初中数学垂径定理的巧妙学习

初中数学垂径定理的巧妙学习
垂径定理是“圆”中最基本、最重要的定理之一，是《圆》一章的重要考点，同时垂径定理及其推论在解决问题中有着广泛的应用．由于垂径定理及其推论涉及的弦 （线段）、弧以及相等、垂直等关系较多，初学者不易掌握，本讲将从三个方面介绍如何学好垂径定理．
一、正确理解
圆是轴对称图形，任何一条过圆心的直线都是它的对称轴．
根据对称性，把图1中的圆按直径CD 对折，点A 和点B 重合，所以直径CD 垂直平分弦AB ．这个结论用文字叙述就是：
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 从命题的角度来分析这个定理的结构，可知题设有两个：①过圆心（CD 是直径）；②垂直于弦（CD AB ）；结论有三个：③平分弦（AE=BE ）；④平分弦所对的优弧（）；⑤平分弦所对的劣弧（）．
在具体运用时，常这样表述：因为CD 是⊙O 的直径，且CD ⊥AB ， 所以AE=BE ，，．
总之，理解圆的轴对称性是理解垂径定理的关键．
二、巧妙记忆
1．事实上，对于一个圆和一条直线，只要具备下列五个条件中的任何两个，就可以推出其余三个．①垂直于弦，②过圆心，③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧．
譬如：
（1）①② ③④⑤，即是垂径定理；
（2）①③ ②④⑤，即是垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
按照这种方式，还可以得到其他一些真命题，如：
②③ ①④⑤、①④ ②③⑤、……，它们都是正确的．相信同学们还能写出余下的结论．
特别说明：
（1）推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”中“弦不是直径”是它的重要条件，因为一个圆的任意两条直径总是互相平分的，但是它们未必垂直．
（2）垂径定理是根据圆的对称性推导出来的，该定理及其推论是证明线段相等、角相等、垂直关系、弧相等和一条弦是直径的重要依据，同时也为圆的计算和作图提供了方法和依据．
2．熟悉以下基本图形、基本结论．
⊥AC BC =AD BD =AD BD =AC BC =⇒⇒⇒
⇒图1
三、灵活运用
例1 如图（1），⊙O 中，弦的长为cm ，圆心到的距离为4cm ，则⊙O 的半径长为（ ） A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．6cm
解析：过圆心O 作于C ，如图（2）则
又由垂径定理得， 在Rt △AOC 中，由勾股定理得：．
即⊙O 的半径长为5cm ，故选C ．
点评：在圆中解决弦的问题时，常用到垂径定理，勾股定理等知识，经
常添加的辅助线是连接半径或过圆心作已知弦的垂线（往往又只是作圆心到
弦的垂线段，如本例），构造以半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，然后
运用垂径定理和勾股定理来求解．
例2 工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径．假设钢珠的直径是12毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9毫米，如图(1)所示，求这个小孔直径AB 的长．
分析：小孔直径AB 正是⊙O 的弦，因此我们可利用垂径定理
将半径OA 、弦长AB 的一半AC 及弦心距OC 转化到一个直角三角
形中，从而使问题获解．
解：连接OA （如图(2)），因为OC ⊥AB 且OC ＝9－6＝3，
故在Rt △AOC 中， 有． 根据垂径定理，得．
点评：垂径定理常与勾股定理结合在一起，进行有关圆的半径、
圆心到弦的距离、弦长和弓形高等数量的计算，要能灵活运用．
例3 某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，图(1)是水平放置的破裂管道的截面．若这个输水管道有水部分的水面宽AB ＝16cm ，水面最深地方的高度为4cm ，求这个圆形截面的半径．
分析：把它抽象为数学问题，就是已知⊙O 中，弦AB=16cm ，弓形
高是4cm ，求⊙O 的半径长．
本题的解题关键是作垂直于弦的半径，然后构造直角三角形，应用
勾股定理求解．但我们发现在构造的Rt△ADO 中（如图(2)），只知道
一条边AD 的长，无法直接用勾股定理，因此我们可设△O 半径为x ， 则OD=x -4，然后利用勾股定理列出方程便可以求出圆的半径长．
解：如图(2)，设圆形截面的圆心为O ，过O 作OC△AB 于D ，
交弧AB 于C ，连接OA ． △ OC△AB ， △AD ＝
21AB ＝2
1×16＝8（垂径定理）． 由题意可知，CD ＝4cm ． AB 6O AB OC AB ⊥4OC cm =12AC AB ==3cm 2222345OA AC OC =+=+=2222
6333AC OA OC =-=-=263AB AC ==图(1) 图(2)
图(1)
图(2) 图(1) 图(2)
设半径OA=x ，则OD ＝（x －4）．
在Rt△AOD 中，由勾股定理得：
OD 2＋AD 2＝OA 2， △( x －4)2＋82＝x 2．
△x ＝10．
点评：本题利用勾股定理列方程求解，这是方程思想在解几何计算题中的应用．
在利用垂径定理解决计算问题时，用方程思想解题的关键是若在直角三角形中，只知道一条边长，而另外两条边可用同一未知数表示出来，此时我们便可用勾股定理建立方程求解．
例4 如图（1），AB 是OD 的弦，半径OC 、OD 分别交AB 于点E 、F ，且AE=BF ，请你写出线段OE 与OF 的数量关系，并给予证明．
答：OE=OF ．
证法1：连接OA 、OB ，如图(2)．
∵ OA=OB ，∴ ∠A=∠B ．
又 AE=BF ，∴ △ADO ≌△ADO （SAS ）． ∴OE=OF ．
证法2：作OM ⊥AB 于M ，如图(3)．
∴ AM=BM （垂径定理）．
∵ AE=BF ，∴ EM=FM ．
∴ OE=OF （线段垂直平分线上的点到线段两端的距离
相等）．
点评：比较本题的两种证明方法可以看出，运用垂径定
理要简单的多．
【小结】
1．本讲主要学习的内容：垂径定理及垂径定理推论的应用．
2．在圆中解决弦的问题时，常用到垂径定理，勾股定理等知识，经常添加的辅助线是连接半径或过圆心作已知弦的垂线，构造以半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，然后运用垂径定理和勾股定理来求解．
3．在利用垂径定理解决计算问题时，若在直角三角形中，只知道一条边长，而另外两条边可用同一未知数表示出来，此时我们可用勾股定理建立方程求解．
希望同学们通过本讲的学习能够掌握垂径定理，并能灵活运用垂径定理．
图(1) 图(2) 图(3)。