二次函数三种解析式的求法

二次函数三种解析式的求法
二次函数是高中数学中的重要概念，它的解析式有三种常见的求法。

本文将分别介绍这三种求法，并且给出相应的例题加以说明。

第一种求法是通过顶点坐标和另一点坐标来确定二次函数的解析式。

二次函数的标准形式为f(x) = a(x-h)² + k，其中(h,k)为顶点坐标。

假设已知顶点坐标为(h,k)，另一个已知点的坐标为(x₁,y₁)，我们可以将这两个点的坐标代入二次函数的标准形式，得到两个方程：k = a(x-h)²
y₁ = a(x₁-h)² + k
通过解方程组，我们可以求解出a的值，进而得到二次函数的解析式。

例如，已知二次函数过点(2,5)，顶点坐标为(-1,3)，我们可以代入上述方程组进行求解。

将顶点坐标代入第一个方程，可得：
3 = a(2-(-1))²
解得a = 1/3。

然后将a的值代入第二个方程，可得：
5 = (1/3)(2-(-1))² + 3
化简后得到二次函数的解析式为f(x) = (1/3)(x+1)² + 3。

第二种求法是通过顶点坐标和对称轴与顶点的距离来确定二次函数的解析式。

对称轴与顶点的距离等于顶点的纵坐标的绝对值，即|k|。

假设已知顶点坐标为(h,k)，对称轴与顶点的距离为|k|，我们可以将这些信息代入二次函数的标准形式，得到方程：
f(x) = a(x-h)² + k
代入|k|，可得：
f(x) = a(x-h)² + |k|
通过解这个方程，我们可以求解出a的值，进而得到二次函数的解析式。

例如，已知二次函数过点(2,5)，顶点坐标为(-1,3)，对称轴与顶点的距离为3。

我们可以代入上述方程进行求解。

将顶点坐标代入方程，可得：
5 = a(2-(-1))² + 3
化简后得到a = 1/3。

然后将a的值代入方程，可得：
f(x) = (1/3)(x+1)² + 3
这就是二次函数的解析式。

第三种求法是通过已知的三个点坐标来确定二次函数的解析式。

假设已知三个点的坐标分别为(x₁,y₁)，(x₂,y₂)，(x₃,y₃)，我们可以将这些点的坐标代入二次函数的一般形式f(x) = ax² + bx + c，得到三个方程：
y₁ = ax₁² + bx₁ + c
y₂ = ax₂² + bx₂ + c
y₃ = ax₃² + bx₃ + c
通过解这个方程组，我们可以求解出a、b、c的值，进而得到二次函数的解析式。

例如，已知二次函数过点(-1,3)，(0,2)，(1,5)。

我们可以代入上述方程组进行求解。

将三个点的坐标代入方程，可得：
3 = a(-1)² + b(-1) + c
2 = a(0)² + b(0) + c
5 = a(1)² + b(1) + c
化简后得到a = 1，b = -2，c = 4。

然后将a、b、c的值代入一般形式，可得：
f(x) = x² - 2x + 4
这就是二次函数的解析式。

二次函数的解析式有三种求法：通过顶点坐标和另一点坐标、通过顶点坐标和对称轴与顶点的距离、通过已知的三个点坐标。

每种求法都有其适用的情况，我们可以根据已知条件选择合适的方法来求解二次函数的解析式。

通过学习和掌握这些求法，我们可以更好地理解和应用二次函数。