2011-2012（概率论与数理统计）复习题

2011-2012（概率论与数理统计）复习题1．已知连续性随机变量X的概率密度为

221

(),

x x

f x x

-+-

=-∞<<+∞

则X的期望为，X的方差为。

答：1，

1

2

2. 设随机变量{}

22

(,)|0,1

G x y y x y

=≥+≤上的均匀分布。定义随机变量U，V如下

00

0,

10,

1,

2

X

X

U X Y V

X

X Y

<

≥

=≤<=

<

≥

求(U,V)的联合分布及E(U+V),E(UV),P(UV=0)，cov(,) U V。

答：(U,V)的联合分布为

012

0001/6

11/21/41/12

V U

，E(U+V)＝

19

12

，

5

E(UV)=

12

，P(UV=0)=2/3，

5

cov(,)

24

U V=-

3．设..(,)

r v X Y的分布律是：

求：α，β

答： 1/3, 1/9

4．

且(0)1

P X Y?==。（1）求..(,)

r v X Y分布表；（2）问：X与Y独立吗？

答：（1）

（25.

6. 设X 、Y 101,1/41/4~1/2X - 1

01~5/121/41/3Y -

已知()0P X Y <=,()14P X Y >=, 求（1）(X ,Y )的联合分布律（2）X 和Y 是否相互独立？（3）cov(,)X Y ？答：（1）

（2）不独立（3）

25

48

7．已知

(X ,Y )的联合分布律如下：试求：E (X ), E (Y ), D (X ), D (Y ), Cov(X ,Y ),相关系数，并求D (3X -2Y ), E [(3X -2Y )2]

答：？

8. 设二维向量 (,)X Y 的密度是：()0,,(,)0,

x y x y e f x y else -+<<+∞

=??。求：（1）

(,)X Y 0111048111

8

X

的分布函数；（2）(,)X Y 落在区域{}1,0,0|),(≤+≥≥=y x y x y x G 内的概率。（+∞<<="" p="" x="">

)(y x x y

y x e e dxdy e y x F --+---==?

否则为零；

e

2

1-） 9. 设二维随机变量之密度函数为 (23)

60,0(,)0x y e x y f x y -+?>>=?

其它

求：(1) 边缘密度

(),()X Y f x f y ； (2)讨论,X Y 之独立性.

解：（1） 220

()0

x

X e x f x -?>=?

其它 330()0

y

Y e y f y -?>=??其它

（2）独立

10. 设随机向量(X,Y)概率密度为

(),01,0(,)0,x y be x y f x y else -+?<<<<∞

=?

（1）试确定常数b;

（2）求边缘密度；

（3）求函数max(,)U X Y =的分布函数；

答：1

11b e -=-，101

()10

x

X e x f x e else

--?<

=-

，0()0y

Y e y f y else

-?>=?

2

1

00(1)()01111

u U u u e F u u e e

u ---

-?=≤

(,)0,k x y x y f x y else --<<<

（1）求 k ；（2）求 (1,3)P X Y <<；（3）( 1.5)P X <；（4）(4)P X Y +≤ （1/8, 3/8, 27/32, 2/3）

12. 设(,)X Y 的概率密度是：22,1

(,)0,

kx y x y f x y else ?≤≤=??

（1）求 k ；（2）边际概率密度函数。

( 21/4, 24

2111(1),()80,X x x x f x else ?-<<-?

=

,52701,()20,Y y y f y else ?<

13.一家联营的商店每两周售出的某商品之数量（公斤）分别是

12345

,,,,X X X X X ，独立且分别服从

)265,260(),225,180(),240,240(),225,200(N N N N 和)270,320(N 。

（1）求5 家商店两周的总销量之均值和方差；（2）若商店每两周进货一次，为了使新

的供货达到前不会脱销的概率大于0.99，问：商店的仓库应至少储存多少（公

斤）该产品？( 1200；352

；1282 ) 14、（p. 88, 11#）设某种商品的周需求量相互独立，概率密度都是

,()0

0,t t te f t t ->?=?≤?，求（1）两周；（2）三周的需求量的概率密度。

30'()()600z z z F z e f z z ηη-?>=?=?≤??; 50

'()()5!00u

u u F u e f u u ηη

-?>=?=?≤??

15.设 X 和 Y 相互独立，概率密度分别如下所示。求 Z X Y =+ 之密度。

1,01

,()()0,

0,y X Y x y e p x p y else y -≤≤>??==?

≤?? 解：01

00()1011

(1)z y z z z

y z z z p z e dy e z z e dy e e -----?

==-≤

16. 设 X 和 Y 相互独立且都服从),0(2σN ，求随机变量

Z =的