《等差数列》教案

《等差数列》教案
一、教材分析
1.教学内容：
本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学5》（人教版A）第二章《数列》的第二节内容，即《等差数列》第一课时。

研究等差数列的定义和通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。

2.教学地位：
本节是第二章的基础，是本章的重点内容，为以后学习等差数列求和、等比数列奠定基础，等差数列有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都有积极的意义。

3.教学重难点分析：
重点：（1）理解等差数列的概念。

（2）探索并掌握等差数列的通项公式的推导过程及应用。

难点：理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义，概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。

二、学情分析
在学习等差数列之前，学生已具有一定的理性分析能力和概况能力。

且对数列的知识有了初步的接触和认识，对数学公式的运用已具备一定的技能。

已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程。

在讲解本节课时，我将注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发和探究以符合学生的心理发展特点，从而促进思维
能力的进一步发展。

三、教学方法
本节课主要采取小组讨论、说教法和探究式。

四、教学目标
通过本节课的学习使学生能理解并掌握等差数列的概念。

能用定义判断一个数列是否为等差数列、引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思
想。

会求等差数列的公差及通项公式。

能在解题中灵活应用、初步引入“数学建模”的思想方法并能运用，并在此过程中培养学生理解等差数列是一种函数模型。

等差数列概念的理解及由此得到的“性质”的方法。

观察、分析、归纳、推理的能力，在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力。

通过阶梯性练习、提高学生分析问题和解决问题的能力。

在解决问题的过程中培养学生主动探索、勇于发现的求知精神。

使学生认识事物的变化形态，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。

并通过一定的实例激发同学们的民族自豪感和爱国热情。

五、教学过程
新课导入
日历在我们生活中是一种很常见的，下面两组数据是22年五月份每个星期六和星期天所对应的号数，通过观察下面两组数据，并发现其中的规律。

第一组数据：7 14 21 28
第二组数据：1 8 15 22 29
1896年，雅典举行第一届现代运动会，到2020年的东京奥运会已经是第31届运动会，观察数据1896、1900、1904、、、2008、2012、、、、，你能预测出第33届运动会的时间吗？
请同学们思考一下以上的数据有什么共同的特征。

形如以上数据的特征即每个数与它前一项的差恒等于一个常数的数列我们将它称为等差数列，所以我们是不是可以知道等差数列的定义了呢？
1、等差数列的定义:
如果一个数列从第 2项起。

每一项与它的前一项的差都等于同一个常数。

那么这个数列就叫做等差数列 .这个常数叫做等差数列的公差。

公差通常用 d表示.即a n−a n−1=d(n>1)( 注。

1 .从第二项起.2。

相邻两项，后项减前项.3.差等于同一个常数4.等差数列的公差d可能是正数、负数、零)
如何判断一个数列是否为等差数列？
看a n−a n−1是否为同一个常数。

2、通项公式
提问、如果等差数列{a n}只知道首项a1，公差d，那么这个数列的其他项如何表示？
通项公式的推导1
等差数列{a n}的首项是a1 ,公差是d,则
a2=a1+d,a3=a2+d=a1+2d
a4=a3+d=a1+3d, a5=a4+d=a1+4d
……
a n=a1+(n−1)d
所以等差数列的通项公式是
a n=a1+(n−1)d
通项公式的推导2
a2−a1=d
a3−a2=d
a4−a3=d
a5−a4=d
……
a n−a n−1=d
以上共( n-1)项,将这n-1项相加得
a2−a1+a3−a2+a4−a3+a5−a4+……+a n−a n−1=(n−1)d
即
a n=a1+(n−1)d (累加法)
故等差数列的通项公式为
a n=a1+(n−1)d
例、（1）求等差数列8、5、2、…… 的第二十项
由题可只，该等差数列的公差d=5-8=-3，首项为8，故
a20=8+（20-1）*-3=-49
（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13，……的项，如果是，则是第几项？
公差d=-4，则通项公式为
a n=−5+(n−1)（-4），令a n=−401，看是否有正整数的n使得式子成立，可解得n=100，即-401是该等差数列的项，且为第100项。

（3）在等差数列中，a n=a1+(n−1)d，已知a5=10，a12=31，求首项a1与
公差d
a5=a1+4d=10,a12=a1+11d=31联立两个方程可求解出a1和d
求得a1=−2，d=3
（4）三个数成等差数列。

它们的和为18、它们的平方和为116，求这三个数我们可设这三个数为a-d，a，a+d，则
{
a−d+a+a+d=18 (a−d)2+a2+(a+d)2=116
解得这三个数为4、6、8或者8、6、4.
3、探究、已知等差数列{a n}中,公差为d，则a n与a m（n，m∈N∗）有什么关系？
a n=a1+(n−1)d
a m=a1+(m−1)d
两式相减得
a n−a m=(n−m)d
即
a n=a m+(n−m)d
得到等差数列推广公式
a n=a m+(n−m)d（且n≠m时，d=a n−a m
2
）
课时小结
1 .等差数列的定义。

a n−a n−1=d(n>1)
2.等差数列的通项公式
a n=a1+(n−1)d (n>1)
4.推广公式a n=a m+(n−m)d。