的方法与技巧求函数极限是数学分析中的一个重要内容，它在微积分、数学分析、实变函数等领域中都有着广泛的应用。

求函数极限的方法与技巧不仅能够帮助我们深入理解数学知识，更能够在实际问题中给予我们指导和启示。

下面我们将就求函数极限的方法与技巧进行详细的介绍。

一、函数极限的定义在介绍求函数极限的方法与技巧之前，我们首先来了解一下函数极限的定义。

对于一个函数f(x)，当x无限接近某一点a时，如果f(x)的取值无限接近某个确定的值A，那么我们就称函数f(x)在x无限接近a时趋于A，并且写作\lim_{x \to a} f(x) = A。

x无限接近a是指x的取值可以无限接近a，但不能等于a，这是因为函数在a点可能无定义或者有定义但在a点无意义。

二、常见的求函数极限的方法1. 代入法代入法是求函数极限最简单的方法。

当计算\lim_{x \to a} f(x)时，我们先尝试直接将x=a代入到函数f(x)中，计算得到f(a)的值。

如果f(a)存在且有意义，那么\lim_{x\to a} f(x)就等于f(a)；如果f(a)不存在或者没有意义，那么我们就需要尝试其他的方法来求极限了。

2. 分式的化简对于一些复杂的函数极限，我们可以通过将分式进行化简来简化计算过程。

化简的方法包括因式分解、有理化、换元等，通过这些方法将原函数转化为一个更容易处理的形式，从而更方便地求出极限值。

3. 极限性质当我们求函数极限时，可以利用极限的一些基本性质来简化计算，比如常数乘法性质、加减法性质、积性性质、商数性质等。

通过这些性质，我们可以将原函数转化为更简单的形式，然后再求出极限值。

4. 夹逼定理夹逼定理是求函数极限时常用的一种方法。

当我们要求一个函数在某一点的极限时，可以通过找到两个较为简单的函数，这两个函数的极限值分别大于或小于要求的函数的极限值，并且它们在待求的点附近值相等，那么就可以利用夹逼定理来求出要求的函数的极限值。

5. 泰勒展开对于一些复杂的函数，我们可以使用泰勒展开来近似求出函数的极限值。